数学人教A版选修2-3教案：1.2.1排列第二课时 Word版含解析

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(新课程)高中数学《1.2.1排列》教案1 新人教A版选修2-3

1．2．1排列第一课时一、复习引入： 1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制二、讲解新课：1问题：问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙，其中被取的对象叫做元素解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 3×2=6 种，如图 1.2一1 所示．把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。

数学人教A版选修2-3教学设计：1.2.2组合 Word版含解析

教学设计1．2.2组合整体设计教材分析排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序．教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通．学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列．在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题．排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述．也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程．据笔者观察，有些同学之所以在学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常理或常规的做法)．要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题．久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合．明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题．过程与方法通过具体实例，体会组合数的意义，总结排列数A m n与组合数C m n之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：组合的概念和组合数公式．教学难点：组合的概念和组合数公式．教学过程引入新课提出问题1：回顾分类加法计数原理和分步乘法计数原理，排列的概念和排列数公式．活动设计：教师提问．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．5．排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N，m≤n)．6．阶乘：n！表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘．规定0！＝1.7．排列数的另一个计算公式：A m n＝n！(n－m)！.设计意图：检查学生的掌握情况，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：分析下列两个问题是不是排列问题，为什么？问题(1)：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题(2)：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？活动设计：学生自己分析，教师提问．活动成果：问题(1)中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而问题(2)只要求选出2名同学，是与顺序无关的，不是排列．我们把这样的问题称为组合问题．设计意图：引导学生通过具体实例找出排列与组合问题的不同，引出组合的概念．探索新知提出问题1：结合上述问题(2)，试总结组合和组合数的概念．活动设计：学生小组讨论，总结概念．活动成果：1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C m n表示．设计意图：培养学生的类比和概括能力．理解新知提出问题1：判断下列问题是组合问题还是排列问题？(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)10个人互相通信一次，共写了多少封信？(5)10个人互通电话一次，共打了多少个电话？活动设计：小组交流，共同分析．活动成果：(1)(3)(4)是排列；(2)(5)是组合．设计意图：通过具体实例比较排列和组合，加深对组合的理解．提出问题2：试找出排列和组合的区别和联系．活动设计：小组交流，教师提问，学生补充．活动成果：1．区别：(1)排列有顺序，组合无顺序．(2)相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列则需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．2．联系：(1)都是从n 个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；(2)排列可以看成先组合再全排列．设计意图：加深对排列组合的理解，为推导组合数公式奠定基础．提出问题2：你能类比排列数的推导过程和排列与组合的联系推导出从4个不同元素a ，b ，c ，d 中取出3个元素的组合数C 34是多少吗？活动设计：小组交流，共同推导．活动成果：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A 34可以求得，故我们可以考察一下C 34和A 34的关系，如下：组合排列abc→abc ，bac ，cab ，acb ，bca ，cbaabd→abd ，bad ，dab ，adb ，bda ，dbaacd→acd ，cad ，dac ，adc ，cda ，dcabcd→bcd ，cbd ，dbc ，bdc ，cdb ，dcb由此可知，每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A 34，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C 34个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A 33种方法．由分步乘法计数原理得：A 34＝C 34·A 33，所以，C 34＝A 34A 33. 设计意图：从具体实例出发，探索组合数的求法．提出问题3：你能想出求C m n 的方法吗？活动设计：小组交流，共同推导．活动成果：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数C m n ，可以分如下两步：①先求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数A m n ；②求每一个组合中m 个元素的全排列数A m m ，根据分步乘法计数原理得：A m n ＝C m n ·A m m. 得到组合数的公式：C m n ＝A m n A m m ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或C m n ＝n ！m ！(n －m)！(n ，m ∈N ，且m≤n)．规定：C 0n ＝1.设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出组合数公式．运用新知类型一：组合数公式的应用1计算：(1)C 47； (2)C 710.解：(1)C 47＝7×6×5×44！＝35； (2)解法1：C 710＝10×9×8×7×6×5×47！＝120. 解法2：C 710＝10！7！3！＝10×9×83！＝120. 【巩固练习】求证：C m n ＝m ＋1n －m ·C m ＋1n. 证明：∵C m n ＝n ！m ！(n －m)！， m ＋1n －m ·C m ＋1n ＝m ＋1n －m ·n ！(m ＋1)！(n －m －1)！＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m)(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m)！， ∴C m n ＝m ＋1n －m ·C m ＋1n. 【变练演编】设x ∈N *，求C x －12x －3＋C 2x －3x ＋1的值．解：由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥x －1，x ＋1≥2x －3，解得2≤x≤4， ∵x ∈N *，∴x ＝2或x ＝3或x ＝4.当x ＝2时原式的值为4；当x ＝3时原式的值为7；当x ＝4时原式的值为11.∴所求的值为4或7或11.类型二：简单的组合问题例2一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？思路分析：对于(1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从17个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于(2)，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C 1117＝12 376.(2)教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C 1117种选法；第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C 111种选法．所以教练员做这件事情的方式种数为C 1117×C 111＝136 136. 【巩固练习】(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1)以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段条数为C 210＝10×91×2＝45. (2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为A 210＝10×9＝90. 【变练演编】(1)凸五边形有多少条对角线？(2)凸n(n>3)边形有多少条对角线？解答：(1)凸五边形的五个顶点中，任意两个顶点的连线是凸五边形的一条对角线或是一条边，所以，凸五边形的对角线条数为C 25－5＝5.(2)凸n 边形的n 个顶点中，任意两个顶点的连线是凸n 边形的一条对角线或是一条边，所以，凸n 边形的对角线条数为C 2n －n ＝n(n －3)2. 【达标检测】1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：(1)从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？(2)从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为()A．42B．21C．7D．63．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有() A．15对B．25对C．30对D．20对答案：1.(1)是组合问题(2)是排列问题 2.B 3.A课堂小结1．知识收获：组合概念、组合数公式．2．方法收获：化归．3．思维收获：分类讨论、化归思想．补充练习【基础练习】1．A，B，C，D，E 5个足球队进行单循环比赛，(1)共需比赛多少场？(2)若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？2．空间有10个点，其中任何4点不共面，(1)过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？(2)以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？3．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？4．写出从a，b，c，d，e这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合．答案：1.(1)10(2)20 2.(1)C310＝120(2)C410＝210 3.C14＋C24＋C34＋C44＝24－1＝15.4．a，b，c，d a，b，c，e a，b，d，e a，c，d，e b，c，d，e.【拓展练习】5．第19届世界杯足球赛于2010年夏季在南非举办，共32支球队有幸参加，他们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C24＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛：根据赛制规则，8强中每两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛：根据赛制规则，4强每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛：2强比赛1场确定冠亚军，4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，共有8C24＋8＋4＋2＋2＝64场比赛．设计说明本节课是组合的第一课时，主要目标是学习组合的概念，探究组合数公式，并利用组合数公式解决简单的计数问题．主要特点是：类比排列数公式的推导方法，抓住排列和组合的区别和联系，利用排列数公式推导出组合数公式．本节课的设计充分体现教师所提问题的主导作用和学生根据问题自主探究的主体地位，学生在与教师和与同学的思维碰撞中自主学习、自主探究．备课资料在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合．有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是8个小球的全排列，所以共有A88种方法．错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法．正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题．这样共有：C38＝56种排法．(设计者：殷贺)第二课时教学目标知识与技能了解组合数的性质，会利用组合数的性质简化组合数的运算；能把一些计数问题抽象为组合问题解决，会利用组合数公式及其性质求解计数问题．过程与方法通过具体实例，经历把具体事例抽象为组合问题，利用组合数公式求解的过程．情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：组合数的性质、利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学难点：利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学过程引入新课提出问题1：判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题，并回顾排列和组合的区别和联系．(1)从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；(2)从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．活动设计：教师提问．活动成果：(1)是组合问题，(2)是排列问题．1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合与排列的区别和联系：(1)区别：①排列有顺序，组合无顺序．②相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列则需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．(2)联系：①都是从n个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；②排列可以看成先组合再全排列．设计意图：复习组合的概念，检查学生的掌握情况．提出问题2：利用上节课所学组合数公式，完成下列两个练习：练习1：求证：C m n＝nm Cm－1n－1.(本式也可变形为：mC m n＝nC m－1n－1)练习2：计算：①C310和C710；②C37－C26与C36；③C411＋C511. 活动设计：学生板演．活动成果：练习2答案：①120,120②20,20③792.1．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C m n 表示．2．组合数的公式：C m n ＝A m n A m m ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或C m n ＝n ！m ！(n －m)！(n ，m ∈N ，且m≤n)．设计意图：复习组合数公式，为得到组合数的性质打下基础．探索新知提出问题1：由问题2练习中所求的几个组合数，你有没有发现一些规律，能不能总结并证明一下？活动设计：小组交流后请不同的同学总结补充．活动成果：1．性质：(1)C m n ＝C n －m n ；(2)C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n . 2．证明：(1)∵C n －m n ＝n ！(n －m)！[n －(n －m)]！＝n ！m ！(n －m)！，又C m n ＝n ！m ！(n －m)！，∴C m n ＝C n －m n . (2)C m n ＋C m －1n ＝n ！m ！(n －m)！＋n ！(m －1)！[n －(m －1)]！＝n ！(n －m ＋1)＋n ！m m ！(n －m ＋1)！＝(n －m ＋1＋m)n ！m ！(n －m ＋1)！＝(n ＋1)！m ！(n －m ＋1)！＝C m n ＋1， ∴C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n. 设计意图：引导学生自己推导出组合数的两个性质．运用新知类型一：组合数的性质1(1)计算：C 37＋C 47＋C 58＋C 69；(2)求证：C n m ＋2＝C n m ＋2C n －1m ＋C n －2m .(1)解：原式＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210；(2)证明：右边＝(C n m ＋C n －1m )＋(C n －1m ＋C n －2m )＝C n m ＋1＋C n －1m ＋1＝C n m ＋2＝左边．【巩固练习】求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC n n ＝n2n －1. 证明：左边＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC n n ＝C 11C 1n ＋C 12C 2n ＋C 13C 3n ＋…＋C 1n C n n，其中C 1i C i n 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选一个的组合数．设某班有n个同学，选出若干人(至少1人)组成兴趣小组，并指定一人为组长．把这种选法按取到的人数i 分类(i ＝1,2，…，n)，则选法总数即为原式左边．现换一种选法，先选组长，有n 种选法，再决定剩下的n －1人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有2n－1种，所以选法总数为n2n －1种．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．【变练演编】求证：C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋n 2C n n ＝n(n ＋1)2n －2. 证明：由于i 2C i n ＝C 1i C 1i C i n 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选两个(可重复)的组合数，所以原式左端可看成在上题中指定一人为组长的基础上，再指定一人为副组长(可兼职)的组合数．对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况．若组长和副组长是同一个人，则有n2n－1种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有n(n －1)2n －2种选法．∴共有n2n －1＋n(n －1)2n －2＝n(n ＋1)2n－2种选法．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．类型二：有约束条件的组合问题 2在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有C 3100＝100×99×981×2×3＝161 700种． (2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C 12种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C 298种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C 12×C 298＝9 506种．(3)解法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C 12×C 298种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C 12×C 298＋C 22×C 198＝9 604种．解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即C 3100－C 398＝161 700－152 096＝9 604种．点评：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解．【巩固练习】1．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：(直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C34，C24×C16，C14×C26种方法，所以，一共有C34＋C24×C16＋C14×C26＝100种方法．解法二：(间接法)C310－C36＝100.2．按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？(1)甲、乙、丙三人必须当选；(2)甲、乙、丙三人不能当选；(3)甲必须当选，乙、丙不能当选；(4)甲、乙、丙三人只有一人当选；(5)甲、乙、丙三人至多2人当选；(6)甲、乙、丙三人至少1人当选；解：(1)C33C29＝36；(2)C03C59＝126；(3)C11C49＝126；(4)C13C49＝378；(5)方法一：(直接法)C03C59＋C13C49＋C23C39＝756，方法二：(间接法)C512－C33C29＝756；(6)方法一：(直接法)C13C49＋C23C39＋C33C29＝666，方法二：(间接法)C512－C03C59＝666.【变练演编】有翻译人员11名，其中5名精通英语、4名精通法语，还有2名英、法语皆通．现欲从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少张不同的名单？解：分三类：第一类：2名英、法语皆通的均不选，有C45C44＝5种；第二类：2名英、法语皆通的选一名，有C12C35C44＋C12C45C34＝60种；第三类：2名英、法语皆通的均选，有A22C35C34＋C25C44＋C45C24＝120种．根据分类加法计数原理，共有5＋60＋120＝185种不同的名单．【达标检测】1．计算：(1)C399＋C299；(2)2C38－C39＋C28.2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为________．3．从7人中选出3人参加活动，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有______种．答案：1.(1)161 700(2)56 2.9 3.30课堂小结1．知识收获：组合数的性质，用组合数公式解决简单的计数问题．2．方法收获：化归的思想方法．3．思维收获：化归的思想方法．补充练习【基础练习】1．求证：(1)C m n＋1＝C m－1n ＋C m n－1＋C m－1n－1；(2)C m＋1n＋C m－1n＋2C m n＝C m＋1n＋2.2．某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有______．3．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．(1)都不是次品的取法有多少种？(2)至少有1件次品的取法有多少种？(3)不都是次品的取法有多少种？4．从编号为1,2,3，…，10,11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？答案或解答：2.C38＝56；3．解：(1)C490＝2 555 190；(2)C4100－C490＝C110C390＋C210C290＋C310C190＋C410＝1 366 035；(3)C4100－C410＝C190C310＋C290C210＋C390C110＋C490＝3 921 015.4．解：分为三类：1奇4偶有C16C45；3奇2偶有C36C25；5奇有C56，所以一共有C16C45＋C36C25＋C56＝236种不同的取法．【拓展练习】现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C24C23；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C34C13；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C34C23.所以一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42种方法．设计说明本节课是组合的第二课时，本节课的主要目标有两个，一个是学生在教师的问题驱动下自主探究组合数的性质，并在老师的带领下，体会组合数公式的应用；另一个是体会把具体计数问题化归为组合问题的过程．本节课的设计特点是：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结．备课资料相同元素分组分配问题解决方法：档板法．(1)参加联赛的10个名额要分配到高三年级的8个班级中，则每个班级至少一个名额的分配方法有______种；(2)10个相同的小球全部放入编号为1、2、3的盒子中，则使每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数的方法有______种．解析：利用档板法．(1)相当于在排成一排的10个“1”所形成的9个空隙中，选出7个插入7块档板的方法，每一种插板方法对应一种名额分配方法，有C79种方法；(2)可以首先在2、3号盒子中先分别放入1、2个球，然后在剩余的7个球排成一排形成的6个空隙中选出2个空隙各插入一块板，有C26种方法．注：档板法的使用比较灵活，且对数学思想方法要求较高，现利用档板法证明一个不定方程的自然数解的组数的结论：方程x1＋x2＋…＋x m＝n(m，n∈N，m，n≥2)的自然数解有组．C m－1n＋m－1简证：转化为正整数解的组数，利用档板模型有：作代换y i＝x i＋1(i＝1,2，…，m)，则方程x1＋x2＋…＋x m＝n的自然数解的组数，即y1＋y2＋…＋y m＝n＋m的正整数解的组数，相当于把n＋m个球分成m份，每份至少1个的方法数，即在n＋m－1个球的间隙中放置m－1个档板的方法种数，即C m－1.n＋m－1(设计者：殷贺)第三课时教学目标知识与技能理解排列组合的区别和联系，综合运用排列组合解决计数问题．过程与方法通过具体实例，经历把具体事例抽象为排列组合问题，利用排列、组合数公式求解的过程．情感、态度与价值观能运用排列组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：综合运用排列组合解决计数问题．教学难点：综合运用排列组合解决计数问题．教学过程复习回顾提出问题1：判断下列问题是组合问题还是排列问题？并求出下列问题的解．(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)10个人互相通信一次，共写了多少封信？(5)10个人互通电话一次，共打了多少个电话？活动设计：学生自主完成，教师提问．活动成果：(1)(3)(4)是排列；(2)(5)是组合．(1)A23＝6；(2)C211＝55；(3)A323＝10 626；(4)A210＝90；(5)C210＝45.1．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N，m≤n)．A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！＝A n nA n－mn－m.3．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．。

高中数学人教A版高二选修2-3教学案：1.2.1_第二课时_排列的综合应用_Word版含解析

第二课时排列的综合应用[(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4 310的四位偶数．[解](1)第一步，排个位，有A13种排法；第二步，排十万位，有A14种排法；第三步，排其他位，有A44种排法．故共有A13A14A44＝288个六位奇数．(2)法一：(直接法)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．第一类，当个位排0时，有A55个；第二类，当个位不排0时，有A14A14A44个．故符合题意的六位数共有A55＋A14A14A44＝504(个)．法二：(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．(3)分三种情况，具体如下：①当千位上排1,3时，有A12A13A24个．②当千位上排2时，有A12A24个．③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A13个；形如41××的有A12A13个；形如43××的只有4 310和4 302这两个数．故共有A12A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110(个)．[一题多变]1．[变设问]本例中条件不变，能组成多少个被5整除的五位数？解：个位上的数字必须是0或5．若个位上是0，则有A45个；若个位上是5，若不含0，则有A44个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A13种排法，其余各位有A34种排法，故共有A45＋A44＋A13A34＝216(个)能被5整除的五位数．2．[变设问]本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a n}，则240 135是第几项？解：由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A55个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A44个数，所以240 135的项数是A55＋3A44＋1＝193，即240 135是数列的第193项．3．[变条件，变设问]用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位解：本题可分两类：第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数的个数为A44＝24；第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排1,3,7之一，有A13＝3(种)方法．又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，有A13＝3(种)．十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，有A33＝6(种)．根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为A13·A13·A33＝54．由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有24＋54＝78(个)．数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项(1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．(2)常用方法：直接法、间接法．(3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理．排队问题[典例]3(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全体站成两排，前排3人，后排4人，其中女生甲和女生乙排在前排，另有2名男生丙和丁因个子高要排在后排．[解](1)先考虑甲有A13种方案，再考虑其余六人全排列，故N＝A13A66＝2 160(种)．(2)先安排甲、乙有A22种方案，再安排其余5人全排列，故N＝A22·A55＝240(种)．(3)[法一特殊元素优先法]按甲是否在最右端分两类：第一类，甲在最右端有N1＝A66(种)，第二类，甲不在最右端时，甲有A15个位置可选，而乙也有A15个位置，而其余全排列A55，有N2＝A15A15故N＝N1＋N2＝A66＋A15A15A55＝3 720(种)．[法二间接法]无限制条件的排列数共有A77，而甲在左端或乙在右端的排法都有A66，且甲在左端且乙在右端的排法有A55，故N＝A77－2A66＋A55＝3 720(种)．[法三特殊位置优先法]按最左端优先安排分步．对于左端除甲外有A16种排法，余下六个位置全排有A66，但减去乙在最右端的排法A15A55种，故N＝A16A66－A15A55＝3 720(种)．(4)将两排连成一排后原问题转化为女生甲、乙要排在前3个位置，男生丙、丁要排在后4个位置，因此先排女生甲、乙有A23种方法，再排男生丙、丁有A24种方法，最后把剩余的3名同学全排列有A33种方法．故N＝A23·A24·A33＝432(种)．排队问题的解题策略(1)合理归类，要将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应的方法解题．(2)恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用，解题过程中要恰当结合两个计数原理．(3)正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果．[活学活用]排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单．(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：(1)先排歌唱节目有A55种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有A46种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A55·A46＝43 200种方法．(2)先排舞蹈节目有A44种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入．所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A44·A55＝2 880种方法．层级一学业水平达标1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36B．120C．720 D．240解析：选C由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720．2．用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位数共有()A．900个B．720个C．648个D．504个解析：选C由于百位数字不能是0，所以百位数字的取法有A19种，其余两位上的数字取法有A29种，所以三位数字有A19·A29＝648(个)．3．数列{a n}共有6项，其中4项为1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{a n}共有() A．30个B．31个C．60个D．61个解析：选A在数列的6项中，只要考虑两个非1的项的位置，即可得不同数列共有A26＝30个．4．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有()A．720种B．360种C．240种D．120种解析：选C(捆绑法)甲、乙看作一个整体，有A22种排法，再和其余4人，共5个元素全排列，有A55种排法，故共有排法A22·A55＝240种．5．(辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120C．72 D．24解析：选D剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24．6．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A24＝12种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36种选法．答案：367．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允许空袋且红口袋中不能装入红球，则有________种不同的放法．解析：(排除法)红球放入红口袋中共有A44种放法，则满足条件的放法种数为A55－A44＝96(种)．答案：968．用0,1,2,3,4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有______种．解析：0夹在1,3之间有A22A33种排法，0不夹在1,3之间又不在首位有A12A22A12A22种排法．所以一共有A22A33＋A12A22A12A22＝28种排法．答案：289．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有不同排法A25A66＝14 400种．(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A88－A45A44)＝37 440种．10．从5名短跑运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果A不能跑第一棒，那么有多少种不同的参赛方法？解：法一：当A被选上时，共有A13A34种方法，其中A13表示A从除去第一棒的其他三棒中任选一棒；A34表示再从剩下4人中任选3人安排在其他三棒．当A没有被选上时，其他四人都被选上且没有限制，此时有A44种方法．故共有A13A34＋A44＝96(种)参赛方法．法二：接力的一、二、三、四棒相当于有四个框图，第一个框图不能填A，有4种填法，其他三个框图共有A34种填法，故共有4×A34＝96(种)参赛方法．法三：先不考虑A是否跑第一棒，共有A45＝120(种)方法．其中A在第一棒时共有A34种方法，故共有A45－A34＝96(种)参赛方法．层级二应试能力达标1．(四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为() A．24B．48C．60 D．72解析：选D第一步，先排个位，有A13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有A13·A44＝72(个)．2．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有()A．108种B．186种C．216种D．270种解析：选B可选用间接法解决：A37－A34＝186(种)，故选B．3．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有()A．288个B．240个C．144个D．126个解析：选B个位上是0时，有A14A34＝96(个)；个位上不是0时，有A12A13A34＝144(个)．∴由分类加法计数原理得，共有96＋144＝240(个)符合要求的五位偶数．4．(四川高考)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种解析：选B当最左端排甲时，不同的排法共有A55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有4A44种．故不同的排法共有A55＋4A44＝120＋4×24＝216种．5．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为________．解析：(插空法)8名学生的排列方法有A88种，隔开了9个空位，在9个空位中排列2位老师，方法数为A29，由分步乘法计数原理，总的排法总数为A88A29＝2 903 040．答案：2 903 0406．某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有不同排法________种．解析：法一：若第一节排数学，共有A33＝6种方法，若第一节不排数学，第一节有2种排法，最后一节有2种排法，中间两节任意排，有2×2×2＝8种方法，根据分类加法计数原理，共有6＋8＝14种，故答案为14．法二：间接法：4节课全部可能的排法有A44＝24种，其中体育排第一节的有A33＝6种，数学排最后一节的有A33＝6种，体育排第一节且数学排最后一节的有2×1＝2种，故符合要求的排法种数为24－6－6＋2＝14种．答案：147．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解：(1)先排唱歌节目有A22种排法，再排其他节目有A66种排法，所以共有A22·A66＝1 440(种)排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A27种插入方法，所以共有A66·A27＝30 240(种)排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A44种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A35种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A22种排法，故所求排法共有A44·A35·A22＝2 880(种)排法．8．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？解：(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A35种排法；第二步再排偶数位置，4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A26种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A35·A26＝1 800．(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A24种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A37种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A24·A37＝2 520种．。

高中数学人教A版选修2-3学案1.2.1.1 排列与排列数公式 Word版含解析

排列与组合．排列第课时排列与排列数公式．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点)．会用排列数公式进行求值和证明．(难点)[基础·初探]教材整理排列的概念阅读教材～第二个思考下面第一自然段，完成下列问题．≤)个元素，按照．一般地，从个不同元素中取出(排成一列，一定的顺序叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．．两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同排列顺序，且元素的也相同．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) ()两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．( ) ()从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．( ) ()有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．( ) ()从中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．( ) ()从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．( )【解析】()×因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序相同．()√因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题．()×因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题．()√因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题．()√因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．【答案】()×()√()×()√()√教材整理排列数与排列数公式阅读教材第二个思考下面第二自然段～例，完成下列问题.．＝，＝.【解析】＝×＝；＝××＝.【答案】＝.【解析】＝＝.【答案】．由这三个数字组成的三位数分别是. 【导学号：】【解析】用树形图表示为。

最新整理高中数学人教A版选修2-3课前导引：1.2.2排列(二) Word版含解析.doc

1.2.2 排列（二）
课前导引
问题导入
若A={a,b,c}，B={-1,0,1}.
f是集合A到集合B的映射，且满足f(a)+f(b)+f(c)=0，这样的映射f共有( )
A.6个
B.7个
C.8个
D.9个
思路分析：把各种情况列出来，用表格表示为：
f(a)-1-100011 f(b)0101-10-1 f(c)100-11-10
映射共7个.
枚举法是解排列问题的典型方法.
知识预览
1.解答排列应用题时，要注意以下几点：
(1)仔细审题，明确题目中的事件是什么，可以通过什么样的程序来完成这个事件，进而选相应的模型计算，不能乱套公式，盲目计算；
(2)明确问题的限制条件，注意特殊元素和特殊位置，必要时可画出树形图来解；
(3)注意间接法的使用.
2.结合两个原理解题是处理排列问题必不可少的方式.。

人教版高中数学选修2-3 1.2.1排列教案

课堂小结:排列与排列数
本课作业:课本P20 A组1，3
第二课时
情境设计：从1~9这九个数字中选出三个组成一个三位数，则这样的三位数的个数是多少？
新知教学:
排列数公式的应用：
例1、(1)某足球联赛共有12支队伍参加，每队都要与其他队在主、客场分别比赛一场，共要进行多少场比赛？
解：见书本18页例2
变式：(1)放假了，某宿舍的四名同学相约互发一封电子邮件，则他们共发了多少封电子邮件？
引出排列的定义
（1）在学中教，在学中悟
（2）通过例1的分析让学生明确什么是排列为后面的学习做好准备。
（3）例1的分析中可以让学生作一部分树形图
利用上例中的树形图或结合引入的实例分析排列的个数引出排列数定义。
1、重视排列数公式的等式证明
2、重视排列数公式的应用
复习排列数公式
（1）在学中教，在学中悟
（2）通过例1的分析让学生进一步理解排列数公式的应用。
(2)放假了，某宿舍的四名同学相约互通一次电话，共打了多少次电话？
例2、（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法？
（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：见书本18页例3
例3、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
同理，数字1，2，3，4在十位及个位上时，都有18个数；
于是，所有这些数的和为：
24×（1+2+3+4）×1000+18×（1+2+3+4）×100+18×（1+2+3+4）×10+18×（1+2+3+4）=259980。

2012高中数学人教新课标选修2-3第一章《排列》教案2

高中数学选修2-3修订教案1.2.1排列（第二课时）教学目标：掌握解排列问题的常用方法教学重点：掌握解排列问题的常用方法教学过程一、复习引入： 1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的．．．顺序．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m元素的排列数，用符号mn A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）全排列数：(1)(2)21!nn A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）二、讲解新课：解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．互斥分类——分类法先后有序——位置法反面明了——排除法相邻排列——捆绑法分离排列——插空法例1求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．例2在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？分析符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法，根据乘法原理知共有P21P51P82个；一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个．解符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个．答在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个．例3 某小组6个人排队照相留念．(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析 (1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法．(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法．(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．(5)采用“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法．解 (1)P66=720(种)(2)P21·P41·P44=2×4×24=192(种)(3)P55·P22=120×2=240(种)(4)P66=360(种)(5)P43·P33=24×6=144(种)(6)P55+P41P41P44=120+4×4×24=504(种)或法二：(淘汰法)P66-2P55+P44=720-240+24=504(种)课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导课堂练习：课后作业：。

高中数学 1.2.1排列(2)教案新人教A版选修2-3

福建省漳州市芗城中学高中数学 1．2．1排列（2）教案新人教A版选修2-3课题：第课时总序第个教案课型：新授课编写时时间：年月日执行时间：年月日教学目标：知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。

过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.教学重点：排列、排列数的概念教学难点：排列数公式的推导教学用具：多媒体、实物投影仪教学方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题教学过程：例1．(课本例2)．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解：任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中A=14×13=182.任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是214例2．(课本例3)．(1）从5本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1本，共有多少种不同的送法？(2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解：(1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是3A=5×4×3=60.5(2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3 名同学每人各 1 本书的不同方法种数是5×5×5=125.例 8 中两个问题的区别在于： ( 1 ）是从 5 本不同的书中选出 3 本分送 3 名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算．例3．(课本例4)．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在本问题的。

(新课程)高中数学《1.2.1排列》教案设计-新人教A版选修2-3

1．2．1排列教学目标：知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。

过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.教学重点：排列、排列数的概念教学难点：排列数公式的推导授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事.分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题. 只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系. 教学过程：一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制二、讲解新课：1问题：问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙，其中被取的对象叫做元素解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 3×2=6 种，如图 1.2一1 所示．图 1.2一1把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。

数学人教A版选修23教学设计：1.2.1排列Word版含解析

教学设计1．排列整体设计教材分析分类加法计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类加法计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类．分类要注意不重复、不遗漏，保证每类方法都能完成这件事．分步乘法计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的地位是有区别的，分类加法计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步．在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌啰嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题．只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的根底．分类加法计数原理和分步乘法计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的根底，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题．这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终．搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性．排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算．过程与方法经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归〞的数学思想．情感、度与价能运用所学的排列知，正确地解决，体会“化〞思想的魅力．重点点教学重点：排列、排列数的概念．教学点：排列数公式的推．教学程引入新提出 1：前面我学了分加法数原理和分步乘法数原理，同学回两个原理的内容，并回两个原理的区与系．活：教提，学生充．活成果：1．分加法数原理：做一件事情，完成它可以有n 法，在第一法中有m1种不同的方法，在第二法中有m2种不同的方法，⋯⋯，在第 n 法中有 m n种不同的方法．那么完成件事共有N ＝ m1＋ m2＋⋯＋ m n种不同的方法．2．分步乘法数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步，做第一步有 m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，⋯⋯，做第 n 步有 m n种不同的方法，那么完成件事有 N＝ m1 2n×m×⋯×m种不同的方法．3．分加法数原理和分步乘法数原理，答复的都是有关做一件事的不同方法种数的，区在于：分加法数原理的是“分〞，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一，用其中任何一种方法都可以做完件事；分步乘法数原理的是“分步〞，各个步中的方法相互依存，某一步中的每一种方法都只能做完件事的一个步，只有各个步都完成才算做完件事．用两种原理解：①分清要完成的事情是什么；②是分完成是分步完成，“ 〞互相独立，“步〞互相系；③有无特殊条件的限制．意：复两个原理，新知的学奠定基．提出 2：研究下面三个有什么共同特点？能否下面的数出一种便的数方法呢？一：从 5 人的数学趣小中 2 人分担任正、副，有多少种不同的法？二：用1,2,3,4,5 5 个数字成没有重复数字的两位数，共有多少个？三：从a，b，c，d， e 5 个字母中，任取两个按序排成一列，共有多少种不同的排法？活动设计：先独立思考，后小组交流，请同学发言、补充．活动成果：共同特点：问题三中把字母 a，b，c， d，e 分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二．把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？我们把这一类问题称为排列问题，这就是我们今天要研究的内容．设计意图：通过三个具体的实例引入新课．探究新知提出问题 1：你能把上述三个问题总结一下，概括出排列的定义吗？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：从n 个不同元素中，任取 m(m≤n) 个元素 (这里的被取元素各不相同 ) 按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．说明： (1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同．从 n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号 A mn表示．注意区别排列和排列数的不同：“一个排列〞是指：从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数〞是指从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A m n只表示排列数，而不表示具体的排列．设计意图：引导学生通过具体实例总结概括出排列和排列数的概念，培养学生的抽象概括能力．提出问题 2：从甲、乙、丙 3 名同学中选取 2 名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，这是不是个排列问题，排列数怎么求？活动设计：学生独立思考，举手答复．活动成果：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取 2 名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，是排列问题．解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2＝6种，如右图所示．设计意图：分析具体例子，稳固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题 3：从 1,2,3,4 这 4 个数字中，每次取出 3 个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？活动设计：学生独立思考，举手答复．活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在 4 个数中任取 1 个，有 4 种方法；第二步确定十位上的数，从余下的 3 个数中取，有3种方法；第三步确定个位上的数，从余下的 2 个数中取，有 2 种方法．由分步乘法计数原理共有：4×3×2＝ 24 种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列．由此可写出所有的排法．显然，从 4 个数字中，每次取出 3 个，按“百〞“十〞“个〞位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：第 1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；第 2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有 3 种方法；第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2 个数字中去取，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这 4 个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百〞“十〞“个〞位的顺序排成一列，共有4×3×2＝24 种不同的排法，因而共可得到24 个不同的三位数，如下图．由此可写出所有的三位数：123,124,132,134,142,143 ，213,214,231,234,241,243 ，312,314,321,324,341,342 ，412,413,421,423,431,432.意：分析具体例子，稳固排列的定，探索求排列数的方法．提出 4：由以上两个我：232 A 3＝ 3×2＝ 6，A 4＝ 4×3×2＝ 24，你能否得出A n的意和 A 2的？n活：学生手言、学生充，教．活成果：由 A n22 个空位，从 n 个元素12n中的意：假定有排好序的 a ， a ，⋯， a任取 2 个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反来，任一个排列可以由的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数 A 2n.由分步乘法数原理知完成上述填空共有n(n－ 1)种填法，∴ A 2＝ n(n－ 1)．n意：由特殊到一般，引学生逐步推出排列数公式．提出 5：有上述推方法，你能推出3mA n， A n？活：学生自己推，学生板演．33m 活成果：求 A n可以按依次填 3个空位来考，∴ A n＝n(n－ 1)(n－ 2)，求 A n可以按依次填 m 个空位来考： A n m＝ n(n－ 1)(n－ 2) ⋯ (n－ m＋1)，由此可以得到排列数公式： A n m＝ n(n－ 1)(n －2) ⋯ (n－ m＋ 1)(m， n∈ N， m≤ n)．明： (1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是 n－ m＋ 1，共有 m 个因数；(2)全排列：当n＝ m 即 n 个不同元素全部取出的一个排列．全排列数： A n n＝ n(n－ 1)(n－ 2) ⋯ 2·1＝n！ (叫做 n 的乘 )．另外，我定0！＝ 1.n！所以 A m＝ n(n－1)(n － 2) ⋯ (n－ m＋ 1)＝＝nn A nn－m.A n－m意：引学生逐步利用分步乘法数原理推出排列数公式．理解新知分析以下，哪些是求排列数？(1)有 5 本不同的，从中 3 本送 3 名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(2)有 5 种不同的，要 3 本送 3 名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(3)用 0,1,2,3,4 5 个数字，可以成多少个没有重复数字的三位数？ (4)用 1,2,3,4,55 个数字，可以成多少个没有重复数字的三位数？(5)从 1,2,3,4 四个数字中，任两个做加法，其不同果有多少种？ (6)从 1,2,3,4 四个数字中，任两个做除法，其不同果有多少种？活：学生自己完成，没有把握的和同桌．教巡，找同学出答案和理由．活成果： (1) 是(2)不是 (3) 是 (4) 是 (5) 不是 (6)不是(2)不是从 5 个不同的元素中出三个不同的元素，而是从多个可以相同的元素中，出三个元素排成一列，不符合排列中元素不同的定．(3)是排列，但排列数中有一局部0 在百位的不是三位数．(5)中出的两个元素的和与序无关，不符合排列的定．意：加深排列和排列数的理解．用新知例 1 解方程： 3A 3＝ 2A 2＋＋ 6A 2.xx 1x思路分析：利用排列数公式求解即可．解：由排列数公式得：3x(x －1)(x －2)＝ 2(x ＋ 1)x ＋ 6x(x －1) ，∵ x ≥3，∴ 3(x － 1)(x － 2)＝2(x ＋ 1)＋ 6(x － 1)，即 3x 2－ 17x ＋ 10＝ 0，解得 x ＝ 5 或 x ＝2，∵ x ≥3，且 x ∈ N ，∴原方程的解 x ＝ 5.3点：解含排列数的方程和不等式要注意排列数A n m 中， m ， n ∈N 且 m ≤n 些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取范．【稳固】1．解不等式： Axx －2.9>6A 9nmn －m〔2n 〕！2．求：(1)A n ＝ A n ·A n － m (2)2n ·n ！＝1·3·5⋯(2n －1)．解答或明： 1.解：原不等式即9！9！，(9－ x)！>6·(11－ x) ！也就是16，化得： x 2－ 21x ＋ 104>0，(9－ x)！>(11－ x) ·(10－ x) ·(9－ x)！解得 x<8 或 x>13，又∵ 2<x ≤7，且 x ∈ N ，所以，原不等式的解集 {3,4,5,6,7} ．2．明： (1)Am ·A n －m n ！n ，∴原式成立． n ＝ (n － m)！(n － m)！＝ n ！＝ An － mn2n ！＝ 2n ·(2n － 1) ·(2n － 2)⋯ 4· 3· 2·1(2) 2n ·n ！2n ·n ！＝ 2n n ·(n － 1)⋯ 2· (2n1·－ 1)(2n － 3)⋯ 3·1 2n·n ！＝n ！ · 1· 3(2n ⋯－3)(2n －1)＝ 1·3·5⋯(2n －1)＝右，n ！ ∴原式成立．点：公式A m n ＝ n(n － 1)(n － 2) ⋯ (n － m ＋1) 常用来求，特是m ， n 均；公式 A mn ＝ n ！常用来明或化．(n － m) ！【演】化： (1)1＋2＋ 3 ＋ ⋯ ＋n － 1； (2)1 ×1！＋ 2×2！＋ 3×3！＋ ⋯ ＋ n ×n ！ . 2！ 3！ 4！ n ！1 1 1 1 1 1 1 1 (1)解：原式＝ 1！－ 2！＋ 2！－3！＋ 3！－4！＋⋯ ＋ n －1 ！－n ！＝ 1－ n ！.(2) 提示：由 (n ＋ 1)！＝ (n ＋ 1)n ！＝ n ×n ！＋ n ！，得 n ×n ！＝ (n ＋ 1)！－ n ！，原式＝ (n＋1) ！－ 1.【达】81．算： (1)A3 ； (2) A 127 .10A 12m× 15×⋯×，5 ×4n ＝ ______， m ＝ ______.2．假设 A n ＝ 17×163．假设 n ∈N * ，且 55＜ n ＜ 69， (55－ n)(56 － n) ⋯(68－ n)(69－ n) 用排列数符号表示______．答案： 1.(1)720(2)5 2.17 141569－ n堂小1．知收：排列概念、排列数公式．2．方法收：化．3．思收：分、化思想．充【基】n ！ )1．假设 x ＝， x ＝ (3！3 n －3 n3A ． A nB ． A nC ． A 3D ． A n－32．与 A37 )·A 不等的是 (1079B ． 81A 8C ． 10A 9 10A ． A 1089D ． A 1053)3．假设 A m ＝ 2A m ， m 的 ( A ． 5 B ． 3 C ． 6 D ． 753A6(m －1) ！4．算：2A 9＋96＝ ________； n － 1＝________.9！－ A 10A m － 1·(m － n)！【拓展】(m ＋ 1)！5．假设 2<m －1≤ 42， m 的解集是 ________．A m－16． (1) Am ＝ 10× 9×⋯×5，那么 m ＝ __________ ；107 (2) 9！＝ 362 880 ，那么 A 9＝ __________ ；(3) A 2n ＝ 56，那么 n ＝ ____________ ；(4) A n 2＝ 7A n 2－4，那么 n ＝ ____________.答案：1 5.{2,3,4,5,6}6． (1)6(2)181 440(3)8 (4)7明本是排列合的第一，本的主要内容就是用两个原理推出排列数公式．本的特点是学生自己并定，自主探究，自主完成排列数公式的推．料可重复的排列求法：重复排列要区分两元素：一可以重复，另一不能重复，把不能重复的元素看作 “客〞，能重复的元素看作 “店〞，通 “住店法〞可利解．在使用住店理的策略中，关是正确判断哪个是底数，哪个是指数．例 1 (1)将 6 个不同的小球放到 3 个不同的盒子中，有多少种不同的方法？(2)6个人争3 个目的冠，有多少种不同的方法？解析： (1)36； (2)63 .例 2 由1,2,3,4,5,66 个数字共可以成多少个不同的7 位数？解析：完成此事共分7 步，第一步：从6 个数字中任取一个数字放在首位，有 6 种不同的法，第二步：从6 个数字中任取一个数字放在十万位，有6 种不同的法，依次推，由分步乘法数原理知共可以成67 个不同的7 位数．(设计者：殷贺)第二课时教学目标知识与技能利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归〞的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归〞思想的魅力．重点难点教学重点：利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．教学难点：利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．教学过程复习回忆提出问题 1：判断以下两个问题是不是排列问题，假设是求出排列数，假设不是，说明理由．(1)有 5 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？(2)有 5 种不同的书，要买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？活动设计：学生自己独立思考，教师提问．活动成果：解： (1)从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学，对应于从 5 个元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是： A 3＝ 5×4×3＝ 60，所以，共有60 种不同的送法．53(2)由于有 5 种不同的书，送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给名同学，每人各 1 本书的不同方法种数是：5×5×5＝125，所以，共有125 种不同的送法．此题中两个小题的区别在于：第(1)小题是从 5 本不同的书中选出 3 本分送给 3 名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第(2) 小题中，给每人的书均可以从 5 种不同的书中任选 1 种，各人得到哪种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算．设计意图：引导学生通过具体实例回忆排列的概念和排列数公式．提出问题 2：请同学们再回忆一下排列的概念和排列数公式．活动设计：学生一起答复，教师板书．活动成果：从n 个不同元素中，任取 m(m≤n) 个元素 (这里的被取元素各不相同 ) 按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．说明： (1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同．从 n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号 A mn表示．注意区别排列和排列数的不同：“一个排列〞是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数〞是指从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号 A m n只表示排列数，而不表示具体的排列．设计意图：复习排列概念和排列数公式，为本节课的学习奠定根底．典型例题类型一：直接抽象为排列问题的计数问题例1 某年全国足球甲级 (A 组 )联赛共有 14 个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解：任意两队间进行 1 次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14 个元素中任取 2 个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是 A 142＝ 14×13＝ 182.点评：要学会把具体问题抽象为从n 个不同的元素中任取 m(m≤n) 个不同元素，按一定顺序排成一列的问题．【稳固练习】某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、 2 面或 3 面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：分 3 类：第一类用 1 面旗表示的信号有 A 31种；第二类用 2 面旗表示的信号有 A 32种；第三类用 3 面旗表示的信号有 A 33种，由分类加法计数原理，所求的信号种数是：123A 3＋ A 3＋ A 3＝3＋ 3×2＋ 3×2×1＝ 15，即一共可以表示15 种不同的信号．【变练演编】将4 位司机、 4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从 4 个不同元素中取出 4 个元素排成一列，有 A 4种方法；4第二步：把 4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有 A 4种方法．4利用分步乘法计数原理即得分配方案的种数．解：由分步乘法计数原理，分配方案种数共有44＝576. N ＝A 4·A 4即共有 576 种不同的分配方案．类型二：有约束条件的排列问题(特殊位置分析法、特殊元素分析法)例 2 用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？思路分析：在本问题的 0 到 9 这 10 个数字中，因为 0 不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此 0 是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置入手来考虑问题．解法一：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是0，因此可以分两步完成排列．第 1 步，排百位上的数字，可以从 1 到 9 这九个数字中任选 1 个，有 A 91种选法；第 2 步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9 个数字中任选 2 个，有 A 92种选法 (如图 )．根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为12A9×A 9＝ 9×9×8＝ 648.解法二：如下图，符合条件的三位数可分成 3 类．每一位数字都不是0 的三位数有322个．根据分类加法计数A 个，个位数字是 0 的三位数有 A 个，十位数字是0 的三位数有 A999原理，符合条件的三位数的个数为322A 9＋ A 9＋ A9＝ 648.解法三：从0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字的排列数为A103，其中0 在百位上的排列数是 A 92，它们的差就是用这 10 个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三32位数的个数是 A 10－ A 9＝ 10×9×8－ 9×8＝648.点评：对于例 2 这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解题方法．解法一根据百位数字不能是 0 的要求，分步完成选 3 个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解法二以 0 是否出现以及出现的位置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法三是一种逆向思考方法：先求出从10 个不同数字中选 3 个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是0 的排列数 (即不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数．从上述问题的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从 n 个不同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有排列的个数〞这类特殊的计数问题．【稳固练习】从10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，那么共有多少种不同的排法？解法一： (从特殊位置考虑15)A 9A 9＝ 136 080；解法二： (从特殊元素考虑5656种；)假设选：5·A 9；假设不选：A 9，那么共有5·A 9＋ A 9＝ 136 080解法三： (间接法 )A 6－A 5＝ 136 080.109【变练演编】A 、 B、C、 D、 E 五个人排成一排照相，其中 A 、B 不能排在两端，C 不能排在中间，共有多少种不同的排法？解法一：假设A 、B 排在中间，那么从 A 、 B 中选一个排在中间有 A 21种排法，另一个不在两端的位置上有13A2种排法，其余三个人排在剩下的三个位置上有 A 3种排法，根据分步乘法计数原理，共有113A2A 2A 3＝24 种不同的排法．假设 A 、B 不排在中间，那么有21A2种排法， C 不排在中间有A2种排法，其余两个人排在剩2212下的两个位置上有 A 2种排法，根据分步乘法计数原理，共有 A 2A 2A 2＝8 种不同的排法．根据分类加法计数原理，共有24＋ 8＝ 32 种不同的排法．解法二：假设 C 排在两端，有1D、 E中选一个人，有 A1A 2种排法，另一端从2种排法，剩下三个人排在剩下的三个位置上有3113A 3种排法，根据分步乘法计数原理，共有 A 2A 2A 3＝ 24种不同的排法．11假设 C 不排在两端，有 A 2种排法，两端排列 D 、 E，有 A2种排法，剩下两个人排在剩下2A 212的两个位置上有 A2种排法，根据分步乘法计数原理，共有2A 2A 2＝8种不同的排法．根据分类加法计数原理，共有24＋ 8＝ 32 种不同的排法．【达标检测】1．一个火车站有 8 股岔道，停放 4 列不同的火车，有多少种不同的停放方法(假定每股岔道只能停放 1 列火车 )?2．一部纪录影片在 4 个单位轮映，每一单位放映 1 场，有多少种轮映次序？3．6 个人站成前后两排照相，要求前排2 人，后排 4 人，那么不同的排法共有⋯()A ． 30 种B ． 360 种C． 720种 D ．1 440 种44答案： 1.A 8＝ 8×7×6×5＝ 1 680 2.A 4＝ 4×3×2×1＝ 24堂小1．知收：于复的，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑〞，一个是“反来剔〞．前者指，按照要求，一点点出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列数的意，掌握排列数公式及推方法，从中体会“化〞的数学思想，并能运用排列数公式行算．2．方法收：“化〞的数学思想方法．3．思收：“化〞的数学思想方法．充【基】1．从 4 种蔬菜品种中出 3 种，分种植在不同土的 3 土地上行，有__________种不同的种植方法．2．从参加球体比的 5 名运中出 3 名行某比，并排定他的出序，有 __________种不同的方法．3．信号兵用 3 种不同色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有__________种．4．由数字 1、 2、3、4、5 成没有重复数字的五位数，其中小于50 000 的偶数共有多少个？答案：解答： 4.解法一： (正向思法 )个位数上的数字排列数有A21种(从 2、 4 中 )；万位上的数字排列数有1种(5 不能 )，十位、百位、千位上的排列数有3A 3 A 3种，故符合意的偶数有113个．A A A ＝ 36233解法二： (逆向思法 )由 1、2、3、4、 5 成无重复数字的 5 位数有 A55个，减去其中奇1413514数的个数 A 3A 4个，再减去偶数中大于 50 000 的数 A 2A3个，符合意的偶数共有：A 5－A3A4 13个．－A 2A3＝ 36【拓展】5．一天要排、数、英、化、体、班会六，要求上午的四中，第一不排体育，数学排在上午；下午两中有一排班会，共有多少种不同的排法？解答：假设数学排在第一节，班会课的排法为1 4 节课的排法有 4A 2种，其余A 4种，根据分步乘法计数原理，共有 A 141种，数学 2A 4＝ 48 种；假设第一节课不排数学，第一节课的排法有A 3课的排法有 A 1133种，班会课的排法为 A 2种，其余 3 节课的排法有A 3种，根据分步乘法计数原1 113理，共有 A 3A 3 A 2A 3＝ 108 种．根据分类加法计数原理得，共有48＋ 108＝ 156 种．设计说明本节课是排列的第二课时，本节课的主要目标是在老师的带着下，体会排列数公式的应用，体会把具体计数问题划归为排列问题的过程．本节课的设计特点是：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结．备课资料多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理．例 1(1)6 个不同的元素排成前后两排，每排3 个元素，那么不同的排法种数是 ()A ． 36 种B ． 120 种C ．720 种D ．1 440 种(2)把 15 人分成前后三排，每排 5 人，不同的排法种数为()A ． A 5 A 5B ． A 5 A 5 5 31015A A31510 5C ．A 15 5 5 5315D ． A 15A 10A 5÷A 3(3)8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排，某 1 个元素排在后排，有多少种不同排法？解析： (1)前后两排可看成一排的两段，因此此题可看成6 个不同的元素排成一排，共66A ＝ 720 种排法，选 C.(2)答案： C(3)看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排2种，某 1 个元素排在后2 个，有 A 4半段的四个位置中选一个有15 个位置上有 51 2 5A 4种，其余 5 个元素任排在 A 5种，故共有 A 4A 4A 5＝5 760 种排法．(设计者：殷贺 )第三课时教学目标知识与技能利用捆绑法、插空法解决排列问题．过程与方法。

高中数学人教A版选修2-3教学案1.2.2 第二课时组合的综合应用 Word版含解析

第二课时组合的综合应用!错误有限制条件的组合问题[典例] 课外活动小组共人，其中男生人，女生人，并且男、女各指定一名队长，现从中选人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？()只有一名女生；()两队长当选；()至少有一名队长当选；()至多有两名女生当选．[解]()一名女生，四名男生，故共有·＝(种)选法．()将两队长作为一类，其他人作为一类，故共有·＝(种)选法．()至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选．故共有·＋·＝(种)选法．或采用间接法：－＝(种)．()至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．故共有·＋·＋＝(种)选法．有限制条件的组合问题分类及解题策略有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．[活学活用]有个不同的球，个不同的盒子，把球全部放入盒内．()恰有个空盒，有几种放法？()恰有个盒子不放球，有几种放法？解：()先从个小球中取个放在一起，有种不同的取法，再把取出的个小球与另外个小球看成三堆，并分别放入个盒子中的个盒子里，有种放法，根据分步乘法计数原理，共有＝(种)不同的放法．()恰有个盒子不放球，也就是把个不同的小球只放入个盒子中．有两类放法：第一类，个盒子放个小球，个盒子放个小球，先把小球分组，有种，再放到个盒子中有种放法，共有种放法；第二类，个盒子中各放个小球有种放法．故恰有个盒子不放球的方法有＋＝(种)．几何中的组合问题[典例] 平面内有个点，其中有个点共线，此外再无任何点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？[解]法一：以从共线的个点中取点的多少作为分类的标准．第一类：共线的个点中有个点为三角形的顶点，共有＝个不同的三角形；第二类：共线的个点中有个点为三角形的顶点，共有＝个不同的三角形；第三类：共线的个点中没有点为三角形的顶点，共有＝个不同的三角形．由分类加法计数原理知，不同的三角形共有＋＋＝个．法二：(间接法)：从个点中任意取个点，有＝种取法，而在共线的个点中任意取个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有＝种．故这个点构成三角形的个数为－＝个．解答几何组合问题的策略()几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强．()解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可．()计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．[活学活用]正六边形的顶点和中心共个点，可组成个三角形．解析：不共线的三个点可组成一个三角形，个点中共线的是过中心的条对角线，即共有种情况，故组成三角形的个数为－＝．答案：排列与组合的综合问题]。

高中数学人教A版选修2-3教案-1.2 排列与组合_教学设计_教案_2

教学准备1. 教学目标组合概念的理解及应用2. 教学重点/难点组合概念的理解及应用3. 教学用具4. 标签教学过程一、内容归纳1、知识精讲(1)组合从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

(2)组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符合C表示。

组合数公式为2、重点难点：组合概念的理解及应用3、思维方式：与排列问题进行类比思考4、特别注意：分类时标准应统一，否则易出现遗漏和重复二、问题讨论例4(优化设计P176例3)、从1，2，…，30这前30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？解：令A＝{1，4，7，10，…，28}，B＝{2，5，8，11，…29}，C＝{3，6，9，…，30}组成四位数的方式有以下四类符合题意：①A，B，C中各取一个数，有种；②仅在A中取3个数，有种；③仅在B中取3个数，有种；④仅在C中取3个数，有种，故由加法原理得：＝1360种．【评述】按元素的性质分类是处理带限制条件的组合问题的常用方法，对于某几个数的和能被某数整除一类的问题，通常是将整数分类，凡余数相同者归同一类．例5、马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？解：问题等价于在七只亮着的路灯产生的六个空档中放入三只熄掉的路灯，因此，所求的方法种数为C=20【思维点拔】注意插空法的应用。

解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决。

例6(优化设计P176例4)、如图, 从一个3×4的方格中的一个顶点A到对顶顶点B的最短路线有几条?解：把质点沿网格线从点A到点的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向上，不同走法的区别在于哪三步向上，因此，本题的结论是：．【深化拓展】(优化设计P176)1、某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，如图所示，要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？解：将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A到B需要走（n+m-2）段，而这些段中必须有东西方向的（n—1）段，其余的为南北方向的（m-1）段，所以共有=种走法。

高中数学排列 1.2.1 排列教学设计新人教A版选修2-3

第二课时 1.2.1排列教学目标：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导教学重点：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导教学过程：一、复习引入：1.分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k 种途径，由第1种途径有n 1种方法可以完成，由第2种途径有n 2种方法可以完成，……由第k 种途径有n k 种方法可以完成。

那么，完成这件工作共有n 1+n 2+……+n k 种不同的方法。

2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K 个步骤，完成第1步有n 1种不同的方法，完成第2步有n 2种不同的方法，……，完成第K 步有nK 种不同的方法。

那么，完成这件工作共有n 1×n 2×……×n k 种不同方法二、讲解新课：1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的．．．顺序．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m元素的排列数，用符号m n A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：求m n A 以按依次填m 个空位来考虑(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ ，排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ =!()!n n m -（,,m n N m n *∈≤）说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；（2）全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅= （叫做n 的阶乘）4、典例分析例1．计算：（1）316A ；（2）66A ；（3）46A ．解：（1）316A ＝161514⨯⨯＝3360 ；（2）66A ＝6!＝720 ；（3）46A ＝6543⨯⨯⨯＝360例2．（1）若17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯ ，则n = ，m = ．（2）若,n N ∈则(55)(56)(68)(69)n n n n ---- 用排列数符号表示．解：（1）n = 17 ，m = 14 ．（2）若,n N ∈则(55)(56)(68)(69)n n n n ---- ＝ 1569n A -．例3．（1）从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：（1）255420A =⨯=；（2）5554321120A =⨯⨯⨯⨯=；（3）2141413182A =⨯=课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导课堂练习：(1)解方程：A 42x ＋1＝140A 3x ；(2)解不等式：A x 9>6A x －26.解 (1)根据原方程，x (x ∈N *)应满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，解得x ≥3.根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)，因为x ≥3，两边同除以4x (x －1)，得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，即4x 2－35x ＋69＝0，解得x ＝3或x ＝234 (x ∈N *，应舍去)．所以原方程的解为x ＝3.(2)根据原不等式，x (x ∈N *)应满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤9，x －2≤6，x >0，x －2>0，故2<x ≤8.又由A x 9>6A x －26，得9！ 9－x ！>6×6！ 8－x ！，所以849－x >1，所以－75<x <9.故2<x ≤8，所以x ∈{3,4,5,6,7,8}．。

高中数学 1.2.1《排列》教案新人教A版选修2-3

排列【教学目的】理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导；能用“树型图”写出一个排列中所有的排列；能用排列数公式计算。

【教学重点】排列、排列数的概念。

【教学难点】排列数公式的推导一、问题情景〖问题1〗从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙，其中被取的对象叫做元素。

a b c d这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排〖问题2〗．从,,,法？分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的字母，从余下的3个字母中取，有3种方法；第三步确定右边的字母，从余下的2个字母中取，有2种方法由分步计数原理共有：4×3×2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法二、数学构建≤）个元素（这里的被取元素各不相1．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m n同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同≤）个元素的所有排列的个数叫做2．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m n从n个元素中取出m元素的排列数，用符号m n A表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排≤）个元素的所有列数”是指从n个不同元素中，任取m（m nA只表示排列数，而不表示具排列的个数，是一个数所以符号mn体的排列。

【教案】人教A版数学选修2-3集体备课学案与教学设计：1.2.1排列

高二数学集体备课学案与教学设计
章节标题
排列
计划学时
2
学案作者
学案审核
高考目标
区பைடு நூலகம்以及解决基本的排列问题
三维目标
一、知识与技能
理解排列及排列数的概念
能利用排列数公式进行计算
掌握排列问题中常用的直接法和间接法
二、过程与方法
通过例子认识排列中的间接法，直接法
三、情感态度与价值观
培养严谨的数学思维能力
教学重点教学难点
3、归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。
二、演绎推理
1、演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。
2、“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提——已知的一般原理；第二段：小前提——所研究的特殊情况；第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
3、合情推理；演绎推理：由一般到特殊.
经
典
例
题
【例1】已知数列的第1项1，且，试归纳出通项公式.
【例2】（课本P75）有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
（1）每次只能移动一个金属片；
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n）；
①f（3）=
②f（n）=
【例3】类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想
【例4】在锐角三角形ABC中，，D，E是垂足.求证：AB的中点M到D，E的距离相等.

数学人教A版选修2-3学案：第一章1.2.1 排列含解析

1。

2.1 排列1．预习交流1(1）如何理解排列及排列数的定义？(2）A,B，C三名同学站成一排照相留念，写出所有站队方法．2．排列数公式A m，n＝__________________＝______,特别地，当n＝m时，A错误!＝n!＝n(n－1）（n－2)…1，规定0！＝1（n,m∈N*,且m≤n)．预习交流2（1)13×12×11×10×9×8等于（）．A．A错误!B．A错误!C．A错误!D．A错误!(2）错误!的值为()．A．2n!B．A错误!C。

错误!D．2答案：1．排成一列所有不同排列A错误!预习交流1：（1）提示:排列的定义包括两个方面：①取出元素;②按一定顺序排列．两个排列相同的条件:①元素相同；②元素的顺序也相同．排列是按一定顺序排列的一列元素，而排列数是一个数，并不表示具体的排列．（2)提示:ABC,ACB，BAC，BCA,CAB,CBA.2．n(n－1)(n－2）…(n－m＋1）错误!预习交流2:（1)提示：B(2）提示：错误!＝错误!＝错误!＝A错误!，故选B。

一、排列数公式的应用1．计算：(1)2A错误!＋A错误!；(2)错误!。

思路分析:按公式将排列数写成连乘形式计算．2．化简A错误!＋m A错误!＝(）．A．A错误!B．A错误!C．A错误!D．A错误!1．若3A x8＝4A错误!，则x＝(）．A．4 B．5 C．6 D．72．化简错误!＝__________.应用排列数公式时应注意以下几个方面：（1)准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确．（2）合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算．(3)合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律,进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性．二、排列的概念与简单的排列问题1．判断下列问题是否为排列问题:（1）从1,2，3，4,5中任取两个数相加，其结果有多少种不同的可能？(2)从1，2，3，4,5中任取两个数相减，其结果有多少种不同的可能？（3)有12个车站，共需要准备多少种普通票？(4)从10个人中选2人分别去植树和种菜，有多少种不同选法?（5)从10个人中选2人去参加座谈会，有多少种不同选法？思路分析：判断所给问题是否是排列问题，关键是看与顺序有无关系．2．(1)若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有()．A．180种B．360种C．15种D．30种思路分析：直接运用排列的概念求值．（2）某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面(旗的颜色无重复)，并且不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示__________种不同的信号．思路分析:如果把3面旗看做3个元素，那么“表示信号”这件事则是从3个元素中每次取出1个、2个或3个元素的排列问题．判断下列问题是否是排列问题，若是排列问题，求出对应的排列数．（1)从1，2,3,4，5中任取两个数组成两位数,有多少个这样的两位数?(2)若一个班级有40名同学，从中选5人组成学习小组，有多少种选法?（3）8种不同的菜种，任选4种种在不同的土地上，有多少种不同的种法？解决排列问题的步骤:（1）分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关，则是排列问题．（2）注意排列对元素或位置有无特殊要求．（3）借助排列数公式计算．三、排队问题有4个男生和3个女生排成一排．(1)男生甲必须站在中间有多少种排法？(2)男生甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同排法？（3）甲不站排头,乙不站排尾有多少种不同排法？(4）三个女生要排在一起有多少种不同排法?(5）三个女生两两不能相邻有多少种不同排法？（6）三个女生顺序一定，共有多少种不同排法?思路分析:本题都涉及限制条件，要优先考虑有条件限制的元素或位置．相邻问题(如（4）)可用捆绑法，不相邻问题(如(5))可用插空法．1．(2012山东济南2月定时练习,理6)三位老师和三位学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法总数为（）．A．720 B．144 C．36 D．122．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有()．A．20种B．30种C．40种D．60种(1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置,再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时,可以先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法",但必须注意要不重复，不遗漏．(2）对于某些特殊问题,可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法",即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的。

高中数学人教A版选修2-3教学课件：1.2.1.2排列(2)

元素 • 1．直接法：以为考察对特殊元素象，先一般元素满足的要求，再考虑 (又称为元素分析法 )，或以位置特殊位置为考察对象，先满足的要求，再一般位置考虑 (又称位置分析法 )．总排列数 • 2 ．间接法：先不考虑附加条件，计算出不合要求的排列数，再减去．
• [ 例 1] 6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有 • ( ) • A．720 B．360 • C．240 D．120 • [答案] C
[解析]
因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在
5 一起视作一人，与其余四人全排列共有全排列 A5 种排法，但 2 甲、乙两人之间有 A2 种排法，由分步计数原理可知： 5 2 共有 A5 · A2＝240 种不同的排法，选 C.

• [点评] 相邻元素捆绑法．所谓“捆绑法”，就是在解决要求某几个元素相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个“大”元素．
• [例2] 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？ 6
[解析]
先将 6 个歌唱节目排好，其不同的排法为 A6种，
A7 7 故 N＝A2＝2 520(种)． 2 (2)方法一：甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为 1 A7 7 所有甲、乙、丙排列的A3，∴N＝A3＝840(种)． 3 3 方法二：先将甲、乙、丙按固定的顺序放好，甲、乙、丙三人之间和两端共 4 个空位，把剩余的 4 人依次插入空位(注意每次插入后空位也相应增加)，由分步乘法计数原理知共有 N＝4×5×6×7＝840(种)．
• [例4] 现要给4名女教师，3名男教师，排队合影留念，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．