一图一课二次函数复习

二次函数复习ppt课件

点坐标是（1/2，1）；（2）若抛物线y = a (x+m) 2+n 开口向下，顶点在第四象限，则 a ＜刀
3.求下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y=x2 - 2x + 3 y= -2x2 - 4x - 6
解:y=x2-2x+1+2 =(x-1)2+2
y
o
x
a <0,b 0<,c 0. =
y
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a >0,b 0>,c 0. =
o
x
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，
那么这个二次函数图象的顶点必在第四象限
y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
二次函数复习
6.二次函数的应用
1. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
x
7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
y
-1 0 1
x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。

第1课二次函数的相关概念

第1课二次函数的相关概念姓名班级学号一、复习回顾一次函数：一般地，形如的函数叫做一次函数。

其中x是，y是，称是的函数。

一次函数的图象为。

当时，解析式变为，原函数变为函数。

其图象为一条。

二、探究新知问题1．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为x ，表面积为y ，则y 关于x 的关系式为问题2．有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。

比赛的场次数m与球队数n的关系式为问题3．某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量。

如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系式为思考:以上三个函数有什么共同特点？①②③④二次函数的概念：一般地，形如(a，b，c是常数，且a≠0)的函数，叫做二次函数. 其中a叫；b叫；c叫．三、例题讲解例1.下列是二次函数的是练习1.下列是二次函数的是(1)y＝2x2－3x (2)y＝x3＋2 (1)y＝－x2 (2)y＝ax2＋bx＋c(4)y＝x(x＋1)－x2(3)y＝√x2＋x－1 (4)y＝0x2－3x (3)y＝x2－1x(5)y＝(x－3)2－x2 (5)y＝(2x－1)－x2.例2.(1)已知y＝x m－x－1是二次函数，则实数m＝________；(2)已知y＝(m－3)x2－x－1是二次函数，则实数m的取值范围是________．练习2.(1)已知y＝(m－2)x|m|－x－1是二次函数，则实数m＝________；(2)已知y＝(m－3)x2－x－1是一次函数，则m＝________.例3.一个直角三角形的两直角边的和为16 cm，其中一直角边为x cm，三角形面积为y cm2.(1)写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当x＝2时，求y的值．(3)当y＝24时，求x的值．练习3.用一根长16 cm的铁丝围成一个矩形，矩形面积为y cm2，矩形一边长为x cm.(1)写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当x＝2时，求y的值．(3)当y＝15时，求x的值．四、课堂练习1.下列是二次函数的是 ( )C．y＝2x2 D．y＝2x＋1A．y＝(x－1)2－x2 B．y＝1x22．当k________时，y＝(k＋1)x2 是关于x的二次函数．3．当x＝－1时，二次函数y＝x2＋1的值为________．4.某种产品现在的年产量是20吨，若接下来平均每年的增长率都是x，写出两年后这种产品的产量y与x之间的关系式____________________.5.如右图，一块草地是长80 m，宽60 m的矩形，中间是两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m2，y与x的函数关系式为．6.已知函数y＝(m－1)x2＋3x－2.(1)当m________时，它是二次函数；(2)当m________时，它是一次函数．7.已知正方形的对角线长为x，面积为y，则y与x间的函数关系式为．8.如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝5 cm，点M以1 cm/s的速度从点B向点C运动，同时点N以2 cm/s的速度从点C向点D运动，点M不能与点C重合．设运动开始第t秒钟时，五边形ABMND的面积为S，求出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.9.用20米长的木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，墙长MN为11米，其中AD≤MN，BC边上留了一个宽1米的进出口，设AB边长为x米.(1)写出菜园的面积y(单位：m2)与x(单位：m)的函数关系式及自变量x的取值范围；(2)若矩形菜园ABCD的面积为55平方米，则AB＝____米.第1课二次函数的相关概念（课后作业）1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）B．y＝3x+1 C．y＝3x2+x﹣2 D．y2＝x2+3x A．y＝1x2；②y＝1﹣3x2；③y＝﹣20x2；④y＝x2﹣6x+5；⑤y＝x(x+5)+2，2．已知函数：①y＝x+1x⑥y＝3x3+2x2其中是二次函数的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．已知函数y＝（m﹣2）x2+mx﹣3（m为常数）．（1）当m 时，该函数为二次函数；（2）当m 时，该函数为一次函数．4．若函数y＝（m﹣1）x m2+1+2mx+3是关于x的二次函数，则m的取值为．5．已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求：（1）圆柱体积y与底面半径x之间的函数解析式；（2）若圆柱的底面半径x为3，求此时的y值．（3）当y＝27π时，求x的值．6．已知y与x2成正比例，并且当x＝﹣1时，y＝﹣3．求：时，x的值．（1）y与x的函数关系式；（2）当x＝4时，y的值；（3）当y=−137.富根老伯想利用一边长为a米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形．（1）如果设猪舍的宽AB为x米，则猪舍的总面积S（米2）与x有怎样的函数关系？（2）请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC和宽AB的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？8．如图，矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将长和宽都增加xcm，那么面积增加ycm2．（1）求y与x的函数表达式；（2）求当边长增加多少时，面积增加8cm2．9．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大为多少？中考真题体验下列函数中，是二次函数的是（）﹣3x B．y＝﹣（x﹣1）2+x2A．y＝﹣1x2C．y＝11x2+29x D．y＝ax2+bx+c。

二次函数与幂函数一轮复习课件(共21张PPT)

4
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,

二次函数-高考数学复习

3 − 2， < 1.
PART3Fra bibliotek微专题 3
一元二次方程根的分布
目录
解决由一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围
问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解：
（1）判别式Δ的符号；

（2）对称轴 x ＝－与所给区间的位置关系；
2
（3）区间端点处函数值的符号.
一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况较复杂，但
＋2） x ＋ c ，
因为 g （ x ）为偶函数，所以 g （－ x ）＝ g （ x ），
即 x 2－（ b ＋2） x ＋ c ＝ x 2＋（ b ＋2） x ＋ c ，可得 b ＝－2，
所以 f （ x ）＝ x 2－2 x ＋ c ，图象开口向上，对称轴为直线 x ＝1.
若选条件①，因为函数 f （ x ）在区间[－2，2]上的最大值为5，所以 f
A. [－6，2]
B. [—6，1]
C. [0，2]
D. [0，1]
）
解析：函数 f （ x ）＝－2 x 2＋4 x 的对称轴为直线 x ＝1，则 f
（ x ）在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴ f （ x ）max
＝ f （1）＝2， f （ x ）min＝ f （－1）＝－2－4＝－6，即 f （ x ）的
∴ f （ x ）＝－4 −
1 2
＋8＝－1，解得 a ＝－4，
2
1 2
＋8＝－4 x 2＋4 x ＋7.
2
法三（利用二次函数的零点式）
由已知 f （ x ）＋1＝0的两根为 x 1＝
2， x 2＝－1，
故可设 f （ x ）＋1＝ a （ x －2）（ x ＋1）（ a ≠0），

“一题一课”模式在二次函数复习教学中的实践与应用詹林

“一题一课”模式在二次函数复习教学中的实践与应用詹林发表时间：2019-01-25T11:34:12.550Z 来源：《教育学文摘》2019年3月总第295期作者：詹林[导读] 初中数学复习课在整个初中数学教学中是非常重要的组成部分，复习课的主要目的是对之前所学知识进行巩固。

浙江省乐清市乐成实验中学325600 摘要：随着时代的不断发展，教育界做出了前所未有的改革，当前新课程与素质教育理念不断深入，使得教学在价值取向、基本理念、目标及内容方面有了较大的改变。

初中数学深受其影响，在各方面均有所改变，教师不再单纯用传统的教学方法去教学，而是用更加新颖与科学的教学模式去教学。

本文重点分析二次函数复习教学相关情况，推荐使用一题一课的教学模式去上课，取得了很好的效果。

关键词：“一题一课” 二次函数数学初中数学复习课在整个初中数学教学中是非常重要的组成部分，复习课的主要目的是对之前所学知识进行巩固，以达到最佳的掌握效果。

在教学实践中，非常普遍的情况就是很多学生将做题看做是主要的学习手段，这样就造成了复习效果不佳。

通过工作经验我觉得要想提高中考复习效率，要采取有效且科学的方法，采用 “一题一课”的模式进行复习是较好的选择。

本文将“一题一课”中考复习模式应用在二次函数复习教学中，现将有关的情况汇报如下。

一、例题呈现（2016年浙江省舟山市中考题第10题）二次函数y=-(x-1)2+5，当m≤x≤n且mn<0时，y最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）。

A. 5/2B. 2C. 3/2D. 1/2 教学说明：这个练习题作为学生的课前练习题，让学生做这个例题的主要目的是让学生了解二次函数相关性质以及确定二次函数的最值问题，为新课的教学做好铺垫。

二、课堂例题探究一：二次函数有哪些信息，找学生来回答。

教学说明：这节课为二次函数的复习课，复习二次函数的有关知识内容，通过二次函数的解析式能够明确二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标等情况。

人教版九级上册数学优质课件二次函数复习优质课件

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思维导图例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（1）求这个二次函数的解析式；
解：（1）将点A（2，0）、B（0，-6）代入得：c226b c 0 ，
解得：bc
4 6
解：（3）存在，点P的坐标为 (0, 2) 。 3
AD长度固定，只需找到点P使AP+PD最小即可，找到点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，则A'D与y轴的交点即是点P的位置。
人教版九年级级上上册册数学数优学质课课件件二第次二函十数二复章习优二质次课函件数复习课件(共20张PPT)
人教版九年级级上上册册数学数优学质课课件件二第次二函十数二复章习优二质次课函件数复习课件(共20张PPT)
人教版九年级级上上册册数学数优学质课课件件二第次二函十数二复章习优二质次课函件数复习课件(共20张PPT)
人教版九年级级上上册册数学数优学质课课件件二第次二函十数二复章习优二质次课函件数复习课件(共20张PPT)
思维导图例题示范
例2
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/ 千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克。（1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式。
人教版九年级上册数学课件第二十二章二次函数复习课件(共20张PPT)
思维导图例题示范
例2
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/ 千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克。（2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润。

基于深度学习　建构“一题一课”——以“二次函数的最值问题”复习课为例

念、几何直观等数学思想方法和数学核心素养．
总的来说,教师在开展 “一题一课 ”教学活动时,
要注重引导学生学会从数学视角来审视问题和解决
３一课贯通,素养升华
问题,做到真正把握数学问题的本质,推动知识面拓
本课例中以一题为起点,利用一题多变、一题多
模式．
深度学习需要教师结合自身经验设置问题串
(链)以触发学生的深度思考,落实数学核心素养,真
引例如图２,已知经过点
A (－１,
０),
B(
４,
０),
C(
０,
４)三点
的抛物线的解析式为 y ＝－x２＋
图３
△MBC 的面积和线段 MN 长度之间的关系,即
１
１
S△MBC ＝铅垂高 × 水平宽 ×
＝ MN ×OB ×
＝
２
２
１
MN ×４× ＝２MN ,从而可知求 △MBC 面积的最大
２
值就是要求线段 MN 长度的最大值,让学生充分体会
转化思想在解决问题中的应用．
用求 MH 的最大值求 S△ MBC 的最大值;方法三如图
提高深层次探究能力与技巧,发展思维迁移能力与观
１０,利用平移的方法找到与 BC 平行且与抛物线相切
的直线,这时切点就是到直线 BC 最远的点,进而求出
MH 的最大值．
念,体会转化思想、函数思想、数形结合思想、建模观

二次函数(复习课)课件

详细描述
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。

期末二次函数复习

（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
对称轴x=-1，顶点坐标M（-1，-2）
与x轴交点A（-3，0）B（1，0）C(0，
3 2
)
图略
ΔMAB的周长=2MA+AB=2√2 ×2+4=4√2+4
ΔMAB的面积=
1 2
AB×MD=
1 2
×4×2=4
当x<-1时，y随x的增大而减小；当x=-1时，y最小值=-2
10.不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远为正的
条件是__a_>_0， b²-4ac<_0 。
三、解答题： 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2 顶点在直线y=x+1上当y=2时，x=1。∴顶点坐标为（ 1 ， 2）设解析式为y=a(x-1)2+2 ∴a=-2 y=-2(x-1)2+2 y=-2x2+4x
二次函数 y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
有两个交点
只有一个交点（顶点）
没有交点
一元二次方程 ax2+bx+c= 0的
根有两个不等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
一元二次方程 ax2+bx+c= 0根的判别式Δ=b2-4ac
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac = 0
b2 – 4ac < 0
5、求二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的解析式

第21章二次函数与反比例函数期末复习二次函数的图象和性质PPT课件(沪科版)

当x>－
b 时， 2a
当x>－
b 2a
时，
y随着x的增大而增大 . y随着x的增大而减小.
复习要点4 4. 二次函数的三种表达情势
(1)一般情势： y=ax2＋bx＋c(a ≠ 0)，
(2)顶点情势： y=a(x＋h) 2＋k (a ≠ 0)，
(3)交点情势： y=a(x－x1)(x－x2) (a ≠ 0)， A(－1，0)，B(－5，0) A(2，0)，B(6，0) A(－1，0)，B(5，0) 两点在x轴上
即： y=2x2－4x－6 ．
已知一个二次函数的图象经过点A(－1，0)，
B(3，0)，(4，10)，求它的解析式.
解法三(顶点式)：
∵ 点A(－1，0)，B(3，0)是函数图象与x轴的两交点，
∴函数图象的对称轴为x=
－1＋3 2
=1
∴可设所求的二次函数为 y=a(x－1)2＋k
∵由函数图象经过B(3，0)，C(4，10)两点，
三、二次函数表达式的确定
8.抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于(－1，0)，(3，0) 两点，其形状与抛物线y=－2x2相同，则此抛物线的解析式为 y=－2x2＋4x＋6 .
9.二次函数x= －2 时，有最小值－ 2，且函数图象经过点(0，2)，则此二次函数的解析式为 y=x2＋4x＋2 .
练习巩固一、二次函数的定义
1.已知函数：① y=－x2 ② y=3(x－1)2－2
③ y=3－2x2 ④ y=－x2－x－1 ⑤y=2x2＋x ⑥y=ax2＋bx＋c
其中一定是二次函数的个数为( C ).
A . 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
2.已知函数y=(m＋2)x|m| ＋mx－1，其图象是

2二次函数的图象与性质复习PPT课件(华师大版)

1 2
0①
2k 2 k 1 2②
由①，得：k 1
由②，得：k1
1 2
2
, k2
1
∴ k 1
相信自己，你就能成功！
检测二：
1：y ax2
2：y bx2
3：y cx2
比较a、b、c的大小
1
3
2
1
2、抛物线y = 2 x 2+3的开口方向向上 ,对称轴是直线X=0 ,
顶点坐标是（0，3） ,是由抛物
对称轴
a>0 最
y轴
y轴直线x=h
x 0时，x 0时， x=h时
ymin 0 Hale Waihona Puke min c y=0(h,k)
直线x=h
x=h时 y=k
(
b
4ac b2
,
)
2a
4a
直线 x b
2a
x
b 2a
时，ym
in
4ac 4a
b2
值
x 0时 x 0时 x=h时 x=h时
a<0 ymax 0 ymax c ymax=0 y=k
• A．开口向下 B．对称轴是直线x=1
• C．与x轴有两个交点
• D．顶点坐标是(-1，0)
检测三：
1、若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶点在第四象限，则
a〈 0, m〈 0, n〈 0。
某二次函数满足下列表格中的x，y的值：
x … －4 －2 0 1 2 3 …
y … 25 9
二次函数的图象和性质（复习）
一、二次函数的定义
1.定义：一般地,形如
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)

二次函数图像与性质复习课件

二次函数图像与性质复习课件
这个课件将会回顾和讲解二次函数的定义和性质，标准形式，基本图像特征，平移、伸缩和反转，最简化形式，以及二次函数在实际问题中的应用。
二次函数的定义和性质
定义
二次函数是一个具有形如 y = ax^2 + bx + c 的方程的函数。
性质
二次函数的图像是一个平滑的弯曲线，可能开口向上或向下。
二次函数的标准形式
标准形式方程
二次函数的标准形式方程是 y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 是顶点的坐标。
二次函数的一些基本图像特征
1 凹向上还是凹向下？
当二次函数的系数 a 大于 0 时，图像凹向上；当 a 小于 0 时，图像凹向下。
2 零点和顶点是什么？
二次函数的零点是函数图像与 x 轴交点的 x 坐标，顶点是函数图像的最低点或最高点。
二次函数的平移、伸缩和反转
1
平移
改变二次函数的顶点位置，使图像在
伸缩
2
二维平面上上下左右移动。
改变二次函数的系数 a 的值，使图像
在纵轴上拉伸或压缩，改变开口的尖
锐程度。
3
反转
改变二次函数的系数 a 的符号，使图像关于 x 轴或 y 轴进行翻转。
二次函数的最简化形式
最简化形式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程
通过完成平方将二次函数方程转化为顶点形式的方程，例如 y = a(x - h)^2 + k。
二次函数和实际问题的应用
桥的设计
二次函数被广泛应用于桥梁设计，以确定最优弧线形状。
反射望远镜
二次函数的图像形状被用于反射望远镜的曲面设计，以聚集光线到焦点。
总结和复习要点

二次函数复习(共36张PPT)

y=ax2+bx+c的图方程ax2+bx+c=0
象和x轴交点
的根
b2-4ac
有两个交点
方程有两个不相等的 b2-4ac>0
实数根
只有一个交点
方程有两个相等的 b2-4ac=0
实数根
没有交点
方程没有实数根 b2-4ac<0
函数的图象
y
.
. ox
y
o
x
y
o
x
根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量与函数值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0
(4)函数的自变量x的取值范围：任意实数
当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范
围.
二次函数的一般形式:
• 函数y＝ax2＋bx＋c
– 其中a、b、c是常数 – 切记：a≠0 – 右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式）
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
向上
直线X=-h
（-h，k）
a ＜ 0 向下
图象的平移规律：
对于抛物线y=a(x+h)2+k的平移有以下规律： (1)、平移不改变 a 的值； (2)、h决定图象沿x轴方向左右平移，左+右— (3)、k决定图象沿y轴方向上下平移，上+下—
知识运用
（坐1标）是抛物线,图(y0象=,0过)x32 第2的开口向一象、,限对上二称；轴是
二次函数开口方向对称轴顶点坐标
y = ax 2
a ＞ 0 向上直线X=0 a ＜ 0 向下（或y轴）

第22章二次函数 (章末复习课件)【人教九上数学期中期末复习必备】

课堂检测
1.若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程
x2+mx=7的解为（ D ）
A．x1=0，x2=6
B．x1=1，x2=7
C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7
课堂检测
1.抛物线 y ax 2 bx c 的部分图象如图所示，
请根据图象回答：
（1）当 x=-1或3 时，ax2 bx c 0 (即y =0)；（2）当 x＞3或x＜-1 时，ax2 bx c>0 (即y＞0)；（3）当 -1＜x＜3 时，ax2 bx c<0 (即y＜0).
知识梳理考点1 二次函数的概念
一般地，形如 y=ax2＋bx＋c (a，b，c是常数， a≠0 ) 的函数，叫做二次函数．
[注意](1)等号右边必须是整式； (2)自变量的最高次数是2； (3)当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数．
知识梳理考点2 二次函数的图象和性质
二次函数开口方向
④ 若 (4, y1), (
5 2
,
y2
)
是抛物线上两点，
则 y1 y2 .
知识梳理
考点5 二次函数与一元二次方程及不等式的关系
1.关系：抛物线 y ax2 bx c(a 0) 与x轴的交点横坐标即为方程 ax2 bx c 0 的解 2.交点情况： ①两个交点 b2 4ac＞0 方程两个不相等的实数根 ②一个交点 b2 4ac 0 方程两个相等的实数根 ③没有交点 b2 4ac＜0 方程无实数根 3.利用二次函数图像解不等式： ①若 ax2 bx c＞0 ，则找二次函数 y ax2 bx c(a 0)的图像在x 轴上的部分所对应的x的取值范围为次不等式的解。 ②若ax2 bx c＞0 ，找图像在x轴下方的部分所对应的x的取值范围即可.

二次函数复习专题讲义全

二次函数复习专题讲义全1.二次函数概念：指形如y=ax^2(a≠0)的函数。

2.简单二次函数：其图像为过原点的一条抛物线，对称轴为y轴，最值依赖于a的正负性。

3.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x0)，y随x的增大而增大；当a0)，y随x的增大而减小。

4.一般二次函数概念：指形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。

5.二次函数图像：是一条抛物线，开口方向依赖于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a。

c-b^2/4a)。

6.对称轴：为x=-b/2a。

7.最值：当a>0时，y的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，y 的最大值为c-b^2/4a。

8.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x-b/2a)，y随x的增大而增大；当a-b/2a)，y随x的增大而减小。

9.待定系数法可以用来求解析式，二次函数可以应用于建立函数模型解决实际问题。

10.二次函数的三种解析式：一般式、顶点式和交点式。

其中，顶点式和交点式可以相互转换。

注意，a≠0，而b和c可以为零。

1.系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

绝对值|a|决定开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。

2.系数c决定抛物线与y轴的交点位置。

当c>0时，交点在y轴正半轴；当c=0时，交点在抛物线顶点上方；当c<0时，交点在y轴负半轴。

3.系数a和b共同决定抛物线对称轴的位置。

当- b/2a>0时，对称轴在y轴右侧；当- b/2a<0时，对称轴在y轴左侧；当- b/2a=0时，对称轴为y轴。

4.特别地，当a=1时，顶点坐标为(-b/2.a+b+c)，当x=-1时，有y=a-b+c。

5.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的关系：若抛物线与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实根；若抛物线与x轴有一个交点，则方程有两个相等的实根；若抛物线与x轴无交点，则方程无实根。

第1章二次函数浙教版九年级数学上册复习课件(共17张PPT)

（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，图象经过（1，0），从中你能得到哪些结论？
（2）m满足什么条件时方程ax2+bx+c=m，①有两个不相等的实数根？②有两个相等的实数根？③没有实数根？
y
4
-1
o
1
x
图1
• 若把图1的函数图象绕着顶点旋转180度，则能得
到函数的表达式是
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
得到y=2 x2 －4x－1则a＝，b＝，c＝
.
3与.如分图别，经两过条点抛（物-2线,0）y,1（2,012）x且2 平1行、于y2y轴的12两x 2条1
平行线围成的阴影部分的面积为（）Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．4
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、二次函数的定义
如果函数 y k 1 xk2k2 kx 1 是关于x的二次函
数，则k＝
?
一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)，那么，y叫做x的二次函数。
2、二次函数的图像和性质(画两幅图)
抛物线顶点坐标对称轴开口方向

二次函数的图象和性质(复习)---1111

Y=2(X-1)2+1 7.函数y=2x2-4x-1写成y=a（x-h）2+k的形式是______，• (1,1) 抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标是________，对称轴是 X=1 _______．
操作与思考
已知二次函数y=- x2+x+ ，解答下列问题：（1）将这个二次函数化为y=a（x-h）2+k的形式；（2）写出这个二次函数的顶点坐标和对称轴；（3）画出该二次函数的图象；（4）根据图象回答，x取何值时，y>0？x取何值时， y<0？（5）x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y 随x的增大而减小？（6）当x为何值时，函数有最大或最小值，其值是多少？
x
课前导学
根据y=ax2+bx+c的图像回答下列问题 x为何值时，大于0或小于0？
y
5 4 3 2 1
–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5 y=ax2+bx+c
x
课前导学
根据y=ax2+bx+c的图像回答下列问题 x为何值时，大于0或小于0？
y
5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1O –1 –2 –3 –4 –5
b 4ac b y a x . 2a 4a
2 2
2
b 4ac b 2 . 顶点是 , 2a 4a
课前导学
根据y=ax2+bx+c的图像回答下列问题
x为何值时，大于0或小于0？
y
5 4 3 2 1
A B –5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1 –2 y=ax2+bx+c –3 –4 –5

高中数学二次函数的讲解(学习复习参考)课件

2
由题 kf (1) 0, k (2k 2 3k 2) 0, （ k k 4）>0即 k 0或k 4.
(2) 已知二次方程 (m 2) x2 mx (2m 1) 0 的两根分别属于（ 1， 0）和（， 1 2）求 m 的取值范围.
f (-1)f (0) 0 (2m 1)(2m 1) 0 解：由题 f (1)f (2) 0 (4m 1)(8m 7) 0 1 1 m 1 1 2 2 m 4 2 1 m 7 8 4
m
h k
m
h k
例5：已知函数y=x2+2x-3 且x [-2，2],
求函数的最值？
例6：已知函数y=-x2-2x+3且x[0，2],
求函数的最值？
二、含参变量的二次函数最值问题 1、轴动区间定 2、轴定区间动例7：求函数y=x2+2ax+3在x[-2,2]时的最值？
-a
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
1 二次方程有两异号实数根的充要条件是x1 x2
c 0； a
0 b 2 有两正实数根的充要条件是 x x 0； 1 2 a c x1 x2 0 a 0 b 3 有两负实数根的充要条件是 x x 0. 1 2 a c x1 x2 0 a
3.实根分布问题
★一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
(1)、当x为全体实数时的根
(1)当 b 2 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根
(2)当 b 2 4ac 0时，方程有两个相等的实数根 2 (3)当 b 4ac 0时，方程没有实数根

中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)

当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1：已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两
点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，
y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点：
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0）
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线顶点坐标对称轴

二次函数图像与性质复习课ppt课件

火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去
考点4 二次函数与一元二次方程、不等式的关系
二次函数y＝ ax2＋bx＋c 与x轴交点
二次函数图象与x轴交点的个数
二次函数图象与不等式
交点横坐标是一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的解
b2－4ac＞0
二次函数图象与x轴有 __两____个交点
b2－4ac＝0
二次函数图象与x轴有 __一____个交点
b2－4ac＜0
二次函数图象与x轴 _没__有___交点
利用图象求不等式ax2＋bx＋c＞0或
ax2＋bx＋c＜0的解集
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去
[解析]①∵x＝－3 和 x＝5 时，y＝7，∴对称轴 x＝－32＋5＝1；②x ＝2 的点关于对称轴 x＝1 对称的点为 x＝0，∵x＝0 时，y＝－8，
∴x＝2 时，y＝－8.
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去
考点3 待定系数法求二次函数解析式
方法 1.一般式
2.顶点式
适用条件及求法若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，求出a、
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去