上海市杨浦区2020-2021学年高三上学期0.5模—期中考试(解析版)

杨浦区2020学年度第一学期高三期中质量调研数学学科试卷一、填空题。

1、函数x x f -=5)(的定义域为_____；2、已知集合(]a A ,∞-=,[]2,3B =且B A ⋂非空，则实数a 的取值范围_____；3、若函数cos()y x ϕ=+为奇函数，则最小的正数=ϕ_____；4、已知长方体的长、宽、高分别为3、4、12，则长方体的一条对角线长为_____；5、幂函数)(x f 的图像过点(4,2)，其反函数为)(1x f -，则)3(1-f =_____；6、()nx +1的二项展开式中，若第9项与第13项系数相等，则第20项为_____； 7、若)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，)2(log )(2x x f -=，则()()20f f +=_____；8、用0,1,2,3,4这五个数可以组成_____个没有重复数字的四位奇数。

（用数字作答）9、若3sin 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则=α2sin _____； 10、P 是直角三角形ABC 所在平面外一点，已知三角形的边长3=AB ，4=BC ，90ABC ∠=，4PA PB PC ===，则直线PB 与平面ABC 所成角的余弦值为_____；11、函数)(x f y =的定义域D 和值域A 都是集合2,3}{1，的非空真子集，如果对于D 内任意的x ，总有)()(x xf x f x ++的值是奇数，则满足条件的函数)(x f y =的个数是_____；12、若分段函数3sin20230x x x x ≤⎧⎨->⎩，将函数()()y f x f a =-，],[n m x ∈的最大值记作[,]a Z m n ，那么当22m -≤≤时，]4,[2+m m Z 的取值范围是_____;二、选择题。

13、设直线,a b 与平面α所成的角相等，则直线,a b 的位置关系为( )A 、平行B 、平行或异面C 、平行或相交D 平行、相交或异面14、已知R y x ∈,,则""y x =是“ln ln x y =”的（ ）A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、非充分非必要条件15、申辉中学从4名有数学特长的同学A 、B 、C 、D 中挑1人去参加中学生数学联赛，4名同学各自对结果的估计如下,A ：“参赛的是A”；B ：“参赛的是B”;C ：“参赛的是A 或B”；D ：“参赛的既不是A 也不是C”；已知期中有且只有2人的估计是正确的，则取得参加联赛的是（）A 、A 同学B 、B 同学C 、C 同学D 、D 同学16、设函数x x x f lg )(=满足)(0)()()(c b a c f b f a f <<<，)(x f 的零点为0x ，则下列选项中一定错误的是（）A 、()c a x ,0∈B 、()0,x a b ∈C 、()0,x b c ∈D 、()0,x c ∈+∞三、解答题17. 已知圆锥的体积为π，底面半径OA 与OB 互相垂直，且OA =P 是母线BS 的中点。

（1）求圆锥的表面积（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）18.已知在ABC 中，三边,,a b c 分别对应三个内角,,A B C ；且a cb ac b a b -+=+- （1）求角C 的大小；（2）当在ABC 外接圆半径1R =时，求ABC 面积的最大值，并判断此时ABC 的形状。

19.某地区去年的水价为4.2元/立方米，年用水量为m 立方米，今年计划将水价降到2.8元/立方米至4元/立方米之间，而用户期望水价为2.5元/立方米，经测算，下调水价后新增的用水量与实际水价和用户期望水价的差成反比（比例系数为0.5m ），该地区的成本为2元/立方米.（1）今年水价下调后，为保证供水部门的收益不得低于去年的收益，则实际水价x 最低价格为多少？（保留2位小数）（2）试问调价后，今年供水部门收益的最小值为多少？20. 设函数()x f 的定义域为()+∞,0，且同时满足以下两个条件：①存在实数1>a ，使得()1=a f ；②当R m ∈，0>x 时，有0)()(=-x mf x f m恒成立. （1）函数x y ln =是否满足上述的两个条件，并说明理由；（2）求证：当0,>y x 时，)()()(y f x f yxf -=；（3）若当0>t 时，1)()4(2≥-+t f t f ，求实数a 的取值范围.21. 函数)()()(x h x g x f +=，其中)(x g 是定义在R 上的周期函数，b ax x h +=)(，,a b 为常数（1）()sin g x x =，讨论)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）求证:”)(x f 为奇函数“的一个必要非充分条件是“)(x f 的图像有异于原点的对称中心()n m ,”（3）()sin cos g x x x =+，)(x f 在[]π3,0∈x 上的最大值为M ，求M 的最小值。

杨浦区2020学年度第一学期高三期中质量调研数学学科试卷一、填空题。

16、函数x x f -=5)(的定义域为_____；【答案】 (],5-∞【解析】05≥-x ，定义域为(],5-∞；17、已知集合(]a A ,∞-=,[]2,3B =且B A ⋂非空，则实数a 的取值范围_____；【答案】 [)2,+∞【解析】由数轴可知[)2,+∞；18、若函数cos()y x ϕ=+为奇函数，则最小的正数=ϕ_____；【答案】 2π【解析】由图可知，移动2π，变为x sin 即满足题意； 19、已知长方体的长、宽、高分别为3、4、12，则长方体的一条对角线长为_____；【答案】 13【解析】体对角线公式：13d ===；20、幂函数)(x f 的图像过点(4,2)，其反函数为)(1x f -，则)3(1-f =_____；【答案】 9【解析】幂函数过(4,2)，x x f =)(，反函数12()f x x -=，1(3)9f -= 21、()n x +1的二项展开式中，若第9项与第13项系数相等，则第20项为_____；【答案】1920x【解析】128n 139n C C T T =⇒=，20n =，19191192020201x x C T =⨯⨯=22、若)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，)2(log )(2x x f -=，则()()20f f +=_____；【答案】2-【解析】R 上奇函数,0)0(=f ,2)2()2(-=--=f f ,2)2()0(-=+f f23、用0,1,2,3,4这五个数可以组成_____个没有重复数字的四位奇数。

（用数字作答）【答案】36【解析】分类讨论：不含0，12244=P ;含0，两奇两偶，1612121212=C C C C ；三偶一奇，8121212=C C C ；共有1216836++=种；24、若3sin 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则=α2sin _____； 【答案】257【解析】27sin 2cos 2cos 212sin 24425x πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 25、P 是直角三角形ABC 所在平面外一点，已知三角形的边长3=AB ，4=BC ，90ABC ∠=，4PA PB PC ===，则直线PB 与平面ABC 所成角的余弦值为_____； 【答案】85【解析】由题意得，P 在底面的投影O 为ABC ∆的外心，即三条中垂线的交点，2522222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=BC AB OB ，5cos 8OB PBO BP ∠==。

26、函数)(x f y =的定义域D 和值域A 都是集合2,3}{1，的非空真子集，如果对于D 内任意的x ，总有)()(x xf x f x ++的值是奇数，则满足条件的函数)(x f y =的个数是_____；【答案】29【解析】【法一】因为()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++-所以(),f x x 中至少一个为奇数，定义域为{1,{3},{1,3}〉的都可以，有339++种；定义域为{}{}{}2,1,2,2,3的函数(2){1,3}f ∈，所以有266++种；共29种。

【法二】={2,4}D ’，则{2,3,4}A ⊂’，且A ≠∅’，’A 有6223=-种，则f 有9323=⨯+种；={2,3}D ’或{3,4}，若’A 中不含3，则有3122=-种，’A 有632=⨯中，f 共有()81222=⨯+⨯种；若’A 中含有3，则’A 有两种取法，f 共有422=⨯种。

于是f 共有1248=+种。

f 一共有29129233=++++种。

27、若分段函数3sin20230x x x x ≤⎧⎨->⎩，将函数()()y f x f a =-，],[n m x ∈的最大值记作[,]a Z m n ，那么当22m -≤≤时，]4,[2+m m Z 的取值范围是_____;【答案】[]60,4【解析】数形结合，当[][]22,1,,44m Z m m ∈--+=，当](1,2,m ∈-[]](42,4244,60m Z m m ++=-∈，故范围[]60,4 三、选择题。

28、设直线,a b 与平面α所成的角相等，则直线,a b 的位置关系为( )B 、平行 B 、平行或异面C 、平行或相交D 平行、相交或异面【答案】 D【解析】线面角相同，两直线可以相交、平行、异面。

29、已知R y x ∈,,则""y x =是“ln ln x y =”的（ ）B 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、非充分非必要条件【答案】 B【解析】若0,ln ln x y x y <=、不成立，故必要不充分条件。

30、申辉中学从4名有数学特长的同学A 、B 、C 、D 中挑1人去参加中学生数学联赛，4名同学各自对结果的估计如下,A ：“参赛的是A”；B ：“参赛的是B”;C ：“参赛的是A 或B”；D ：“参赛的既不是A 也不是C”；已知期中有且只有2人的估计是正确的，则取得参加联赛的是（）B 、A 同学 B 、B 同学C 、C 同学D 、D 同学【答案】 A【解析】若A 参赛，则A 、C 估计正确，B 、D 估计不正确，选A 。

16、设函数x x x f lg )(=满足)(0)()()(c b a c f b f a f <<<，)(x f 的零点为0x ，则下列选项中一定错误的是（）A 、()c a x ,0∈B 、()0,x a b ∈C 、()0,x b c ∈D 、()0,x c ∈+∞【答案】 C 【解析】两种情况：①c b a <<<<10；②10<<<<c b a 。