浅议三角形解的个数
三角形解的个数的进一步讨论
龙源期刊网 三角形解的个数的进一步讨论作者：刘振龙来源：《新课程·教师》2016年第03期在学习了正弦定理、余弦定理之后，学生经常对如何判断三角形解的个数而烦扰。
结合初中全等三角形的判定定理，若已知三角形的三边（且符合任意两边之和大于第三边）、两边一夹角、两角一边，则该三角形有唯一解。
但是如果已知三角形的两边及其中一边的对角时，解的情况又如何呢？普通高中课程标准实验教科书《数学必修5》在第8页到第9页的“探究与发现《解三角形的进一步讨论》”中有详细的说明（此处略），但分类种数较多，学生容易混淆结论，故在实际操作中仍存在很多困惑。
因此，针对学生的具体学情，笔者以课堂实例为依托，对已知“两边一对角”的三角形解的个数问题进行多种方法的探究讨论。
方法二：画圆找交点解：由于角A为已知角，故先画出角A，在角A的其中一边上确定顶点C，使得AC=24，即b=24，接着以点C为圆心，a=18为半径画圆，观察所画得的圆与角A的另一边出现的交点个数（交点即为三角形的顶点B），若没有交点，则说明该三角形无解；若只有一个交点，则说明该三角形解的个数为1个；若有两个交点，则说明该三角形解的个数为2个。
如图所示，以C为圆心，为半径所画得的圆与角A的另一边交于B1，B2两点，故该三角形有两解。
在判断交点个数时，可利用半径a与过点C作射线AB1的垂线段CH的长度大小进行对比：若a数学教学活动中，不断渗透、总结相关的数学思想并有效地理解掌握，对于寻找解题途径和提高解题能力具有重大意义。
上述方法体现了数学学习中常见的分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等多种数学思想。
当面临问题时，先思考该问题所属类别，尽可能多地联想解决此类问题所能包含的各种数学思想，选择其中一种或多种思想予以解决。
所以，平时注重对数学思想的认识归纳和掌握，对于提升认识并解决问题的能力大有益处。
编辑尹军。
浅议三角形解的个数
浅议三角形解的个数学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼，当三角形中已知两边和其中一边的对角（锐角）时，可能出现一解、二解、无解等情况，虽然书上也有相应的方法，可是一些同学依旧茫然。
下面通过自己的教学经验，从几何和代数两个方面来阐述下三角形解的个数问题，希望能帮助同学们顺利破解。
几何法：为了学生更好的掌握这个题型：在△ABC 中，已知A （锐角），b,c ，问三角形解的个数。
特强调了，角的对高，对边，邻边三个名词。
如图（角A ）对高：CD (bsinA )，对边：BC （a ），邻边：AC （b ）。
以C 点为圆心，a 为半径（a 的值从小到大）画弧，分别与线段AB 出现无交点，一个交点，两个交点，一个交点的情况。
无解：bsinA>a 一解：bsinA =a两解：bsinA <a<b 一解：a ≥b例1：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b ＝3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个解：bsinA= 3λsin45°=62λ>λ=a,(λ>0)，无解。
答案：A练习1：在△ABC 中, 已知a=20, b=40,A=60°, 则此三角形的解为 ( )A. 有一解B. 有两解C. 无解D.解的个数不确定代数法：1.在正弦定理中用三角函数值的有界性和大角对大边在已知△ABC 中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理求解，先利用三角函数的有界性来判断，再结合“大边对大角”来△判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值。
上例：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b ＝3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个 另解：直接根据正弦定理可得a sin A ＝b sin B ，可得sin B ＝bsin A a ＝3λsin 45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0. 答案：A例2：在△ABC 中，已知3a =，2b =，B=45°，求A 、C 及c 。
三招破解三角形解的个数问题(打印)
案例二：直角三角形解的个数问题
总结词
直角三角形解的个数问题需要利用勾股定理和三角形的基本性质，通过数形结合和分类 讨论求解。
详细描述
直角三角形有一个角为90度，可以利用勾股定理求出斜边长度。然后利用三角形的性 质，通过数形结合的方式，进行分类讨论求解。同样需要注意排除不符合三角形基本性
质的解。
案例三：等边三角形解的个数问题
三招破解三角形解 的个数问题(打印)
目 录
• 三角形解的个数问题的概述 • 三角形解的个数问题的解题方法 • 三角形解的个数问题的应用场景 • 三角形解的个数问题的案例分析 • 三角形解的个数问题的总结与展望
01
三角形解的个数问题 的概述
三角形解的个数问题的定义
01
三角形解的个数问题是指在给定 一组边长后，判断这组边长能否 构成三角形，以及构成三角形的 可能个数。
具体例子：在求解与正弦、余弦函数有关的代数方程时， 需要考虑方程在不同区间上的解的个数，以及是否满足三 角函数的周期性和图像性质。
代数题
代数题中三角形解的个数问题通常涉及到代数方程的解的个数，需要利用代数方程的性质和求解方法 来判断解的个数。例如，在求解与三角形边长和角度有关的代数方程时，需要考虑不同情况下解的个 数。
的方法。
三角函数法主要涉及三角函数的 周期性和振幅，通过分析三角函 数的图像来确定三角形的解的个
数。
三角函数法需要熟练掌握三角函 数的性质和图像，对于一些特殊 的问题可能需要找到合适的三角
函数表达式。
03
三角形解的个数问题 的应用场景
几何题
三角形解的个数问题在几何题中常常涉及到三角形边长和角 度的关系，需要利用三角形的性质和定理来判断解的个数。 例如，在求解等腰三角形、直角三角形、等边三角形等问题 时，需要考虑不同情况下解的个数。
三招破解三角形解的个数问题
三角形解的个数问题学了正.余弦定理后,许多同窗为断定三角形的解的个数而懊末路．知道3边,2角1边,2边及其夹角时不会消失两解;在已知三角形的双方及个中一边的对角（即“边边角”）的前提下解三角形时,解的个数有几个呢？一解,二解照样无解？《必修5》在第8页到第9页的“探讨与发明”《解三角形的进一步评论辩论》有具体解释．即在已知ABC ∆中的边长a ,b 和角A ,且已知a ,b 的大小关系,常运用正弦定理求出sin B 的值,①若该值大于1,与sin 1B ≤抵触,则无解;②若该值小于或等于1,则要斟酌a ,b 的大小关系及A 为锐角照样钝角： 若A 是钝角,且该值小于1,则有1解,若该值等于1,则无解;若A 是锐角,且b a >,则有1解;若b a <,且该值小于1,则有2解;b a <,且该值等于1,则有1解．但分类层次多,分类种数多,重视形,又指定边角,不轻易被学生所接收．即本节能懂得,操纵运用起来也很不便利．下面供给“几招”供同窗们选择,愿望能帮忙同窗们顺遂破解．第一招：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ,b 和角A ,且已知a ,b 的大小关系,常运用正弦定理联合“大边对大角”来断定三角形解的个数,一般的做法如下,起首运用大边对大角,断定出角B 与角A 的大小关系,然后求出B 的值,依据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中,已知a =b =45B =︒,求A .C 及c ．解：由正弦定理,得sin sin a B A b ===4590B =︒<︒,b a <,∴60A =︒或120︒． 当60A =︒时,75C =︒,sin sin b C c B === 当120A =︒时,15C =︒,sin sin b C c B ===． 点评：在三角形中,sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含前提,在运用时我们要留意发掘．第二招：二次方程的正根个数一般地,在ABC ∆中的边长a ,b 和角A ,经常可对角A 运用余弦定理,并将其整顿为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=,若该方程无解或只有负数解,则该三角形无解;若方程有一个正数解,则该三角形有一解;若方程有两个不等的正数解,则该三角形有两解． A BCD【例2】如图,在四边形ABCD 中,已知AD CD ⊥,10AD =,14AB =,60BDA ∠=︒,135BCD ∠=︒,求BC 的长．解：在ABD ∆中,设BD x =,由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒,整顿得210960x x --=,解得16x =．由正弦定理,得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒点评：已知三角形双方和个中一边的对角,我们可以采取正弦定理或余弦定理求解,从上述例子可以看出,运用余弦定理联合二次方程来断定显得加倍简捷．第三招：画圆法已知ABC ∆中,A 为已知角（90≠︒）,先画出A ,肯定极点A ,再在A 的一边上肯定极点C ,使AC边长为已知长度,最后以极点C 为圆心,以CB 边长为半径画圆,看该圆与A 的另一边是否有交点,假如没有交点,则解释该三角形的解的个数为0;如有一个交点,则解释该三角形的解的个数为1;如有两个交点,则解释该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中,60A ∠=︒,a =3b =,则ABC ∆解的情形（）（A ）无解（B ）有一解（C ）有两解（D ）不克不及肯定 解：在A 的一边上肯定极点C ,使3AC b ==,作60CAD ∠=︒,以极点C 为圆心,认为CB a ==,看该圆与AD 没有交点, 则解释该三角形的解的个数为0,故选A ． A b C a D。
三角形解的个数问题的解法优化
三角形解的个数问题的解法优化问题 在ABC ∆中，已知A 、a 、b ，确定此三角形解的个数． 1．教材提供的解决方案(1)当A 为直角或钝角时，若a b >，则有一解，若a b ≤，则无解； (2)当A 为锐角时，如下表此方案虽逻辑清晰、思维严谨，但分类较为抽象、繁琐，既不易记忆，又不易正确运用． 2．优化方案当A 为直角或钝角且a b ≤时无解． 其余情况下，计算sin sin b AB a =之值，参照下图进行判断即可：具体来说，是借助于sin B 的值与0、sin A 、1大小关系来确定三角形解的个数．如下表：3．原理(1)当A 为直角或钝角时，若0sin sin B A <<则a b >，故有一解，若a b ≤，则无解； (2)当A 为锐角时，如下表：例1 ABC ∆中，a =b =sin 2B =，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个解析 先利用正弦定理求出sin A 的值，再依a 与b 的大小，sin A 与sin B 的大小，就可迅捷判断三角形解的个数．依sin sin a B A b ==，1<< 即sin sin 1B A << 又b a <，知B 为锐角． 故符合条件的三角形，应选B ．例2 在ABC ∆中，2a =，b x =，60A =，当x 取何值时，ABC ∆无解？有一解？有两解？解析 先利用正弦定理求出sin B 的值，再通过比较a 与b ，sin A 与sin B 的大小，就可一招制胜，巧妙解题．依sin sin 4b A B x a ==．若ABC ∆无解，则sin 1B >1x >， 得x >若ABC ∆有一解，则sin 1B =或0sin sin B A <≤， 1x =或0<≤，得x =02x <≤；若ABC ∆有二解，则sin sin 1A B <<，即124x <<， 得23x <<．综上所述，当x >ABC ∆无解；当x =02x <≤时，ABC ∆有一解；当2x <<时，ABC ∆有两解．巩固练习1．已知ABC ∆中，b =2c =，6C π=，若三角形有两解，则符合条件的三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个2．（2015三门峡模拟）已知ABC ∆中，a x =，2b =，45B =，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．2x >B ．2x <C ．2x <<．2x <<可见，利用正弦定理研究三角形解的个数时，若能先利用正弦定理求出某个角的正弦，再利用该正弦值与已知角的正弦值间的大小关系，相应的两边间的大小关系，就可出奇制胜，迅捷判断三角形解的个数．参考文献：[1] 张新生. 谈应用正弦定理讨论三角形解的个数[J]. 兵团教育学院学报, 2013,(3).。
重点突破：判断三角形解的个数问题
0
=
b sinB
，即 1 =
2
3
3 3 sinB
∴B=60°或 B=120°． 故选：C . 点睛：本题主要考查正弦定理解三角形，属于简单题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个
主要依据. 解三角形时， 有时可用正弦定理， 有时也可用余弦定理， 应注意用哪一个定理更方便、 简捷一般来说 , 当条件中同时出现 ab 及b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运 用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 5．D 【解析】分析：利用正弦定理即可得出. 详解：由正弦定理可得：
5 1 , B 1500 符合两解。选 D. 9 2
bsinA 0 ， A 中 sinB 1, B 90 ， 1 解， 不符。 C 中 sinB 2 1 ， a
【点睛】
在己知两边一对角的题型中，有钝角或直角最多一解，己知角所对边为大边，最多一解，其余情况根据三角形内 角和 180 ，大边对大角来判断。 4．C【解析】分析：利用正弦定理求出 sinB，得出 B，利用内角和定理进行检验． 详解：由正弦定理得 ∴sinB= ．π 2π π源自）B.2π 3
C.
π 3
D.
π 4
2．已知 ABC 中， a A. 0 个 B. 1个
0
2, b 3, A 45 ，则三角形的解的个数（
D. 0 个或 1个
）
）
C. 2 个
3．在 ABC 中，利用正弦定理理解三角形时，其中有两解的选项是（ A. a 3, b 6, A 30 B. a 6, b 5, A 150 D. a
三角形解的个数问题
05
三角形解的个数问题的扩 展和深化
三角形解的个数问题的推广
要点一
推广到多边形
要点二
推广到组合优化
将三角形解的个数问题推广到多边形，研究多边形的可解 性、解的个数和最优解等问题。
将三角形解的个数问题看作是组合优化问题的一种，研究 其他组合优化问题的解法，如旅行商问题、排班问题等。
三角形解的个数问题的变种
详细描述
在几何问题中，三角形解的个数问题通常涉及到三角形边长和角度的条件约束。根据三角形的性质， 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。同时，角度的条件也会影响三角形解的个数。 通过分析这些条件，可以判断三角形解的个数。
三角函数中的三角形解的个数问题
总结词
三角函数中的三角形解的个数问题主要 涉及到三角函数的性质和图象，通过分 析三角函数的性质和图象，判断三角形 解的个数。
考虑三角形边的长度
在三角形解的个数问题中，可以考虑 三角形的边长限制，研究不同边长条 件下三角形的可解性。
考虑三角形角度
在三角形解的个数问题中，可以考虑 三角形的角度限制，研究不同角度条 件下三角形的可解性。
三角形解的个数问题与其他数学知识的结合
与几何学结合
将三角形解的个数问题与几何学知识相结合，研究几 何图形中的可解性问题，如多边形、曲面等。
与图论结合
将三角形解的个数问题与图论知识相结合，研究图论 中的可解性问题，如子图、路径、连通性等。
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THANKS
三角形解的个数问题
目 录
• 三角形解的个数问题的定义和分类 • 三角形解的个数问题的基本定理和公式 • 三角形解的个数问题的应用实例 • 三角形解的个数问题的解题技巧和方法 • 三角形解的个数问题的扩展和深化
关于三角形解的个数的两个结论
錢穿昌齒燄餛闽令
2021年第6期
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中学数 学教 学参考 （上 旬 ）
党 忠 良 ，王 历 权 ，瞿 明 强 （重 庆 市 育 才 中 学 校 ）
摘 要 ：对“已 知 三 角 形 的 两 边 及 一 边 的 对 角 ，解 三 角 形 ”，文 章 研 究 了 两 个 问 题 ：如 何 借 用 三 角 形 的 外 接 圆 判 断 三 角 形 解 的 个 数 ；使 用 余 弦 定 理 解 三 角 形 时 ，如 何 对 解 进 行 取 舍 。 关 键 词 ：解 三 角 形 ；外 接 圆 ；余弦定理 文 章 编 号 ：1002-2171 (2021)6-0057-03
是 一 一 对 应 的 。利用 这 一 对 应 关
系 ，可 以 判 断 已 知 两 边 及 一 边 的 对
角 时 解 的 情 况 ，并 解 决 相 应 问 题 。
结 论 1 : 在 A A B C 中 ，已 知 a ，6 和 A ，2尺
是A A B C 的 外 接 圆 半 径 ，用 正 弦 定理解三角
外 接 圆 法 ：因为 sin A
C ，所 以 sin C
csin A _ V6^X sin45° _ y^3 ，由
— A ：V 2 =
2尺 知 ，此 时 优 弧 i 上 存 在 两 个 点 A ,，A 2 到 点 B 的距
离为W ，即 三 角 形 有 两 个 解 。 题 目 3:在 A A B C 中 ，^ = 1 ，6 = 2 ，召 =45°，若这个
分析A A B C 外 接 圆 半 径 尺 的 范 围 即 可 。显 然 2/?能
取 到 的 最 小 值 是 A C = 2 W ，如 图 5,此 时 A = 45°(还 可 知 三 角 形 的 解 是 唯 一 的 ）。 如 图 6 ，A A B C 的外接 圆 半 径 R 变 大 时 ，总 能 在 圆 上 找 到 （一 个 或 两 个 ）点 B
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浅议三角形解的个数
作者：邢国亮
来源：《新课程学习·中》2014年第11期
学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼，当三角形中已知两边和其中一边的对角（锐角）时，可能出现一解、二解、无解等情况，虽然书上也有相应的方法，可是一些同学依旧茫然。
下面通过自己的教学经验，从几何和代数两个方面来阐述下三角形解的个数问题，希望能帮助同学们顺利破解。
一、几何法
为了学生更好地掌握这个题型：在△ABC中，已知∠A（锐角），b，c，问三角形解的个数。
特别强调了角的对高，对边，邻边三个名词。
如图（∠A）对高：CD（bsinA），对边：BC（a），邻边：AC（b）。
以C点为圆心，a为半径（a的值从小到大）画弧，分别与线段AB出现无交点，一个交点，两个交点，一个交点的情况。
例1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a=λ，b= λ（λ>0），
A=45°，则满足此条件的三角形个数是（）
A.0
B.1
C.2
D.无数个
解：bsinA= λsin45°= λ>λ=a，（λ>0），无解。
答案：A
练习1：在△ABC中，已知a=20，b=40，∠A=60°，则此三角形的解为（）
A.有一解
B.有两解
C.无解
D.解的个数不确定
二、代数法
1.在正弦定理中用三角函数值的有界性和大角对大边
在已知△ABC中的边长a，b和∠A，且已知a，b的大小关系，常利用正弦定理求解，先利用三角函数的有界性来判断，再结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出∠B与∠A的大小关系，然后求出∠B的值。
上例：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a=λ，b= λ（λ>0），
∠A=45°，则满足此条件的三角形个数是（）
A.0
B.1
C.2
D.无数个
另解：直接根据正弦定理可得 = ，可得sinB= = = >1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0。
答案：A
例2.在△ABC中，已知a= ，b= ，B=45°，求∠A、∠C及c。
解：由正弦定理，得
sinA= = =
因为∠B=45°
当∠A=60°时，∠C=75°，a>b ∠A>∠B sinA>sinB
c= = = ；
当∠A=120°时，∠C=15°，
c= = = 。
点评：在三角形中，这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘。
2.在余弦定理中用二次方程的正根个数
一般的，在△ABC中，已知a，b和∠A，常常可对∠A应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解。
例3.在△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，求BC的长。
解：由余弦定理得49=25+BC2-10BCcos120°，整理得：BC2+5BC-24=0，解得，BC=3
点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷。
补充练习：
（1）在△ABC中，已知a=80，b=100，∠A=45°，试判断此三角形的解的情况。
（2）在△ABC中，若a=1，C=12，∠C=40°，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在△ABC中，a=x cm，b=2 cm，∠B=45°，如果该三角形有两解，求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）2
编辑杨兆东。