高中数学经典50题(附答案)

高中数学题库

1. 求下列函数的值域：

解法2 令t ＝sin x ，则f (t )＝－t 2

＋t ＋1，∵ |sin x |≤1, ∴ |t |≤1.问题转化为求关于t 的二次函数f (t )在闭区间[－1,1]上的最值．

本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离

地球相距m 万千米和

m 3

4

万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为3

2

π

π

和

，求该慧星与地球的最近距离。

解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为1

22

22=+b

y a x （图见教材P132页例1）。

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为

3

π

时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3(3/

ππ=∠=∠xFA xFA 或。作m FA FB Ox AB 3

221B ==⊥，则于

故由椭圆第二定义可知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=)32(3

4)(2

2

m c c a a c m c c

a a c m

两式相减得,2

3)4(21.2,323

1

c c c m c a m a c m =-==∴⋅=

代入第一式得 .3

2.32m c c a m c ==-∴=∴

答：彗星与地球的最近距离为m 3

2

万千米。

说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a +

（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。

3. A ，B ，C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6Km ，C 在B 正北偏西ο

30，相距4Km ，

P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 距P 地远，因此4s 后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1s Km /，A 若炮击P 地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书P249例2）

解：如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则

)32,5(),0,3(),0,3(--C A B ，因为PC PB =，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上。

因为3-=BC k ，BC 中点)3,4(-D ，所以直线PD 的方程为)4(3

13+=

-x y （1）

又,4=-PA PB 故P 在以A ，B 为焦点的双曲线右支上。设),(y x P ，则双曲线方程为

)0(15

42

2≥=-x y x （2）。联立（1）（2），得35,8==y x ， 所以).35,8(P 因此33

83

5=-=

PA k ，故炮击的方位角北偏东︒30。 说明：本题的关键是确定P 点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。

4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2

米，载货后船露出水面的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行

解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为)0(22

>-=p py x 。将B （4,-5）代入

得P=

y x 2.32-=∴船两侧与抛物线接触时不能通过

则A(2,y A )，由22

= y A 得y A = - 因为船露出水面的部分高米 所以h=︱y A ︱+=2米

答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行

[思维点拔] 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。．

5. 如图所示，直线1l 和2l 相交于点M ，21l l ⊥，点1l N ∈，以A 、B 为端点的曲线段C 上

任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等。若AMN ∆为锐角三角形，

6NB ,3,17＝且==AN AM ，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程。

解：以直线1l 为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C 是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为曲线段C 的端点。 设曲线段C 的方程为)0,)(0(22

>≤≤>=y x x x p px y B A ，其中B A x x ,为A 、B 的横坐标，MN p =，所以)0,2

(),0,2(p

N p M -

，由3,17==AN AM ，得

172)2

(2

=++

A A px p x （1） 92)2

(2

=+-

A A px p x （2）

，（1）（2）联立解得p x A 4=，代入（1）式，并由0>p 解得⎩⎨

⎧==⎩⎨⎧==2214A A x p x p 或，因为AMN ∆为锐角三角形，所以A x p

>2，故舍去⎩⎨⎧==22A

x p ，所以⎩⎨

⎧==1

4

A x p

由点B 在曲线段C 上，得42

=-

=P

BN x B ，综上，曲线段C 的方程为)0,41(82>≤≤=y x x y

[思维点拔]本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，

综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。

6. 设抛物线)0(42

>=a ax y 的焦点为A,以B(a+4,0)点为圆心，︱AB ︱为半径，在x 轴

上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M ，N 。点P 是MN 的中点。 （1）求︱AM ︱+︱AN ︱的值

（2）是否存在实数a ，恰使︱AM ︱︱AP ︱︱AN ︱成等差数列若存在，求出a ，不存在，说明理由。

解：(1)设M,N,P 在抛物线准线上的射影分别为M ′,N ′,P ′.

︱AM ︱+︱AN ︱=︱MM ′︱+︱NN ′︱=x M +x N +2a 又圆方程16)]4([2

2

=++-y a x 将ax y 42

=代入得08)4(22

2

=++--a a x a x

()a x x N M -=+∴42得︱AM ︱+︱AN ︱=8

(2)假设存在a

因为︱AM ︱+︱AN ︱=︱MM ′︱+︱NN ′︱=2︱PP ′︱

所以︱AP ︱=︱PP ′︱ ，P 点在抛物线上，这与P 点是MN 的中点矛盾。故a 不存在。

7. 抛物线()022

>=p px y 上有两动点A ，B 及一个定点M ，F 为焦点，若BF

MF AF ,,