直接证明与间接证明

第2讲
到结果的证明方法，它是利用已知 (1)______ 条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证， 最后推导出所要证明的结论成立的证明方法． 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充 (2)______ 分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立 的条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止的证明方法．
索因法．它常见的书面表达形式是：“要证…，只需证…”或
“…⇐…”．利用分析法证明“若 A 则 B”命题的分析法思考过 程可用框图表示为：
图 10－2－2 分析法的思考顺序执果索因的顺序，是从 B 上溯寻其论据， 如 C、C1、C2 等，再寻求 C、C1、C2 的论据，如 B、B1、B2、 B3、B4 等等，继而寻求 B、B1、B2、B3、B4 的依据，如果其中之 一 B 的论据恰为已知条件，于是命题已经得证．
2 比数列，则 bq ＝bpbr.
即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)． ∴(q2－pr)＋(2q－p－r) ∵p、q、r∈N*，
2 q －pr＝0 ∴ 2q－p－r＝0
2＝0.
p＋r2 ＝pr，(p－r)2＝0， .∴ 2
∴p＝r.与 p≠r 矛盾． ∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
错源：犯循环论证的逻辑性错误
例 4：设 a、b、c、d 是正有理数， c、 d是无理数，求证： a c＋b d是无理数．
误解分析：本题在推理证明过程中，容易犯循环论证的逻 辑性错误：因为 c为无理数，a 为正有理数，故 a c为无理数， 同理 b d也为无理数，两正无理数的和为无理数，故 a c＋b d 为无理数．主要原因是对有关概念定理没有真正的理解掌握， 导致用任意的推广引申定理得出有利于论题成立的假判断．
2．间接证明 反证法是假设命题的结论不成立，经过正确的推理，最后 ______ 得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明 方法，它是一种间接的证明方法，用这种方法证明一个命题的 一般步骤： ①假设命题的结论不成立；
②根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止；
③断言假设不成立； ④肯定原命题的结论成立．
2 2 2
1 2 1 2 1 2 ＝3＋α ＋3＋β ＋3＋γ
1 2 ＝ ＋ (α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2 3 3
1 1 2 2 2 ＝ ＋α ＋β ＋γ ≥ . 3 3 1 ∴a ＋b ＋c ≥ . 3
2 2 2
3a＋2＋1 3a＋3 (2)∵ 3a＋2＝ 3a＋2×1≤ ＝ ， 2 2 3b＋3 3c＋3 同理 3b＋2≤ ， 3c＋2≤ ， 2 2 3a＋b＋c＋9 ∴ 3a＋2＋ 3b＋2＋ 3c＋2≤ ＝6. 2 ∴原不等式成立．
2．已知 a＞0，求证： 1 1 a ＋ 2－ 2≥a＋ －2. a a
2
解：要证 只要证
2
1 1 a ＋ 2－ 2≥a＋ －2， a a
2
1 1 a ＋ 2＋2≥a＋ ＋ a a
2
2.
∵a＞0，故只要证
2 2 1 1 a ＋ 2＋2 ≥a＋a＋ 2 ， a
1 即 a ＋ 2＋4 a
同理可得 sinB>cosC，sinC>cosA. ∴sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.
考点 2 分析法
例 2：已知 a>b>0，求证： a－ b< a－b.
解析：要证 a－ b< a－b， 只需证( a－ b)2<( a－b)2. 即证 a＋b－2 ab<a－b，只需证 b< ab，即证 b<a. 显然 b<a 成立， 因为 b<a，因此 a－ b< a－b成立．
纠错反思：(1)正确理解概念“命题的反面”，如命题“a>0”
的反面是“a≤0”；(2)注意反证法的解题步骤，特别要指明矛
盾所在；(3)一个命题直接证明有困难时，就可以考虑用反证法 的思想．
【互动探究】 4． 设命题 p： 关于 x 的不等式 a1x2＋b1x＋c1＞0 与 a2x2＋b2x a1 b1 c1 ＋c2>0 的解集相同； 命题 q： ＝ ＝ ， 则命题 p 是命题 q 的( D ) a2 b2 c2 A．充分但不必要条件 C．充要条件 B．必要但不充分条件 D．既不充分也不必要条件
或与公理、定理矛盾，是反证法的正确运用 D．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件
3．用反证法证明命题：“三角形的外角至少有两个钝角” 时，应假设( C ) A．三个内角都是钝角
B．三个内角都不是钝角
C．三个内角至多有一个钝角 D．三个内角至多有两个钝角 解析：命题：“三角形的外角至少有两个钝角”等价于“三 角形的外角有两个钝角或三个钝角”，应假设“三角形的三个 内角至多有一个钝角”．
(1)注意分析法的“格式”是“要证…，只
需证…，”而不是“因为…，所以…”；(2)注意分析法的适用
范围，如含根式、分式的不等式的证明，常常用分析法；(3)综
合法与分析法相结合，对证明较复杂的命题有很好的效果．先
用分析法寻找命题成立的一个充分条件，再用综合法从条件出
发，推出一些间接结论，两者接轨时，命题就得以证明． 【互动探究】
图 10－2－1
综合法的思维过程是由因导果的顺序，是从 A 推演到 B 的 途径，但由 A 推演出的中间结论未必唯一，如 B、B1、B2 等， 可由 B、B1、B2 能推演出的进一步的中间结论更多，如 C1、C2、 C3、C4 等等，最终能有一个(或多个)可推演出结论 B 即可．
2．分析法是一种执果索因的证明方法，又叫逆推法或执果
考点 3
反证法
例 3：等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1＝1＋ 2，S3＝ 9＋3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn；
Sn (2)设 bn＝ (n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都 n 不可能成为等比数列．
解题思路：本小题考查等差数列的概念、通项公式与前 n
【互动探究】
1．在锐角 ABC 中，求证：sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB
＋cosC.
π π 解：∵△ABC 为锐角三角形，∴A＋B> ，∴A> －B. 2 2
π ∵y＝sinx 在0，2上是增函数， π ∴sinA>sin2－B＝cosB.
6 2＋ 5成立，只需证明( ___
解析：利用分析法．
考点 1
综合法
例 1: 已知 a、b、c 为正实数，a＋b＋c＝1.
1 求证：(1)a ＋b ＋c ≥ ； 3
2 2 2
(2) 3a＋2＋ 3b＋2＋ 3c＋2≤6.
1 解析：(1)方法一：a ＋b ＋c － 3
2 2 2
1 2 ＝ (3a ＋3b2＋3c2－1) 3 1 ＝ [3a2＋3b2＋3c2－(a＋b＋c)2] 3 1 2 ＝ (3a ＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc) 3 1 ＝ [(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0. 3 1 ∴a ＋b ＋c ≥ . 3
(1)若函数 f(x)为理想函数，求 f(0)的值； (2)判断函数 g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，并予以 证明． 解析：(1)取 x1＝x2＝0，可得 f(0)≥f(0)＋f(0)⇒f(0)≤0. 又由条件①f(0)≥0，故 f(0)＝0. (2)显然 g(x)＝2x－1 在[0,1]满足条件①g(x)≥0，
1．下列说法不正确的是( D ) A．综合法是由因导果的顺推证法 B．分析法是执果索因的逆推证法 C．综合法与分析法都是直接证法 D．综合法与分析法在同一题中不可能同时采用
2．用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是( C )
A．将结论与条件同时否定，推出矛盾 B．肯定条件，否定结论，推出矛盾
C．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论与原条件
项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想 方法以及推理和运算能力．
a1＝ 2＋1 解析：(1)由已知得 3a1＋3d＝9＋3
2
，∴d＝2，
故 an＝2n－1＋ 2.Sn＝n(n＋ 2)． Sn (2)由(1)得 bn＝ ＝n＋ 2. n
假设数列{bn}中存在三项 bp、bq、br(p、q、r 互不相等)成等
4．若三角形能被分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角 形一定是( B ) A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形
形与原三角形相似．
D．不能确定
解析：过直角三角形的直角顶点作斜边的高，所得的三角
5．要证明不等式 6＋ 7>2 2 2 ＋ 7) >(2 2 ＋ 5) __________________.
2
1 1 2 a ＋ 2＋4≥a ＋2＋ 2＋2 a a
2 2
1 2a＋a＋2，
1 1 从而只要证 2 a ＋ 2≥ 2a＋a， a 2 1 2 1 只要证 4 a ＋a2 ≥2 a ＋2＋a2，
1 即 a2＋ 2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立． a
2 2
所以 p 不能推出 q，所以选 D.
例 5：对于定义域为[0,1]的函数 f(x)，如果同时满足以下三
条：①对任意的 x∈[0,1]，总有 f(x)≥0；②f(1)＝1；③若 x1≥0，
x2≥0，x1＋x2≤1，都有 f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数 f(x) 为理想函数．
(1)综合法证不等式时，以基本不等式为基 础，以不等式的性质为依据，进行推理论证．因此，关键是找 到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质．
(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要