第四讲函数的相关概念

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函数的概念和概念

函数的概念和概念函数是数学中的基本概念之一，也是计算机科学中非常重要的概念之一。

简单来说，函数是一种将一个或多个输入映射到一个输出的规则或过程。

在数学中，函数是一个机械的映射关系，可以将一个数或一组数映射到另一个数或一组数。

具体地说，函数是一种有序对的集合，包括输入和对应的输出。

函数的输入称为自变量，输出称为因变量。

函数通常用自变量x和因变量y表示，一般写成y = f(x)的形式。

这里的f表示函数关系，表示自变量x和因变量y之间的映射关系。

函数关系可以用各种形式的方程式、图表或图像来表示。

函数在数学中有很多种不同的类型，例如，线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等等。

每种函数都有其特定的特征和性质。

函数的定义域为自变量可能取值的集合，值域为函数可能取值的集合。

定义域和值域的不同可以决定函数的性质和特征。

例如，线性函数的图像是一条直线，定义域和值域都是实数集；二次函数的图像是一个抛物线，定义域为实数集，值域取决于二次项的系数等等。

在计算机科学中，函数是一种封装了某个特定功能的可重用代码块。

有了函数，我们可以将复杂的问题分解成更小的问题，每个问题由一个函数来解决。

这种分解使程序变得更加模块化和易于理解。

函数接受输入参数，经过一系列代码运算，产生一个输出结果。

函数可以返回一个值，也可以没有返回值。

函数在程序设计中有很多种不同的形式，例如，内置函数、自定义函数、递归函数等等。

内置函数是语言本身提供的函数，例如，数学计算函数、字符串处理函数、文件操作函数等等。

自定义函数是由程序员根据需要自行编写的函数。

递归函数是指函数可以调用自己的一种特殊函数。

函数在计算机科学中的重要性不言而喻。

函数可以大大简化程序的编写，提高代码的可读性和可维护性。

通过将一个复杂问题分解成多个函数，可以使程序更加模块化，易于理解和调试。

函数可以被多次调用，从而提高代码的重用性。

通过递归函数，可以处理一些复杂和需要重复调用的问题，例如，处理树形结构、图形遍历等。

函数的基本概念

函数的基本概念函数是数学中的一个重要概念，也是数学分析的基础。

它在数学和其他领域中有着广泛的应用。

本文将介绍函数的基本概念以及一些常见的函数类型。

1. 函数的定义函数是数学中一种对应关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。

通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。

函数可以用图像、表格或公式的形式表示。

2. 函数的表示方法函数可以通过不同的方式进行表示。

常见的表示方法包括：- 变量表达式：如y = 2x + 1，其中y表示因变量，x表示自变量。

- 函数图像：通过绘制自变量和因变量之间的关系，可以得到函数的图像。

图像可以帮助我们更直观地理解函数的性质。

- 函数表格：通过将自变量和因变量的对应关系列成表格形式，可以清晰地展示函数的取值情况。

3. 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，即函数能够接受的输入。

函数的值域是指函数的所有可能输出值，即函数的取值范围。

定义域和值域是函数的重要性质，可以帮助我们了解函数的范围和性质。

4. 常见的函数类型4.1 线性函数线性函数是最简单的一种函数类型，其表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a不等于零。

线性函数的图像为一条直线，具有常等差的特点。

4.2 幂函数幂函数是指形如f(x) = x^n的函数，其中n为整数。

幂函数的图像根据n的不同而变化，n为偶数时图像可以是开口向上或向下的抛物线，n为奇数时图像则可以是一条直线。

4.3 指数函数指数函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a为正实数且不等于1。

指数函数的图像通常呈现出逐渐增长或逐渐减小的曲线，具有指数增长或指数衰减的特点。

4.4 对数函数对数函数是指形如f(x) = log_a(x)的函数，其中a为正实数且不等于1。

对数函数的图像通常呈现出逐渐增长但增长速度逐渐减缓的曲线，具有反指数增长的特点。

4.5 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

函数的奇偶性

2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法
（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：
若f(－x) =f(x)或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x)或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
(14).设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝()
A.0B.1C. D.5
(15)．若，g（x）都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，
则f（x）在（－∞，0）上有（）
A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3
（16）定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，则f(99)＝( )
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。
(2)利用图像判断函数奇偶性的方法：
图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数，
（3）简单性质：
设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
A．13B．2 C.13/2D.2/13
（17）定义在R上的函数f(x)满足：对于任意α，β∈R，总有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝2010，则下列说法正确的是( )
A．f(x)－1是奇函数 B．f(x)＋1是奇函数
C．f(x)－2010是奇函数 D．f(x)＋2010是奇函数
（18）设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log (1－x)，则函数f(x)在(1,2)上( )

高等数学第四讲一元函数积分的概念性质与基本定理

一、一元函数积分的概念、性质与基本定理1、原函数、不定积分在区间Ⅰ上，如()()x f x F /=，称()x f 为()x F 的导函数，称()x F 为()x f 的原函数，原函数与导函数是一种互逆关系。

如()x F 为()x f 的一个原函数，则()C x F +为()x f 的全体原函数。

记为⎰f(x)dx ，即⎰f(x)dx =()C x F + 不定积积分性质 (1) f(x))f(x)dx (/=⎰或 ()dx x f f(x)dx d =⎰(2) C F(x)(x)dx F /+=⎰ (3) ⎰⎰=f(x)dx k f(x)dx k(4) ⎰⎰⎰±=±g(x)dx f(x)dx g(x))dx f(x) (∵原函数与导函数有互逆关系,∴由导数表可得积分表。

例、P98 例3.1 已知()x F 是xxln 的一个原函数，求：()x sin dF 解：xlnx(x)F /=cosxdx sinxlnsinxdsinx dsinx dF(sinx)dF(sin x)==例、()x f 的导函数是x sin ，则()x f 的原函数21c x c x sin ++-，(1c 、2c 为任意常数)例、在下列等式中，正确的结果是 C A 、()⎰=x f (x)dx f /B 、⎰=f(x)df(x)C 、⎰=f(x)(x)dx f dxdD 、⎰=f(x)(x)dx f d 例、)dx x1(1x x )dx x 1(1x x 241212-⋅=-⎰⎰dx )x -(x 4543⎰-=C 4x x 744147++=-2、计算方法 10 换元法第一类换元法（凑微分法）常用凑微分形式kdx dkx = ()dx c x d =+xxde dx e = dlnx dx x1=x sin d x cos = x1d dx x 12=-x d dx x 21= x tan d xdx sec 2=sin x arc d dx x -112=22x 1d dx x 1x +=+22x 1d dx x -1x --= x sin d dx x 2sin 2=x cos d dx x 2sin 2-=-例、⎰⎰+--=---=-c 2x 3ln 212x)d(32x 3121dx 2x 317、⎰⎰+==c (lnx)32ln x d lnx dx x ln x 238、⎰⎰+==c x sin 41sin x d x sin xdx sin x cos 4339、⎰⎰+-=-=c x 1x -1d 21 x d x-1x22210、⎰⎰+-=-=c e 31d(-x)e 31dx e x 3x -33x -3x -211、⎰⎰+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+c a x tan arc a1a x d a x 11a1dx x a 1222 12、⎰⎰+=+=+c a2xarctan 61d2x (2x)3121 x d 4x 91222 13、⎰⎰+++=++c 1)d(x 41)(x 1x d 5x 2x 122 c 21x arctan 21++=14、⎰+=c a xarcsin x d x-a 122 15、⎰⎰--=+223x)(25dx 9x -2x 11dx 31-=c 53x 2sin arc +- 16、c 1tanx 21)d(tanx 1tan x 11tan x x sec 2++=++=+⎰⎰17、⎰⎰-=dx )1x (sec x tan xdx tan 224dx )1x (sec x tan xd tan 22⎰⎰--=C x x tan x tan 313++-=18、x arcsin d x arcsin dx x 1x arcsin 424⎰⎰=-C x arcsin 515+= 19、⎰⎰++=+)1e (d )1e sin(dx )1e sin(e xxxxC )1e cos(x ++-=20、⎰⎰=x d x cos 2ds xx cosC x sin 2+=21、x d x 1xarctan 2dx x)x 1(x arctan ⎰⎰+=+ ⎰=x arctan d x arctan 2 C x arctan 2+=22、dx e1e e 1dx e 11xxx x ⎰⎰+-+=+⎰+-=dx e1e 1xx()⎰++-=x x e1e 1d x ()C e1ln x x++-=23、⎰⎰⎰+-+=+-)4e (e de 4e de dx 4e 1e x 2x xx 2x x 2xxx 2x x x de 4e e e 1412e arctan 21⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=C )4e ln(814x 2e arctan 21x 2x +++-=P100, (9),(10), (14)21x -除了凑微分法外其它常用变量代换 (1)被积函数中含有二次根式22x a -，令t sin a x = 22x a +，令t tan a x = 22a x -，令t sec a x =如是C bx ax 2++配方221212212u a ,a u ,a u --+→例1、dx xx 122⎰- 令tdt cos dx ,t sin x ==解：原式 ⎰⋅=tdt cos tsin tcos 2⎰⎰-==dt )1t (csc tdt cot 22C t t cot +--=C x arcsin xx 12+---=例2、dx 4x x122⎰- P105例4 二种解法（2）被积函数中含一般根式例3、⎰++32x 1dxP106 （6）解：令dt t 3dx 2t x t2x 233=-==+原式⎰⎰++-=+=dt )t111t (3dt t 1t 32()C 2x 1ln 32x 32x 233332+++++-+=例4、⎰+dx x x 132令 dt t 6dx t x 56==原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 C t 1ln t 2t 62+⎪⎭⎫⎝⎛++-= C x 1ln 6x 6x 3663+++-=例5、⎰+dx 1e x解：令 1t e t1e 2x x-==+dt 1t t2dx )1t ln(x 22-=-= 原式 ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-⋅=dt 1t 112dt 1t t 2t 22 C 1t 1t lnt 2++-+=C)11e ln()11e ln(1e 2x x x +++--+++=20分部积分<定理> 如()x u 、()x v 均具有连续的导函数，则⎰⎰-=vdu uv dv u例1、⎰⎰=xdsin x dx x xcos⎰=dx sin x -sin x xc x cos sin x x ++=例2、⎰⎰---=xxxde dx xe⎰--+-=dx e xe x xC e xe x x+--=--例3、()⎰⎰⋅-=dx x-11sin x 2arc x sinx arc x dx sin x) (arc 222()⎰+=22x -1sinxd arc 2sinx arc x()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-+=⎰dx x 11x -1-sinx arc x 12sinx arc x 2222()C 2x -sinx arc x 12sinx arc x 22+-+=例4、⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=x 1d ln x dx x ln x 2 ⎰+-=dx x 1x lnx 2c x1-x lnx +-=例5、⎰⎰=ln x d ln x ln dx xlnxln ⎰⋅⋅⋅=dx x1ln x 1ln x -ln x ln ln xc ln x -ln x ln ln x +=例6、⎰⎰-=dx )1x (sec x xdx xtan 22⎰-=2x xdtanx 22x dx tan x xtanx 2--=⎰c 2x - x cos ln x tan x 2++=例7、⎰⎰+-+=+xdx arctan x111x dx x 1x arctan x 2222⎰+-=dx )x1xarctan x (arctan 2⎰⎰-=x arctan xd arctan xdx arctan22)x (arctan 21dx x 1x x arctan x -+-=⎰c )x (arctan 21)x 1ln(21x arctan x 22+-+-=例8、⎰⎰++-++=++c x 1dx )x 1xln(x )dx x 1ln(x 222 c x 1)x 1xln(x 22++-++=例9、⎰⎰=x x x 2x dsine e dx cose e⎰-=x x x x de sine sine ec cose sine e x x x ++=例10、⎰⎰-=dx )x 2cos 1(21x xdx sin x 222 ⎰-=dsin2x x 416x 23 ⎰+-=dx 2x xsin 21sin2x x 416x 23 ⎰--=x 2cos xd 41x 2sin 4x 6x 23c x 2sin 81x 2cos x 41sin2x x 416x 23++--=例11、⎰⎰--=-22x 1arcsinxd dx x 1xarcsinxc x arcsinx x 12++--=例12、P109 例3.5友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。

2022年中考数学一轮复习第四讲函数专题之反比例函数

教学目标知识梳理第四讲一轮复习—函数专题之反比例函数1、掌握反比例函数的定义，会用待定系数法求解析式，理解其图像的性质；2、理解反比例函数与方程及不等式的关系，学会利用图像解决相关问题。

知识点一、反比例函数的定义反比例函数：形如y ＝xk （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。

其他形式xy =k 、 1-=kx y 。

知识点二、反比例函数的图像1、图像形状：反比例函数的图像属于双曲线。

【注意】双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论知识点三、|k |的几何意义1、过反比例函数()0ky k x=≠，图像上一点()P x y ，，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩形，矩形的面积S x y xy k =⋅==。

2、与反比例函数上的点有关的三角形的面积【误区警示】应用比例系数k 的几何意义时的易错点 (1)忽略图像所在的象限而导致k 的符号出错 (2)混淆矩形或三角形与|k |的倍数关系 3、与反比例函数上的点有关的梯形的面积S △OCD =S 梯形ABCD知识点四、反比例函数解析式的确定由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

知识点五、反比例函数的应用1、反比例函数在实际问题中的应用反比例函数在实际问题中,通常自变量的取值范围因实际背景而受到限制,这时对应的函数图像会是双曲线的一支或一段.在实际问题中,要注意标明自变量的取值范围. 2、反比例函数图像与一次函数图像的交点问题典型例题一次函数y=k 1x+b (k 1≠0)的图像与反比例函数y =k 2x(k 2≠0)的图像的交点个数有三种情况:0个、1个、2个.因为两个函数表达式联立组成的二元方程组可化为一个一元二次方程,所以两个函数图像的交点个数由这个一元二次方程的实数解的个数来决定.【提分笔记】在同一平面直角坐标系中,正比例函数与反比例函数若有交点,则这两个交点关于原点对称例1．已知双曲线1k y x-=经过点（-2，3），那么k 的值等于_______．例2．点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数y ＝－3x图像上的两点.若x 1＞x 2＞0，则y 1________y 2（选填“＞”、“＝”或“＜”）.例3．若点()12020,A y -、()22021,B y 都在双曲线32ay x +=上，且12y y >，则a 的取值范围是（）A ．0a < B ．0a > C ．32a >- D ．32a <-例4．已知反比例函数3k y x+=的图像位于第二、四象限，则k 的取值范围为（） A ．3k >- B ．3k ≥-C ．3k <-D ．3k ≤-例5．已知反比例函数y =﹣8x，下列结论：①图像必经过（﹣2，4）；②图像在二，四象限内；③y 随x 的增大而增大；④当x ＞﹣1时，则y ＞8．其中错误的结论有（）个A ．3B ．2C ．1D ．0例6．若正比例函数y ＝－4x 与反比例函数y ＝kx的图像相交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标为2，则k 的值为（）A ．－16B ．－8C ．16D ．8例7．如图，已知A为反比例函数kyx=（x<0）的图像上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为（）A．2B．-2C．4D．-4例8．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，BA⊥y轴于点B，反比例函数y=kx（x＞0）的图像与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若△OAB的面积为3，则k的值为( )A．13B．1C．2D．3例9．如图，矩形OCBA的两条边OC、OA分别在x、y的正半轴上，另两条边AB、BC分别与函数k yx =（0x>）的图像交于E，F两点，且E是AB的中点，连接OE，OF，若OEF的面积为3，则k的值为（）A．2B．3C．4D．5例10．如图，点A 在双曲线 3y x = 上，点 B 在双曲线 5y x=上，C 、D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．4例11．如图，在△AOB 中，OC 平分∠AOB ，43OA OB =，反比例函数(0)ky k x =<图像经过点A 、C 两点，点B 在x 轴上，若△AOB 的面积为7，则k 的值为（）A ．4-B ．3-C ．215-D ．73-例12．点A （a ，b ）是一次函数y=x ﹣2与反比例函数y =4x的交点，则a 2b ﹣ab 2=________．例13．如图，点A 是双曲线6y x=-在第二象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰ABC ，且120ACB ∠=︒，点C 在第一象限，随着点A 的运动点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线ky x=上运动，则k 的值为________.例14．如图，点A 在反比例函数11(0)y x x =>的图像上，点B 在反比例函数2(x 0)ky x=<的图像上，AB ⊥y 轴，若△AOB 的面积为2，则k 的值为____．例15．如图，已知A （12，y 1），B （2，y 2）为反比例函数y ＝1x 图像上的两点，动点P （x ，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是_____．例16．（2020·江苏南通市·九年级零模）已知点A 在x 轴负半轴上，点B 在y 轴正半轴上，线段OB 的长是方程x 2﹣2x ﹣8=0的解，tan ∠BAO =12．（1）求点A 的坐标；（2）点E 在y 轴负半轴上，直线EC ⊥AB ，交线段AB 于点C ，交x 轴于点D ，S △DOE =16．若反比例函数y =kx的图像经过点C ，求k 的值；（3）在（2）条件下，点M 是DO 中点，点N ，P ，Q 在直线BD 或y 轴上，是否存在点P ，使四边形MNPQ 是矩形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．真题链接例17．（2020·江苏苏州市·九年级零模）如图，矩形ABCD 的两边AD 、AB 的长分别为3、8，E 是DC 的中点，反比例函数y ＝mx的图像经过点E ，与AB 交于点F ．（1）若点B 坐标为（﹣6，0），求图像经过A 、E 两点的一次函数的表达式是_____；（2）若AF ﹣AE ＝2，则反比例函数的表达式是_____．1.若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)都在函数y =2019x的图像上,且x 1<0<x 2,则 ( )A . y 1<y 2B . y 1=y 2C . y 1>y 2D . y 1=-y 2 2.若反比例函数xy 2-=的图像上有两个不同的点关于y 轴对称点都在一次函数y =-x +m 的图像上，则m 的取值范围是（）A .22＞mB .22-＜m ①C .22-22＜或＞m mD .2222-＜＜m 3.如图,菱形ABCD 的两个顶点B 、D 在反比例函数y =kx 的图像上,对角线AC 与BD 的交点恰好是坐标原点O ,已知点A (1,1),∠ABC =60°,则k 的值是 ( )A .-5B .-4C .-3D .-24.如图,矩形ABCD 的顶点A ,B 在x 轴的正半轴上,反比例函数y =kx在第一象限内的图像经过点D ,交BC 于点E ,若AB =4,CE =2BE ,tan ∠AOD =34,则k 的值为 ( )A .3B . 2 C . 6D . 125.如图,已知点A 是反比例函数y =−2x (x <0)的图像上的一个动点,连接OA ,若将线段OA绕点O 顺时针旋转90°得到线段OB ,则点B 所在图像的函数表达式为 . 6.函数1y x =与24y x=的图像如图所示，下列关于函数12y y y =+的结论：①函数的图像关于原点中心对称；①当2x <时，y 随x 的增大而减小；①当0x >时，函数的图像最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是．【2021江苏中考真题】7.（2021•江苏淮安中考）如图（1），①ABC 和①A ′B ′C ′是两个边长不相等的等边三角形，点B ′、C ′、B 、C 都在直线l 上，①ABC 固定不动，将①A ′B ′C ′在直线l 上自左向右平移．开始时，点C ′与点B 重合，当点B ′移动到与点C 重合时停止．设①A ′B ′C ′移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，y 与x 之间的函数关系如图（2）所示，则①ABC 的边长是．8.（2021•江苏南通中考）平面直角坐标系xOy 中，直线y =2x 与双曲线y =xk（k ＞2）相交于A ,B 两点，其中点A 在第一象限，设M （m ，2）为双曲线y =xk（k ＞2）上一点，直线AM ，BM 分别交y 轴于点C ,D 两点，则OC -OD 的值为（）.A .2B .4C .6D .89.（2021•江苏扬州中考）如图，点P 是函数y ＝xk 1（k 1＞0，x ＞0）的图像上一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，交函数y ＝xk 2（k 2＞0，x ＞0）的图像于点C 、D ，连接OC 、OD 、CD 、AB ，其中k 1＞k 2．下列结论：①CD ①AB ；①S ①OCD ＝221k k -；①S ①DCP ＝12212)(k k k -，其中正确的是（）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①10.（2021•江苏宿迁中考）如图，点A 、B 在反比例函数()ky 0x x=＞的图像上，延长AB 交x 轴于C 点，若①AOC 的面积是12，且点B 是AC 的中点，则k =__________．11.（2021•江苏宿迁中考）已知双曲线ky (0)k x=<过点(3，1y )、(1，2y )、(-2，3y )，则下列结论正确的是（）A . 312y y y ＞＞B . 321y y y ＞＞C . 213y y y ＞＞D . 231y y y ＞＞12.（2021•江苏无锡中考）一次函数y ＝x +n 的图像与x 轴交于点B ，与反比例函数y ＝xm（m ＞0）的图像交于点A （1，m ），且①AOB 的面积为1，则m 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．413.（2021•江苏泰州中考）如图，点A （﹣2，y 1）、B （﹣6，y 2）在反比例函数y ＝kx（k ＜0）的图像上，AC ①x 轴，BD ①y 轴，垂足分别为C 、D ，AC 与BD 相交于点E ．（1）根据图像直接写出y 1、y 2的大小关系，并通过计算加以验证；（2）结合以上信息，从①四边形OCED 的面积为2，①BE ＝2AE 这两个条件中任选一个作为补充条件，求k 的值．你选择的条件是（只填序号）．1114.（2021•江苏徐州中考）如图，点 A 、D 分别在函数xy x y 63=-=、的图像上，点 B 、C 在 x 轴上.若四边形 ABCD 为正方形，点 D 在第一象限，则 D 的坐标是 .15.（2021•江苏常州中考）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度．．．．、图形面积大小．．．．．．等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】(1)如图1，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，垂足分别为C 、D ，E 是AB 的中点，连接CE.已知AD =a ，BD =b(0<a <b)． ①分别求线段CE 、CD 的长(用含a 、b 的代数式表示)；②比较大小：CE ______ CD(填“<”、“=”或“>”)，并用含a 、b 的代数式表示该大小关系．【应用】(2)如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点M 、N 在反比例函数y =1x (x >0)的图像上，横坐标分别为m 、n.设p =m +n ，q =1m +1n ，记l =14pq ．①当m =1，n =2时，l = ______ ；当m =3，n =3时，l = ______ ；②通过归纳猜想，可得l 的最小值是______ .请利用图．．．2．构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．12巩固练习1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（） A ．x (y –1)=1B ．15y x =- 1C 3y x=． 21D y x=． 2．已知反比例函数y =8k x-的图像位于第一、三象限，则k 的取值范围是（） A ．k >8 B ．k ≥8 C ．k ≤8 D ．k <83．若点A （–5，y 1），B （–3，y 2），C （2，y 3）在反比例函数3y x=的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（） A ．y 1<y 3<y 2 B ．y 2<y 1<y 3 C ．y 3<y 2<y 1 D ．y 1<y 2<y 34．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx +b （k 、b 是常数，且k ≠0）与反比例函数y 2=cx（c 是常数，且c ≠0）的图像相交于A （-3，-2），B （2，3）两点，则不等式y 1>y 2的解集是（）13A ．-3<x <2B ．x <-3或x >2C ．-3<x <0或x >2D ．0<x <25．一次函数y =ax +b 与反比例函数a by x-=，其中ab <0，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图像可以是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，已知反比例函数ky x=与一次函数y =x +b 的图像在第一象限相交于点A （1，-k +4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图像的另一个交点B 的坐标，并根据图像写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．8．如图，已知A （-4，n ），B （2，-4）是一次函数y =kx +b 的图像与反比例函数my x=的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求方程0x xk b m+-<的解集（请直接写出答案）．9．一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．（1）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式；（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？14思维导图1516。

2020届数学(理)一轮复习人教A版第4讲函数的概念及其表示学案

第4讲函数的概念及其表示1.2.函数的三要素函数由、和对应关系三个要素构成.在函数y=f (x ),x ∈A 中,x 叫作自变量,x 的取值范围A 叫作函数的 .与x 的值相对应的y 值叫作函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的 . 3.函数的表示法函数的常用表示方法: 、、 . 4.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 ,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.常用结论1.常见函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R . (4)零次幂的底数不能为0.(5)y=a x(a>0且a ≠1),y=sin x ,y=cos x 的定义域均为R .(6)y=log a x (a>0,a ≠1)的定义域为{x|x>0}.(7)y=tan x的定义域为x x≠kπ+,k∈Z.2.抽象函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从而解得x的范围,即为f[g(x)]的定义域.(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定g(x)的范围,即为f(x)的定义域.3.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为-,+∞;当a<0时,值域为-∞-.(3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.题组一常识题1.[教材改编]以下属于函数的有.(填序号)①y=±;②y2=x-1;③y=-+-;④y=x2-2(x∈N).2.[教材改编]已知函数f(x)=则f(-2)=,f[f(-2)]=.3.[教材改编]函数f(x)=-的定义域是.4.[教材改编]已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有种.题组二常错题◆索引:求函数定义域时非等价化简解析式致错;分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻致错.5.函数y=-·的定义域是.6.设函数f(x)=--则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为.7.已知f()=x-1,则f(x)=.8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有个.探究点一函数的定义域角度1求给定函数解析式的定义域例1 (1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1]B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪[1,+∞)(2)函数f(x)=-+的定义域为()A.(-3,0]B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-3,0]D.(-∞,-3)∪(-3,1][总结反思](1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误.角度2求抽象函数的定义域例2 (1)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是()A.[0,1]B.[0,1)C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)(2)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为()A.[-1,1]B.[1,2]C.[10,100]D.[0,lg 2][总结反思](1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域均是指其中的x的取值集合;(2)同一问题中、同一法则下的范围是一致的,如f[g(x)]与f[h(x)],其中g(x)与h(x)的范围(即它们的值域)一致.变式题(1)若函数y=f(x)的定义域为(0,1),则f(x+1)的定义域为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(-1,1)(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-],则函数y=f(x)的定义域为.探究点二函数的解析式例3 (1)已知f(x+1)=3x+2,则函数f(x)的解析式是()A.f(x)=3x-1B.f(x)=3x+1C.f(x)=3x+2D.f(x)=3x+4(2)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15,则函数f(x)=.(3)设函数f(x)对不为0的一切实数x均有f(x)+2f=3x,则f(x)=.[总结反思]求函数解析式的常用方法:(1)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(2)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.(3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)解方程组法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).变式题(1)已知函数f(2x-1)=4x+3,且f(t)=6,则t=()A.B.C.D.(2)若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=()A.x+1B.x-1C.2x+1D.3x+3(3)若f(x)为一次函数,且f[f(x)]=4x+1,则f(x)=.探究点三以分段函数为背景的问题微点1分段函数的求值问题例4 (1)[2018·衡水调研]设函数f(x)=则f[f(-1)]=()A.B.+1C.1D.3则f(log27)=.(2)已知函数f(x)=-[总结反思]求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值.微点2分段函数与方程例5 (1)已知函数f(x)=若f[f(1)]=3,则a=()A.2B.-2(2)函数f(x)=-若f(0)+f(a)=2,则a的值为.[总结反思](1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值.微点3分段函数与不等式问题例6 (1)[2018·惠州二模]设函数f(x)=--若f(x0)>1,则x0的取值范围是()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-2)∪(0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)(2)[2018·全国卷Ⅰ]设函数f(x)=-则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是()A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)[总结反思]涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.应用演练1.【微点1】若函数f(x)=则f(1)+f(-1)=()A.0B.2C.-2D.12.【微点2】设函数f(x)=--若f(a)=4,则实数a的值为()A.B.C.或D.3.【微点3】已知函数f(x)=--则不等式f(x)≤5的解集为() A.[-1,1]C.(-∞,-2]∪(0,4)D.(-∞,-2]∪[0,4]4.【微点3】[2018·湖北咸宁联考]已知函数f(x)=-则不等式f(x)≤x的解集为()A.[-1,3]B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)5.【微点2】设函数f(x)=-若f=4,则b=.第4讲函数的概念及其表示考试说明 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).【课前双基巩固】知识聚焦1.非空数集非空集合任意唯一确定任意唯一确定f:A→B f:A→B2.定义域值域定义域值域3.解析法图像法列表法4.对应关系对点演练1.④[解析]①②对于定义域内任给的一个数x,可能有两个不同的y值,不满足对应的唯一性,故①②错.③的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故③错.只有④表示函数.2.45[解析]因为f(-2)=(-2)2=4,所以f[f(-2)]=f(4)=4+1=5.3.(-∞,-3)∪(-3,8][解析]要使函数有意义,需8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,所以其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].4.7[解析]只含有一个元素时有{a},{b},{c};有两个元素时,有{a,b},{a,c},{b,c};有三个元素时,有{a,b,c}.所以值域C共有7种不同情况.5.{x|x≥2}[解析]要使函数有意义,需-解得x≥2,即定义域为{x|x≥2}.6.(-∞,-2]∪[0,10][解析]∵f(x)是分段函数,∴f(x)≥1应分段求解.当x<1时,f(x)≥1⇒(x+1)2≥1⇒x≤-2或x≥0,∴x≤-2或0≤x<1.当x≥1时,f(x)≥1⇒4--≥1,即-≤3,∴1≤x≤10.综上所述,x≤-2或0≤x≤10,即x∈(-∞,-2]∪[0,10].7.x2-1(x≥0)[解析]令t=,则t≥0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0).8.9[解析]设函数y=x2的定义域为D,其值域为{1,4},D的所有可能的个数,即是同族函数的个数,D的所有可能为{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9个,故答案为9.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)根据对数式的真数大于0求解;(2)根据二次根式的被开方数非负及分母不为0求解.(1)C(2)A[解析](1)由x2-x>0,得x>1或x<0,所以定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).故函数的定义域为(-3,0].(2)由题意,自变量x应满足-解得-例2[思路点拨](1)由f(x)的定义域得f(2x)的定义域,再结合ln x≠0求解;(2)由x∈[-1,1],求得x2+1的范围是[1,2],再由1≤lg x≤2即可得函数f(lg x)的定义域.(1)D(2)C[解析](1)∵f(x)的定义域为[0,2],∴要使f(2x)有意义,则有0≤2x≤2,∴0≤x≤1,∴要使g(x)有意义,应有∴0<x<1,故选D.(2)因为f(x2+1)的定义域为[-1,1],所以-1≤x≤1,故0≤x2≤1,所以1≤x2+1≤2.因为f(x2+1)与f(lg x)是同一个对应法则,所以1≤lg x≤2,即10≤x≤100,所以函数f(lg x)的定义域为[10,100].故选C.变式题(1)A(2)[-1,2][解析](1)由题意知0<x+1<1,解得-1<x<0.故选A.(2)因为函数y=f(x2-1)的定义域为[-,],所以-≤x≤,所以-1≤x2-1≤2,所以函数y=f(x)的定义域为[-1,2].例3[思路点拨](1)用配凑法将3x+2配凑成3(x+1)-1;(2)设出二次函数,利用待定系数法,根据等式恒成立求出待定系数即可;(3)构造含f(x)和f的方程组,消去f即可得f(x)的解析式.(1)A(2)-x2+2x+15(3)-x[解析](1)由于f(x+1)=3(x+1)-1,所以f(x)=3x-1.(2)由已知令f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)-f(x)=2ax+b+a=-2x+1,∴2a=-2,a+b=1,∴a=-1,b=2,又f(2)=15,∴c=15,∴f(x)=-x2+2x+15.(3)f(x)+2f=3x①,且x≠0,用代替①中的x,得f+2f(x)=3×②,解①②组成的方程组,消去f得f(x)=-x.变式题(1)A(2)A(3)2x+或-2x-1[解析](1)设t=2x-1,则x=,故f(t)=4×+3=2t+5,令2t+5=6,则t=,故选A.(2)因为3f(x)-2f(-x)=5x+1①,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1②,联立①②,解得f(x)=x+1,故选A.(3)设f(x)=ax+b(a≠0),由f[f(x)]=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1,得a2=4,ab+b=1,解得a=2,b=或a=-2,b=-1,∴f(x)=2x+或f(x)=-2x-1.例4[思路点拨](1)先求f(-1)的值,再求f[f(-1)]的值;(2)先估算log27的范围,再确定选用哪段解析式求值.(1)D(2)[解析](1)由题意可得f(-1)==2,∴f[f(-1)]=f(2)=3,故选D.-(2)因为2<log27<3,所以1<log27-1<2,所以f(log27)=f(log27-1)=-=÷2=.例5[思路点拨](1)先求得f(1)=0,再据f(0)=3求分段函数中的参数;(2)分a≤0和a>0两种情况讨论求解.(1)D(2)0或1[解析](1)根据题意可知f(1)=log a1=0,所以f[f(1)]=f(0)=(3+a)×0+a=a=3,即a=3,故选D.(2)∵f(x)=∴f(0)=20=1.-当a>0时,f(a)=a-ln a,则有1+a-ln a=2,解得a=1;当a≤0时,f(a)=2a,则有1+2a=2,解得a=0.例6[思路点拨](1)分x0≤0和x0>0两种情况讨论求解;(2)根据题中所给的函数解析式,将函数图像画出来,结合图像可得不等式成立的条件.(1)D(2)D[解析](1)当x0≤0时,由f(x0)=--1>1,即->2,解得x0<-1;当x0>0时,由f(x0)=>1,解得x0>1.∴x0的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).(2)f(x)的图像如图所示.当即x≤-1时,若满足f(x+1)<f(2x),则满足x+1>2x,即x<1,此时x≤-1;当即-1<x<0时,f(x+1)<f(2x)恒成立.综上,x的取值范围是x<0.故选D.应用演练1.A[解析]由函数f(x)=得f(1)+f(-1)=+-+1=0.-或-2.B[解析]因为f(a)=4,所以所以或所以a=,故选B.3.B[解析]由于f(x)=--所以当x>0时,3+log2x≤5,即log2x≤2=log24,得0<x≤4;当x≤0时,x2-x-1≤5,即(x-3)(x+2)≤0,得-2≤x≤0.所以不等式f(x)≤5的解集为[-2,4].4.A[解析]当x≥0时,由x2-2x≤x,得0≤x≤3;当x<0时,由≤x,得-1≤x<0.故不等式f(x)≤x的解集为[-1,3].5.[解析]由f=4,可得f-=4.若-b≥1,即b≤,可得-=4,解得b=.若-b<1,即b>,可得3×--b=4,解得b=<(舍去).故答案为.【备选理由】例1考查给定函数解析式,求抽象函数的定义域问题;例2考查分段函数的求值,但涉及三角函数及函数的周期性;例3考查分段函数与方程问题,先分析参数的范围,可以避免分类讨论;例4是对函数值域的考查,依据分段函数的值域求参数,是对已有例题的有效补充,值得探究和思考.例1[配合例2使用][2018·邵阳期末]设函数f(x)=log2(x-1)+-,则函数f的定义域为()A.(1,2]B.(2,4]C.[1,2)D.[2,4)[解析] B要使函数f(x)有意义,则需-⇒1<x≤2,故1<≤2,即2<x≤4,所以选B.-例2[配合例4使用][2018·柳州高级中学三模]已知函数f(x)=则f(-2018)=()-A.-2B.2C.4+D.-4-[解析] A当x<1时,f(x)=-f(x+3),可得f(x+3)=-f(x),则f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x),可知当x<1时,f(x)是周期为6的周期函数,则f(-2018)=f(-336×6-2)=f(-2)=-f(-2+3)=-f(1).而当x≥1时,f(x)=x2+sin,∴f(1)=2,∴f(-2018)=-f(1)=-2.例3[配合例5使用]已知f(x)=-若f(1-a)=f(1+a)(a>0),则实数a的值为. [答案] 1[解析]∵a>0,∴1-a<1,1+a>1,∴由f(1-a)=f(1+a)得2-a=,即a2-2a+1=0,∴a=1.例4[补充使用][2018·武邑中学模拟]若函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是.[答案]a≥-[解析]∵f(x)=log4x在x>2时的值域为∞,∴f(x)=x+a在x≤2时的最大值必须大于等于,即满足2+a≥,解得a≥-.故答案为a≥-.。

积分变换第4讲卷积定理与相关函数

解：F（si n w 0 t
• u(t )） F（e iw0t
e iw0t 2i
• u(t)）
1 {F（e iw0t • u(t )） F (e iw0t • u(t )）}
2i

1{1 2i iw
d（w）} |www0

1{1 2i iw
d（w）} |www0
例4 利用傅氏变换的性质, 求d(tt0),
ejw0t ,以及tu(t )的傅氏变换解：因F (d (t)) 1,由位移性质得
F (d (t t0)) e jt0w F (d (t)) e jt0w 由 F (1) 2d (w),得
F (ejw0t ) 2d (w w0)
w0t
•
e t u(t )）
F
（ eiw0t
eiw0t 2
•
e t u(t )）
1 {F （eiw0t • e tu(t)） F (eiw0t • u(t)）}
2

1 2
{ iw
1

}
|w
w

w0

1 2
{ iw
1

}
|w
w

w0

1 2
{ i

w

1 w0
2n
t
Dt
n
则g(t)
f
(t
)
1
Dt
e
j
2n
t
Dt
n

G(w)
1
Dt

F (w nDw)
n
(Dw

2 Dt
)
33

第4讲-多元函数概念与极限

第4讲平面点集与多元函数极限讲授内容一、平面点集平面点集()()(){}2202|,δ<-+-y y x x y x 与(){}δδ<-<-00,|,y y x x y x 分()00,y x A 为中心的δ圆领域与δ方领域，并以记号U(A ；δ)或U(A)来表示．空心邻域是指 ()()(){}22020|,δ<-+-<y y x x y x 与()()(){}0000,,,,|,y x y x y y x x y x ≠<-<-δδ，并用记号()()A U A U;或δ来表示．任意一点2R A ∈与任意一个点集2R E ⊂之间必有以下三种关系之一：（i ）内点——若存在点A 的某邻域U(A)，使得U(A)E ⊂，则称点A 是点E 的内点；E 的全体内点构成的集合称为E 的内部，记作intE ．(ii)外点——若存在点A 的某邻域U(A)，使得U(A)φ=⋂E ，则称A 是点集E 的外点．(iii)边界点——若在点A 的任何邻域内既含有属于E 的点，又含有不属于E 的点．则称A 是集合E 的边界点．即对任何正数δ，恒有()(),;;φδφδ≠≠cE A U E A U 且 E 的全体边界点构成E 的边界，记作E ∂．点A 与点集E 的上述关系是按“点A 在E 内或在E 外”来区分的．此外，还可按在点A 的近旁是否密集着E 中无穷多个点而构成另一类关系：(i)聚点——若在点A 的任何空心邻域0U (A)内都含有E 中的点，则称A 是E 的聚点，聚点本身可能属于E ，也可能不属于E ．(ii)孤立点——若点A E ∈，但不是E 的聚点，即存在某一正数δ，使得()φδ=E A U;0，则称点A是正的孤立点．显然，孤立点一定是边界点；内点和非孤立的边界点一定是聚点；既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点．例如设平面点集(){}41|,22<+≤=y x y x D ，满足4122<+<y x 的一切点都是D 的内点；满足122=+y x 的一切点是D 的边界点，它们都属于D ；满足422=+y x 的一切点也是D 的边界点，但它们都不属于D ；点集D 连同它外圆边界上的一切点都是D 的聚点．根据点集中所属点的特征，我们再来定义一些重要的平面点集．开集——若平面点集所属的每一点都是正的内点(即intE=E)，则称E 为开集．闭集——若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集．若点集E 没有聚点，这时也称E 为闭集．开域——若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 的有限折线(由有限条直线段连接而成的折线)相连接，则称正为开域(或称连通开集)．闭域——开域连同其边界所成的点集称为闭域．区域——开域、闭域，或者开域连同其一部分边界点所成的点集，统称为区域．又例如(){}0|,>=xy y x E ，虽然是开集，但因Ⅰ、 Ⅲ象限之间不具有连通性，所以它不是开域，也不是区域．有界点集——对于平面点集E ，若存在某一正数，使得(),;r O U E ⊂其中O 是坐标原点. 点集E 的直径)(E d . 就是()(),,sup 21,21p p E d Ep p ρ∈=其中()21,p p ρ表示1P 与2P 两点之间的距离，当1P 和2P 的坐标分别为()11,y x 和()22,y x 时，则， ()()().,22122121y y x x p p -+-=ρ根据距离概念，读者不难证明如下三角形不等式：()()()323121,,,p p p p p p ρρρ+≤二、2R 上的完备性定理定义设{}⊂n P R 2为平面点列，∈o P R 2为一固定点。

函数的有关概念

函数的有关概念函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。

它可以描述输入与输出之间的关系，是实现程序模块化、抽象和重用的基础。

在本文中，将介绍函数的定义、分类、性质以及函数在不同领域中的应用。

1.函数的定义：函数是一个将一个或多个输入映射到一个确定的输出的关系。

数学上，函数可以表示为f：A→B，其中A是函数的定义域，B是函数的值域。

对于给定的输入x∈A，函数f将返回对应的输出y∈B。

2.函数的分类：函数可以按照定义域和值域的类型、性质、表达形式以及关系的方式进行分类。

（1）按照定义域和值域的类型：常见的函数类型有实函数、复函数、向量函数、矩阵函数等。

（2）按照函数的性质：函数可以是线性函数、非线性函数、单调函数、凸函数、反函数等。

线性函数是指满足线性性质的函数，即f(x+y)=f(x)+f(y)和f(kx)=kf(x)。

非线性函数则不满足线性性质。

（3）按照函数的表达形式：函数可以是解析函数、隐函数、参数方程、差分方程、微分方程等。

（4）按照函数的关系方式：函数可以是显式函数、隐式函数、递归函数等。

显式函数可以通过一个公式或表达式来表示，例如y=f(x)。

隐式函数则不能直接解出y，但可以通过等式关系表示出来。

3.函数的性质：函数具有一些重要的性质，包括单值性、有界性、周期性、奇偶性、单调性等。

（1）函数的单值性：函数在定义域内的每个输入只对应一个唯一的输出。

（2）函数的有界性：函数可以是有界的或无界的。

有界函数是指存在上界和下界，即对于定义域内的任意x，存在M和m，使得m≤f(x)≤M。

无界函数则不存在上界或下界。

（3）函数的周期性：函数在某个区间内具有重复的性质，即对于定义域内的每个x，存在一个正数T使得f(x+T)=f(x)。

（4）函数的奇偶性：函数可以是奇函数或偶函数。

奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

（5）函数的单调性：函数可以是增函数、减函数或不变函数。

函数的概念与性质知识点总结

函数的概念与性质知识点总结函数是数学中一个非常重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将对函数的概念与性质进行总结和讨论。

一、函数的概念函数是数学中一个映射关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素上。

通常用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为函数的值或者因变量。

二、函数的表示方法1. 函数的集合表示法：可以将函数看作是由有序数对(x, f(x))组成的集合，即f={(x, f(x))}。

2. 函数的解析表示法：可以用一个公式或者算法来描述函数的性质。

三、函数的符号表示1. 函数的定义域：函数映射的自变量集合称为函数的定义域，通常用D(f)表示。

2. 函数的值域：函数映射到的因变量集合称为函数的值域，通常用R(f)表示。

四、函数的性质1. 奇偶函数：如果对于任意x∈D(f)，都有f(-x)=-f(x)，则函数称为奇函数；如果对于任意x∈D(f)，都有f(-x)=f(x)，则函数称为偶函数。

2. 单调性：如果对于任意x₁, x₂∈D(f)，若x₁<x₂，则有f(x₁)≤f(x₂)，则称函数为单调递增函数；如果对于任意x₁, x₂∈D(f)，若x₁<x₂，则有f(x₁)≥f(x₂)，则称函数为单调递减函数。

3. 周期性：如果存在一个正数T，使得对于任意x∈D(f)，都有f(x+T)=f(x)，则称函数为周期函数，T称为函数的周期。

4. 有界性：如果存在两个常数M, N，使得对于任意x∈D(f)，都有|f(x)|≤M，且|f(x)|≥N，则称函数为有界函数。

5. 连续性：如果对于任意x₀∈D(f)，当x→x₀时，有f(x)→f(x₀)，则称函数在x₀处连续。

若函数在定义域上的每个点处都连续，则称函数为连续函数。

6. 导数性质：函数的导数描述了函数的变化率。

如果函数在某一点处可导，则可以计算该点的导数。

导数可以用来判断函数的单调性、凹凸性和极值点等性质。

五、常见函数的性质1. 一次函数：f(x)=kx+b，其中k, b为常数，一次函数的图像为一条直线，具有常数斜率。

函数概念与知识点总结

函数概念与知识点总结一、函数的概念1.1 函数的定义函数是数学中的一个基本概念，它描述了一种对应关系，将一个或多个输入参数映射到一个输出结果。

在数学中，函数通常表示为f(x)，其中x是输入参数，f(x)是输出结果。

函数也可以表示为y=f(x)，其中y是输出结果，x是输入参数。

函数还可以表示为y=f(x1,x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是多个输入参数。

1.2 函数的特性函数具有一些特性，包括单值性、有限性、定义域和值域。

单值性表示对于每个输入参数，函数有且只有一个输出结果。

有限性表示函数的定义域和值域都是有限的。

定义域是函数能接受的输入参数的集合，而值域是函数输出结果的集合。

1.3 函数的分类函数可以根据其形式、性质和用途进行分类。

常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数等。

函数还可以根据其定义域和值域的不同进行分类，如有界函数、无界函数、周期函数等。

二、函数的性质与图像2.1 函数的奇偶性函数可以根据其图像的对称性来判断奇偶性。

若函数的图像关于原点对称，则函数是奇函数；若函数的图像关于y轴对称，则函数是偶函数。

2.2 函数的增减性函数的增减性描述了函数在定义域内的增加和减少情况。

若对于定义域内的任意两个值x1和x2，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)，则函数是单调递增的；若x1<x2，则f(x1)>f(x2)，则函数是单调递减的。

2.3 函数的最值函数的最值指在定义域内的最大值和最小值。

函数的最值可以通过求导数或利用一阶导数的性质进行判断。

2.4 函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示。

通过绘制函数的图像，可以直观地理解函数的性质和变化规律。

例如，线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线。

三、函数的运算3.1 函数的加减运算当两个函数f(x)和g(x)相加或相减时，可以将它们的对应项相加或相减，得到一个新的函数h(x)=f(x)±g(x)。

函数概念ppt课件

复合函数的运算规则
复合函数的性质
复合函数具有一些重要的性质，如单调性、奇偶性等，这些性质可以通过对组成复合函数的各个函数的性质进行分析得出。
复合函数的运算规则是先计算内层函数，再计算外层函数，依次类推，直到所有的函数都计算完毕。
反函数的概念与运算
01
02
03
反函数的概念
反函数是指将一个函数的输入和输出互换，得到一个新的函数。
一次函数
形如f(x)=kx+b的函数，其中k和b为常数且k≠0。
分式函数
形如f(x)=k/x的函数，其中k为常数且k≠0。
对数函数
形如f(x)=log_a x的函数，其中a为常数且a>0且a≠1
。
02 函数的性质
有界性
总结词
函数的值域在一定范围内变动，不会无限增大或减小。
详细描述
函数的输出结果总是在一定的范围内，不会超出这个范围。例如，正弦函数和余弦函数的值域都在-1到1之间。
函数的定义域和值域是函数的重要属性，它们决定了函数的作用范围和结果范围。
函数的表示方法
解析法
用数学表达式来表示函数，是最常用的一种表示方法。例如， f(x)=x^2表示一个函数，当x取任意实数时，都有唯一的y值与之对应。
表格法
通过表格的形式来表示函数，对于一些离散的函数可以用此方法。例如，一个离散函数的值可以
函数概念ppt课件
• 函数的基本概念 • 函数的性质 • 函数的运算 • 函数的应用 • 函数的图像
01 函数的基本概念
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它是一种特殊的对应关系，这种对应关系使得对于数集A中的每一个元素，通过某种法则，都可以唯一地对应到数集 B中的一个元素。

数学函数概念知识点总结

数学函数概念知识点总结一、函数的基本概念1. 函数的定义函数是一种数学关系，它将某个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素上。

通常用f(x)表示函数，其中f表示函数名，x表示自变量。

2. 自变量和因变量在函数中，自变量是输入的值，因变量是输出的值。

自变量通常用x表示，因变量通常用y表示。

3. 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围。

函数在定义域上的取值构成了函数的值域。

4. 函数的图像函数的图像是函数在坐标系上的表示，通常用曲线或者点来表示函数的图像。

函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的性质和特点。

5. 函数的性质函数可以有多种性质，包括奇偶性、周期性、单调性等。

这些性质可以通过函数的图像和代数表达式来进行分析和判断。

二、常见的函数类型1. 一次函数一次函数是指函数的最高次项为1的函数，通常表示为y=ax+b，其中a和b为常数。

一次函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的斜率，常数b决定了直线与y轴的交点。

2. 二次函数二次函数是指函数的最高次项为2的函数，通常表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0。

二次函数的图像是抛物线，a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线在x轴上的位置，c决定了抛物线在y轴上的位置。

3. 幂函数幂函数是指函数的表达式为y=ax^n的函数，其中a为常数，n为整数。

幂函数的图像通常呈现出不同的形状，包括指数增长、指数衰减以及平方、立方等曲线形状。

4. 指数函数指数函数是一种特殊的幂函数，表达式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。

指数函数的图像通常呈现出指数增长或者指数衰减的趋势。

5. 对数函数对数函数是指函数的表达式为y=log_a(x)，其中a为底数。

对数函数的图像通常呈现出对数增长或者对数衰减的趋势。

6. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们是以圆上的角度为自变量的周期函数。

三角函数在物理、工程、天文等领域有着广泛的应用。

函数的概念与性质课件

函数的概念与性质课件一、函数的基本概念函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。

简而言之，函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。

换句话说，函数可以看作是一种规则，它将输入映射为输出。

二、函数的表示方法1. 函数的符号表示：一般使用小写字母来表示函数，如f(x)，其中f表示函数，x表示自变量。

2. 函数的图像表示：我们可以通过绘制函数的图像来表示函数。

横轴代表自变量，纵轴代表函数值。

函数图像可以直观地展示函数的性质和特点。

三、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指函数的所有可能输出值的集合。

在函数的定义中，要确保对于定义域中的每个自变量值，都能得到一个唯一的函数值。

2. 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域内的变化趋势。

若对于任意的x1和x2（x1 < x2），都有f(x1) ≤ f(x2)，则函数为递增函数；若对于任意的x1和x2（x1 < x2），都有f(x1) ≥ f(x2)，则函数为递减函数。

3. 奇偶性：若对于任意的x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数。

4. 周期性：若存在常数T>0，对于任意的x，有f(x+T) = f(x)，则函数为周期函数。

5. 极值点：函数在定义域内某一点上的函数值是最大值或最小值，称为该点上的极值点。

极值点分为最大值点和最小值点，也可以分别称为极大值点和极小值点。

6. 零点：函数在定义域内满足f(x) = 0的点，称为函数的零点或根。

四、函数的应用函数作为数学的基础概念，在各个领域都有着广泛的应用。

1. 自然科学中，函数用于描述物理量之间的关系，如速度和时间的关系、温度和时间的关系等。

2. 经济学中，函数用于描述供需关系、价格变化等经济现象。

3. 金融学中，函数用于描述收益与风险之间的关系，如投资组合的效用函数。

第四讲：函数的概念、函数关系的建立(教师)

第四讲：函数的概念、函数关系的建立【知识点】1、函数的概念及函数的三要素：强调：一个自变量x 只有一个函数值y 与之对应；函数的三要素：定义域，值域，对应法则（1）若两函数的定义域与对应法则相同，则它们的值域相同；（2）若两函数的值域与对应法则相同，则它们的定义域相同？否反例：函数2y x =的值域为[0,4]，则它的定义域可为[0,2],[1,2]......-。

两个函数的定义域和对应法则相同，则这两个函数叫做同一函数。

辨析：221x y +=是不是函数？y =2、函数的表示方法（1）解析式法：用一个等式把函数值与自变量的关系表达出来（且把函数值“显性”地表达出来，如()y f x =），这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。

（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系。

（3）图象法：就是用函数图象来表示两个变量的函数关系。

加深解析式法（对应法则）的理解：如22222()23,(2)2223,(21)(21)2(21)3,[()][()]2()3,[()][()]2()3f x x x f f x x x f g x g x g x f f x f x f x =-+=-⨯+-=--⨯-+=-⨯+=-⨯+则3、函数的图象是“有序实数对”集{(,)|(),}x y y f x x D =∈在直角坐标系内对应的点集（图形），其中x 为自变量，D 是定义域，y 是x 的函数值，且自变量在横轴上取值，函数值在纵轴上取值。

函数的图象有以下特征，经过函数定义域中任何一个点x 作垂直于x 轴的直线，它与函数的图象恰有一个交点。

（画几个图象，判断那些是函数的图象）4、分段函数：若函数在其定义域的不同子集上对应法则有所不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数，它是一类重要函数。

如1,01,0|1|,0,01,01,0x x x y x y x x x x >⎧-≥⎧⎪=-===⎨⎨-+<⎩⎪-<⎩，图象要分段画出。

函数概念和知识点总结

函数概念和知识点总结一、函数概念1. 函数是数学中的一个重要概念，是指对于一个集合中的每一个元素，都有唯一确定的输出元素与之对应的关系。

2. 在数学中，函数通常用f(x)来表示，其中x是自变量，f(x)是因变量，表示x经过函数f的映射得到的结果。

3. 函数可以看作是一种特殊的关系，它描述了输入和输出之间的对应关系，是研究自然界和社会现象中变量之间相互依存关系的重要工具。

4. 函数的图像通常用坐标系中的曲线来表示，通过观察函数的图像可以了解函数的变化规律和性质。

5. 函数在现实生活中有着广泛的应用，例如物理学、经济学、工程学等领域都需要使用函数来描述和分析问题。

二、函数的定义与性质1. 函数的定义：对于集合A和集合B，如果存在一种规律，使得集合A中的每一个元素a都与集合B中唯一确定的元素b相对应，那么我们称这种规律为函数。

2. 函数的自变量和因变量：函数中自变量是指输入的变量，通常用x来表示；因变量是指输出的变量，通常用f(x)来表示。

3. 定义域和值域：函数的定义域是指能够取值的自变量的范围；值域是指因变量的取值范围。

在定义和使用函数时，需要注意其定义域和值域的范围。

4. 函数的性质：函数有着一些重要的性质，如奇偶性、周期性、单调性、极值点、渐近线等，这些性质可以通过函数的分析和图像来进行确定。

5. 函数的分段定义：有些函数在不同的定义域上有不同的表达式，这种函数称为分段函数，需要根据具体的定义域来确定函数的表达式。

三、函数的表示和求解1. 函数的表示：函数可以通过不同的方法来表示，如用表达式形式、图像形式、数据表形式、文字描述等方式来表示函数。

2. 函数的求解：对于给定的函数，我们通常需要求解其零点、极值、最值、导数等问题，这些问题都涉及到函数的求解。

3. 函数的复合与逆函数：函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，逆函数是指可以将原函数的输入和输出进行对调得到的函数。

4. 函数的图像与性质：函数的图像可以通过绘制坐标系中的曲线来表示，通过观察函数的图像可以了解函数的性质和特点。

函数的概念知识点

函数的概念知识点函数是数学中一个重要的概念，存在于各个数学分支以及其他学科中。

在数学中，函数可以描述两个变量之间的关系，而在计算机科学中，函数则是一段特定的代码块，用于完成特定的任务。

本篇文章将介绍函数的概念、数学函数和计算机函数的特点以及它们在不同领域中的应用。

一、函数的概念函数是一种映射关系，将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。

数学函数通常表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。

数学函数可以用各种方式表示，如方程、图表、图像等。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

函数的性质包括一一映射、多对一映射、奇偶性等。

二、数学函数的特点1. 一对一映射：在数学函数中，每个自变量对应唯一的因变量，且不同的自变量对应不同的因变量。

这种特性保证了函数的唯一性和可逆性。

2. 奇偶性：函数可以分为奇函数和偶函数。

奇函数满足f(x)=-f(-x)，在坐标系中以原点对称；偶函数满足f(x)=f(-x)，在坐标系中以y轴对称。

3. 单调性：函数可以是递增的、递减的或者保持不变的。

递增函数表示随着自变量增加，因变量也增加；递减函数表示随着自变量增加，因变量减少。

4. 极限：函数的极限可以描述函数在某一点处的趋势。

左极限和右极限分别表示自变量趋近于某一点时因变量的趋势。

5. 函数的图像：函数的图像可以通过绘制自变量和因变量的坐标点来表示。

图像可以反映函数的增减趋势、交点等特征。

三、计算机函数的特点在计算机科学中，函数是一段特定的代码，用于完成特定的任务。

计算机函数通常具有以下特点：1. 输入与输出：计算机函数接收输入数据，经过特定的处理后，输出结果。

输入可以是零个、一个或多个参数；输出可以是一个返回值或者执行特定的操作。

2. 模块化：函数可以作为程序中的独立模块，完成特定的功能。

这样可以提高代码的可维护性和可重用性。

3. 参数传递：函数可以接收参数，通过参数传递数据或配置信息。

第四讲二次函数的图象和性质

模块三函数第四讲二次函数的图象和性质知识梳理夯实基础知识点1：二次函数的概念及表达式1.一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：()()12y a x x x x =--，其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．知识点2：二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a 顶点（–2ba，244ac b a -）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba 时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系字母的符号图象的特征a>0开口向上aa<0开口向下b=0对称轴为y轴ab>0（a与b同号）对称轴在y轴左侧bab<0（a与b异号）对称轴在y轴右侧c=0经过原点c>0与y轴正半轴相交cc<0与y轴负半轴相交b2–4ac=0与x轴有唯一交点（顶点）b2–4ac>0与x轴有两个交点b2–4acb2–4ac<0与x轴没有交点知识点3：抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．:2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．知识点4：二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax 2+bx +c =0（a ≠0）的解是抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标． 3．（1）b 2–4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点；（2）b 2–4ac =0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b 2–4ac <0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．知识点5：二次函数的综合1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．直击中考胜券在握1．（2021·甘肃兰州中考）二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是（）A ．1x =-B ．2x =-C ．1x =D ．2x =【答案】A 【分析】将二次函数222=++y x x 写成顶点式，进而可得对称轴．【详解】解：Q 222=++y x x 2(1)1=++x ．\二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是1x =-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键．2．（2021·西藏中考）将抛物线y ＝（x ﹣1）2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（）A ．y ＝x 2﹣8x ＋22B ．y ＝x 2﹣8x ＋14C ．y ＝x 2＋4x ＋10D ．y ＝x 2＋4x ＋2【答案】D 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y ＝（x ﹣1）2＋2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y ＝（x ﹣1＋3）2＋2，即y ＝（x ＋2）2＋2；再向下平移4个单位为：y ＝（x ＋2）2＋2﹣4，即y ＝（x ＋2）2﹣2＝x 2＋4x ＋2．故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．3．（2021·广西河池中考）二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，下列说法中，错误的是（）A ．对称轴是直线12x =B ．当12x -<<时，0y <C ．a c b +=D ．a b c+>-【答案】D 【分析】由与x 轴的交点和中点公式求对称轴判断选项A ；结合函数图象判断选项B ；令x =-1,判断选项C ；令x =1,判断选项D ,即可解答．解：A 、对称轴为：直线12122x -+== ，故选项A 正确，不符合题意；B 、由函数图象知，当-1<x <2时，函数图象在x 轴的下方，∴当-1<x <2时，y <0，故选项B 正确，不符合题意；C 、由图可知：当x =-1时，y =a -b +c =0，∴a +c =b ，故选项C 正确，不符合题意；D 、由图可知：当x =1时，y =a +b +c <0∴a +b <-c ，故选项D 错误，不符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键理解函数图象与不等式之间以及方程的关系．4．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数2(2)y a x k =++的图象与x 轴交于A ，(),10B -两点，则下列说法正确的是（）A ．0a <B ．点A 的坐标为()4,0-C ．当0x <时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴为直线2x =-【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断．【详解】由图可得开口向上，故a ＞0，A 错误；∵解析式为2(2)y a x k =++，故对称轴为直线x =-2，D 正确∵(),10B -∴A 点坐标为（-3，0），故B 错误；由图可知当2x <-时，y 随x 的增大而减小，故C 错误；故选D ．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．5．（2021·广东广州·中考真题）抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（）A ．5-B ．3-C ．1-D ．5【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，∴50930c a b c a b c =-ìï-+=íï++=î，解方程组得553103c a b ìï=-ïï=íïï=-ïî，∴抛物线解析式为2353051y x x -=-，当2x =时，103542553y =´´-=--．故选择A ．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键．6．（2021·绍兴中考）关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值6【答案】D【分析】根据二次函数22(4)6y x =-+的解析式，得到a 的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．【详解】解：∵在二次函数22(4)6y x =-+中，a =2>0，顶点坐标为（4,6），∴函数有最小值为6．故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a 的符号和根据顶点坐标求出最值．7．（2021·贵州黔东南中考）如图，抛物线()210:+=+L y ax bx c a ¹与x 轴只有一个公共点A （1，0），与y轴交于点B （0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线2L ，则图中两个阴影部分的面积和为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】连接AB ，OM ，根据二次函数图像的对称性把阴影图形的面积转化为平行四边形ABOM 面积求解即可．【详解】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M ，连接AB ，OM ．由题意可知，AM =OB ，∵()(),1,0,20A B ∴OA =1，OB =AM =2，∵抛物线是轴对称图形，∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM 的面积，∵//AM OB ，AM OB =，∴四边形ABOM 为平行四边形，∴212ABOM S OB OA =·=´=四边形．故选：B ．【点睛】此题考查了二次函数图像的对称性和阴影面积的求法，解题的关键是根据二次函数图像的对称性转化阴影图形的面积．8．（2021·江苏徐州中考）在平面直角坐标系中，将二次函数2y x =的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A ．()221y x =-+B ．()221y x =++C ．()221y x =+-D ．()221y x =--【答案】B 【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．【详解】解：∵2y x =的顶点坐标为（0，0）∴将二次函数2y x =的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），∴所得抛物线对应的函数表达式为()221y x =++，故选B 【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．9．（2021·山东淄博中考）已知二次函数2286y x x =-+的图象交x 轴于,A B 两点．若其图象上有且只有123,,P P P 三点满足123ABPABP ABP S S S m ===V V V ，则m 的值是（）A ．1B ．32C ．2D ．4【答案】C 【分析】由题意易得点123,,P P P 的纵坐标相等，进而可得其中有一个点是抛物线的顶点，然后问题可求解．【详解】解：假设点A 在点B 的左侧，∵二次函数2286y x x =-+的图象交x 轴于,A B 两点，∴令0y =时，则有20286x x =-+，解得：121,3x x ==，∴()()1,0,3,0A B ，∴312AB =-=，∵图象上有且只有123,,P P P 三点满足123ABPABP ABP S S S m ===V V V ，∴点123,,P P P 的纵坐标的绝对值相等，如图所示：∵()22286222y x x x =-+=--，∴点()12,2P -，∴112222ABP m S ==´´=V ；故选C ．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．10．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++上的部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表：x …-10123…y…3-1m3…以下结论正确的是（）A ．抛物线2y ax bx c =++的开口向下B ．当3x <时，y 随x 增大而增大C ．方程20ax bx c ++=的根为0和2D ．当0y >时，x 的取值范围是02x <<【答案】C 【分析】利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断．【详解】解：将(1,3),(0,0),(3,3)-代入抛物线的解析式得；309333a b c c a b -+=ìï=íï++=î，解得：1,2,0a b c ==-=，所以抛物线的解析式为：222(2)(1)1y x x x x x =-=-=--，A 、0a >Q ，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；B 、抛物线的对称轴为直线1x =，在13x <<时，y 随x 增大而增大，故选项错误，不符合题意；C 、方程20ax bx c ++=的根为0和2，故选项正确，符合题意；D 、当0y >时，x 的取值范围是0x <或2x >，故选项错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图象与性质，解题的关键是：利用待定系数法求出解析式，然后利用函数的图象及性质解答．11．（2021·四川雅安中考）定义：{}()min ,()a ab a b b a b £ì=í>î，若函数()2min 123y x x x =+-++，，则该函数的最大值为（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．【详解】令(),y min a b =,当2123x x x +£-++时，即220x x --£时，1y x =+，令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），∴当0w £时，12x -££，∴1y x =+（12x -££），∵y 随x 的增大而增大，∴当x =2时，3y =最大；当2123x x x +>-++时，即220x x -->时，2y x 2x 3=-++，令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），∴当0w >时，2x >或1x <-，∴2y x 2x 3=-++（2x >或1x <-），∵2y x 2x 3=-++的对称轴为x =1，∴当2x >时，y 随x 的增大而减小，∵当x =2时，2y x 2x 3=-++=3，∴当2x >时，y <3；当1x <-，y 随x 的增大而增大，∴当x =-1时，2y x 2x 3=-++=0；∴当1x <-时，y <0；综上，()2min 123y x x x =+-++，的最大值为3．故选C ．【点睛】本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．12．（2021·湖北天门中考）若抛物线2y x bx c =++与x 轴两个交点间的距离为4．对称轴为2x =，P 为这条抛物线的顶点，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是（）A ．()2,4B ．()2,4-C ．()2,4--D ．()2,4-【答案】A【分析】设抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为12(,0),(,0)x x ，且21x x >，根据“两个交点间的距离为4，对称轴为2x =”建立方程可求出12,x x 的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点P 的坐标，然后根据关于x 轴的对称点的坐标变换规律即可得．【详解】解：设抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为12(,0),(,0)x x ，且21x x >，由题意得：2112422x x x x -=ìïí+=ïî，解得1204x x =ìí=î，则抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为(0,0),(4,0)，将点(0,0),(4,0)代入2y x bx c =++得：01640c b c =ìí++=î，解得40b c =-ìí=î，则抛物线的解析式为224(2)4y x x x =-=--，顶点P 的坐标为(2,4)-，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是(2,4)，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、关于x 轴的对称点的坐标变换规律，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．13．（2021·贵州铜仁中考）已知直线2y kx =+过一、二、三象限，则直线2y kx =+与抛物线223y x x =-+的交点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】C【分析】先由直线2y kx =+过一、二、三象限，求出0k ＞，通过判断方程2232x x kx -+=+实数解的个数可判断直线2y kx =+与抛物线223y x x =-+交点的个数．【详解】解：∵直线2y kx =+过一、二、三象限，∴0k ＞．由题意得：2232x x kx -+=+，即()2210x k x -++=，∵△()222440k k k éù=-+-=+ëû＞，∴此方程有两个不相等的实数解．∴直线2y kx =+与抛物线223y x x =-+的交点个数为2个．故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．14．（2021·四川广元中考）将二次函数2y x 2x 3=-++的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y x b =+与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（）A ．214-或3-B ．134-或3-C ．214或3-D ．134或3-【答案】A【分析】由二次函数解析式2y x 2x 3=-++，可求与x 轴的两个交点A 、B ，直线y x b =+表示的图像可看做是直线y x =的图像平移b 个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线y x =经过B 点时，恰与所给图像有三个交点，故将B 点坐标代入即可求解；当平移直线y x =经过C 点时，恰与所给图像有三个交点，即直线y x b =+与函数2y x 2x 3=-++关于x 轴对称的函数223y x x =--图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解．【详解】解：由2y x 2x 3=-++知，当0y =时，即2230x x -++=解得：121,3x x =-=()()1,0,3,0A B \-作函数y x =的图像并平移至过点B 时，恰与所给图像有三个交点，此时有：03b=+3b \=-平移图像至过点C 时，恰与所给图像有三个交点，即当13x -££时，只有一个交点当13x -££的函数图像由2y x 2x 3=-++的图像关于x 轴对称得到\当13x -££时对应的解析式为223y x x =--即{223y x by x x =+=--，整理得：2330x x b ---=()()234132140b b \D =--´´--=+=214b \=-综上所述3b =-或214-故答案是：A ．15．（2021·四川眉山中考）在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---【答案】A【分析】先求出C 点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），求出它关于点C 对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．【详解】解:当x =0时，y =5，∴C （0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），∵原抛物线与新抛物线关于点C 成中心对称，由20x x ´-=-，2510y y ´-=-；∴对应的原抛物线上点的坐标为(),10x y --；代入原抛物线解析式可得：()()21045y x x -=--×-+，∴新抛物线的解析式为：245y x x =--+；故选：A ．本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．【点睛】本题主要考察二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的条件．16．（2021·广西贺州中考）如图，已知抛物线2y ax c =+与直线y kx m =+交于1(3,)A y -，2(1,)B y 两点，则关于x 的不等式2ax c kx m +³-+的解集是（）A ．3x £-或1³x B ．1x £-或3x ³C ．31x -££D ．13x -££【答案】D【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可．y kx m =+Q 与y kx m =-+关于y 轴对称抛物线2y ax c =+的对称轴为y 轴，因此抛物线2y ax c =+与直线y kx m =+的交点和与直线y kx m =-+的交点也关于y 轴对称设y kx m =-+与2y ax c =+交点为A B ¢¢、，则A ¢2(1,)y -，B ¢1(3,)y Q 2ax c kx m+³-+即在点A B ¢¢、之间的函数图像满足题意2ax c kx m \+³-+的解集为：13x -££故选D ．【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解y kx m =+与y kx m =-+关于y 轴对称是解题的关键．17．（2021·内蒙古中考）已知二次函数2(0)y ax bx c a =-+¹的图象经过第一象限的点(1,)b -，则一次函数y bx ac =-的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据直角坐标系和象限的性质，得0b <；根据二次函数的性质，得0a c +=，从而得2y bx ac bx a =-=+，通过计算即可得到答案．【详解】∵点(1,)b -在第一象限∴0b ->∴0b <∵二次函数2(0)y ax bx c a =-+¹的图象经过第一象限的点(1,)b -∴b a b c-=-+∴0a c +=∴2y bx ac bx a =-=+当0x =时，2y a =，即y bx ac =-和y 轴交点为：()20,a当0y =时，2a x b =-，即y bx ac =-和x 轴交点为：2,0a b æö-ç÷èø∵20a >，20a b -> ∴一次函数y bx ac =-的图象不经过第三象限故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、直角坐标系的性质，从而完成求解．18．（2021·安徽·中考真题）设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数．（1）若抛物线经过点(1,)m -，则m =______；（2）将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．【答案】02【分析】（1）直接将点(1,)m -代入计算即可（2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值【详解】解：（1）将(1,)m -代入2(1)y x a x a =+++得：110m a a =--+=故答案为：0（2）根据题意可得新的函数解析式为：2(1)+2y x a x a =+++由抛物线顶点坐标24-,24b ac b aa æö-ç÷èø得新抛物线顶点的纵坐标为：24(2)(1)4a a +-+2274a a -++=2(21)84a a --++=2(1)84a --+=∵2(1)0a -³∴当a =1时，()218a --+有最大值为8，∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是8=24故答案为：2【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法19．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+3（a 为常数且a ≠0）与y 轴交于点A （0，53）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y ＝kx +23（k ≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x 1，x 2，当x 12+x 22＝10时，求k 的值；（3）当﹣4＜x ≤m 时，y 有最大值4m 3，求m 的值．【答案】（1）y =―13(x ―2)2+3；（2）k 1=2,k 2=23,；（3）m =―或94.【解析】【分析】（1）把A 0, （2）联立两个函数的解析式，消去y, 得：―13(x ―2)2+3=kx +23,再利用根与系数的关系与x 21+x 22=(x 1+x 2)2―2x 1x 2=10,可得关于k 的方程，解方程可得答案；（3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当m ≤2, 2＜m ＜8, m ≥8, 结合函数图象，利用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案.【详解】解：（1）把Ay =a (x ―2)2+3中，∴4a +3=53,∴a =―13,∴ 抛物线的解析式为：y =―13(x ―2)2+3. （2）联立一次函数与抛物线的解析式得：y =kx +23y =―13(x ―2)2+3 ∴―13(x ―2)2+3=kx +23,整理得：x 2―(4―3k )x ―3=0, ∴x 1+x 2=4―3k,x 1x 2=―3,∵x 21+x 22=(x 1+x 2)2―2x 1x 2=10,∴(4―3k )2―2×(―3)=(4―3k )2+12>0, ∵x 1+x 2=4-3k ，x 1•x 2=-3，∴x 12+x 22=（4-3k ）2+6=10，解得：k 1=2,k 2=23,∴k 1=2,k 2=23,（3）∵函数的对称轴为直线x=2，当m ＜2时，当x=m 时，y 有最大值，4m 3=-13（m-2）2+3，解得∴当m≥2时，当x=2时，y 有最大值，∴4m 3=3，∴m=94，综上所述，m 的值为或94．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与x轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键.20．（2021·青海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x 轴上，点B在y轴上，C点的坐标为1，0，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+(b―1)x+c>2的解集；（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点,当PQ=P点的坐标．【答案】（1）y=―x2―x+2；（2）―2<x<0；（3）P坐标有P1(―1,2)或P2(―1+或P3(―1――【解析】【分析】(1)先求出A、B两点坐标，再代入抛物线中即可求出解析式；(2)将不等式ax2+(b―1)x+c>2变形为ax2+bx+c>x+2,进而得到二次函数图像在一次函数图像上方即可求解；(3)先证明△PDQ为等腰直角三角形，进而求出PD==1，再分类讨论P点在直线AB上方或下方进而求解．【详解】解：(1)当y=0时，x+2=0，解得x=―2，当x=0时，y=0+2=2，则点A(―2,0)，点B(0,2)，把A(―2,0)，B(0,2)，C(1,0)，分别代入y=ax2+bx+c得4a ―2b +c =0a +b +c =0c =2解得：a =―1，b =―1，c =2，∴该抛物线的解析式为y =―x 2―x +2．(2)由不等式ax 2+(b ―1)x +c >2，得ax 2+bx +c >x +2，由图像可知，二次函数图像在一次函数图像上方，则不等式ax 2+(b ―1)x +c >2的解集为―2<x <0；(3)如图，作PE ⊥x 轴于点E ，交AB 于点D ，在Rt △AOB 中，∵OA =OB =2，∴∠OAB =45°，∴∠PDQ =∠ADE =45°，在Rt △PDQ 中，∠DPQ =∠PDQ =45°，∴PQ =DQ =∴PD ==1，设点P (m,―m 2―m +2)，则点D (m,m +2)，当点P 在直线AB 上方时，PD =―m 2―m +2―(m +2)=―m 2―2m ，即―m 2―2m =1，解得m =―1，则―m 2―m +2=2，∴P 点的坐标为：P 1(―1,2)．当点P 在直线AB 下方时，PD =m +2―(―m 2―m +2)=m 2+2m ，即m2+2m=1解得m=―1±∴―m2―m+2=±∴P2(―1或P3(―1――，综上所述，符合条件的点P坐标有P1(―1,2)或P2(―1或P3(―1――．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，图像法解不等式及等腰直角三角形的性质等，第(3)问中需要分类讨论P点位于直线AB上方或下方的情况．。

第四讲二次函数(讲义).doc

第四讲二次函数一、知识要点和基本方法 1、二次函数解析式的三种形态(顶点式、零点式与一般式)2、二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a^O)的图象与性质3、一元二次方程o? +* + c•=0在某一开区间内外的实根分布问题(从△，对称轴与区间端点的函数值的符号这三个角度来考虑)(1) 两根均大于t()<=> (2) 两根均小于t()(3) 一根大于t(),另一根小于切 <=>(4) 其中一个根小于t|,另一个根大于t2 (ti<t 2)(5) 两根均在开区间(t ］, t 2)内，即两根X1,X2满足/, < %! < x 2 < t 2 = (6) 有旦仅有一个根在区间(t|, (2)内 o(7) 对于t^<t 2< t 3 ,两根尤］,尤2分别在区间(t ］, t 2)和(t 2, t 3)内说明：若avo,这时二次函数图像开口向下，不等式组要做相应变更，若a 的符号不能确定，则要加以对论；若将开区间换为闭区间，不等组也要相应变形。

［典型例题］一、二次函数解析式的确定及相关问题例1、设二次函数y=ax?+bx+c 满足条件:f(0)=2, f(l)=-l,且图象在x 轴上所截得的线段长为2很，求这个二次函数的表达式。

例2、已知二次函数y = (x)的图象以原点为顶点且过点(1, 1),反函数= f 2 (x)的图象与直线y=x 的两个交点的距离8, y(x) = /1(x) + /2(x)0 (1)求函数f(x)的表达式；(2)证明：当a>3时，关于x 的方程/(x)= f M 有三个实数解。

二、二次函数的最值问题例3、己知定义在闭区间［0, a ］上的函数y=x 2—2x4-3,问：当a 在什么范围内取值时，y 的最大值是3, 且最小值是2o例4、如果抛物线y=x 2-(k-l)x-k-l 与x 轴的交点为A 、B,顶点为C,求AABC 的面积的最小值。

函数知识点归纳

函数知识点归纳函数是数学中的一个重要概念，它在计算机科学、统计学和物理学等领域也有广泛的应用。

本文将对函数的基本概念、性质和常见的函数类型做一个全面的归纳总结，以帮助读者更好地理解和运用函数知识。

一、函数的基本概念函数是一种映射关系，将一个或多个自变量映射到一个因变量上。

函数通常表示为f(x)或y=f(x)，其中x是自变量，f(x)或y是因变量。

函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是因变量的集合。

函数可以用不同的方式表示，如数学表达式、图形、表格或文字描述。

函数的图形通常用坐标系上的点表示，自变量在横轴上，因变量在纵轴上。

二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域确定了自变量可能取值的范围，值域确定了因变量的取值范围。

2. 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域上的增减趋势，可以是递增、递减或不变。

3. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数图像的对称性质，奇函数关于原点对称，偶函数关于纵轴对称。

4. 周期性：周期函数具有一定的重复性，函数的图像在一定的区间内重复出现。

5. 极值点：函数的极值点是函数图像上的局部极大值或极小值点，可以通过导数求解。

三、常见的函数类型1. 多项式函数：多项式函数是由常数、变量和指数幂运算组成的函数，可表示为f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，其中an为系数，n为次数。

2. 指数函数：指数函数的函数表达式为f(x) = ax，其中a为常数，x为自变量。

3. 对数函数：对数函数是指以某个正数为底的幂运算的逆运算，常见的对数函数有自然对数函数ln(x)和以10为底的常用对数函数log(x)。

4. 三角函数：三角函数是以单位圆上的点坐标表示的函数，常见的三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。

5. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆运算，常见的反三角函数有反正弦函数arcsin(x)、反余弦函数arccos(x)和反正切函数arctan(x)等。