函数的概念及相关典型例题

函数的概念及相关典型例题

一、知识点

1、函数的定义：给定两个非空数集A 和B ，如果按照某个对应关系f ，

对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都存在唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就把对应关系f 叫做定义在集合A 上的函数，记作B A f →:，或)(x f y =，

x ∈A 。习惯上我们称y 是x 的函数。

2、函数的三要素：

①、定义域：x 取值的集合A 叫做函数的定义域，也就是自变量 x 的取值

围；

②、对应关系（对应法则）：对应关系f 是核心，它是对自变量x 进行“操作”的“程序”，是连接x 与y 的纽带。

③、值域：就是函数值的集合，{}A x x f ∈|)(。

A B

B A f →:

对应关系

定义域A 值域{}A x x f ∈|)( 3、常见函数的定义域和值域

①．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R;

②．反比例函x

k

x f =

)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠y y ; ③．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R

值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0

⎬⎫

⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2

4、 相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，

那么我们就称这两个函数相等或称这两个函数为同一函数 。（与表示自变量的字

母无关，例如：12)(+=t t f 与12)(+=x x f 表示同一函数。）

5、复合函数：如果函数y =)(t f 的定义域为A ，函数t=g (x )的定义域

为D ，值域为C ，则当C=A 时，称函数y =))((x g f 为f 与g 在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，t=g (x )叫函数，y =)(t f 叫外函数。（函数的值域等于外函

数的定义域）

6、区间。

定 义 名 称 符 号 数 轴 表 示

{x|a ≤x ≤b} 闭区间 [a ，b] {x|a

{x|a ≤x

{x|a

左开右闭区间

(a ，b]

这样实数集R 也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x

二、典型例题

（一）、判断变量间的关系。

1、函数关系多对一非函数关系：一对多

一对一

2、根据图形判断对应关系是否为函数关系的方法。

作垂直于x轴直线l→在定义域移动l→只有一个交点的是函数关系，有两个或两个以上交点的不是函数关系。

3、判断一个对应关系是否为函数的方法。

判断A、B是否为非空数集→判断A中任一元素在B中的是否有元素与之对应→判断A中任一元素在B中的对应关系是否是唯一确定的。

（二）求函数的定义域

1、求给出解析式的函数的定义域（求使解析式各部分都有意义的自变量的取值围）

①分式中分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负；③x0中，x≠0；

④整式部分自变量的取值围为R.

2、求抽象函数的定义域。

①已知的定义域是［a，b］，求的定义域。

解，即为所求的定义域。

②已知的定义域是［a，b］，求f(x)定义域。

方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

③已知f(g(x))定义域［a，b］，求f(h(x))的定义域。

用题型②的方法根据y=f(g(x))定义域求y=f(x)的定义域，用题型①的方法根据y=f(x)的定义域求y=f(h(x))的定义域。

（注：在同一法则f下，与f(h(x))中g(x)与h(x)的围是相同的。）

④已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域。

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域． 解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨

-+⎩

，

，≤≤≤≤解得40x -≤≤．

所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，．

练习：已知函数定义域是，求的定义

域。

分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。 解：由已知，有

，即函数的定义域由确

（比较两个区间左右端点，取交集）

函数

的定义域是

3、际问题中的函数的定义域。

①满足解析式；②实际意义对自变量的限制（处理几何图形的周长、面积、体积等问题时，切记各线段的长度均为正数。）

4、函数定义域的逆向思维（已知所给函数的定义域，求解析式中参数的取值围。）

解法：当二次函数的二次项系数不确定时，需要对其是否为0进行分类讨论；

运用转化思想，把函数定义域问题转化成恒成立问题。

例1、已知函数的定义域为R，数m的取值围。

分析：函数的定义域为R，表明，使一切x∈R都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。

解：当m=0时，函数的定义域为R；

当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是

综上可知。

例2、已知函数的定义域是R，数k的取值围。

解：要使函数有意义，则必须≠0恒成立，因为的定义域为R，即无实数

①当k≠0时，恒成立，解得；

②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。

综上k的取值围是。

（三）求函数值

1、已知函数的解析式求值。