最新人教版高中数学选修2-2第一章《利用导数判断函数的单调性》课后导练
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数的运算》课后导练
课后导练基础达标1.下列运算正确的是( )A.(ax 2-bx+c)′=a(x 2)′+b(-x)′B.(sinx-2x 2)′=(sinx)′-(2)′(x 2)′C.(cosx·sinx)′=(sinx)′cosx+(cosx)′·cosxD.(2cos x x )′=22)()(cos x x x '-' 答案:A2.y=cotx 的导数是() A.y′=x 2sin 1B.y′=x 2cos 1-C.y′=x 2sin 1-D.y′=x 2cos 1答案:C3.曲线f （x ）=x 3+x-2在P 0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0点的坐标为( )A.(1,0)或(-1,-4)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,4)答案:A4.设y=-2e x sinx,则y′等于( )A.-2e x cosxB.-2e x sinxC.2e x sinxD.-2e x (sinx+cosx) 解析:y′=-2(e x sinx+e x cosx)=-2e x (sinx+cosx).答案:D5.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x -100),则f′(0)等于( )A.100B.0C.100×99×98×…×3×2×1D.1解析:∵f(x)=x(x-1)(x-2)…(x -100),∴f′(x)=(x -1)(x-2)…(x -100)+x·［(x-1)·(x-2)…(x -100)］′.∴f′(0)=(-1)(-2)…(-100)=100×99×98×…×3×2×1.答案:C6.过原点作曲线y=e x 的切线，则切点的坐标为____________，切线的斜率为__________. 解析:将e x 求导知(e x )′=e x .设切点坐标为(x 0,e 0x ),则过该切点的直线的斜率为e0x . ∴直线方程为y-e=e0x (x-x 0). ∴y-e 0x =e 0x ·x-x 0·e 0x .∵直线过原点,∴(0,0)符合上述方程.∴x 0·e 0x =e 0x ,∴x 0=1.∴切点为(1,e),斜率为e.答案:(1,e)，e7.曲线y=x 3在点(a,a 3)(a≠0)处的切线与x 轴、直线x=a 所围成的三角形的面积为61,则a=__________________.解析:∵y=x 3,∴y′=3x 2.∴y=x 3在(a,a 3)点的切线斜率k 为k=3a 2.∴切线方程为y-a 3=3a 2(x-a),y=3a 2x-2a 3.令3a 2x-2a 3=0,得x=32a,即y=3a 2x-2a 3与x 轴交点横坐标为32. 令x=a,得y=3a 2×a-2a 3=a 3,即y=3a 2x-2a 3与x=a 交点纵坐标为a3.则S 三角形=21|3a ||a 3|=61， ∴a 4=1，∴a=1或-1.答案：1或-1.8.曲线y=2-21x 2与y=41x 3-2在交点处的切线夹角是.(以弧度数作答)解析:⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.24,2232x y x y x 3+2x 2-16=0⇒(x-2)(x 2+4x+8)=0⇒x=2. ∴两曲线只有一个交点.∵y′=(2-21x 2)′=-x, ∴当x=2时,y′=-2.又∵y′=(43x -2)′=43x 2,∴当x=2时,y′=3. ∴两曲线在交点处的切线斜率分别为-2,3.∴夹角的正切值的绝对值为|3)2(132⨯-+--|=1. ∴夹角为4π. 答案:4π 9.求下列函数的导数.(1)f(x)=(x 3+1)(2x 2+8x-5); (2)f(x)=xtanx-xcos 2; (3)f(x)=22ln xx x+. 分析:为简化运算,一般先化简再求导.解:(1)∵f′(x)=［2x 5+8x 4-5x 3+2x 2+8x-5］′,∴f′(x)=10x 4+32x 3-15x 2+4x+8. (2)f′(x)=]cos 2sin []cos 2cos sin ['-='-xx x x x x x =x x x x x xsix 2cos sin )2sin (cos )2(-+'- =xx x x x x x x x 22cos sin 2sin cos )cos sin (-++ =xx x x x x 2cos sin 2cos sin -++ =tanx+x x x x cos tan 2cos 2-. (3)f′(x)=(222ln xx x x -)′=(2ln x x )′+(22x x)′=4224222ln 22ln 1xx x x x x x x x x ∙-∙∙+∙-∙ =422)22(ln )ln 21(xx x x x x∙-∙+- =32)22(ln ln 21xx x x∙-∙+-. 10.已知f(x)=x 2+ax+b,g(x)=x 2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30,求g(4). 分析:题设中有四个数a 、b 、c 、d,确定它们的值需要四个方程.解:由f(2x+1)=4g(x),得4x 2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x 2+4cx+4d.于是有⎩⎨⎧=++=+)2(,41)1(,22d b a c a 由f′(x)=g′(x),得2x+a=2x+c,∴a=c. ③由f(5)=30,得25+5a+b=30. ④∴由①③可得a=c=2.由④得b=-5,再由②得d=21-. ∴g(x)=x 2+2x-21. 故g(4)=16+8-21=247. 综合运用 11.y=x x 4的导数是________________. 答案：y′=x x 44ln 1-. 12.设f(x)=x(1+|x|),则f′(x)=_________________.答案：f′(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+0.0,22x x x x x x 13.曲线y=x 2+1上点P 处的切线与曲线y=-2x 2-1也相切,求点P 的坐标. 分析:利用导数的几何意义.解:设P 点坐标为(a,a 2+1),由y=x 2+1,得y′=2x.过P 点的切线方程为y-(a 2+1)=2a(x-a),即y=2ax-a 2+1,由⇒⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=121222x y a ax y 由相切知此方程Δ=0,即a=±332, ∴P 点为(332,37),(332-,37). 14.当常数k 为何值时,直线y=x 才能与函数y=x 2+k 相切?并求出切点. 解:设切点A(x 0,x 20+k),∵y′=2x,∴⎩⎨⎧=+=.,120020x k x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.41,210k x 故当k=41时,直线y=x 与函数y=x 2+41的图象相切于点A 且坐标为(21,21). 15.设直线l 1与曲线y=x 相切于P,直线l 2过P 且垂直于l 1,若l 2交x 轴于Q 点,又作PK 垂直于x 轴于K,求KQ 的长.解:设P(x 0,y 0),则K 1l =y′|0x x ==021x , 由l 2和l 1垂直,故K 2l =-20x ,于是l 2:y-y 0=-20x (x-x 0), 令y=0,则-y 0=-20x (x Q -x 0),即-0x =-20x (x Q -x 0),解得x Q =21+x 0.易得x K =x 0, ∴|KQ|=|x Q -x K |=21. 拓展研究16.已知抛物线C 1:y=x 2+2x 和C 2:y=-x 2+a.如果直线l 同时是C 1和C 2的切线,称l 是C 1和C 2的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.(1)a 取什么值时,C 1和C 2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程.(2)若C 1和C 2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.(1)解:函数y=x 2+2x 的导数y′=2x+2,曲线C 1在点P(x 1,x 12+2x 1)的切线方程是y-(x 12+2x 1)=(2x 1+2)(x-x 1),即y=(2x 1+2)x-x 12.①函数y=-x 2+a 的导数y′=-2x,曲线C 2在点Q(x 2,-x 22+a)的切线方程是y-(-x 22+a)=-2x 2(x-x 2),即y=-2x 2x+x 22+a.②如果直线l 是过P 和Q 的公切线.则①式和②式都是l 的方程⎪⎩⎪⎨⎧+=--=+,,1222121a x x x x 消去x 2得方程2x 12+2x 1+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a).由Δ=0,得a=21-,解得x 1=21-,此时P 与Q 重合,即当a=21-时,C 1和C 2有且仅有一条公切线.由①得公切线方程为y=x-41. (2)证明:由(1)可知,当a<21-时,C 1和C 2有两条公切线,设一条公切线上切点为P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2),其中P 在C 1上,Q 在C 2上,则有x 1+x 2=-1,y 1+y 2=x 12+2x 1+(-x 22+a)=x 12+2x 1-(x 1+1)2+a=-1+a,线段PQ 的中点为(21-,21a +-). 同理,另一条公切线段P′Q′的中点也是(21-,21a +-), 所以公切线段PQ 和P′Q′互相平分.。
高中数学选修2-2第一章知识点及测试题
高中数学选修2-2知识点总结第一章 导数及其应用1. 平均变化率 xf x f x y x x ∆-∆+=∆∆)()(00 2. 导数（或瞬时变化率） x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0000导函数(导数)： xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(03. 导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f '(x 0)．4. 导数的运算：(1)几种常见函数的导数：①(C )′＝0(C 为常数)； ②(x α)′＝1x αα-(x ＞0，Q α∈)； ③(sin x )′＝cos x ； ④(cos x )′＝－sin x ； ⑤(e x )′＝e x ； ⑥(a x )′＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)； ⑦xx 1)(ln =； ⑧1(log )ln a x x a =(a ＞0，且a ≠1)．(2)导数的运算法则：①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③)0)(()()()()()(])()([2=/'-'='⋅x v x v x v x u x v x u x v x u . 5. 设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'。
高中数学选修2-2讲义：第一章 3 1 利用导数判断函数的单调性 含答案
1.3导数的应用1．3.1 利用导数判断函数的单调性已知函数y 1＝x ，y 2＝x 2，y 3＝1x的图像如图所示．问题1：试结合图像指出以上三个函数的单调性．提示：函数y 1＝x 在R 上为增函数，y 2＝x 2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y 3＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．问题2：判断它们的导数在其单调区间上的正、负．提示：y 1′＝1在R 上为正，y 2′＝2x ，在(－∞，0)上为负，在(0，＋∞)上为正，y 3′＝－1x2在 (－∞，0)及(0，＋∞)上均为负．问题3：结合问题1、2探讨函数的单调性与其导函数正负有什么关系？ 提示：当f ′(x )>0时，f (x )为增函数，当f ′(x )<0时，f (x )为减函数．利用导数判断函数单调性的法则函数的单调性与其导数正负的关系(1)利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是函数f (x )在某个区间上递增(或递减)的充分条件．(2)在区间(a ，b )内可导的函数f (x )在区间(a ，b )上递增(或递减)的充要条件应是[对应学生用书P14]f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)(x ∈(a ，b ))恒成立且f ′(x )在区间(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0.(3)特别地，如果f ′(x )＝0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内是常数函数．[例1] 求证：函数f (x )＝e x －x －1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数． [思路点拨] 根据函数的单调性与导数正负的关系，只要证明f ′(x )在(0，＋∞)上为正，在(－∞，0)上为负即可．[精解详析] 由于f (x )＝e x －x －1， 所以f ′(x )＝e x －1，当x ∈(0，＋∞)时，e x ＞1，即f ′(x )＝e x －1＞0. 故函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数，当x ∈(－∞，0)时，e x ＜1，即f ′(x )＝e x －1＜0. 故函数f (x )在(－∞，0)内为减函数．[一点通] 利用导数判断可导函数f (x )在(a ，b )内的单调性，步骤是：①求f ′(x )；②确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；③得出结论．1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝－x ＋ln (1＋x )解析：y ＝x e x ，则y ′＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )在(0，＋∞)上恒大于0. 答案：B2．证明函数f (x )＝x ＋sin x 在R 上是增函数． 证明：f ′(x )＝1＋cos x ，∵－1≤cos x ≤1，∴0≤1＋cos x ≤2，当且仅当cos x ＝－1，即x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f ′(x )＝0. ∴f (x )＝x ＋sin x 在R 上是增函数．3．讨论函数f (x )＝bxx 2－1(－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性．[对应学生用书P15]解：∵f ′(x )＝b (x 2－1)－bx ·2x (x 2－1)2＝－b (x 2＋1)(x 2－1)2，∴当b ＜0时，f ′(x )＞0，故f (x )在(－1,1)上是增函数， 当b ＞0时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－1,1)上是减函数．[例2] 求函数f (x )＝x 2－ln x 2的单调区间．[思路点拨] 求定义域―→求导数f ′(x )并分解因式―→ 在定义域内议论导数f ′(x )的符号―→写出单调区间[精解详析] 函数f (x )＝x 2－ln x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x ＝2(x －1)(x ＋1)x，由f ′(x )＞0得－1＜x ＜0或x ＞1；由f ′(x )＜0得x ＜－1或0＜x ＜1.因此，函数f (x )的单调递增区间是(－1,0)，(1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1)，(0,1)． [一点通] 确定可导函数f (x )的单调区间应遵循下列步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )＞0，f ′(x )＜0； (4)写出函数的单调区间．4．函数f (x )＝5x 2－2x 的单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫15，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，15 C.⎝⎛⎭⎫－15，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－15 解析：由f ′(x )＝10x －2＞0得x ＞15，即增区间为⎝⎛⎭⎫15，＋∞. 答案：A5．求函数f (x )＝e xx －2的单调区间．解：函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x (x －3)(x －2)2. 因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以e x ＞0，(x －2)2＞0. 由f ′(x )＞0得x ＞3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )＜0得x ＜3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3).[例3] (12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．[精解详析] f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.⇨(2分)要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的， 则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立．⇨(5分)∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立， ∴a ≤(2x 3)min .⇨(7分)∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.⇨(10分)当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))，有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，16]．⇨(12分)[一点通] 已知f (x )在区间(a ，b )上的单调性，求参数范围的方法：(1)利用集合的包含关系处理：f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理：f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在(a ，b )内恒成立，注意验证等号对有限个x 成立．6．如果函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a ≠0)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则常数a 的值为( )A ．1B ．2C ．－6D ．－12解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ，令6x 2＋2ax ＜0，当a ＞0时，解得－a3＜x ＜0，不合题意；当a ＜0时，解得0＜x ＜－a 3，由题意知－a3＝2，a ＝－6.答案：C7．若函数f (x )＝ax 3－x 2－x －5的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1，求实数a 的值． 解：因为f ′(x )＝3ax 2－2x －1，且函数f (x )＝ax 3－x 2－x －5的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1，所以3ax 2－2x －1＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，1，则－13，1是方程3ax 2－2x －1＝0的两根且a ＞0，代入可得a ＝1.8．已知f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围． 解：∵f (x )＝x 3－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2－a . 由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)， ∵f (x )在区间(－1,1)上不单调， ∴0＜3a3＜1，即0＜a ＜3.1．在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，只能在定义域内通过讨论导数的符号来确定函数的单调区间．2．一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间． 3．当给定问题中含有字母参数时，需要分类讨论确定单调区间． 4．两个单调性相同的区间，不能用并集符号连接．[对应课时跟踪训练(六)]1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间为( )A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：y ′＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1)x ，∵x ＞0，∴由y ′＜0得x ＜1，∴0＜x ＜1.答案：A2．设f ′(x )是函数f (x )的导数，y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的图像最有可能是选项中的( )解析：由y ＝f ′(x )的图像得：当－1<x <1时，f ′(x )>0，所以y ＝f (x )在(－1,1)上单调递增．因为当x <－1和x >1时，f ′(x )<0，所以y ＝f (x )在(－∞，－1)，(1 ，＋∞)上分别单调递减．综合选项得只有B 正确．答案：B3．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：在(0，＋∞)上，f ′(x )＝12x ＋1x>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．答案：A4．若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,1] C ．(－∞，1]D ．(0,1)解析：f ′(x )＝3x 2－2ax －1，∵f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1≤0在(0,1)内恒成立，∴f ′(0)≤0，f ′(1)≤0，∴a ≥1. 答案：A5．函数f (x )＝sin x －2x 的单调递减区间是________． 解析：∵f ′(x )＝cos x －2<0，∴f (x )在R 上为减函数． 答案：(－∞，＋∞)6．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．解析：若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b ＞0.答案：(0，＋∞)7．已知函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．解：∵函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a ＜0，b ＜0.由y ＝ax 3＋bx 2＋5，得y ′＝3ax 2＋2bx . 令y ′＞0，得3ax 2＋2bx ＞0， ∴－2b3a＜x ＜0.令y ′＜0，得3ax 2＋2bx ＜0， ∴x ＜－2b3a或x ＞0.∴函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－2b 3a ，0，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－2b 3a 和(0，＋∞)．8．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0.(1)求a 和b ；(2)试确定函数f (x )的单调区间； (3)求证当x >3时，f (x )>9.解：(1)∵f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，∴f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b ，由f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋b ＝－4，1＋2a ＋b ＝0.解得a ＝1，b ＝－3.(2)由(1)得f (x )＝13x 3＋x 2－3x ，f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x －1)(x ＋3)． 由f ′(x )＞0得x ＞1或x ＜－3； 由f ′(x )＜0得－3＜x ＜1.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)． (3)证明：由(2)知f (x )在(3，＋∞)上是增函数， ∴x >3时，f (x )>f (3)＝9.。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数的实际应用》课后导练
课后导练基础达标1.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（ ）A.6B.8C.10D.12解析：设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3，由题意，得V=x(48-2x)2(0＜x ＜24)，V′=12(24-x)(8-x).令V′=0，则在(0,24)内有x=8.故当x=8时，V 有最大值. 答案:B2.在半径为r 的半圆内作一内接梯形,使其底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形的面积最大时,梯形的上底长为（ ） A.2r B.r 23 C.r 33 D.r 解析:设梯形的上底长为2x,高为h,面积为S, 因为h=22x r +, ∴S=2222)(222x r x r x r x r -+=-+ ∴S′=2222222222))(2(2)(xr x r x r xr x rx r xr x r x x r -+-=---=-+--.令S′=0得x=2r ,h=23. 当x ∈(0,2r )时,S′>0;当2r<x<r 时,S′<0. ∴当x=2r时,S 取极大值. 当梯形的上底长为r 时,它的面积最大. 答案:D3.设底为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D.23V 解析：设底面边长为x ，侧棱长为l ，则V=21x 2·sin60°·l ， ∴l=234x V .∴S 表=2S 底+3S 侧=x 2·sin60°+3·x·l=23x 2+xV34. ∴V′=3x-234xV =0.∴x 3=4V .即x=34. 又当x ∈(0,34)时，y′＜0,x ∈(34,V)时，y′＞0，∴x=34时，表面积最小.答案：C4.以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（ ） A.10 B.15 C.25 D.50解析：如图，设∠NOB=θ，则矩形面积S=5sinθ·2·5cosθ=50sinθ·cosθ=25sin2θ，故S max =25.答案：C5.函数f(x)=x 3-3x(|x|＜1)( )A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，也无最小值D.无最大值，但有最小值 答案:C6.某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________________. 解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短.如右图所示，设场地宽为x 米，则长为x 512米，因此新墙总长度为L=2x+x 512(x ＞0),则L′=2-2512x.令L′=0,得x=±16.∵x ＞0，∴x=16.当x=16时,L 极小值=L min =64,∴堆料场的长为16512=32(米).答案：32 m,16 m7.(006江西南昌一模) 函数y=2x 3-3x 2-12x+5在［0，3］上的最大值、最小值分别是__________. 答案:5，-158.函数y=sin2x-x,x ∈［2π-,2π］的最大值是___________，最小值是____________.答案:2π 2π-9.将一段长为100厘米的铁丝截成两段，一段弯成圆，一段弯成正方形，问如何截能使正方形与圆面积之和最小，并求出最小面积.解：设弯成圆的一段长为x ，另一段长为100-x,正方形与圆的面积之和为S ，则S=π（π2x-）2+(4100x -)2(0＜x ＜100),所以S′=812-πx (100-x). 令S′=0得x=4100+ππ≈44(cm).由于在（0，100）内函数只有一个导数为0的点，故当x=4100+ππ时，S 最小,此时S=42500+π. ∴截成圆的一段铁丝长为4100+ππ时可使正方形与圆的面积之和最小，最小值为42500+π.10.货车欲以x km/h 的速度行驶，去130 km 远的某地.按交通法规，限制x 的允许范围是50≤x≤100.假设汽油的价格为2元/升，而汽车耗油的速率是（2+3602x ）升/小时，司机的工资是14元/小时，试问最经济的车速是多少？这次行车的总费用最低是多少？解：汽车运行的时间为x 130小时，耗油量为x 130×（2+3602x ）升，耗油费用为2×x 130×(2+3602x )元，司机的工资为14×x130元. 故这次行车的总费用为y=2×x 130×（2+3602x ）+14×x 130=130(x x 18180+). ∴y′=130(2181801x+). 由y′=0,得50≤x≤100内的唯一解为x=1810≈57 km/h. ∴最经济的车速为57 km/h ，最低费用为130×(571818057+)≈82.2(元). 综合运用11.如图，一艘渔船停泊在距岸9千米的A 处,今需派人送信给距渔船334千米处的海岸渔站C,若送信人步行速度为每小时5千米,船速为每小时4千米,问在何处上岸可以使抵站的时间最省?［参考导数公式（)()(21))(x f x f x f '∙='］解：设上岸点为D ，BD=x ，BC=15，AD=281x +,所用时间t(x)=5154812xx -++. ∴t′(x)=41·281x x+-51=0，解得x=12. ∴15-x=15-12=3(km).∴上岸点在距渔站3 km 处.12.如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为______________时,其容积最大.解析：设被切去的全等四边形的一边长为x,如题图,则正六棱柱的底面边长为1-2x,高为3x,∴正六棱柱的体积V=6×43(1-2x)2×3x(0<x<21),化简得V=29(4x 3-4x 2+x). 又V′=29(12x 2-8x+1),由V′=0,得x=21(舍去)或x=61. ∵当x ∈(0,61)时，V′>0,V 是增函数;当x ∈(61,21)时，V′<0,V 是减函数，∴当x=61时，V 有最大值，此时正六棱柱的底面边长为2[]3.答案：32拓展研究13.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未出租的车辆数为5030003600-=12,∴这时租出了88辆车.(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租凭公司的月收益为 f(x)=(100-503000-x )(x-150)-503000-x ×50=502x -+162x-21 000f′(x)=25x-+162,由f′(x)=0得 ∴当x=4 050时，f(x)最大，其最大值为f(4 050)=307 050(元).。
人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数
第一章 导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用函数的单一性与导数A 级基础稳固一、选择题2 1)1．函数 y ＝ 4x ＋ 的单一增区间是 (xA ． (0，＋ ∞ )B ． (－ ∞， 1)C. 1，＋ ∞D ． (1，＋ ∞)21 11分析： y ′＝ 8x － 22＞ 0 得 x ＞2.x，令 y ′＞ 0，即 8x － x 答案： C2．若在区间 (a ， b)内有 f ′(x)＞ 0，且 f(a) ≥0，则在 (a ， b) 内有 ( )A ． f( x)＞ 0B ． f(x)＜ 0C ． f( x)＝ 0D ． f(x) ≥0分析：依题意， f(x)在 (a ， b)内单一递加， f( a) ≥0，因此 f(x)＞ 0.答案： A3．以下区间中，使函数 y ＝ x ·cos x － sin x 为增函数的区间是 ()π 3πA. ，2B ． ( π， 2π)2 C. 3π 5πD ． (2 π， 3π)2 ，2分析： f ′(x)＝ cos x － xsin x － cos x ＝－ x ·sin x ，当 x ∈( π， 2π)时， f ′(x)＞ 0.答案： B4．若函数 y ＝ a(x 3－ x)的单一减区间为－ 3，3，则 a 的取值范围是 ()33A ． (0，＋ ∞ )B ． (－ ∞， 0)C ． (1，＋ ∞ )D ． (－ ∞，－ 1)分析：依题意f ′(x)＝ a(3x 2－ 1)＝ 3a x －3x ＋3＜0 的解集为 － 3，3，因此 a ＞33330.答案： A5．已知函数 f(x)＝ x 3－ ax － 1，若 f( x)在 (－ 1， 1)上单一递减，则 a 的取值范围为 ()A． a≤ 3 B． a＜ 3 C ．a＞ 3D． a≥ 322在 (－ 1， 1)上恒成分析： f′(x)＝ 3x － a，由已知 f′(x)≤0在 (－ 1， 1)上恒建立，因此 a≥3x2立．又 0≤3x≤ 3，因此 a≥3.答案： D二、填空题6．若函数 f(x)＝ x3＋ ax＋ 5 的单一递减区间是(－2， 2)，则实数 a 的值为 ________．分析： f′(x)＝ 3x2＋ a，依题意 3x2＋ a＜ 0 的解集为 (－ 2，2)，因此 a＝－ 12.答案：－ 127．若函数 y＝－4x3＋ ax 有三个单一区间，则 a 的取值范围是 ________．3分析：由于 y′＝－ 4x2＋ a，且函数有三个单一区间，因此方程－4x2＋ a＝ 0 有两个不等的实根，因此＝ 02－ 4× (－ 4) ×a＞ 0，因此 a＞ 0.答案： (0，＋∞)8．若 f(x)＝－1x2＋ bln (x＋2)在 (－ 1，＋∞)上是减函数，则 b 的取值范围是 ________．2分析：由于 f(x)在 (－ 1，＋∞)上为减函数，因此f′(x)≤0在 (－1，＋∞)上恒建立，由于f′(x)＝－ x＋b，x＋ 2b因此－ x＋≤ 0，即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒建立，得b≤－ 1.答案： (－∞，－ 1]三、解答题329．若函数f(x)＝ x ＋ bx ＋ cx＋ d 的单一减区间为(－ 1， 3)，求 b 和 c 的值．由条件知f′（－1）＝0，f′（ 3）＝ 0，3－ 2b＋ c＝ 0，即27＋ 6b＋ c＝ 0，解得b＝－ 3， c＝－ 9.10．已知 a≥0，函数 f(x)＝ (x2－ 2ax)e x .设 f(x)在区间上是单一函数，求 a 的取值范围．解： f′(x)＝ (2x－ 2a)e x＋ (x2－ 2ax)e x＝e x．令 f′(x)＝ 0，即 x2＋ 2(1－ a)x－ 2a＝ 0，解得 x1＝ a－ 1－ 1＋ a2， x2＝ a－ 1＋ 1＋ a2(x1＜ x2)．当 x 变化时， f′ (x)， f( x)的变化状况见下表：x(－∞， x1)x1(x1， x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f( x)由于 a＞ 0，因此 x1＜－ 1， x2≥ 0， f(x)在 (x1， x2)上单一递减．由此可得f( x)在上是单一函数的充要条件为x2≥ 1，即 a－1＋21＋a≥1，解得3 a≥4.故所求 a 的取值范围为3，＋∞.4B 级能力提高1.已知函数y＝ f(x)的图象是以下四个图象之一，且其导函数则该函数y＝ f (x)的图象是 ()y＝ f′(x)的图象如右图所示，分析：由于f′(x)＞ 0，因此 f(x)在 (－ 1， 1)为增函数，又 x∈(－ 1， 0)时， f′ (x)为增函数，因此 f(x)图象愈来愈峻峭， x∈ (0， 1)时，f′ (x)为减函数，因此f(x)图象愈来愈缓和．答案： B2．函数 f(x)＝ 2x＋ x3－ 2 在区间 (0， 1)内的零点个数是____．分析：由于f(x)＝ 2x＋ x3－ 2， 0＜ x＜ 1，x2因此 f′(x)＝ 2 ln 2＋ 3x ＞ 0 在 (0， 1)上恒建立，又 f(0)＝－ 1＜ 0， f(1) ＝ 1＞ 0， f (0)f(1) ＜ 0，则 f(x)在 (0， 1)内起码有一个零点，又函数 f(x)在 (0， 1)上单一递加，故函数 f(x)在 (0， 1)内有且仅有一个零点．答案： 11＋ ax(a ∈ R)，求 f( x)在 [2，＋ ∞)上是单一函数时 a 的取值范围．3．已知 f(x)＝ ln x ＋ x1 1ax 2＋ x － 1 解： f ′(x)＝ x － x 2＋ a ＝x 2 .x － 1(1)当 a ＝ 0 时， f ′ (x)＝ x 2 在 x ∈ [2，＋ ∞)上，有 f ′(x)＞ 0，因此 f(x)在 [2，＋ ∞)上是单调函数，切合题意．(2)当 a ＜ 0 时，令 g(x)＝ ax 2＋ x － 1，则 f(x)在 [2，＋ ∞)上只好单一递减，因此 f ′(x)≤0在 [2，＋ ∞)上恒建立，因此 g( x) ≤0在 [2，＋ ∞)上恒建立．1 21－11 ，又由于 g(x)＝ ax 2＋ x － 1＝ a x ＋ － 的对称轴为 x ＝－ 2a 4a2a 因此－ 1 14a － 1≤0，因此 a ≤－ .4 (3)当 a ＞ 0 时， f(x)在 [2，＋ ∞)上只好递加，因此 f ′(x)≥0在 [2，＋ ∞)上恒建立，因此 g( x) ≥0在 [2，＋ ∞)上恒建立．又由于 g(x)＝ ax 2＋ x － 1 的对称轴 x ＝－1＜ 0，2a1因此 g(2) ≥0，因此 a ≥－ .4又由于 a ＞ 0，因此得 a ＞ 0.综上所述，实数 a 的取值范围为－ ∞，－ 1∪ [0，＋ ∞)．4。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数
1．3.1 函数的单调性与导数明目标、知重点1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．1．一般地，在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：2.一般地，在区间(a，b)情境导学]以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小．但在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．本节我们就来研究这个问题．探究点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1 观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．答(1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)>0；(2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0.思考2 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－1x2<0，y是减函数．小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．思考3 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？答不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立．思考4 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？答(1)不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．思考2中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．例1 已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．解当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x ＝4，或x ＝1时，f ′(x )＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”． 综上，函数f (x )图象的大致形状如图所示．反思与感悟 本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．跟踪训练1 函数y ＝f (x )的图象如图所示，试画出导函数f ′(x )图象的大致形状．解 f ′(x )图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一． 例2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2)f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ； (4)f (x )＝3tx －x 3解 (1)f ′(x )＝6x 2＋6x －36. 由f ′(x )>0得x <－3，或x >2， 由f ′(x )<0解得－3<x <2，故f (x )的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)； 单调递减区间是(－3,2)． (2)f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立， 故函数f (x )的单调递减区间为(0，π) (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x>0， 解得－33<x <0或x >33.又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x<0，解得x <－33或0<x <33. 又∵x >0，∴0<x <33. ∴f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)， 单调递减区间为(0，33)． (4)f ′(x )＝3t －3x 2.令f ′(x )≥0时，得3t －3x 2≥0，即t ≥x 2， ∴当t ≤0时，无解；当t >0时，函数的单调递增区间是－t ，t ]． 令f ′(x )≤0时，得3t －3x 2≤0，即t ≤x 2， 当t ≤0时，f ′(x )≤0恒成立， 函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；当t >0时，函数的单调递减区间是(－∞，－t ]，t ，＋∞)．综上所述，当t ≤0时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；当t >0时，函数的单调增区间是－t ，t ]，单调减区间是(－∞，－t ]，t ，＋∞)． 反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤是(1)优先确定f (x )的定义域；(2)计算导数f ′(x )；(3)解f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)定义域内满足f ′(x )>0的区间为增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为减区间． 跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝x 3－x 2－x . 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x －1x＝(2x －1)(2x ＋1)x.由f ′(x )>0得－22<x <0或x >22， 又∵x >0，∴x >22， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞；由f ′(x )<0得x <－22或0<x <22， 又∵x >0，∴0<x <22， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. (2)f ′(x )＝3x 2－2x －1 ＝(3x ＋1)(x －1)．由f ′(x )>0得x <－13或x >1；由f ′(x )<0得－13<x <1，故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－13，1)．探究点二 函数的变化快慢与导数的关系思考 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？答 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．如图所示，函数y ＝f (x )在(0，b )或(a,0)内的图象“陡峭”，在(b ，＋∞)或(－∞，a )内的图象“平缓”．例3 如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象．解 (1)→B，(2)→A，(3)→D，(4)→C.反思与感悟 通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．跟踪训练3 已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是( )答案 D解析 从f ′(x )的图象可以看出，在区间⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内，导数递增；在区间⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内，导数递减．即函数f (x )的图象在⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内越来越陡，在⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内越来越平缓．1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数 答案 A解析 ∵f ′(x )＝1＋1x>0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知D正确．3．函数f (x )＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为________． 答案 (－∞，－1) 解析 f ′(x )＝2x －1x 2－x －2，令f ′(x )<0得x <－1或12<x <2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故单调递减区间为(－∞，－1)．4．(1)函数y ＝x 2－4x ＋a 的单调递增区间为________，单调递减区间为________． (2)函数y ＝x 3－x 的单调递增区间为______，单调递减区间为________． 答案 (1)(2，＋∞) (－∞，2) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 解析 (1)y ′＝2x －4，令y ′>0，得x >2； 令y ′<0，得x <2，所以y ＝x 2－4x ＋a 的单调递增区间为(2，＋∞)， 单调递减区间为(－∞，2)． (2)y ′＝3x 2－1，令y ′>0，得x >33或x <－33； 令y ′<0，得－33<x <33， 所以y ＝x 3－x 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调递减区间为(－33，33)．呈重点、现规律]1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤为： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.一、基础过关1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是( )．A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)答案 A解析 ∵y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴y ′＝x －1x ，令y ′<0，即x －1x<0，解得：0<x <1或x <－1.又∵x >0，∴0<x <1，故选A.3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b <0时，f (x )是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．常数D ．既不是增函数也不是减函数 答案 A解析 求函数的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f ′(x )＝0的Δ＝4(a 2－3b )<0，所以f ′(x )>0恒成立，故f (x )是增函数． 4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin xB ．y ＝x e 2C ．y ＝x 3－x D ．y ＝ln x －x答案 B解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为单调增函数； 对于C ，y ′＝3x 2－1＝3(x ＋33)(x －33)， 故函数在(－∞，－33)，(33，＋∞)上为单调增函数， 在(－33，33)上为单调减函数；对于D ，y ′＝1x－1 (x >0)． 故函数在(1，＋∞)上为单调减函数， 在(0,1)上为单调增函数．故选B.5．函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪2,3) 6．若三次函数f (x )＝ax 3＋x 在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则a 的取值范围是________． 答案 (0，＋∞)解析 f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f (x )在R 上为增函数， ∴3ax 2＋1≥0在R 上恒成立．又a ≠0，∴a >0.7.已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，试画出函数y ＝f (x )的大致图象． 解 由y ＝f ′(x )的图象可以得到以下信息：x <－2或x >2时， f ′(x )<0，－2<x <2时，f ′(x )>0，f ′(－2)＝0，f ′(2)＝0.故原函数y ＝f (x )的图象大致如右： 二、能力提升8．如果函数f (x )的图象如图，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )答案 A解析 由f (x )与f ′(x )关系可选A.9．设f (x )，g (x )在a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b ) 答案 C解析 ∵f ′(x )－g ′(x )>0，∴(f (x )－g (x ))′>0， ∴f (x )－g (x )在a ，b ]上是单调增函数， ∴当a <x <b 时f (x )－g (x )>f (a )－g (a )， ∴f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )．10．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(12，＋∞)是增函数，则a 的取值范围是 ( )A ．－1,0]B ．－1，＋∞)C ．0,3]D ．3，＋∞)答案 D解析 把函数在某一区间上的单调递增转化为其导函数在该区间上大于或等于零恒成立，分离参数后求新函数的最值．由题意知f ′(x )≥0对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞恒成立， 又f ′(x )＝2x ＋a －1x2，所以2x ＋a －1x 2≥0对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞恒成立， 分离参数得a ≥1x 2－2x ， 若满足题意，需a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2x max . 令h (x )＝1x 2－2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 因为h ′(x )＝－2x 3－2， 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )＜0， 即h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减， 所以h (x )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，故a ≥3. 11．求下列函数的单调区间：(1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x， 由y ′>0，得x >1；由y ′<0，得0<x <1.∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．(2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为(－32，＋∞)． ∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2，∴y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3. 当y ′>0，即－32<x <－1或x >－12时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增；当y ′<0，即－1<x <－12时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减．故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的单调递增区间为(－32，－1)和(－12，＋∞)，单调递减区间为(－1，－12)． 12．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2b －c ＝－3b －c ＝0.解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2 (m 、n ∈R ，m ≠0)，函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行．(1)用关于m 的代数式表示n ；(2)求函数f (x )的单调增区间．解 (1)由已知条件得f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，又f ′(2)＝0，∴3m ＋n ＝0，故n ＝－3m .(2)∵n ＝－3m ，∴f (x )＝mx 3－3mx 2，∴f ′(x )＝3mx 2－6mx .令f ′(x )>0，即3mx 2－6mx >0，当m >0时，解得x <0或x >2，则函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当m <0时，解得0<x <2，则函数f (x )的单调增区间是(0,2)．综上，当m >0时，函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m <0时，函数f (x )的单调增区间是(0,2).。
高中数学第一章导数及其应用1.3.1利用导数判断函数的单调性课后训练新人教B版选修2_2
1.3.1 利用导数判断函数的单调性课后训练1．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是( )．A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)2．下列函数中，在(0，＋∞)内是增函数的是( )．A．f(x)＝sin2x B．f(x)＝x e xC．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln(1＋x)3．已知f(x)，g(x)均为(a，b)内的可导函数，在[a，b]内没有间断点，且f′(x)＞g′(x)，f(a)＝g(a)，则x∈(a，b)时有( )．A．f(x)＞g(x) B．f(x)＜g(x)C．f(x)＝g(x) D．大小关系不能确定4．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时有( )．A．f(x)g(x)＞f(b)g(b)B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)C．f(x)g(b)＞f(b)g(x)D．f(x)g(x)＞f(a)g(a)5．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解区间是( )．A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)6．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．7．使函数y＝sin x＋ax在R上是增函数的实数a的取值范围为________．8．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处切线的斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调减区间为__________．9．已知π0<<2x，求证：tan x＞x.10．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．参考答案1. 答案：B f′(x )＝3x 2＋a .令3x 2＋a ≥0，得a ≥－3x 2.由题意a ≥－3x 2在x (1，＋∞)恒成立，∴a ≥－3.2. 答案：B 选项B 中，f (x )＝x e x ，则在区间(0，＋∞)上，f (x )′＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )＞0.3. 答案：A ∵f′(x )＞g′(x )，∴f′(x )－g′(x )＞0，即[f (x )－g (x )]′＞0， ∴f (x )－g (x )在(a ，b )内是增函数．∴f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )．∴f (x )－g (x )＞0，∴f (x )＞g (x )．4. 答案：C 记()=f x F x g x ()()，则2()=f'x g x f x g'x F'x g x ()()-()()(). ∵f′(x ) g (x )－f (x ) g′(x )＜0，∴F′(x )＜0，即F (x )在(a ，b )内是减函数．又a ＜x ＜b ，∴F (x )＞F (b )．∴f x f b g x g b ()()>()().∴f (x )g (b )＞g (x )f (b )． 5. 答案：D ∵[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g′(x )，∴由题意知，当x ＜0时，[f (x )g (x )]′＞0.∴f (x )g (x )在(－∞，0)内是增函数．又g (－3)＝0，∴f (－3)g (－3)＝0.∴当x (－∞，－3)时，f (x )g (x )＜0；当x (－3,0)时，f (x )g (x )＞0.又∵f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，∴f (x )g (x )在R 上是奇函数，其图象关于原点对称．∴当x (0,3)时，f (x )g (x )＜0.故不等式f (x )g (x )＜0的解区间是(－∞，－3)∪(0,3)．6. 答案：(－1,11) f′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)，令3(x ＋1)(x －11)＜0，得－1＜x ＜11，故减区间为(－1,11)．7. 答案：[1，＋∞) y′＝cos x ＋a ，∴cos x ＋a ≥0恒成立，∴a ≥－cos x ，又－1≤cos x ≤1，∴a ≥1.8. 答案：(－∞，2) 由于切线的斜率就是函数在该点的导数值，所以由题意知f′(x )＝(x －2)(x ＋1)2＜0，解得x ＜2，故单调减区间为(－∞，2)．9. 答案：分析：设f (x )＝tan x －x ，x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，注意到f (0)＝tan 0－0＝0，因此要证的不等式变为：当0＜x ＜π2时，f (x )＞f (0)．这只要证明f (x )在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数即可．证明：令f (x )＝tan x －x ，显然f (x )在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是连续的，且f (0)＝0. ∵f′(x )＝(tan x －x )′＝211cos x-＝tan 2x ， ∴当x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，f′(x )＞0， 即在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内f (x )是增函数． 故当0＜x ＜π2时，f (x )＞f (0)＝0， 即tan x －x ＞0. ∴当0＜x ＜π2时，tan x ＞x . 10. 答案：分析：根据题意，列方程组求出b ，c ，d 的值．再应用导数求单调区间． 解：(1)由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由f (x )在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0， 所以f (－1)＝1，又f′(－1)＝6.所以326,121,b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩即23,0.b c b c -=-⎧⎨-=⎩解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f′(x )＝3x 2－6x －3.令3x 2－6x －3＝0，即x 2－2x －1＝0，解得1=12x 2=1+2x 当12x <-1+2x >时，f′(x )＞0；当12＜x ＜12时，f′(x )＜0.故f (x )的单调增区间为(－∞，12和(1+2，＋∞)，单调减区间为(12，1+2)．。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数的几何意义》课后导练
课后导练基础达标1.函数f=f(x)在x=x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是（ ）A.在点x 0处的斜率B.在点（x 0,f(x 0)）处的切线与x 轴所夹锐角的正切值C.曲线y=f(x)在点（x 0,f(x 0)）处切线的斜率D.点（x 0,f(x 0)）与点（0，0）连线的斜率答案：C2.函数在某一点的导数是（ ）A.在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比B.一个函数C.一个常数，不是变数D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率答案：C3.已知曲线y=21x 2-2上一点P （1，23-），过点P 的切线的倾斜角为（ ） A.30° B.45° C.135° D.165°解析：∵lim o x →∆=xx ∆-⨯--∆+)2121(2)1(2122 =lim o x →∆(1+2x ∆)=1， ∴k=1 即tanθ=1，∴θ=45°答案：B4.设函数f(x)是奇函数，且f′（-x 0）=-k(k≠0)，则f′(x 0)等于（ ）A.kB.-kC.k 1 D.k 1-解析：∵f′(-x 0)=-k 及f(x)为奇函数，∴-k=lim o x →∆xx f x x f ∆--∆+-)()(00 =limo x →∆x x f x x f ∆+∆--)()(00 =lim ox →∆x x f x x f ∆--∆-)()(00 答案：B5.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y=f′(x)的图象如下图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（ ）解析：由y=f′(x)的图象，得当x<0时，f′(x)>0，∴y=f(x)在（-∞,0）上单调递增.∵当0<x<2时，f′(x)<0,∴y=f(x)在（1，2）上单调递减.∵当x>2时，f′（x ）>0，∴y=f(x)在（2，+∞)上单调递增.结合选项得只有C 正确答案：C6.若f′(x 0)=2,则lim 0→k kx f k x f 2)()(00--=________________. 解析：利用导数的定义：f′(x 0)=lim o k →kx f k x f ---+)()]([00 ∴lim o k →kx f k x f 2)()(00-- =limo x →∆[k x f k x f ---∙-)()(2100] =-21lim ok →1)(21)()(000-='-=---x f k x f k x f 答案：-17.已知P （1，2）为函数f(x)=1+x 3图象上一点，以P 点为切点的切线的斜率为____________. 解析：k=f′(1)=lim o x →∆x x ∆-∆++2)1(13=lim ox →∆(Δx 2+3Δx+3)=3. 答案：38.抛物线y=2x 2+1在哪一点的切线平行于直线y=4x-2?在哪一点的切线垂直于直线x+8y-3=0?解：(1)设在P （x 0,y 0）处的切线平行于直线y=4x-2.则limΔx→0［2（x 0+Δx ）2+1］-(2x 20+1)[]Δx=4.解得x 0=1,故P （1，3）为所求（2）设在M （x 1,y 1）处的切线垂直于直线x+8y-3=0.则lim o x →∆x x x x ∆+-+∆+)12(]1)(2[2120=8. ∴x 1=2,故M （2，9）为所求9.已知抛物线y=x 2+4与直线y=x+10，求（1）两曲线的交点；（2）抛物线在交点处的切线方程解：（1）由⎩⎨⎧+=+=1042x y x y 得交点A （-2，8）及B （3，13） （2）在交点A （-2，8）处时，∵k=lim o x →∆xx ∆+--+∆+-]4)2[(]4)2[(22=-4, 故切线方程为y-8=-4(x+2)即4x+y=0.在交点B （3，13）处时，同理可求得切线方程为6x-y-5=0.综合运用10.设y=f(x),y=g(x)是定义在R 上的两个函数，求证：Δ［f(x)±g(x)］=Δf(x)±Δg(x)，其中Δf(x)=f(x+Δx)-f(x).证明：Δ［f(x)±g(x)］=［f(x+Δx)±g(x+Δx)］-［f(x)±g(x)］=［f(x+Δx)-f(x)］±［g(x+Δx)-g(x)］=Δf(x)±Δg(x)11.设f （x ）在点x 处可导，a 、b 为常数，则lim 0→∆x xx b x f x x f ∆∆--∆+)()(0等于多少？ 解：lim o x →∆xx b x f x a x f ∆∆--∆+)()( =lim o x →∆xx b x f x f x f x a x f ∆∆--+-∆+)]()([)]()([ =［lim o x →∆x x f x a x f ∆-∆+)()(-lim ox →∆x x f x b x f ∆-∆-)()(］ =limo x →∆{a·［x b x f x b x x f x a x f x a x f ∆--∆-+∆-∆+)]()([)()(} =lim o x →∆a·x a x f x a x f ∆-∆+)()(+lim ox →∆b·x b x f x b x f ∆--∆-)()(=af′(x)+bf′(x).12.如果曲线y=x 2+x-3的某一条切线与直线y=3x+4平行，求切点坐标与切线方程 拓展探究解：∵切线与直线y=3x+4平行，∴斜率为3，设切点坐标为（x 0,y 0），则y′|0x x ==3.又y′|0x x ==lim o x →∆xx f x x f ∆-∆+)()(00 =lim o x →∆x x x x x x x ∆+---∆++∆+33)()(020020 =lim ox →∆(Δx+2x 0+1)=2x 0+1.∴2x 0+1=3,从而得⎩⎨⎧-==1,100y x ∴切点坐标为（1，-1），切线方程为3x-y-4=0.13.右图表示物体运动的路程随时间变化的函数f(t)=4t-2t 2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)在t 0、t 1、t 2附近的变化情况，并求出t=2时的切线的方程.解：用曲线f(t)在t 0、t 1、t 2处的切线刻画曲线f(t)在t 0、t 1、t 2附近的变化情况.(1)当t=t 0时，曲线f(t)在t 0处的切线l 0平行于x 轴所以，在t=t 0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.(2)当t=t 1时，曲线f(t)在t 1处的切线l 1的斜率f′(t 1)<0，所以，在t=t 1附近曲线下降，即函数f(t)在t=t 1附近单调递减.(3)当t=t 2时，曲线f(t)在t 2处的切线l 2的斜率f′（t 2）<0，所以，在t=t 2附近曲线下降，即函数f(t)在t=t 2附近也单调递减，由图象可以看出，直线l 1的倾斜程度小于直线l 2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t 1附近比在t 2附近下降得缓慢.(4)当t=2时，f(2)=0.在t=2时的切线的斜率k=f′(2)=lim 0→∆t tf t f ∆-∆+)2()2( =lim0→∆t t t t ∆+-∆+-∆+88)2(2)2(42 =lim 0→∆t tt t t ∆∆-∆-∆8242(-2Δt-4)=-4.=lim∆t→所以切线的方程为y=-4(x-2) 即4x+y-8=0.。
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课后导练
基础达标
1.已知f(x)=x 2+2xf′(1),则f′(0)等于…( )
A.0
B.-4
C.-2
D.2 解析:f′(x)=2x+2f′(1),可令x=1, 则f′(1)=-2,∴f′(0)=2f′(1)=-4. 答案:B
2.设f(x)在(a,b)内可导,则f′(x)<0是f(x)在(a,b)内单调递减的_________条件( ) A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要 答案:A
3.已知f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a>0)为增函数,则( ) A.b 2-4ac>0 B.b>0,c>0 C.b=0,c>0 D.b 2-3ac<0 解析:f′(x)=3ax 2+2bx+c>0恒成立.因为a>0, 则Δ=4b 2-4×3ac<0,即b 2-3ac<0. 答案:D
4.函数y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数( ) A.(
2π,2
3π) B.(π,2π) C.(23π,25π) D.(2π,3π)
解析：解法一:(直接法)y′=-xsinx,令y′>0,则x>0时,sinx<0,∴x ∈(2kπ+π,2kπ+2π)(k>0);
x<0时,sinx>0,则x ∈(2kπ,(2k+1)π)(k<0),结合题目知应选B. 解法二:(排除法)y′=-xsinx,若x ∈(
2
3,2π
π)时,sinx 正负不确定,排除A;
若x ∈(π,2π),sinx<0,y′>0,函数y=xcosx-sinx 在(π,2π)上为增函数,故选B. 答案:B
5.若f(x)=-x 2+2ax 与g(x)=
1
+x a
在区间［1,2］上都是减函数,则a 的取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1］ C.(0,1) D.(0,1］ 解析：解法一:(直接法)g′(x)=
2
)
1(+-x a
,f(x)=-x 2+2ax 的对称轴是x=a,要使其在［1,2］上为减函数,则有a≤1.再由条件知g′(x)=2
)
1(+-x a
<0,∴a>0. 综上,0<a≤1,故选D.
解法二:(排除法)若a=1,f(x)=-x 2×2x,g(x)=1
1
+x ,易知f(x)与g(x)在［1,2］上为减函数,排除A 、C.又若a=21-
,g(x)=)
1(21
+-x ,在［1,2］上为增函数,排除B,故选D. 答案:D
6.函数f(x)=ln(3x-b)(b>0)的增区间为_________________.
答案:(
3
b
,+∞) 7.若函数f(x)=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调递增函数,则m 的取值范围是________________. 解析:f′(x)=3x 2+2x+m.
∵f(x)在R 上是单调递增函数,
∴f′(x)>0在R 上恒成立,即3x 2+2x+m>0在R 上恒成立. 由Δ=4-4×3m<0,得m>3
1
. 答案:m>
3
1 8.(2006河北石家庄二模,3) 若函数f(x)=x 3-mx 2+m-2的单调减区间是(0,3),则m=_____________________. 解析:f′(x)=3x 2-2mx,
∵f(x)的递减区间是(0,3), ∴0,3是3x 2-2mx=0的根. ∴0+3=3
2m
. ∴m=
29. 答案:2
9
9.已知曲线y=x 3+3x 2+6x-10,点P(x,y)在该曲线上移动,过P 的切线设为l. (1)求证:此函数在R 上单调递增; (2)求l 的斜率的范围.
(1)证明:y′=3x 2+6x+6=3(x 2+2x+1)+3=3(x+1)2+3>0恒成立.所以函数在R 上递增. (2)解:由(1)知f′(x)=3(x+1)2+3≥3,所以l 的斜率的范围是k≥3.
10.已知函数f(x)=ax 3+3x 2-x+1在R 上是减函数,求a 的取值范围. 解:f′(x)=3ax 2+6x-1.
(1)当f′(x)<0(x ∈R)时,f(x)是减函数.
3ax 2+6x-1<0(x ∈R) a<0且Δ=36+12a<0 a<-3. 所以,当a<-3时,由f′(x)<0,知f(x)(x ∈R)是减函数. (2)当a=-3时,f(x)=-3x 3+3x 2-x+1=-3(x-
31)3+9
8, 由函数y=x 3在R 上的单调性,可知当a=-3时,f(x)(x ∈R)是减函数.
(3)当a>-3时,在R 上存在一个区间,其上有f′(x)>0, 所以,当a>-3时,函数f(x)(x ∈R)不是减函数. 综上,所求a 的取值范围是(-∞,-3］. 综合运用
11.已知a 为实数,f(x)=(x 2-4)(x-a),且f′(-1)=0,则a=_______________. 答案:
2
1 12.设f(x)在R 上是偶函数,在区间(-∞,0)上f′(x)>0且有f(2a 2+a+1)<f(-3a 2+2a-1),求a 的取值范围.
解:∵在(-∞,0)上f′(x)>0,
∴f(x)在(-∞,0)上为增函数.
又f(x)为偶函数,∴f(x)在(0,+∞)上为减函数， 且f(-3a 2+2a-1)=f(3a 2-2a+1)，
∴原不等式可化为f(2a 2+a+1)<f(3a 2-2a+1). 又∵2a 2+a+1>0,3a 2-2a+1>0恒成立, ∴2a 2+a+1>3a 2-2a+1， 解得0<a<3.
13.设f(x)=ax 3+x 恰有三个单调区间,试确定实数a 的取值范围,并求出这三个单调区间.
解:f′(x)=3ax 2+1,若a>0,则f′(x)>0,x ∈(-∞,+∞),此时f(x)只有一个单调区间,与原条件矛盾.若a=0,则f′(x)=1>0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.若a<0,f′(x)=3a·(x+
a 31-)(x-
a
31-).综上
可知a<0时,f(x)恰有三个单调区间,其中减区间为(-∞,-
a
31-)和(
a
31
-,+∞),增区间为
(a
31--
,
a
31-)
14.(2006安徽高考,文20) 设函数f(x)=x 3+bx 2+cx(x ∈R),已知g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数. (1)求b 、c 的值;
(2)求g(x)的单调区间.
解:由已知得f′(x)=6x ［x-(a-1)］, 令f′(x)=0,
解得x 1=0,x 2=a-1.
(1)当a=1时,f′(x)=6x 2,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 当a>1时,f′(x)=6x ［x-(a-1)］.
从上表可知，函数f(x)在（-∞,0）上单调递增；在（0，a-1）上单调递减；在（a-1,+∞）上单调递增. 拓展研究
15.(2006山东高考,文17) 设函数f(x)=2x 3-3(a-1)x 2+1,其中a≥1,求f(x)的单调区间. 解析:(1)∵f(x)=x 3+bx 2+cx, ∴f′(x)=3x 2+2bx+c.
从而g(x)=f(x)-f′(x)=x 3+bx 2+cx-(3x 2+2bx+c)=x 3+(b-3)x 2+(c-2b)x-c 是一个奇函数,所以g(0)=0得c=0,由奇函数定义得b=3.
(2)由(1)知g(x)=x 3-6x,从而g′(x)=3x 2-6,由此可知,(-∞,-2)和(2,+∞)是函数g(x)的单调递增区间;(-2,2)是函数g(x)的单调递减区间.。