广东省清远市第三中学2017届高三上学期第十次周考数学(理)试题 Word版含答案

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2017年广东省清远三中高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2017年广东省清远三中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝sin，k∈Z}，则∁A B＝（）A．∅B．0C．{0}D．{﹣1，1} 2．（5分）的展开式中含x2的项的系数是（）A．﹣20B．20C．﹣15D．153．（5分）已知＝2﹣i（i为虚数单位，a，b∈R），在|a﹣bi|＝（）A．﹣i B．1C．2D．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．B．C．4D．5．（5分）（x+）dx＝（）A．e2B．C．D．6．（5分）设数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝（n∈N），若数列{a n}是常数列，则a＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．（﹣1）n7．（5分）设向量＝（cos x，﹣sin x），＝（﹣cos（﹣x），cos x），且＝t，t≠0，则sin2x的值等于（）A．1B．﹣1C．±1D．08．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若∠F1PF2＝60°，则三角形F1PF2的面积为（）A．2B．2C．D．29．（5分）设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差D （X）＝（）A．2B．1C．D．10．（5分）下列四个结论：①若x＞0，则x＞sin x恒成立；②命题“若x﹣sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sin x≠0”；③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0＜0”．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12B．24C．36D．4812．（5分）若直线ax﹣y＝0（a≠0）与函数图象交于不同的两点A，B，且点C（6，0），若点D（m，n）满足，则m+n＝（）A．1B．2C．3D．a二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是（用数字作答）．14．（5分）已知直线l：y＝kx（k＞0），圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与C2：（x﹣3）2+y2＝1，若直线l被圆C，C2所截得两弦的长度之比是3，则实数k＝．115．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）在区间（0，1）内有两个零点，是3a+b的取值范围是．16．（5分）曲线C是平面内到直线l1：x＝﹣1和直线l2：y＝1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹，下列四个结论：①曲线C过点（﹣1，1）；②曲线C关于点（﹣1，1）成中心对称；③若点P在曲线C上，点A、B分别在直线l1、l2上，则|P A|+|PB|不小于2k；④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线l1：x＝﹣1，点（﹣1，1）及直线f（x）对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2；其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cos C+c cos B＝0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sin A cos B的取值范围．18．（12分）张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表：（Ⅰ）求身高y关于年龄x的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．19．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x3+ax （a∈R），且曲线f（x）在x＝处的切线与直线y＝﹣x﹣1平行．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y＝f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围．}的前n项和为S n，且满足2＝a n+120．（12分）设各项均为正数的数列{a（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝（a n+1）•2，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数f（x）＝ae x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）＝1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）＝|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac＝1．（Ⅰ）当b＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．2017年广东省清远三中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝sin，k∈Z}，则∁A B＝（）A．∅B．0C．{0}D．{﹣1，1}【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝sin，k∈Z}＝{x|x≠0}，则∁A B＝{﹣1，1}．故选：D．2．（5分）的展开式中含x2的项的系数是（）A．﹣20B．20C．﹣15D．15【解答】解：（x﹣）6展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r C6r x6﹣2r，令6﹣2r＝2，解得r＝2故展开式中含x2的项的系数是C62＝15，故选：D．3．（5分）已知＝2﹣i（i为虚数单位，a，b∈R），在|a﹣bi|＝（）A．﹣i B．1C．2D．【解答】解：∵＝＝2﹣i，∴，解得．∴|a﹣bi|＝|﹣i|＝1．故选：B．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．B．C．4D．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，其中P A⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝2，P A＝2．∴V＝＝．故选：A．5．（5分）（x+）dx＝（）A．e2B．C．D．【解答】解：（x+）dx＝（x2+lnx）|＝（e2+1）﹣（+0）＝，故选：B．6．（5分）设数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝（n∈N），若数列{a n}是常数列，则a＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．（﹣1）n【解答】解：数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝（n∈N），∴a2＝．∵数列{a n}是常数列，则a＝，解得a＝﹣2．∴a n＝a＝﹣2．故选：A．7．（5分）设向量＝（cos x，﹣sin x），＝（﹣cos（﹣x），cos x），且＝t，t≠0，则sin2x的值等于（）A．1B．﹣1C．±1D．0【解答】解：∵＝t，t≠0，∴﹣sin x•[（﹣cos（﹣x）]﹣cos x•cos x＝0，∴sin2x﹣cos2x＝0，∴cos2x＝0，则sin2x＝＝±1．故选：C．8．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若∠F1PF2＝60°，则三角形F1PF2的面积为（）A．2B．2C．D．2【解答】解：由双曲线x2﹣y2＝1的a＝b＝1，c＝，F2（，0），F1 （﹣，0），由余弦定理可得，F1F22＝8＝PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos60°＝（PF1﹣PF2）2+PF1•PF2＝4+PF1•PF2，∴PF1•PF2＝4．则＝PF 1•PF2sin60°＝×4×＝．故选：C．9．（5分）设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差D （X）＝（）A．2B．1C．D．【解答】解：每一次红球被摸到的概率P＝＝．由题意可得：X＝0，1，2，3．X～B．则D（X）＝＝．故选：C．10．（5分）下列四个结论：①若x＞0，则x＞sin x恒成立；②命题“若x﹣sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sin x≠0”；③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0＜0”．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①由y＝x﹣sin x的导数为y′＝1﹣cos x≥0，函数y为递增函数，若x＞0，则x＞sin x恒成立，故①正确；②命题“若x﹣sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sin x≠0”，由逆否命题的形式，故②正确；③“命题p∧q为真”则p，q都是真，则“命题p∨q为真”，反之不成立，则“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故④不正确．综上可得，正确的个数为3．故选：C．11．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12B．24C．36D．48【解答】解：模拟执行程序，可得：n＝6，S＝3sin60°＝，不满足条件S≥3.10，n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件S≥3.10，n＝24，S＝12×sin15°＝12×0.2588＝3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．12．（5分）若直线ax﹣y＝0（a≠0）与函数图象交于不同的两点A，B，且点C（6，0），若点D（m，n）满足，则m+n＝（）A．1B．2C．3D．a【解答】解：∵f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∵直线ax﹣y＝0（a≠0）通过坐标原点，∴A，B关于原点对称，即x A+x B＝0，y A+y B＝0，∵点C（6，0），点D（m，n），∴＝（x A﹣m，y A﹣n），＝（x B﹣m，y B﹣n），＝（m﹣6，n），∵，∴x A﹣m+x B﹣m＝m﹣6，y A﹣n+y B﹣n＝n，∴m＝2，n＝0，∴m+n＝2，故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是10（用数字作答）．【解答】解：根据题意，假设左边的积木从上至下依次为1、2、3，右边的积木从上至下依次为4、5，分2种情况讨论：若先取1，有12345、12453、12435、14235、14253、14523，共6种取法；若先取4，有45123、41523、41253、41235，共4种取法；则一共有6+4＝10中不同的取法；故答案为：10．14．（5分）已知直线l：y＝kx（k＞0），圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与C2：（x﹣3）2+y2＝1，若直线l被圆C，C2所截得两弦的长度之比是3，则实数k＝．1【解答】解：由题意，圆C1：（x﹣1）2+y2＝1的圆心（1，0）到直线l：y＝kx （k＞0）的距离＝，弦长为2＝，圆C2：（x﹣3）2+y2＝1的圆心（3，0）到直线l：y＝kx（k＞0）的距离＝，弦长为2＝，∵直线l被圆C1，C2所截得两弦的长度之比是3，∴＝3×，∴k＝．∵k＞0∴k＝故答案为．15．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）在区间（0，1）内有两个零点，是3a+b的取值范围是（﹣5，0）．【解答】解：由题意，要使函数f（x）＝x2+ax+b在区间（0，1）上有两个零点，只要，其对应的平面区域如下图所示：则当a＝0，b＝0时，3a+b取最大值0，当a＝﹣2，b＝1时，3a+b取最小值﹣5，所以3a+b的取值范围为（﹣5，0）；故答案为：（﹣5，0）16．（5分）曲线C是平面内到直线l1：x＝﹣1和直线l2：y＝1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹，下列四个结论：①曲线C过点（﹣1，1）；②曲线C关于点（﹣1，1）成中心对称；③若点P在曲线C上，点A、B分别在直线l1、l2上，则|P A|+|PB|不小于2k；④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线l1：x＝﹣1，点（﹣1，1）及直线f（x）对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2；其中，所有正确结论的序号是②③④．【解答】解：由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1||y﹣1|＝k2，对于①，将（﹣1，1）代入验证，此方程不过此点，所以①错；对于②，把方程中的x被﹣2﹣x代换，y被2﹣y代换，方程不变，故此曲线关于（﹣1，1）对称．所以②正确；对于③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|P A|≥|x+1|，|PB|≥|y﹣1|∴|P A|+|PB|≥2＝2k，所以③正确；对于④，由题意知点P在曲线C上，根据对称性，则四边形P0P1P2P3的面积＝2|x+1|×2|y﹣1|＝4|x+1||y﹣1|＝4k2．所以④正确．故答案为：②③④．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cos C+c cos B＝0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sin A cos B的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，（2a+b）cos C+c cos B＝0，∴由正弦定理得，（2sin A+sin B）cos C+sin C cos B＝0，则2sin A cos C+sin B cos C+sin C cos B＝0，即sin（B+C）＝﹣2sin A cos C，∵△ABC中，sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sin A＞0，∴1＝﹣2cos C，得cos C＝，又0＜C＜π，∴C＝；（Ⅱ）由（I）得C＝，则A+B＝π﹣C＝，即B＝﹣A，所以，∴sin A cos B＝sin A cos（﹣A）＝sin A（cos cos A+sin sin A）＝sin A（cos A+sin A）＝sin2A+＝（）＝∵，∴，则，即，∴sin A cos B的取值范围是．18．（12分）张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表：（Ⅰ）求身高y关于年龄x的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．【解答】解：（Ⅰ）由题意得＝（7+8+9+10+11+12+13）＝10，＝（121+128+135+141+148+154+160）＝141，（＝9+4+1+0+1+4+9＝28，（x i﹣）（y i﹣）＝（﹣3）×（﹣20）+（﹣2）×（﹣13）+（﹣1）×（﹣6）+0×0+1×7+2×13+3×19＝182，所以＝＝，＝﹣＝141﹣×10＝76，所求回归方程为＝x+76．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，＝＞0，故张三同学7岁至13岁的身高每年都在增高，平均每年增高6.5cm．将x＝15代入（Ⅰ）中的回归方程，得＝×15+76＝173.5，故预测张三同学15岁的身高为173.5cm．19．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x3+ax （a∈R），且曲线f（x）在x＝处的切线与直线y＝﹣x﹣1平行．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y＝f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x＞0时，f′（x）＝x2+a，因为曲线f（x）在x＝处的切线与直线y＝﹣x﹣1平行，所以f′（）＝+a＝﹣，解得a＝﹣1，所以f（x）＝x3﹣x，设x＜0则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x3﹣x，又f（0）＝0，所以f（x）＝x3﹣x．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（﹣3）＝﹣6，f（﹣1）＝，f（1）＝﹣，f（）＝0，所以函数y ＝f （x ）﹣m 在区间[﹣3，]上有三个零点，等价于函数f （x ）在[﹣3，]上的图象与y ＝m 有三个公共点．结合函数f （x ）在区间[﹣3，]上大致图象可知，实数m 的取值范围是（﹣，0）．20．（12分）设各项均为正数的数列{an }的前n 项和为S n ，且满足2＝a n +1（n ∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n ＝（a n +1）•2，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）当n ＝1时，a 1＝S 1，有2＝a 1+1，解得a 1＝1；当n ≥2时，由2＝a n +1得4S n ＝a n 2+2a n +1，4S n ﹣1＝a n ﹣12+2a n ﹣1+1，两式相减得4a n ＝a n 2﹣a n ﹣12+2（a n ﹣a n ﹣1），所以（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）＝0，因为数列{a n }的各项为正，所以a n ﹣a n ﹣1﹣2＝0，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n ＝（a n +1）•2＝2n •22n ﹣1＝n •4n ．所以前n 项和T n ＝1•4+2•42+3•43+…+n •4n ，4T n＝1•42+2•43+3•44+…+n•4n+1，两式相减得﹣3T n＝4+42+43+…+4n﹣n•4n+1＝﹣n•4n+1，化简可得T n＝+•4n+1．21．（12分）已知函数f（x）＝ae x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝ae x﹣x，得f′（x）＝ae x﹣1，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）＝ae x﹣x为R上的减函数；当a＞0时，令ae x﹣1＝0，得x＝lna，若x∈（﹣∞，﹣lna），则f′（x）＜0，此时f（x）为的单调减函数；若x∈（﹣lna，+∞），则f′（x）＞0，此时f（x）为的单调增函数．综上所述，当a≤0时，f（x）＝ae x﹣x为R上的减函数；当a＞0时，若x∈（﹣∞，﹣lna），f（x）为的单调减函数；若x∈（﹣lna，+∞），f（x）为的单调增函数．（Ⅱ）由题意，x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于ae x﹣x≥e﹣x恒成立，即x∈[1，2]，恒成立．令g（x）＝，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值．由g（x）＝＝，函数y＝在[1，2]上单调递减，令h（x）＝，x∈[1，2]，h′（x）＝．∴h（x）＝在x∈[1，2]上也是减函数，∴g（x）在x∈[1，2]上也是减函数，∴g（x）在[1，2]上的最大值为g（1）＝．故x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立的实数a的取值范围是[，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）＝1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），普通方程为（x′﹣1）2+y′2＝1，∴C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）＝1，直角坐标方程为x﹣y﹣2＝0，∴圆心到直线的距离d＝＝，∴|PQ|＝2＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）＝|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac＝1．（Ⅰ）当b＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．【解答】解：（Ⅰ）由题意，当b＝1时，f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|＝，当x≤﹣1时，f（x）＝﹣2＜1，不等式f（x）≥1无解，不等式f（x）≥1的解集为∅；当﹣1＜x＜1时，f（x）＝2x，由不等式f（x）≥1，解得x≥，所以≤x＜1；当x≥1时，f（x）＝2≥1恒成立，所以不等式f（x）≥1的解集为[，+∞）．（Ⅱ）（Ⅱ）当x∈R时，f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|≤|x+b2 +（﹣x+1）|＝|b2+1|＝b2+1；g（x）＝|x+a2+c2|+|x﹣2b2|＝≥|x+a2+c2﹣（x﹣2b2）|＝|a2+c2+2b2|＝a2+c2+2b2．而a2+c2+2b2﹣（b2+1）＝a2+c2+b2﹣1＝（a2+c2+b2+a2+c2+b2）﹣1≥ab+bc+ac ﹣1＝0，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立，即a2+c2+2b2≥b2+1，即f（x）≤g（x）．。

2017-2018年广东省清远市高三上学期数学期末试卷(理科)与解析

2017-2018学年广东省清远市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）复数Z=1+i+（1+i）6（i为虚数单位）在复平面上对应的点P在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）函数y=sin（+2x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数3．（5分）由直线x=﹣，x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1C．D．4．（5分）为了解工厂的1000名工人的生产情况，从中抽取100名工人进行统计，得到如下频率分布直方图，由此可估计该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为（）A．50B．100C．150D．2505．（5分）设命题p：若集合A={x∈R|≤0}，则∁R A={x∈R|x＞0}（其中R为实数集）；命题q：∃x∈R，sinx≥1，则（）A．p∨（￢q）是假命题B．p∨q是假命题C．p∧q是真命题D．（￢p）∧（￢q）是真命题6．（5分）为了研究某班学生的身高y（单位：厘米）和脚长x（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知=225，=1650，，则的值是（）A．750B．75C．80D．8007．（5分）在如图程序框图中，已知：f0（x）=xe x，f i′（x）是f i（x）的导函数，则输出的是（）A．2016e x B．2016e x+xe x C．2017e x D．2017e x+xe x 8．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后达到目的地．”则该人最后一天走的路程为（）A．4 里B．5 里C．6 里D．8 里9．（5分）已知几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．体积为2的三棱锥B．体积为2的四棱锥C．体积为6的三棱锥D．体积为6的四棱锥10．（5分）已知实数x，y满足，则（x﹣1）2+（y+1）2的取值范围是（）A．[，10]B．[，2]C．[，10]D．[，2] 11．（5分）设P是抛物线C1：x2=4y上的动点，M是圆C2：（x﹣5）2+（y+4）2=4上的动点，d是点P到直线y=﹣2的距离，那么d+|PM|的最小值是（）A．﹣2B．﹣1C．D．+1 12．（5分）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中x，y∈R，则x+y 的取值范围为（）A．（1，2]B．[1，2]C．[1，2）D．[﹣2，2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（1+2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，若a2=40，则n=．14．（5分）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是．15．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在如图所示的n处时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位上升1米后，水面宽米．16．（5分）小明发现，直棱柱的外接球的球心位置一定在上下底面外接圆圆心连线上，现已知三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=BC=，AC=6，AA1⊥平面ABC，AA1=2，则该三棱柱的外接球表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足（n ≥2，n∈N+）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）证明：．18．（12分）朱老师家住H小区，他在C学校工作，从家开车到C学校上班有L1，L2两条路线（如图），路线L1上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线L2上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．（Ⅰ）若走路线L1，求最多遇到2次红灯的概率；（Ⅱ）若走路线L2，求遇到红灯次数X的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助朱老师分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．19．（12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB 是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．20．（12分）已知双曲线x2﹣=1的左、右顶点分别为A、B，曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设点P、T的横坐标分别为x1、x2，证明：x1x2=1；（Ⅲ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且≤10，求的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+2mx﹣m．（Ⅰ）讨论函数f（x）的极大值和极小值；（Ⅱ）证明：当m＞，0≤x≤1时，﹣m＜f（x）＜m﹣．选修4—4：极坐标与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程（θ是参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1上的点P到直线C2的距离为d，求d的最大值．选修4—5：不等式选讲23．已知f（x）=|2x+2|+|3x﹣3|，g（x）=|x+2m|+|x﹣m|．（Ⅰ）求函数y=的定义域．（Ⅱ）若∀x∈R，∃x0∈R，使得f（x）=g（x0），试求实数m的取值范围．2017-2018学年广东省清远市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）复数Z=1+i+（1+i）6（i为虚数单位）在复平面上对应的点P在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵Z=1+i+（1+i）6=1+i+[（1+i）2]3=1+i+（2i）3=1﹣7i，∴在复平面上对应的点P的坐标为（1，﹣7），在第四象限．故选：D．2．（5分）函数y=sin（+2x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数【解答】解：函数y=sin（+2x）=cos2x，它的周期为=π，且为偶函数，故选：C．3．（5分）由直线x=﹣，x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1C．D．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积S=cosxdx==﹣（﹣）=，所以围成的封闭图形的面积是．故选：D．4．（5分）为了解工厂的1000名工人的生产情况，从中抽取100名工人进行统计，得到如下频率分布直方图，由此可估计该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为（）A．50B．100C．150D．250【解答】解：产量在75件以上（含75件）的工人包括第4组和第5组的工人，∵f=f4+f5=0.010×10+0.005×10=0.15．∴该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为：1000×0.15=150．故选：C．5．（5分）设命题p：若集合A={x∈R|≤0}，则∁R A={x∈R|x＞0}（其中R为实数集）；命题q：∃x∈R，sinx≥1，则（）A．p∨（￢q）是假命题B．p∨q是假命题C．p∧q是真命题D．（￢p）∧（￢q）是真命题【解答】解：A={x∈R|≤0}={x|x＜0}，则∁R A={x∈R|x≥0}，即命题p是假命题，当sinx=1时，满足sinx≥1，即命题q是真命题，则p∨（￢q）是假命题，故选：A．6．（5分）为了研究某班学生的身高y（单位：厘米）和脚长x（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知=225，=1650，，则的值是（）A．750B．75C．80D．800【解答】解：∵=225，=1650，∴=22.5，=165，由165=4×22.5+，解得：=75，故选：B．7．（5分）在如图程序框图中，已知：f0（x）=xe x，f i′（x）是f i（x）的导函数，则输出的是（）A．2016e x B．2016e x+xe x C．2017e x D．2017e x+xe x 【解答】解：由程序框图知，f0（x）=xe x，f1（x）=f0′（x）=e x+xe x，∴f2（x）=f1′（x）=e x+e x+xe x=2e x+xe x；…；∴输出f2017（x）=f2016′（x）=2017e x+xe x．故选：D．8．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后达到目的地．”则该人最后一天走的路程为（）A．4 里B．5 里C．6 里D．8 里【解答】解：每天走的路形成等比数列{a n}，q=，S6=378．∴S6=378=，解得a1=192．∴该人最后一天走的路程=a1q5==6．故选：C．9．（5分）已知几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．体积为2的三棱锥B．体积为2的四棱锥C．体积为6的三棱锥D．体积为6的四棱锥【解答】解：几何体的直观图如图：由题意可得几何体的底面积为：=3，体积为：V=．故选：B．10．（5分）已知实数x，y满足，则（x﹣1）2+（y+1）2的取值范围是（）A．[，10]B．[，2]C．[，10]D．[，2]【解答】解：（x﹣1）2+（y+1）2的几何意义是P（1，﹣1）到可行域上的点的距离的平方，d min==，最小值为：；由可得B（2，2），最大值为可行域内的第一象限三角形的顶点到P（1，﹣1）的距离的平方：（2﹣1）2+（2+1）2=10，故选：C．11．（5分）设P是抛物线C1：x2=4y上的动点，M是圆C2：（x﹣5）2+（y+4）2=4上的动点，d是点P到直线y=﹣2的距离，那么d+|PM|的最小值是（）A．﹣2B．﹣1C．D．+1【解答】解：圆（x﹣5）2+（y+4）2=4的圆心（5，﹣4），半径为2．抛物线x2=4y的准线方程为：y=﹣1，如图：d为P到y=﹣2的距离，P为抛物线x2=4y上一动点，M为（x﹣5）2+（y+4）2=4上一动点，d+PM最小值就是FC2的连线与抛物线的交点是P，与圆的交点为M，过P作PN垂直直线y=﹣1的交点为N，有抛物线的定义可知：PF=PN，即1+|PF|+|PM|的最小值就是d+PM最小值，∵F（0，1），C2（5，﹣4），∴|FC2|==5，∴d+|PM|≥1+|FC2|﹣2=5﹣1所以d+PM最小值为5﹣1，故选：B．12．（5分）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中x，y∈R，则x+y 的取值范围为（）A．（1，2]B．[1，2]C．[1，2）D．[﹣2，2]【解答】解：由题意，以O为原点，OA为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，设C（cosθ，sinθ），0≤θ≤120°可得A（1，0），B（﹣，），由若=x（1，0）+y（﹣，）得，x﹣y=cosθ，y=sinθ，∴y=sinθ，∴x+y=cosθ+sinθ=2sin（θ+30°），∵0≤θ≤120°，∴30°≤θ+30°≤150°，∴1≤2sin（θ+30°）≤2∴x+y的范围为[1，2]，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（1+2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，若a2=40，则n=5．【解答】解：∵（1+2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，若a2=40，则×4=40，求得n2﹣n﹣20=0，∴n=5，或n=﹣4（舍去），故答案为：5．14．（5分）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是．【解答】解：小明有4枚完全相同的硬币，他把4枚硬币叠成一摞，基本事件总数n=24=16，所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对，包含的基本事件的个数m=24﹣2=14，∴所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率：p===．故答案为：．15．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在如图所示的n处时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位上升1米后，水面宽2米．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2，∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣1）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．16．（5分）小明发现，直棱柱的外接球的球心位置一定在上下底面外接圆圆心连线上，现已知三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=BC=，AC=6，AA1⊥平面ABC，AA1=2，则该三棱柱的外接球表面积为．【解答】解：由题意，圆心到球心的距离为1，∵AB=BC=，AC=6，∴AC的高为，其中一个底角的正弦值为；由正弦定理：2r=；则r=外接球半径R==三棱柱的外接球表面积S=4πR2=故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足（n ≥2，n∈N+）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）证明：．【解答】证明：（Ⅰ）数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足（n ≥2，n∈N+）．则：当n≥2时，，整理得：S n﹣S n=2S n﹣1S n，﹣1所以：（常数）．所以：数列{}是以为首项，2为公差的等差数列．证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，所以：，当n=1时，符合通项．故：，所以：，=，=18．（12分）朱老师家住H小区，他在C学校工作，从家开车到C学校上班有L1，L2两条路线（如图），路线L1上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线L2上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．（Ⅰ）若走路线L1，求最多遇到2次红灯的概率；（Ⅱ）若走路线L2，求遇到红灯次数X的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助朱老师分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）【解法一】设“走路线L1，最多遇到2次红灯”为事件A，则P（A）=×+×+××=；∴走L1最多遇到2次红灯的概率为；【解法二】设“走路线L1，最多遇到2次红灯”为事件A，则事件为“走路线L1遇到3次红灯”，∴P（A）=1﹣P（）=1﹣×=；∴走L1最多遇到2次红灯的概率为；（Ⅱ）由题意知随机变量X的可能取值为0，1，2；计算P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）=，P（X=1）=×（1﹣）+（1﹣）×=，P（X=2）=×=，∴X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×=；（Ⅲ）设选择路线L1遇到红灯的次数为Y，随机变量Y服从二项分布，即Y～B（3，），∴E（Y）=3×=，由E（X）＜E（Y），∴选择路线L2上班更好些．19．（12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC，…（2分）又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，∵BE和平面ABC所成的角为60°，∴∠EBF=60°，∵BE=2，∴，…（4分）∴四边形DEFO是平行四边形，∴DE∥OF，∵DE不包含于平面ABC，OF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）解法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，又EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角．…（9分）Rt△EFG中，，，．∴．即二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…（12分）解法二：建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，，），∴=（﹣1，﹣，0），=（0，﹣1，），平面ABC的一个法向量为设平面BCE的一个法向量为则，∴，∴．…（9分）所以，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…（12分）20．（12分）已知双曲线x2﹣=1的左、右顶点分别为A、B，曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设点P、T的横坐标分别为x1、x2，证明：x1x2=1；（Ⅲ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且≤10，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1，a＞b＞0，依题意可得A（﹣1，0），B（1，0），所以b=1，因为椭圆的离心率为，所以e2===，即a2=4，∴椭圆方程为+x2=1；（Ⅱ）设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（x i＞0，y i＞0，i=1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y=k（x+1），联立方程组，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0，解得x=﹣1或x=．所以x2=．同理可得，x1=．所以x1•x2=1．（Ⅱ）解：设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（x i＞0，y i＞0，i=1，2），则=（﹣1﹣x1，﹣y1），=（﹣1﹣x2，﹣y2），因为•≤10，所以（﹣1﹣x1）（1﹣x1）+y12≤10，即x12+y12≤11，因为点P在双曲线上，则x1﹣=1，所以x12+4x12﹣4≤11，即x12≤3．因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1＜x1≤．因为S1=|AB|•|y2|=|y2|，S2=|OB|•|y1|=|y1|，所以S12﹣S22=y22﹣y12=（4﹣4x22）﹣（x12﹣1）=5﹣x12﹣4x22．由（Ⅱ）知，x1•x2=1，即x2=．设t=x12，则1＜t≤3，则S12﹣S22=5﹣t﹣．设f（t）=5﹣t﹣=5﹣（t+）=5﹣4=1，当且仅当t=，即t=2时取等号，所以函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，3]上单调递减．因为f（3）=5﹣3﹣=，f（1）=0，所以f（1）＜f（3）所以S12﹣S22的取值范围为（0，1]．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+2mx﹣m．（Ⅰ）讨论函数f（x）的极大值和极小值；（Ⅱ）证明：当m＞，0≤x≤1时，﹣m＜f（x）＜m﹣．【解答】（I）解：f′（x）=﹣3x2+2m，m≤0时，f′（x）≤0，∴函数f（x）在R上单调递减，无极值．m＞0时，f′（x）=﹣3（x+）（x﹣），可得：﹣＜x＜时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x＜﹣，或x＞时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴x=﹣，函数f（x）取得极小值，=﹣﹣m．x=时，函数f（x）取得极大值，f=﹣m．（II）证明：当m＞，0≤x≤1时，要证明﹣m＜f（x）＜m﹣．即证明：f （x）﹣＜0．由（I）可得：0＜x＜时，此时函数f（x）单调递增；x＞时，函数f（x）单调递减．①当≥1时，m≥时，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）≤f（1）．这时f（x）﹣＜f（1）﹣|m﹣|=﹣1+2m﹣m﹣（m﹣）=﹣＜0．②当＜1时，＜m＜时，f（x）≤f，∴f（x）﹣≤f（）﹣|m﹣|=﹣2m+．令=t，则t∈，m=．g（t）=﹣2m+=t3﹣+．∵g′（x）=﹣t=t（t﹣3）＜0，∴g（t）在t∈上单调递减，∴g（t）＜g（）=﹣＜0，综上所述：当m＞，0≤x≤1时，﹣m＜f（x）＜m﹣．选修4—4：极坐标与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程（θ是参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1上的点P到直线C2的距离为d，求d的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程（θ是参数），转换为直角坐标方程为：，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=．转换为直角坐标方程为：x+y﹣1=0．（2）设曲线C1上的点P（），则：点P到直线x+y﹣1=0的距离d==．故：d的最大值为．选修4—5：不等式选讲23．已知f（x）=|2x+2|+|3x﹣3|，g（x）=|x+2m|+|x﹣m|．（Ⅰ）求函数y=的定义域．（Ⅱ）若∀x∈R，∃x0∈R，使得f（x）=g（x0），试求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）要使函数有意义，必须f（x）﹣8≥0，当x≤﹣1时，﹣（2x+2）﹣（3x﹣3）﹣8≥0，解得x；当﹣1＜x≤1时，（2x+2）﹣（3x﹣3）﹣8≥0，解得x∈∅；当x＞1时，（2x+2）+（3x﹣3）﹣8≥0，解得x．综上所述，函数的定义域是（﹣）∪（，+∞）．（Ⅱ）∵f（x）=∴f（x）≥f（1）=4又∵g （x ）=|x +2m |+|x ﹣m |≥|（x +2m ）﹣（x ﹣m ）|=3|m | ∴若∀x ∈R ，∃x 0∈R ，使得f （x ）=g （x 0），都有3|m |≤4， ∴m 的取值范围为[﹣，]．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x>>==<<<log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x<>==><<a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．。

广东省清远市2017届高三上学期期末数学试卷理科含解析精品

2016-2017学年广东省清远市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入答题卡中.）1．已知集合A={x|（x﹣2）（x+1）≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2） B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}2．复数z满足z（1﹣i）=|1+i|，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466﹣485年间．其中记载着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（）A．B．C．D．4．从{2，3，4，5，6}中随机选取一个数为a，从{1，2，3，5}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图所示，图中小方格的长度为1，则该几何体的体积为（）A．B．4 C．2 D．6．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．ad＞bc B．ad＜bc C．ac＞bd D．ac＜bd7．已知f（x）=﹣x+sinx，命题p：∀x∈（0，π），f（x）＜0，则（）A．p是真命题，￢p：∃x∈（0，π），f（x）≥0 B．p是假命题，￢p：∀x ∈（0，π），f（x）≥0C．p是假命题，￢p：∃x∈（0，π），f（x）≥0 D．p是真命题，￢p：∀x ∈（0，π），f（x）≥08．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，则下列四个函数：f1（x）=2log2（x+2），f2（x）=log2（x+2），f3（x）=log2（x+2）2，f4（x）=log22x，为“同形”函数的是（）A．f1（x）与f3（x）B．f2（x）与f4（x）C．f1（x）与f2（x）D．f3（x）与f4（x）9．已知函数f（x）=|log2（x﹣1）|﹣（）x有两个零点x1，x2，且x1＜x2，则（）A．x1，x2∈（0，2）B．x1，x2∈（1，2）C．x1，x2∈（2，+∞）D．x1∈（1，2），x2∈（2，+∞）10．若将两个顶点在抛物线y2=4x上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n，则（）A．n=0 B．n=1 C．n=2 D．n≥311．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM=BN≠，有以下四个结论：①AA1⊥MN；②AB∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1一定是异面直线．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．①③④12．对于数列{a n}，记S n=a1+a2+a3+…+a n，Πn=a1a2a3…a n．在正项等比数列{a n}中，a5=，a6+a7=，则满足S n＞Πn的最大正整数n的值为（）A．12 B．13 C．14 D．15二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）13．如图，在平行四边形ABCD中，，则=．14．若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a=．15．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为225，135，则输出的a=．16．已知实数x，y满足条件，若不等式m（x2+y2）≤（x+y）2恒成立，则实数m的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分，答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤．其中第17-21题为必做题，每题12分，第22-23题为选做题，每题10分，考生只需做其中一道，若多做，只按所做的第一道题得分）17．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且BD=2，sinB=．（1）求sin∠BAD的值；（2）求cos∠ADC及△ABC外接圆的面积．18．智能手机功能强大，许多人喜欢用手机看电视、看电影．某同学在暑假期间开展社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取1000人调查是否喜欢用手机看电视、看电影，对喜欢用手机看电视、看电影的称为“手机族”，得到如下各年龄段“手机族”人数频率分布直方图：（1）请补全频率分布直方图；（2）从[40，50）岁年龄段的“手机族”中采用分层抽样法抽取10人参加户外低碳体验活动，并从中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．19．如图，ABEDEFC为多面体，平面ABED⊥平面ACED，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．（1）证明：平面OCB∥平面EFD；（2）求直线OD与平面OEF所成角的余弦值．20．已知M（﹣b，0），N（b，0）（b＞0），P是曲线C上的动点，直线PM的斜率与直线PN的斜率的积为﹣．（1）求曲线C的方程；（2）直线l：y=x﹣b与曲线C相交于A、B，设O为坐标系原点，=λ+μ，证明：λ2+μ2是定值．21．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当t＜0时，对x＞0且x≠1，均有f（x）﹣＞成立．求实数t的最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号．[选修4-4：极坐标与参数方程]（共1小题，满分10分）22．在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=7．（1）求直线l的直角坐标方程；（2）A，B分别是圆C和直线l上的动点，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|ax﹣1|（a∈R），不等式f（x）≤2的解集是{x|﹣≤x≤}．（1）求a的值；（2）解不等式f（x）+f（﹣1）≥5．2016-2017学年广东省清远市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入答题卡中.）1．已知集合A={x|（x﹣2）（x+1）≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2） B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|（x﹣2）（x+1）≤0，x∈R}={x|﹣1≤x≤2}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，∴A∩B={0，1，2}．故选：D．2．复数z满足z（1﹣i）=|1+i|，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：z（1﹣i）=|1+i|，∴z（1﹣i）（1+i）=（1+i），∴z=+i，则复数z的共轭复数+i在复平面内的对应点位于第四象限．故选：D．3．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466﹣485年间．其中记载着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（）A．B．C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列的前n项和公式能求出结果【解答】解：设该妇子织布每天增加d尺，由题意知S30=30×5+d=390，解得d=．故该女子织布每天增加尺．故选：A．4．从{2，3，4，5，6}中随机选取一个数为a，从{1，2，3，5}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×4种结果，而满足条件的事件是a=2，b=3；a=2，b=5；a=3，b=5；a=4，b=5共有4种结果，即可求出概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×4种结果，而满足条件的事件是a=2，b=3；a=2，b=5；a=3，b=5；a=4，b=5共有4种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选D．5．某几何体的三视图如图所示，图中小方格的长度为1，则该几何体的体积为（）A．B．4 C．2 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是四棱锥为棱长为2的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质判断出线面的位置关系，由椎体的体积公式求出该几何体的体积．【解答】解：根据三视图知几何体是：四棱锥P﹣ABCD为棱长为2的正方体一部分，直观图如图所示：且D是棱的中点，由正方体的性质可得，PA⊥平面ABCD，∴该几何体的体积V==2，故选：C．6．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．ad＞bc B．ad＜bc C．ac＞bd D．ac＜bd【考点】不等式的基本性质．【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0．又a＞b＞0，则一定有﹣ac＞﹣bd，可得ac＜bd．故选：D．7．已知f（x）=﹣x+sinx，命题p：∀x∈（0，π），f（x）＜0，则（）A．p是真命题，￢p：∃x∈（0，π），f（x）≥0 B．p是假命题，￢p：∀x ∈（0，π），f（x）≥0C．p是假命题，￢p：∃x∈（0，π），f（x）≥0 D．p是真命题，￢p：∀x ∈（0，π），f（x）≥0【考点】命题的否定．【分析】命题为全称命题，根据全称命题的否定是特称命题得结论．【解答】解：∵f（x）=﹣x+sinx，∴f′（x）=﹣1+cosx＜0在（0，π）恒成立，∴f（x）在（0，π）上单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，∴p是真命题．因为命题命题p：∀x∈（0，π），f（x）＜0为全称命题，所以根据全称命题的否定是特称命题得：￢p：∃x∈（0，π），f（x）≥0故选：A8．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，则下列四个函数：f1（x）=2log2（x+2），f2（x）=log2（x+2），f3（x）=log2（x+2）2，f4（x）=log22x，为“同形”函数的是（）A．f1（x）与f3（x）B．f2（x）与f4（x）C．f1（x）与f2（x）D．f3（x）与f4（x）【考点】函数的图象与图象变化．【分析】由对数的运算法则可得f4（x）=log2（2x）=log2x+1，由函数图象变化的规律分析可得f2（x）与f4（x）符合同形”函数的定义，即可得答案．【解答】解：根据题意，f4（x）=log2（2x）=log2x+1，；则将函数f2（x）=log2（x+2）的图象，先向右平移2个单位得f（x）=log2x的图象，再向上平移1个单位得到函数f（x）=log2x+1=log2（2x）的图象．故f2（x）与f4（x）符合同形”函数的定义；故选：B．9．已知函数f（x）=|log2（x﹣1）|﹣（）x有两个零点x1，x2，且x1＜x2，则（）A．x1，x2∈（0，2）B．x1，x2∈（1，2）C．x1，x2∈（2，+∞）D．x1∈（1，2），x2∈（2，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】求出函数的定义域，利用零点判定定理，转化求解即可．【解答】解：函数f（x）=|log2（x﹣1）|﹣（）x的定义域为：x＞1，当x=2时，f（2）=|log2（2﹣1）|﹣（）2=﹣＜0，x＞2时，函数f（x）=log2（x﹣1）﹣（）x是增函数，f（3）=1﹣＞0，函数的一个零点在（2，+∞），f（）=1﹣＞0，所以另一个零点在（1，2）之间．故选：D．10．若将两个顶点在抛物线y2=4x上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n，则（）A．n=0 B．n=1 C．n=2 D．n≥3【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直线，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．进而可知这样的三角形有2个．【解答】解：y2=4x（P＞0）的焦点F（1，0）等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=4x的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x轴轴对称两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x﹣1），每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．故n=2，故选C．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM=BN≠，有以下四个结论：①AA1⊥MN；②AB∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1一定是异面直线．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．①③④【考点】棱柱的结构特征．【分析】过M作MO∥AB，交BB1于O，连接ON，推导出BB1⊥OM，BB1⊥ON，从而BB1⊥平面OMN，进而BB1⊥MN，由此得到AA1⊥MN；当M、N分别是AB1，BC1的中点时，MN与AB异面；当M不是AB1的中点时，MN与A1C1可能共面；由OM∥平面A1B1C1D1，ON∥平面A1B1C1D1，知平面A1B1C1D1∥平面OMN，从而MN∥平面A1B1C1D1．【解答】解：过M作MO∥AB，交BB1于O，连接ON，∵AM=BN，∴==，∴ON∥B1C1，∴BB1⊥OM，BB1⊥ON，OM∩ON=O，∴BB1⊥平面OMN，MN⊂平面OMN，∴BB1⊥MN，AA1∥BB1，∴AA1⊥MN，故①正确；当M、N分别是AB1，BC1的中点时，取A1B1，B1C1的中点E，F，连接ME、NF，∵ME∥AA1，NF∥AA1，且ME=NF=AA1，∴四边形MNEF为平行四边形，∴MN∥EF，又EF∥A1C1，∴MN∥A1C1，此时MN与AB异面，故②错误；当M不是AB1的中点时，MN与A1C1可能共面，故④错误；OM∥平面A1B1C1D1；ON∥平面A1B1C1D1，∴平面A1B1C1D1∥平面OMN，MN⊂平面OMN，∴MN∥平面A1B1C1D1，故③正确．故选：A．12．对于数列{a n}，记S n=a1+a2+a3+…+a n，Πn=a1a2a3…a n．在正项等比数列{a n}中，a5=，a6+a7=，则满足S n＞Πn的最大正整数n的值为（）A．12 B．13 C．14 D．15【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中，首项为a1，公比为q，又由a5=，a6+a7=，则有a1q4=，a1q5+a1q6=，解可得a1==2n﹣7，q=2，则S n=a1+a2+a3+…+a n==，Πn=a1a2a3…a n．=2﹣6•2﹣5•2﹣4•…•2n﹣7=，若S n＞Πn，即＞，化简可得：2n﹣1＞，只需满足n＞+6，解可得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大值为13；故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）13．如图，在平行四边形ABCD中，，则=3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】选一对不共线的向量做基底，在平行四边形中一般选择以最左下角定点为起点的一对边做基底，把基底的坐标求出来，代入数量积的坐标公式进行运算，得到结果．【解答】解：令，，则∴．故答案为：314．若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a=1．【考点】圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用．【分析】画出草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可．【解答】解：由已知x2+y2+2ay﹣6=0的半径为，圆心（0，﹣a），公共弦所在的直线方程为，ay=1．大圆的弦心距为：|a+|由图可知，解之得a=1．故答案为：1．15．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为225，135，则输出的a=45．【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=225，b=135，满足a＞b，则a变为225﹣135=90，由a＜b，则，b=135﹣90=45，由b＜a，则，a=90﹣45=45，由a=b=45，则输出的a=45．故答案为：45．16．已知实数x，y满足条件，若不等式m（x2+y2）≤（x+y）2恒成立，则实数m的最大值是．【考点】简单线性规划．【分析】利用分式不等式的性质将不等式进行分类，结合线性规划以及恒成立问题．利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题意知：可行域如图，又∵m（x2+y2）≤（x+y）2在可行域内恒成立．且m≤=1+=1+=1+，故只求z=的最大值即可．设k=，则有图象知A（2，3），则OA的斜率k=，BC的斜率k=1，由图象可知即1≤k≤，∵z=k+在1≤k≤，上为增函数，∴当k=时，z取得最大值z=+=，此时1+=1+=1+=，故m≤，故m的最大值为，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分，答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤．其中第17-21题为必做题，每题12分，第22-23题为选做题，每题10分，考生只需做其中一道，若多做，只按所做的第一道题得分）17．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且BD=2，sinB=．（1）求sin∠BAD的值；（2）求cos∠ADC及△ABC外接圆的面积．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（1）由正弦定理即可解得sin∠BAD的值；（2）先求得cosB，cos∠BAD，利用两角和的余弦函数公式可求cos∠ADC，由题意可求DC=BD=2，利用余弦定理即可求得AC的值，再根据正弦定理求出外接圆的半径，面积即可求出．【解答】解：（1）在△ABD中，BD=2，sinB=，AD=3，∴由正弦定理=，得sin∠BAD═==；（2）∵sinB=，∴cosB=，∵sin∠BAD=，∴cos∠BAD=，∴cos∠ADC=cos（∠B+∠BAD）=×﹣×=﹣，…．∵D为BC中点，∴DC=BD=2，∴在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+DC2﹣2AD•DCcos∠ADC=9+4+3=16，∴AC=4．设△ABC外接圆的半径为R，∴2R==，∴R=，∴△ABC外接圆的面积S=π•（）2=18．智能手机功能强大，许多人喜欢用手机看电视、看电影．某同学在暑假期间开展社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取1000人调查是否喜欢用手机看电视、看电影，对喜欢用手机看电视、看电影的称为“手机族”，得到如下各年龄段“手机族”人数频率分布直方图：（1）请补全频率分布直方图；（2）从[40，50）岁年龄段的“手机族”中采用分层抽样法抽取10人参加户外低碳体验活动，并从中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）如图所示，第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，即可得出高．（2）第四组的人数为0.03×5×1000=150，第五组的人数为0.02×5×1000=100．因为[40，45）岁年龄段的”低碳族“与[45，50）岁年龄段的”低碳族”的比值为150：100=3：2，所以采用分层抽样法抽取10人，[40，45）岁中有6人，[45，50）岁中有4人．由题意可得：X=0，1，2，3．P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（1）如图所示，第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高为=0.06．频率直方图如下：（2）第四组的人数为0.03×5×1000=150，第五组的人数为0.02×5×1000=100．因为[40，45）岁年龄段的”低碳族“与[45，50）岁年龄段的”低碳族”的比值为150：100=3：2，所以采用分层抽样法抽取10人，[40，45）岁中有6人，[45，50）岁中有4人．由题意可得：X=0，1，2，3．∴P（X=k）=，可得P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴EX=0++3×=．19．如图，ABEDEFC为多面体，平面ABED⊥平面ACED，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．（1）证明：平面OCB∥平面EFD；（2）求直线OD与平面OEF所成角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面平行的判定．【分析】（1）证明：OB∥平面EFD，OC∥平面EFD，即可证明平面OCB∥平面EFD；（2）求出D到平面OEF的距离，即可求直线OD与平面OEF所成角的余弦值．【解答】（1）证明：∵△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形，∴OB∥DE，OC∥DF，∵OB⊄平面EFD，DE⊂平面EFD，OC⊄平面EFD，DF⊂平面EFD，∴OB∥平面EFD，OC∥平面EFD，∵OB∩OC=O，∴平面OCB∥平面EFD；（2）解：取OD中点G，连接EG，FG，则FG⊥AD，EG=FG=∵平面ABED⊥平面ACED，平面ABED∩平面ACED=AD，∴FG⊥平面ABED，∴FG⊥EG，==，∴EF=，∴S△OEF设D到平面OEF的距离为h，则，∴h=，∴直线OD与平面OEF所成角的正弦值==，∴直线OD与平面OEF所成角的余弦值==．20．已知M（﹣b，0），N（b，0）（b＞0），P是曲线C上的动点，直线PM的斜率与直线PN的斜率的积为﹣．（1）求曲线C的方程；（2）直线l：y=x﹣b与曲线C相交于A、B，设O为坐标系原点，=λ+μ，证明：λ2+μ2是定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设p（x，y），∵直线PM的斜率与直线PN的斜率的积为﹣得，得x2+3y2=3b2，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），联立得4，=3b2﹣9b2+6b2=0，由=λ+μ，得x=λx1+μx2，y=λy1+μy2，代入x2+3y2=3b2得，2λμ（=3b2，得λ2+μ2=1（定值）【解答】解：（1）设p（x，y），∵直线PM的斜率与直线PN的斜率的积为﹣∴，得x2+3y2=3b2，∴曲线C的方程为：x2+3y2=3b2（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），∴x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，联立得4，∴=3b2﹣9b2+6b2=0由=λ+μ，得x=λx1+μx2，y=λy1+μy2，代入x2+3y2=3b2得，2λμ（=3b2，λ2+μ2=1（定值）21．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当t＜0时，对x＞0且x≠1，均有f（x）﹣＞成立．求实数t的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的几何意义求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）分类讨论，利用函数的单调性，即可求实数t的最大值．【解答】解：（1）由题意x∈（0，+∞）且f′（x）=，∴f′（1）==，又f（1）==0，∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=（x﹣1），即x﹣2y﹣1=0．（2）由题意知﹣﹣＞0，设g（x）=﹣﹣，则g′（x）= [2lnx+]，设h（x）=2lnx+，则h′（x）=+t（1+）=，当t≥0时，∵x＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）=0，∴x∈（0，1）时，h（x）＜0，又＞0，∴g（x）＜0不符合题意．当t＜0时，设ϕ（x）=tx2+2x+t，①若△=4﹣4t2≤0即t≤1时，ϕ（x）≤0恒成立，即h'（x）≤0在（0，+∞）恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，又h（1）=0，∴x∈（0，1）时，h（x）＞0，＞0，g（x）＞0，x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，＜0，g（x）＞0，符合题意．②若△=4﹣4t2＞0即﹣1＜t＜0时，ϕ（x）的对称轴x=﹣＞1，∴ϕ（x）在（1，﹣）上单调递增，∴x∈（1，﹣）时，ϕ（x）＞ϕ（1）=2+2t＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在（1，﹣）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=0，而＜0，∴g（x）＜0，不符合题意．综上所述t≤﹣1，∴t的最大值为﹣1．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号．[选修4-4：极坐标与参数方程]（共1小题，满分10分）22．在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=7．（1）求直线l的直角坐标方程；（2）A，B分别是圆C和直线l上的动点，求|AB|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用和与差公式打开，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y可得直线l的直角坐标方程；（2）根据圆C的参数方程，求出圆心和半径，|AB|的最小值为圆心到直线的距离d﹣r可得答案．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=7．那么：，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y可得：﹣y+x=7．即直线l的直角坐标方程为x﹣y=7．（2）圆C的参数方程为（θ为参数），其圆心为（﹣1，2），半径r=4．那么：圆心到直线的距离d=．∴AB|的最小值为圆心到直线的距离d﹣r，即．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|ax﹣1|（a∈R），不等式f（x）≤2的解集是{x|﹣≤x≤}．（1）求a的值；（2）解不等式f（x）+f（﹣1）≥5．【考点】分段函数的应用；其他不等式的解法．【分析】（1）由题意可得|ax﹣1|≤2，即有﹣1≤ax≤3，由已知不等式的解集可得a=2；（2）原不等式即为|2x﹣1|+|x﹣3|≥5，讨论当x≥3时，当x≤时，当＜x ＜3时，去掉绝对值，解不等式求并集即可得到所求解集．【解答】解：（1）不等式f（x）≤2的解集是{x|﹣≤x≤}，即为|ax﹣1|≤2，即有﹣1≤ax≤3，则a＞0，且a=2；（2）f（x）+f（﹣1）≥5，即为|2x﹣1|+|x﹣3|≥5，当x≥3时，2x﹣1+x﹣3≥5，即为3x≥9，可得x≥3；当x≤时，1﹣2x+3﹣x≥5，即为﹣3x≥1，可得x≤﹣；当＜x＜3时，2x﹣1+3﹣x≥5，即为x≥3，可得x∈∅．综上可得，x≥3或x≤﹣．即解集为{x|x≥3或x≤﹣}．2017年3月22日。

清远市第三中学2017届高三上学期第十次周考(理数)

清远市第三中学2017届高三上学期第十次周考数学（理科）(本卷满分150分，时间120分钟)一、选择题（60分，每题5分）1、已知集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛x|x(x-3)<0｝，则A∩B= （） A ．｛0，1，2，3｝ B ．｛0，1，2｝ C ．｛1，2｝ D ．｛1，2，3｝2.已知i 是虚数单位，复数()22i +的共轭复数为（）A ．34i -B ．34i +C ．54i -D ．54i +3.已知向量()2 m =a ，，()1 2=-b ，，若()222m ⋅-=+a a b b ，则实数m 等于（） A ．12 B ．52 CD ．544.若47972cos cos sin sin cos cos 51551523x x πππππ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，则sin 2x 等于（）A ．13B ．13- C.112 D ．112-5.执行如图所示的程序框图，若94a =，则输出S 的值为（）A ．10B ．12 C.14 D ．166.若实数 x y ，满足条件1022010x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则543z x y =-+的最大值为（）A ．158-B ．54- C.12- D ．1- 7.“()22143m x dx ≤-⎰”是“函数()122x x mf x +=+的值不小于4”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件8.甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为P 、23、35，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为23，则P 等于（） A ．23 B ．34 C.45 D ．569.已知函数()()12cos cos 3f x x x ϕ=++是偶函数，其中0 2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则下列关于函数()()cos 2g x x ϕ=-的正确描述是（）A ．()g x 在区间 123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值为1-B ．()g x 的图象可由函数()f x 的图象先向上平移2个单位，再向右平移3π个单位得到C.()g x 的图象可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到D ．()g x 的图象可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到10.已知函数() 2 011 1x f x x -<<⎧=⎨≥⎩，，，则不等式()2134log log 41log 15x x f x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭的解集为（）A ．1 13⎛⎫⎪⎝⎭， B ．[]1 4， C.1( 4]3， D ．[1 )+∞，11.设双曲线()2222:10 0x y C a b a b -=>>，的左焦点为() 0F c -，，点M 、N 在双曲线C 上，O 是坐标原点，若四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN ，则双曲线C 的离心率为（）A B ．2 C. D ．12.已知函数()()26 3 x e exf x x xg x ex+=---=，，实数m ，n 满足0m n <<，若[]1 x m n ∀∈，，()20 x ∃∈+∞，，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为（）A ．4B ． C. D ．二、填空题（20分，每题5分）13、已知向量a=（2，3）,b =(4，-3)，则a b=__________14、若将函数y=sin2x 的图象向右平移个单位长度,则平移后图象的函数解析式为__________ 15、已知等比数列{}的各项均为正数，且=2，=8，则=__________16、已知向量a=（2，4）,b =(x ，3)，且(a +b )⊥a ，则x=__________三、解答题（70分） 17.（本小题满分12分）在ABC △中，角 A B C ，，所对的边分别为 a b c ，，，且满足cos cos a B b A =. （Ⅰ）判断ABC △的形状；（Ⅱ）求2sin 22cos 6A B π⎛⎫+- ⎪⎝⎭的取值范围.18.（本小题满分12分）为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.（1）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？附：()()()()()()2 n ad bc K n a b c d a c b d a b c d -==+++++++，临界值表：（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X ，求X 的分布列及数学期望. 19.（本小题满分12分）某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立.（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？20.（本小题满分12分）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将 AED DCF △，△分别沿DE ，DF 折起，使 A C ，两点重合于P .（Ⅰ）求证：平面PBD BFDE ⊥平面；（Ⅱ）求二面角P DE F --的余弦值. 21.（本小题满分12分）已知右焦点为() 0F c ，的椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>过点31 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且椭圆M 关于直线x c =对称的图形过坐标原点.（1）求椭圆M 的方程；（2）过点()4 0，且不垂直于y 轴的直线与椭圆M 交于P ，Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为E ，证明：直线PE 与x 轴的交点为F . 22.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x =+. （1）解不等式()2f x x <；（2）若()28f x x a +->对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、1-12：CADAB CA BCC DA 二、13、-1 14、15、63 16、-16 三、17.本题主要考查和差角公式、二倍角公式、正弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化数学思想。

广东省清远市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年广东省清远市高三（上）期末数学试卷（理科）一.选择题（12小题，共60分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}则使M∩N=N成立的a的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．1或﹣12．若复数z满足iz=1+i，则z的虚部为（）A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i3．下列函数是偶函数的是（）A．B．y=x3C．D．y=x2+14．如图所示程序框图，输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知数列{a n}的前n项和为，则a3+a17=（）A．36 B．35 C．34 D．336．一个几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形、侧视图为等边三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积等于（）A．B．2C．3D．47．已知双曲线C：x2+2my2=1的两条渐近线互相垂直，则抛物线E：y=mx2的焦点坐标是（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（0，）D．（0，﹣）8．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币数字一面向上”为事件A，“骰子向上的点数是偶数”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）A．B．C．D．9．已知实数变量x，y满足，且目标函数z=3x+y的最大值为8，则实数m的值为（）A．B．C．2 D．110．下列正确的个数是（）A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆是真；B．p：x≠2或y≠3，q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；C．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”；D．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．A．1 B．2 C．3 D．411．已知数列{a n}满足：，，若{C n}是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（）A．λB．λC．λD．λ12．定义：设A，B是非空的数集，a∈A，b∈B，若a是b的函数且b也是a的函数，则称a与b是“和谐关系”．如等式b=a2，a∈[0，+∞）中a与b是“和谐关系”，则下列等中a 与b是“和谐关系”的是（）A．B．C．（a﹣2）2+b2=1，a∈[1，2]D．|a|+|b|=1，a∈[﹣1，1]二.填空题13．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，则=______14．已知（1﹣x）（1+ax）3的展开式中x2的系数为6，则a=______．15．某人10万元买了1辆车，每年使用的保险费．养路费和油费共1万元，年维修费第一年0.2万元，以后每年递增0.1万元，则这种汽车使用______年时，它的年平均费用最少．16．已知正实数a，b满足=3，则（a+1）（b+2）的最小值是______．三.解答题17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣（x∈R），设△ABC的内角A，B，C对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0．（1）求C的值．（2）若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求△ABC的面积．18．已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE 折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A﹣BCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q．（1）求证：M、N、P、Q四点共面；（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；（3）求异面直线BE与MQ所成的角．19．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，（1）根据上面的数据判断，y=ax+b与y=+d哪一个适宜作为产品销量y关于单价x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（计算结果保留两位小数）参考公式其中==．20．如图，点A，B分别在射线l1：y=2x（x≥0），l2：y=﹣2x（x≥0）上运动，且S=4．△AOB （1）求x1•x2；（2）求线段AB的中点M的轨迹方程；（3）判定中点M到两射线的距离积是否是为定值，若是则找出该值并证明；若不是定值说明理由．21．设f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（， +ln2）处的切线方程；（2）若x=1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围；（3）当a＜1时，在[，e]上是否存在一点x0，使f（x0）＞e﹣1成立？说明理由．22．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：FB=FC；（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，α≠，k∈z），M是C1上的动点，P点满足=，点P的轨迹为C2．（1）求曲线C1、C2的普通方程．（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐际方程是ρsin（θ﹣）+=0，直线l与曲线C2相交于A、B，求△ABO的面积．24．设f（x）=|x|+|1+|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）已知正数a，b，c，当x＞0时，f（x）≥++恒成立，求证：a+b+c≥3．2015-2016学年广东省清远市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（12小题，共60分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}则使M∩N=N成立的a的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．1或﹣1【考点】交集及其运算．【分析】由M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，M∩N=N，知，由此能求出a的值．【解答】解：∵M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，M∩N=N，∴，解得a=﹣1．故选C．2．若复数z满足iz=1+i，则z的虚部为（）A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i【考点】复数的基本概念．【分析】首先由iz=1+i，求出z，根据复数的定义求出虚部．【解答】解：因为iz=1+i，所以z=﹣i+1；所以z的虚部为﹣1；故选C．3．下列函数是偶函数的是（）A．B．y=x3C．D．y=x2+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：A.的定义域为{x|x≠0}，则f（﹣x）=﹣﹣x=﹣（+x）=﹣f（x），则函数为奇函数，B．f（﹣x）=﹣x3=﹣f（x），则函数为奇函数．、C．函数的定义域为[0，+∞），函数为非奇非偶函数．D．f（﹣x）=（﹣x）2+1=x2+1=f（x），则函数为偶函数，故选：D．4．如图所示程序框图，输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后：S=1，i=2，a=3，不满足退出循环的条件；第一次执行循环体后：S=3，i=3，a=12，满足退出循环的条件；故输出的i的值为3，故选：B5．已知数列{a n}的前n项和为，则a3+a17=（）A．36 B．35 C．34 D．33【考点】数列递推式．【分析】前n项和为，当n≥2时，a n=S n﹣S n，代入即可得出．﹣1【解答】解：∵前n项和为，=n2﹣2n﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]=2n﹣3．∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1则a3+a17=（2×3﹣3）+（2×17﹣3）=34．故选：C．6．一个几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形、侧视图为等边三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积等于（）A．B．2C．3D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，棱锥的高为侧视图三角形的高，底面为直角梯形．【解答】解：由三视图可知，几何体为四棱锥，棱锥的高为侧视图中等边三角形的高，棱锥的底面为直角梯形，梯形面积为（1+2）×2=3．∴V==．故选A．7．已知双曲线C：x2+2my2=1的两条渐近线互相垂直，则抛物线E：y=mx2的焦点坐标是（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（0，）D．（0，﹣）【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由两直线垂直的条件，可得m=﹣，再由抛物线方程，注意化为标准方程，可得焦点坐标．【解答】解：双曲线C：x2+2my2=1（m＜0），可得渐近线方程为y=±x，由渐近线垂直可得=1，解得m=﹣，即有抛物线E：y=mx2的方程为x2=﹣2y，可得焦点为（0，﹣）．故选：D．8．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币数字一面向上”为事件A，“骰子向上的点数是偶数”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）A．B．C．D．【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】由已知可得P（A）=，P（B）=，则事件A，B中至少有一件发生的概率P=P（A∩B）+P（A∩）+P（∩B），解得答案．【解答】解：投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币数字一面向上”为事件A，“骰子向上的点数是偶数”为事件B，则P（A）=，P（B）=，则事件A，B中至少有一件发生的概率P=P（A∩B）+P（A∩）+P（∩B）=，故选：C9．已知实数变量x，y满足，且目标函数z=3x+y的最大值为8，则实数m 的值为（）A．B．C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由选项知m＞0，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大为8，即3x+y=8由，解得，即A（2，2），同时A也在2mx﹣y﹣2=0上，∴4m﹣2﹣2=0，得m=1，故选：D．10．下列正确的个数是（）A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆是真；B．p：x≠2或y≠3，q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；C．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”；D．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】的真假判断与应用．【分析】A项根据正弦定理以及四种之间的关系即可判断；B项根据必要不充分条件的概念即可判断该是否正确；C项根据全称和存在性的否定的判断；D项写出一个的否的关键是正确找出原的条件和结论．【解答】解：对于A项“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆为“在△ABC中，若A ＞B，则sinA＞sinB”，若A＞B，则a＞b，根据正弦定理可知sinA＞sinB，∴逆是真，∴A正确；对于B项，由x≠2，或y≠3，得不到x+y≠5，比如x=1，y=4，x+y=5，∴p不是q的充分条件；若x+y≠5，则一定有x≠2且y≠3，即能得到x≠2，或y≠3，∴p是q的必要条件；∴p是q的必要不充分条件，所以B正确；对于C项，“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0”；所以C不对．对于D项，“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．所以D正确．故选：C．11．已知数列{a n}满足：，，若{C n}是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（）A．λB．λC．λD．λ【考点】数列的函数特性．【分析】数列{a n}满足：，两边取倒数可得：=+1，变形为： +1=2，利用等比数列的通项公式可得，代入=2n．由于{C n}是单调递减数列，可得c n＜c n，化+1简整理，利用函数的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足：，∴=+1，变形为： +1=2，∴数列是等比数列，首项为2，公比为2．∴+1=2n，∴=2n，∵{C n}是单调递减数列，∴c n＜c n，+1∴2n+1＜2n，化为：λ＞=，令f（x）=x++3，（x∈[1，+∞））．f′（x）=1﹣=，可知当x≥时，单调递增；而f（1）=6，f（2）=6，∴f（x）的最小值为6，因此的最大值为，∴．故选：B．12．定义：设A，B是非空的数集，a∈A，b∈B，若a是b的函数且b也是a的函数，则称a与b是“和谐关系”．如等式b=a2，a∈[0，+∞）中a与b是“和谐关系”，则下列等中a 与b是“和谐关系”的是（）A．B．C．（a﹣2）2+b2=1，a∈[1，2]D．|a|+|b|=1，a∈[﹣1，1]【考点】元素与集合关系的判断．【分析】只要判断所给出的函数单调即可．【解答】解：A．∵，则a＞sina，∴b′==＞0，因此函数b在上单调递增，正确；B．∵a∈，b′=3a2+5a+2=（3a+2）（a+1），∴a∈（﹣2，﹣1）时单调递增；a ∈（﹣1，﹣）时单调递减，因此不符合题意；C．∵（a﹣2）2+b2=1，a∈[1，2]，∴b=±，b不是a的函数，舍去；D．∵|a|+|b|=1，a∈[﹣1，1]，∴b=±（1﹣|a|），b不是a的函数，舍去．故选：A．二.填空题13．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，则=（2，﹣2）【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】根据图形，求出向量、的坐标表示，再求出的坐标表示．【解答】解：根据题意，向量=（4﹣1，3﹣2）=（3，1），=（3﹣4，0﹣3）=（﹣1，﹣3），∴=（3﹣1，1﹣3）=（2，﹣2）．故答案为（2，﹣2）．14．已知（1﹣x）（1+ax）3的展开式中x2的系数为6，则a=2或﹣1．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据题意，列出方程•a2﹣•a=6，求出a的值即可．【解答】解：（1﹣x）（1+ax）3的展开式中x2的系数为•a2﹣•a=6，即a2﹣a﹣6=0，解得a=2或a=﹣1．故答案为：2或﹣1．15．某人10万元买了1辆车，每年使用的保险费．养路费和油费共1万元，年维修费第一年0.2万元，以后每年递增0.1万元，则这种汽车使用10年时，它的年平均费用最少．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【分析】通过记第n年维修费用为a n，计算可知a n=0.1n+0.1（万元），进而可知前n年维修费用A n=（万元），化简可知年平均费用S=++，进而利用基本不等式计算即得结论．【解答】解：依题意，记第n年维修费用为a n，则a n=0.2+0.1（n﹣1）=0.1n+0.1（万元），则前n年维修费用A n===（万元），故年平均费用S==++，∵+≥2=，当且仅当=即n=10时取等号，∴这种汽车使用10年时，它的年平均费用最少，故答案为：10．16．已知正实数a，b满足=3，则（a+1）（b+2）的最小值是．【考点】基本不等式．【分析】正实数a，b满足=3，可得，b+2a=3ab．展开（a+1）（b+2）=ab+b+2a+2=4ab+2，即可得出．【解答】解：∵正实数a，b满足=3，∴，化为，当且仅当b=2a=时取等号．b+2a=3ab．∴（a+1）（b+2）=ab+b+2a+2=4ab+2．故答案为：．三.解答题17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣（x∈R），设△ABC的内角A，B，C对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0．（1）求C的值．（2）若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求△ABC的面积．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式为：f（x）=sin（2x﹣）﹣1，由f（C）=0得sin（2C﹣）=1，结合范围﹣＜2C﹣＜，即可解得C的值．（2）利用向量共线可得2sinA=sinB，由正弦定理可得b=2a，由余弦定理得a2+b2﹣ab=3，联立解得a，b的值，利用三角形面积公式即可求值得解．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，…f（x）=sin（2x﹣）﹣1，…由f（C）=0得sin（2C﹣）=1，…又∵﹣＜2C﹣＜，…∴2C﹣=，…即C=…（2）∵向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，∴2sinA=sinB，…∴b=2a，①…由余弦定理，得a2+b2﹣ab=3，②…∴由①②得：a=1，b=2…∴△ABC的面积为absinC=．…18．已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE 折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A﹣BCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q．（1）求证：M、N、P、Q四点共面；（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；（3）求异面直线BE与MQ所成的角．【考点】平面与平面垂直的判定；空间图形的公理；异面直线及其所成的角．【分析】（1）要证四点共线，只需找到一个平面，是这四个点在这个平面内，用确定平面的方法，两条平行线确定一个平面，即可证出；（2）要证明两个平面垂直，只需证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可，也就是只需证线面垂直即可，而要证线面垂直，只需证明这条直线垂直平面内的两条相交直线，这样，一步步寻找成立的条件．（3）求异面直线所成角，先平移两条异面直线中的一条，使它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所成角或其补角，再放入三角形中计算即可．【解答】（1）证明：由条件有PQ为△ADE的中位线，MN为梯形BCDE的中位线，∴PQ∥DE，MN∥DE，∴PQ∥MN∴M、N、P、Q四点共面．…（2）证明：由等腰直角三角形ABC有AD⊥DE，CD⊥DE，DE∥BC又AD∩CD=D，∴DE⊥面ACD，又DE∥BC∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD…（3）解：由条件知AD=1，DC=1，BC=2，延长ED到R，使DR=ED，连结RC …则ER=BC，ER∥BC，故BCRE为平行四边形…∴RC∥EB，又AC∥QM∴∠ACR为异面直线BE与QM所成的角θ（或θ的补角）…∵DA=DC=DR，且三线两两互相垂直，∴由勾股定理得AC=AR=RC=，…∵△ACR为正三角形，∴∠ACR=60°，∴异面直线BE与QM所成的角大小为60°．…19．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，（1）根据上面的数据判断，y=ax+b与y=+d哪一个适宜作为产品销量y关于单价x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（计算结果保留两位小数）参考公式其中==．【考点】线性回归方程．【分析】（1）观察表格数据可知y与x成反比关系，故选y=；（2）令t=，将回归方程转化为线性回归方程解出．【解答】解：（1）y=更适宜作为产品销量y关于单价x的回归方程．（2）令t=，则y=tc+d，原数据变为：∴=（4+2+1+0.5+0.25）=1.55，=（16+12+5+2+1）=7.2．=64+24+5+1+0.25=94.25，=16+4+1+0.25+0.0625=21.3125．∴c=≈4.13．d=﹣c≈0.8．∴y=0.8+4.13 t．∴y与x的回归方程是y=0.8+20．如图，点A，B分别在射线l1：y=2x（x≥0），l2：y=﹣2x（x≥0）上运动，且S=4．△AOB （1）求x1•x2；（2）求线段AB的中点M的轨迹方程；（3）判定中点M到两射线的距离积是否是为定值，若是则找出该值并证明；若不是定值说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），∠AOB=2θ，由y=2x，得tanθ=k=2，=4，能求出x1•x2的值．从而求出sin2θ，由|OA|=，|OB|=，利用S△AOB（2）由M（x，y）是A（x1，y1），B（x2，y2）的中点，得，由此能求出线段AB的中点M的轨迹方程．（3）设中点M到射线OA，OB的距离分别为d1，d2，由此能推导出中点M到两射线的距离积为定值．【解答】解：（1）设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），∠AOB=2θ，由y=2x，得tanθ=k=2，∴sin2θ==，∵|OA|=，|OB|=，=|OA|•|OB|•sin2θ==4，∴S△AOB解得x1•x2=2．（2）∵M（x，y）是A（x1，y1），B（x2，y2）的中点，∴x1+x2=2x，y1+y2=2y，且y1=2x1，y2=﹣2x2，联立，得，并代入x1•x2=2，得4x2﹣y2=8，x＞0．∴线段AB的中点M的轨迹方程为4x2﹣y2=8，x＞0．（3）设中点M到射线OA，OB的距离分别为d1，d2，则，∴d1•d2==．∴中点M到两射线的距离积为定值．…21．设f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（， +ln2）处的切线方程；（2）若x=1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围；（3）当a＜1时，在[，e]上是否存在一点x0，使f（x0）＞e﹣1成立？说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值，得到a的具体范围即可；（3）问题转化为只需证明时，f（x）max＞e﹣1即可，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，，所以曲线y=f（x）在点处的切线的斜率为．所求切线方程为，即x+y﹣ln2﹣1=0．（2），令f′（x）=0得，x1=1，x2=a﹣1，综上所述，当a＞2时，x=1是函数f（x）的极大值点．即所求取值范围是（2，+∞）．（3）假设当a＜1时，在存在一点x0，使f（x0）＞e﹣1成立，则只需证明时，f（x）max＞e﹣1即可．由（2）知，当a＜1时，函数f（x）在上递减，在[1，e]上递增，∴．所以只需证明f（e）＞e﹣1或即可．∵=由a＜1知，∴f（e）﹣（e﹣1）＞0即f（e）＞e﹣1成立所以假设正确，即当a＜1时，在上至少存在一点x0，使f（x0）＞e﹣1成立．22．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：FB=FC；（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由已知得∠EAD=∠DAC，∠DAC=∠FBC，从而∠FBC=∠FCB，由此能证明FB=FC．（2）由已知得∠ACB=90°从而∠ABC=30°，∠DAC=∠EAC=60°，由此能求出AD．【解答】证明：（1）因为AD平分∠EAC，所以∠EAD=∠DAC．…因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC=∠FBC．…因为∠EAD=∠FAB=∠FCB，…所以∠FBC=∠FCB，…，所以FB=FC．…解：（2）因为AB是圆的直径，所以∠ACB=90°，…又∠EAC=120°，所以∠ABC=30°，…∠DAC=∠EAC=60°，…因为BC=6，所以AC=BCtan∠ABC=2，…所以AD==4（cm）．…23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，α≠，k∈z），M是C1上的动点，P点满足=，点P的轨迹为C2．（1）求曲线C1、C2的普通方程．（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐际方程是ρsin（θ﹣）+=0，直线l与曲线C2相交于A、B，求△ABO的面积．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程为（α为参数，α≠，k∈z），消去参数α可得普通方程．设P（x，y），M（x0，y0），利用P点满足=，可得x0=2x，y0=2y，代入曲线C1的方程即为点P的轨迹方程．（2）直线l的极坐际方程是ρsin（θ﹣）+=0，展开化为：（ρsinθ﹣ρcosθ）+=0，利用即可化为直角坐标方程．设A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联=d|AB|即可得出．立解得A，B，利用S△AOB【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数，α≠，k∈z），消去参数α可得普通方程：y2=2x．设P（x，y），M（x0，y0），∵P点满足=，∴x0=2x，y0=2y，代入曲线C1的方程可得：4y2=4x，化为y2=x，即为点P的轨迹方程．（2）直线l的极坐际方程是ρsin（θ﹣）+=0，展开化为：（ρsinθ﹣ρcosθ）+=0，化为直角坐标方程：y﹣x+2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为y2﹣y﹣2=0，解得，，∴|AB|==3．原点到直线l的距离d==．=d|AB|=3．∴S△AOB24．设f（x）=|x|+|1+|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）已知正数a，b，c，当x＞0时，f（x）≥++恒成立，求证：a+b+c≥3．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据基本不等式的性质证明即可．【解答】解：（1）显然，x≠0，∴当x≤﹣1时，得，…即﹣x2+1≥0，即x=﹣1；…当﹣1＜x＜0时，得，即（x+1）2≤0，x无解；…当x＞0时，得，即x2+1≤0，x无解；…综上，不等式f（x）≤1的解集是{x|x=﹣1}…（2）∵x＞0，∴f（x）=|x|+|1+|=x++1≥2+1=3， (6)当且仅当x=1时等号成立…∵当x＞0时，f（x）≥++恒成立，∴…∴，∴a+b+c≥3…2016年9月27日。

广东省清远市第三中学高三上学期第六次周考——数学理

广东省清远市第三中学2017届高三上学期第六次周考数学（理）试题(本卷满分150分，时间120分钟)一、选择题（60分，每题5分）1.设是虚数单位，集合，，则集合与中元素的乘积是（）A. B. C. D.2.是的两个内角，：B A B A cos cos sin sin <；：是钝角三角形.则是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知，，则（）A. B. C. D.4.函数)1ln(3)(+--=x x x f 在定义域内零点的个数为（）A ．B ．C ．D ．5.当向量)0,1(),2,2(=-==b c a 时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. B. C. D.6.若)2ln(21)(2++-=x a x x f 在上是减函数，则的取值范围是（） A. B.C. D.7.在等比数列中，若，，的前项和为，则（）A ．B ．2C ．D ．8.设，，则的值是（）A ．B ．C ． D.9.函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的一个解析式为（）A ．B ．C ．D ．10.已知双曲线：的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于（）A. B. C. D.11.已知函数，且0)14()32(22≤+-++-x x f y y f ，则当时，的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．12．已知函数⎩⎨⎧>-≤⋅=0,ln 0,)(x x x e a x f x ，其中为自然对数的底数，若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（20分，每题5分）13.函数212log (231)y x x =-+的单调增区间为．14.已知函数32()sin 8f x ax b x x -=+++，且，则．15.已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是．16.函数是上的增函数，且(sin )(cos )(sin )(cos )f f f f ωωωω+->-+，其中为锐角，并且使得函数在上单调递减，则的取值范围是．三、解答题（70分）17(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若=k (k ∈R).(1)判断△ABC 的形状;(2)若c=,求k 的值.18(本小题满分12分)已知函数f (x )=A sin(A>0,ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和.(1)求函数f (x )的解析式;(2)求sin 的值.19. (本小题满分12分)已知正项数列的前项和为，且是与的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前项和，证明：.20. (本小题满分12分)已知函数),(22)(R a R x ax e x f x ∈∈--=. （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.21. (本小题满分12分)设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R.（Ⅰ）讨论f (x )的单调性；（Ⅱ）当时，恒成立，求a 的取值范围. (其中，e=2.718…为自然对数的底数).22．(本小题满分10分)选修4—4：极坐标与参数方程已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为()22cos ,2sin ,x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线的方程为．（Ⅰ）求曲线在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线被曲线截得的弦长．参考答案一、1-12 BACCD CBBBC AD二、13. 试题分析：212log ,2310y u u x x ==-+>，所以单调增区间为 14.21试题分析：(2)(2)24(2)21f f f -+=⇒=15.试题分析：是的必要不充分条件，则是的必要不充分条件，：，所以.16.三、17.(本小题满分12分).解:(1)∵=cb cos A ,=ca cos B ,又,∴bc cos A=ac cos B.∴sin B cos A=sin A cos B ,即sin A cos B-sin B cos A=0.∴sin(A-B )=0.∵-π<A-B<π,∴A=B ,即△ABC 为等腰三角形.(2)由(1)知,=bc cos A=bc·=k ,∵c=,∴k=1.18解: .(本小题满分12分) (1)由题意可得A=2,-x 0=,所以T=π.由=π,得ω=2,所以f (x )=2sin .(2)因为点(x 0,2)是函数f (x ) =2sin 在y 轴右侧的第一个最高点,所以2x 0+.所以x 0=.所以sin =sin=sincos +cossin==.19. （1）时， ————————1分时，，又，两式相减得111()(2)0,0,2,{}n n n n n n n n a a a a a a a a ---+--=>∴-=为是以1为首项，2为公差的等差数列，即. ————————6分（2）12211(21)(21)2121n n a a n n n n -==--+-+ 111111(1)()()1335212121n T n n n ∴=-+-++-=--++， ——————10 又111230,n n n T a a T -≥=>∴，综上成立. ————————12分20.（1）当时，''()22,()21,(1)21x x f x e x f x e f e =--=-=-，即曲线在处的切线的斜率为，又，所以所求切线方程为. ————————4分（2）当时，若不等式恒成立易知○1若，则恒成立，在R 上单调递增；又，所以当时，，符合题意. —————6分○2若，由，解得，则当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以时，函数取得最小值. ————————8分则当，即时，则当时，，符合题意.————————10分当，即时，则当时，单调递增，，不符合题意.综上，实数的取值范围是 ————————12分（没有综上扣一分）21.（1）由题意得：2'121()2,0ax f x ax x x x -=-=> 当时，2'210,()0,ax f x -≤≤上单调递减.当时，'()f x =，当时，，当时，故在上单调递减，在上单调递增. ————————5分（2）原不等式等价于在上恒成立，一方面，令12111()()ln x x g x f x e ax x e a x x --=-+=--+- 只需在上恒大于0即可，又，故在处必大于等于0. 令'1'211()()2,(1)0,x F x g x ax e g x x-==-+-≥可得. ————————8分另一方面，当时，3'1112323312122()21x x x x x F x a e e e x x x x x ---+-=+-+≥+-+=+ 又，，，故在时恒大于0，当时，在单调递增()(1)210F x F a ∴>=-≥.故也在单调递增.即在上恒大于0..综上，. ————————12分（没有综上扣一分）22.解:（1）曲线的普通方程为，即，将代入方程化简得．所以，曲线的极坐标方程是． ————————5分（2）直线的直角坐标方程为，由得直线与曲线C 的交点坐标为，所以弦长． ————————10分。

广东省清远市清城三中2017届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

2016-2017学年广东省清远市清城三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（60分，每题5分）1．设函数f（x）=1﹣，g（x）=ln（ax2﹣3x+1），若对任意的x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的最大值为（）A．2 B．C．4 D．2．若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．C．D．3．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“x2=1，则x≠1”B．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则命题￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．“x2﹣5x﹣6=0”必要不充分条件是“x=﹣1”4．已知指数函数y=f（x）的图象过点（，），则log2f（2）的值为（）A．B．﹣C．﹣2 D．25．已知：sin（+θ）+3cos（π﹣θ）=sin（﹣θ），则sinθcosθ+cos2θ=（）A．B．C．D．6．不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣2，6）C．（6，+∞）D．（﹣1，5）7．函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．8．下列四个命题，其中正确命题的个数（）①若a＞|b|，则a2＞b2②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d③若a＞b，c＞d，则ac＞bd④若a＞b＞o，则＞．A．3个B．2个C．1个D．0个9．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（2﹣3），b=f（3m），c=f（log0.53），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a10．4sin80°﹣等于（）A．B．﹣C．2 D．2﹣311．已知集合A={x|x2﹣4x﹣5＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）12．已知向量=（1，2），=（0，1），=（﹣2，k），若（+2）∥，则k=（）A．﹣8 B．﹣C．D．8二、填空题（20分，每题5分）13．计算：（）+（log316）•（log2）=．14．已知函数f（1﹣）的定义域为[1，+∞），则函数y=的定义域为．15．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=4﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）=．16．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围．三、解答题17．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a n b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．18．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调50“”对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4k 3.841 6.635 10.828K2=．19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，椭圆C上的点到右焦点的最大距离为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，并且满足|2+|=|2﹣|，求直线在y轴上截距的取值范围．21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．（1）求常数b的值；（2）当a=1时，讨论函数f（x）的单调性；（3）当0≤x≤1时关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣）2+（y+1）2=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线OP：θ=（p∈R）与圆C交于点M，N，求线段MN的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．2016-2017学年广东省清远市清城三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（60分，每题5分）1．设函数f（x）=1﹣，g（x）=ln（ax2﹣3x+1），若对任意的x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的最大值为（）A．2 B．C．4 D．【考点】函数的值．【分析】设g（x）=ln（ax2﹣3x+1）的值域为A，则（﹣∞，0]⊆A，从而h（x）=ax2﹣3x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，又h（0）=1，由此能求出实数a的最大值．【解答】解：设g（x）=ln（ax2﹣3x+1）的值域为A，∵f（x）=1﹣在[0，+∞）上的值域为（﹣∞，0]，∴（﹣∞，0]⊆A，∴h（x）=ax2﹣3x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，又h（0）=1，∴实数a需要满足a≤0或，解得a≤．∴实数a的最大值为．故选：B．2．若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．C．D．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．【解答】解：由3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0得3x+2a（y﹣2ex）ln=0，即3+2a（﹣2e）ln=0，即设t=，则t＞0，则条件等价为3+2a（t﹣2e）lnt=0，即（t﹣2e）lnt=﹣有解，设g（t）=（t﹣2e）lnt，g′（t）=lnt+1﹣为增函数，∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，∴当t＞e时，g′（t）＞0，当0＜t＜e时，g′（t）＜0，即当t=e时，函数g（t）取得极小值为：g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，即g（t）≥g（e）=﹣e，若（t﹣2e）lnt=﹣有解，则﹣≥﹣e，即≤e，则a＜0或a≥，故选：D．3．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“x2=1，则x≠1”B．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则命题￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．“x2﹣5x﹣6=0”必要不充分条件是“x=﹣1”【考点】命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A条件没有否定；B结论否定错误；C原命题和逆否命题等价；D判断错误【解答】A．不正确：否命题既要否定条件也要否定结论，这里的条件没有否定B．不正确：x2﹣x+1＜0的否定是x2﹣x+1≤0C．正确：因为原命题和逆否命题有等价性，所以由原命题真可以推得逆否命题也真D．不正确：“x2﹣5x﹣6=0”充分不必要条件是“x=﹣1”答案选C4．已知指数函数y=f（x）的图象过点（，），则log2f（2）的值为（）A．B．﹣C．﹣2 D．2【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【分析】设指数函数y=f（x）=a x（a＞0，且a≠1，为常数），把点（，）代入可得=，解得a，即可得出．【解答】解：设指数函数y=f（x）=a x（a＞0，且a≠1，为常数），把点（，）代入可得=，解得a=．∴，则log2f（2）==﹣2．故选：C．5．已知：sin（+θ）+3cos（π﹣θ）=sin（﹣θ），则sinθcosθ+cos2θ=（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．【分析】由条件利用诱导公式求得tanθ=2，再利用同角三角函数的基本关系求得sinθcosθ+cos2θ的值．【解答】解：∵sin（+θ）+3cos（π﹣θ）=cosθ﹣3cosθ=﹣2cosθ=sin（﹣θ）=﹣sinθ，∴tanθ=2，则sinθcosθ+cos2θ===，故选：D．6．不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣2，6）C．（6，+∞）D．（﹣1，5）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由条件利用绝对值的意义，求得绝对值不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集．【解答】解：由于|x﹣5|+|x+1|表示数轴上的x对应点到5、﹣1对应点的距离之和，而数轴上的﹣2和6对应点到5、﹣1对应点的距离之和正好等于8，故不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（﹣2，6），故选：B．7．函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】当x＞0时，，当x＜0时，，作出函数图象为B．【解答】解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．当x＞0时，，当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．故选B8．下列四个命题，其中正确命题的个数（）①若a＞|b|，则a2＞b2②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d③若a＞b，c＞d，则ac＞bd④若a＞b＞o，则＞．A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接由不等式的可乘积性判断①；举例说明②③④错误．【解答】解：①若a＞|b|，则a2＞b2，①正确；②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d错误，如3＞2，﹣1＞﹣3，而3﹣（﹣1）=4＜5=2﹣（﹣3）；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd错误，如3＞1，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＜1×（﹣3）；④若a＞b＞o，则，当c＞0时，＜，④错误．∴正确命题的个数只有1个．故选：C．9．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（2﹣3），b=f（3m），c=f（log0.53），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】由题意可得m=0，可得f（x）=2|x|﹣1在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，比较三个变量的绝对值大小可得．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，∴f（﹣1）=f（1），即2|﹣1﹣m|﹣1=2|1﹣m|﹣1，解得m=0，∴f（x）=2|x|﹣1在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，∵2﹣3=∈（0，1），3m=1，|log0.53|=log23＞1，∴f（2﹣3）＜f（3m）＜f（log0.53），即a＜b＜c故选：A10．4sin80°﹣等于（）A．B．﹣C．2 D．2﹣3【考点】三角函数的化简求值．【分析】将所求的关系式通分后化弦，逆用两角差的余弦与两角差的正弦，即可求得答案．【解答】解：4sin80°﹣======﹣，故选：B．11．已知集合A={x|x2﹣4x﹣5＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣5）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜5，即A=（﹣1，5），∵B=（2，4），∴A∩B=（2，4），故选：D．12．已知向量=（1，2），=（0，1），=（﹣2，k），若（+2）∥，则k=（）A．﹣8 B．﹣C．D．8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】求出向量+2，利用斜率的坐标运算求解即可．【解答】解：向量=（1，2），=（0，1），=（﹣2，k），+2=（1，4），∵（+2）∥，∴﹣8=k．故选：A．二、填空题（20分，每题5分）13．计算：（）+（log316）•（log2）=﹣5．【考点】方根与根式及根式的化简运算．【分析】直接利用有理指数幂的运算性质和对数的运算性质化简求值．【解答】解：==3﹣8log32•log23==3﹣8=﹣5．故答案为：﹣5．14．已知函数f（1﹣）的定义域为[1，+∞），则函数y=的定义域为∅．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】求出f（x）的定义域，解不等式（1﹣x）2＞2，取交集即可．【解答】解：∵函数f（1﹣）的定义域为[1，+∞]，∴f（x）的定义域是[0，1）①，由（1﹣x）2＞2，解得：x＞1+或x＜1﹣②，由①②得函数y=的定义域是∅，故答案为：∅．15．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=4﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）=2m．【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据两函数的对称中心均为（0，2）可知出x1+x2+x3+…+x m=0，y1+y2+y3+…+y m=×4=2m，从而得出结论．【解答】解：∵f（﹣x）=4﹣f（x），f（﹣x）+f（x）=4，∴f（x）的图象关于点（0，2）对称，∵y==2+也y关于点（0，2）对称，∴x1+x2+x3+…+x m=0，y1+y2+y3+…+y m=×4=2m，故答案为2m．16．设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y=f （x ）﹣g （x ）在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f （x ）和g （x ）在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f （x ）=x 2﹣3x +4与g （x ）=2x +m 在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围．【考点】函数的零点；函数的值．【分析】由题意可得h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣5x +4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m 的取值范围．【解答】解：∵f （x ）=x 2﹣3x +4与g （x ）=2x +m 在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣5x +4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m ≤﹣2，故答案为．三、解答题17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =3a n ﹣1，其中n ∈N *．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设a n b n =，求数列{b n }的前n 项和为T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（ I ）分n=1与n ≥2讨论，从而判断出{a n }是等比数列，从而求通项公式；（ II ）化简可得=3（﹣），利用裂项求和法求解．【解答】解：（ I ）∵，①当n=1时，a 1=a 1﹣，∴a 1=1，当n ≥2时，∵S n ﹣1=a n ﹣1﹣，② ①﹣②得：a n =a n ﹣a n ﹣1，即：a n =3a n ﹣1（n ≥2），又∵a 1=1，a 2=3，∴对n ∈N *都成立，故{a n}是等比数列，∴．（II）∵，∴=3（﹣），∴，∴，即T n=．18．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调50“”对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4“”ξξk 3.841 6.635 10.828K2=．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；（Ⅱ）ξ的可能取值有0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列及数学期望．＜6.635…所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异．…（Ⅱ）ξ所有可能取值有0，1，2，3，…，，，，…ξ所以ξ的期望值是．…19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG，可证四边形BEGA为平行四边形，又正方形ABCD，可证四边形CDGE为平行四边形，得CE∥DG，由DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，即证明CE∥平面PAD．（Ⅱ）如图建立空间坐标系，设平面PCE 的一个法向量为=（x ，y ，z ），由，令x=1，则可得=（1，1，2），设PD 与平面PCE 所成角为a ，由向量的夹角公式即可得解．（Ⅲ）设平面DEF 的一个法向量为=（x ，y ，z ），由，可得，由•=0，可解a ，然后求得的值．【解答】（本小题共14分）解：（Ⅰ）设PA 中点为G ，连结EG ，DG ．因为PA ∥BE ，且PA=4，BE=2，所以BE ∥AG 且BE=AG ，所以四边形BEGA 为平行四边形．所以EG ∥AB ，且EG=AB ．因为正方形ABCD ，所以CD ∥AB ，CD=AB ，所以EG ∥CD ，且EG=CD ．所以四边形CDGE 为平行四边形．所以CE ∥DG ．因为DG ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，所以CE ∥平面PAD ． …（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B （4，0，0），C （4，4，0）， E （4，0，2），P （0，0，4），D （0，4，0），所以=（4，4，﹣4），=（4，0，﹣2），=（0，4，﹣4）．设平面PCE 的一个法向量为=（x ，y ，z ），所以，可得．令x=1，则，所以=（1，1，2）．设PD 与平面PCE 所成角为a ，则sin α=|cos ＜，＞|=|=||=．．所以PD 与平面PCE 所成角的正弦值是． …（Ⅲ）依题意，可设F （a ，0，0），则，=（4，﹣4，2）．设平面DEF 的一个法向量为=（x ，y ，z ），则．令x=2，则，所以=（2，，a﹣4）．因为平面DEF⊥平面PCE，所以•=0，即2++2a﹣8=0，所以a=＜4，点．所以．…20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，椭圆C上的点到右焦点的最大距离为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，并且满足|2+|=|2﹣|，求直线在y轴上截距的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆C的方程为： +=1（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e==，a+c=3，b2=a2﹣c2，解出即可得出．（2）设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由|2+|=|2﹣|，可得=0．x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，把根与系数的关系代入化简与△＞0联立解出即可得出．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为： +=1（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e==，由椭圆C上的点到右焦点的最大距离3，得a+c=3，解得c=1，a=2，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆C的标准方程是+=1．（2）设直线l的方程为y=kx+m，联立，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1•x2=，∵|2+|=|2﹣|，∴=0．∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，化为km（x1+x2）+（1+k2）x1•x2+m2=0，∴km（﹣）+（1+k2）×+m2=0，化简得7m2=12+12k2．将k2=﹣1代入3+4k2＞m2．可得m2，又由7m2=12+12k2≥12．从而∴m2，解得m≥，或m≤﹣，．所以实数m的取值范围是∪．21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．（1）求常数b的值；（2）当a=1时，讨论函数f（x）的单调性；（3）当0≤x≤1时关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）对f（x）求导，根据条件知f'（0）=0，所以1﹣b=0；（2）当a=1时，f（x）=（1﹣x）ln（x+1）﹣x，f（x）的定义域为（﹣1，+∞）；令f'（x）=0，则导函数零点x+1=1，故x=0；当x∈（﹣1，0），f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）因为f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1，对a进行分类讨论根据函数的单调性求得参数a使得不等式f（x）≥0；【解答】解：（1）对f（x）求导得：f'（x）=﹣aln（x+1）+根据条件知f'（0）=0，所以1﹣b=0，故b=1．（2）当a=1时，f（x）=（1﹣x）ln（x+1）﹣x，f（x）的定义域为（﹣1，+∞）f'（x）=﹣ln（x+1）+﹣1=﹣ln（x+1）+﹣2令f'（x）=0，则导函数零点x+1=1，故x=0；当x∈（﹣1，0），f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）由（1）知，f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1f'（x）=﹣aln（x+1）+﹣1f''（x）=﹣①当a时，因为0≤x≤1，有f''（x）≥0，于是f'（x）在[0，1]上单调递增，从而f'（x）≥f'（0）=0，因此f（x）在[0，1]上单调递增，即f（x）≥f（0）而且仅有f（0）=0；②当a≥0时，因为0≤x≤1，有f''（x）＜0，于是f'（x）在[0，1]上单调递减，从而f'（x）≤f'（0）=0，因此f（x）在[0，1]上单调递减，即f（x）≤f（0）=0而且仅有f（0）=0；③当﹣＜a＜0时，令m=min{1，﹣}，当0≤x≤m时，f''（x）＜0，于是f'（x）在[0，m]上单调递减，从而f'（x）≤f'（0）=0因此f（x）在[0，m]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0；综上：所求实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x ﹣）2+（y +1）2=9，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线OP ：θ=（p ∈R ）与圆C 交于点M ，N ，求线段MN 的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用直角坐标方程化为极坐标方程的方法，求圆C 的极坐标方程；（2）利用|MN |=|ρ1﹣ρ2|，求线段MN 的长．【解答】解：（1）（x ﹣）2+（y +1）2=9可化为x 2+y 2﹣2x +2y ﹣5=0，故其极坐标方程为ρ2﹣2ρcos θ+2ρsin θ﹣5=0．…（2）将θ=代入ρ2﹣2ρcos θ+2ρsin θ﹣5=0，得ρ2﹣2ρ﹣5=0，∴ρ1+ρ2=2，ρ1ρ2=﹣5，∴|MN |=|ρ1﹣ρ2|==2．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知f （x ）=|x +2|﹣|2x ﹣1|，M 为不等式f （x ）＞0的解集．（1）求M ；（2）求证：当x ，y ∈M 时，|x +y +xy |＜15．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x 的范围，解关于x 的不等式，求出M 的范围即可；（2）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（1）f （x ）=，当x ＜﹣2时，由x ﹣3＞0得，x ＞3，舍去；当﹣2≤x ≤时，由3x +1＞0得，x ＞﹣，即﹣＜x ≤；当x ＞时，由﹣x +3＞0得，x ＜3，即＜x ＜3，综上，M=（﹣，3）；（2）证明：∵x ，y ∈M ，∴|x |＜3，|y |＜3，∴|x +y +xy |≤|x +y |+|xy |≤|x |+|y |+|xy |=|x |+|y |+|x ||y |＜3+3+3×3=15．2016年11月21日。

广东省清远市第三中学2017届高三上学期第一次周考数学(理)试题 Word版含答案

广东省清远市清城区三中高三第一学期第一次周考数学（理）试题本卷满分150分，时间120分钟一、选择题（60分，每题5分）1.设全集I R =，集合2{|log 2}A y y x x ==>，{|B x y ==，则（）A ．AB A = B ．A B ⊆C ．A B =∅D ．()I A C B ≠∅2.知2()f x ax bx =+是定义在[1,3]a a -上的偶函数，那么a b +=（）A ．14-B ．14C ．12D ．12- 3.知3{(,)|3}2y M x y x -==-，{(,)|20}N x y ax y a =++=，且M N =∅，则a =（） A ．2或-6 B ．-6 C ．-6或-2 D ．-2 4.设命题:P 函数1y x=在定义域上是减函数；命题:,(0,)q a b ∃∈+∞，当1a b +=时，113a b+=，以下说法正确的是（） A ．P q ∨为真 B ．P q ∧为真 C ．P 真q 假 D ．.P q 均为假 5.函数2lg(2)y x x a =-+的值域不可能是（） A ．(,0]-∞ B ．[0,)+∞ C ．[1,)+∞ D ．R6.设246(0)()6(0)x x x f x x x ⎧++≤=⎨-+>⎩则不等式()(1)f x f <-的解集是（）A ．(3,1)(3,)--+∞ B ．(3,1)(2,)--+∞ C ．(3,)-+∞ D ．(,3)(1,3)-∞--7.若[1,2]x ∈，[2,3]y ∈时，22210ax y xy+->，恒成立，则a 的取值范围（） A ．(1,)-+∞ B ．(,1)-∞- C ．[1,)-+∞ D ．(,1)-∞- 8.函数()x f x x a=+的图像关于点(1,1)对称，()lg(101)xg x bx =++是偶函数，则a b +=（） A ．12-B ．12C ．32D ．32-9.函数2log (2)a y x ax =-+在区间(,1]-∞上是减函数，则a 的取值范围是（） A ．[2,)+∞ B ．[1,)+∞ C ．[2,3) D. (2,3)10.知21()21x x f x -=+，则不等式2(2)(4)0f x f x -+-<的解集为（）A ．(-1,6)B ．(-6,1)C ．(-2,3)D ．(-3,2)11.设集合2{|230}A x x x =+->，2{|2100}B x x ax a =--≤>，若A B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是（）A ．3(0,)4B ．34[,)43C ．3[,)4+∞ D ．(1,)+∞12.设()f x 是定义在R 上的偶函数，任意实数x 都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0,2]x ∈时，()22xf x =-，若函数()()log (1)(0,1)a g x f x x a a =-+>≠，在区间(1,9]-内恰有三个不同零点，则a 的取值范围是（）A ．1(0,)(7,)9+∞ B ．11(,)(1,3)95 C ．11(,)(3,7)95 D ．11(,)(3,7)73二、填空题（20分，每题5分）13．（5分）设满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为 ______________.14．（5分）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则下列四个命题： ①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确命题的序号是____________________．15．已知曲线y=x+lnx 在点（1，1）处的切线与曲线y=ax 2+（a+2）x+1相切，则a 的值为_________________.16．若线性回归方程为y ＝2－3.5x ，则变量x 增加一个单位，变量y 平均减少__________个单位.三、解答题（70分）17.设a R ∈,函数2()22f x ax x a =--，若()0f x >的解集为A ，{12},B x x =<<,AB =∅求实数a 的取值范围（10分）18. （本小题满分12分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件。

广东省清远市第三中学2017届高三物理上学期第十次周考试题

广东省清远市清城区三中高三第一学期第十次周考物理试题(本卷满分100分，时间90分钟)一、选择题（共48分，每题4分；漏选得2分，多选、错选不得分，其中1-8为单选，9-12题为多选）1、以下物理量中属于标量的是（）A.速度B.力C.路程D.电场强度2.摩天轮顺时针匀速转动时，重为G的游客经过图中a、b、c、d四处时，以下说法正确的是（）A．游客在a处受的摩擦力向右B．游客在b处受的支持力小于GC．游客在c处受的摩擦力等零D．游客在d处受的支持力大于G3.如图所示，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上，系统处于平衡状态，现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定时细线偏离竖直方向到某一角度（橡皮筋在弹性限度内）．与稳定在竖直位置时相比，小球的高度（）A．一定降低B．一定升高C．保持不变D．升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定4.传送带与水平面夹角为37°，传送带以12m/s的速率沿顺时针方向转动，如图所示．今在传送带上端A处无初速度地放上一个质量为m的小物块，它与传送带间的动摩擦因数为0.75，若传送带A 到B的长度为24m，g取10m/s2，则小物块从A运动到B的时间为（）A．1.5s B．2.5s C．3.5s D．0.5s5.如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上放置质量分别为m和2m的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是f m．现用平行于斜面的拉力F拉其中一个质量为2m的木块，使四个木块沿斜面以同一加速度向下运动，则拉力F的最大值（）A. 35mf B.34mf C.mf D.32mf6.一艘在火星表面进行科学探测的宇宙飞船，在经历了从轨道1→轨道2→轨道3的变轨过程后，顺利返回地球。

若轨道1为贴近火星表面的圆周轨道，已知引力常量为G，下列说法正确的是（）A．飞船在轨道2上运动时，P点的速度小于Q点的速度B．飞船在轨道1上运动的机械能大于轨道3上运动的机械能C．测出飞船在轨道1上运动的周期，就可以测出火星的平均密度D．飞船在轨道2上运动到P点的加速度大于飞船在轨道1上运动到P点的加速度7.如图所示，ACB是一光滑的、足够长的、固定在竖直平面内的“∧”形框架，其中CA、CB边与竖直方向的夹角均为θ．P、Q两个轻质小环分别套在CA、CB上，两根细绳的一端分别系在P、Q环上，另一端和一绳套系在一起，结点为O ．将质量为m 的钩码挂在绳套上，OP 、OQ 两根细绳拉直后的长度分别用l 1、l 2表示，若l 1：l 2=2：3，则两绳受到的拉力之比F 1：F 2等于（）A ．1：1B ．2：3C ．3：2D ．4：98. A 、B 两球之间压缩一根轻弹簧，静置于光滑水平桌面上．已知A 、B 两球质量分别为2m 和m ．当用板挡住A 球而只释放B 球时，B 球被弹出落于距桌边距离为x 的水平地面上，如图所示．问当用同样的程度压缩弹簧，取走A 左边的挡板，将A 、B 同时释放，B 球的落地点距离桌边距离为（）A ．3xB ．x 3C ．xD ．x 369、下列说法中正确的是 ( )A.速度大的物体比速度小的物体难以停下来，所以速度大的物体惯性大B.乒乓球可以快速抽杀，是因为质量小，惯性小，容易改变运动状态的缘故C.车被马拉动时，马拉车的力等于车拉马的力D.用重锤钉钉子，重锤对钉子的打击力与钉对重锤的作用力是一对平衡力10．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比（）A ．线速度变小B ．距地面的高度变小C ．向心加速度变大D ．角速度变小11．一个质点做简谐振动的图象如图所示，下列说法中正确的是：（）A. 质点的振动频率为4Hz；B. 在10s内质点经过的路程是20cm；C. 在5s末，速度为零，加速度最大；D.t=1.5s和4.5s末的两时刻质点的位移大小相等.12. 如图，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面（纸面）内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称。

广东省2017届高三10月百校联考理数试题含答案

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。

若集合{|(1)(5)0}M x x x =--<，集合{|4}N x y x ==-，则M N 等于（）A ．(1,4]B ．(1,4)C ．[4,5)D ．(4,5)2.设复数z 为纯虚数，a R ∈，且1013x a i+=-,则a 的值为（）A ． 3B ． -3C ．1D ．—13。

下面是2010年3月安徽省芜湖楼市商品住宅板块销售对比饼状图，由图可知，戈江区3月销售套数为（）A ．350B ．340C ．330D ． 306 4.若sin cos tan 390αα+=，则sin 2α等于（ ) A 。

23- B.34- C. 23 D.345.如图所示的五边形是由一个矩形截去一个角而得，且1BC =，2DE =，3AE =，4AB =，则CD 等于（）A ．1223AB AE + B ．1223AB AE -C 。

1223AB AE -+D ．1223AB AE --6。

直线2y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左支、右支分别交于A B 、两点，O 为坐标原点，且AOB ∆为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为（） A ．52B ．32C 。

305D ．3557.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ． 40B ．48 C. 56 D ．928.执行如图所示的程序框图,若输入的2x =，4n =，则输出的s 等于（）A ．94B ． 99 C. 45 D ．2039。

飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内,已知飞机的高度为海拔15000m ,速度为1000/km h ，飞行员先看到山顶的俯角为18,经过108s 后又看到山顶的俯角为78,则山顶的海拔高度为（）A ．(15183sin18cos78)km -B ．(15183sin18sin78)km -C 。

广东省清远市第三中学高三数学上学期第十次周考试题文

广东省清远市清城区三中高三第一学期第十次周考数学（文）试题(本卷满分150分，时间120分钟)一、选择题（60分，每题5分）1．已知全集U=R ，集合A={x|x ≥}，集合B={x|x ≤1}，那么∁U （A∩B）=（）A ．{x|x ≤或x ≥1}B ．{x|x ＜或x ＞1}C ．{x|x ＜＜1}D ．{x|x ≤＜≤1}2.复数z 满足21iz i-=-，则z 对应的点位于复平面的（） A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.已知()f x 满足对x R ∀∈，()()0f x f x -+=，且0x ≥时，()xf x e m =+（m 为常数），则()ln 5f -的值为（）A.4B.-4C.6D.-64.如图，在空间四边形ABCD （A ，B ，C ，D 不共面）中，一个平面与边AB BC CD DA ，，，分别交于E ，F ，G ，H （不含端点），则下列结论错误的是（） A.若::AE BE CF BF =，则AC平面EFGHB.若E ，F ，G ，H 分别为各边中点，则四边形EFGH 为平行四边形C. 若E ，F ，G ，H 分别为各边中点且AC BD =，则四边形EFGH 为矩形D. 若E ，F ，G ，H 分别为各边中点且AC BD ⊥，则四边形EFGH 为矩形5.已知正项数列{a n }为等比数列，且a 4是2a 2与3a 3的等差中项，若a 2=2，则该数列的前5项的和为（）A．B ．31C．D ．以上都不正确6.设,a b R ∈,则 “()20a b a -≥”是“a b ≥”的（）A.充分不必要B.必要不充分C.充要条件D.既不充分也不必要 7．△ABC 中A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，若=，（b+c+a ）（b+c ﹣a ）=3bc ，则△ABC 的形状为（）A ．等边三角形B ．等腰非等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形8.已知x ，y 满足约束条件11493x y x y x y ≥⎧⎪≥-⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，，，，目标函数满足z mx y =+，若z 的最大值为()f m ，则当[]2,4m ∈时，()f m 的最大值和最小值知和是（）A.4B.10C.13D.149.在边长为1的正ABC ∆中，D ，E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），AD AE ⋅等于（） A.16 B.29 C.1318 D.1310.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>）的图像关于直线32x π=对称且032f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，如果存在实数0x ，使得对任意的x 都有()()008f x f x f x π⎛⎫≤≤+ ⎪⎝⎭，则ω的最小值是（） A.4 B.6 C.8 D.1211.已知边长为ABCD 中，60A ∠=︒,现沿对角线BD 折起，使得AC =，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.20πB.24πC.28πD.32π12.已知方程ln 1x kx =+在()30,e 上有三个不等实根，则实数k 的取值范围是A.320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.3232,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.3221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.3221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题（20分，每题5分） 13．（5分）已知函数f （x ）=+6，则f （f （9））= ．14．（5分）已知等差数列{a n }满足a 2=3，a 3+a 4=12，则数列{a n }的通项公式a n = ．15．（5分）某服装商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程中的b ≈﹣2．气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为件．（参考公式：b=）16．（5分）若函数f （x ）=2x 2﹣lnx 在其定义域内的一个子区间（k ﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k 的取值范围是．三、解答题（70分）17．（12分）已知集合A={x ∈R||x+2|＜3}，集合B={x ∈R|（x ﹣m ）（x ﹣2）＜0}，（Ⅰ）若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若A∩B=（﹣1，n ），求实数m ，n 的值．18．（12分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=b ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC 的面积．19．（12分）如图，E是以AB为直径的半圆上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2．（1）求证：EA⊥EC；（2）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F．①试证：EF∥AB；②若EF=1，求三棱锥E﹣ADF的体积．20．（12分）已知正项数列{a n}满足a1=2且（n+1）a n2+a n a n+1﹣na n+12=0（n∈N*）（Ⅰ）证明数列{a n}为等差数列；（Ⅱ）若记b n=，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：K2=22．（10分）设函数f（x）=lnx+ax2+x+1．（I）a=﹣2时，求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）当a=2时，证明xe x≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．数学（文）答案一、1-5: CDBCB 6-10:BADCC 11、12：CC二、13、9 14、2n﹣1． 15、46 16、[1，）三、17、解：（Ⅰ）A={x∈R||x+2|＜3}={x|﹣5＜x＜1}，B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}={x|m＜x＜2}（m＜2）若A⊆B，应满足：m≤﹣5；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当m≥2时，A∩B=∅，要使A∩B=（﹣1，n），应满足：，故m=﹣1，n=1．18、解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S△ABC=bcsinA=．19、（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABC D∩平面ABE=AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD∴BC⊥平面ABE∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE∵E在以AB为直径的半圆上，∴AE⊥BE∵BE∩BC=B，BC，BE⊂面BCE∴AE⊥面BCE∵CE⊂面BCE，∴EA⊥EC；（2）①证明：设面ABE∩面CED=EF∵AB∥CD，AB⊄面CED，CD⊂面CED，∴AB∥面CED，∵AB⊂面ABE，面ABE∩面CED=EF∴AB∥EF；②取AB中点O，EF的中点O′，在Rt△OO′F中，OF=1，O′F=，∴OO′=∵BC⊥面ABE，AD∥BC∴AD⊥平面ABE∴V E﹣ADF=V D﹣AEF===20、（I）证明：由（n+1）a n2+a n a n+1﹣na n+12=0（n∈N*），变形得：（a n+a n+1）[（n+1）a n﹣na n+1]=0，由于{a n}为正项数列，∴，利用累乘法得：从而得知：数列{a n}是以2为首项，以2为公差的等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：，从而=．21.解：（1）将2×2列联表中的数据代入公式，计算得x2==≈4.762，因为4.762＞3.841，所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异；（2）这5名数学系学生中，2名喜欢甜品的记为A、B，其余3名不喜欢甜品的学生记为c、d、e，则从这5名学生中任取3人的结果所组成的基本事件为ABc，ABd，ABe，Acd，Ace，Ade，Bcd，Bce，Bde，cde，共10种；3人中至多有1人喜欢甜品的基本事件是Acd，Ace，Ade，Bcd，Bce，Bde，cde，共7种；所以，至多有1人喜欢甜品的概率为P=．22.解：（Ⅰ）由题意得：x∈（0，+∞），f′（x）=﹣2x+1=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴x=1是f（x）的极大值点，无极小值点；（Ⅱ）证明：令F（x）=xe x﹣f（x）=xe x﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），则F′（x）=•（xe x﹣1），令G（x）=xe x﹣1，则∵G′（x）=（x+1）e x＞0，（x＞0），∴函数G（x）在（0，+∞）递增，G（x）在（0，+∞）最多一个零点，∵G（0）=﹣1＜0，G（1）=e﹣1＞0，∴存在唯一c∈（0，1）使得G（c）=0，∴F（x）在（0，c）递减，在（c，+∞）递增，故F（x）≥F（c）=c•e c﹣lnc﹣c﹣1，由G（c）=0，得：c•e c﹣1=0，得lnc+c=0，∴F（c）=0，F（x）≥F（c）=0，从而证得xe x≥f（x）．。

广东省清远市第三中学高三英语上学期第十次周考试题

广东省清远市清城区三中高三第一学期第十次周考英语试题(本卷满分150分，时间120分钟)第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. How often will the man exercise in summer?A. Three times a week.B. Twice a week.C. Six times a week.2. What does the man do?A. A pop singer.B. A film-maker.C. A reporter.3. Where did Kate fly kites on the weekend?A. In the field next to the river.B. In the field in front of her house.C. In the field behind her house.4. What did Jill buy for Sue’s birthday?A. A video.B. A CD.C. A bag.5. What does the woman mean?A. It’s cold outside.B. It’s smoggy outside.C. It’s noisy outside.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话或独白后，你将有时间阅读各小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，回答第6至7题。

广东省清远市第三中学2017届高三上学期期中考试理科数学试卷 Word版含解析

2017届广东省清远市第三中学高三上学期期中考试理科数学试卷一、单选题（共12小题）1．设函数，若对任意，都存在，使得，则实数的最大值为（）A．B．2C．D．4考点：函数的定义域与值域答案：A试题解析：，，则，取到内每一个数，又，所以，解得，或，故的最大值为.2．若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性答案：D试题解析：为正数，原式，化为，两边同除，可得，设，则，原式化为，显然方程有解，则，即有解，令，则，显然有，当时，，当时，，所以，所以，解得或，故选D.3．下列说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”B．若命题，则命题C．命题“若，则”的逆否命题为真命题D．“”的必要不充分条件是“”考点：充分条件与必要条件全称量词与存在性量词命题及其关系答案：C试题解析：对于A，命题的否命题应条件和结论都否，错误；对于B选项，的否定为，错误；对于C选项，原命题成立，为真命题，故其逆否命题也为真命题；对于D选项，“”是“”的充分不必要条件，故选C.4．已知指数函数的图象过点，则的值为（）A．B．C．-2D．2考点：指数与指数函数答案：C试题解析：设，，过点，所以，，，故选C.5．已知：，则（）A．B．C．D．考点：恒等变换综合答案：D试题解析：，所以，则=，故选D.6．不等式的解集为（）A．B．C．D．考点：绝对值不等式答案：B试题解析：由于表示数轴上的对应点到对应点的距离之和，二数轴上对应点到对应点的距离之和正好等于，故不等式的解集为.7．函数的图象是（）A．B．C．D．考点：函数图象答案：B试题解析：设，，定义域为，又，为奇函数，图象关于对称，当时，，结合图象可知选B.8．下列四个命题，其中正确命题的个数（）①若，则②若，则③若，则④若，则A．3个B．2个C．1个D．0个考点：不等式的性质答案：C试题解析：对于①，，则有，正确；对于②，令，则，不等式不成立，错误；对于③，，不满足，错误.对于④当时，有，错误综上正确的命题个数为1，故选C.9．已知定义在R上的函数（为实数）为偶函数，记，，则（）A．B．C．D．考点：函数的奇偶性答案：A试题解析：由题意为偶函数，所以，即，即，所以，，当时，为增函数，则时，函数为减函数，，，，故，即，故选A.10．等于（）A．B．C．D．考点：恒等变换综合答案：B试题解析：.故选B.11．已知集合，，则（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）考点：集合的运算答案：D试题解析：由解得，则，故选D.12．已知向量，若，则（）A．8B．C．D．-8考点：平面向量坐标运算答案：D试题解析：，，则，故选D.二、填空题（共4小题）13.计算：．考点：对数与对数函数答案：-5试题解析：14.已知函数的定义域为，则函数的定义域为．考点：函数的定义域与值域答案：试题解析：∵函数的定义域为，∴的定义域是①，由，解得：或②，由①②得函数的定义域是，15.已知函数满足，若函数与图象的交点为，则．考点：分段函数，抽象函数与复合函数答案：试题解析：∴的图象关于点（0，2）对称，∵也y关于点（0，2）对称，故答案为2m．16.设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则m的取值范围．考点：零点与方程答案：试题解析：∵与在上是“关联函数”，故函数在上有两个不同的零点，故有，即，解得，故答案为三、解答题（共7小题）17.已知数列的前项和满足，其中（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项的和。