直接证明与间接证明课件

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数学选修2-2苏教版2.2直接证明与间接证明(19张)

3．某个命题与正整数 n 有关，若 n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推得 n＝k＋1 时该命题也成立，现在已知当 n＝5 时该命题不成立，那么可推得( C )
A．当 n＝6 时该命题不成立 B．当 n＝6 时该命题成立 C．当 n＝4 时该命题不成立 D．当 n＝4 时该命题成立
4．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)存在有理数根，那么 a，b，c 中至少有一个是偶数．下列
假设中正确的是__②___. ①假设 a，b，c 都是偶数；②假设 a，b，c 都不是偶数； ③假设 a，b，c 至多有一个偶数；④假设 a，b，c 至多有两
个偶数．
5．若 a＞b＞0，则 a＋1b＞__b＋1a(用“＞”、“＜”、“＝”填空)．
考点1 综合法
例1：已知 a，b，c 为正实数，a＋b＋c＝1. 求证：(1)a2＋b2＋c2≥13； (2) 3a＋2＋ 3b＋2＋ 3c＋2≤6.
解析：(1)证法一：a2＋b2＋c2－13＝13(3a2＋3b2＋3c2－1) ＝13[3a2＋3b2＋3c2－(a＋b＋c)2] ＝13(3a2＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc) ＝13[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0. ∴a2＋b2＋c2≥13. 证法二：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
图 10－2－1
综合法的思维过程是由因导果的顺序，是从A推演到B的途径，但由A推演出的中间结论未必唯一，如B，B1，B2等，可由B，B1， B2能推演出的进一步的中间结论更多，如C1，C2，C3，C4等等，最终能有一个(或多个)可推演出结论B即可．
2．分析法是一种执果索因的证明方法，又叫逆推法或执果索因法．它常见的书面表达形式是：“要证…，只需证…”或“… ⇐…”．利用分析法证明“若 A 则 B”命题的分析法思考过程可用如图 10－2－2 的框图表示为：

人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件第7章不等式、推理与证明第4节直接证明与间接证明 (2)

+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
即12 q2k+2a1qk=a1qk-1·
a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,
∵a1≠0,
∴2qk=qk-1+qk+1.∵q≠0,∴q2-2q+1=0,∴q=1,这与已知矛盾.
∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.
突破技巧反证法证明问题的一般步骤
(2)a2b+b2a≤2.
证明:(1)(a+b)(a3+b3)=a4+ab3+ba3+b4≥a4+2 3 ·3 +b4
=a4+2a2b2+b4=(a2+b2)2=4,当且仅当a=b=1时取等号.
(2)由题意可知,2=a2+b2≥2ab>0,
∴0<ab≤1(当且仅当a=b=1时取等号).①
个方程有实根.
本课结束
由基本不等式易得
+ 2
2
≤
2 + 2
,∴(a+b)2≤2(a2+b2)=4,
2
∴0<a+b≤2(当且仅当a=b=1时取等号).②
①×②可得a2b+b2a≤2.
解题心得1.综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题
设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命
2.证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个结
论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从

直接证明与间接证明

第十二章
12.4
直接证明与间接证明
梳理自测探究突破巩固提升
考纲要求
-9-
4.命题“对于任意角 θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明:cos4θ-sin4θ=(cos2θsin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ 过程应用了( A.分析法 C.综合法、分析法综合应用 B.综合法 D.间接证明法 )
因为证明过程是“从左往右”,即由条件⇒结论 B
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解析
答案
第十二章
12.4
直接证明与间接证明
梳理自测探究突破巩固提升
考纲要求
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5.因为某种产品的两种原料相继提价,所以生产者决定对产品分两次提价, 现在有三种提价方案: 方案甲:第一次提价 p%,第二次提价 q%; 方案乙:第一次提价 q%,第二次提价 p%; 方案丙:第一次提价 A.甲
即证明 ( t an x1+t an x2) >t an 只需证明
1 2
��1 +��2 �� +�� 1 sin��1 sin��2 ,只需证明 + >t an 1 2, 2 2 cos��1 cos��2 2
sin( ��1 +��2 ) sin( ��1 +��2 ) > . 2cos��1 cos��2 1+cos(��1 +��2 ) π 由于 x1,x2∈ 0, ,故 x1+x2∈( 0,π) . 2
梳理自测探究突破巩固提升
考纲要求

2014年人教A版选修2-2课件 2.2 直接证明与间接证明

2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法第二章小结
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法与分析法
2.2.2 反证法
2.2.1的证明顺序是怎样的? 2. 什么是分析法? 它的证明顺序是怎样的? 3. 综合法与分析法有什么关系?
从要证明的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至最后, 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知、定理、定义、公理等). 这种证明的方法叫做分析法. 用 Q 表示要证明的结论, 则可有框图表示为: QP1 P1P2 P2P3 …
明显成立的条件
例2. 求证 3 + 7 2 5 .
例3. 已知 a , b k + (k Z), 且 sinq+cosq=2sina, 2 sinq · cosq=sin2b. 求证: 1 - tan2 a = 1 - tan2 b . 1 + tan2 a 2(1 + tan2 b ) 证明: 由 sinq+cosq=2sina, sinq · cosq=sin2b 消去 q 得 4sin2a-2sin2b=1. 1 - tan2 a = 1 - tan2 b , 要证 1 + tan2 a 2(1 + tan2 b ) 2 2 sin b sin a 1- 2 1- 2 cos b cos a = , 只需证 2 2 1 + sin 2a 2(1 + sin 2 b ) cos a cos b cos2 a - sin2 a = cos2 b - sin2 b , 即证 cos2 a + sin2 a 2(cos2 b + sin2 b )
3. 已知 tana+sina=a, tana-sina=b, 求证 (a2-b2)2=16ab. 证明: 解关于 tana 和 sina 的方程组 tana + sina = a, tana - sina = b. 得 tana = a + b , sina = a - b . 2 2 又由 tana = sina 得 cosa = a - b . cosa a+b 因为 sin2a+cos2a=1, 所以得 ( a - b )2 + ( a - b )2 = 1, 2 a+b 整理得 (a2-b2)2=16ab.

13.2直接证明与间接证明

1．直接证明内容综合法分析法定义从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法特点从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件步骤的符号表示P0(已知)⇒P1⇒P2⇒P3⇒P4(结论)B(结论)⇐B1⇐B2…⇐B n⇐A(已知)2.间接证明(1)反证法的定义：一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒tt与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤：①分清命题的条件和结论；②做出与命题结论相矛盾的假设；③由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( × )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( × ) (3)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a ab >b 2 C.1a <1b D.b a >ab答案 B解析对于A ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故不正确．对于B ，∵a 0， ∴a 2>ab ，∴ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2， ∴a 2>ab >b 2，故B 正确．对于C ，∵a 0，∴1a >1b，故错；对于D ，∵a <b <0，b a －a b ＝b 2－a 2ab <0，∴b a <ab，故错． 2．(2014·山东)用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根答案 A解析方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故应选A. 3．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 答案 D解析 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.4．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是__________________．答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b 解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a ) ＝a (a －b )＋b (b －a ) ＝(a －b )(a －b ) ＝(a －b )2(a ＋b )．∴当a ≥0，b ≥0且a ≠b 时，(a －b )2(a ＋b )>0. ∴a a ＋b b >a b ＋b a 成立的条件是a ≥0，b ≥0且a ≠b .5．(教材改编)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________三角形．答案等边解析由题意2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，又b 2＝ac ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴A ＝C ，∴A ＝B ＝C ＝π3，∴△ABC 为等边三角形.题型一综合法的应用例1 对于定义域为[0,1]的函数f (x )，如果同时满足： ①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0； ②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数． (1)若函数f (x )为理想函数，证明：f (0)＝0；(2)试判断函数f (x )＝2x (x ∈[0,1])，f (x )＝x 2(x ∈[0,1])，f (x )＝x (x ∈[0,1])是不是理想函数．(1)证明取x 1＝x 2＝0，则x 1＋x 2＝0≤1， ∴f (0＋0)≥f (0)＋f (0)，∴f (0)≤0. 又对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0， ∴f (0)≥0.于是f (0)＝0.(2)解对于f (x )＝2x ，x ∈[0,1]，f (1)＝2不满足新定义中的条件②， ∴f (x )＝2x ，(x ∈[0,1])不是理想函数．对于f (x )＝x 2，x ∈[0,1]，显然f (x )≥0，且f (1)＝1. 任意的x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1， f (x 1＋x 2)－f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋x 2)2－x 21－x 22＝2x 1x 2≥0，即f (x 1)＋f (x 2)≤f (x 1＋x 2)． ∴f (x )＝x 2(x ∈[0,1])是理想函数．对于f (x )＝x ，x ∈[0,1]，显然满足条件①②. 对任意的x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1，有f 2(x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]2＝(x 1＋x 2)－(x 1＋2x 1x 2＋x 2)＝－2x 1x 2≤0，即f 2(x 1＋x 2)≤[f (x 1)＋f (x 2)]2.∴f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，不满足条件③. ∴f (x )＝x (x ∈[0,1])不是理想函数．综上，f (x )＝x 2(x ∈[0,1])是理想函数，f (x )＝2x (x ∈[0,1])与f (x )＝x (x ∈[0,1])不是理想函数．思维升华 (1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设知(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.题型二分析法的应用例2 已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 证明要证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，即证明12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22，只需证明12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>tan x 1＋x 22，只需证明sin (x 1＋x 2)2cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2).由于x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故x 1＋x 2∈(0，π)．所以cos x 1cos x 2>0，sin(x 1＋x 2)>0,1＋cos(x 1＋x 2)>0，故只需证明1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2，即证1＋cos x 1cos x 2－sin x 1sin x 2>2cos x 1cos x 2，即证cos(x 1－x 2)<1.由x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x 1≠x 2知上式显然成立，因此12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 引申探究若本例中f (x )变为f (x )＝3x －2x ，试证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有f (x 1)＋f (x 2)2≥f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 证明要证明f (x 1)＋f (x 2)2≥f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，即证明(3x 1－2x 1)＋(3x 2－2x 2)2≥3x 1＋x 22－2·x 1＋x 22，因此只要证明3x 1＋3x 22－(x 1＋x 2)≥3x 1＋x 22－(x 1＋x 2)，即证明3x 1＋3x 22≥3x 1＋x 22，因此只要证明3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2，由于x 1，x 2∈R 时，3x 1>0,3x 2>0，由均值不等式知3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2显然成立，故原结论成立．思维升华 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．已知a >0，求证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a >0，故只需要证( a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a )＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)，只需要证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a2)，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．题型三反证法的应用命题点1 证明否定性命题例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． (1)解当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N ＋)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.(*)又因为p <q <r ，且p ，q ，r ∈N ＋，所以r －q ，r －p ∈N ＋. 所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．命题点2 证明存在性问题例4 (2015·济南模拟)若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a －2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ，即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3. 因为b >1，所以b ＝3.(2)假设函数h (x )＝1x ＋2在区间[a ，b ] (a >－2)上是“四维光军”函数，因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有⎩⎪⎨⎪⎧h (a )＝b ，h (b )＝a ，即⎩⎨⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．命题点3 证明唯一性命题例5 已知M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f (x )∈M ，(ⅰ)方程f (x )－x ＝0有实数根； (ⅱ)函数f (x )的导数f ′(x )满足0<f ′(x )<1.(1)判断函数f (x )＝x 2＋sin x4是不是集合M 中的元素，并说明理由；(2)集合M 中的元素f (x )具有下面的性质：若f (x )的定义域为D ，则对于任意[m ，n ]⊆D ，都存在x 0∈(m ，n )，使得等式f (n )－f (m )＝(n －m )f ′(x 0)成立．试用这一性质证明：方程f (x )－x ＝0有且只有一个实数根． (1)解 ①当x ＝0时，f (0)＝0，所以方程f (x )－x ＝0有实数根为0； ②f ′(x )＝12＋14cos x ，所以f ′(x )∈⎣⎡⎦⎤14，34，满足条件0<f ′(x )<1. 由①②可得，函数f (x )＝x 2＋sin x 4是集合M 中的元素．(2)证明假设方程f (x )－x ＝0存在两个实数根α，β (α≠β)，则f (α)－α＝0，f (β)－β＝0. 不妨设α<β，根据题意存在c ∈(α，β)，满足f (β)－f (α)＝(β－α)f ′(c )．因为f (α)＝α，f (β)＝β，且α≠β，所以f ′(c )＝1.与已知0<f ′(x )<1矛盾．又f (x )－x ＝0有实数根，所以方程f (x )－x ＝0有且只有一个实数根．思维升华应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤：第一步：分清命题“p ⇒q ”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q 相反的假设綈q ；第三步：由p 和綈q 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q 不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题p ⇒q 为真．所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N ＋，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴(p ＋r 2)2＝pr ，即(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴假设不成立，即数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．24．1反证法在证明题中的应用典例 (12分)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A 、C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．思维点拨 (1)根据菱形对角线互相垂直平分及点B 的坐标设出点A 的坐标，代入椭圆方程求得点A 的坐标，后求AC 的长；(2)将直线方程代入椭圆方程求出AC 的中点坐标(即OB 的中点坐标)，判断直线AC 与OB 是否垂直．规范解答(1)解因为四边形OABC 为菱形，则AC 与OB 相互垂直平分．由于O (0,0)，B (0,1)所以设点A ⎝⎛⎭⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，则t ＝±3，故|AC |＝2 3.[4分] (2)证明假设四边形OABC 为菱形，因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.[6分] 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 2＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.[8分] 因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k，因为k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1，所以AC 与OB 不垂直．[10分] 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．[12分]温馨提醒 (1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的．(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法．(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去．[方法与技巧]1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知． 2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来． [失误与防范]1．用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．A 组专项基础训练 (时间：45分钟)1．若a 、b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A ．lg(1＋a 2)>0 B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1) C ．a 2＋3ab >2b 2 D.a b <a ＋1b ＋1答案 B解析在B 中，∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0， ∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．2．①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下正确的是( ) A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确；②的假设错误 D ．①的假设错误；②的假设正确答案 D解析反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q >2，所以①不正确；对于②，其假设正确． 3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( ) A ．a －b >0 B ．a －c >0 C ．(a －b )(a －c )>0 D ．(a －b )(a －c )<0 答案 C解析由题意知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2 ⇐(a ＋c )2－ac <3a 2 ⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0 ⇐－2a 2＋ac ＋c 2<0 ⇐2a 2－ac －c 2>0⇐(a －c )(2a ＋c )>0⇐(a －c )(a －b )>0.4．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定答案 C解析 ∵P 2＝2a ＋7＋2a ·a ＋7＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a ＋3·a ＋4＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12，∴P 2<Q 2，∴P <Q . 5．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )A ．②③B ．①②③C ．③D ．③④⑤答案 C解析若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.6．用反证法证明命题“a ，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是____________________________．答案 a ，b 中没有一个能被5整除解析 “至少有n 个”的否定是“最多有n －1个”，故应假设a ，b 中没有一个能被5整除．7．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b≥2成立的条件的序号是________．答案 ①③④解析要使b a ＋a b ≥2，只需b a >0且a b >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使b a ＋a b≥2成立． 8．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析令⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝－2p 2＋p ＋1≤0，f (1)＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥32，故满足条件的p 的范围为⎝⎛⎭⎫－3，32. 9．已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .证明要证明2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立，只需证：2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0，即2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0，即(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.∵a ≥b >0，∴a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0，从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立，∴2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .10．已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明由已知得SA 2＋AD 2＝SD 2，∴SA ⊥AD .同理SA ⊥AB .又AB ∩AD ＝A ，∴SA ⊥平面ABCD .(2)解假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD .∵BC ∥AD ，BC ⊄平面SAD .∴BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ，∴平面FBC ∥平面SAD .这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾，∴假设不成立．∴不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD .B 组专项能力提升(时间：30分钟)11．已知函数f (x )＝(12)x ，a ，b 是正实数，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab a ＋b)，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A答案 A解析 ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝(12)x 在R 上是减函数． ∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b)，即A ≤B ≤C . 12．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形答案 D解析由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形．所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．13．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N ＋，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为__________．答案 c n ＋1<c n解析由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n， ∴c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1<c n .14．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a与c 的大小； (3)证明：－20，由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝⎛⎭⎫1a >0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾， ∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a>c . (3)证明由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0，∴b ＝－1－ac .又a >0，c >0，∴b <－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b 2a <1a. 又a >0，∴b >－2，∴－2<b <－1.15．已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)，数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．(1)解由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n .又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·(23)n －1，故1－a 2n ＝34·(23)n －1⇒a 2n ＝1－34·(23)n －1. 又a 1＝12>0.a n a n ＋1<0，故a n ＝(－1)n －1 1－34·(23)n －1. b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝[1－34·(23)n ]－[1－34·(23)n －1] ＝14·(23)n －1. (2)证明用反证法证明．假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只能有2b s ＝b r ＋b t 成立．∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14(23)t －1，两边同乘以3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s .由于r <s <t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。

证据法课件PPT课件

• (二)狭义的概念，即可以作为定案根据的诉讼证据的概念，也就是经过查证属实的诉讼证据的概念。刑诉法第42条第 1款规定：“证明案件真实情况的一切事实，都是证据”。
• 狭义证据的特点： • 1.从内容和实质来讲，应当是证明案件真实情况的事实； • 2.从形式和来源讲，它应当具备法定的形式和来源； • 3.从证明过程讲，应当是经过查证属实的可以作为定案根
• 广义证据法学：有学者也称为法律证据学，除研究诉讼证据外，还研究在处理其他法律事务，如行政执
法、仲裁、公证、监察等活动中如何运用证据的问题。
研究对象
• 与证据和证据运用有关的Fra bibliotek律规范（静态的研究对象）
• 与证据和证据运用有关的司法实践（动态的研究对象）
• 证据运用的方法、规律和规则 • 古今中外的证据制度和证据理论 • 自然科学和其他社会科学中对证据和证据运用
一、证据的概念（一）证据的涵义在证据定义的争论中，真正有代表性的观点： 1.“事实说” 2.“反映说” 3.“两义说” 4.“根据说” 5.“材料说” 6.“信息说”
(二)证据的定义： • 《刑诉法》第42条第1款规定：证明案件
真实情况的一切事实都是证据。此定义基本属于实质证据观。
• 证据定义可作如下表述：与案件真实情况相关联的一切事实都是证据。
三、书证的形成四、书证同物证的区别 1.当记载或表示了一定事实的物，单纯以一个物起证据作用的时候，它是物证。 2．当记载或表示一定事实的物，是以它上面的文字、图画的外在形态这样一些物质性特征起证据作用时，它也是物证。 3．当记录或表示了一定事实的物同它上面的文字图画等一起发挥证据作用时，它是书证。 4．当记载或表示了一定事实的物既以它本质或它上面的文字、图画的外在特征，也以记载的事实发挥证据作用时，它既是物证又是书证。

39直接证明与间接证明

x1＋x2 x1＋x2 1 1 证明要证 [f(x1)＋f(x2)]>f ，即证明2(tan x1＋tan x2)>tan 2 ， 2 2
x1＋x2 1 sin x1 sin x2 >tan 只需证明 cos x ＋cos x ， 2 2 1 2 sinx1＋x2 sinx1＋x2 只需证明 > . 2cos x1cos x2 1＋cosx1＋x2
b S,
b a c, 即证因为,在三角形中,b<a+c 显然成立,
所以原不等式成立.
2.△ABC三边长a, b, c的倒数成等差数列.
求证: B 90.
证明： 2 1 1 , 2ac b(a c ).
b a
c a 2 c 2 b2 2ac b2 cos B ≥ 2ac 2ac
直接证明与间接证明
要点梳理
1．直接证明 (1)综合法
忆一忆知识要点
①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证明的结论)．
综合法
2 7 在 x∈(a，＋∞)上恒例 1.(1)已知关于 x 的不等式 2x＋ x－a 成立，求实数 a 的取值范围； (2)已知|x|<1，|y|<1，求证：|1－xy|>|x－y|.
2 2 3 7，∴2(x－a)＋ 7－2a⇒7－2a 4，∴a 2 (1)∵2x＋ x－a x－a (2)因为|1－xy|2－|x－y|2＝(xy)2＋1－x2－y2＝(x2－1)(y2－1)>0 所以|1－xy|>|x－y|

苏教版高三数学复习课件11.2 直接证明与间接证明

面PAB与面PCD的交线． (1)证明：因为∠ABC＝90°，AD∥BC，所以AD⊥AB. 又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PA. 同理可得AB⊥PA. 由于AB、AD⊂平面ABCD，且AB∩AD＝A，所以PA⊥平面ABCD.

(1)分清命题的条件和结论； (2)作出与命题结论相矛盾的假设； (3)由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； (4)断定产生矛盾结果的原因，则开始所作的假定不真，于是原结论成立，从而间接的证明原命题为真．
4．用反证法证明时，当求证结论的否定有几种不同的情况时，应当一

(1)若CD∥平面PBO，试指出点O 的位置；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.
(1)解：因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面 PBO＝BO，所以BO∥CD.又BC∥AD，所以四边形BCDO为平行四边形，则BC＝ DO. 而AD＝3BC，故点O的位臵满足AO＝2OD. (2)证明：因为侧面PAD⊥底面ABCD， AB⊂底面ABCD，且AB⊥交线AD，所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD. 又PA⊥PD，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB.而PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.
证明：假设 <2和 <2都不成立，则有 ≥2和

≥2同时成
因为x>0且
y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，

所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y>2矛盾，因此
<2和
<2中
变式3：设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和. (1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为

数学：直接证法与间接证法-反证法

简单。
应用场景
存在性问题
当需要证明某事物存在时，反证法可以通过假设该事物不存在，然后推导出矛盾，从而证明该事物的存在。
唯一性问题
当需要证明某事物是唯一的时，反证法可以通过假设存在多个该事物，然后推导出矛盾，从而证明该事物的唯一性。
不等式问题
对于一些难以直接证明的不等式问题，反证法可以通过假设不等式不成立，然后推导出矛盾，从而证明不等式的正确性。
特点
直接证法是一种直接的、逻辑严密的证明方法，它通过直接的推理过程，逐步推导出结论，不需要引入其他假设或反证。
直接证法的应用
代数证明
在代数中，很多定理和性质都是通过直接证法来证明的，例如整数的四则运算法则、不等式的性
质等。
几何证明
在几何中，很多定理和性质也是通过直接证法来证明的，例如勾股定理、平行线的性质等。
数学证明的多样性与创新性
数学证明的方法多种多样，不仅限于直接证法和间接证法。随着数学理论的发展，新的证明方法和技巧不断涌现。未来研究可以探索更多具有创新性的证明方法，以解决更多复杂的数学问题。
对未来研究的展望
01 02
深入研究不同证明方法的内在联系
为了更好地理解和应用各种证明方法，未来的研究可以深入探讨它们之间的内在联系和相互影响。这有助于发现新的证明技巧和方法，提高数学证明的效率和准确性。
探索反证法的哲学基础
反证法作为一种重要的间接证明方法，其哲学基础值得深入探讨。研究反证法的逻辑结构和适用范围，有助于更好地理解其应用范围和局限性。
03
促进数学与其他学科的交叉研究
数学证明的方法不仅限于数学领域，也可以应用于其他学科。未来的研
究可以促进数学与其他学科的交叉研究，探索ห้องสมุดไป่ตู้明方法在不同领域的应

高中数学第二章推理与证明22直接证明与间接证明222反证法课件新人教版选修12

5．用反证法证明命题“如果 a＞b，则3 a＞3 b时，
假设的内容是________．”
3
3
3
33
3
解析： a与 b的关系有三种情况： a＞ b， a＝ b，
3
3
3
3
a＜ b.所以假设的内容应为 a≤ b.
3
3
答案： a≤ b
类型 1 用反证法证明否(肯)定性命题(自主研析) [典例 1] 设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b， c 均为整数，且 f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0 无整数根． [自主解答]假设 f(x)＝0 有整数根 n，则 an2＋bn＋c ＝0 又 f(0)，f(1)均为奇数，
解得－2＜a＜－1，则要使两方程至少有一个方程有
实数，则 a 的取值范围应为 a≤－2 或 a≥－1.
答案：A
归纳升华
1．用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨
论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什
么，避免出现错误．
2．用反证法证明“至多、至少”问题时常见的“结
论词”与“反设词”如下：
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法．( ) (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( ) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( ) 解析：(1)对，反证法是间接证明问题的方法． (2)错，反证法是演绎推理，不是合情推理． (3)对，根据反证法的概念知说法正确．答案：(1)√ (2)× (3)√
所以（1－2a）＋b≥ （1－a）b> 14＝12. 同理（1－2b）＋c>12，（1－2c）＋a>12. 三式相加得（1－2a）＋b＋（1－2b）＋c＋（1－2c）＋a>32. 则32>32，矛盾，故假设不成立．所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于14.

第六节直接证明和间接证明

π x1，x2∈0，2 ，x1≠x2 知上式显然成立，
x1＋x2 1 因此， [f(x1)＋f(x2)]>f 2 . 2
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第六节
直接证明和间接证明
结束
[一题多变]
fx1＋fx2 x1＋x2 证明：要证明 ≥f ， 2 2
3 － x 1 h′(x)＝－x2＋x－1＝ . x＋1 x＋1
h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即 f(x)≤g(x)．
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第六节
直接证明和间接证明
结束
考点二
x1＋x2 1 1 [典例] 证明：要证 [f(x1)＋f(x2)]>f ，即证明2(tan x1 2 2
3x1－2x1＋3x2－2x2 x1＋x2 x1＋x2 即证明 ≥3 － 2· ，因此只要证明 2 2 2 3x1＋3x2 x1＋x2 3x1＋3x2 x1＋x2 －(x1＋x2)≥3 －(x1＋x2)，即证明 ≥3 ， 2 2 2 2 3x1＋3x2 因此只要证明 ≥ 3x1· 3x2， 2 由于 x1，x2∈R 时，3x1>0,3x2>0， 3x1＋3x2 由基本不等式知 ≥ 3x1· 3x2显然成立，故原结论成立． 2
∴cos x1cos x2>0，sin(x1＋x2)>0，1＋cos(x1＋x2)>0，
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第六节
直接证明和间接证明
结束
故只需证明 1＋cos(x1＋x2)>2cos x1cos x2，即证 1＋cos x1cos x2－sin x1sin x2>2cos x1cos x2，即证：cos(x1－x2)<1. 由

2014年人教A版选修1-2课件 2.2 直接证明与间接证明

因为两平面相交, 有且只有一条公共直线. 所以 P, Q, R 共线于平面 a 与平面 ABC 的交线.
例2. 在△ABC中, 设 CB = a, CA = b, 求证 S△ABC= 1 | a |2| b |2 (a b)2 . A 2 分析: 所证三角形面积的式子 b 中是用向量的模以及向量的数量积表示的, 于是我们考虑用三角形面积公式 SABC = 1 AC BC sin C . 2 sinC 再通过向量的数量积转换.
综合法是由因导果的顺序.
习题 2.2 A组第 1、2 题. B组第 1、2 题.
习题 2.2 A组 1. 已知 A, B 都是锐角, 且 A+B≠ , 2 (1+tanA)(1+tanB)=2, 求证A+B= . 4 证明: 由 (1+tanA)(1+tanB)=2 得 1+tanA+tanB+tanAtanB=2, 整理得 tanA+tanB=1tanAtanB, ① tan A + tan B 又因为 tan( A + B) = , ② 1 tan Atan B 将①代入②得 1 tan A tan B =1, tan( A + B) = 1 tan Atan B 因为 A, B 都是锐角,
B
a C
例2. 在△ABC中, 设 CB = a, CA = b, 求证 S△ABC= 1 | a |2| b |2 (a b)2 . A 2 证明: 如图, b SABC = 1 BC AC sin C , a C 2 B 又因为 CB = a, CA = b, ab , cos C = 则 | a | | b | 于是得 sin C = 1 cos2 C = 1 ( a b )2 , | a | | b | (a b)2 1 1 SABC = | a | | b | 1 2 2 = | a |2| b |2 (a b)2 . 2 | a | | b | 2

222直接证明与间接证明讲解

例4 已知a≠0，证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2 则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2
∴ ax1 - ax2 = 0 ∴ a（x1 - x2）= 0 x1 x2 x1 x2 0 ∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾,
否定词原词语
不等于任意的
不是至少有一个
不都是至多有一个
不大于至少有n个
不小于至多有n个
存在某个x，对任何x，
不成立
不成立
否定词
某个
一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某个x, 成立
二、典例剖析---类型二：
例3.证明： 2, 3, 5 不可能成等差数列
证明: 假设 2, 3, 5 能成等差数列，则
2 3 2 5
两边平方得: (2 3)2 ( 2 5)2 化简得: 5 2 10
两边平方得: 25 40
此式显然不成立，所以假设错误
注：否定所型以命题2(,命题3,的5结不论可是能“成不等可差数能列……”，
所以∠ A < 60°，∠B < 60°， ∠C < 60° ∴ ∠A+∠B+∠C<180°
这与三角形内角和等于180° 相矛盾.
∴ 假设不能成立，所求证的结论成立.
先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确。
反证法的思维方法：正难则反
三、典例剖析---类型一：例1. 证明：如果a b 0,则 a b

第三十六讲直接证明与间接证明

第3页共 42 页
考点陪练 1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的 ( ) A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件
D.等价条件
解析:根据分析法的要求,只要能找到一个条件使结论成立即
可,并不需要是等价条件(充要条件),只需要是充分条件即
可. 答案:A
第4页共 42 页
2.用P表示已知,Q表示要证的结论,则综合法的推理形式为( ) A.PQ1→Q1Q2→Q2Q3→„→QnQ B.PQ1→Q1Q2→Q2Q3→„→QnQ
am 证法八 : (求值域)令y , 将命题转化为函数的值域. bm a by m (y 1, 若y 1, 则a b不合题意). y 1 a by a m 0, 0, ( y 1) y 0, y 1 b a am a y 1, . b bm b
[剖析]本题错误的原因在于证明PD⊥BC时没有理论依据,完
全凭感觉,没有逻辑感.
第25页共 42 页
[正解]连接BD,因为BD是 Rt△ABC斜边上的中线, 所以DA=DC=DB. 又PA=PB=PC,而PD是公共边, ∴△PAD≌△PBD≌△PCD, ∴∠PDA=∠PDC=∠PDB=90°,
∴PD⊥AC,PD⊥BD,
第17页共 42 页
[反思感悟]在解决问题时,根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q,根据结论的特点转化得到中间结论P,归结为证明P､Q之间的关系,通常用分析法寻找思路,综合法完成证明.
第18页共 42 页
类型三
反证法
解题准备:1.反证法是间接证明的一种方法,在数学研究和考试中有着重要的作用.一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了

【走向高考】高考数学总复习 12-5直接证明与间接证明课件北师大版

[答案] 9
[解析 ] ∵ a>0， b>0， ∴ 2a＋ b>0. ∴不等式可化为
2 1 b a m≤ ＋ (2a＋b)＝ 5＋ 2 ＋ . a b a b
b a ∵ 5＋ 2 ＋ ≥ 5＋ 4＝ 9，即其最小值为 a b
9，
∴ m≤ 9，即 m 的最大值等于 9.
知识梳理 1．直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理、法则等，直接推证结论的真实性．
2．综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，把这样一种思维方法称为综合法．综合法是一种由因导果的证明方法．综合法的证明步骤用符号表示是： P0(已知) P1 P2… Pn(结论 )．
第五节
直接证明与间接证明
考纲解读 1．了解直接证明的两种基本方法 ——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点． 2．了解间接证明的一种基本方法 ——反证法；了解反证法的思考过程、特点．
考向预测 1．本节主要考查对综合法和分析法的理解和简单的应用，反证法一般不会单独命题． 2．综合法和分析法在历年高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一．选择题、填空题的形式较少．主要是综合法、分析法的思想渗透到解答题中．
3．分析法为这个命题的条件，或者归结为定义、公理定理等，把这种思维方法称为分析法．分析法是一种执果索因的证明方法，用分析法证明的逻辑关系是： B(结论 ) B1 B2 … Bn A(已知 )．
分析法的特点是：从“未知”看需知，逐步靠拢“已知”，其每步推理都是寻求使每一步结论成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件为止．综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向 “未知”，其每步推理都是寻找使每一步结论成立的必要条件．

办案证据讲座课件

03
02
合法性审查
确认证据的取得是否符合法律规定，无非法取证。
完整性审查
确认证据是否完整，无缺失、篡改等情况。
04
证据审查的方法
比对审查
将不同证据进行比对，确认是否存在矛盾或一致性。
综合审查
综合考虑所有证据，对案件事实作出全面评估。
鉴定审查
对专业性问题进行鉴定，得出科学结论。
排除法审查
通过排除不合理、不可能的情况，确定最有可能的真相。
证据内容合法
证据的内容必须符合法律法规的规定，不能包含违法信息。
证据的形式合法
证据形式符合法律规定
01
证据必须符合法律规定的格式和要求。
证据签名盖章合法
02
证据上必须有合法的签名盖章，确保证据的真实性和有效性。
证据保存方式合法
03
证据的保存必须符合法律要求，不能随意损坏或丢失。
非法证据排除规则
办案证据讲座课件
目录
• 证据概述 • 办案中的证据种类 • 证据的收集与审查 • 证据的运用 • 证据的合法性
01
证据概述
证据的定义
01
证据：是指能够证明案件事实的材料。
02
证据必须具有客观性、真实性和合法性，才能作为认定案件事实的依据。
证据的重要性
证据是认定案件事实的基础，是公正裁判的基石。
非法证据排除原则
对于通过非法手段获取的证据，应当依法排除。
非法证据排除程序
对于需要排除的非法证据，应当按照法定程序进行审查和处理。
非法证据排除后果
对于被排除的非法证据，不得作为认定案件事实的根据。
THANKS
感谢观看
现场勘查
对犯罪现场进行实地调查，收集物证、痕迹等实物证据。

2.2直接证明与间接证明(4课时)

2.2
直接证明与间接证明
2.2.2
反证法
问题提出
1.综合法和分析法的基本含义分别是什么？综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，经过一系列的推理论证，最后推导出所证结论成立. 分析法：从所证结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到归结为判定一个显然成立的条件（已知条件、定义、公理、定理、性质、法则等）为止.
2
2
2
9 4
例4 求证：面积为1的三角形不能被面积小于2的平行四边形所覆盖.
D P
E N F B
C
K
M
A
流程:
P Þ Q1 Q1 Þ Q 2 Q 2 Þ Q 3
„
Qn Þ Q
2.分析的基本含义和思维流程分别是什么？
含义:从所证结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到归结为判定一个显然成立的条件（已知条件、定义、公理、定理、性质、法则等）为止. 流程: Q Ü P1 P1 Ü P2 P2 Ü P3 …
大前提：已知的一般原理；小前提：所研究的特殊情况；
结论：根据一般原理，对特殊情况做出判断.
3.合情推理所得结论的正确性是需要证明的，演绎推理的实施也需要具体的操作方法，因此，从理论上获取证明数学命题的基本方法，是我们需要进一步学习的内容.
探究（一）：综合法
思考1：对于不等式
a(b + c ) + b(c + a )
2.2
2.2.1
直接证明与间接证明
综合法和分析法
问题提出
1 5730 p 2
t
1.合情推理的主要作用和思维过程是什么？
作用：提出猜想，发现结论；过程：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想.