浅议三角形解的个数

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三角形解的个数的进一步讨论

龙源期刊网三角形解的个数的进一步讨论作者：刘振龙来源：《新课程·教师》2016年第03期在学习了正弦定理、余弦定理之后，学生经常对如何判断三角形解的个数而烦扰。

结合初中全等三角形的判定定理，若已知三角形的三边（且符合任意两边之和大于第三边）、两边一夹角、两角一边，则该三角形有唯一解。

但是如果已知三角形的两边及其中一边的对角时，解的情况又如何呢？普通高中课程标准实验教科书《数学必修5》在第8页到第9页的“探究与发现《解三角形的进一步讨论》”中有详细的说明（此处略），但分类种数较多，学生容易混淆结论，故在实际操作中仍存在很多困惑。

因此，针对学生的具体学情，笔者以课堂实例为依托，对已知“两边一对角”的三角形解的个数问题进行多种方法的探究讨论。

方法二：画圆找交点解：由于角A为已知角，故先画出角A，在角A的其中一边上确定顶点C，使得AC=24，即b=24，接着以点C为圆心，a=18为半径画圆，观察所画得的圆与角A的另一边出现的交点个数（交点即为三角形的顶点B），若没有交点，则说明该三角形无解；若只有一个交点，则说明该三角形解的个数为1个；若有两个交点，则说明该三角形解的个数为2个。

如图所示，以C为圆心，为半径所画得的圆与角A的另一边交于B1，B2两点，故该三角形有两解。

在判断交点个数时，可利用半径a与过点C作射线AB1的垂线段CH的长度大小进行对比：若a数学教学活动中，不断渗透、总结相关的数学思想并有效地理解掌握，对于寻找解题途径和提高解题能力具有重大意义。

上述方法体现了数学学习中常见的分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等多种数学思想。

当面临问题时，先思考该问题所属类别，尽可能多地联想解决此类问题所能包含的各种数学思想，选择其中一种或多种思想予以解决。

所以，平时注重对数学思想的认识归纳和掌握，对于提升认识并解决问题的能力大有益处。

编辑尹军。

浅议三角形解的个数

浅议三角形解的个数学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼，当三角形中已知两边和其中一边的对角（锐角）时，可能出现一解、二解、无解等情况，虽然书上也有相应的方法，可是一些同学依旧茫然。

下面通过自己的教学经验，从几何和代数两个方面来阐述下三角形解的个数问题，希望能帮助同学们顺利破解。

几何法：为了学生更好的掌握这个题型：在△ABC 中，已知A （锐角），b,c ，问三角形解的个数。

特强调了，角的对高，对边，邻边三个名词。

如图（角A ）对高：CD (bsinA )，对边：BC （a ），邻边：AC （b ）。

以C 点为圆心，a 为半径（a 的值从小到大）画弧，分别与线段AB 出现无交点，一个交点，两个交点，一个交点的情况。

无解：bsinA>a 一解：bsinA =a两解：bsinA <a<b 一解：a ≥b例1：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b ＝3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个解：bsinA= 3λsin45°=62λ>λ=a,(λ>0)，无解。

答案：A练习1：在△ABC 中, 已知a=20, b=40,A=60°, 则此三角形的解为 ( )A. 有一解B. 有两解C. 无解D.解的个数不确定代数法：1.在正弦定理中用三角函数值的有界性和大角对大边在已知△ABC 中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理求解，先利用三角函数的有界性来判断，再结合“大边对大角”来△判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值。

上例：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b ＝3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个另解：直接根据正弦定理可得a sin A ＝b sin B ，可得sin B ＝bsin A a ＝3λsin 45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0. 答案：A例2：在△ABC 中，已知3a =，2b =，B=45°，求A 、C 及c 。

三招破解三角形解的个数问题(打印)

案例二：直角三角形解的个数问题
总结词
直角三角形解的个数问题需要利用勾股定理和三角形的基本性质，通过数形结合和分类讨论求解。
详细描述
直角三角形有一个角为90度，可以利用勾股定理求出斜边长度。然后利用三角形的性质，通过数形结合的方式，进行分类讨论求解。同样需要注意排除不符合三角形基本性
质的解。
案例三：等边三角形解的个数问题
三招破解三角形解的个数问题(打印)
目录
• 三角形解的个数问题的概述 • 三角形解的个数问题的解题方法 • 三角形解的个数问题的应用场景 • 三角形解的个数问题的案例分析 • 三角形解的个数问题的总结与展望
01
三角形解的个数问题的概述
三角形解的个数问题的定义
01
三角形解的个数问题是指在给定一组边长后，判断这组边长能否构成三角形，以及构成三角形的可能个数。
具体例子：在求解与正弦、余弦函数有关的代数方程时，需要考虑方程在不同区间上的解的个数，以及是否满足三角函数的周期性和图像性质。
代数题
代数题中三角形解的个数问题通常涉及到代数方程的解的个数，需要利用代数方程的性质和求解方法来判断解的个数。例如，在求解与三角形边长和角度有关的代数方程时，需要考虑不同情况下解的个数。
的方法。
三角函数法主要涉及三角函数的周期性和振幅，通过分析三角函数的图像来确定三角形的解的个
数。
三角函数法需要熟练掌握三角函数的性质和图像，对于一些特殊的问题可能需要找到合适的三角
函数表达式。
03
三角形解的个数问题的应用场景
几何题
三角形解的个数问题在几何题中常常涉及到三角形边长和角度的关系，需要利用三角形的性质和定理来判断解的个数。例如，在求解等腰三角形、直角三角形、等边三角形等问题时，需要考虑不同情况下解的个数。

三招破解三角形解的个数问题

三角形解的个数问题学了正.余弦定理后,许多同窗为断定三角形的解的个数而懊末路．知道3边,2角1边,2边及其夹角时不会消失两解;在已知三角形的双方及个中一边的对角（即“边边角”）的前提下解三角形时,解的个数有几个呢？一解,二解照样无解？《必修5》在第8页到第9页的“探讨与发明”《解三角形的进一步评论辩论》有具体解释．即在已知ABC ∆中的边长a ,b 和角A ,且已知a ,b 的大小关系,常运用正弦定理求出sin B 的值,①若该值大于1,与sin 1B ≤抵触,则无解;②若该值小于或等于1,则要斟酌a ,b 的大小关系及A 为锐角照样钝角：若A 是钝角,且该值小于1,则有1解,若该值等于1,则无解;若A 是锐角,且b a >,则有1解;若b a <,且该值小于1,则有2解;b a <,且该值等于1,则有1解．但分类层次多,分类种数多,重视形,又指定边角,不轻易被学生所接收．即本节能懂得,操纵运用起来也很不便利．下面供给“几招”供同窗们选择,愿望能帮忙同窗们顺遂破解．第一招：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ,b 和角A ,且已知a ,b 的大小关系,常运用正弦定理联合“大边对大角”来断定三角形解的个数,一般的做法如下,起首运用大边对大角,断定出角B 与角A 的大小关系,然后求出B 的值,依据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中,已知a =b =45B =︒,求A .C 及c ．解：由正弦定理,得sin sin a B A b ===4590B =︒<︒,b a <,∴60A =︒或120︒．当60A =︒时,75C =︒,sin sin b C c B === 当120A =︒时,15C =︒,sin sin b C c B ===．点评：在三角形中,sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含前提,在运用时我们要留意发掘．第二招：二次方程的正根个数一般地,在ABC ∆中的边长a ,b 和角A ,经常可对角A 运用余弦定理,并将其整顿为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=,若该方程无解或只有负数解,则该三角形无解;若方程有一个正数解,则该三角形有一解;若方程有两个不等的正数解,则该三角形有两解． A BCD【例2】如图,在四边形ABCD 中,已知AD CD ⊥,10AD =,14AB =,60BDA ∠=︒,135BCD ∠=︒,求BC 的长．解：在ABD ∆中,设BD x =,由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒,整顿得210960x x --=,解得16x =．由正弦定理,得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒点评：已知三角形双方和个中一边的对角,我们可以采取正弦定理或余弦定理求解,从上述例子可以看出,运用余弦定理联合二次方程来断定显得加倍简捷．第三招：画圆法已知ABC ∆中,A 为已知角（90≠︒）,先画出A ,肯定极点A ,再在A 的一边上肯定极点C ,使AC边长为已知长度,最后以极点C 为圆心,以CB 边长为半径画圆,看该圆与A 的另一边是否有交点,假如没有交点,则解释该三角形的解的个数为0;如有一个交点,则解释该三角形的解的个数为1;如有两个交点,则解释该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中,60A ∠=︒,a =3b =,则ABC ∆解的情形（）（A ）无解（B ）有一解（C ）有两解（D ）不克不及肯定解：在A 的一边上肯定极点C ,使3AC b ==,作60CAD ∠=︒,以极点C 为圆心,认为CB a ==,看该圆与AD 没有交点, 则解释该三角形的解的个数为0,故选A ． A b C a D。

三角形解的个数问题的解法优化

三角形解的个数问题的解法优化问题在ABC ∆中，已知A 、a 、b ，确定此三角形解的个数． 1．教材提供的解决方案(1)当A 为直角或钝角时，若a b >，则有一解，若a b ≤，则无解； (2)当A 为锐角时，如下表此方案虽逻辑清晰、思维严谨，但分类较为抽象、繁琐，既不易记忆，又不易正确运用． 2．优化方案当A 为直角或钝角且a b ≤时无解．其余情况下，计算sin sin b AB a =之值，参照下图进行判断即可：具体来说，是借助于sin B 的值与0、sin A 、1大小关系来确定三角形解的个数．如下表：3．原理(1)当A 为直角或钝角时，若0sin sin B A <<则a b >，故有一解，若a b ≤，则无解； (2)当A 为锐角时，如下表：例1 ABC ∆中，a =b =sin 2B =，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个解析先利用正弦定理求出sin A 的值，再依a 与b 的大小，sin A 与sin B 的大小，就可迅捷判断三角形解的个数．依sin sin a B A b ==，1<< 即sin sin 1B A << 又b a <，知B 为锐角．故符合条件的三角形，应选B ．例2 在ABC ∆中，2a =，b x =，60A =，当x 取何值时，ABC ∆无解？有一解？有两解？解析先利用正弦定理求出sin B 的值，再通过比较a 与b ，sin A 与sin B 的大小，就可一招制胜，巧妙解题．依sin sin 4b A B x a ==．若ABC ∆无解，则sin 1B >1x >，得x >若ABC ∆有一解，则sin 1B =或0sin sin B A <≤， 1x =或0<≤，得x =02x <≤；若ABC ∆有二解，则sin sin 1A B <<，即124x <<，得23x <<．综上所述，当x >ABC ∆无解；当x =02x <≤时，ABC ∆有一解；当2x <<时，ABC ∆有两解．巩固练习1．已知ABC ∆中，b =2c =，6C π=，若三角形有两解，则符合条件的三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个2．（2015三门峡模拟）已知ABC ∆中，a x =，2b =，45B =，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．2x >B ．2x <C ．2x <<．2x <<可见，利用正弦定理研究三角形解的个数时，若能先利用正弦定理求出某个角的正弦，再利用该正弦值与已知角的正弦值间的大小关系，相应的两边间的大小关系，就可出奇制胜，迅捷判断三角形解的个数．参考文献：[1] 张新生. 谈应用正弦定理讨论三角形解的个数[J]. 兵团教育学院学报, 2013,(3).。

重点突破：判断三角形解的个数问题

2 3 a sinA
0
=
b sinB
，即 1 =
2
3
3 3 sinB
∴B=60°或 B=120°．故选：C . 点睛：本题主要考查正弦定理解三角形，属于简单题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个
主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 , 当条件中同时出现 ab 及b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 5．D 【解析】分析：利用正弦定理即可得出. 详解：由正弦定理可得：
5 1 , B 1500 符合两解。选 D. 9 2
bsinA 0 ， A 中 sinB 1, B 90 ， 1 解，不符。 C 中 sinB 2 1 ， a
【点睛】
在己知两边一对角的题型中，有钝角或直角最多一解，己知角所对边为大边，最多一解，其余情况根据三角形内角和 180 ，大边对大角来判断。 4．C【解析】分析：利用正弦定理求出 sinB，得出 B，利用内角和定理进行检验．详解：由正弦定理得 ∴sinB= ．π 2π π源自）B.2π 3
C.
π 3
D.
π 4
2．已知 ABC 中， a A. 0 个 B. 1个
0
2, b 3, A 45 ，则三角形的解的个数（
D. 0 个或 1个
）
）
C. 2 个
3．在 ABC 中，利用正弦定理理解三角形时，其中有两解的选项是（ A. a 3, b 6, A 30 B. a 6, b 5, A 150 D. a

三角形解的个数问题

05
三角形解的个数问题的扩展和深化
三角形解的个数问题的推广
要点一
推广到多边形
要点二
推广到组合优化
将三角形解的个数问题推广到多边形，研究多边形的可解性、解的个数和最优解等问题。
将三角形解的个数问题看作是组合优化问题的一种，研究其他组合优化问题的解法，如旅行商问题、排班问题等。
三角形解的个数问题的变种
详细描述
在几何问题中，三角形解的个数问题通常涉及到三角形边长和角度的条件约束。根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。同时，角度的条件也会影响三角形解的个数。通过分析这些条件，可以判断三角形解的个数。
三角函数中的三角形解的个数问题
总结词
三角函数中的三角形解的个数问题主要涉及到三角函数的性质和图象，通过分析三角函数的性质和图象，判断三角形解的个数。
考虑三角形边的长度
在三角形解的个数问题中，可以考虑三角形的边长限制，研究不同边长条件下三角形的可解性。
考虑三角形角度
在三角形解的个数问题中，可以考虑三角形的角度限制，研究不同角度条件下三角形的可解性。
三角形解的个数问题与其他数学知识的结合
与几何学结合
将三角形解的个数问题与几何学知识相结合，研究几何图形中的可解性问题，如多边形、曲面等。
与图论结合
将三角形解的个数问题与图论知识相结合，研究图论中的可解性问题，如子图、路径、连通性等。
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THANKS
三角形解的个数问题
目录
• 三角形解的个数问题的定义和分类 • 三角形解的个数问题的基本定理和公式 • 三角形解的个数问题的应用实例 • 三角形解的个数问题的解题技巧和方法 • 三角形解的个数问题的扩展和深化

关于三角形解的个数的两个结论

勞题探索1
錢穿昌齒燄餛闽令
2021年第6期
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中学数学教学参考（上旬）
党忠良，王历权，瞿明强（重庆市育才中学校）
摘要：对“已知三角形的两边及一边的对角，解三角形 ”，文章研究了两个问题：如何借用三角形的外接圆判断三角形解的个数；使用余弦定理解三角形时，如何对解进行取舍。关键词：解三角形；外接圆；余弦定理文章编号：1002-2171 (2021)6-0057-03
是一一对应的。利用这一对应关
系，可以判断已知两边及一边的对
角时解的情况，并解决相应问题。
结论 1 : 在 A A B C 中，已知 a ，6 和 A ，2尺
是A A B C 的外接圆半径，用正弦定理解三角
外接圆法：因为 sin A
C ，所以 sin C
csin A _ V6^X sin45° _ y^3 ，由
— A ：V 2 =
2尺知，此时优弧 i 上存在两个点 A ,，A 2 到点 B 的距
离为W ，即三角形有两个解。题目 3:在 A A B C 中，^ = 1 ，6 = 2 ，召 =45°，若这个
分析A A B C 外接圆半径尺的范围即可。显然 2/?能
取到的最小值是 A C = 2 W ，如图 5,此时 A = 45°(还可知三角形的解是唯一的）。如图 6 ，A A B C 的外接圆半径 R 变大时，总能在圆上找到（一个或两个）点 B

三招破解三角形解的个数问题

三角形解的个数问题之阿布丰王创作学了正、余弦定理后,很多同学为判断三角形的解的个数而烦恼．知道3边,2角1边,2边及其夹角时不会呈现两解；在已知三角形的两边及其中一边的对角（即“边边角”）的条件下解三角形时,解的个数有几个呢？一解,二解还是无解？《必修5》在第8页到第9页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》有详细说明．即在已知ABC ∆中的边长a ,b 和角A ,且已知a ,b 的年夜小关系,常利用正弦定理求出sin B 的值,①若该值年夜于1,与sin 1B ≤矛盾,则无解；②若该值小于或即是1,则要考虑a ,b 的年夜小关系及A 为锐角还是钝角：若A 是钝角,且该值小于1,则有1解,若该值即是1,则无解；若A 是锐角,且b a >,则有1解；若b a <,且该值小于1,则有2解；b a <,且该值即是1,则有1解．但分类条理多,分类种数多,注重形,又指定边角,不容易被学生所接受．即本节能理解,把持应用起来也很不方便．下面提供“几招”供同学们选择,希望能帮手同学们顺利破解．第一招：年夜角对年夜边在已知ABC ∆中的边长a ,b 和角A ,且已知a ,b 的年夜小关系,常利用正弦定理结合“年夜边对年夜角”来判断三角形解的个数,一般的做法如下,首先利用年夜边对年夜角,判断出角B 与角A 的年夜小关系,然后求出B 的值,根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中,已知a =b =45B =︒,求A 、C 及c ．解：由正弦定理,得sin sin a B A b ===,∵4590B =︒<︒,b a <,∴60A =︒或120︒．那时60A =︒,75C =︒,sin 75sin sin 45b C c B ︒===︒那时120A =︒,15C =︒,sin sin sin 452b C c B ︒===︒．点评：在三角形中,sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件,在使用时我们要注意挖掘．第二招：二次方程的正根个数一般地,在ABC ∆中的边长a ,b 和角A ,经常可对角A 应用余弦定理,并将其整理为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=,若该方程无解或只有负数解,则该三角形无解；若方程有一个正数解,则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解,则该三角形有两解．【例2】如图,在四边形ABCD 中,已知AD CD ⊥,10AD =,14AB =, 60BDA ∠=︒,135BCD ∠=︒,求BC 的长．解：在ABD ∆中,设BD x =,由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒,整理得210960x x --=,解得16x =．由正弦定理,得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒．点评：已知三角形两边和其中一边的对角,我们可以采纳正弦定理或余弦定理求解,从上述例子可以看出,利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．第三招：画圆法已知ABC ∆中,A 为已知角（90≠︒）,先画出A ,确定极点A ,再在A 的一边上确定极点C ,使AC边长为已知长度,最后以极点C 为圆心,以CB 边长为半径画圆,看该圆与A 的另一边是否有交点,如果没有交点,则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点,则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点,则说明该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中,60A ∠=︒,a =3b =,则ABC ∆解的情况（）（A ）无解（B ）有一解（C ）有两解（D ）不能确定解：在A 的一边上确定极点C ,使3AC b ==,作60CAD ∠=︒,以极点C 为圆心,以CB a ==为半径画圆,看该圆与AD 没有交点,A BC D A b C a D。

三招破解三角形解的个数问题

三角形解的个数问题之阳早格格创做教了正、余弦定理后，很多共教为推断三角形的解的个数而烦恼．知讲3边，2角1边，2边及其夹角时不会出现二解；正在已知三角形的二边及其中一边的对于角（即“边边角”）的条件下解三角形时，解的个数有几个呢？一解，二解仍旧无解？《必建5》正在第8页到第9页的“商量与创造”《解三角形的进一步计划》有仔细证明．即正在已知ABC ∆中的边少a ，b 战角A ，且已知a ，b 的大小闭系，常利用正弦定理供出sin B 的值，①若该值大于1，与sin 1B ≤冲突，则无解；②若该值小于或者等于1，则要思量a ，b 的大小闭系及A 为钝角仍旧钝角：假如A 钝角，且该值小于1，则有1解，若该值等于1，则无解；假如A 钝角，且b a >，则有1解；若b a <，且该值小于1，则有2解；b a <，且该值等于1，则有1解．但是分类条理多，分类种数多，注沉形，又指定边角，阻挡易被教死所担当．即原节能明白，支配应用起去也很不便当．底下提供“几招”供共教们采用，期视能助闲共教们成功破解．第一招：大角对于大边正在已知ABC ∆中的边少a ，b 战角A ，且已知a ，b 的大小闭系，常利用正弦定理分离“大边对于大角”去推断三角形解的个数，普遍的干法如下，最先利用大边对于大角，推断出角B 与角A 的大小闭系，而后供出B 的值，根据三角函数的有界性供解．【例1】正在ABC ∆中，已知a =b =45B =︒，供A 、C 及c ．解：由正弦定理，得sin sin 2a B A b ===，∵4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或者120︒．当60A =︒时，75C =︒，sin 75sin sin 45b C c B ︒===︒当120A =︒时，15C =︒，sin sin sin 452b Cc B ︒===︒．面评：正在三角形中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>那是个隐含条件，正在使用时咱们要注意掘掘．第二招：二次圆程的正根个数普遍天，正在ABC ∆中的边少a ，b 战角A ，时常可对于角A 应用余弦定理，并将其整治为闭于c 的一元二次圆程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该圆程无解或者惟有背数解，则该三角形无解；若圆程有一个正数解，则该三角形有一解；若圆程有二个不等的正数解，则该三角形有二解．【例2】如图，正在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =， 60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，供BC 的少．解：正在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒，整治得210960x x --=，解得16x =．由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒．面评：已知三角形二边战其中一边的对于角，咱们不妨采与正弦定理或者余弦定理供解，从上述例子不妨瞅出，利用余弦定理分离二次圆程去推断隐得越收简便．第三招：绘圆法已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒），先绘出A ，决定顶面A ，再正在A 的一边上决定顶面C ，使AC边少为已知少度，末尾以顶面C 为圆心，以CB 边少为半径绘圆，瞅该圆与A 的另一边是可有接面，如果不接面，则证明该三角形的解的个数为0；若有一个接面，则证明该三角形的解的个数为1；若有二个接面，则证明该三角形的解的个数为2．【例3】正在ABC ∆中，60A ∠=︒，a =3b =，则ABC ∆解的情况（）（A ）无解（B ）有一解（C ）有二解（D ）不克不迭决定解：正在A 的一边上决定顶面C ，使3AC b ==，做60CAD ∠=︒， A B C D A b C a D以顶面C为圆心，以CB a==AD不接面，则证明该三角形的解的个数为0，故选A．。

正弦定理解三角形解的个数判断正弦定理变形9种推导

一、解三角形的方法1.已知条件：三边一般解法：由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180°，求出角C在有解时只有一解。

2.已知条件：两边和其中一边的对角一般解法：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。

（或利用余弦定理求出c 边，再求出其余两角B、C）①若a>b，则A>B有唯一解；②若b>a，且b>a>bsinA有两解；③若a<bsinA则无解。

3.已知条件：一边和两角一般解法：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时，有一解。

4.已知条件：两边和夹角一般解法：由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180°求出另一角，在有解时有一解。

二、常用定理正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量，R是此三角形外接圆的半径)。

变形公式(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c(3)asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB(4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R面积公式(5)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h(原始公式)余弦定理a2=b2+c22bccosAb2=a2+c22accosBc2=a2+b22abcosC注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

变形公式cosC=(a2+b2c2)/2abcosB=(a2+c2b2)/2accosA=(c2+b2a2)/2bc1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=2R。

有以下一些变式：（1）；（2）；（3）。

三、正弦定理在解三角形中的应用：（1）已知两角和一边解三角形，只有一解。

关于三角形解的个数讨论的两个结论

关于三角形解的个数讨论的两个结论王志成江苏苏州市吴中区旅游职业学校们 215164题目：在△ABC 中，sinA=35，cosB=513，求cosC. 在教学中发现学生由于对判断三角形解的个数的方法掌握不透彻，往往导致这两题均是只有一解或都有两解．苏教版教材必修4教学参考书给出了下面的解法：在△ABC 中，若A 为锐角，∵sinA=35，cosB=513，∴cosA=45，sinB=1213．∴cosC=－cos （A+B ）=－cosAcosB+sinAsinB=－45×513+35×1213=1665．若A 为钝角，∵sinA=35，13252<<y=sinx 在(,)2ππ单调递减，∴3546A ππ<<．∵cosB=513<12，∴B>3π，则A+B>π，不可能！此解法主要采用分类讨论并结合正弦函数在区间(,)2ππ上的单调性给出的，我们不妨称为解法一．下面讨论三角形中蕴含的两个结论，并给出另外两种解法：结论1 在△ABC 中，有cosA+ cosB>0，cosB+ cosC>0，cosC+ cosA>0同时成立．∵A=180°- B -C <180°-B ，由于y=cosx 在[0，π] 单调递减， ∴cosA> cos （180°-B ），即cosA+ cosB>0，同样可得另外两个式子．解法二：在△ABC 中，若cosA=－45，则cosC=5665，此时 cosA+ cosB =－45+513<0，故只有cosA=45，此时cosC=1665．用此法求解，只要判断负的余弦值与其他两个余弦值的和的符号，从而对负值决定取舍即可．结论2 在△ABC 中，如果sinA<sinB ，则角A 只有一解；如果 sinB<sinA<1，则角A 有两解．在三角形中，角的大小关系等价于它们所对边的大小关系；根据正弦定理，三角形中，边的大小关系又等于它们所对角的正弦的大小关系．本结论在判定符合题意的解的个数时更加便捷．解法三：在△ABC 中，因为sinA=35，cosB=513，所以sinB=1213> sinA=35，所以A<B ，A 为锐角，所以cosA=45．例1 在△ABC 中，sinA=513，cosB=35，求cosC ． sinB=45> sinA=513，此时若B 为锐角，则B>A ，若B 为钝角，则180°—B>A ，即A+B<180°，符合题意，所以cosB=35±．例2 在△ABC 中，根据下列条件判别三角形解的个数．（1） a=2，A=45°，；（2） a=2，A=45°，（3） a=2，A=45°，b=3.解：在△ABC 中，根据正弦定理得sin B =sin b A a，对于（1）sin B =452︒=2>sinA ，故A 有两解；对于（2）sin B =452︒=4<sinA ，故A 有一解；对于（3）sin B =3sin 452︒=4>1，故无解．此法对于应用正弦定理解决“已知两边及一边的对角求另一边的对角”问题，它是判别三角形解的个数的有效方法．可见，此法简便快捷，不易出错，与前两法相比更有优越性．。

三角形解的个数问题

C b A
a
3 2
3
>
6
D
解：在 A 的一边上确定顶点 C ，使 AC b 3 ，作 CAD 60 ，以顶点 C 为圆心，以 CB a 6 为半径画圆，看该圆与 AD 没有交点，则说明该三角形的解的个数为 0，故选 A．
2．△ABC 中，已知 a＝x，b＝2，B＝45°.若解此 (2，2 2) ．三角形有两解，则 x 的取值范围是__________
当 A 45 时，三角形只有一解，舍去．故得 0 A 45 ．
o
o o
湖南师大附中2014届高考模拟卷（理科数学二）
6．若满足条件 C ， AB 3 ， BC a 的三角形有两个，则 a （） 3 A． (1, 2) B． ( 2, 3) C． ( 3, 2) D． ( 2, 2)
a b 无解若A为直角或钝角时: 锐角 a b一解
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三 s i n 角形时，只有当A为锐角且时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
b Aab
【例 1】在 ABC 中， A 60 ， a 6 ， b 3 ，则 ABC 解的情况（）（A）无解（B）有一解（C）有两解（D）不能确定
【解析】设 c＝AB＝ 3，b＝AC＝1，由于 B＝30°， 1 3 ∴c·sin B＝ 3×2＝ 2 ，c· sin B<b<c， ∴符合条件的三角形有两个． b c 1 3 3 ∵sin B＝sin C，即1＝sin C，∴sin C＝ 2 ， 2 ∴C＝60°或 120°，∴A＝90°或 30°， 1 3 3 又 S△ABC＝2bcsin A，∴S△ABC＝ 2 或 4 ，故选 D.

正弦定理判断三角形解的个数

正弦定理判断三角形解的个数
正弦定理是解三角形的重要定理之一，其可用于判断一个三角形是否能够得出唯一的解，以下是详细内容：
三角形是一个基本的几何形体，其由三条边和三个角组成。

在解决三角形问题时，经常需要确定三角形的形态和大小，即确定三角形的边长和角度大小。

在这个过程中，正弦定理是一个非常有用的定理。

正弦定理是指：在任意三角形ABC中，有以下公式成立：
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R （其中a、b、c为三角形任意两边之比，A、B、C为任意两角的正弦值之比，R为三角形的外接圆半径）
这个公式可以用来求解三角形的边长、角度和外接圆的半径等信息。

同时，正弦定理也可以用来判断一个三角形是否能够得出唯一的解。

具体来说，当已知三角形的两边和夹角时，可以通过正弦定理求出第三边的长度。

但是，如果已知的两边和夹角不能够满足正弦定理的条件，那么就不能够得出唯一的解。

具体而言，当正弦定理中的分母为0时，就不能够得出唯一的解。

例如，如果已知一个三角形的两边分别为3和4，夹角为90度，那么可以通过正弦定理求出第三边的长度为5。

但是，如果已知的两边分别为3和4，夹角为30度，那么通过正弦定理求得的第三边长度不唯一，因为在这种情况下正弦定理中的分母为0。

在这种情况下，必须要通过其他的定理或方法来判断三角形的解是否唯一。

总之，正弦定理是一个非常有用的定理，可以用来求解三角形的各种信息，同时也可以用来判断三角形是否能够得出唯一的解。

掌握正弦定理的应用方法和注意事项，对于解题是非常有帮助的。

如何判断三角形解的个数

如何判断三角形解的个数
令狐采学
曹贤波
“已知两边和其中一边的对角”解三角形，这类问题通常利用正弦定理来讨论。

本文给出用余弦定理的变形来讨论的一般方法。

在△ABC中，已知a、b和A，由余弦定理
可变形得：
这是一个关于c的一元二次方程。

1. 若方程（*）有两个不相等的实数根，且：
（1），则此三角形有两解；
（2），则此三角形有一解；
（3），则此三角形无解。

2. 若方程（*）有两个相等的实数根，且：
（1），则此三角形有一解；
（2），则此三角形无解。

3. 若方程（*）无实数根，则此三角形无解。

综合分析以上各种情况，可以发现：方程（*）有几个正实数根，三角形就有几个解；因此，遇到该类问题，就可以转化为方程（*）正实数根的个数了，比用正弦定理讨论起来更简捷，更实用，且具有公式化。

例：根据下列条件，判断△ABC解的个数。

（1）；
（2）；
（3）。

解：由变式（*）得如下方程：
（1）
即，所以，故此三角形无解。

（2）
即
所以，故此三角形只有一解；
（3）
即
所以，故此三角形有两解。

如何判断三角形解的个数

如何判断三角形解的个数曹贤波“已知两边和其中一边的对角”解三角形，这类问题通常利用正弦定理来讨论。

本文给出用余弦定理的变形来讨论的一般方法。

在△ABC中，已知a、b和A，由余弦定理可变形得：这是一个关于c的一元二次方程。

1. 若方程（*）有两个不相等的实数根，且：（1），则此三角形有两解；（2），则此三角形有一解；（3），则此三角形无解。

2. 若方程（*）有两个相等的实数根，且：（1），则此三角形有一解；（2），则此三角形无解。

3. 若方程（*）无实数根，则此三角形无解。

例：根据下列条件，判断△ABC解的个数。

（1）；（2）；（3）。

解：由变式（*）得如下方程：（1）即，所以，故此三角形无解。

（2）即所以，故此三角形只有一解；（3）即所以，故此三角形有两解。

两招破解三角形解的个数问题学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼，当三角形中已知两边和其中一边的对角时，可能出现一解、二解、无解等情况，虽然书上也有相应的方法，可是一些同学茫然依旧，下面提供“两招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解。

第一招：大角对大边在已知三角形ABC 中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解。

例1. 在△ABC 中，已知3a =，2b =，︒=45B ，求A 、C 及c 。

解：由正弦定理，得23245sin 3b B sin a A sin =︒==，因为︒<︒=9045B ，a b <，所以︒=60A 或︒120。

当︒=60A 时，︒=75C ， 22645sin 75sin 2B sin C sin b c +=︒︒==；当︒=120A 时，︒=15C ， 22645sin 15sin 2B sin C sin b c -=︒︒==。