甘肃省兰州市西北师大附中高三数学上学期12月月考试卷 文(含解析)
甘肃高三高中数学月考试卷带答案解析
甘肃高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数的虚部是( )A．B．C．D．2.下列命题中，假命题是（）A．B．C．D．3.函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数4.已知点，，则与共线的单位向量为（）A．或B．C．或D．5.若在处取得最小值，则（）A．B．3C．D．46.设是三个互不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，，则7.某程序的框图如右图所示，输入，则输出的数等于（ ）A ．B ．C ．D ．8.数列{}满足若=，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．9.设二元一次不等式组所表示的平面区域为M ，使函数y=a x (a>0, a≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ） A ．[1,3]B ．[2,] C ．[2,9]D ．[,9]10.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（ ）正视图 侧视图 俯视图 A ． B ． C ．D ．11.已知F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点且，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．[2 +)C ．(1,3]D ．[3，+)12.函数的定义域为D ，若对于任意，当时，都有，则称函数在D 上为非减函数，设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则等于( )A ．B ．C ．D ．无法确定二、填空题1.已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为 .2.记定义在R 上的函数的导函数为．如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“中值点”．那么函数在区间[－2，2]上的“中值点”为____．3.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为2,的面积为,则.三、解答题1.已知函数x ∈R 且,（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为偶函数？（列举出一种方法即可）．2.如图，在长方体，中，，点在棱AB 上移动.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求点到平面的距离；（Ⅲ）等于何值时，二面角的大小为3.小波以游戏方式决定：是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为：以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X,若就去打球；若就去唱歌；若就去下棋.（Ⅰ）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.（Ⅱ）写出数量积X 的所有可能取值，并求X 分布列与数学期望4.已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．（Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）当点为直线上的定点时，求直线的方程；（Ⅲ）当点在直线上移动时，求的最小值．5.已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．（Ⅲ）求证：（，e是自然对数的底数）.6.如图，、是圆的半径，且，是半径上一点：延长交圆于点，过作圆的切线交的延长线于点.求证：.7.已知曲线的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.（Ⅰ）求点A，B，C，D的直角坐标；（Ⅱ）设P为上任意一点，求的取值范围．8.已知函数，，且的解集为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求证：甘肃高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.复数的虚部是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】,复数的虚部为，故选B．【考点】复数的概念和运算2.下列命题中，假命题是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】特殊值验证，∴是假命题，故选D．【考点】命题真假的判断3.函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数【答案】C【解析】根据诱导公式将函数化简为，于是可判断其为最小正周期为的偶函数,选C..【考点】本小题主要考查诱导公式、三角函数的奇偶性4.已知点，，则与共线的单位向量为（）A．或B．C．或D．【答案】C【解析】因为点，，所以，，与共线的单位向量为,选C..【考点】向量共线.5.若在处取得最小值，则（）A．B．3C．D．4【答案】B【解析】由，当且仅当即时，取得等号，故选B.【考点】均值不等式6.设是三个互不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，，则【答案】B【解析】根据点、线、面的位置关系可知“若，，，则”，即不在平面内的直线平行于两个平行平面中的一个必平面另一个.【考点】本小题主要考查点、线、面的位置关系7.某程序的框图如右图所示，输入，则输出的数等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，；此时不满足条件，输出，选D.【考点】算法与框图.8.数列{}满足若=，则的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为故所以故从而是以3为周期的周期数列，故，选A.【考点】本小题数列性质，数列问题函数化思想9.设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=a x(a>0, a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是（）A．[1,3]B．[2,]C．[2,9]D．[,9]【答案】C【解析】画出题设中的线性区域如图中的阴影部分．可求得A(1,9),B(3,8)，当y=a x过A、B时，函数y=a x的图象过区域M ，分别解得a=9和a=2，∴a 的取值范围是[2，9]，故选C ．【考点】线性规划.10.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（ ）正视图 侧视图 俯视图 A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】由三视图可得该几何体为圆锥，且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5，则圆锥的底面积S 底面=π•r 2=9π侧面积S 侧面=π•r•l=15π故几何体的表面积S=9π+15π=24πcm 2，又由圆锥的高h==4故V=•S 底面•h=12πcm 3故选A. 【考点】由三视图求面积、体积11.已知F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点且，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．[2 +)C ．(1,3]D ．[3，+)【答案】C【解析】由定义知：|PF 1|-|PF 2|=2a ，所以|PF 1|=2a+|PF 2|，+4a+|PF 2| ≥8a ，当且仅当=|PF 2|，即|PF 2|=2a 时取得等号,设P （x 0，y 0） （x 0a ），由焦半径公式得：|PF 2|=-ex 0-a=2a ，，又双曲线的离心率e ＞1，∴e ∈（1，3]，故选C ．【考点】本题主要考查双曲线的定义及几何性质，均值定理的应用12.函数的定义域为D ，若对于任意，当时，都有，则称函数在D 上为非减函数，设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则等于( )A ．B ．C ．D ．无法确定【答案】A 【解析】由，令，得，因为，所以.由②，令，得.由③，令，得，所以.再由②，令，得.②中再令，得.又函数在[0，1]上为非减函数，，所以，故.所以有=1+++++=.【考点】抽象函数的运算、新概念的理解二、填空题1.已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为 .【答案】15【解析】二项式展开式中含的项为其系数为．【考点】绝对值不等式的性质、二项式定理.2.记定义在R上的函数的导函数为．如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“中值点”．那么函数在区间[－2，2]上的“中值点”为____．【答案】【解析】由求导可得，设为函数在区间[－2，2]上的“中值点”则，即解得.【考点】新定义、导数，考查学生对新定义的理解、分析和计算能力.3.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为2,的面积为,则 .【答案】.【解析】有得所以双曲线的渐近线为又抛物线的准线方程为联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得在中，到的距离为..【考点】双曲线与抛物线的几何性质.三、解答题1.已知函数 x∈R且,（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为偶函数？（列举出一种方法即可）．【答案】（1）；（2）右平移个单位或向左平移个单位.【解析】（1）利用已知代入函数将函数解析式确定，在将其化为一角一函数形式，根据正弦函数性质解答；（2）根据图象平移即余弦函数的特征解答.试题解析：（1）由得∴（ 4分）因此，．（6分）故（7分）（2）由于或，（9分）于是将向右平移个单位或向左平移个单位，（ 11分）所得图象对应的函数均为偶函数．（其他正确答案参照给分）（12分）【考点】三角函数的性质、图像变换、两角和的正弦公式.2.如图，在长方体，中，，点在棱AB上移动.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求点到平面的距离；（Ⅲ）等于何值时，二面角的大小为【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）二面角的大小为.【解析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量数量积为零证明即可；（Ⅱ）求出平面的法向量解答；（Ⅲ）设平面的法向量，利用空间向量解答即可.试题解析：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则 2分（1） 4分（2）因为为的中点，则，从而， 5分，设平面的法向量为，则也即，得 6分从而， 7分所以点到平面的距离为 8分（3）设平面的法向量，∴由令，∴依题意∴（不合，舍去），.∴时，二面角的大小为. 12分【考点】线面、面面的垂直关系、二面角的求法、空间向量在立体几何中的应用.3.小波以游戏方式决定：是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为：以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X,若就去打球；若就去唱歌；若就去下棋.（Ⅰ）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.（Ⅱ）写出数量积X 的所有可能取值，并求X 分布列与数学期望 【答案】（Ⅰ）小波去下棋的概率为，小波不去唱歌的概率．（Ⅱ）的所有可能取值为；【解析】（Ⅰ）的所有可能取值，即从，，，，，这六个向量中任取两个，共有种,的所有可能取值为,利用古典概型概率计算公式求解；（Ⅱ）由上表可知的所有可能取值为；数量积为-2的只有一种，数量积为-1的有六种，数量积为0的有四种，数量积为1的有四种，列出分布列，求期望.试题解析：（Ⅰ）的所有可能取值，即从，，，，，这六个向量中任取两个，共有种。
甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题
甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}210x A x =->，{}2230B x x x =+-<，则A B =I （ ）A ．()0,3B ．()0,1C ．()3,-+∞D ．()1,-+∞2．已知:02p a ≤≤，q ：任意2,10x ax ax ∈-+≥R ，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知α为第三象限角sin(2019)πα-=2sin 2cos 1αα++=（ ） ABC．D ．139-4．函数2cos ()e ex x x xf x -+=-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()212,0211,02xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪+>⎪⎩，则不等式(31)3x f ->的解集为（ ）A ．()3log 4,+∞B ．(),0-∞C ．()0,1D ．()1,+∞6．已知()()11e x f x x -=-，()()21g x x a =++，若存在1x ，2R x ∈，使得()()21f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B ．1,e ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．()0,eD ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭7．三次函数有如下性质：①设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点 x 0,f x 0 为函数()y f x =的“拐点”；②任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是该函数图象的对称中心．若直线330ax by +-=过函数3235y x x =-+ ）A ．18B C ．12D 8．已知,R a b ∈，若x a =不是函数21()()()(1)x f x x a x b e -=---的极小值点，则下列选项符合的是（ ） A ．1b a ≤<B ．1b a <≤C ．1a b <≤D ．1a b <≤二、多选题9．已知x ，y ∈R ，且5757x y y x --+≤+，则下列不等式正确的为（ ） A ．11()()33x y ≥B ．22x y ≤C ．33x y ≤D ．1122log log x y ≤10．下列说法正确的有（ ）A ．函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,0)B ．已知函数()cos sin f x x x x =-，则对于,π[]0x ∀∈，()0f x ≤C ．已知函数log (2)a y ax =-（0a >且1a ≠）在(0,1)上是减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)D ．若函数()21af x x x =++在区间[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是2a ≤ 11．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点()1212,x x x x <，则下列结论正确的是（ ）A ．若()()120f x f x ⋅<，则()f x 有3个零点B ．过()f x 上任一点至少可作两条直线与()f x 相切C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．()()1223b f x f x f a ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭三、填空题12．已知π1tan 43θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1sin2cos2θθ+-=.13．已知函数()(sin )2sin af x a x x x x =++++，定义域为R 的函数()g x 满足()()4g x g x +-=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，66(,)x y ，则61()i i i x y =+=∑．14．设ln ,0()2019,0e xx f x xx x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩（其中e 为自然对数的底数），2()()(21)()2g x f x m f x =--+，若函数()g x 恰有4个不同的零点，则实数m 的取值范围为.四、解答题15．在锐角ABC V 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：3sin cos tan 4A A A =，条件②12=，条件③：2cos cos cos a A b C c B -=这三个条件中选择一个作为已知条件． (1)求角A 的大小；(2)若2a =，求ABC V 周长的取值范围． 16．已知函数()ln x xf x e a=-. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）若01a <<，求证：()2ln af x a+≥. 17．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点()11,A x y ，()22,B x y ，则曼哈顿距离为：()1212,d A B x x y y =-+-，余弦相似度为：()cos ,A B ()1cos ,A B -(1)若()1,2A -，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，求A ，B 之间的曼哈顿距离(),d A B 和余弦距离；(2)已知()sin ,cos M αα，()sin ,cos N ββ，()sin ,cos Q ββ-，若()1co s ,5M N =，()2cos ,5M Q =，求tan tan αβ的值18．已知函数()()ln 1f x x =+，()1axg x x =+，若()()()F x f x g x =-最小值为0. （1）求实数a 的值；（2）设n N *∈，证明：()()()()12>g g g n f n n ++⋅⋅⋅++. 19．已知函数()ln f x x ax =- （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，2x ，()12x x <是()f x 的两个零点.证明： （i ）122x x a +>；（ii ）21x x -。
甘肃省兰州第一中学届高三12月月考数学(文)试卷 Word版含解析
2019届甘肃省兰州第一中学 高三12月月考数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．已知集合A ={x | 2x−1x−2<1 },B ={x | y =log 2(x 2−3x +2) },则A ∩B =A ．(−∞,−1)B ．(12,1) C ．(2,+∞) D ．(−1,1) 2．设p:b <a <0，q:1a<1b ，则p 是q 成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知{a n }是等比数列，a 7=−4,a 11=−16，则a 9= A ．−4√2 B ．±4√2 C ．−8 D ．±84．已知实数x ，y 满足{x −y +1≥0x +y −1≥0x ≤3 ，则y+3x+1的最小值是A ．14 B ．4 C ．−14 D ．−45．若将函数f(x)=sin (2x +π3)的图象向左平移φ (φ>0)个单位，所得图象关于原点对称，则φ最小时，tan φ=A ．−√33B ．√33 C ．−√3 D ．√36．已知数列{a n }满足a n =14n 2−1，S n =a 1+a 2+⋯+a n ，若m >S n 恒成立，则m 的最小值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．127．设M 是ΔABC 边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则λ+μ的值为 A ．12 B ．13 C ．14 D ．18．已知非零向量a ⃗，b ⃑⃗，满足| a ⃗ |=2| b ⃑⃗ |，若函数f(x)=13x 3+12|a ⃗|x 2+a ⃗⋅b ⃑⃗x +1在R 上存在极值，则a ⃗和b⃑⃗夹角的取值范围为 A ．[0,π3) B ．(π3,π] C ．[0,π3] D ．[π3,π]9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为A ．6+6√2B ．8+4√2C ．6+4√2+2√3D ．6+2√2+4√3 10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 5−1)3+2018(a 5−1)=1， (a 2014−1)3+2018(a 2014−1)=−1，则下列结论正确的是 A ．S 2018=−2018,a 2014>a 5 B ．S 2018=2018,a 2014>a 5 C ．S 2018=−2018,a 2014<a 5 D ．S 2018=2018,a 2014<a 511．已知锐角ΔABC 的一边BC 在平面α内，A ∉α，点A 在平面内的射影为点P ，则∠ABC 与∠BPC 的大小关系为A ．∠BAC <∠BPCB ．∠BAC >∠BPC C ．∠BAC =∠BPCD ．以上情况都有可能12．已知函数f(x)={e x , x <06x 3−9x 2+1, x ≥0 ，则函数g(x)=2[f(x)]2−3f(x)−2的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题13．在ΔABC 中，AB=3，AC=4，BC=3，D 为BC 的中点，则AD=__________．14．若曲线f(x)=4lnx −x 2在点(1,-1)处的切线与曲线y =x 2−3x +m 相切，则m 的值是_________.15．已知球O 为正四面体ABCD 的内切球，E 为棱BD 的中点，AB =2，则平面ACE 截球O 所得截面圆的面积为__________．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号16．已知OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0), OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1), (x,y)=λOA ⃑⃑⃑⃑⃑ +μOB ⃑⃑⃑⃑⃑ .若0≤λ≤1≤μ≤2,z =x m+yn (m >0, n >0)的最大值为2，则m+n 的最小值为____________.三、解答题17．已知{a n }是公差为1的等差数列，且a 1，a 2，a 4成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{an2}的前n 项和．18．某地区某农产品近几年的产量统计如表：（Ⅰ）根据表中数据，建立关于的线性回归方程y ̂=b ̂t +a ̂； （Ⅱ）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.附:对于一组数据(t 1，y 1)，(t 2，y 2)，...，(t n ，y n )，其回归直线y ̂=b ̂t +a ̂的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ̂=∑(t i −t )(y i −y ̅)ni=1∑(t i −t )2ni=1，a ̂=y ̅−b ̂t .(参考数据:∑(t i −t )(y i −y ̅)6i=1=2.8，计算结果保留小数点后两位）19．如图，在长方形ABCD 中，AB=π ,AD=2,E,F 为线段AB 的三等分点，G 、H 为线段DC 的三等分点．将长方形ABCD 卷成以AD 为母线的圆柱W 的半个侧面，AB 、CD 分别为圆柱W 上、下底面的直径．（Ⅰ）证明：平面ADHF ⊥平面BCHF ；（Ⅱ）若P 为DC 的中点，求三棱锥H —AGP 的体积．20．已知定点F(1,0)，定直线：x=-1，动圆M 过点F ，且与直线相切. （Ⅰ）求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点D(1,2)作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C 于异于点D 的两点P,Q ，试证明直线PQ 的斜率为定值，并求出该定值.21．设函数f(x)=x −2x −a(lnx −1x 2) (a >0)．（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）记函数f(x)的最小值为g(a)，证明：g(a)<1． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosφy =2sinφ（φ为参数）.以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ.(I )求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)已知曲线C 3的极坐标方程为θ=α(0<α<π)，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，AB =4√2，求α的值.23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数 f(x)=|2x −1|−|x +2| （Ⅰ）求不等式f(x)>0的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式|2m +1|≥f(x +3)+3|x +5|有解，求实数m 的取值范围.2019届甘肃省兰州第一中学高三12月月考数学（文）试题数学答案参考答案1．D【解析】【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两个集合的交集即可. 【详解】解：由A中不等式变形得：2x−1x−2−1<0，即为2x−1−(x−2)x−2<0变形可得：(x−2)(x+1)<0，解得−1<x<2，即A=(−1,2)，对于B中由x2﹣3x+2＞0，得x＜1或x＞2，故B={x|y=log2（x2﹣3x+2）}={x|x＜1或x＞2}，即A∩B=(−1,1).故选:D.【点睛】本题考查函数的定义域及其求法及分式不等式解法，考查交集及其运算，是基础题．2．A【解析】【分析】根据条件，分析是否成立即可。
甘肃省兰州一中高三上学期12月月考数学(文科)试卷有答案
M N 为（ 中，已知向量(2,2)AB =，2AC =，4AB AC =-，则 3D ．3π4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）245π(0,1)(1,2)）+∞)π1+∞)(,)220分．，2BA BC=，则上的动点，则下列结论正确的有．已知向量(sin 1)(cos 3)m x n x =-=，，，．（Ⅰ）当m n ∥时，求sin cos 3sin 2cos x xx x+-的值；已知在锐角()m n m+，求(f ．已知递增的等比数列）求等比数列{}a 的通项公式；BD1)(4,]5）由m n∥，可得x x+1，2，+=+-m n n x x x()(sin cos)(sin1)11111282(2)q q a a a a a q =+=+1a ⎧=0121(221)(222)(223)(22)n n b n ++=+⨯++⨯++⨯+++﹣122(123|)n n +++++++﹣(1)n n +⨯EM M =BMEM M =平面EBM ，平面PAD ；）证明：取PD 的中点PD EF F =，AF ，CD PD D =，所成角． 4BD21()exx a a --甘肃省兰州一中高三上学期12月月考数学（文科）试卷解析1．【分析】根据三角函数性质求出集合N，再与集合M进行交集运算即可。
【解答】解：M={2，3，4，5}，N={x|sinx＞0}={x|2kπ＜x＜2kπ+π}，k∈Z，当k=0时，N=（0，π），当k=1时，N=（2π，3π），∴M∩N={2，3}，2．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出。
【解答】解：z（1+i）=|2i|，则复数z===1﹣i，3．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可。
【解答】解：当a=﹣2，b=﹣3时，由“ab＞1”⇒是“b＞”不成立，同样a=﹣2，b=3时，由“b＞”⇒“ab＞1”也不成立，故“ab＞1”是“b＞”的既不充分也不必要条件，4．【分析】利用平面向量的数量积公式求出向量、的夹角的余弦值，根据夹角范围求A．【解答】解：在△ABC中，=（2，2），||=2，•=﹣4，则，A∈[0，π]，所以A=；5．【分析】几何体为圆柱中挖去一个正四棱锥。
甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题(含答案)
西北师大附中2024—2025学年第一学期高三年级开学考试高三数学（范围：集合与不等式、函数、导数）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若正数满足，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．64．吹气球时，气球的半径（单位：与体积（里位：之间的函数关系是时，气球的膨胀率（即气球每增大单位体积时半径的增加量）为（ ）A．B ．C ．1D ．5．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列命题中正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，，则D ．若，，则7．已知函数，若均不相等且，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．{}240A x x =--≤∣A N ⋂={}0{}0,1{}0,1,2{}1,2()()01f x x =-[]3,3-[]3,1)(1,3-⋃()3,3-()()3,11,3-⋃,x y 220x xy -+=x y +r )dm V )L ()r V =V =166π12[]1,2x ∃∈-213022x x a +--≥0a ≤1a ≤2a ≤3a ≤ab >22ac bc >a b >22a b >0a b >>0m >b m ba m a+<+15a -<<23b <<43a b -<-<()lg |,01013,105x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩a b c 、、()()()f a f b f c ==abc ()1,10()5,6()10,15()20,248．设，，，则的大小顺序为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）9．已知函数，若当的定义域为时实数的取值范围为集合，当的值域为时实数的取值范围为集合，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知，，，则下列说法正确的是（ ）A ．的最大值为B ．的最小值为C ．的最小值为20D ．的最小值为11．已知函数，的定义域均为为的导函数，且，，若为奇函数，则（）A ．B ．C ．D ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知奇函数在定义域上是减函数，且则的取值范围为______．13．已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______．14．定义在上的函数满足，，若，则______，______．四、解答题（本题共5小题，共77分。
甘肃省兰州市西北师大附中高三数学上学期12月月考试卷
甘肃省兰州市西北师大附中2015 届高三上学期12月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U={x∈N|x＜9}，集合A={3，4，5}，B={1，3，6}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{0，2，7，8} B．{0，2，7} C．{0，2，8} D．{0，2}2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）“函数y=a x是增函数”是“log2a＞1”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知实数4，m，1构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为（）A．B．C．或D．或35．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的B的值为（）A．63 B．31 C．15 D．76．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（）A．﹣5 B．1 C．2 D．37．（5分）已知集合 M={x||x+2|+|x﹣1|≤5}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，则b﹣a=（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．78．（5分）已知f（x）=，则f（）的值为（）A．B．﹣C．1 D．﹣19．（5分）双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．D．10．（5分）如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD 折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．3πC．D．2π11．（5分）把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，…，依次循环的规律分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，则第50个括号内各数之和为（）A．98 B．197 C．390 D．39212．（5分）定义在R上的函数（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R），使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为假命题的是（）A．若函数y=f（x）是倍增系数λ=﹣2的函数，则y=f（x）至少有1个零点B．函数f（x）=2x+1是倍增函数且倍增系数λ=1C．函数f（x）=e﹣x是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）D．若函数f（x）=sin2ωx（ω＞0）是倍增函数，则ω=（k∈N+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或粗虚线画出了某简单组合体的三视图和直观图（斜二测画法），则此简单几何体的体积是．14．（5分）数列{a n}满足a1=3，a n﹣a n a n+1=1，A n表示{a n}前n项之积，则A2013=．15．（5分）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于．16．（5分）设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC．（1）求cosA；（2）若a=3，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）某食品店每天以每瓶2元的价格从厂家购进一种酸奶若干瓶，然后以每瓶3元的价格出售，如果当天卖不完，余下的酸奶变质作垃圾处理．（1）若食品店一天购进170瓶，求当天销售酸奶的利润y（单位：元）关于当天的需求量n （单位：瓶，n∈N）的函数解析式；（2）根据市场调查，100天的酸奶的日需求量（单位：瓶）数据整理如下表：日需求量n 150 160 170 180 190 200天数17 23 23 14 13 10若以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．食品店一天购进170瓶酸奶，X 表示当天的利润（单位：元），求X的分布列和数学期望EX．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC的中点，E，F分别是A1A，C1C上一点，且AE=CF=2a．（1）求证：B1F⊥平面ADF；（2）求三棱锥B1﹣ADF的体积；（3）求证：BE∥平面ADF．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2和上下两个顶点B1，B2是一个边长为2且∠F1B1F2为60°的菱形的四个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F2，斜率为k（k≠0）的直线与椭圆C相交于E，F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．求证：k•k′为定值．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若存在x0∈[，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．一、请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4﹣1：几何证明选讲】如图，梯形ABCD内接于圆O，AD∥BC，且AB=CD，过点B引圆O的切线分别交DA、CA的延长线于点E、F．（1）求证：CD2=AE•BC；（2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF的长．一、选考题23．【选修4﹣4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C所截得的弦长．一、选考题24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣7|﹣|x﹣3|，（Ⅰ）作出函数f（x）的图象；（Ⅱ）当x＜5时，不等式|x﹣8|﹣|x﹣a|＞2恒成立，求a的取值范围．甘肃省兰州市西北师大附中2015届高三上学期12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U={x∈N|x＜9}，集合A={3，4，5}，B={1，3，6}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{0，2，7，8} B．{0，2，7} C．{0，2，8} D．{0，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先计算（∁U A），（∁U B），再计算（∁U A）∩（∁U B）．解答：解：全集U={x∈N|x＜9}={0，1，2，3，4，5，6，7，8}．集合A={3，4，5}，B={1，3，6}，所以∁U A={0，1，2，6，7，8}，∁U B}={0，2，4，5，7，8}．则（∁U A）∩（∁U B）={0，2，7，8}故选A．点评：本题考查集合的基本运算．属于基础题．2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把复数z代入表达式化简整理即可．解答：解：对于，故选D．点评：本小题主要考查了复数的运算和复数的概念，以复数的运算为载体，直接考查了对于复数概念和性质的理解程度．3．（5分）“函数y=a x是增函数”是“log2a＞1”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：先判断两个命题p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论．解答：解：∵条件p：“函数y=a x是增函数”即a＞1，又∵条件q：“log2a＞1”即a＞2，由于a＞2⇒a＞1，反之不能．则“函数y=a x是增函数”是“log2a＞1”的必要不充分条件．故选A．点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．4．（5分）已知实数4，m，1构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为（）A．B．C．或D．或3考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由4，m，1构成一个等比数列，得到m=±2．当m=2时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣2时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．解答：解：∵4，m，1构成一个等比数列，∴m=±2．当m=2时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，它的离心率是；当m=﹣2时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，它的离心率是e2=．故选C．点评：本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的B的值为（）A．63 B．31 C．15 D．7考点：程序框图．专题：计算题；图表型；算法和程序框图．分析：由程序框图依次计算第一、第二…的运行结果，直到不满足条件A≤5时，输出B，即为所求．解答：解：由当型程序框图得：第一次运行B=2×1+1=3，A=2；第二次运行B=2×3+1=7，A=3；第三次运行B=2×7+1=15，A=4；第四次运行B=2×15+1=31，A=5；第五次运行B=2×31+1=63，A=6；不满足条件A≤5结束运行，输出B=63．故选A．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，解答的关键是读懂程序框图．6．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（）A．﹣5 B．1 C．2 D．3考点：简单线性规划．专题：计算题；数形结合．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于2，构造关于a的方程，解方程即可得到答案．解答：解：不等式组所围成的区域如图所示．∵其面积为2，∴|AC|=4，∴C的坐标为（1，4），代入ax﹣y+1=0，得a=3．故选D．点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．7．（5分）已知集合 M={x||x+2|+|x﹣1|≤5}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，则b﹣a=（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．7考点：绝对值不等式的解法；交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：解绝对值不等式求得 M={x|﹣3≤x≤2}，再由N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，可得a=﹣1，b=2，从而求得b﹣a的值．解答：解：由于|x+2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2和1对应点的距离之和，而﹣3和2对应点到﹣2和1对应点的距离之和正好等于5，故由|x+2|+|x﹣1|≤5可得﹣3≤x≤2，∴集合 M={x||x+2|+|x﹣1|≤5}={x|﹣3≤x≤2}．再由N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，可得a=﹣1，b=2，b﹣a=3，故选C．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，两个集合的交集的定义，属于中档题．8．（5分）已知f（x）=，则f（）的值为（）考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，f（）=f（﹣）+1=sin（﹣）+1=﹣•+1=﹣；从而求解．解答：解：f（）=f（﹣）+1=sin（﹣）+1=﹣•+1=﹣；故选B．点评：本题考查了函数的值的求法，属于基础题．9．（5分）双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的2倍，求出m的值，从而可求双曲线的渐近线方程．解答：解：双曲线x2+my2=1中a=1，b=．∵双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴，∴m=﹣，∴双曲线方程为x2﹣=1，∴双曲线的渐近线方程为y=±2x．故选A．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，确定m的值是关键．10．（5分）如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD 折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；压轴题．分析：说明折叠后几何体的特征，求出三棱锥的外接球的半径，然后求出球的体积．解答：解：由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD 折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=，球的半径为：；所以球的体积为：=．故选A点评：本题是基础题，考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查计算能力，正确球的外接球的半径是解题的关键．11．（5分）把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，…，依次循环的规律分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，则第50个括号内各数之和为（）A．98 B．197 C．390 D．392考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：由题意将三个括号作为一组，判断出第50个括号应为第17组的第二个括号，由题意和奇数对应数列的通项公式，求出第50个括号内各个数，再求出第50个括号内各数之和．解答：解：由题意可得，将三个括号作为一组，则由50=16×3+2，第50个括号应为第17组的第二个括号，即50个括号中应有两个数，因为每组中有6个数，所以第48个括号的最后一个数为数列{2n﹣1}的第16×6=96项，第50个括号的第一个数为数列{2n﹣1}的第16×6+2=98项，即2×98﹣1=195，第二个数是2×99﹣1=197，所以第50个括号内各数之和为195+197=392，故选：D．点评：本题考查了归纳推理，等差数列的通项公式，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．12．（5分）定义在R上的函数（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R），使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为假命题的是（）A．若函数y=f（x）是倍增系数λ=﹣2的函数，则y=f（x）至少有1个零点B．函数f（x）=2x+1是倍增函数且倍增系数λ=1C．函数f（x）=e﹣x是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）D．若函数f（x）=sin2ωx（ω＞0）是倍增函数，则ω=（k∈N+）考点：函数的值．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：根据题意，利用“倍增函数”的定义f（x+λ）=λf（x），对题目中的选项进行分析判断，即可得出正确的答案．解答：解：对于A，∵函数y=f（x）是倍增系数λ=﹣2的倍增函数，∴f（x﹣2）=﹣2f（x），当x=0时，f（﹣2）+2f（0）=0，若f（0）、f（﹣2）任意一个为0，则函数f（x）有零点；若f（0）、f（﹣2）均不为0，则f（0）、f（﹣2）异号，由零点存在性定理得，在区间（﹣2，0）内存在x0，使得f（x0）=0，即y=f（x）至少存在1个零点，∴A正确；对于B，∵f（x）=2x+1是倍增函数，∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），∴λ=≠1，∴B错误；对于C，∵f（x）=e﹣x是倍增函数，∴e﹣（x+λ）=λe﹣x，∴=，∴λ=∈（0，1），∴C正确；对于D，∵f（x）=sin2ωx（ω＞0）是倍增函数，∴sin[2ω（x+λ）]=λsin2ωx，∴ω=（k∈N*），∴D正确．故选：B．点评：本题考查了新定义的函数的性质与应用的问题，解题时应理解新定义的内容是什么，是综合性题目．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或粗虚线画出了某简单组合体的三视图和直观图（斜二测画法），则此简单几何体的体积是﹣．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥挖去四分之一个圆锥剩下的部分，三棱锥的底面是一个腰长为4的等腰直角三角形，高为4，还原的圆锥的底面半径为2，高为4，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥挖去四分之一个圆锥剩下的部分，三棱锥的底面是一个腰长为4的等腰直角三角形，高为4，还原的圆锥的底面半径为2，高为4，故体积V=××4×4×4﹣=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查的知识点是由三视图，求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．14．（5分）数列{a n}满足a1=3，a n﹣a n a n+1=1，A n表示{a n}前n项之积，则A2013=﹣1．考点：数列递推式．专题：计算题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：先通过计算，确定数列{a n}是以3为周期的数列，且a1a2a3=﹣1，再求A2013的值．解答：解：由题意，∵a1=3，a n﹣a n a n+1=1，∴，，a4=3，∴数列{a n}是以3为周期的数列，且a1a2a3=﹣1∵2013=3×671∴A2013=（﹣1）671=﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，确定数列{a n}是以3为周期的数列，且a1a2a3=﹣1是解题的关键．15．（5分）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于2．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，a，sinC的值代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值即可．解答：解：∵△ABC的面积为，BC=a=2，C=60°，∴absinC=，即b=2，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+4﹣4=4，则AB=c=2，故答案为：2点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16．（5分）设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为4．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：先求出f′（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围．解答：解：由题意，f′（x）=3ax2﹣3，当a≤0时3ax2﹣3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，与已知矛盾，当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=±，①当x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，②当﹣＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，③当x＞时，f（x）为递增函数．所以f（）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可由f（）≥0，即a•﹣3•+1≥0，解得a≥4，由f（﹣1）≥0，可得a≤4，由f（1）≥0解得2≤a≤4，综上a=4为所求．故答案为：4．点评：本题以函数为载体，考查学生解决函数恒成立的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC．（1）求cosA；（2）若a=3，△ABC的面积为，求b，c．考点：余弦定理；诱导公式的作用；两角和与差的余弦函数；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项，移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出cos（B+C）的值，将cosA用三角形的内角和定理及诱导公式变形后，将cos（B+C）的值代入即可求出cosA的值；（2）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入，得出bc=6，记作①，再由a及cosA的值，利用余弦定理列出关于b与c的关系式，记作②，联立①②即可求出b与c的值．解答：解：（1）3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC，化简得：3（cosBcosC+sinBsinC）﹣1=6cosBcosC，变形得：3（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1，即cos（B+C）=﹣，则cosA=﹣cos（B+C）=；（2）∵A为三角形的内角，cosA=，∴sinA==，又S△ABC=2，即bcsinA=2，解得：bc=6①，又a=3，cosA=，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：b2+c2=13②，联立①②解得：或．点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的余弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．18．（12分）某食品店每天以每瓶2元的价格从厂家购进一种酸奶若干瓶，然后以每瓶3元的价格出售，如果当天卖不完，余下的酸奶变质作垃圾处理．（1）若食品店一天购进170瓶，求当天销售酸奶的利润y（单位：元）关于当天的需求量n （单位：瓶，n∈N）的函数解析式；（2）根据市场调查，100天的酸奶的日需求量（单位：瓶）数据整理如下表：日需求量n 150 160 170 180 190 200天数17 23 23 14 13 10若以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．食品店一天购进170瓶酸奶，X 表示当天的利润（单位：元），求X的分布列和数学期望EX．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）由于食品店一天购进170瓶，故n＜170时，当天卖不完；n＞170时，当天全部卖完，由此可得分段函数；（2）确定X的可能取值，确定相应的频率，即可求X的分布列和数学期望EX．解答：解：（1）当n＜170时，y=3n﹣170×2=3n﹣340；当n＞170时，y=（3﹣2）×170=170∴y=；（2）X的可能取值为：110，140，170由题意，n=150，160及不小于170的频率分别为0.17.0.23.0.6∴X的分布列为X 110 140 170P 0.17 0.23 0.6∴EX=110×0.17+140×0.23+170×0.6=152.9．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC的中点，E，F分别是A1A，C1C上一点，且AE=CF=2a．（1）求证：B1F⊥平面ADF；（2）求三棱锥B1﹣ADF的体积；（3）求证：BE∥平面ADF．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由直棱柱的性质，得B1B⊥底面ABC，从而有AD⊥B1B，结合等腰△ABC中AD⊥BC，证出AD⊥平面B1BCC1，从而得出AD⊥B1F，矩形B1BCC1中利用Rt△DCF≌Rt△FC1B1证出∠B1FD=90°，从而B1F⊥FD，最后根据AD∩FD=D，证出B1F⊥平面AFD；（2）由（1）B1F⊥平面AFD，得B1F是三棱锥B1﹣ADF的高．根据题中数据分别算出AD、DF、B1F的长度，用锥体体积公式即可算出棱锥B1﹣ADF的体积；（3）连EF、EC，设EC∩AF=M，连结DM．矩形AEFC中证出M为EC中点，从而得到MD是△CBE 的中位线，得到MD∥BE，再利用线面平行判定定理，即可证出BE∥平面ADF．解答：解：（1）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥B1B．∵BC∩B1B=B，∴AD⊥平面B1BCC1．∵B1F⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．在矩形B1BCC1中，∵C1F=CD=a，B1C1=CF=2a，∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．∴∠CFD=∠C1B1F．∴∠B1FD=90°，可得B1F⊥FD．∵AD∩FD=D，∴B1F⊥平面AFD．（2）∵B1F⊥平面AFD，∴B1F是三棱锥B1﹣ADF的高等腰△ABC中，AD==2，矩形BB1C1C中，DF=B1F==因此，三棱锥B1﹣ADF的体积为V=×S △AFD×B1F==．（3）连EF、EC，设EC∩AF=M，连结DM，∵AE=CF=2a，∴四边形AEFC为矩形，可得M为EC中点．∵D为BC中点，∴MD∥BE．∵MD⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，∴BE∥平面ADF．点评：本题在直四棱柱中证明线面平行、线面垂直，并求三棱锥的体积．着重考查了空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2和上下两个顶点B1，B2是一个边长为2且∠F1B1F2为60°的菱形的四个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F2，斜率为k（k≠0）的直线与椭圆C相交于E，F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．求证：k•k′为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：解：（1）由题意利用菱形和含30°角的直角三角形的性质可得a=2，，c=1．即可得到椭圆C的方程．（2）设过点F2（1，0）的直线l的方程为：y=k（x﹣1）．设点E（x1，y1），F（x2，y2），与椭圆方程联立即可得到根与系数的关系，．可得直线AE的方程及直线AF的方程，令x=3，得点M，N的坐标．利用中点坐标公式可得点P的坐标．即可得到直线PF2的斜率为k′，把根与系数代入即可得出k•k′为定值．解答：解：（1）由题意可得a=2，，c=1．∴椭圆C的方程为．（2）设过点F2（1，0）的直线l的方程为：y=k（x﹣1）．设点E（x1，y1），F（x2，y2），联立，化为（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．显然△＞0，∴，（*）．直线AE的方程为，直线AF的方程为，令x=3，得点M，N．∴点P．直线PF2的斜率为k′====．把（*）代入得k′==﹣．∴为定值．点评：熟练掌握椭圆的标准及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线的点斜式方程、中点坐标公式、斜率计算公式等是解题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若存在x0∈[，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）由已知知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．（2）由已知得a≤2lnx+x+，x∈[，e]，设h（x）=2lnx+x+，x∈[，e]，则，x∈[，e]，由此利用导数性质能求出实数a的取值解答：解：（1）由已知知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，当x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（），f′（x）＞0，f（x）单调递增，①0＜t＜t+2＜，没有最小值；②0＜t＜＜t+2，即0＜t＜时，f（x）min=f（）=﹣；③，即t时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt．∴．（2）∵不等式2f（x0）≥g（x0）成立，即2x0lnx0≥﹣，∴a≤2lnx+x+，x∈[，e]，设h（x）=2lnx+x+，x∈[，e]，则，x∈[，e]，①x∈[，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，②x∈（1，e]时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）max=h（e）=2+e+，对一切x0∈[，e]使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，∴a≤h（x）max=2+e+．点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．一、请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4﹣1：几何证明选讲】如图，梯形ABCD内接于圆O，AD∥BC，且AB=CD，过点B引圆O的切线分别交DA、CA的延长线于点E、F．（1）求证：CD2=AE•BC；（2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）由已知条件，利用直线平行的性质和弦切角定理推导出△EAB∽△ABC，由此能证明CD2=AE•BC．（2）由已知条件和（1）先求出AE，再由三角形相似的判定定理得到△FEA∽△FAB，由此能求出结果．解答：解：（1）因为AD∥BC，所以∠EAB=∠ABC．又因为FB与圆O相切于点B，所以∠EBA=∠ACB，所以△EAB∽△ABC，所以=，即AB2=AE•BC，因为AB=CD，所以CD2=AE•BC．（2）因为AB2=AE•BC，BC=8，CD=5，AF=6，AB=CD，所以AE==，因为AD∥BC，所以∠FAE=∠ACB，又因为∠EBA=∠ACB，所以∠FAE=∠EBA，∠F=∠F，所以△FEA∽△FAB，所以，所以EF==．点评：本题考查三角形相似的应用，考查与圆有关的线段长的求法，解题时要注意弦切角定理和三角形相似的性质的灵活运用．一、选考题23．【选修4﹣4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C所截得的弦长．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：本题的关键（1）是直线l的参数方程为（t为参数）和曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）的普通方程的转化，（2）是借助垂径定理，求解弦长问题．解答：解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），（t为参数）∴化为普通方程为l：3x+4y+1=0．又∵曲线C的极方程为ρ=cos（θ+），∴化为直角坐标方程为x2+y2﹣x+y=0．（2）由（1）可知曲线C表示圆心为（），半径为的圆，∴则圆心到直线l的距离d═=，∴直线l被曲线C截得的弦长为点评：此题考查参数方程和极坐标方程化为普通方程，是一道2015届高考常见的题目一、选考题24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣7|﹣|x﹣3|，（Ⅰ）作出函数f（x）的图象；（Ⅱ）当x＜5时，不等式|x﹣8|﹣|x﹣a|＞2恒成立，求a的取值范围．考点：带绝对值的函数；绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（I）由于函数f（x）=|x﹣7|﹣|x﹣3|=，由此根据函数的解析式作出函数的图象．（II）当x＜5时，由题意可得|x﹣a|＜6﹣x恒成立．平方可得（12﹣2a）x＜36﹣a2．结合题意可得12﹣2a＞0，且x＜．故有≥5，且a＜6，由此求得a的范围．解答：解：（I）由于函数f（x）=|x﹣7|﹣|x﹣3|=，如图所示：（II）当x＜5时，由于不等式|x﹣8|﹣|x﹣a|＞2恒成立，故|x﹣a|＜6﹣x恒成立．平方可得，（12﹣2a）x＜36﹣a2．结合题意可得12﹣2a＞0，且x＜．故有≥5，且a＜6，解得6＞a≥4．故所求的a的范围为[4，6）．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，属于中档题．。
高三数学上学期12月月考试题文含解析新人教A版
甘肃省兰州一中 高三数学上学期12月月考试题 文（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份，满分150分， 考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设a R ∈，且2()a i i +为正实数，则a =.A 2 .B 1 .C 0 .1D -【答案】D【解析】()()222()1221a i i a ai i a a i +=-+=-+-，因为2()a i i +为正实数，所以210120a a a ⎧-==-⎨->⎩，解得。
2.已知函数()(cos 2cos sin 2sin )sin ,f x x x x x x =+x R ∈,则()f x 是.A 最小正周期为π的奇函数 .B 最小正周期为π的偶函数 .C 最小正周期为2π的奇函数 .D 最小正周期为2π的偶函数 【答案】A 【解析】3.命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b |>1是|a +b|>1的充分而没必要要条件； 命题q ：函数y=2|1|--x 的概念域是（－∞，－1]∪[3，+∞)，则A ．“p 或q ”为假B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．“p 且q ”为真【答案】B 【解析】4.下列说法正确的是.A 有两个平面彼此平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱， .B 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，.C 有两个面彼此平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台，.D以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.【答案】B【解析】选项A不正确，如图：棱台是由棱锥截来的，故要求梯形的腰延长后要交与一点，故C不正确；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥，故D不正确。
5.函数)(xf是奇函数,且在（+∞,0）内是增函数,0)3(=-f,则不等式0)(<⋅xfx的解集为A．}33|{><<-xxx或B．}33|{<<-<xxx或C．}33|{>-<xxx或D．}33|{<<<<-xxx或【答案】D【解析】因为函数)(xf是奇函数,且在（+∞,0）内是增函数,所以函数)(xf在（,0-∞）内是增函数,又0)3(=-f，所以(3)0f=，所以当303x x-<<>或时，()0f x>；当33x x<-<<或0时，()0f x<，所以不等式0)(<⋅xfx的解集为}33|{<<<<-xxx或。
甘肃省兰州高三12月月考数学(文)试题 Word版含答案
兰州一中2017届高三12月考试试题数学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={2，3，4，5}，N={x |sin x ＞0}，则M∩N 为（ ） A ．{2，3，4，5} B ．{2，3，4} C ．{3，4，5}D ．{2，3}2．已知i 是复数的虚数单位，若复数(1)|2|z i i +=，则复数z =（ ） A ． 1i - B. 1i -+ C. 1i + D.i 3．设a ，b 为实数，则“ab ＞1”是“ab 1>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在ABC ∆中，已知向量)2,2(=AB ，2||=AC ，4-=⋅，则A ∠=（ ） A ．43π B ．4π C ．32π D ．65π 5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．2π﹣32 B ．2π﹣34 C ．35πD ．2π﹣2 6．已知1是a lg 与b lg 的等比中项，若,1,1>>b a 则ab 有（ ） A ．最小值10 B ．最小值100C ．最大值10D ．最大值1007．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．54钱B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱8．若函数f （x ）=log a （2x ﹣ax +12）有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（0，1）（1C ．（1D ．9．若tan α=lg （10a ），tan β=lg a ，且α﹣β=4π，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．110C ．1或110D ．1或1010．设实数y x ,满足约束条件且目标函数y x z -=的最小值为-1，则m =( )A ．6B ．5C ．4D ．311．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )． A.8π B.4π C.43π． D.83π 12. 定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在[1,)+∞上为减函数，(1)()f m f m -<，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,)2+∞B ．1(,)2-∞C ．1(,)2-∞-D ．11(,)(,)22-∞-+∞ ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设函数12,0()3,0x x x f x x ++<⎧=⎨≥⎩,则()2f f -=⎡⎤⎣⎦_________．14．设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为_________．. 15. 在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b cos C=3a cos B ﹣c cos B ，2=⋅BC BA 则△ABC 的面积为_________ ．16. 如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为线段A 1B 上的动点，则下列结论正确的有___________①三棱锥M ﹣DCC 1的体积为定值 ②DC 1⊥D 1M⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 121③∠AMD 1的最大值为90° ④AM+MD 1的最小值为2．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)已知命题p ：方程240x x m -+=有实根，命题 ：15m -≤≤．若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(cos x,3)．(1)当m ∥n 时，求sin x ＋cos x3sin x －2cos x 的值；(2)已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，3c ＝2as in (A ＋B)， 函数f(x)＝(m ＋n)·m ，求)8(π+B f 的取值范围．19．（本小题满分12分）)已知递增等比数列{n a }的前三项之积为8，且这三项分别加上1，2，2后又成等差数列.(1)求等比数列{n a }的通项公式；(2)记n a b n n 2+=,求数列{n b }的前n 项和T n .20. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一直角梯形，侧面PAD 是等边三角形，其中,BA AD CD AD ⊥⊥，22CD AD AB ==,平面PAD ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．(1)求证：BE //平面PAD ； (2)求证：BE ⊥CD ； (3)求BD 与平面PDC 所成角的正弦值。
甘肃高三高中数学月考试卷带答案解析
甘肃高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数的共轭复数是()A．B．C．D．2.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是()A．B．C．D．3.执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()A．120B．720C．1440D．50404.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A．B．C．D．5.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=()A．B．C．D．6.下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β7.设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A．B．C．2D．38.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．-40B．-20C．20D．409.由直线x=,x=2,曲线及x轴所围图形的面积为()A．B．C．D．2ln210.已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题其中的真命题是()A．B．C．D．11.设函数的最小正周期为，且，则()A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递增12.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2(Ⅰ)求C2的方程(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.二、填空题1.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于() A．2B．4C．6D．82.若变量满足约束条件则的最小值为 .3.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线L交C于的周长为16，那么的方程为 .两点，且△ABF24.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 .5.在△ABC中，，则的最大值为 .三、解答题1.（本小题满分12分）已知等比数列中，，公比．（I）为的前n项和，证明：（II）设，求数列的通项公式2.(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.3.（本小题满分12分）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望.4.（本题满分为12分）已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为．（I）求椭圆方程；（II）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段所成的比为2，求线段AB所在直线的方程．5.（本题满分为12分）已知函数的图像过坐标原点，且在点处的切线的斜率是．（1）求实数的值；（2）求在区间上的最大值；6.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数,其中.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集为，求a的值.甘肃高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.复数的共轭复数是()A．B．C．D．【答案】C【解析】,所以其共轭复数为-i.2.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是()A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数y=|x|+1为偶函数,并且当x>0时,y=x+1在单调递增,所以应选B.3.执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()A．120B．720C．1440D．5040【答案】B【解析】因为退出循环体时k=6,所以.4.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A．B．C．D．【答案】A【解析】.5.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=()A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知.6.下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D【解析】如果平面α⊥平面β,那么只有在平面α内垂直交线的直线才垂直于平面β.并不是所有的直线都垂直于平面β.7.设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A．B．C．2D．3【答案】B【解析】由题意得.8.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．-40B．-20C．20D．40【答案】A【解析】令x=1则，,所以当r=3时展开式的项为常数项，常数项为.9.由直线x=,x=2,曲线及x轴所围图形的面积为()A．B．C．D．2ln2【答案】D【解析】.10.已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题其中的真命题是()A．B．C．D．【答案】A【解析】p:因为,正确.1:,故正确的有.P411.设函数的最小正周期为，且，则() A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递增【答案】A【解析】,又因为f(x)为偶函数，所以,又因为,所以,由f(x)的周期可知,因为当时，,所以在单调递减.12.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足,P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求.【答案】（I ）（为参数）； （Ⅱ）.【解析】(I)本小题属于相关点法求P 点的轨迹方程.设P(x ，y)，则由条件知M().由于M 点在C 1上，可得到点P 的轨迹方程.(II)解本小题的关键是先确定的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．然后根据求值即可.解：（I ）设P(x ，y)，则由条件知M().由于M 点在C 1上，所以即从而的参数方程为（为参数）……………… 5分 （Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为．所以.……………… 10分二、填空题1.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】函数的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图 当时，y 1＜0;而函数y 2在（1，4）上出现1.5个周期的图象， 在和上是减函数;在和上是增函数.函数y 2在(1,4)上函数值为负数，且与y 1的图像有四个交点E 、F 、G 、H ，相应地，y 2在(-2,1)上函数值为正数，且与y 1的图像有四个交点A 、B 、C 、D ，且,故所求的横坐标之和为8. 2.若变量满足约束条件则的最小值为 .【答案】 【解析】当直线经过直线2x+y=3和x-y=9的交点M(4,-5)时，z 最小，最小值为.3.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线L交C于两点，且△ABF的周长为16，那么的方程为 .2【答案】【解析】由椭圆的定义可知椭圆C的方程为.4.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 .【答案】【解析】设AC的中点为M，则AC=，.5.在△ABC中，，则的最大值为 .【答案】【解析】由得,当时，取得最大值.三、解答题1.（本小题满分12分）已知等比数列中，，公比．（I）为的前n项和，证明：（II）设，求数列的通项公式【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）。
(全优试卷)甘肃省兰州高三12月月考数学(文)试题 Word版含答案
兰州一中2017届高三12月考试试题数学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={2，3，4，5}，N={x |sin x ＞0}，则M∩N 为（ ） A ．{2，3，4，5} B ．{2，3，4} C ．{3，4，5}D ．{2，3}2．已知i 是复数的虚数单位，若复数(1)|2|z i i +=，则复数z =（ ） A ． 1i - B. 1i -+ C. 1i + D.i 3．设a ，b 为实数，则“ab ＞1”是“ab 1>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在ABC ∆中，已知向量)2,2(=AB ，2||=AC ，4-=⋅AC AB ，则A ∠=（ ） A ．43π B ．4π C ．32π D ．65π 5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．2π﹣32 B ．2π﹣34 C ．35πD ．2π﹣2 6．已知1是a lg 与b lg 的等比中项，若,1,1>>b a 则ab 有（ ） A ．最小值10 B ．最小值100C ．最大值10D ．最大值1007．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．54钱B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱8．若函数f （x ）=log a （2x ﹣ax +12）有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（0，1）（1C ．（1D ．9．若tan α=lg （10a ），tan β=lg a ，且α﹣β=4π，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．110C ．1或110D ．1或1010．设实数y x ,满足约束条件且目标函数y x z -=的最小值为-1，则m =( )A ．6B ．5C ．4D ．311．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )． A.8π B.4πC.43π．D.83π12. 定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在[1,)+∞上为减函数，(1)()f m f m -<，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,)2+∞ B ．1(,)2-∞ C ．1(,)2-∞- D ．11(,)(,)22-∞-+∞ ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设函数12,0()3,0x x x f x x ++<⎧=⎨≥⎩,则()2f f -=⎡⎤⎣⎦_________．14．设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为_________．. 15. 在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b cos C=3a cos B ﹣c cos B ，2=⋅BC BA 则△ABC 的面积为_________ ．16. 如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为线段A 1B 上的动点，则下列结论正确的有___________①三棱锥M﹣DCC 1的体积为定值 ②DC 1⊥D 1M⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 121③∠AMD 1的最大值为90° ④AM+MD 1的最小值为2．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)已知命题p ：方程240x x m -+=有实根，命题 ：15m -≤≤．若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(cos x,3)．(1)当m ∥n 时，求sin x ＋cos x3sin x －2cos x 的值；(2)已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，3c ＝2as in (A ＋B)， 函数f(x)＝(m ＋n)·m ，求)8(π+B f 的取值范围．19．（本小题满分12分）)已知递增等比数列{n a }的前三项之积为8，且这三项分别加上1，2，2后又成等差数列.(1)求等比数列{n a }的通项公式；(2)记n a b n n 2+=,求数列{n b }的前n 项和T n .20. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一直角梯形，侧面PAD 是等边三角形，其中,BA AD CD AD ⊥⊥，22CD AD AB ==,平面PAD ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．(1)求证：BE //平面PAD ； (2)求证：BE ⊥CD ； (3)求BD 与平面PDC 所成角的正弦值。
甘肃省兰州一中高三12月月考试题(数学文).doc
兰州一中12月高三月考试卷数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间1．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．若集合,21log 21⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥=x x A 则R C A A .),22(]0,(+∞-∞ B . ),22(+∞ C . ),22[]0,(+∞-∞D . ),22[+∞ 2．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若819=S ，则=++852a a aA ．26B ．27C ．28D ．293．“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”是“01a ≤<”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件4．已知圆O 的半径为R ，A 、B 是其圆周上的两个三等分点，则AB OA ⋅的值等于A2 B ．212R -C．2R D ．232R -5．把函数5sin(2)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数的图象向右平移3π个单位，得到图象的解析式为 A ．5cos y x = B ．5cos y x =-C ．5cos 4y x =D ．5cos 4y x =-6．已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30AB AC BAC ⋅=∠=，若,MBC MCA ∆∆和MAB ∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y +的最小值是（ ）A ．B ．18C ．16D ．97. 已知实数x ，y 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，目标函数()z y ax a R =-∈，若z 取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(－1,0)C ． (1，＋∞)D . (－∞，－1)8．已知)(x f = 2(5),0;log (),0,f x x x x -≥⎧⎨-<⎩ 则f （ ） 等于A ．–1B ．0C ．1D ．29. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是,它的一个焦点抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为A ．22136108x y -= B ． 221927x y -=C ．22110836x y -= D ． 221279x y -= 10．已知等比数列{a n }的公比q <0，其前n 项和为S n ，则89S a 与98S a 的大小关系是A ．9889S a S a <B ．9889S a S a >C ．9889S a S a =D ．89S a 与98S a 的大小关系与1a 的值有关11. 设F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0) 的焦点, 点A 是抛物线与双曲线C 2：22221x y ab-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为AB ． 2 C2D12．已知()y f x =是偶函数，而()1y f x =+是奇函数，且对任意01x ≤<，都有()0f x '>，则()2010a f =，()54b f=，()12c f =-的大小关系是A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若sin ,a ba c A c+=则的最大值为 . 2 14．若关于x 的方程1x ax =+仅有一个根0x ，且满足00x <，则实数a 的取值范围是 ．1a ≥15．已知数列{},n n a S 中是其前121212,1,2,n n n n n n n a a a a a a a a ++++===++项和若，且121≠++n n a a ，则S= .406．若函数x x x f -=331)(在()210,a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是 . 12<≤-a三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分12分）已知函数22()2sin ()4f x x x π=--（I ）求()f x 最小正周期和单调递减区间；（II ）若()2[0,]6f x m x π<+∈在上恒成立，求实数m 的取值范围.解：()1cos(2)1sin22sin(2)123f x x x x x πππ=--=--=-++ （I ）22T ππ== 由222232k x k πππππ-+≤+≤+ 即51212k x k ππππ-+≤≤+，故递减区间：5[,]()1212k k k z ππππ-++∈ … 6分（II ）由()2[0,]6f x m x π<+∈在上恒成立，得max ()2,f x m <+[0,]6x π∈由06x π≤≤，有22333x πππ≤+≤sin(2)13x π≤+≤故1()1f x -≤≤21m +>1m >-所以实数m 的取值范围是1m >-. ……………… 12分19．（本小题满分12分）设O 为坐标原点，圆C ：016222=+-++y x y x 上有两点P 、Q,它们关于直线04=++my x 对称，且满足OP ⊥OQ 。
西北师大附中数学月考试卷
西北师大附中 2020-2021-2 高二月考试卷数学第 I 卷（选择题）一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线（ ） A．异面 B．相交 C．垂直 D．平行 2.下面四个条件中，能确定一个平面的条件是（ ）．A．空间中任意三点 B．空间中两条直线 C．一条直线和一个点 3.若直线 l∥平面 ，直线 ，则 l 与 a 的位置关系是（ ） A. l∥a B. l 与 a 异面 C. l 与 a 相交 D. l 与 a 没有公共点 4.下列命题正确的个数为D．两条平行直线①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A． 0 B． 1 C． 2 D． 35.已知 a ， b 表示两条不同的直线， ， 表示两个不同的平面，下列说法错误的是（ ）A. 若 a ， b ， ，则 a b B. 若 a ， b ， a b ，则 C. 若 a ， a b ， ，则 b D. 若 a ， a b ，则 b a 或 b 6.在空间四边形的边 ， ， ， 上分别取 ， ， ， 四点，如果 ， ，交于一点 ，则（ ）A． 一定在直线 上B． 一定在直线 上C． 一定在直线 或 上 D． 既不在直线 上，也不在直线 上7.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是 ()A.B.C.D.8.如图，在正方体中，点，则下列命题正确的是（ ）分别是的中A．B．C．D．9.如图， l ， A ， B ， C ， C l ，直线 AB l D ，过 A, B,C 三点确定的平面为 ，则平面 , 的交线必过（ ）A． 点 A B． 点 B C． 点 C ，但不过点 D D． 点 C 和点 D 10.不重合的三个平面最多可以把空间分成（ ）个部分A． 4 B． 5 C． 7 D． 811.设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题：①若，则 ；②若，则 ；③，则 ；④若其中正确的命题个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 312.在如图所示的正方体中， 分别棱是的中点，异面直线 与余弦值为（ ），则 . 所成角的A.B.C.D.第 II 卷（非选择题） 二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13.在空间四边形 ABCD中， AD BC 2， E ， F 分别是 AB ， CD 的中点，若异面直线 AD 与 BC 互相垂直，则 EF __________. 14.已知平面 , 和直线 m, 则满足下列条件中________ (填上所有正确的序号)能使 m 成立. ① m // ， m ；③ m ； // . 15.已知α∥β，点 P 是平面α，β外的一点．直线 PB，PD 分别与α，β相交于 A，B 和 C，D.已知 PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，则 PD 的长为_______．16.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论20.（12 分） 如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点．①AB⊥EF；②AB 与 CM 所成的角为 60°；③EF 与 MN 是异面直线；④MN∥CD．以上四个命题中，正确命题的序号是 _________三、解答题（本题共 6 道小题,第 17 题 10 分,第 18-22 题每题 12 分,共 70 分） 17.（10 分）如图所示，四边形 ABCD 是矩形，P 平面 ABCD，过 BC 作平面 BCFE 交 AP 于 E，交 DP 于 F.求证：(1)E、C、D1、F 四点共面； 21.（12 分）(2) CE、D1F、DA 三线共点．如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面平面,,点 是棱 的中点,求证：,点 在棱 上,求证：四边形 BCFE 是梯形． 18.（12 分）如图, 四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,E, F 分别是 AC, PB 的中点．求证：（1）EF∥平面 PCD； 19.（12 分）（2）BD⊥平面 PAC．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 ， O 是底 ABCD对角线的交点. 求证：（1）C1O∥面 AB1D1 ；（2）求直线 C1O 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值.(1)平面 ; (2)平面 .22. (12 分)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且 AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F 分别为 AC，DC 的中点．(1)求证：EF⊥BC；(2)求二面角 E－BF－C 的正弦值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
甘肃省兰州市西北师大附中2015 届高三上学期12月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U={x∈N|x＜9}，集合A={3，4，5}，B={1，3，6}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{0，2，7，8} B．{0，2，7} C．{0，2，8} D．{0，2}2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）“函数y=a x是增函数”是“log2a＞1”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知实数4，m，1构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为（）A．B．C．或D．或35．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的B的值为（）A．63 B．31 C．15 D．76．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（）A．﹣5 B．1 C．2 D．37．（5分）已知集合 M={x||x+2|+|x﹣1|≤5}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，则b﹣a=（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．78．（5分）已知f（x）=，则f（）的值为（）A．B．﹣C．1 D．﹣19．（5分）双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．D．10．（5分）如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD 折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．3πC．D．2π11．（5分）把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，…，依次循环的规律分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，则第50个括号内各数之和为（）A．98 B．197 C．390 D．39212．（5分）定义在R上的函数（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R），使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为假命题的是（）A．若函数y=f（x）是倍增系数λ=﹣2的函数，则y=f（x）至少有1个零点B．函数f（x）=2x+1是倍增函数且倍增系数λ=1C．函数f（x）=e﹣x是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）D．若函数f（x）=sin2ωx（ω＞0）是倍增函数，则ω=（k∈N+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或粗虚线画出了某简单组合体的三视图和直观图（斜二测画法），则此简单几何体的体积是．14．（5分）数列{a n}满足a1=3，a n﹣a n a n+1=1，A n表示{a n}前n项之积，则A2013=．15．（5分）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于．16．（5分）设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC．（1）求cosA；（2）若a=3，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）某食品店每天以每瓶2元的价格从厂家购进一种酸奶若干瓶，然后以每瓶3元的价格出售，如果当天卖不完，余下的酸奶变质作垃圾处理．（1）若食品店一天购进170瓶，求当天销售酸奶的利润y（单位：元）关于当天的需求量n （单位：瓶，n∈N）的函数解析式；（2）根据市场调查，100天的酸奶的日需求量（单位：瓶）数据整理如下表：日需求量n 150 160 170 180 190 200天数17 23 23 14 13 10若以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．食品店一天购进170瓶酸奶，X 表示当天的利润（单位：元），求X的分布列和数学期望EX．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC的中点，E，F分别是A1A，C1C上一点，且AE=CF=2a．（1）求证：B1F⊥平面ADF；（2）求三棱锥B1﹣ADF的体积；（3）求证：BE∥平面ADF．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2和上下两个顶点B1，B2是一个边长为2且∠F1B1F2为60°的菱形的四个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F2，斜率为k（k≠0）的直线与椭圆C相交于E，F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．求证：k•k′为定值．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若存在x0∈[，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．一、请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4﹣1：几何证明选讲】如图，梯形ABCD内接于圆O，AD∥BC，且AB=CD，过点B引圆O的切线分别交DA、CA的延长线于点E、F．（1）求证：CD2=AE•BC；（2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF的长．一、选考题23．【选修4﹣4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C所截得的弦长．一、选考题24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣7|﹣|x﹣3|，（Ⅰ）作出函数f（x）的图象；（Ⅱ）当x＜5时，不等式|x﹣8|﹣|x﹣a|＞2恒成立，求a的取值范围．甘肃省兰州市西北师大附中2015届高三上学期12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U={x∈N|x＜9}，集合A={3，4，5}，B={1，3，6}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{0，2，7，8} B．{0，2，7} C．{0，2，8} D．{0，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先计算（∁U A），（∁U B），再计算（∁U A）∩（∁U B）．解答：解：全集U={x∈N|x＜9}={0，1，2，3，4，5，6，7，8}．集合A={3，4，5}，B={1，3，6}，所以∁U A={0，1，2，6，7，8}，∁U B}={0，2，4，5，7，8}．则（∁U A）∩（∁U B）={0，2，7，8}故选A．点评：本题考查集合的基本运算．属于基础题．2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把复数z代入表达式化简整理即可．解答：解：对于，故选D．点评：本小题主要考查了复数的运算和复数的概念，以复数的运算为载体，直接考查了对于复数概念和性质的理解程度．3．（5分）“函数y=a x是增函数”是“log2a＞1”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：先判断两个命题p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论．解答：解：∵条件p：“函数y=a x是增函数”即a＞1，又∵条件q：“log2a＞1”即a＞2，由于a＞2⇒a＞1，反之不能．则“函数y=a x是增函数”是“log2a＞1”的必要不充分条件．故选A．点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．4．（5分）已知实数4，m，1构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为（）A．B．C．或D．或3考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由4，m，1构成一个等比数列，得到m=±2．当m=2时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣2时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．解答：解：∵4，m，1构成一个等比数列，∴m=±2．当m=2时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，它的离心率是；当m=﹣2时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，它的离心率是e2=．故选C．点评：本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的B的值为（）A．63 B．31 C．15 D．7考点：程序框图．专题：计算题；图表型；算法和程序框图．分析：由程序框图依次计算第一、第二…的运行结果，直到不满足条件A≤5时，输出B，即为所求．解答：解：由当型程序框图得：第一次运行B=2×1+1=3，A=2；第二次运行B=2×3+1=7，A=3；第三次运行B=2×7+1=15，A=4；第四次运行B=2×15+1=31，A=5；第五次运行B=2×31+1=63，A=6；不满足条件A≤5结束运行，输出B=63．故选A．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，解答的关键是读懂程序框图．6．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（）A．﹣5 B．1 C．2 D．3考点：简单线性规划．专题：计算题；数形结合．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于2，构造关于a的方程，解方程即可得到答案．解答：解：不等式组所围成的区域如图所示．∵其面积为2，∴|AC|=4，∴C的坐标为（1，4），代入ax﹣y+1=0，得a=3．故选D．点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．7．（5分）已知集合 M={x||x+2|+|x﹣1|≤5}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，则b﹣a=（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．7考点：绝对值不等式的解法；交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：解绝对值不等式求得 M={x|﹣3≤x≤2}，再由N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，可得a=﹣1，b=2，从而求得b﹣a的值．解答：解：由于|x+2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2和1对应点的距离之和，而﹣3和2对应点到﹣2和1对应点的距离之和正好等于5，故由|x+2|+|x﹣1|≤5可得﹣3≤x≤2，∴集合 M={x||x+2|+|x﹣1|≤5}={x|﹣3≤x≤2}．再由N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，可得a=﹣1，b=2，b﹣a=3，故选C．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，两个集合的交集的定义，属于中档题．8．（5分）已知f（x）=，则f（）的值为（）考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，f（）=f（﹣）+1=sin（﹣）+1=﹣•+1=﹣；从而求解．解答：解：f（）=f（﹣）+1=sin（﹣）+1=﹣•+1=﹣；故选B．点评：本题考查了函数的值的求法，属于基础题．9．（5分）双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的2倍，求出m的值，从而可求双曲线的渐近线方程．解答：解：双曲线x2+my2=1中a=1，b=．∵双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴，∴m=﹣，∴双曲线方程为x2﹣=1，∴双曲线的渐近线方程为y=±2x．故选A．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，确定m的值是关键．10．（5分）如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD 折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；压轴题．分析：说明折叠后几何体的特征，求出三棱锥的外接球的半径，然后求出球的体积．解答：解：由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD 折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=，球的半径为：；所以球的体积为：=．故选A点评：本题是基础题，考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查计算能力，正确球的外接球的半径是解题的关键．11．（5分）把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，…，依次循环的规律分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，则第50个括号内各数之和为（）A．98 B．197 C．390 D．392考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：由题意将三个括号作为一组，判断出第50个括号应为第17组的第二个括号，由题意和奇数对应数列的通项公式，求出第50个括号内各个数，再求出第50个括号内各数之和．解答：解：由题意可得，将三个括号作为一组，则由50=16×3+2，第50个括号应为第17组的第二个括号，即50个括号中应有两个数，因为每组中有6个数，所以第48个括号的最后一个数为数列{2n﹣1}的第16×6=96项，第50个括号的第一个数为数列{2n﹣1}的第16×6+2=98项，即2×98﹣1=195，第二个数是2×99﹣1=197，所以第50个括号内各数之和为195+197=392，故选：D．点评：本题考查了归纳推理，等差数列的通项公式，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．12．（5分）定义在R上的函数（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R），使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为假命题的是（）A．若函数y=f（x）是倍增系数λ=﹣2的函数，则y=f（x）至少有1个零点B．函数f（x）=2x+1是倍增函数且倍增系数λ=1C．函数f（x）=e﹣x是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）D．若函数f（x）=sin2ωx（ω＞0）是倍增函数，则ω=（k∈N+）考点：函数的值．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：根据题意，利用“倍增函数”的定义f（x+λ）=λf（x），对题目中的选项进行分析判断，即可得出正确的答案．解答：解：对于A，∵函数y=f（x）是倍增系数λ=﹣2的倍增函数，∴f（x﹣2）=﹣2f（x），当x=0时，f（﹣2）+2f（0）=0，若f（0）、f（﹣2）任意一个为0，则函数f（x）有零点；若f（0）、f（﹣2）均不为0，则f（0）、f（﹣2）异号，由零点存在性定理得，在区间（﹣2，0）内存在x0，使得f（x0）=0，即y=f（x）至少存在1个零点，∴A正确；对于B，∵f（x）=2x+1是倍增函数，∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），∴λ=≠1，∴B错误；对于C，∵f（x）=e﹣x是倍增函数，∴e﹣（x+λ）=λe﹣x，∴=，∴λ=∈（0，1），∴C正确；对于D，∵f（x）=sin2ωx（ω＞0）是倍增函数，∴sin[2ω（x+λ）]=λsin2ωx，∴ω=（k∈N*），∴D正确．故选：B．点评：本题考查了新定义的函数的性质与应用的问题，解题时应理解新定义的内容是什么，是综合性题目．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或粗虚线画出了某简单组合体的三视图和直观图（斜二测画法），则此简单几何体的体积是﹣．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥挖去四分之一个圆锥剩下的部分，三棱锥的底面是一个腰长为4的等腰直角三角形，高为4，还原的圆锥的底面半径为2，高为4，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥挖去四分之一个圆锥剩下的部分，三棱锥的底面是一个腰长为4的等腰直角三角形，高为4，还原的圆锥的底面半径为2，高为4，故体积V=××4×4×4﹣=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查的知识点是由三视图，求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．14．（5分）数列{a n}满足a1=3，a n﹣a n a n+1=1，A n表示{a n}前n项之积，则A2013=﹣1．考点：数列递推式．专题：计算题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：先通过计算，确定数列{a n}是以3为周期的数列，且a1a2a3=﹣1，再求A2013的值．解答：解：由题意，∵a1=3，a n﹣a n a n+1=1，∴，，a4=3，∴数列{a n}是以3为周期的数列，且a1a2a3=﹣1∵2013=3×671∴A2013=（﹣1）671=﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，确定数列{a n}是以3为周期的数列，且a1a2a3=﹣1是解题的关键．15．（5分）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于2．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，a，sinC的值代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值即可．解答：解：∵△ABC的面积为，BC=a=2，C=60°，∴absinC=，即b=2，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+4﹣4=4，则AB=c=2，故答案为：2点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16．（5分）设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为4．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：先求出f′（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围．解答：解：由题意，f′（x）=3ax2﹣3，当a≤0时3ax2﹣3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，与已知矛盾，当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=±，①当x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，②当﹣＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，③当x＞时，f（x）为递增函数．所以f（）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可由f（）≥0，即a•﹣3•+1≥0，解得a≥4，由f（﹣1）≥0，可得a≤4，由f（1）≥0解得2≤a≤4，综上a=4为所求．故答案为：4．点评：本题以函数为载体，考查学生解决函数恒成立的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC．（1）求cosA；（2）若a=3，△ABC的面积为，求b，c．考点：余弦定理；诱导公式的作用；两角和与差的余弦函数；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项，移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出cos（B+C）的值，将cosA用三角形的内角和定理及诱导公式变形后，将cos（B+C）的值代入即可求出cosA的值；（2）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入，得出bc=6，记作①，再由a及cosA的值，利用余弦定理列出关于b与c的关系式，记作②，联立①②即可求出b与c的值．解答：解：（1）3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC，化简得：3（cosBcosC+sinBsinC）﹣1=6cosBcosC，变形得：3（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1，即cos（B+C）=﹣，则cosA=﹣cos（B+C）=；（2）∵A为三角形的内角，cosA=，∴sinA==，又S△ABC=2，即bcsinA=2，解得：bc=6①，又a=3，cosA=，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：b2+c2=13②，联立①②解得：或．点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的余弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．18．（12分）某食品店每天以每瓶2元的价格从厂家购进一种酸奶若干瓶，然后以每瓶3元的价格出售，如果当天卖不完，余下的酸奶变质作垃圾处理．（1）若食品店一天购进170瓶，求当天销售酸奶的利润y（单位：元）关于当天的需求量n （单位：瓶，n∈N）的函数解析式；（2）根据市场调查，100天的酸奶的日需求量（单位：瓶）数据整理如下表：日需求量n 150 160 170 180 190 200天数17 23 23 14 13 10若以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．食品店一天购进170瓶酸奶，X 表示当天的利润（单位：元），求X的分布列和数学期望EX．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）由于食品店一天购进170瓶，故n＜170时，当天卖不完；n＞170时，当天全部卖完，由此可得分段函数；（2）确定X的可能取值，确定相应的频率，即可求X的分布列和数学期望EX．解答：解：（1）当n＜170时，y=3n﹣170×2=3n﹣340；当n＞170时，y=（3﹣2）×170=170∴y=；（2）X的可能取值为：110，140，170由题意，n=150，160及不小于170的频率分别为0.17.0.23.0.6∴X的分布列为X 110 140 170P 0.17 0.23 0.6∴EX=110×0.17+140×0.23+170×0.6=152.9．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC的中点，E，F分别是A1A，C1C上一点，且AE=CF=2a．（1）求证：B1F⊥平面ADF；（2）求三棱锥B1﹣ADF的体积；（3）求证：BE∥平面ADF．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由直棱柱的性质，得B1B⊥底面ABC，从而有AD⊥B1B，结合等腰△ABC中AD⊥BC，证出AD⊥平面B1BCC1，从而得出AD⊥B1F，矩形B1BCC1中利用Rt△DCF≌Rt△FC1B1证出∠B1FD=90°，从而B1F⊥FD，最后根据AD∩FD=D，证出B1F⊥平面AFD；（2）由（1）B1F⊥平面AFD，得B1F是三棱锥B1﹣ADF的高．根据题中数据分别算出AD、DF、B1F的长度，用锥体体积公式即可算出棱锥B1﹣ADF的体积；（3）连EF、EC，设EC∩AF=M，连结DM．矩形AEFC中证出M为EC中点，从而得到MD是△CBE 的中位线，得到MD∥BE，再利用线面平行判定定理，即可证出BE∥平面ADF．解答：解：（1）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥B1B．∵BC∩B1B=B，∴AD⊥平面B1BCC1．∵B1F⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．在矩形B1BCC1中，∵C1F=CD=a，B1C1=CF=2a，∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．∴∠CFD=∠C1B1F．∴∠B1FD=90°，可得B1F⊥FD．∵AD∩FD=D，∴B1F⊥平面AFD．（2）∵B1F⊥平面AFD，∴B1F是三棱锥B1﹣ADF的高等腰△ABC中，AD==2，矩形BB1C1C中，DF=B1F==因此，三棱锥B1﹣ADF的体积为V=×S △AFD×B1F==．（3）连EF、EC，设EC∩AF=M，连结DM，∵AE=CF=2a，∴四边形AEFC为矩形，可得M为EC中点．∵D为BC中点，∴MD∥BE．∵MD⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，∴BE∥平面ADF．点评：本题在直四棱柱中证明线面平行、线面垂直，并求三棱锥的体积．着重考查了空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2和上下两个顶点B1，B2是一个边长为2且∠F1B1F2为60°的菱形的四个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F2，斜率为k（k≠0）的直线与椭圆C相交于E，F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．求证：k•k′为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：解：（1）由题意利用菱形和含30°角的直角三角形的性质可得a=2，，c=1．即可得到椭圆C的方程．（2）设过点F2（1，0）的直线l的方程为：y=k（x﹣1）．设点E（x1，y1），F（x2，y2），与椭圆方程联立即可得到根与系数的关系，．可得直线AE的方程及直线AF的方程，令x=3，得点M，N的坐标．利用中点坐标公式可得点P的坐标．即可得到直线PF2的斜率为k′，把根与系数代入即可得出k•k′为定值．解答：解：（1）由题意可得a=2，，c=1．∴椭圆C的方程为．（2）设过点F2（1，0）的直线l的方程为：y=k（x﹣1）．设点E（x1，y1），F（x2，y2），联立，化为（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．显然△＞0，∴，（*）．直线AE的方程为，直线AF的方程为，令x=3，得点M，N．∴点P．直线PF2的斜率为k′====．把（*）代入得k′==﹣．∴为定值．点评：熟练掌握椭圆的标准及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线的点斜式方程、中点坐标公式、斜率计算公式等是解题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若存在x0∈[，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）由已知知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．（2）由已知得a≤2lnx+x+，x∈[，e]，设h（x）=2lnx+x+，x∈[，e]，则，x∈[，e]，由此利用导数性质能求出实数a的取值解答：解：（1）由已知知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，当x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（），f′（x）＞0，f（x）单调递增，①0＜t＜t+2＜，没有最小值；②0＜t＜＜t+2，即0＜t＜时，f（x）min=f（）=﹣；③，即t时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt．∴．（2）∵不等式2f（x0）≥g（x0）成立，即2x0lnx0≥﹣，∴a≤2l nx+x+，x∈[，e]，设h（x）=2lnx+x+，x∈[，e]，则，x∈[，e]，①x∈[，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，②x∈（1，e]时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）max=h（e）=2+e+，对一切x0∈[，e]使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，∴a≤h（x）max=2+e+．点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．一、请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4﹣1：几何证明选讲】如图，梯形ABCD内接于圆O，AD∥BC，且AB=CD，过点B引圆O的切线分别交DA、CA的延长线于点E、F．（1）求证：CD2=AE•BC；（2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）由已知条件，利用直线平行的性质和弦切角定理推导出△EAB∽△ABC，由此能证明CD2=AE•BC．（2）由已知条件和（1）先求出AE，再由三角形相似的判定定理得到△FEA∽△FAB，由此能求出结果．解答：解：（1）因为AD∥BC，所以∠EAB=∠ABC．又因为FB与圆O相切于点B，所以∠EBA=∠ACB，所以△EAB∽△ABC，所以=，即AB2=AE•BC，因为AB=CD，所以CD2=AE•BC．（2）因为AB2=AE•BC，BC=8，CD=5，AF=6，AB=CD，所以AE==，因为AD∥BC，所以∠FAE=∠ACB，又因为∠EBA=∠ACB，所以∠FAE=∠EBA，∠F=∠F，所以△FEA∽△FAB，所以，所以EF==．点评：本题考查三角形相似的应用，考查与圆有关的线段长的求法，解题时要注意弦切角定理和三角形相似的性质的灵活运用．一、选考题23．【选修4﹣4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C所截得的弦长．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：本题的关键（1）是直线l的参数方程为（t为参数）和曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）的普通方程的转化，（2）是借助垂径定理，求解弦长问题．解答：解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），（t为参数）∴化为普通方程为l：3x+4y+1=0．又∵曲线C的极方程为ρ=cos（θ+），∴化为直角坐标方程为x2+y2﹣x+y=0．（2）由（1）可知曲线C表示圆心为（），半径为的圆，∴则圆心到直线l的距离d═=，∴直线l被曲线C截得的弦长为点评：此题考查参数方程和极坐标方程化为普通方程，是一道2015届高考常见的题目一、选考题24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣7|﹣|x﹣3|，（Ⅰ）作出函数f（x）的图象；（Ⅱ）当x＜5时，不等式|x﹣8|﹣|x﹣a|＞2恒成立，求a的取值范围．考点：带绝对值的函数；绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（I）由于函数f（x）=|x﹣7|﹣|x﹣3|=，由此根据函数的解析式作出函数的图象．（II）当x＜5时，由题意可得|x﹣a|＜6﹣x恒成立．平方可得（12﹣2a）x＜36﹣a2．结合题意可得12﹣2a＞0，且x＜．故有≥5，且a＜6，由此求得a的范围．解答：解：（I）由于函数f（x）=|x﹣7|﹣|x﹣3|=，如图所示：（II）当x＜5时，由于不等式|x﹣8|﹣|x﹣a|＞2恒成立，故|x﹣a|＜6﹣x恒成立．平方可得，（12﹣2a）x＜36﹣a2．结合题意可得12﹣2a＞0，且x＜．故有≥5，且a＜6，解得6＞a≥4．故所求的a的范围为[4，6）．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，属于中档题．。