第一课浙江概率论与数理统计第三章习题

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概率论与数理统计(浙大) 习题答案第3章

第三章多维随机变量及其分布1. 在一箱子中装有12只开关, 其中2只是次品, 在其中取两次, 每次任取一只, 考虑两种试验: (1)放回抽样, (2)不放回抽样. 我们定义随机变量X , Y 如下:⎩⎨⎧=若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品10X ,⎩⎨⎧=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品10Y .试分别就(1), (2)两种情况, 写出X 和Y 的联合分布律.解: (1)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有362512101210)0 ,0(=⋅===Y X P ,3651221210)1 ,0(=⋅===Y X P ,3651210122)0 ,1(=⋅===Y X P ,361122122)1 ,1(=⋅===Y X P ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律(2)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有66451191210)0 ,0(=⋅===Y X P ,66101121210)1 ,0(=⋅===Y X P ,66101110122)0 ,1(=⋅===Y X P ,661111122)1 ,1(=⋅===Y X P ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律2. 盒子里装有3只黑球, 2只红球, 2只白球, 在其中任取4只球, 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到白球的只数, 求X , Y 的联合分布律.解: (X , Y )的可能取值为(i , j ), i =0, 1, 2, 3, j =0, 1, 2, i +j ≥2, 联合分布律为P (X =0, Y =2)=351472222=C C C ,P (X =1, Y =1)=35647221213=C C C C , P (X =1, Y =2)=35647122213=C C C C , P (X =2, Y =0)=351472222=C C C ,P (X =2, Y =1)=351247121223=C C C C ,P (X =2, Y =2)=353472223=C C C ,P (X =3, Y =0)=352471233=C CC ,P (X =3, Y =1)=352471233=C CC ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律3. 设随机变量(X , Y )概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它042 ,20)6(),(y x y x k y x f . (1)确定常数k ; (2)求P (X <1, Y <3); (3)求P (X <1.5); (4)求P (X +Y ≤4). 解: (1)因为 k dydx y x k dy dx y x f 8)6(),(1242=--==⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-,所以81=k .(2)83)6(81)3 ,1(3210⎰⎰=--=<<dy y x dx Y X P .(3)3227)6(81) ,5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P .(4)32)6(81}4{4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dx Y X P x .4. 将一枚硬币掷3次, 以X 表示前2次中出现H 的次数, 以Y 表示3次中出现H 的次数, 求(X , Y )的联合分布律及边缘分布律.故(X , Y )的联合分布律为(X , Y )关于X 的边缘分布律为即)21 ,2(~b X .(X , Y )关于Y 的边缘分布律为即)21 ,3(~b Y .5. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其它00,10)2(8.4),(xy x x y y x f , 求边缘概率密度. 解: ⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它010)2(8.40x dy x y x⎩⎨⎧≤≤-=其它010)2(4.22x x x ,⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它010)2(8.41y dx x y y⎩⎨⎧≤≤+-=其它010)43(4.22y y y y . 6. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其它00),(y x e y x f y , 求边缘概率密度.解:⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰+∞-000x x dy e x y⎩⎨⎧≤>=-000x x e x . ⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰-000y y dx e y y⎩⎨⎧≤>=-000y y ye y . 7. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它01),(22y x y cx y x f . (1)试确定常数c ; (2)求边缘概率密度. 解: (1)因为l =⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-+-∞+∞-===c dy y c ydx cx dy dxdy y x f yy 21432),(1025210,所以421=c .(2)X 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它011421)(~122x ydy x x f X x X⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它011)1(82142x x x .X 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎰+-其它010421)(~2y ydx d y f Y y y Y⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它0102725y y .8. 将某一医公司9月份和8月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为X 和Y , 据以往积累的资料知X 和Y 联合分布律为:(1)求边缘分布律;(2)求8月份的订单数为51时, 9月份订单数的条件人布律.解: 在表中运算得(2)因为j ijj j i i i p p y Y P y Y x X P y Y x X P ⋅=======)() ,()|(, 并且P (Y =51)=0.28=p ⋅j , 所以28628.006.0)51|51(====Y X P ,28728.007.0)51|52(====Y X P ,28528.005.0)51|53(====Y X P ,28528.005.0)51|54(====Y X P ,28528.005.0)51|55(====Y X P ,故当8月份的订单数为51时, 9月份订单数的条件分布律为9. 以X 记某一医院一天出生的婴儿的个数, Y 记男婴的个数, 记X 和Y 的联合分布律为)!(!)86.6()14.7() ,(14m n m e m Y n X P mn m -===--(m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅, n ;n =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).(1)求边缘分布律; (2)求条件分布律;(3)特别写出当X =20时, Y 的条件分布律. 解: (1)边缘分布律:∑∑=--=-=====nm mn m n m m n m e m Y n X P n X P 0140)!(!)86.6()14.7() ,()(∑=--⋅⋅⋅⋅=nm m n m m ne n C 014)86.6()14.7(!1 ∑=--⋅⋅=n m m n m mn C n e 014)86.6()14.7(! !14)86.614.7(!1414n e n e n n --⋅=+=(n =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ). ∑∑∞=--∞=-=====0140)!(!)86.6()14.7() ,()(n mn m n m n m e m Y n X P m Y P∑∞=---=014)!()86.6(!)14.7(n mn m m n m e m m m e e m e )14.7(!!)14.7(14.786.614--==(m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).(2)条件分布律:m mn m m e m n m e m Y P m Y n X P m Y n X P )14.7(!)!(!)86.6()14.7()() ,()|(14.714----======= )!()86.6(86.6m n e mn -⋅=--(n =m , m +1, ⋅⋅⋅ ).当m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ 时1414!14)!(!)86.6()14.7()() ,()|(----=======e n m n m e n X P m Y n X P n X m Y P nmn m m n m m n m n -⋅⋅-=)1486.6()1414.7()!(!! m m mn C -⋅⋅=20)49.0()51.0((m =0, 1, ⋅⋅⋅ , n ). (3)当X =20时, Y 的条件分布为m m mC X m Y P -⋅===2020)49.0()51.0()20|((m =0, 1, ⋅⋅⋅ , 20).10. 求§1例1中的条件分布律: P (Y =k |X =i )=?解: 由于)(),()|(i X P i X k Y P i X k Y P ======, 而411) ,(⋅===i i X k Y P (i =1, 2, 3, 4, k ≤i ),41)(==i X P ,所以ii X k Y P 1)|(===(i =1, 2, 3, 4, k ≤i ),即11. 在第7题中(1)求条件概率f X |Y (x |y ), 特别, 写出当21=Y 时X 的条件概率密度; (2)求条件概率密度f Y |X (y |x ), 特别, 分别写出当31=X , 21=X 时Y 的条件概率密度; (3)求条件概率P (Y ≥1/4|X =1/2), P (Y ≥3|X =1/2). 解: (1)当0<y ≤1时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他027421)(),()|(252|y x y y yx y f y x f y x f Y Y X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-其他023232y x y y x ,特别, ⎪⎩⎪⎨⎧<<-==-其他02121)21(23)21|(232|x x y x f Y X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他02121232x x .(2)当-1<x ≤1时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他01)1(821421)(),()|(2422|y x x x y x x f y x f x y f X X Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他01)1(222y x x y ,特别, ⎪⎩⎪⎨⎧<<-==其他0191))3/1(1(2)31|(4|y y x y f X Y⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他01914081y y ,⎪⎩⎪⎨⎧<<-==其他0141))2/1(1(2)21|(4|y y x y f X Y⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他01411532y y .(3))21|41()21|1()21|41(=<-=<==≥X Y P X Y P X Y P1153215324141141=-=⎰⎰ydy ydy ,)21|43()21|1()21|43(=<-=<==≥X Y P X Y P X Y P157153214341=-=⎰ydy .12. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<=其他010 ,||1),(x x y y x f , 求条件概率密度f Y |X (y |x ),f X |Y (x |y ). 解: f (x ,y )的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎰-其他0101)(x dy x f x x X ⎩⎨⎧<<=其他0102y x ,⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎰其他0111)(1||y dx x f y Y ⎩⎨⎧<<--=其他011||1y y ,所以当0<x <1时,⎪⎩⎪⎨⎧<==其他0||21)(),()|(|x y xx f y x f x y f X X Y , 当|y |<1时,⎪⎩⎪⎨⎧<-==其他0||||11)(),()|(|x y y x f y x f x y f Y Y X , 13. (1)问第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立？(2)问第12题中的随机变量X 和Y 是否相互独立？(需说明理由) 解: (1)有放回抽样时, 由于ij =p i ⋅⋅p ⋅j , 所以X 和Y 独立. 不放回抽样时, 由于ij =p i ⋅⋅p ⋅j , 所以X 和Y 不独立.(2)由于当|y |<x , 0<x <1时, f X (x )⋅f Y (y )=2x (1-|y |)≠f (x , y )=1, 故X 和Y 不独立.14. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00021)(2y y e y f y Y .(1)求X 和Y 的联合概率密度;(2)设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0, 试求a 有实根的概率.解: (1)按已知X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他0101)(x x f X .由于X 和Y 相互独立, 故(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<=⋅=-其他0,1021)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X .(2)要使a 有实根, 必须方程a 2+2Xa +Y =0的判别式∆=X 2-Y ≥0,⎰⎰⎰---==≥-10202102)1(21)0(22dx e dy e dx Y X P x x y⎰⎰⎰∞--∞-----=-=02121022222121[211dx e dx e dx e x x x πππ 1445.0)]0()1([21=Φ-Φ-=π.15. 第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立. 解: 放回抽样的情况P (X =0, Y =0)=P (X =0)⋅P (Y =0)3625=P (X =0, Y =1)=P (X =0)⋅P (Y =1)365=P (X =1, Y =0)=P (X =1)⋅P (Y =0)3651210122=⋅=P (X =1, Y =1)=P (X =1)⋅P (Y =1)361122122=⋅=.在放回抽样的情况下, X 和Y 是独立的. 不放回抽样的情况:P (X =0, Y =0)66451191210=⋅=,P (X =0)651210==,P (X =0)=P (X =0, Y =0)+P (Y =0, X =1) 6511101121191210=⋅+⋅=,P (X =0)⋅P (Y =0)36256565=⨯=,P (X =0, Y =0)≠P (X =0)P (Y =0), 所以X 和Y 不独立.14. 设X , Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布. Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=00021)(2y y e y f y Y .(1)求X 和Y 的联合密度;(2)设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0,试求有实根的概率. 解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其它0)1 ,0(1)(x x f X ,Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00021)(2y y e y f y Y ,可见且知X , Y 相互独立, 于是(X , Y )的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它0,1021)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X .(2)由于a 有实根, 从而判别式∆=4X 2-4Y ≥0, 即Y ≤X 2. 记}0,10|),{(2x y x y x D <<<<=, ⎰⎰=≤Ddxdy y x f X Y P ),(}{2⎰⎰⎰⎰⎰----=-==10010102022222121x xx y y dx e de dx dy e dxdx e x ⎰-⋅-=00222121ππ)5.08413.0(21)]2()1([21--=Φ-Φ-=ππ 1445.08555.013413.05066312.21=-=⨯-=.15. 进行打靶, 设弹着眯A (X , Y )的坐标X 和Y 相互独立, 且都服从N (0, 1)分布, 规定点A 落在区域D 1={(x , y )|x 2+y 2≤1}得2分; 点A 落在D 2={(x , y )|1≤x 2+y 2≤4}得1分; 点A 落在D 3={(x , y )|x 2+y 2>4}得0分, 以Z 记打靶的得分, 写出X , Y 的联合概率密度, 并求Z 的分布律.解: (1)因为X ~N (0, 1), Y ~N (0, 1), X 与Y 独立, 故(X , Y )的联合概率密度为22221),(y x e y x f +-=π(-∞<x <+∞, -∞<y <+∞).(2)Z 的可能取值为0, 1, 2.⎰⎰>++-=∈==421222221)),(()0(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π⎰⎰≤++--=422222211x x y x dxdy e π2202022211--=-=⎰⎰e rdr e d r ππθ,⎰⎰≤+≤+-=∈==4122222221)),(()1(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π22120212221----==⎰⎰e e rdr e d r ππθ,⎰⎰≤++-=∈==121222221)),(()2(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π21201021212---==⎰⎰e rdr e d r ππθ,故得Z 的分布律为16. 设X 和Y 是相互独立的随机变量, 其概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-000)(x x e x f x X λλ, ⎩⎨⎧≤>=-000)(y y e y f y Y μμ, 其中λ>0, μ>0是常数, 引入随机变量⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z 当当01.(1)求条件概率密度f X |Y (x |y ); (2)求Z 的分布律和分布函数. 解: (1)由X 和Y 相互独立, 故⎩⎨⎧>>=⋅=+-其他00 ,0)()(),()(y x e y f x f y x f y x Y X μλλμ.当y >0时,⎩⎨⎧≤>===-000)()(),()|(|x x e y f y f y x f y x f x X Y Y X λλ. (2)由于⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z 当当01,且 μλλλλμμλμλ+===≤⎰⎰⎰+∞+-+∞+∞+-0)(0)()(dx e dydx eY X P x xy x ,μλμμλλ+=+-=≤-=>1)(1)(Y X P Y X P ,故Z 的分布律为Z 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=111000)(z z z z F Z μλμ. 17. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为⎩⎨⎧<≤=其他0101)(x x f X , ⎩⎨⎧>=-其他00)(y e y f y Y , 求随机变量Z =X +Y 的概率密度.解: 由于X 和Y 是相互独立的, 故⎩⎨⎧><≤=⋅=-其他00 ,10)()(),(y x e y f x f y x f y Y X , 于是Z =X +Y 的概率密度为⎰+∞∞--⋅=dx x z f x f z f Y X Z )()()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-=⎰⎰其他01)()(10)()(100z dxx z f x f z dx x z f x f Y X x YX ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤=⎰⎰----其他011010)(0)(z dxe z dx e x z x x z ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-=--其他01)1(101z e e z e zz .18. 设某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其概率密度为⎩⎨⎧≤>=-000)(t t te t f t , 设各周的需要量是相互独立的, 试求: (1)两周需要量的概率密度; (2)三周需要量的概率密度.解: (1)设第一周需要量为X , 它是随机变量; 设第二周需要量为Y , 它是随机变量且与X 同分布, 其分布密度为⎩⎨⎧≤>=-000)(t t te t f t . Z =X +Y 表示两周需要的商品量, 由X 和Y 的独立性可知:⎩⎨⎧>>=--其它00,0),(y x ye xe y x f y x .因为z ≥0, 所以当z <0时, f z (z )=0; 当z >0时, 由和的概率公式知 ⎰∞+∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(z yzy z e z dy ye ey z ----=⋅-=⎰6)(30)(, 所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0006)(3z z e z z f z Z .(2)设Z 表示前两周需要量, 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0006)(3z z e z z f z Z ,设ξ表示第三周需要量, 其概率密度为:⎩⎨⎧≤>=-000)(x x xe x f x ξ,Z 与ξ相互独立, η=Z +ξ表示前三周需要量, 则因为η≥0, 所以u <0, f η(u )=0. 当u >0时 ⎰∞+∞--=dy y f y u f u f )()()(ξηdy ye e y u y uy u ---⋅-=⎰0)(3)(61u e u -=1205, 所以η的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00120)(5u u e u u f u η.19. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他00,0)(21),()(y x e y x y x f y x .(1)问X 和Y 是否相互独立？ (2)求Z =X +Y 的概率密度. 解: (1)X 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>+=⎰∞++-000)(21)(0)(x x dy e y x x f y x X⎪⎩⎪⎨⎧<>+=-000)1(21x x e x x ,同理Y 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>+=-000)1(21)(y y e y y f y Y .因为当x >0, y >0时,)()()1)(1(41)(21),()()(y f x f e y x e y x y x f Y X y x y x =++≠+=+-+-,所以X 与Y 不独立. (2)Z 的概率密度为z z x Z e z dx e x z x dx x z x f z f --+∞∞-=-+=-=⎰⎰2021)(21),()((z >0).当z <0时, f Z (z )=0, 所以⎪⎩⎪⎨⎧<>=-0021)(2z z e z z f z Z .20. 设X , Y 是相互独立的随机变量, 它们都服从正态分布N (0, σ 2), 试验证随机变量22Y X z +=具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧>≥=-其他0,0)(2222σσσz e z z f z Z ,称Z 服从参数为σ(σ>0)的瑞利(Rayleigh 分布.解: 因为X , Y 相互独立且均服从正态分布N (0, σ 2), 它们的概率密度分别为22221)(σσπx e x f -=, 22221)(σσπy e y f -= , σ>0,故X 和Y 的联合密度为2222221)()(),(σπσy x e y f x f y x f +-=⋅=.22Y X z +=的分布函数为⎰⎰≤+=≤+=≤=222),()()((z)22z y x Z dxdy y x f z Y X P z Z P F⎰⎰-=zd e d 022202221ρρπσθσρπ2222202211σσρρρσz z ed e---==⎰(z >0),当z ≤0时, F Z (z )=0.于是随机变量22Y X z +=的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≥==-其他00 ,0)()(2222σσσz e z dz z dF z f z Z Z .21. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他00 ,10),()(y x be y x f y x . (1)试确定义常数b ;(2)求边缘概率密度f X (x ), f Y (y );(3)求函数U =max(X , Y )的分布函数. 解: (1)由10)(1=⎰⎰+∞+-dy be dx y x , 即1)1(1010=-=⎰⎰+∞--e b dy e dx e b y x ,得1111-=-=-e e e b .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎰∞++-其他0101)(0)(x dy e e e x f y x X⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-其他0101x e e e x ,⎩⎨⎧≤>==-∞+∞-⎰000),()(y y e dx y x f x f y X . 显然X 与Y 独立.(3)⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=-1110)1(100)(x x e e e x x F x X⎩⎨⎧≤>-=-0001)(y y e x F y Y , 故U =max(X , Y )的分布函数为F U (u )=P (U ≤u )=P (max(X , Y )≤u ) =P (X ≤u , Y ≤u )=P (X ≤u )P (Y ≤u )⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<==--1110)1(100)()(2u eu e e e u u F u F uu Y X .22. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160, 202)分布. 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率.解: 设X 1, X 2, X 3, X 4为4只电子管的寿命, 它们相互独立, 同分布, 其概率密度为:22202)160(2021)(⨯--⋅=t T et f π,⎰∞-⨯-==<18022202)160(20121)180(}180{dt t F X f X π ⎰∞--=-======1220160221du e u ut π令 8413.0)2060180(=-Φ=.设N =min{X 1, X 2, X 3, X 4}, 则P {N >180}=P {X 1>180, X 2>180, X 3>180, X 4>180} =P {X >180}4={1-p [X <180]}4 =(0.1587)4=0.00063.23. 对某种电子装置的输出测量了5次, 得到观察值X 1,X 2, X 3, X 4, X 5, 设它们是相互独立的随机变量且都服从参数σ=2的瑞种分布.(1)求Z =max{X 1, X 2, X 3, X 4, X 5}的分布函数; (2)求P (Z >4).解: 由20题知, X i (i =1, 2, ⋅⋅⋅ , 5)的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其他004)(82x e x x f x X ,分布函数为821)(x X e x F --=(x >0).(1) Z =max{X 1, X 2, X 3, X 4, X 5}的分布函数为 585m ax )1()]([)(2z e z F z F --== (z ≥0), 当z <0时, F max (z )=0.所以Z 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-000)1()(58m ax 2z z e z F z .(2)P (Z >4)=1-P (Z ≤4)=1-F Z (4)5167.0)1(1)1(1525842=--=--=--e e .24. 设随机变量X , Y 相互独立, 且服从同一分布, 试证明 P (a <min{X , Y }≤b )=[P (X >a )]2-[P (X >b )]2 . 解: 因为X 与Y 相互独立且同分布, 故P (a <min{X , Y }≤b )=P (min{X , Y }≤b )-P (min{X , Y }≤a ) =1-P (min{X , Y }>b )-[1-P (min{X , Y }>a )] =P (min{X , Y }>a )-P (min{X , Y }>b ) =P (X >a , Y >a )-P (X >b , Y >b ) =P (X >a )P (Y >a )-P (X >b )P (Y >b ) =[P (X >a )]2-[P (Y >b )]2 .25. 设X , Y 是相互独立随机变量, 其分布律分别为 P (X =k )=p (k ) (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), P (Y =r )=q (r ) (r =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ). 证明随机变量Z =X +Y 的分布律为∑=-==ik k i q k p i Z P 0)()()( (i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ),证明: 因为X 与Y 独立, 且X 与Y 的分布律分别为 P (X =k )=p (k ) (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), P (Y =r )=q (r ) (r =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), 故Z =X +Y 的分布律为∑==+===ik i Y X k X P i Z P 0) ,()( ∑=-===i k k i Y k X P 0) ,( ∑=-===i k k i Y P k X P 0)()( ∑=-=i k k i q k p 0)()( (i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).26. 设X , Y 是相互独立的随机变量, X ~π(λ1), Y ~π(λ2), 证明Z =X +Y ~π(λ1+λ2).证明: 因为X , Y 分别服从参数为λ1, λ2的泊松分布, 故X , Y 的分布律分别为 1!)(1λλ-==e k k X P k (λ1>0),2!)(2λλ-==e r r Y P r (λ2>0),由25题结论知, Z =X +Y 的分布律为 ∑=-====ik k i Y P k X P i Z P 0)()()(∑=----⋅=ik ki k e k i e k 02121)!(!λλλλ∑=-+-⋅-=i k k i k k i k i i e 021)()!(!!!21λλλλ i i e )(!21)(21λλλλ+=+-(i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), 即Z =X +Y 服从参数为λ1+λ2的泊松分布.27. 设X , Y 是相互独立的随机变量, X ~b (n 1, p ), Y ~b (n 2, p ), 证明Z =X +Y ~b (n 1+n 2, p ).证明: Z 的可能取值为0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , 2n , 因为 {Z =i }={X +Y =i }={X =0, Y =0}⋃{X =1, Y =i -1}⋃ ⋅⋅⋅ ⋃{X =i , Y =0}, 由于上述并中各事件互不相容, 且X , Y 独立, 则∑=-====ik k i Y k X P i Z P 0) ,()(∑=-===ik k i Y P k X P 0)()(∑=+-----⋅-=ik k i n ki k i n k n k k n p p C p p C 02211)1()1( ∑=--+⋅-=ik ki n k n k n n i C C p p 02121)1( in i i n n p p C -+-=2)1(21(i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , n 1+n 2), 所以 Z =X +Y ~b (n 1+n 2, p ),即Z =X +Y 服从参数为2n , p 的二项分布.提示:上述计算过程中用到了公式i n n ik k i n k n C C C21210+=-=⋅∑,这可由比较恒等式2121)1()1()1(n n n n x x x ++=++两边x i 的系数得到.28. 设随机变量(X , Y )的分布律为(1)求P {X =2|Y =2), P (Y =3|X =0); (2)求V =max{X , Y }的分布律; (3)求U =min{X , Y }的分布律; (4)求W =V +U 的分布律. 解: (1)由条件概率公式)2()2,2()2|2(======Y P Y X P Y X P08.005.005.005.003.001.005.0+++++=2.025.005.0==.同理 31)0|3(===X Y P .(2)变量V =max{X , Y }.显然V 是一随机变量, 其取值为V : 0, 1, 2, 3, 4, 5. P (V =0)=P (X =0, Y =0)=0,P (V =1)=P (X =1, Y =0)+P (X =1, Y =1)+P (X =0, Y =1) =0.01+0.02+0.01=0.04,P (V =2)=P (X =2, Y =0)+P (X =2, Y =1)+P (X =2, Y =2) +P (Y =2, X =0)+P (Y =2, X =1)=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16, P (V =3)=P (X =3, Y =0)+P (X =3, Y =1) +P (X =3, Y =2)+P (X =3, Y =3)+P (Y =3, X =0)+P (Y =3, X =1)+P (Y =3, X =2), =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28 P (V =4)=P (X =4, Y =0)+P (X =4, Y =1) +P (X =4, Y =2)+P (X =4, Y =3) =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24, P (V =5)=P (X =5, Y =0)+ ⋅⋅⋅ +P (X =5, Y =3) =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28. (3)显然U 的取值为0, 1, 2, 3.P (U =0)=P (X =0, Y =0)+ ⋅⋅⋅ +P (X =0, Y =3)+P (Y =0, X =1)+ ⋅⋅⋅ +P (Y =0, X =5)=0.28. 同理 P (U =1)=0.30, P (U =2)=0.25, P (U =3)=0.17. (4)W =V +U 的取值为0, 1, ⋅⋅⋅ , 8. P (W =0)=P (V =0, U =0)=0,P (W =1)=P (V =0, U =1)+P (V =1, U =0). 因为V =max{X , Y }=0又U =min{X , Y }=1 不可能上式中的P (V =0, U =1)=0,又 P (V =1, U =0)=P (X =1, Y =0)+P (X =0, Y =1)=0.2, 故 P (W =1)=P (V =0, U =1)+P (V =1, U =0)=0.2,P(W=2)=P(V+U=2)=P(V=2, U=0)+P(V=1,U=1) =P(X=2 Y=0)+P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.03+0.01+0.02=0.06,P(W=3)=P(V+U=3)=P(V=3, U=0)+P(V=2,U=1) = P(X=3,Y=0)+P(X=0,Y=3)+P(X=2,Y=1)+P(X=1,Y=2)=0.05+0.01+0.04+0.03=0.13, P(W=4)=P(V=4, U=0)+P(V=3,U=1)+P(V=2,U=2) =P(X=4,Y=0)+ P(X=3,Y=1)+P(X=1,Y=3)+P(X=2,Y=2 =0.19,P(W=5)=P(V+U=5)=P(V=5, U=0)+P(V=5,U=1)+P(V=3,U=2=P(X=5 Y=0)+P(X=5,Y=1)+P(X=3,Y=2)+P(X=2,Y=3) =0.24,P(W=6)=P(V+U=6)=P(V=5, U=1)+P(V=4,U=2) +P(V=3,U=3)=P(X=5,Y=1)+P(X=4,Y=2)+P(X=3,Y=3)=0.19,P(W=7)=P(V+U=7)=P(V=5, U=2)+P(V=4,U=3) =P(V=5,U=2)+P(X=4,Y=3)=0.6+0.6=0.12, P(W=8)=P(V+U=8)=P(V=5, U=3)+P(X=5,Y=3)=0.05.。

概率论与数理统计-第三章作业及答案

习题3-11.而且12{P X X . 求X 1和X 2的联合分布律.解由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04P X P X =⋅==≠, 所以X 1和X 2不独立.2. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为(,)(6),02,24,0,.f x y k x y x y =--<<<<⎧⎨⎩其它求: (1) 常数k ; (2) {1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤.解 (1) 由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰, 得2424222204211d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰, 所以 18k =. (2) 31201,31{1,3}d (6)d 8(,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<==--⎰⎰⎰⎰1322011(6)d 82y x x y =--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰321113()d 828y y =-=⎰. (3) 1.51.5{ 1.5}d (,)d ()d X P X x f x y y f x x +∞-∞-∞-∞<==⎰⎰⎰4 1.521d (6)d 8y x y x --=⎰⎰1.5422011(6)d 82y x x y =--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 421633()d 882y y =-⎰ 2732=. (4) 作直线4x y +=, 并记此直线下方区域与(,)0f x y ≠的矩形区域(0,2)(0,4)⨯的交集为G . 即:02,0G x y <<<≤4x -.见图3-8. 因此{P X Y +≤4}{(,)}P X Y G =∈(,)d d Gf x y x y =⎰⎰4421d (6)d 8x y x y x -=--⎰⎰4422011(6)d 82xy x x y -=--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 42211[(6)(4)(4)]d 82y y y y =----⎰ 42211[2(4)(4)]d 82y y y =-+-⎰ 423211(4)(4)86y y =----⎡⎤⎢⎥⎣⎦23=. 图3-8 第4题积分区域3. 二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2(,),1,01,0,f x y kxy x y x =⎧⎨⎩≤≤≤≤其它.试确定k , 并求2{(,)},:,01P X Y G G x y x x ∈≤≤≤≤.解由2111401(,)d d d (1)d 26xk k f x y xdy x kxy y x x x +∞+∞-∞-∞====-⎰⎰⎰⎰⎰,解得6=k .因而 2112401{(,)}d 6d 3()d 4x xP X Y G x xy y x x x x ∈==-=⎰⎰⎰. 4. 设二维随机变量(X , Y )概率密度为4.8(2),01,0,(,)0,.y x x y x f x y -=⎧⎨⎩≤≤≤≤其它求关于X 和Y 边缘概率密度.解 (,)X Y 的概率密度(,)f x y 在区域:0G ≤x ≤1,0≤y ≤x 外取零值.因而, 有24.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(2),01,0,x X y x y x f x f x y y x x x +∞-∞-<<==-<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎰⎰其它.其它. 124.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(34),01,0,y Y y x x y f y f x y x y y y y +∞-∞-<<==-+<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎰⎰其它.其它.5. 假设随机变量U 在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量 1,1,1,1,U X U --=>-⎧⎨⎩若≤若 1,1,1, 1.U Y U -=>⎧⎨⎩若≤若试求：(1) X 和Y 的联合概率分布；(2){P X Y +≤1}.解 (1) 见本章第三节三(4).(2){P X Y +≤1}1{1}P X Y =-+>1{1,1}P X Y =-==13144=-=. 习题3-21. 设(X , Y )的分布律为求: (1) 在条件X =2下Y 的条件分布律;(2){22}P X Y ≥≤.解 (1) 由于6.02.01.003.0}2{=+++==X P ,所以在条件X =2下Y 的条件分布律为216.03.0}2{}1,2{}2|1{========X P Y X P X Y P ,06.00}2{}2,2{}2|2{========X P Y X P X Y P ,616.01.0}2{}3,2{}2|3{========X P Y X P X Y P ,316.02.0}2{}4,2{}2|4{========X P Y X P X Y P ,{P Y ≤2}{1}{2}P Y P Y ==+==0.10.3000.20.6++++=. 而{2,2}{2,1}{2,2}{3,1}{3,2}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ===+==+==+==≥≤0.3000.20.5=+++=.因此{2,2}{22}{2}P X Y P X Y P Y =≥≤≤≥≤0.550.66==. 2. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为(,)1,01,02,0,.f x y x y x =<<<<⎧⎨⎩其它求：(1) (X , Y )的边缘概率密度(),()X Y f x f y ；(2)11{}.22P Y X ≤≤ 解 (1) 当01x <<时,20()(,)d d 2xX f x f x y y y x +∞-∞===⎰⎰;当x ≤0时或x ≥1时, ()0X f x =. 故 2,01,()0,其它.X x x f x <<=⎧⎨⎩当0<y <2时,12()(,)d d 12y Y y f y f x y x x +∞-∞===-⎰⎰;当y ≤0时或y ≥2时, ()0Y f y =.故 1,02,()20,.Y yy f y -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它(2) 当z ≤0时,()0Z F z =; 当z ≥2时,1)(=z F Z ;当0<z <2时, (){2Z F z P X Y =-≤2}(,)d d x y zz f x y x y -=⎰⎰≤2x12202-2d 1d d 1d zxz x zx y x y =⋅+⋅⎰⎰⎰⎰24z z =-.故 1,02,()20,.()其它Z z zz f z F z -<<'==⎧⎪⎨⎪⎩(3) {}{}11311322161122442≤，≤≤≤≤P X Y P Y X P X ===⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 3. 设G 是由直线y =x , y =3,x =1所围成的三角形区域, 二维随机变量(,)X Y 在G 上服从二维均匀分布.求:(1) (X , Y )的联合概率密度；(2) {1}P Y X -≤；(3) 关于X 的边缘概率密度. 解 (1)由于三角形区域G 的面积等于2, 所以(,)X Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(G y x G y x y x f (2)记区域x y y x D -=|),{(≤}1与G 的交集为0G ,则{1}P Y X -≤0011113d d (2)22224G G x y S ===-=⎰⎰.其中0G S 为G 0的面积.(3) X 的边缘概率密度()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰. 所以,当]3,1[∈x 时, 311()d (3)22X xf x y x ==-⎰. 当1<x 或3>x 时, 0)(=x f X .因此 ⎪⎩⎪⎨⎧∈-=.,0],3,1[),1(21)(其它x x x f X习题3-31. 设X 与Y 相互独立, 且分布律分别为下表:求二维随机变量(,)X Y 的分布律.解由于X 与Y 相互独立, 所以有}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =⋅====,6,5,2,0;0,21,1=--=j i .因此可得二维随机变量(,)X Y 的联合分布律2. 设(X , Y )的分布律如下表:问,αβ为何值时X 与Y 相互独立? 解由于边缘分布满足23111,1i j i j p p ⋅⋅====∑∑, 又X , Y 相互独立的等价条件为 p ij = p i . p .j (i =1,2; j =1,2,3).故可得方程组 21,3111().939αβα++==⋅+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得29α=,19β=.经检验, 当29α=,19β=时, 对于所有的i =1,2; j =1,2,3均有p ij = p i . p .j 成立.因此当29α=,19β=时, X 与Y 相互独立..3. 设随机变量X 与Y 的概率密度为()e (,)0,.,01,0,x y b f x y x y -+=⎧<<>⎨⎩其它 (1) 试确定常数b .(2) 求边缘概率密度()X f x , ()Y f y . (3) 问X 与Y 是否相互独立？解 (1) 由11()101(,)d d ed de d e d (1e )x y yx f x y x y b y x b y x b +∞+∞+∞+∞-+----∞-∞====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰,得 111e b -=-.(2) ()(,)d X f x f x y y ∞-∞=⎰1e ,01,1e 0,xx --<<=-⎧⎪⎨⎪⎩其它.()(,)d Y f y f x y x ∞-∞=⎰e ,0,0,y y ->=⎧⎨⎩其它.(3) 由于(,)()()X Y f x y f x f y =⋅，所以X 与Y 相互独立.4. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为21e ,0,()20Y yy f y y ->=⎧⎪⎨⎪⎩，≤0.(1) 求X 和Y 的联合概率密度.(2) 设关于a 的二次方程为220a Xa Y ++=, 试求a 有实根的概率.解 (1) 由题设知X 和Y 的概率密度分别为1,01,()0,X x f x <<=⎧⎨⎩其它， 21e ,0,()20,.yY y f y ->=⎧⎪⎨⎪⎩其它因X 和Y 相互独立, 故(X , Y )的联合概率密度为21e ,01,0(,)()()20,.yX Y x y f x y f x f y -<<>==⎧⎪⎨⎪⎩其它(2) 方程有实根的充要条件是判别式大于等于零. 即244X Y ∆=-≥20X ⇔≥Y .因此事件{方程有实根}2{X =≥}Y .下面计算2{P X ≥}Y (参见图3-3).2{P X ≥}Y 2211221(,)d d e d (1e)d 2yxx Df x y xdy x y x --===-⎰⎰⎰⎰⎰2121ed 12[(1)(0)]0.1445xx πΦΦ-=-=--≈⎰.图3-3 第6题积分区域习题3-41. 设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为YX 0 10 0.4 a 1 b 0.1若随机事件{X =0}与{X +Y =1}相互独立, 求常数a , b .解首先, 由题设知0.40.11a b +++=. 由此得0.5a b +=. 此外,{0}0.4P X a ==+,{1}{0,1}{1,0}0.5P X Y P X Y P X Y a b +====+===+=, {0,1}{0,1}P X X Y P X Y a =+=====. 根据题意有{0,1}{0}{1}P X X Y P X P X Y =+===+=,即(0.4)0.5a a =+⨯. 解得0.4,0.1a b ==.2. 设两个相互独立的随机变量X ,Y 的分布律分别为X 1 3 Y 2 4 P X 0.3 0.7 P Y 0.6 0.4求随机变量Z = X + Y 的分布律. 解随机变量Z = X + Y 的可能取值为7,5,3.Z 的分布律为18.06.0.03}2,1{}3{=⨯=====Y X P Z P , {5}{1,4}{3,2}0.30.4070.60.54P Z P X Y P X Y ====+===⨯+⨯=,28.04.07.0}4,3{}7{=⨯=====Y X P Z P ,或写为Z 3 57 P Z0.180.540.283. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X 服从正态分布N (μ, σ2), Y 服从均匀分布U (-a , a )( a >0), 试求随机变量和Z =X +Y 的概率密度.解已知X 和Y 的概率密度分别为22()2()e2x X f x μσπσ--=, ),(+∞-∞∈x ; ⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=).,(,0),,(,21)(a a y a a y ay f Y .由于X 和Y 相互独立, 所以22()21()()()d e d 22z y a Z X Y a f z f z y f y y y a μσπσ---+∞-∞-=-=⎰⎰=1[()()]2z μa z μa ΦΦa σσ-+---. 4. 设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形G={(x,y )|1≤x ≤3, 1≤y ≤3}上的均匀分布, 试求随机变量U=|X -Y|的概率密度f (u ).解由题设知, X 和Y 的联合概率密度为111,3,3,(,)40,.x y f x y =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤其它记()F u 为U 的分布函数, 参见图3-7, 则有当u ≤0时,(){||F u P X Y =-≤u }=0; 当u ≥2时,()1F u =;当0< u <2时, 图3-7 第8题积分区域||(){}(,)d d x y uF u P U u f x y x y -==⎰⎰≤≤21[42(2)]412u =-⨯- 211(2)4u =--.故随机变量||U X Y =-的概率密度为1(2),02,()20,u u p u -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它..总习题三1. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=.,0,10,||,1),(其它x x y y x f 求条件概率密度)|()|(||y x f x y f Y X X Y 和.解首先2,01,()0,.(,)其它X x x f x f x y dy +∞-∞<<==⎧⎨⎩⎰1,01,()1,10,0,(,)≤其它.Y y y f y y y f x y dx +∞-∞-<<==+-<⎧⎪⎨⎪⎩⎰图3-9第1题积分区域当01y <<时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x <<-=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.当1y -<≤0时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x -<<+=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.当10<<x 时, |1,||,(|)20,Y X y x f y x x y <=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.2. 设随机变量X 与Y 相互独立, 下表列出二维随机变量(,)X Y 的分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中部分数值, 试将其余数值填入表中空白处 .解首先, 由于11121{}{,}{,}P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==, 所以有11121111{,}{}{,}6824P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=.在此基础上利用X 和Y 的独立性, 有11111{,}124{}1{}46P X x Y y P X x P Y y =======.于是 2113{}1{}144P X x P X x ==-==-=.再次, 利用X 和Y 的独立性, 有12211{,}18{}1{}24P X x Y y P Y y P X x =======.于是 312111{}1{}{}1623P Y y P Y y P Y y ==-=-==--=.最后, 利用X 和Y 的独立性, 有2222313{,}{}{}428P X x Y y P X x P Y y ======⨯=; 2323311{,}{}{}434P X x Y y P X x P Y y ======⨯=;1313111{,}{}{}4312P X x Y y P X x P Y y ======⨯=.因此得到下表3. (34)e (,)0,.,0,0,x y k f x y x y -+=⎧>>⎨⎩其它(1) 求常数k ；(2) 求(X ,Y )的分布函数；(3) 计算{01,02}P X Y <<≤≤; (4) 计算(),x f x ()y f y ；(5) 问随机变量X 与Y 是否相互独立? 解 (1)由3401(,)d d e d e d 12xy kf x y x y k x y +∞+∞+∞+∞---∞-∞===⎰⎰⎰⎰,可得12=k .(2) (X ,Y )的分布函数(,)(,)d d x y F x y f u v x y -∞-∞=⎰⎰.当x ≤0或y ≤0时,有 0),(=y x F ; 当0,0>>y x 时, 34340(,)12e d e d (1e )(1e )x yuv x y F x y u v ----==--⎰⎰.即 34(1e )(1e ),0,0,(,)0,.其它x y x y F x y --⎧-->>=⎨⎩(3) {01,02}P X Y <<≤≤38(1,2)(0,0)(1e )(1e )F F --=-=--.(4) (34)012ed ,0,()(,)d 0,其它.x y X y x f x f x y y +∞-++∞-∞⎧>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰所以 33e ,0,()0,其它.x X x f x -⎧>=⎨⎩类似地, 有44e ,0,()0,其它.y Y y f y -⎧>=⎨⎩ 显然2),(),()(),(R y x y f x f y x f Y X ∈∀⋅=, 故X 与Y 相互独立. 4.解已知),(Y X 的分布律为注意到41260}1{}1{=++====Y P X P , 而0}1,1{===Y X P ,可见P {X =1, Y =1}≠P {X =1}P {Y =1}. 因此X 与Y 不相互独立.(2) Z X Y =+的可能取值为3, 4, 5, 6, 且316161}1,2{}2,1{}3{=+===+====Y X P Y X P Z P ,}1,3{}2,2{}3,1{}4{==+==+====Y X P Y X P Y X P Z P3112161121=++=, 316161}2,3{}3,2{}5{=+===+====Y X P Y X P Z P . 即Z X Y =+(3) max{,}V X Y =的可能取值为2, 3, 且21}2,2{}1,2{}2,1{}2{===+==+====Y X P Y X P Y X P V P , 21}2{1}3{==-==V P V P . 即max(,)V X Y =的分布律为(4) min{U =}3,1{}2,1{}1{==+====Y X P Y X P U P}1,2{}1,3{==+==+Y X P Y X P 21=, 21}1{1}2{==-==U P U P . 即min{,}U X Y =的分布律为(5) W U V =+31}1,2{}2,1{}2,1{}3{===+=======Y X P Y X P V U P W P ,}2,2{}3,1{}4{==+====V U P V U P W P31}2,2{}1,3{}3,1{===+==+===y X P Y X P Y X P ,31}2,3{}3,2{}3,2{}5{===+=======Y X P Y X P V U P W P .5. 2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它.(1) 求P {X >2Y }; (2) 求Z = X +Y 的概率密度f Z (z ).解 (1) 1120227{2}(,)d d d (2)d 24yx yP X Y f x y x y y x y x >>==--=⎰⎰⎰⎰. (2) 方法一: 先求Z 的分布函数:()()(,)d d Z x y zF z P X Y Z f x y x y +=+=⎰⎰≤≤.当z <0时, F Z (z )<0; 当0≤z <1时, 1()(,)d d d (2)d z z yZ D F z f x y x y y x y x -==--⎰⎰⎰⎰= z 2-13z 3; 当1≤z <2时, 2111()1(,)d d 1d (2)d Z z z yD F z f x y x y y x y x --=-=---⎰⎰⎰⎰= 1-13(2-z )3; 当z ≥2时, F Z (z ) = 1.故Z = X +Y 的概率密度为222,01,()()(2),12,0,Z Z z z z f z F z z z ⎧-<<⎪'==-<⎨⎪⎩≤其它.方法二: 利用公式()(,)d :Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰2(),01,01,(,)0,x z x x z x f x z x ---<<<-<⎧-=⎨⎩其它 2,01,1,0,.z x x z x -<<<<+⎧=⎨⎩其它当z ≤0或z ≥2时, f Z (z ) = 0; 当0<z <1时, 0()(2)d (2);zZ f z z x z z =-=-⎰当1≤z <2时, 121()(2)d (2).Zz f z z x z -=-=-⎰故Z = X +Y 的概率密度为222,01,()(2),12,0,.Z z z z f z z z ⎧-<<⎪=-<⎨⎪⎩≤其它.6. 设随机变量(X , Y )得密度为21,01,02,(,)30,.其它x xy x y x y ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩≤≤≤≤试求: (1) (X , Y )的分布函数; (2) (X , Y )的两个边缘分布密度; (3) (X , Y )的两个条件密度; (4) 概率P {X +Y >1}, P {Y >X }及P {Y <12|X <12}.解 (1) 当x ≤0或y ≤0时, φ(x , y ) = 0, 所以 F (x , y ) = 0.当0<x ≤1, 0<y ≤2时, φ(x , y ) = x 2+13xy ,所以 201(,)(,)d d [()d ]d 3x yx yF x y u v u v u uv v u -∞-∞==+⎰⎰⎰⎰ϕ32211312x y x y =+. 当0<x ≤1, y >2时,2(,)(,)d d [(,)d ]d [(,)d ]d xyx y x F x y u v u v u v v u u v v u -∞-∞===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ϕϕϕ22001[()d ]d 3xu uv v u =+⎰⎰21(21)3x x =+. 当x >1, 0<y ≤2时,1(,)(,)d d [(,)d ]d xyyF x y u v u v u v v u -∞-∞==⎰⎰⎰⎰ϕϕ12001[()d ]d 3y u uv v u =+⎰⎰1(4)12y y =+. 当x >1, y >2时,122001(,)[()d ]d 13F x y u uv v u =+=⎰⎰.综上所述, 分布函数为220,00,1(),01,02,341(,)(21),01,2,31(4),1,02,121,1, 2.或≤≤≤≤≤≤x y y x y x x y F x y x x x y y y x y x y ⎧⎪⎪+<<⎪⎪⎪=+<>⎨⎪⎪+><⎪⎪>>⎪⎩(2) 当0≤x ≤1时,22202()(,)d ()d 2,33X xy x x y y x y x x ϕϕ+∞-∞==+=+⎰⎰ 故 222,01,()30,.其它≤≤X x x x x ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩当0≤y ≤2时,12011()(,)d ()d ,336Y xy y x y x x x y ϕϕ+∞-∞==+=+⎰⎰ 故 11,02,()360,.其它≤≤Y y y y ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩(3) 当0≤y ≤2时, X 关于Y = y 的条件概率密度为2(,)62(|).()2Y x y x xy x y y yϕϕϕ+==+当0≤x ≤1时, Y 关于X = x 的条件概率密度为(,)3(|).()62X x y x yy x y x ϕϕϕ+==+(4) 参见图3-10.图3-10 第9题积分区域图3-11 第9题积分区域1{1}(,)d d x y P X Y x y x y ϕ+>+>=⎰⎰12201165d ()d .372xx x xy y -=+=⎰⎰ 同理, 参见图3-11.{}(,)d d y xP Y X x y x y ϕ>>=⎰⎰122117d ()d .324xx x xy y =+=⎰⎰ 1111{,}(,)112222{|}1122{}()22X P X Y F P Y X P X F <<<<==<211(,)22121()534.32()d |Xy x y x x x ϕ+==⎰。

概率论与数理统计浙大四版习题答案第三章

第三章多维随机变量及其分布1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。

考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。

我们定义随机变量X ，Y 如下：⎪⎩⎪⎨⎧= 若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品,1,,0X ⎪⎩⎪⎨⎧=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品,1,,0Y试分别就（1）（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律。

解：（1）放回抽样情况由于每次取物是独立的。

由独立性定义知。

P (X=i , Y=j )=P (X=i )P (Y=j ) P (X=0, Y=0 )=362512101210=⋅ P (X=0, Y=1 )=3651221210=⋅ P (X=1, Y=0 )=3651210122=⋅ P (X=1, Y=1 )=361122122=⋅ 或写成（2）不放回抽样的情况P {X=0, Y=0 }=66451191210=⋅ P {X=0, Y=1 }=66101121210=⋅P {X=1, Y=0 }=66101110122=⋅ P {X=1, Y=1 }=661111122=⋅ 或写成3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表示Y 的联合分布律。

解：（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C CP {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=05.[三] 设随机变量（X ，Y ）概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它,042,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k 。

概率论与数理统计第三章习题及答案

《概率论与数理统计》习题及答案第三章

《概率论与数理统计》习题及答案第三章1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。

解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以11()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。

解从a b +个球中任取r 个球共有ra b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有kr kb aC C -，所以X 的分布列为()k r kb ara bC C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+，此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。

3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。

解设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。

则1231111(0)()23424P X P A A A ===⋅⋅=， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++111121113623423423424=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++1211131231123423423424=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=，1231236(3)()23424P X P A A A ===⋅⋅=. 即X 的分布列为01231611624242424XP. 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。

概率论与数理统计第三章自测题与答案

第三章多维随机变量及其分布自测题(90分钟)一、单项选择题（每题3分，共15分）1．设),1,0(~,21N X X 则21X X Y += （）（A ）)2,0(~N Y （B ）)1,0(~N Y （C ）)2,0(~N Y （D ）Y 不一定服从正态分布 2．设Y X ,相互独立，都服从区间[0,1]上的均匀分布，则服从区间或区域上的均匀分布的是（）（A ）()Y X , （B ）Y X + （C ）2X （D ）Y X -3．设随机变量X 和Y , 已知,73}0{}0{,71}0,0{=≤=≤=≤≤Y P X P Y X P =≤}0),{min(Y X P 则（）（A ）73 （B ）72 （C ）75 （D ）49164．设Y X ,相互独立，且都服从标准正态分布，则（）（A ）41}0{=≥+Y X P （B ）41}0{=≥-Y X P （C ）41}0),{max(=≥Y X P （D ）41}0),{min(=≥Y X P5．设两个随机变量Y X ,相互独立，且5.0}1{}1{}1{}1{=====-==-=Y P X P Y P X P ，则下列各式中正确的是（）（A ）1}{==Y X P （B ）5.0}{==Y X P （C ）25.0}0{==+Y X P （D ）25.0}0{==XY P 二、填空题（每空3分，共24分）1．设()Y X ,的联合分布律如下，且事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，则a= , b= .2．设Y X ,相互独立，表中列出()Y X ,的联合分布律和关于X 和Y 的边缘分布律的部分数值，3．设Y X ,相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则=≤}1),{max(Y X P 。

4．设随机变量X 和Y 相互独立都服从b (2,p )，且95}1{=≥X P ，则}1{=+Y X P ＝。

5．已知()Y X ,的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他,00,),(yx e y x f y ，则=≤+}1{Y X P ，}21{≤Y X P ＝。

概率论与数理统计(经管类)第三章课后习题答案

P Z 40 P X 20, Y 20 20 6
P Z 30 P X 10, Y 20 20 3
P Z 20 P X 20, Y 0 20
P Z 10 P X 10, Y 0 P X 20, Y
P Z 0 P X 10, Y 则 Z=X‐Y 的分布律为
2 10 20
Z=X‐Y ‐40 ‐30 ‐20 ‐10 0
4. 设随机变量 X,Y 相互独立,且服从[0,1]上的均匀分布,求 X+Y 的概率密度. 解: 因 X,Y 都服从[0,1]上的均匀分布,且相互独立故fX x fY y 1, f x, y fX x fY y
设 Z=X+Y
当0 z 1时
Z ZX
FZ
f x, y dydx
Z ZX
1dydx
Z
z xdx
;
P X 1, Y 0 P X 1 P Y 0
;
P X 1, Y 1 P X 1 P Y 1
;
(X,Y)的分布律与边缘分布律为
Y
X
0
1
p·
16
4
20
0
25 25 25
4
1
1
1
25 25
5
p·
20 25
1 5
(2) 不放回抽样的情况:
P X 0, Y 0 P X 0 P Y 0
;
P X 0, Y 1 P X 0 P Y 1
0, 其他.
0, 其他.
关于 Y 的边缘密度为
fY y
1
√2 24xydx , 0 y
0, 其他.
1 , 6x, 0 √3 =
y
1,
√3
0, 其他.
注意积分限为 Y 的值域,后面却要写 X 的值域哦~

浙江大学《概率论与数理统计》配套题库【课后习题】第1章~第3章【圣才出品】

第二部分课后习题第1章概率论的基本概念1．写出下列随机试验的样本空间S：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果；（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：（1）以n表示该班的学生数，总成绩的可能取值为0，1，2，3，…，100n，试验的样本空间为（2）设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品，样本空间为或写成（3）采用0表示检查到一件次品，以1表示检查到一件正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为（4）取一直角坐标系，则有，若取极坐标系，则有2．设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B与C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A，B，C中至少有一个发生；（4）A，B，C都发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C中不多于一个发生；（7）A，B，C中不多于两个发生；（8）A，B，C中至少有两个发生．解：以下分别用表示（1），（2），…，（8）中所给出的事件．一个事件不发生即为它的对立事件发生，例如事件A不发生即为发生．（1）A发生，B与C不发生，表示A，，同时发生，故或写成；（2）A与B都发生而C不发生，表示A，B，同时发生，故或写成；（3）①方法1由和事件的含义知，事件即表示A，B，C中至少有一个发生，故；②方法2事件“A，B，C至少有一个发生”是事件“A，B，C都不发生”的对立事件，因此，；③方法3事件“A，B，C中至少有一个发生”表示三个事件中恰有一个发生或恰有两个发生或三个事件都发生，因此，又可写成（4）；（5）；（6）“A，B，C中不多于一个发生”表示A，B，C都不发生或A，B，C中恰有一个发生，因此，；又“A，B，C中不多于一个发生”表示“A，B，C中至少有两个不发生”，亦即，，中至少有一个发生，因此又有；又“A，B，C中不多于一个发生”是事件G＝“A，B，C中至少有两个发生”的对立事件．而事件G可写成，因此又可将写成（7）“A，B，C中不多于两个发生”表示A，B，C都不发生或A，B，C中恰有一个发生或A，B，C中恰有两个发生．因此又“A，B，C中不多于两个发生”表示A，B，C中至少有一个不发生，亦即中至少有一个发生，即有；又“A，B，C中不多于两个发生”是事件“A，B，C三个都发生”的对立事件，因此又有；（8），也可写成．3．（1）设A，B，C是三个事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝，P（AB）＝P（BC）＝0，P（AC）＝，求A，B，C至少有一个发生的概率．（2）已知P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，P（AB）＝，P（AC）＝，P（BC）＝，P（ABC）＝，求，，，，，的概率．（3）已知P（A）＝，（i）若A，B互不相容，求；（ii）若P（AB）＝，求．解：（1）由，已知，故，得，所求概率为．（2）记，由加法公式（3）（i）；（ii）．4．设A、B是两个事件（1）已知，验证A＝B；（2）验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P（A）＋P（B）－2P（AB）．解：（1）假设，故有，则,即AS＝SB，故有A＝B．（2）A，B恰好有一个发生的事件为，其概率为5．10片药片中有5片是安慰剂（1）从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率；（2）从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率．解：（1）p＝1－P（取到的5片药片均不是安慰剂）－P（取到的5片药片中只有1片是安慰剂），即p（2）．6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．（1）求最小号码为5的概率；（2）求最大号码为5的概率．解：在房间里任选3人，记录其佩戴的纪念章的号码，10人中任选3人共有＝种选法，此即为样本点的总数．以A记事件“最小的号码为5”，以B记事件“最大的号码为5”．（1）因选到的最小号码为5，则其中一个号码为5且其余两个号码都大于5，它们可从6～10这5个数中选取，故，从而；（2）同理，，故．7．某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客．问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：以S表示：在17桶油漆中任取9桶给顾客．以A表示事件“顾客取到4桶白漆、。

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案1．设二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值：)0,0(，)1,1(-，31,1(-及)0,2(，且取这几组值的概率依次为61，31，121和125，求二维随机变量),(Y X 的联合分布律．解：由二维离散型随机变量分布律的定义知，),(Y X 的联合分布律为2．某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名．现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席．设X ，Y 分别为主席来自理科、工科的人数，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：(1)由题意，X 的可能取值为0，1，2，Y 的可能取值为0，1，2，3，则561)0,0(3833====C C Y X P ，569)1,0(381323====C C C Y X P ，569)2,0(382313====C C C Y X P ，561)3,0(3833====C C Y X P ，283)0,1(382312====C C C Y X P ，289)1,1(38131312====C C C C Y X P ，283)2,1(382312====C C C Y X P ，0)3,1(===Y X P ，563)0,2(381322====C C C Y X P ，563)1,2(381322====C C C Y X P ，0)2,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ．),(Y X 的联合分布律为：(2)X 的边缘分布律为X 012P1452815283Y 的边缘分布律为Y 0123P285281528155613．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他．,0,42,20),6(),(y x y x k y x f 求：(1)常数k ；(2))3,1(<<Y X P ；(3))5.1(<Y P ；(4))4(≤+Y X P ．解：方法1：(1)⎰⎰⎰⎰--==∞+∞-∞+∞-422d d )6(d d ),(1yx y x k y x y x f ⎰--=42202d |)216(y yx x x k k y y k 8d )210(42=-=⎰，∴81=k ．(2)⎰⎰∞-∞-=<<31d d ),()3,1(y x y x f Y X P ⎰⎰--=32102d d )216(yx yx x x ⎰--=32102d |)216(81y yx x x 83|)21211(81322=-=y y ．(3)),5.1()5.1(+∞<<=<Y X P X P ⎰⎰∞+∞-∞---=5.1d d )6(81yx y x ⎰⎰--=425.10d d )6(81y x y x y yx x x d )216(81422⎰--=3227|)43863(81422=-=y y ．(4)⎰⎰≤+=≤+4d d ),()4(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2042d )6(d 81x y y x x ⎰+-⋅=202d )812(2181x x x 32|)31412(1612032=+-=x x x ．方法2：(1)同方法1．(2)20<<x ，42<<y 时，⎰⎰∞-∞-=yxv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=y xv u v u 20d d )6(81⎰--=y xv uv u u 202d |)216(81⎰--=y v xv x x 22d )216(81y xv v x xv 222|)21216(81--=)1021216(81222x xy y x xy +---=，其他，0),,(=y x F ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+---=其他．,0,42,20),1021216(81),(222y x x x xy y x xy y x F 83)3,1()3,1(==<<F Y X P ．(3))42,5.1(),5.1()5.1(<<<=+∞<<=<Y X P Y X P X P )2,5.1()4,5.1(<<-<<=Y X P Y X P 3227)2,5.1()4,5.1(=-=F F ．(4)同方法1．4．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=--其他．,0,0,0,e ),(2y x A y x f y x 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞+∞+--∞+∞-∞+∞-==02d d e d d ),(1yx A y x y x f y x ⎰⎰∞+∞+--=02d e d e y x A y x2|)e 21(|)e (020A A y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=A ．(2)0>x ，0>y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=yxv u vu 02d d e 2yv x u 020|)e 21(|)e (2---⋅-=)e 1)(e 1(2y x ----=，其他，0),(=y x F ，∴⎩⎨⎧>>--=--其他．,0,0,0),e 1)(e 1(),(2y x y x F y x ．5．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,10,10,),(y x Axy y x f 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)2121d d d d ),(11010⋅⋅===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-A y y x x A y x y x f ，∴4=A ．(2)10≤≤x ，10≤≤y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=yxv u uv 0d d 4220202||y x v u yx =⋅=，10≤≤x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4xv u uv 210202||x v u x =⋅=，10≤≤y ，1>x 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4yu v uv 202102||y v u y =⋅=，1>x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=101d d 4v u uv 1||102102=⋅=v u ，其他，0),(=y x F ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤=其他．,0,1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,),(2222y x y x y y x x y x y x y x F ．6．把一枚均匀硬币掷3次，设X 为3次抛掷中正面出现的次数，Y 表示3次抛掷中正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：由题意知，X 的可能取值为0，1，2，3；Y 的可能取值为1，3．易知0)1,0(===Y X P ，81)3,0(===Y X P ，83)1,1(===Y X P ，0)3,1(===Y X P 83)1,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ，0)1,3(===Y X P ，81)3,3(===Y X P 故),(Y X 得联合分布律和边缘分布律为：7．在汽车厂，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的：一是紧固3只螺栓；二是焊接2处焊点，以X 表示由机器人紧固的螺栓紧固得不牢的数目，以Y 表示由机器人焊接的不良焊点的数目，且),(Y X 具有联合分布律如下表：求：(1)在1=Y 的条件下，X 的条件分布律；(2)在2=X 的条件下，Y 的条件分布律．解：(1)因为)1,3()1,2()1,1()1,0()1(==+==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P Y P 08.0002.0008.001.006.0=+++=，所以43)1()1,0()1|0(=======Y P Y X P Y X P ，81)1()1,1()1|1(=======Y P Y X P Y X P ，101)1()1,2()1|2(=======Y P Y X P Y X P ，401)1()1,3()1|3(=======Y P Y X P Y X P ，故在1=Y 的条件下，X 的条件分布律为X 0123P4381101401(2)因为)2,2()1,2()0,2()2(==+==+====Y X P Y X P Y X P X P 032.0004.0008.002.0=++=，所以85)2()0,2()2,0(=======X P Y X P X Y P ，41)2()1,2()2,1(=======X P Y X P X Y P ，81)2()2,2()2,2(=======X P Y X P X Y P ，故在2=X 的条件下，Y 的分布律为：Y 012P8541818．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e ),()2(y x c y x f y x 求：(1)常数c ；(2)X 的边缘概率密度函数；(3))2(<+Y X P ；(4)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞+∞++-∞+∞-∞+∞-==0)2(d d e d d ),(1yx c y x y x f y x⎰⎰∞+∞+--=02d e d ey x c y x2|)e (|)e 21(002c c y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=c ．(2)0>x 时，⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(⎰∞++-=0)2(d e 2y y x x y x 202e 2|)e (e 2-+∞--=-=，0≤x 时，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(2x x x f x X ，同理⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)⎰⎰<+=<+2d d ),()2(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=20202d d e 2xy x yx 422202e e 21d e d e 2-----+-==⎰⎰xy x y x ．(4)由条件概率密度公式得，当0>y 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e 2,0,0,e e 2)(),()|(22|x x y f y x f y x f xy y x Y Y X ，同理，当0>x 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e ,0,0,2e e 2)(),()|(22|y y x f y x f x y f yx y x X X Y ．9．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他．,0,0,10,3),(x y x x y x f 求：(1)关于X 、Y 的边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)10<<x 时，⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(203d 3x y x x==⎰，其他，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,3)(2x x x f X ，密度函数的非零区域为}1,10|),{(}0,10|),{(<<<<=<<<<x y y y x x y x y x ，∴10<<y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()()1(23d 321y x x y-==⎰，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10),1(23)(2y y y f Y ．(2)当10<<y 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他．其他．,0,1,12,0,1,)1(233)(),()|(22|x y y x x y y xy f y x f y x f Y Y X ．当10<<x 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==其他．其他．,0,0,1,0,0,33)(),()|(2|x y x x y x x x f y x f x y f X X Y ．10．设条件密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其他．,0,10,3)|(32|y x y x y x f Y X Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,5)(4y y y f Y 求21(>X P ．解：⎩⎨⎧<<<==其他．,0,10,15)|()(),(2|y x y x y x f y f y x f Y X Y ，则6447d )(215d d 15d d ),(21(121421211221=-===>⎰⎰⎰⎰⎰>x x x x y y x y x y x f X P xx ．11．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他．,0,20,10,3),(2y x xyx y x f 求：(1)),(Y X 的边缘概率密度；(2)X 与Y 是否独立；(3))),((D Y X P ∈，其中D 为曲线22x y =与x y 2=所围区域．解：(1)10<<x 时，x x y xy x y y x f x f X 322d )3(d ),()(222+=+==⎰⎰∞+∞-，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,10,322)(2x x x x f X ，20<<y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(316)d 3(12+=+=⎰y x xy x ，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,20,316)(y y y f Y ．(2)∵),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(3)}22,10|),{(2x y x x y x D ≤≤<<=，∴⎰⎰+=∈102222d d 3()),((xxx y xy x D Y X P 457d )32238(10543=--=⎰x x x x ．12．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=-其他．,0,0,0,e )1(),(2y x y xy x f x试讨论X ，Y 的独立性．解：当0>x 时，xx x X x yx y y x y y x f x f -∞+-∞+-∞+∞-=+-=+==⎰⎰e |11e d )1(e d ),()(002，当0≤x 时，0)(=x f X ，故⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(x x x x f x X ，同理，可得⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=．0,0,0,)1(1)(2y y y y f Y ，因为)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X 与Y 相互独立．13．设随机变量),(Y X 在区域}|),{(a y x y x g ≤+=上服从均匀分布，求X 与Y 的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他．,0,,21),(2a y x a y x f ，当0<<-x a 时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f xa x a X +===⎰⎰++-∞+∞-，当a x <≤0时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f x a x a X -===⎰⎰---∞+∞-，当a x ≥时，0d ),()(==⎰+∞∞-y y x f x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a x a x x a a x f X ,0,),(1)(2，同理，由轮换对称性，可得⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a y a y y a a y f Y ,0,),(1)(2，显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立．14．设X 和Y 时两个相互独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2y y y f yY (1)求X 和Y 的联合概率密度；(2)设含有a 的二次方程为022=++Y aX a ，试求a 有实根的概率．解：(1)由题可知X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,1)(x x f X ，因为X 与Y 相互独立，所以),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其他．,0,0,10,e 21)()(),(2y x y f x f y x f y Y X ，(2)题设方程有实根等价于}|),{(2X Y Y X ≤，记为D ，即}|),{(2X Y Y X D ≤=，设=A {a 有实根}，则⎰⎰=∈=Dy x y x f D Y X P A P d d ),()),(()(⎰⎰⎰---==1021002d )e 1(d d e 2122xx y x x y⎰--=12d e12x x ⎰--=12d e 21212x x ππππ23413.01)]0()1([21-=Φ-Φ-=．15．设i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，求行列式4321X X X X X =的分布律．解：由i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，易知41X X ～)84.0,16.0(b ，32X X ～)84.0,16.0(b ．因为1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，所以41X X 与32X X 也相互独立，又32414321X X X X X X X X X -==，则X 的所有可能取值为1-，0，1，有)1()0()1,0()1(32413241======-=X X P X X P X X X X P X P 1344.016.084.0=⨯=，)1,1()0,0()0(32413241==+====X X X X P X X X X P X P )1()1()0()0(32413241==+===X X P X X P X X P X X P 7312.016.016.084.084.0=⨯+⨯=，)0()1()0,1()1(32413241=======X X P X X P X X X X P X P 1344.084.016.0=⨯=，故X 的分布律为X 1-01P1344.07312.01344.016．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e 2),()2(y x y x f y x 求Y X Z 2+=的分布函数及概率密度函数．解：0≤z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；若0>x ，则0<-=x z y ，也有0),(=y x f ，即0≤z 时，0),(=y x f ，此时，0d d ),()2()()(2==≤+=≤=⎰⎰≤+zy x Z y x y x f z Y X P z Z P z F ．0>z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；只有当z x ≤<0且02>-=xz y 时，0),(≠y x f ，此时，⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 2d d ),()2()()(⎰⎰-+-=zx z y x y x 020)2(d e 2d z z z ----=e e 1．综上⎩⎨⎧≤>--=--．0,0,0,e e 1)(z z z z F z z Z ，所以⎩⎨⎧≤<='=-．0,0,0,e )()(z z z z F z f z Z Z ．17．设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他．,0,10,1)(x x f X ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y 求Y X Z +=的概率密度．解：0<z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；若0≥x ，则0<-=x z y ，0)(=-x z f Y ，即0<z 时，0)()(=-x z f x f Y X ，此时，0d )()()(=-=⎰∞+∞-x x z f x f z f Y X Z ．10≤≤z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；只有当z x ≤≤0且0>-=x z y 时0)()(≠-x z f x f Y X ，此时，z zx z Y X Z x x x z f x f z f ---∞+∞--==-=⎰⎰e 1d e d )()()(0)(．1>z 时，若0<x ，0)(=x f X ；若1>x ，0)(=x f X ；若10≤≤x ，则0>-=x z y ，此时，0)()(≠-x z f x f Y X ，z x z Y X Z x x x z f x f z f ---∞+∞--==-=⎰⎰e )1e (d e d )()()(1)(．综上，⎪⎩⎪⎨⎧<>-≤≤-=--．0,0,1,e )1e (,10,e 1)(z z z z f z z Z ．18．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他．,0,0,0,e)(21),()(y x y x y x f y x (1)X 和Y 是否相互独立？(2)求Y X Z +=的概率密度．解：(1)),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(2)0≤z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；若0>x ，则0<-=x z y ，0),(=y x f ，此时，0d ),()(=-=⎰∞+∞-x x z x f z f Z ．0≥z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；只有当z x <<0且0>-=x z y 时0),(≠y x f ，此时，⎰∞+∞--=x x z x f z f Z d ),()(⎰+-+=zy x x y x 0)(d e)(21⎰-=z z x z 0d e 21z z -=e 212，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2z z z z f zZ ．19．设X 和Y 时相互独立的随机变量，它们都服从正态分布),0(2σN ．证明：随机变量22Y X Z +=具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．证：因为X 与Y 相互独立，均服从正态分布),0(2σN ，所以其联合密度函数为2222)(2e 121),(σσπy x y x f +-⋅=，(+∞<<∞-y x ,)当0≥z 时，有⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 22d d ),()()()(22⎰⎰≤++-⋅=zy x y x y x 22222d e 1212)(2σσπ⎰⎰-⋅=πσθσπ2022d ed 12122zr r r ⎰-=zr r r 022d e122σσ，此时，2222e)(σσz Z z z f -=；当0<z 时，=≤+}{22z Y X ∅，所以0)()()(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z ，此时，0)(=z f Z ，综上，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．20．设),(Y X 在矩形区域}10,10|),{(≤≤≤≤=y x Y X G 上服从均匀分布，求},min{Y X Z =的概率密度．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,20,10,21),(y x y x f ，易证，X ～]1,0[U ，Y ～]2,0[U ，且X 与Y 相互独立，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=．1,1,10,,0,0)(x x x x x F X ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=．2,1,20,2,0,0)(y y yy y F Y ，可得)](1)][(1[1)(z F z F z F Y X Z ---=)()()()(z F z F z F z F Y X Y X -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=．1,1,10,223,0,02z z z z z ，求导，得⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10,23)(z z z f Z ．21．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他．,0,0,10,e ),()(y x b y x f y x (1)试确定常数b ；(2)求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；(3)求函数},max{Y X U =的分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞++-∞+∞-∞+∞-==01)(d d e d d ),(1yx b y x y x f y x⎰⎰∞+--=1d e d e y x b y x )e 1(|)e (|)e (1102-+∞---=-⋅=b b y x ，∴1e11--=b ．(2)10<<x 时，1)(1e1e d e e 11d ),()(--∞++--∞+∞--=-==⎰⎰x y x X y y y x f x f ，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其他．,0,10,e 1e )(1x x f xX ，0>y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(y y x x -+--=-=⎰e d e e1110)(1，0≤y 时，0)(=y f Y ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)0≤x 时，0)(=x F X ，10<<x 时，101e 1e 1d e 1e d )()(----∞---=-==⎰⎰xxt xX X t t t f x F ，1≥x 时，1)(=x F X ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=--．1,1,10,e1e1,0,0)(1x x x x F x X ；0≤y 时，0)(=y F Y ，0>y 时，y yv y Y Y v v v f y F --∞--===⎰⎰e 1d e d )()(0，∴⎩⎨⎧≤>-=-．0,0,0,e 1)(y y y F y Y ，故有)()()(y F x F u F Y X U =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤--<=---．1,e 1,10,e1e1,0,01u u u uu ．。

概率论与数理统计教材第三章习题

方差的计算公式: 方差的计算公式:
DX = E X [E( X )]
2
( )
( x EX) ∞
+∞
2
f ( x)dx
2
有关方差的定理：定理1 有关方差的定理：定理1
推论：推论：Db = 0;
D( X + b) = DX; D(aX) = a2 DX.
6
D(aX + b) = a2 DX
定理2 定理2：若X与Y 独立， D( X +Y ) = DX + DY 与独立，
E[g( X,Y )] = ∫
+∞ +∞
∞ ∞
∫ g( x, y) f ( x, y)dxdy,
4
假定这个积分是绝对收敛的. 假定这个积分是绝对收敛的
五、关于数学期望的定理
定理1 定理1
E(a + bX ) = a + bEX
（3）E(bX ) = bEX ）（2）E(a + X ) = a + EX ）
+∞ ∞
EY = Eg( X ) = ∫ g( x) f ( x) dx
3
四、二维随机变量的函数的数学期望
的联合概率函数为p(x （1）设二维离散随机变量）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为 i , yj)，则的联合概率函数为，随机变量函数g(X,Y)的数学期望如下：的数学期望如下：随机变量函数的数学期望如下
10
2、X与Y 的相关系数与定义 R( X,Y ) = cov( X ,Y )
R( X,Y ) =
定理3 定理3
cov( X,Y ) D( X) D(Y )
R( X,Y ) ≤ 1

《概率论与数理统计答案》第三章

第三章
习题参考答案与提示
第三章随机变量的数字特征习题参考答案与提示
1．设随机变量 X 的概率分布为
X
－3 0.1
0 0.2
1 0.3
5 0.4
pk 试求 EX 。
答案与提示： EX = 2 。 2．已知随机变量 X 的分布列为
X
0 0.1
1
p
2 0.4
3 0.2
Pk
答案与提示：（1）由归一性， p = 0.3 ；（2） EX = 1.7 ；（3） DX = 0.81 3．已知随机变量 X 的分布列为
后
答
D X −Y = 1−
26．设灯管使用寿命 X 服从指数分布，已知其平均使用寿命为 3000 小时，现有
—5—
案
若一周 5 个工作日里无故障可获利 10 万元，发生一次故障仍获利 5 万元，发生二次2π网
。
ww w
3 ； 2
.k
hd a
EZ =
1 ， DZ = 3 ； 2
w. c
解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义( ρ XY =
第三章
习题参考答案与提示
求：（1） Y = 2 X 的数学期望；（2） Y = e −2 X 的数学期望。答案与提示：（1） EY = E 2 X = 2 ；（2） EY = Ee −2 X = 1/ 3 。
1 11．试证明事件在一次试验中发生的次数的方差不超过。 4
答案与提示：事件在 n 次独立重复试验中发生的次数服从参数为 n ， p 的二项分布 B ( n, p ) ，当然在一次试验中发生的次数应服从 B (1, p ) ，即为(0-1)分布。
f ( x) = 1 − x− β e 2α

概率论与数理统计答案第三章习题

解
f
X
(
x)
fY
(
y)
2x(1
0,
|
y |),0
x 1,| y|1 其它
f (x, y)
故X和Y不相互独立.
14.设X和Y是相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,
Y的概率密度为
fY
(
y)
1 2
e
y
2
,
y
0
(1)求X和Y的联合概率密度;
0, y 0
(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.
(X,Y)关于Y的边缘分布律可用Y= j时 X取所有可能取的值的概率相加而得. 也可以单独列表如下:
X0 1 2
pk 1 2 1
4 44
Y0 1 2 3
pk 1 3 3 1
8 88 8
X Y0123
012
1 10 0 88
0 220
88
00 11
88
1 P{Y=j} 8
3 8
3 8
1 8
P{X=i}
0 25/36 5/36 5/6
0 45/66 10/66 5/6
1 5/36 1/36 1/6
1 10/66 1/66 1/6
P{X=i} 5/6 1/6 1
P{X=i} 5/6 1/6 1
13(1)问第1题中的随机变量X和Y是否相互独立?(需说明理由) 解 (1)P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}对(X,Y)所有可能取值 (i,j)( i ,j =0,1)都成立,故放回抽样X和Y相互独立.
y)dy y (4)
4
(2)
2

概率论与数理统计第3章复习题(含解答)

《概率论与数理统计》第三章复习题解答1. 设Y X ,的分布律分别为且已知0)(=<Y X P ，4)1(=+>Y X P .（1）求),(Y X 的联合分布律；（2）判定Y X ,独立否；（3）求),min(),,max(,321Y X Z Y X Z Y X Z ==+=的分布律.解：(1) 由0)(=<Y X P 知0)1,1()0,1(==-=+=-=Y X P Y X P ，故0)1,1()0,1(==-===-=Y X P Y X P ；由41)1(=+>Y X P 知41)1,1(=-==Y X P .于是可以填写出如下不完整的联合分布律、边缘分布律表格：再由联合分布律、边缘分布律的关系可填出所余的3个空, 得到(2) 41)1,1(=-=-=Y X P ，而2141)1()1(⋅=-=-=Y P X P ，故Y X ,不独立. (3) 在联合分布律中增加0=X 的一行，该行ij p 均取为0，分别沿路径:对ij p 相加, 得2. 设平面区域G 由曲线xy 1=, 直线2,1,0e x x y ===所围成. ),(Y X 在G 上服从均匀分布, 求)2(X f .解：区域G 的面积.2][ln 12211===⎰e e G x dx xS 故),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<<=其它 ,0 10,1,21),(2x y e x y x f . ⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎰⎰∞∞-其它,0 1 ,2121),()(210e x x dy dy y x f x f x X , .41)2( =∴Xf 3. 一个电子仪器由两个部件构成，Y X ,分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），已知),(Y X 的联合分布函数为⎩⎨⎧>>---=+---其它 0,0 0 ,1),()(5.05.05.0y ,x e e e y x F y x y x(1) 问Y X ,是否独立；（2）求两个部件的寿命都超过千小时的概率.解：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧>-=∞+=-其它 0, 0 ,1),()(5.0x e x F x F x X , ⎪⎩⎪⎨⎧>-=+∞=-其它 0, 0 ,1),()(5.0y ey F y F y Y , 从而有)()(),(y F x F y x F Y X =, 所以Y X ,相互独立.(2) 由Y X ,相互独立知)]1.0(1)][1.0(1[)1.0()1.0()1.0,1.0(≤-≤-=>>=>>Y P X P Y P X P Y X P.)]1.0(1)][1.0(1[1.005.005.0---==--=e e e F F Y X4. 设),(Y X 的联合概率密度⎪⎩⎪⎨⎧><+=其它 ,0 0,1,2),(22y y x y x f π，⎩⎨⎧≥<=Y X Y X U ,1,0，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=Y X Y X V 3 ,13,0，求：(1) ),(V U 的联合分布律；（2）)0(≠UV P .解：(1) 0)()3,()0,0(00=Φ=≥<====P Y X Y X P V U P p ；432),()3,()1,0(01===<<====⎰⎰OCD OCDS dxdy y x f Y X Y X P V U P p 扇形扇形π； 612),()3,()0,1(10===≥≥====⎰⎰OAB OABS dxdy y x f Y X Y X P V U P p 扇形扇形π； 1212),()3,()1,1(11===<≥====⎰⎰OBC OBCS dxdy y x f Y X Y X P V U P p 扇形扇形π. 于是有联合分布律:(2) 121)0(11==≠p UV P . 5. 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10 ,1),(y x y x f求：(1))21,21(≤≤Y X P ；（2）)21(>+Y X P ；（3）)31(≥Y P ；（4）)21(>>Y Y X P .解：（1）4221),()2,2(21,21=====≤≤⎰⎰⎰⎰≤≤G Gy x S dxdy dxdy y x f Y X P ；（2）=>+)21(Y X P 8721212111),(21=-===⎰⎰⎰⎰>+G Gy x S dxdy dxdy y x f ；（3）=≥)31(Y P 32)311(11),(31=-===⎰⎰⎰⎰≥G Gy S dxdy dxdy y x f ；（4）41211212121)21()21,()21(=⋅=>>>=>>Y P Y Y X P Y Y X P .6. 设),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-=其它 ,0 2,2010 ,20),(x y x x x xcy x f求：(1) 常数c ；(2) )(x f X ；(3) )(x y f X Y ；(4) )128(=≥X Y P .解：(1) ,25)210(20),(1201020102c dx xcdy xx c dx dxdy y x f xx =-=-==⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-.251 =∴c(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-==⎰⎰∞∞-else x x dy x xdy y x f x f x x X0, 2010 ,50202520),()(2.(3) 2010 <<x 时，0)(≠x f X ，)(x y f X Y 有定义，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=--==elsex y xx x x x x f y x f x y f X X Y 0, 2,250202520)(),()( (4) )20,10 (12∈=x ，⎪⎩⎪⎨⎧<<==∴elsey X y f XY 0,126 ,61)12( ，从而 3261)12()128(1288=====≥⎰⎰∞dy dy X y f X Y P X Y .7.解：⎰∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(, 其中⎩⎨⎧<<=其它 x x f X ,0 10 ,1 )(, ⎩⎨⎧<-<=-其它 x z x z f Y ,0 10 ,1 )(.⎩⎨⎧<<-<<⇔⎩⎨⎧<-<<<⇔≠-z x z x x z x x z f x f Y X 11010100)()(. (区域见图示)(1) 10<<z 时, zdx z f zZ =⋅=⎰011)(；(2) 21<≤z 时, z dx z f z Z -=⋅=⎰-211)(11；(3) )2,0(∉z 时, 0)(=z f Z .综上知⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<=其它 z z z z z f Z ,0 21 ,210 , )(.8*. 设),(Y X 的联合概率密度⎩⎨⎧<<=-其它,0 0 ,),(yx xe y x f y ，求(1) )21(<<Y X P ,)21(=<Y X P ；(2)Y X Z +=的概率密度；(3) )1),(min(<Y X P .解：(1) ① 102142512121)()()2()2,1()21(22221202102202102---=---=--==<<<=<<-------⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e e e e e dxe e x dx e e x dy xe dx dyxe dxY P Y X P Y X P x x xy x y； ② ⎪⎩⎪⎨⎧≤>===--∞∞-⎰⎰0 0, 0 ,21),()(20y y e y dx xe dx y x f y f y y yY ， 02)2( 2≠=∴-e f Y ，于是⎪⎩⎪⎨⎧<<====--elsex xe xef x f Y x f Y Y X 0, 20 ,22)2()2,()2(22 ，从而 412)2()21(101=====<⎰⎰∞-dy x dx Y x f Y X P Y X . (2) ⎰∞∞--=dx x z x f z f Z ),()(, 其中2000),(zx xx z x x z x f X <<⇔⎩⎨⎧>->⇔≠-. (区域见图示) (1) 0>z 时, ⎰⎰---==2020)()(z x zzx z Z dx xe e dx xe z f 2)12(zze ze ---+=； (2) 0≤z 时, 0)(=zf Z .综上知⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=--0 ,0 0,)12()(2z z e ze zf z z Z（3）,1(1)1),(min(1)1),(min(≥-=≥-=<Y X P Y X P Y X P1111,12111),(1-∞-∞∞-≥≥-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰edx xe dy xe dxdxdy y x f x xyy x .9*. 设),(Y X 的联合概率密度⎩⎨=其它,0 ),(y x f ，求Y X Z -=的概率密度.解：)()()(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=(1) 0<z 时, 0)()(=Φ=P z F Z ； (2) 0=z 时, 0),()()(0====⎰⎰>=x y Z dxdy y x f X Y P z F(3) 0>z 时, 如图⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+---+--+<<-+==zz x zx y x zz x y x zx y z x Z dy e e dxdy e e dxdxdy y x f z F 0),()(⎰⎰∞--+------+-=zz x z x x z zx x dx e e e dx ee )()1(0z zx z z z xz xe dx e e e dx ee e-∞------=-+-=⎰⎰1)()(202综上知⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0 ,0 0 ,1)(z z e z F z Z , 求导得⎩⎨⎧≤>=-0,0 0,)(z z e z f z Z .10. 设B A ,是两个随机事件, 且,41)(,21)(,41)(===B A P A B P A P 引进随机变量 ⎩⎨⎧=⎩⎨⎧=不发生当发生当不发生当发生当 B B Y A A X ,0 ,1 , ,0 ,1.判断下列结论的正误, 并给予分析：（1）B A ,互不相容；（2）B A ,相互独立；（3）Y X ,相互独立；（4）1)(==Y X P ；（5）41)1(22==+Y X P . 解：（1）检验0)(=AB P 是否成立. 事实上0812141)()()(≠=⋅==A B P A P AB P , 故B A ,相容, 原结论错. （2）检验)()()(B P A P AB P =是否成立. 事实上由于41)(,41)(==B A P A P ,.)()()()()( A P B P B A P B P AB P ==∴ 即)()()(B P A P AB P =成立, 故B A ,独立, 原结论对.（3）检验Y X ,的联合分布律与边缘分布律之积是否都相等. 事实上81)(11==AB P p ；838121)()()()(01=-=-=-==AB P B P AB B P B A P p ； 818141)()()()(10=-=-=-==AB P A P AB A P B A P p ；83818381100=---=p . 于是有经检验, Y X ,的联合分布律与边缘分布律之积都相等, 故原结论对.（4）只需正确求出)(Y X P =的值. 事实上0218183)(1100≠=+=+==p p Y X P , 故原结论错. （5）只需正确求出)1(22=+Y X P 的值. 事实上41218183)1(100122≠=+=+==+p p Y X P , 故原结论错.。

第三章试题答案概率论与数理统计

第三章历年考题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为，则P {X +Y =0}=（） A.0.2答案：CYX -1 0 1 0 1度为⎩⎨⎧<<-<<-=,,;y ,x ,c )y ,x (f 其他01111 则常数c=（）A.41B.21答案：A律为设p ij =P{X=i,Y=j}i,j=0,1，则下列各式中错误．．的是（） A ．p 00<p 01 B ．p 10<p 11 C ．p 00<p 11D ．p 10<p 01答案：DY X 0 1 0 1，律为 YX0 1 20 01 2 0则P{X=Y}=（） A ． B ． C ． D ．答案：A5.设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=.;0y ,0x ,0,e Ae y 2x 其它>>⎪⎩⎪⎨⎧--则A=（）A.21B.1C.23答案：D6.设二维随机变量（X 、Y ）的联合分布为（）则P{XY=0}=（） A. 41B.125C.43答案：C7．已知X ，Y 的联合概率分布如题6表所示 X -10 2YX0 5 0 4161 231 41Y 0 0 1/6 5/12 1/3 1/12 0 0 1 1/3 0 0题6表F （x,y ）为其联合分布函数，则F （0，31）=（）A ．0B ．121C ．61D ．41答案：D8．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧>>+-其它00,0)(y x e y x则P （X ≥Y ）=（） A ．41 B ．21C ．32D ．43 答案：B9．设随机变量X 与Y 独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别为41，43，则{}=-=1XY P （）A ．161B ．163C ．41D ．83答案：D10．设三维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=∞+),(x F （） A ．0B ．)(x F XC ．)(y F YD ．1答案：B11.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y). 其联合概率分布为（）Y0 1 2X-10 0 02 0则F（0,1）=A.0.2 答案：B12.设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤+.,0;1y 0,2x 0),y x (k 其它则k=（）A.41B.31C.21D.32答案：B13．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 Y X1 231 2101103102101102101则P{XY=2}=（）A ．51B ．103C ．21D ．53答案：C14．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=,,0;10,10,4),(其他y x xy y x f 则当0≤y ≤1时，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度为f Y （ y ）= （）A ．x 21B ．2xC ．y 21D ．2y答案：D15．设随机变量X ，Y 相互独立，其联合分布为则有（）A ．92,91==βαB ．91,92==βαC ．32,31==βαD ．31,32==βα答案：B 因为91,92==βα31)91(91}1{}2{}1,2{3131********αβα+=======----=+Y P X P Y X P 解方程组即得15. ．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-;,0,0,0,2),()2(其它y x e y x f y x 则P{X<Y}=（）A ．41B ．31C ．32 D ．43答案：B15. ．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=⎩⎨⎧>>+-其它0y ,0x e )y x (则P （X ≥Y ）=（）A ．41B ．21C ．32 D ．43 答案：B二、填空题（本大题共15小题，每空2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

概率论与数理统计第三章习题

x1
1 8
x2
1 8
( ) P Y = y j = p j
1 6
1
【思路】
利用边缘分布律的求法及独立性来进行，例如，从
p11
+
1 8
=
1 6
,
求得
p11
=
1 24
,
再
利用独立性知 p11 =
p1

1 6
.
从而知
p1
= 1 , 等等. 4
【解】利用 pi = pij ; p j = pij 以及
所以
f
( x, y) =
fX
(x)
fY
(
y
)
=
1, 0
0
x 1, 0 其他
y 1
6、设相互独立的随机变量 X ， Y 分别服从参数为 1 的 0 −1分布和参数为 1 的 0 −1分布，
2
3
则 t2 + 2Xt + Y = 0 中 t 有相同实根的概率为( B )
A、 1 3
B、 1 2
而且 P{XY = 0} = 1
Y0 1 P1 1
22
（1）求随机变量 X 和 Y 的联合分布；（2）判断 X 与Y 是否相互独立？
解：因为 PXY = 0 = 1 ，所以 PXY 0 = 0
(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出
Y
X -1

1
0
1
0
1
1
4
1
4
2
1
0
4
0
1
2
1
1
1
4
2
球，设 X ,Y 分别表示黑球和红球的个数，求( X ,Y )的联合分布概率

浙江大学概率论与数理统计第三章习题

11. 以X记某医院一天出生的婴儿的个数,Y记其中男婴的个数,设X和 Y的联合分布律为 m=0,1,2,…,n ; e 14 (7.14)m (6.86)n m P{ X n,Y m} n=0,1,2,… . m!( n m )! (1)求边缘分布律;(2)求条件分布律;(3)特别,写出当X=20时,Y的条件分布律. n n e 14 (7.14) m (6.86) n m 解 (1) P{X=n} P{ X n,Y m }
2 4
x 2,2 y 4 x 2, y 4
y 4,0 x 2
6. 将一枚硬币掷3次,以X表示前2次中出现H的次数,以Y表示3次中出现H的次数.求X,Y的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律. 解先将试验的样本空间和X,Y的取值情况列表如下: 由表中可知,X 样本点e HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT 所有可能取的 X 2 2 1 1 1 1 0 0 值为0,1,2, Y 3 2 2 2 1 1 1 0 Y所有可能取 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 p 的值为0,1,2,3. X,Y的联合分布律如右表所示. (X,Y)关于X的边缘分布律可用X= i时 Y取所有可能取的值的概率相加而得; (X,Y)关于Y的边缘分布律可用Y= j时 X取所有可能取的值的概率相加而得. 也可以单独列表如下:
D
cx ydxdy
2
1 1 2 dx cx ydxdy 1 x2

o
2
1
21 x y / 4, x y 1 故 c=21/4. f ( x , y ) 其它 0, (2) 21 2 1 21 2 6 x ydy ( x x ), 1 x 1 x2 f X ( x ) f ( x, y )dy 4 8

概率论与数理统计课程第三章练习题及解答

第三章多维随机变量及其分布一、判断题（在每题后的括号中对的打“√”错的打“×” ）1、若X ，Y 均服从正态分布，则（X ，Y ）服从二维正态分布（ × ）2、随机变量（X ，Y ）的概率密度为22,1(,)0,k x y f x y ⎧+≤=⎨⎩其它，则π1=k （√ ）3、有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。

（√）二、单选题1、随机变量X ，Y 相互独立且~(0,1)X N ，~(1,1)Y N ，则下列各式成立的是( B )A ．21}0{=≤+Y X P ； B ．21}1{=+≤Y X P ； C ．21}0{=≥+Y X P ； D ．-≤=1{1}2P X Y 。

分析因X ，Y 相互独立，它们又都服从正态分布，因此X +Y 与X -Y 也都服从正态分布，且(1,2)X Y N + ，(1,2)X Y N --，由于1{1}(0)2P X Y +≤=Φ=Φ=，选B2、设随机变量21,X X 的分布律为：101111424iX p- i =1,2且满足1}0{21==X X P ，则==}{21X X P ( A )A ．0；B ．41；C ．21； D ．1。

分析从1}0{21==X X P ，可知12{0}0P X X ≠=，即12121212{1,1}{1,1}{1,1}{1,1}0P X X P X X P X X P X X =-=-==-====-==== 根据联合分布与边缘分布的关系，求出21,X X 的联合概率分布12121212{}{1,1}{0,0}{1,1}0P X X P X X P X X P X X ===-=-+==+===，选A 3、设随机变量X ，Y 相互独立且同分布：1{1}{1}2P X P Y =-==-=，1{1}{1}2P X P Y ====，则下列各式成立的是( A )A ．1{}2P X Y ==； B ．{}1P X Y ==； C ．1{0}4P X Y +==； D ．1{1}4P XY ==。