《数列的综合应用》教案
数列综合问题高中数学教案
数列综合问题高中数学教案
知识点：数列的综合
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握数列的综合方法，解决相关数学问题。
教学重点：数列的综合求解方法。
教学难点：在实际问题中运用数列的综合方法解决问题。
教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
教师向学生介绍本节课的学习内容，引导学生了解数列的综合概念。
并通过一个简单的例子引出数列综合问题。
二、讲解与实践（15分钟）
1. 讲解数列的综合方法，说明综合的含义及求解步骤。
2. 通过几个示例讲解综合求解数列问题的步骤，引导学生掌握方法。
3. 学生进行练习，巩固数列综合的求解方法。
三、拓展应用（10分钟）
1. 给学生提供一些实际问题，让学生尝试用数列综合方法解决问题。
2. 学生结合实际问题进行讨论，分享不同解题思路。
四、作业布置（5分钟）
布置练习题作业，相关综合数列问题的练习。
五、课堂小结（5分钟）
总结本节课的重点内容，强调数列综合方法的重要性，并提醒学生作业要认真完成。
教学反思：本节课通过讲解数列的综合方法，让学生了解了数列的综合应用，实际问题中的数列综合求解方法。
通过多种实例的讲解和练习，学生对数列综合方法有了更深入的理解和掌握。
在今后的教学过程中，可以结合更多实际问题，让学生更好地运用数列综合方法解决各种数学问题。
数列的综合应用教案
数列的综合应用教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN11 =+1、等差数列{}n a 中,若124a a +=, 91036a a +=,则10S =______.2. 设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11a =,21179d -<<-, 则当n S 取最大值时,n 的值为_ __. 3.在等差数列{}n a 中，S n 是它的前n 项的和，且8776,S S S S ><，给出下列命题：①此数列公差0<d ；②69S S <；③7a 是各项中最大的一项；④7S 是S n 中的最大项⑤{}n a 是递增数列。
其中真命题的序号是 。
4.等差数列{}n a 前n 项和为n s ，若5359a a =，则95s s =____________. 5.办公大楼共23层，现每层派一人集中到第k 层开会，要使这23位参加会议的人员上下楼梯所走路程的总和最少，则k 的值 。
6.若数列x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则21221)(b b a a ⋅+的取值范围是____________. 7.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，公比是正数的等比数列{n b }的前n 项和为n T ，已知1133331,3,17,12,{},{}n n a b a b T S a b ==+=-=求的通项公式8.已知在数列｛a n ｝中，11=a ，d a a qa a n n n n +==+-212122,(q, d ∈R, q ≠0)（1）若q=2，d=－1，求a 3，a 4并猜测a 2006；（2）若{}12-n a 是等比数列，且{}n a 2是等差数列，求q ，d 满足的条件。
数列的综合应用教学设计
数列的综合应用教学设计数列的综合应用一、教学内容分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》（人教A版），第二章内容结束之后的综合练习。
在课本中没有专设章节。
内容从教材习题2.5中A组的第4题中体现。
本章五节内容分别讲授了等差数列、等比数列以及这两种数列的性质、通项公式、前N项和等基础内容。
让学生在此基础之上，了解高考中出现频率较多的一些特殊数列。
在实际教学中，本节内容应该分为五个阶段：第一阶段学生要充分掌握基本数列的知识点，可用提问的方式进行复习回顾。
第二阶段，对于特殊数列有关例题首先要引导学生观察，找到与基本数列的相似处，从而决定构造为基本数列中的等差数列或等比数列，大胆提出猜想。
第三阶段从猜想入手，开始构造。
运用基本数列的形式和性质得到新的数列。
构造出的新数列必须满足基本数列成立的条件。
验证猜想的正确性。
第四阶段根据题目要求从构造出的新数列找出所求项。
第五阶段，老师和学生一起归纳题型。
学生在老师的引导下结题，提高主动性，学习的灵活性。
从而提高对本节知识的兴趣。
二、学情分析对于高一年级的学生来说。
之前的学习中已经接触到了函数内容。
以及在本节内容的学习之前，已经有了数列的基础。
学生已经具备了一定的分析能力，函数构造基础等。
对于本节授课内容来说，学生在一般很难自己分析出来，有一定的难度。
所以需要老师的正确引导，但是在复习的基础上不宜直接灌输解题方法。
应该带领学生一起观察、分析、猜想、证明。
从而加深学生对本节内容的理解，也可让学生自己尝试找到新的解法，建立自己的思维模式。
三、设计思想在授课中，必须要求学生掌握基本数列（等差数列和等比数列）的内容。
以此引导学生，分析特殊数列。
并且根据之前学习三角函数时用到的“构造”理念。
将特殊数列构造为基本数列，再运用基本数列的知识点来解题。
课堂中，以例题分析为主，让学生学会观察特殊数列的结构，分析如何构造出适合的基本数列的形式。
讲课过程中，以启发性为主，让学生主动分析。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案第一章：数列的概念与应用1.1 数列的定义与表示方法引导学生了解数列的概念，理解数列的表示方法，如通项公式、列表法等。
通过实际例子，让学生掌握数列的性质，如项数、公差、公比等。
1.2 数列的求和公式介绍等差数列和等比数列的求和公式，让学生理解其推导过程。
通过例题，让学生学会运用求和公式解决实际问题，如计算数列的前n项和等。
第二章：数列的性质与应用2.1 数列的单调性引导学生了解数列的单调性，包括递增和递减。
通过实际例子，让学生学会判断数列的单调性，并运用其解决相关问题。
2.2 数列的周期性介绍数列的周期性概念，让学生理解周期数列的性质。
通过例题，让学生学会运用周期性解决实际问题，如解数列的方程等。
第三章：数列的极限与应用3.1 数列极限的概念引导学生了解数列极限的概念，理解数列极限的含义。
通过实际例子，让学生掌握数列极限的性质，如保号性、夹逼性等。
3.2 数列极限的计算方法介绍数列极限的计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
通过例题，让学生学会运用极限计算方法解决实际问题，如求数列的极限值等。
第四章：数列的级数与应用4.1 数列级数的概念引导学生了解数列级数的概念，理解级数的特点和分类。
通过实际例子，让学生掌握级数的基本性质，如收敛性和发散性等。
4.2 数列级数的计算方法介绍数列级数的计算方法，如比较法、比值法、根值法等。
通过例题，让学生学会运用级数计算方法解决实际问题，如判断级数的收敛性等。
第五章：数列的应用举例5.1 数列在数学建模中的应用引导学生了解数列在数学建模中的应用，如人口增长模型、存货管理模型等。
通过实际例子，让学生学会运用数列建立数学模型，并解决实际问题。
5.2 数列在物理学中的应用介绍数列在物理学中的应用，如振动序列、量子力学中的能级等。
通过例题，让学生学会运用数列解决物理学中的问题，如计算振动序列的周期等。
第六章：数列在经济管理中的应用6.1 数列在投资组合中的应用引导学生了解数列在投资组合中的作用，如资产收益的序列分析。
数列综合应用数列求和教案
授课人： 史宏刚班级11104班课题数列综合应用（一）数列求和教 学 目 标1.知识与能力：培养学生观察分析应用能力。
2.过程与方法：通过课堂分析演练，总结解题技巧。
3.情感态度价值观：提高学生刻苦专研学习态度。
重点、难点、关键公式法、裂项相消、错位相减. 、倒序相加法 求和裂项相消、错位相减法 认清问题实质选择解题方法程序与内容 一、组织教学师生问好，检查出席二、目标展示 1、情境创设复习提问：回顾重要知识点，为本节应用做准备数列前n 项和的定义:S n =a 1+a 2+a 3+…+a n引入课堂 2、明确目标公式法、裂项相消、错位相减. 、倒序相加法求数列前n 项和1.公式法：（1）直接法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，等比数列求和时注意对公比 q =1，q ≠1的讨论；11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--==)10(11)1()1(111q q q qa a q q a q na S n n n 且（2）特殊公式：所给数列的通项是关于n 的多项式，此时求和可采用公式法求和，常用的公式有：（3）拆项求和法：把数列的每一项分成几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求和.2.错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘得的新数列求和，即为等比数列求和公式的推导方法.3.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项再求和.4.倒序相加法：如果一个数列{an }，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法. 即等差数列求和公式的推导.三、目标教学、练习例1.求下列数列前n 项的和S n ： 1×4，2×5，3×6，…n (n +3)… 解: ∵a n =n(n+3)=n 2+3n设 计 意 图充分发挥学生学习的能动性,以学生为主体,展开课堂教学通过学生对几种常见的求和方法的归纳、总结,结合具体的实例、简单回忆各方法的应用背景.把遗忘的知识点形成了一个完整的知识体系。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案一、教学目标：1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。
3. 通过对数列的综合应用举例，使学生理解数列在数学和自然科学领域中的重要性。
二、教学内容：1. 等差数列的应用举例：例如计算工资、利息等问题。
2. 等比数列的应用举例：例如计算复利、人口增长等问题。
3. 数列的求和公式及应用：例如求等差数列、等比数列的前n项和等问题。
4. 数列的通项公式的应用：例如求等差数列、等比数列的第n项等问题。
5. 数列在函数中的应用：例如数列与函数的关系、数列的函数性质等问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：数列的基本概念、性质和求和公式。
2. 教学难点：数列的通项公式的理解和应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习数列知识。
2. 利用多媒体课件，直观展示数列的应用实例，提高学生的学习兴趣。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作能力和思维能力。
五、教学安排：1. 第一课时：等差数列的应用举例。
2. 第二课时：等比数列的应用举例。
3. 第三课时：数列的求和公式及应用。
4. 第四课时：数列的通项公式的应用。
5. 第五课时：数列在函数中的应用。
6. 剩余课时：进行课堂练习和课后作业的辅导。
六、教学目标：1. 深化学生对数列求和公式的理解，能够熟练运用求和公式解决复杂数列问题。
2. 培养学生运用数列知识进行数据分析的能力，提高学生的数学素养。
3. 通过对数列图像的观察，使学生理解数列与函数之间的关系。
七、教学内容：1. 数列图像的绘制与分析：学习如何绘制数列图像，并通过图像观察数列的特点。
2. 数列与函数的联系：探讨数列与函数之间的关系，理解数列可以看作是函数的特殊形式。
3. 数列在数据分析中的应用：例如，利用数列分析数据的变化趋势，预测未来的数据。
八、教学重点与难点：1. 教学重点：数列图像的绘制方法，数列与函数的关系，数列在数据分析中的应用。
数列的综合应用教案
高中数学专题复习——数列的综合应用一、考点、热点回顾如何解数列应用题(1)解数列应用题一般要经历：设——列——解——答四个环节． (2)建立数列模型时，应明确是什么模型，还要确定要求是什么． (3)建立数学模型的一般方法步骤：①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么.②抓住数学关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数学关系用数学式子表达．③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意引出满足题意的数学关系式(如函数、方程、不等式、数列等)．二：典型例题题型一：等差、等比数列的综合应用 例1：已知数列{a n }的前n 项和21()2n S n kn k N *=-+∈,且S n 的最大值为8. （1）确定常数k ，求a n ；（2）求数列92{}2nna -的前n 项和T n 。
解: （1）当n k N *=∈时，212n S n kn =-+取最大值，即22211822k k k =-+=，故4k =，从而19(2)2n n n a S S n n -=-=-≥，又1172a S ==，所以92n a n =-（1） 因为19222n n n n a n b --==，1222123112222n nn n n nT b b b ---=+++=+++++ 所以21211111222144222222n n n n n n n n n n n T T T -----+=-=++++-=--=-题型二：数列与函数的综合应用 例2：函数2()23f x x x =--。
定义数列{}n x 如下：112,n x x +=是过两点(4,5),(,(n n nP Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标。
（1）证明：123n n x x +≤<<； （2）求数列{}n x 的通项公式。
教学设计3：数列的综合应用
6.5数列的综合应用考向一 数列概念的考查(2013·高考湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N(n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N(n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N(n ，4)＝n 2， 五边形数 N(n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N(n ，6)＝2n 2－n ， ……可以推测N(n ，k )的表达式，由此计算N(10，24)＝________．【方法分析】 题目条件：已知第n 个三角形N(n ，3)，第n 个正方形数N(n ，4)，第n 个五边形数N(n ，5)，第n 个六边形数N(n ，6)．解题目标：按k 的奇偶性：归纳总结N(n ，k )，并计算N(10，24)． 关系探究：当偶数边形时，N(n ，k )的特征为( )n 2－( )n .【解题过程】 由N(n ，4)＝n 2，N(n ，6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N(n ，k )＝⎝⎛⎭⎫k 2－1n 2－⎝⎛⎭⎫k 2－2n ，于是N(n ，24)＝11n 2－10n ，故N(10，24)＝11×102－10×10＝1 000. 【答案】 1 000【回归反思】 此题是教材内容的深化题，通过由特殊到一般的归纳，得出N(n ，k )的通项公式，代入n ＝10，k ＝24计算．考向二 等差、等比数列的综合考查(2012·高考陕西卷)设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的公比；(2)证明：对任意k ∈N *，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．【方法分析】 题目条件：已知等比数列{a n }的a 5，a 3，a 4的关系． 解题目标：求公比q ，求证S k ＋2，S k ，S k ＋1的等差关系． 关系探究：(ⅰ)由等差中项建立q 的方程．(ⅱ)表示S k ＋2，S k 和S k ＋1，验证等差关系，即2S k ＝S k ＋2＋S k ＋1.【解题过程】 (1)设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4，即2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3. 由a 1≠0，q ≠0得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)， 所以q ＝－2.(2)证法一：对任意k ∈N *，S k ＋2＋S k ＋1－2S k ＝(S k ＋2－S k )＋(S k ＋1－S k )＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋1＝2a k ＋1＋a k ＋1·(－2)＝0， 所以对任意k ∈N *，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．证法二：对任意k ∈N *，2Sk ＝2a 1（1－q k ）1－q， S k ＋2＋S k ＋1＝a 1（1－q k ＋2）1－q ＋a 1（1－q k ＋1）1－q ＝a 1（2－q k ＋2－q k ＋1）1－q ，2S k －(S k ＋2＋S k ＋1)＝2a 1（1－q k ）1－q －a 1（2－q k ＋2－q k ＋1）1－q＝a 11－q[2(1－q k )－(2－q k ＋2－q k ＋1)] ＝a 1q k 1－q(q 2＋q －2)＝0， 因此，对任意k ∈N *，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．【回归反思】 以q 为未知数，以等差数列为关系建立方程，求解时，注意对q 的取舍，证明等差数列时，法一转化为通项的计算．法二转化为求和公式的化简，但最终都转化为等差中项的判断．考向三 数列与不等式知识的综合(2013·高考江西卷)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n＜564. 【方法分析】 题目条件：已知S n 关于n 的方程，b n 用a n 表示的通项公式，a n ＞0. 解题目标：(1)求S n 再求a n . (2)根据b n 求和T n ，并比较与564的大小． 关系探究：(1)把S n 的方程因式分解转化为S n ＝f (n )的形式，利用a n ＝S n －S n －1的关系求a n . (2)分析b n 的构成特点，裂项法求T n ，放缩法证明T n ＜564. 【解题过程】 (1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于数列{a n }是正项数列，所以S n ＞0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n .综上可知，数列{a n }的通项a n ＝2n . (2)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n ，则b n ＝n ＋14n 2（n ＋2）2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1（n ＋2）2. T n ＝116⎣⎡1－132＋122－142＋132－152＋…＋1（n －1）2⎦⎤－1（n ＋1）2＋1n 2－1（n ＋2）2 ＝116⎣⎡⎦⎤1＋122－1（n ＋1）2－1（n ＋2）2＜116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564. 【回归反思】 (1)已知条件式等价变形(因式分解)是较隐含的方法，否则此题其它入手方法很麻烦，并注意a n ＞0，取舍S n .(2)b n ＝14×n ＋1n 2（n ＋2）2，类比{1n （n ＋2）}可以裂项相消，要注意配平系数116.(3)求和相消的规律是：负数隔两项向后找消掉(正数隔两项向前找消掉)．考向四 数列与函数知识的综合(2013·高考安徽卷)设函数f n (x )＝－1＋x ＋x 222＋x 332＋…＋x nn 2(x ∈R ，n ∈N *)．证明：(1)对每个n ∈N *，存在唯一的x n ∈⎣⎡⎦⎤23，1，满足f n (x n )＝0； (2)对任意p ∈N *，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0<x n －x n ＋p <1n.【方法分析】 题目条件：已知函数解析式f n (x )，x 是自变量，n ∈N *是系数． 解题目标：(1)证明：当x n ∈[23，1]时，f n (x n )＝0.(2)由(1)中求得的x n ，证明0＜x n －x n ＋p ＜1n.关系探究：(1)由x ＞0时，f ′n (x )＞0⇒f n (x )增，同时f n (1)＝0⇒f n (1)＞0，f n (23)＜0⇒零点唯一．(2)由f n (x )单增⇒{x n }递减⇒x n －x n ＋p ＞0，并计算x n －x n ＋p 放缩得x n －x n ＋p ＜1n .【解题过程】 (1)证明：对每个n ∈N *，当x >0时，f ′n (x )＝1＋x2＋…＋x n －1n>0，故f n (x )在(0，＋∞)内单调递增．由于f 1(1)＝0，当n ≥2时， f n (1)＝122＋132＋…＋1n2>0，故f n (1)≥0.又f n ⎝⎛⎭⎫23＝－1＋23＋∑k ＝2n⎝⎛⎭⎫23kk 2≤－13＋14∑k ＝2n⎝⎛⎭⎫23k＝－13＋14·⎝⎛⎭⎫232⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n －11－23＝－13·⎝⎛⎭⎫23n －1<0，所以存在唯一的x n ∈⎣⎡⎦⎤23，1，满足f n (x n )＝0.(2)证明：当x >0时，f n ＋1(x )＝f n (x )＋x n ＋1（n ＋1）2>f n(x )，故f n ＋1(x n )>f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f n ＋1(x )在(0，＋∞)内单调递增，知x n ＋1<x n .故{x n }为单调递减数列， 从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p <x n .对任意p ∈N *，由于f n (x n )＝－1＋x n ＋x 2n 22＋…＋x n nn2＝0，①f n ＋p (x n ＋p )＝－1＋x n ＋p ＋x 2n ＋p 22＋…＋x n n ＋p n 2＋x n ＋1n ＋p （n ＋1）2＋…＋x n ＋p n ＋p（n ＋p ）2＝0，②①式减去②式并移项，利用0<x n ＋p <x n ≤1，得x n －x n ＋p ＝∑k ＝2nx k n ＋p －x kn k 2＋∑n ＋p,k ＝n ＋1 x k n ＋p k 2≤∑n ＋p,k ＝n ＋1 x k n ＋pk 2≤∑n ＋p,k ＝n ＋1 1k 2<∑n ＋p,k ＝n ＋11k （k －1）＝1n －1n ＋p <1n.因此，对任意p ∈N *，都有0<x n －x n ＋p <1n.1．(2013·高考江苏卷)在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3，则满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．解析：首先由已知条件求出{a n }的公比与首项，然后根据求和公式和通项公式将不等式的两边求出，用n 表示，得到关于n 的不等式，然后对不等式进行转化，求得n 的取值范围并进行估算和验证，从而得到n 的最大值．设{a n}的公比为q (q ＞0)，则由已知可得⎩⎨⎧a 1q 4＝12，12（q ＋q 2）＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝132，q ＝2.于是a 1＋a 2＋…＋a n ＝132（1－2n ）1－2＝132(2n －1)，a 1a 2…a n ＝a n1q n （n －1）2＝⎝⎛⎭⎫132n 2n （n －1）2.由a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 可得132(2n －1)＞⎝⎛⎭⎫132n 2n （n －1）2，整理得2n －1＞212n 2－112n ＋5. 由2n ＞212n 2－112n ＋5可得n ＞12n 2－112n ＋5，即n 2－13n ＋10＜0，解得13－1292＜n ＜13＋1292，取n ＝12，可以验证当n ＝12时满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n ，n ≥13时不满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n ，故n 的最大值为12. 答案：122．(2013·高考江苏卷)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S n k ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0. 解析：(1)由c ＝0，得b n ＝S nn ＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝⎛⎭⎫a ＋d 22＝a ⎝⎛⎭⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a . 从而对于所有的k ，n ∈N *，有S n k ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k . (2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1， 即nS nn 2＋c ＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *， 代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝⎛⎭⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0，19A ＋5B ＋cd 1＝0，21A ＋5B ＋cd 1＝0，由第二个和第三个方程得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入第一个方程，得B ＝0，从而cd 1＝0，即d 1－12d ＝0， b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又因为cd 1＝0，所以c ＝0.。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案一、教学目标1. 理解数列的概念及其性质2. 掌握数列的通项公式和求和公式3. 能够运用数列解决实际问题二、教学内容1. 数列的概念及其性质2. 数列的通项公式和求和公式3. 数列在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：数列的概念、性质、通项公式和求和公式2. 教学难点：数列在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解数列的概念和性质2. 采用示例法，教授数列的通项公式和求和公式3. 采用案例分析法，让学生学会运用数列解决实际问题五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如等差数列“每月工资”、“每分钟心跳次数”等，引导学生认识数列的概念和性质。
2. 讲解：讲解数列的概念、性质、通项公式和求和公式，通过示例让学生理解并掌握这些知识点。
3. 练习：布置一些练习题，让学生运用所学的数列知识解决问题，巩固所学内容。
4. 案例分析：选取一些实际问题，如“等差数列投资”、“数列在数据处理中的应用”等，让学生学会运用数列知识解决实际问题。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调数列在实际中的应用价值。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评估学生对数列概念和性质的理解程度。
2. 练习题评价：通过学生完成的练习题，检查学生对数列通项公式和求和公式的掌握情况。
3. 案例分析评价：评估学生在案例分析中的表现，判断其能否将数列知识应用于实际问题中。
七、教学拓展1. 数列在数学其他领域的应用：介绍数列在代数、几何、概率等领域中的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 数列与其他学科的交叉：探讨数列在其他学科如物理、化学、生物等方面的应用，拓宽学生的知识视野。
八、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的学习兴趣、教学方法的适用性、学生对数列知识的掌握程度等，以便对后续教学进行调整和改进。
九、课后作业布置一些有关数列的练习题，包括填空题、选择题和解答题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
数列的综合应用经典教案【强烈推荐】
第5讲数列的综合应用一、考点、热点回顾1．考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题。
2．考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力。
【复习指导】1．熟练把握等差数列与等比数列的基本运算。
2．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等。
3．注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法。
基础梳理1．等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前项的关系；(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定等比数列(1)强调从第二项起每一项与前项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值2.解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意。
(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么。
(3)求解——求出该问题的数学解。
(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中。
3．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差。
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比。
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n ＋1的递推关系，还是S n与S n＋1之间的递推关系。
一条主线数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解。
两个提醒(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．三种思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．(2)数列与不等式结合时需注意放缩．(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2的值为( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10解析 由题意知：a 23＝a 1a 4.则(a 2＋2)2＝(a 2－2)(a 2＋4)，解得：a 2＝－6. 答案 B 2．(·运城模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则S 4＝( )． A ．7 B ．8 C ．15 D ．16解析 设数列{a n }的公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3，∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋4＝0，∴q ＝2.∴S 4＝1－241－2＝15. 答案 C3．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )． A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小关系不确定 解析 记等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由数列{b n }为等差数列可知b 4＋b 10＝2b 7，又数列{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 3＋a 9＝a 3(1＋q 6)＝a 6⎝⎛⎭⎫1＋q 6q 3＝b 7⎝⎛⎭⎫1＋q 6q 3，又1＋q 6q 3＝1q 3＋q 3≥2(当且仅当q ＝1时，等号成立)，∴a 3＋a 9≥2b 7，即a 3＋a 9≥b 4＋b 10. 答案 B4．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )． A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4解析 由c ，a ，b 成等比数列可将公比记为q ，三个实数a ，b ，c ，待定为cq ，cq 2，c .由实数a 、b 、c 成等差数列得2b ＝a ＋c ，即2cq 2＝cq ＋c ，又等比数列中c ≠0，所以2q 2－q －1＝0，解一元二次方程得q ＝1(舍去，否则三个实数相等)或q ＝－12，又a ＋3b ＋c ＝a ＋3aq ＋a q ＝－52a ＝10，所以a ＝－4.答案 D 5．(·苏州质检)已知等差数列的公差d ＜0，前n 项和记为S n ，满足S 20＞0，S 21＜0，则当n ＝________时，S n 达到最大值．解析 ∵S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)＞0， S 21＝21a 11＜0，∴a 10＞0，a 11＜0， ∴n ＝10时，S n 最大． 答案 10考向一 等差数列与等比数列的综合应用【例1】►在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)令b n ＝2a n －10，证明：数列{b n }为等比数列．[审题视点] 第(1)问列首项a 1与公差d 的方程组求a n ；第(2)问利用定义证明． (1)解 由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10.(2)证明 由(1)，得b n ＝2a n －10＝22n＋10－10＝22n ＝4n ，∴b n ＋1b n ＝4n ＋14n ＝4.∴{b n }是首项是4，公比q ＝4的等比数列．对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．【训练1】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15， 又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，则a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1. (2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5，故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9， 由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2， 解得d 1＝2，d 2＝－10.∵等差数列{b n }的各项为正，∴d ＞0，∴d ＝2，b 1＝3，∴T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .考向二 数列与函数的综合应用【例2】►等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上． (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .[审题视点] 第(1)问将点(n ，S n )代入函数解析式，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，得到a n ，再利用a 1＝S 1可求r . 第(2)问错位相减求和．解 (1)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1·(b －1)，由于b ＞0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)由(1)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1.T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，12T n ＝223＋324＋…＋n2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， ∴T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等．【训练2】 (·福建)已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0,0＜φ＜π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．解 (1)由q ＝3，S 3＝133得a 1(1－33)1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3.因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3；因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1. 又0＜φ＜π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 考向三 数列与不等式的综合应用【例3】►(·惠州模拟)在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S nn＜k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由．[审题视点] 第(1)问由等比数列的性质转化为a 3＋a 5与a 3a 5的关系求a 3与a 5；进而求a n ；第(2)问先判断数列{b n }，再由求和公式求S n ；第(3)问由S n n 确定正负项，进而求S 11＋S 22＋…＋S nn的最大值，从而确定k 的最小值．解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)，∴a 3＞a 5，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×⎝⎛⎭⎫12n －1＝25－n. (2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ， ∴b n ＋1－b n ＝－1，b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴S n ＝n (9－n )2.(3)由(2)知S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n2.当n ≤8时，S n n ＞0；当n ＝9时，S nn ＝0；当n ＞9时，S nn＜0.∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S nn ＝18最大．故存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S nn＜k 对任意n ∈N *恒成立，k 的最小值为19.解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理． 【训练3】 (·岳阳模拟)已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1＞50成立的正整数n 的最小值．(1)解 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28， 可得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝8，a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32. 又∵数列{a n }单调递增，所以q ＝2，a 1＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)因为b n ＝2n log 122n ＝－n ·2n ，所以S n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n )，2S n ＝－[1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1]， 两式相减，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1.要使S n ＋n ·2n ＋1＞50，即2n ＋1－2＞50，即2n ＋1≥52.易知：当n ≤4时，2n ＋1≤25＝32＜50；当n ≥5时，2n ＋1≥26＝64＞50.故使S n ＋n ·2n ＋1＞50成立的正整数n 的最小值为5.难点突破14——数列与解析几何、三角的交汇问题从近几年新课标高考试题可以看出，不同省市的高考对该内容要求的不尽相同，考生复习时注意把握．数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决． 一、数列与解析几何交汇 【示例】► (·陕西)如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n .记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.二、数列与三角交汇【示例】►(·安徽)在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作T n，再令a n＝lg T n，n≥1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝tan a n·tan a n＋1，求数列{b n}的前n项和S n.。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案章节一：数列的概念与性质1.1 数列的定义1.2 数列的性质1.3 数列的通项公式1.4 等差数列与等比数列章节二：数列的求和2.1 等差数列求和2.2 等比数列求和2.3 数列的错位相减法2.4 数列的分组求和章节三：数列的极限3.1 数列极限的定义3.2 数列极限的性质3.3 数列极限的运算3.4 无穷小与无穷大章节四：数列的收敛性与发散性4.1 数列的收敛性4.2 数列的发散性4.3 数列收敛性的判断方法4.4 数列发散性的判断方法章节五：数列的应用5.1 数列在数学分析中的应用5.2 数列在概率论中的应用5.3 数列在数论中的应用5.4 数列在其他领域的应用《数列综合应用举例》教案（续）章节六：等差数列的应用6.1 等差数列在数学分析中的应用6.2 等差数列在物理中的应用6.3 等差数列在经济学中的应用6.4 等差数列在其他领域的应用章节七：等比数列的应用7.1 等比数列在数学分析中的应用7.2 等比数列在生物学中的应用7.3 等比数列在金融学中的应用7.4 等比数列在其他领域的应用章节八：数列的插值与逼近8.1 数列插值的概念与方法8.2 数列逼近的概念与方法8.3 等差数列与等比数列的插值与逼近8.4 数列插值与逼近在其他领域的应用章节九：数列的级数展开9.1 数列级数的概念9.2 数列级数的收敛性与发散性9.3 数列级数展开的方法9.4 数列级数展开在数学分析中的应用章节十：数列的应用实例分析10.1 数列在数学建模中的应用10.2 数列在信号处理中的应用10.3 数列在数据分析中的应用10.4 数列在其他学科中的应用实例分析《数列综合应用举例》教案（续）章节十一：数列与函数的关系11.1 数列与函数的定义11.2 数列与函数的性质11.3 数列与函数的转化11.4 数列与函数在数学分析中的应用章节十二：数列的线性表征12.1 数列的线性表征方法12.2 数列的线性表征性质12.3 数列的线性表征应用12.4 数列的线性表征在其他领域的应用章节十三：数列的矩阵表示13.1 数列矩阵表示的概念13.2 数列矩阵表示的性质13.3 数列矩阵表示的运算13.4 数列矩阵表示在数学分析中的应用章节十四：数列的变换与映射14.1 数列变换的概念与方法14.2 数列映射的概念与方法14.3 等差数列与等比数列的变换与映射14.4 数列变换与映射在其他领域的应用章节十五：数列研究的现代方法15.1 数列研究的现代方法概述15.2 数列研究的计算机方法15.3 数列研究的随机方法15.4 数列研究的其他现代方法重点和难点解析本教案《数列综合应用举例》涵盖了数列的基本概念、性质、求和、极限、收敛性与发散性，以及数列在各个领域的应用。
初中数学教案数列的综合应用与数学归纳法
初中数学教案数列的综合应用与数学归纳法初中数学教案：数列的综合应用与数学归纳法在初中数学中，数列是一个非常重要的概念。
数列的综合应用可以帮助学生提高数学解题能力，而数学归纳法是解决数列问题的一种常用方法。
本教案将重点介绍数列的综合应用和数学归纳法的规则和使用方法。
一、数列的综合应用数列的综合应用广泛存在于实际生活中。
例如，数列可以用来描述某一事件随时间变化的规律，也可以用来计算各种数值之间的关系等等。
下面举例说明数列的综合应用。
例1：某商品的价格每天下降10元，第一天的价格是100元，请问第n天的价格是多少？解析：该题可以用数列来解决。
设第n天的价格为an，则an = 100 - 10(n-1)。
这个数列的通项公式可以通过观察数列前几项的规律得到。
例如，第一天的价格是100元，第二天是90元，以此类推。
因此，第n天的价格为100 - 10(n-1)元。
例2：有一架高空跳伞的直升机，每次跳伞的时候，跳伞台下方的高度会减少500米。
如果起始高度为2000米，问第n次跳伞时的高度是多少米？解析：该题也可以用数列来解决。
设第n次跳伞时的高度为hn，则hn = 2000 - 500(n-1)。
观察前几次跳伞时的高度变化规律，可以得到数列的通项公式为2000 - 500(n-1)。
以上两个例子展示了数列在实际问题中的应用。
通过使用数列，我们可以将复杂的问题转化为简单的计算，从而更好地解决实际问题。
二、数学归纳法的规则和使用方法数学归纳法是解决数列问题时常用的方法之一。
它的基本思想是：通过证明第一个命题成立，以及如果第k个命题成立，则第k+1个命题也成立，从而得出整个数列的命题成立。
下面介绍数学归纳法的规则和使用方法。
步骤一：证明第一个命题成立首先，需要证明数列中第一个命题成立。
即，验证当n = 1时，数列的某一特性是否成立。
步骤二：假设第k个命题成立假设当n = k时，数列的某一特性成立。
步骤三：证明第k+1个命题成立通过假设第k个命题成立，并使用这个假设进行推理，证明当n = k+1时，数列的某一特性也成立。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案一、教学目标1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 通过对数列综合应用的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的综合素质。
二、教学内容1. 等差数列的应用：等差数列的求和公式、等差数列的通项公式等。
2. 等比数列的应用：等比数列的求和公式、等比数列的通项公式等。
3. 数列的极限：数列极限的定义、数列极限的性质等。
4. 数列的收敛性：收敛数列的定义、收敛数列的性质等。
5. 数列的应用举例：如数列在实际问题中的应用，如人口增长、放射性衰变等。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解数列的基本概念、性质和应用。
2. 运用案例分析法，分析数列在实际问题中的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。
4. 设置课后习题，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
四、教学步骤1. 引入数列的基本概念，讲解等差数列和等比数列的定义和性质。
2. 引导学生运用数列知识解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
3. 讲解数列的极限和收敛性，分析数列在实际中的应用。
4. 组织学生进行小组讨论，分享数列在实际问题中的应用案例。
5. 通过课后习题，检查学生对数列知识的掌握程度。
五、教学评价1. 课后习题的完成情况，检验学生对数列知识的掌握。
2. 课堂讨论的参与度，评估学生的团队协作能力和思维水平。
3. 学生对数列应用案例的分析，评估学生的实际应用能力。
4. 定期进行教学质量调查，了解学生的学习需求，调整教学方法。
六、教学资源1. 教学PPT：制作数列综合应用的教学PPT，包含数列的基本概念、性质、应用案例等内容。
2. 案例素材：收集数列在实际问题中的应用案例，如人口增长、放射性衰变等。
3. 课后习题：编写具有代表性的课后习题，检验学生对数列知识的掌握。
4. 教学视频：寻找相关的教学视频，如数列的极限、收敛性的讲解等，辅助学生理解难点内容。
数列的综合应用教案
数列的综合应用教案2020-11-25数列的综合应用教案【目标】1．掌握一些常见等差等比数列综合问题的求解方法；2．培养学生分析问题和解决问题的能力。
【难点】难点是解决数列中的一些综合问题。
【教学过程】例1．等差数列的公差和等比数列的公比都是d(d≠1)，且，，，⑴求和d的值；⑵ 是不是中的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。
例2．设等比数列的公比为 , 前项和为，若成等差数列，求的.值．例3．已知数列的前n项和为且满足．(1)判断是否是等差数列，并说明理由；(2)求数列的通项；例4．设是正数组成的数列，其前n项和为，且对于所有正整数n, 与2的等差中项等于与2的等比中项。
⑴写出的前3项；⑵求的通项公式（写出推理过程）;⑶令， ,求的值。
例5、已知数列，设，数列。
（1）求证：是等差数列；（2）求数列的前n项和Sn；（3）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。
例6．已知函数，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）令，求；（3）令对一切成立，求最小正整数m.【课后作业】1.设数列｜an｜是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是。
2.设等差数列的公差不为，．若是与的等比中项，则 _________。
3.若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=_______。
4. 已知等比数列的前项和为且。
（1）求的值及数列的通项公式。
（2）设求数列的前项和。
5.设数列的前项和为，已知（1）设，求数列的通项公式；（2）若，求的取值范围6．设为数列的前项和，若（）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．（1）若数列是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列是否为“和等比数列”；（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，且数列是“和等比数列”，试探究与之间的等量关系．7.已知数列是首项，公比q>0的等比数列，设且 , 。
⑴求数列的通项公式,⑵设数列的前项和为，求证数列是等差数列；⑶设数列的前n项和为 ,当取最大值时,求n的值.二元一次不等式（组）与平面区域3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（第2时）使用说明：1.前认真预习本，完成本学案；2.上认真和同学讨论交流，积极回答问题、板演，认真听老师点评；3.下复习，整理归纳。
数列综合应用教案
数列综合应用教案【篇一：《数列的综合应用》教案】个性化教案授课时间年级高三备课时间学生姓名教师姓名课题数列的进一步认识教学目标（1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，以及非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。
教学重点教学设计教学内容（2）理解与掌握“等价转化”、“变量代换”思想（3）能在具体的问题情境中识别数列的相应关系，并能用相关知识解决相应的问题1、数列求和的几种常见方法2、识别数列的相关关系，并能利用“等价转化”、“变量代换”思想解决相关数列问题一、检查并点评学生的作业。
检查过程中，要特别注意反映在学生作业中的知识漏洞，并当场给学生再次讲解该知识点，也可出题让学生做，检查效果。
二、检查学生上节课或在校一周内的知识点掌握情况，帮助学生再次梳理知识。
三、讲授新内容数列求和数列求和的常用方法 1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和；（2）一些常见的数列的前n项和：n∑k=n(n+1)k=12n∑k2=16n(n+1)(2n+1)k=1nk3=14n2(n+1)2k=12、倒序相加法如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。
等差数列的前n项和即是用此法推导的。
3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的；例：sn=1*2+2*4+3*8+??+n*2n①2sn=1*4+2*8+3*16+??+（n-1）*2n+n*2n+1②①-②得 -sn=2-（4+8+16+??+2n）-n*2n+1 即：sn=（n-1）2n+1-64、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。
第十一讲 数列的综合应用-教案
第十一讲 数列的综合应用昆山震川高级中学 沙纪忠【复习要求】灵活运用等差数列、等比数列公式与性质解决一些综合性问题．【复习重难点】掌握一些简单的递推数列、子数列问题的处理方法及一些数列证明题的证明方法．一、【基础训练】1． 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n ＝________．答案：56n 2－76n 解析：由条件得⎩⎨⎧S 6＝6a 1＋6×52d ＝23，S 9＝9a 1＋9×82d ＝57，即⎩⎨⎧a 1＝－13，d ＝53，故a n ＝56n 2－76n ． 2．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和．若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________． 答案：64解析：a 22＝a 1a 5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，所以d ＝2，故S 8＝8＋8×72×2＝64．3． 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足关系式S n ＝n 90(21n －n 2－5)(n ＝1，2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是________． 答案：7、8解析：由S n 解出a n ＝130(－n 2＋15n －9)， 再解不等式130(－n 2＋15n －9)>1．5，得6<n<9． 4． 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 100·OA →＋a 101OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O)，则S 200＝________．答案：100解析：∵ OB →＝a 100OA →＋a 101OC →且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O)，∴ a 100＋a 101＝1，∴ S 200＝200×（a 1＋a 200）2＝100×(a 1＋a 200)＝100×1＝100．二、【思维拓展】例1 设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *． (1) 求a 2的值；(2) 求数列{a n }的通项公式．(1) 解：∵ 2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N ． ∴ 当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝a 2－13－1－23＝a 2－2． 又a 1＝1，∴ a 2＝4．(2) 解：∵ 2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N ． ∴ 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ＝na n ＋1－n （n ＋1）（n ＋2）3，① ∴ 当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －（n －1）n （n ＋1）3，② 由①－②，得2S n －2S n －1＝na n ＋1－(n －1)a n －n(n ＋1)，∵ 2a n ＝2S n －2S n －1，∴ 2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n(n ＋1)，∴ a n ＋1n ＋1－a n n ＝1， ∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以首项为a 11＝1，公差为1的等差数列． ∴ a n n＝1＋1×(n －1)＝n ，∴ a n ＝n 2(n ≥2)， 当n ＝1时，上式显然成立． ∴ a n ＝n 2，n ∈N *．例2 正项数列{a n }的前项和满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0．(1) 求数列{a n }的通项公式a n ；(2) 令b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ．证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564． (1) 解：由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0，得[S n －(n 2＋n)](S n ＋1)＝0．由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n ．于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ．综上，数列{a n }的通项a n ＝2n ．(2) 证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n ， 则b n ＝n ＋14n 2（n ＋2）2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1（n ＋2）2． T n ＝116[1－132＋122－142＋132－152＋…＋1（n －1）2－1（n ＋1）2＋1n 2－1（n ＋2）2] ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1（n ＋1）2－1（n ＋2）2<116(1＋122)＝564． 故对于任意的n ∈N *，都有T n <564．例3 设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记b n ＝nS n n 2＋c，n ∈N *，其中 c 为实数．(1) 若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S n k ＝n 2S k (k ，n ∈N *)；(2) 若{b n }是等差数列，证明：c ＝0．证明：∵ {a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和，∴ S n ＝na ＋n （n －1）2d ． (1) ∵ c ＝0，∴ b n ＝S n n ＝a ＋n －12d ． ∵ b 1，b 2，b 4成等比数列，∴ b 22＝b 1b 4，∴ ⎝⎛⎭⎫a ＋12d 2＝a ⎝⎛⎭⎫a ＋32d ， ∴ 12ad －14d 2＝0， ∴ 12d ⎝⎛⎭⎫a －12d ＝0． ∵ d ≠0，∴ a ＝12d ，∴ d ＝2a ， ∴ S n ＝na ＋n （n －1）2d ＝na ＋n （n －1）22a ＝n 2a ， ∴ 左边＝S nk ＝(nk)2a ＝n 2k 2a ，右边＝n 2S k ＝n 2k 2a ，∴ 左边＝右边，∴ 原式成立．(2) ∵ {b n }是等差数列，∴ 设公差为d 1，∴ b n ＝b 1＋(n －1)d 1代入b n ＝nS n n 2＋c ，得b 1＋(n －1)d 1＝nS n n 2＋c， ∴ ⎝⎛⎭⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c(d 1－b 1)对n ∈N *恒成立， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0，c （d 1－b 1）＝0，∴ d 1＝12d ．∵ d ≠0，∴ d 1≠0． 例4 已知数列{a n }中，a 1＝2，n ∈N *，a n ＞0，数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋1＝2S n ＋1＋S n －2． (1) 求{S n }的通项公式；(2) 设{b k }是{S n }中的按从小到大顺序组成的整数数列．① 求b 3；② 存在N(N ∈N *)，当n ≤N 时，使得在{S n }中，数列{b k }有且只有20项，求N 的范围．解：(1) a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴ (S n ＋1－S n )(S n ＋1＋S n －2)＝2；即(S n ＋1)2－(S n )2－2(S n ＋1－S n )＝2，∴ (S n ＋1－1)2－(S n －1)2＝2，且(S 1－1)2＝1，∴ {(S n －1)2}是首项为1，公差为2的等差数列，∴ S n ＝1＋2n －1．(2) ① n ＝1时，S 1＝1＋1＝2＝b 1，n ＝5时，S 5＝1＋3＝4＝b 2，n ＝13时，S 13＝1＋5＝6＝b 3．② ∵ 2n －1是奇数，S n ＝1＋2n －1为有理数，则2n －1＝2k －1，∴ n ＝2k 2－2k ＋1，当k ＝20时，n ＝761；当k ＝21时，n ＝841；∴ 存在N ∈[761，840]，当n ≤N 时，使得在{S n }中，数列{b k }有且只有20项．三、【能力提升】1． 设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________． 答案：33解析：设a 2＝t ，则1≤t ≤q ≤t ＋1≤q 2≤t ＋2≤q 3，由于t ≥1，所以q ≥max{t ，t ＋1，3t ＋2}，故q 的最小值是33．2． 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n 、a n ＋1是函数f(x)＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10＝________． 答案：64解析：依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64．3． 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，当n ≥2时，a n ＋1是a n ·a n －1的个位数，则a 2 010＝________． 答案：4解析：由题意得，a 3＝a 1·a 2＝6，定义f(x)＝x 的个位数，则a 4＝f(a 3·a 2)＝8，依此类推，a 5＝8，a 6＝4，a 7＝2，a 8＝8，a 9＝6，a 10＝8，到此为止，看出一个周期，a 9＝a 3，a 10＝a 4，周期为6，因为前2项不符合周期，所以2 010－2＝2 008，2 008＝6×334＋4，所以a 2 010＝a 6＝4．4．已知数列a n ＝n －16，b n ＝(－1)n |n －15|，其中n ∈N *．(1) 求满足a n ＋1＝|b n |的所有正整数n 的集合；(2) 若n ≠16，求数列b n a n的最大值和最小值． 解：(1) a n ＋1＝|b n |，n －15＝|n －15|．当n ≥15时，a n ＋1＝|b n |恒成立；当n<15时，n －15＝－(n －15)，n ＝15(舍去)．∴ n 的集合为{n|n ≥15，n ∈N *}．(2) b n a n ＝（－1）n |n －15|n －16． (ⅰ) 当n>16时，n 取偶数时，b n a n ＝n －15n －16＝1＋1n －16，当n ＝18时，⎝⎛⎭⎫b n a n max＝32，无最小值； n 取奇数时，b n a n ＝－1－1n －16， n ＝17时，⎝⎛⎭⎫b n a n min＝－2，无最大值． (ⅱ) 当n<16时，b n a n ＝（－1）n （n －15）n －16． 当n 为偶数时，b n a n ＝－（n －15）n －16＝－1－1n －16． n ＝14时，⎝⎛⎭⎫b n a n max＝－12，⎝⎛⎭⎫b n a n min ＝－1314； 当n 为奇数时，b n a n ＝n －15n －16＝1＋1n －16， n ＝1时，⎝⎛⎭⎫b n a n max＝1－115＝1415， n ＝15时，⎝⎛⎭⎫b n a n min＝0． 综上，b n a n 最大值为32(n ＝18)，最小值－2(n ＝17)．5． 已知数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2(n ∈N *)．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 对任意给定的k ∈N *，是否存在p ，r ∈N *(k<p<r)使1a k ，1a p ，1a r成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r(只要写出一组)；若不存在，请说明理由．解：(1) 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2，n ∈N *时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2，所以a n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1；综上所述，a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2) 当k ＝1时，若存在p ，r 使1a k ，1a p ，1a r 成等差数列，则1a r ＝2a p －1a k ＝3－2p 2p －1．因为p ≥2，所以a r <0与数列{a n }为正数相矛盾，因此，当k ＝1时不存在；当k ≥2时，设a k ＝x ，a p ＝y ，a r ＝z ，则1x ＋1z ＝2y ，所以z ＝xy 2x －y．令y ＝2x －1，得z ＝xy ＝x(2x －1)，此时a k ＝x ＝2k －1，a p ＝y ＝2x －1＝2(2k －1)－1，所以p ＝2k －1，a r ＝z ＝(2k －1)(4k －3)＝2(4k 2－5k ＋2)－1，所以r ＝4k 2－5k ＋2．综上所述，当k＝1时，不存在p，r；当k≥2时，存在p＝2k－1，r＝4k2－5k＋2满足题设．数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目需对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟他在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等．。
数列综合题和应用性问题教案
数列综合题和应用性问题教案一、教学目标：1. 让学生掌握数列的综合题型，包括数列的求和、通项公式、递推关系等。
2. 培养学生解决实际应用问题的能力，将数列知识运用到实际情境中。
3. 提高学生的逻辑思维能力和运算能力。
二、教学内容：1. 数列的综合题型：求和公式、通项公式、递推关系等。
2. 数列在实际应用中的问题：例如求等差数列的前n项和、求等比数列的某项值等。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：数列的综合题型的解法，实际应用问题的解决。
2. 教学难点：数列的递推关系的运用，实际问题中的参数设置。
四、教学方法：1. 案例分析法：通过具体的数列综合题型和实际应用问题，引导学生分析和解决问题。
2. 小组讨论法：分组讨论数列的综合题型和解题策略，促进学生之间的交流与合作。
3. 练习法：布置相关的数列综合题和应用性问题，让学生巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入新课：通过引入一些数列的综合题型和实际应用问题，激发学生的兴趣，引发思考。
2. 讲解与示范：讲解数列的综合题型的解法，示范解决实际应用问题的过程。
3. 案例分析：分析具体的数列综合题型和实际应用问题，引导学生学会分析和解决问题。
4. 小组讨论：让学生分组讨论数列的综合题型和解题策略，培养学生的合作意识。
5. 练习与反馈：布置相关的数列综合题和应用性问题，让学生进行练习，并及时给予反馈和讲解。
6. 总结与反思：让学生总结数列综合题和应用性问题的解题方法，反思自己在解题过程中的不足。
7. 布置作业：布置一些数列综合题和应用性问题，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的参与程度，包括发言、讨论和练习情况。
2. 作业完成情况：检查学生完成的数列综合题和应用性问题的质量，评估学生的理解程度和应用能力。
3. 小组讨论报告：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作、交流和问题解决能力。
4. 学生自评和互评：鼓励学生进行自我评价和同伴评价，反思自己的学习过程和进步。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案第一章：数列的概念与性质1.1 数列的定义引导学生理解数列的概念，理解数列是一种特殊的函数。
通过实例让学生了解数列的基本形式，如等差数列、等比数列等。
1.2 数列的性质引导学生学习数列的基本性质，如数列的项数、首项、末项、公差、公比等。
通过实例让学生掌握数列的性质，并能够运用性质解决实际问题。
第二章：数列的求和2.1 等差数列的求和引导学生学习等差数列的求和公式，理解公差、首项、末项与求和的关系。
通过实例让学生掌握等差数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。
2.2 等比数列的求和引导学生学习等比数列的求和公式，理解公比、首项、末项与求和的关系。
通过实例让学生掌握等比数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。
第三章：数列的极限3.1 数列极限的概念引导学生理解数列极限的概念，理解数列极限与数列收敛的关系。
通过实例让学生了解数列极限的性质，如保号性、单调性等。
3.2 数列极限的计算引导学生学习数列极限的计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
通过实例让学生掌握数列极限的计算方法，并能够运用极限的概念解决实际问题。
第四章：数列的应用4.1 数列在数学分析中的应用引导学生学习数列在数学分析中的应用，如级数、积分等。
通过实例让学生了解数列在数学分析中的重要性，并能够运用数列解决实际问题。
4.2 数列在其他学科中的应用引导学生学习数列在其他学科中的应用，如物理学、经济学等。
通过实例让学生了解数列在不同学科中的作用，并能够运用数列解决实际问题。
第五章：数列的综合应用5.1 数列在经济管理中的应用引导学生学习数列在经济管理中的应用，如库存管理、成本分析等。
通过实例让学生了解数列在经济管理中的重要性，并能够运用数列解决实际问题。
5.2 数列在工程科技中的应用引导学生学习数列在工程科技中的应用，如信号处理、结构分析等。
通过实例让学生了解数列在工程科技中的作用，并能够运用数列解决实际问题。
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个 性 化 教 案授课时间 备课时间 年级高三学生姓名 教师姓名课题数列的进一步认识教学目标 （1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n 项和公式，以及非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。
（2）理解与掌握“等价转化”、“变量代换”思想（3）能在具体的问题情境中识别数列的相应关系，并能用相关知识解决相应的问题教学重点 1、数列求和的几种常见方法2、识别数列的相关关系，并能利用“等价转化”、“变量代换”思想解决相关数列问题教学设计教学内容 一、检查并点评学生的作业。
检查过程中，要特别注意反映在学生作业中的知识漏洞，并当场给学生再次讲解该知识点，也可出题让学生做，检查效果。
二、检查学生上节课或在校一周内的知识点掌握情况，帮助学生再次梳理知识。
三、讲授新内容 数列求和数列求和的常用方法 1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n 项公式求和； （2）一些常见的数列的前n 项和：2)1(1+=∑=n n k nk )12)(1(6112++=∑=n n n k nk 2213)1(41+=∑=n n k nk 2、倒序相加法如果一个数列{}n a ，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
等差数列的前n 项和即是用此法推导的。
3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的；例：n S =1*2+2*4+3*8+……+n*n 2①2n S =1*4+2*8+3*16+……+（n-1）*n 2+n*12+n ② ①-②得 -n S =2-（4+8+16+……+n 2）-n*12+n 即：n S =（n-1）12+n -64、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n 项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。
例：n S =21+61+……+n n )1(1-=1-21+21-31+……+11-n -n 1=1-n 1=nn 1-5、分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；例：n S =1+2+3+4+5+7+8+9+16+……+2n-1+n 2=(1+3+……+2n-1)+（2+4+……+n2）=2n +12+n -26、并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。
形如(1)()nn a f n =-类型，可采用两项合并求解。
例：n S =2100-299+298-297+……+22-21=（100+99）+（98+97）+……+（2+1）=5050● 数列的综合应用1、等差数列与等比数列综合题● 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点；● 利用等比数列前n 项和公式时注意公比q 的取值。
同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解。
例：在数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠）．（Ⅰ）设1n n nb a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的*n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．2、以等差数列为模型的实际应用● 解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化。
然后用等差数列知识求解。
这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。
● 解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是：从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：例：气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为1049+n 元（n ∈*N ）,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止,一共使用了多少天?3、以等比数列为模型的实际应用● 函数的实际应用问题中，有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n 项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，合理应用。
● 与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题。
这都与等比数列有关。
例：我国是一个人口大国，随着时间推移，老龄化现象越来越严重，为缓解社会和家庭压力，决定采用养老储备金制度，公民在就业的第一年交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此，历年所交纳的储备金数目1a ，2a ，……，n a 是一个公差为d 的等差数列。
与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。
这就是说，如果固定利率为r(r>0),那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为1a 1)1(-+n r ，第二年所交纳的储备金就变为2a 2)1(-+n r 以n T 表示到第n 年所累计的储备金总额。
（1）写出n T 与1n T -（n ≥2）的递推关系式；（2）求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列。
4、数列与不等式、解析几何的综合应用● 数列、解析几何、不等式是高考的重点内容，将三者综合在一起，强强联合命题大型综合题是历年高考的热点和重点。
● 数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数作为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，而一直成为高考命题者的首选。
例1：设数列{n a }的前n 项和为n S ，)1(2,11-+==n nS a a nn 。
（1）求证：数列n a 为等差数列，并分别求出n a 、n S 的表达式；（2）设数列}1{1+n n a a 的前n 项和为4151<≤n T ，求证：4151<≤n T ；例2：已知曲线02:22=+-y nx x C n (n=1,2,……)．从点P(-1,0)向曲线n C 引斜率为nk （0>n k ）的切线n l ，切点为),(n n n y x P ．（1）求数列n x 与n y 的通项公式；（2）证明：1x 3x 5x ……12-n x <n nx x +-11<2nn y x sin .5、数列与函数的综合问题● 数列与函数的综合问题主要分为两类：①已知函数条件，解决数列问题。
此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题②已知数列条件，解决函数问题。
● 解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形。
例：已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x 且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S=n S +1+n S （2n ≥）.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）若数列{n n b b 11-}前n 项和为n T ，问n T >20091000的最小正整数n 是多少？6、数列与向量交汇的综合题● 解决数列与向量相结合的综合题，一般是利用向量中的线性运算、向量的数量积等知识，因此，需要我们熟悉相关的性质。
例：已知数列{}n a 的首项1213a a ==，，前n 项和为n S ，且1n S +、n S 、1n S -（n ≥2）分别是直线l 上的点A 、B 、C 的横坐标，21n na AB BC a +=，设11b =，12log (1)n n n b a b +=++． ⑴ 判断数列{1}n a +是否为等比数列，并证明你的结论；⑵ 设11114n b n n n n c a a +-++=，证明：11<∑=nk k C ．四、真题练习1. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。
（Ⅰ）求{}n a 的通项；（Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。
2．设xx f +=12)(1，定义2)0(1)0()],([)(11+-==+n n nn n f f a x f f x f ，其中n ∈N*. （1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）求,23223212n n na a a a T ++++=3．在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，点nP 位于函数4133+=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以25-为首项，1-为公差的等差数列{}n x .⑴求点n P 的坐标；子⑵设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c 的顶点为n P ，且过点)1,0(2+n D n ，记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：nn k k k k k k 13221111-+++ . 4．已知数列{}n a 的首项1213a a ==，，前n 项和为n S ，且1n S +、n S 、1n S -（n ≥2）分别是直线l 上的点A 、B 、C 的横坐标，21n na AB BC a +=，设11b =，12log (1)n n n b a b +=++． ⑴ 判断数列{1}n a +是否为等比数列，并证明你的结论；⑵ 设11114n b n n n n c a a +-++=，证明：11<∑=nk k C ．5．已知数列{}n a 满足.21211--+=n n n a na a *)(N n ∈(1)若数列{}n a 是以常数1a 首项,公差也为1a 的等差数列,求a 1的值; (2)若012a =,求证：21111n n a a n --<对任意n N *∈都成立； (3)若012a =,求证：12n n a n n +<<+对任意n N *∈都成立. 五、让学生陈述本节课学习的内容 六、总结一下本节课的主要内容七、说明下一节课的主要学习内容，以及学生应该做哪些准备工作作业数列的综合练习一、选择题1．如果-1，a , b,c ,-9成等比数列，那么A ．b =3,a c =9B.b =-3,a c =9C.b =3,a c =-9D.b =-3,a c =-92．（06广东卷）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为A.5B.4C. 3D. 23．（06江西卷）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ）A ．100 B. 101 C.200 D.201 4．已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则2007a =（ ）A ．0B ．3-C ．3D ．235．（06全国II ）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝A .310 B .13 C .18 D .196．已知等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,则该数列前9项和S 9等于( ) A.18 B.27 C.36 D.457．（06天津卷）已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）A ．55B ．70C ．85D ．100 二、填空题8．在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项a n =_________.9. 已知a ,b ,a +b 成等差数列，a ,b ,ab 成等比数列，且0<log m (ab )<1,则m 的取值范围是________ _10、对于各数互不相等的正数数组()n i i i ,,,21 （n 是不小于2的正整数），如果在q p <时有q p i i >，则称p i 与q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”。