高二数学下第七讲 高二导数概念(学案)
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明一、教学目标1. 让学生理解导数的定义和几何意义。
2. 掌握导数的计算方法。
3. 能够应用导数解决实际问题，如速度、加速度等。
二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数的计算方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义和计算方法。
2. 难点：导数的计算方法和在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。
2. 使用多媒体课件辅助教学。
五、教学过程1. 导入：回顾函数的斜率概念，引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率。
2. 导数的定义：介绍导数的定义，强调极限的思想，引导学生理解导数的含义。
3. 导数的几何意义：通过图形演示，让学生直观地理解导数表示曲线在某一点的切线斜率。
4. 导数的计算方法：讲解导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算等。
5. 应用导数解决实际问题：举例说明导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。
6. 练习：布置练习题，让学生巩固导数的概念和计算方法。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的重要性和应用价值。
8. 作业：布置作业，巩固所学内容。
六、教学反思在教学过程中，注意观察学生的反应，根据学生的实际情况调整教学节奏和难度。
针对学生的薄弱环节，加强讲解和练习。
七、教学评价通过课堂表现、作业和练习，评价学生对导数的理解和应用能力。
鼓励学生积极参与讨论，提高解决问题的能力。
八、课时安排本节课安排2课时，共计45分钟。
九、教学资源1. 多媒体课件2. 练习题3. 相关参考资料十、教学拓展1. 导数的进一步应用，如函数的单调性、极值等。
2. 导数在其他学科中的应用，如物理、化学等。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的函数实例，让学生理解导数的计算过程和应用场景。
2. 小组讨论：鼓励学生分组讨论导数问题，培养合作解决问题的能力。
3. 实际操作：让学生利用计算器求解导数，增强实践操作能力。
高中导数教案
高中导数教案教学目标：让学生理解导数的概念、性质和计算方法，并能够应用导数解决一些实际问题。
教学重点：导数的定义及其计算方法。
教学难点：理解导数的概念和性质。
教学准备：教师准备好课件、教材、黑板、笔等教学工具。
教学过程：步骤一：导入导数的概念1. 教师通过提问激发学生对导数的认识，例如“在日常生活中你们见到过什么与速度有关的例子？”学生可以举例讨论，如车辆行驶的速度、物体下落的速度等。
2. 引导学生思考这些速度的变化过程，及变化率的意义。
步骤二：导数的定义1. 引导学生通过观察速度变化的过程，认识到速度的变化率就是速度的导数。
2. 教师提出导数的定义：“函数f(x)在点x=a处的导数，定义为函数在该点处的变化率。
”3. 通过示例让学生理解导数的定义：例如f(x) = x²，求x=2处的导数。
步骤三：导数的计算方法1. 通过示例教学，引导学生了解导数的计算方法，如常数函数的导数为0，幂函数的导数等。
2. 进一步教授导数法则和求导法则，让学生能够独立计算函数的导数。
步骤四：导数的性质1. 引导学生发现导数的性质，如导数与函数的图形关系、导数与原函数的关系等。
2. 让学生通过练习题来巩固导数的性质和计算方法。
步骤五：应用导数解决实际问题1. 通过实际问题，引导学生应用导数来求解，如求函数的极大值、极小值等。
2. 鼓励学生积极参与讨论，思考并解决问题。
步骤六：总结和评价1. 教师对本节课的教学内容进行总结回顾，强调导数的概念、性质和计算方法。
2. 学生对本节课的收获和问题进行讨论和反思，教师适时进行评价和点评。
步骤七：作业布置1. 布置练习题，巩固学生对导数的理解和计算。
2. 鼓励学生进行综合运用，解决一些较为复杂的导数问题。
教学反思：导数是高中数学的重要内容，学生需要通过理论学习和实践应用来加深对导数的认识。
在教学中，教师需要结合实际问题，引导学生进行思考和讨论，培养学生的分析和解决问题的能力。
高二数学教案：导数的概念及运算
高二数学教案：导数的概念及运算21 导数的概念及运算一、课前准备：【自主梳理】1.平均变化率：函数在上的平均变化率为，若，,则平均变化率可表示为 .2.导数的概念：设函数在区间上有定义， ,当无限接近于0时，比值无限趋近于一个常数，则称在点处可导，并称常数为函数在处的，记作 .3.导数的几何意义：函数在处的导数的几何意义就是曲线在点处的 .4.导数的物理意义:一般地,设是物体的位移函数,那么的物理意义是 ;设是物体的速度函数,那么的物理意义是 .5.常见函数的导数：( 为常数); ; ; ;6.导数的运算法则：， (其中C为常数);【自我检测】1.函数在的平均变化率为2.在R内可导函数满足 ,则k无限趋近零时, 无限趋近3.已知 ,则 .4.函数 ,则该函数对应曲线在处切线斜率为 .5.若物体位移 ,(单位:米)则当秒时,该物体的速度为米/秒.6.函数 ,则该函数的导数 .(说明：以上内容学生自主完成，原则上教师课堂不讲) 二、课堂活动：【例1】填空题：(1)若，则当趋近于0时，无限趋近于 .(2)汽车作加速直线运动,若t s时的速度为 ,则汽车开出 s 后加速度为12.(3)已知f(x)=sinx(cosx+1)，则 = .(4)已知，则 = .【例2】(1)用两种方法求函数的导数;(2)已知函数的导数是 ,求函数的导数【例3】求下列函数的导数课堂小结三、课后作业1.函数在区间[1,3]的平均变化率为 .2.自由落体运动的物体位移S(m)与时间t(s)的关系为 ,则s时该物体的瞬时速度3.函数的导数4.函数的导数为，则， .5. ,则 .6.设，若，则 .7.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为 .8.设 ,则 .9.求下列函数的导数(1) (2) (3)10.函数的导函数是一次函数,且是偶函数, , ,求的函数表达式.四、纠错分析错题卡题号错题原因分析。
导数的概念教学设计
《导数的概念》教学设计1. 教学目标（1）知识与技能目标：掌握导数的概念，并能够利用导数的定义计算导数.（2）过程与方法目标：通过引入导数的概念这一过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想；提高类比归纳、抽象概括的思维能力．（3）情感、态度与价值观目标：通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．2. 教学重、难点重点：导数的定义和利用定义如何计算导数．难点：对导数概念的理解．3.教学方法1. 教法：引导式教学法在提出问题的背景下，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念的形成．2. 教学手段：多媒体辅助教学4.教学过程（一）情境引入导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。
导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。
17世纪数学家遇到的三类问题：一是光的反射问题。
光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题，早在公元1世纪，古希腊数学家海伦（Heron）就已经证明了光的反射定律：光射向平面时，入射角等于反射角。
海伦还将该定律推广到圆弧的情形，此时，入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等。
那么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这就需要确定曲线的切线。
A图 1 光在平面上的反射图 2 光在球面上的反射二是曲线运动的速度问题。
对于直线运动，速度方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运动的速度方向呢？这就需要确定曲线的切线。
三是曲线的交角问题。
曲线的交角是一个古老的难题。
自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的角——牛头角（图3中AB弧与AC构成的角）和弓形角（图4中AB与ACB弧所构成的角）即有过很多争议。
导数的概念教案
导数的概念教案教案标题：导数的概念教案教案目标：1. 理解导数的概念及其在数学中的作用；2. 能够计算简单函数的导数；3. 掌握导数的基本性质。
教案内容：引入导数的概念（10分钟）：1. 通过简单的例子引出导数的概念，如一个物体在一段时间内移动的速度；2. 引导学生思考物体移动速度的变化情况，并提问他们是否可以用数学的方式表示和计算物体的速度。
导数的定义（15分钟）：1. 介绍导数的定义：函数在某一点的导数是该点的切线斜率；2. 引导学生理解切线的概念，并通过具体函数的图形展示切线的斜率如何表示导数。
导数的计算（20分钟）：1. 通过具体函数的例子，逐步教授导数的计算方法，如用极限法求导、使用导数公式等；2. 练习不同类型函数的导数计算，包括多项式、指数、对数、三角等函数。
导数的基本性质（15分钟）：1. 介绍导数的基本性质，如常数函数的导数为0、导数的线性性质、导数的乘积法则和商法则等；2. 引导学生通过具体例子理解和应用导数的基本性质。
综合练习（20分钟）：1. 提供一些综合性的导数计算题目，并鼓励学生尝试自己解答；2. 老师对学生的解答进行点评和纠正，加深对导数概念和计算方法的理解。
总结和拓展（10分钟）：1. 总结导数的概念、计算方法和基本性质；2. 引导学生思考导数在实际生活和其他学科中的应用，并鼓励他们自主学习和探索更多有关导数的知识。
教学资源：1. 教学课件或投影仪；2. 教材、作业本和练习题。
评估方式：1. 教师通过课堂参与度、问题回答情况和练习题完成情况来评估学生的学习情况；2. 可以设计小组或个人综合性评估题目，考察学生对导数概念和计算方法的整体掌握情况。
教学反思：在教案中，关键是引导学生理解导数的概念及其作用，同时通过具体例子和计算方法让学生掌握导数的计算和基本性质。
在教学过程中，要注重与学生的互动和思维激发，鼓励学生积极参与问题解答和练习，加深对导数的理解。
另外，要结合实际生活和其他学科的应用，让学生认识到导数在数学中的重要性和广泛应用的价值。
导数的概念教案
导数的概念教案导数的概念教案一、导学目标：1.了解导数的概念及其作用；2.掌握求导的方法和技巧；3.能够应用导数解决实际问题。
二、教学过程：1.导入导数概念：导数是微积分学中的一个重要概念，它是一个函数在某一点上的切线的斜率。
可以理解为函数的变化率，用来描述函数在某一点附近的变化情况。
2.导数的定义：如果函数 f(x) 在点 x=a 处可导，则在 x=a 处的导数定义为：f'(a)=lim(x->a) (f(x)-f(a))/(x-a)3.求导的方法：（1）导数的基本运算法则：- 常数的导数等于0；- 幂函数的导数等于其指数乘以自身的底数，再乘以幂差一的指数；- 三角函数的导数等于其对应的导数函数；- 指数函数的导数等于其对应的导数函数。
（2）运用链式法则求导：- 两个函数相乘，求导结果等于两个函数的导数相乘；- 复合函数，求导结果等于外函数对内函数求导结果的乘积。
4.导数的应用：通过求导，我们可以得到一个函数在某一点的导数，从而推断出该函数在该点的增减性、极值点、凹凸性等。
5.例题演示：（1）求函数 f(x) = x^2 在 x=2 处的导数。
解：根据导数的定义，我们可以得到 f'(2)=lim(x->2) (f(x)-f(2))/(x-2) 。
代入函数 f(x) = x^2，我们可以得到 f'(2)=lim(x->2) (x^2-2^2)/(x-2) 。
计算出 f'(2)=lim(x->2) (x+2) = 4。
（2）求函数 f(x) = sin(x) 在x=π/6 处的导数。
解：根据导数的定义，我们可以得到f'(π/6)=lim(x->π/6) (f(x)-f(π/6))/(x-π/6) 。
代入函数 f(x) = sin(x)，我们可以得到f'(π/6)=lim(x->π/6) (sin(x)-sin(π/6))/(x-π/6) 。
导数的概念(学案)
课 题导数的概念 课 型 新授 时 间09/ 9 / 课程标准1、理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义；理解导函数的概念和意义；2、掌握利用定义求函数的导（函）数的基本步骤；3、会用定义求解函数的切线方程。
学习重点1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用一、自主学习1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。
2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12-=t V ，求o t t =时的瞬时速度。
3.上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ∆(t ∆)无限趋近于0时，t V ∆∆(xV∆∆)都无限趋近于一个常数。
归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)(' 上述两个问题中：（1）4)2('=f ，（2）o o t t V 2)('=我们上述过程可以看出)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。
（即导数的几何意义） 4.自学检测：（1）见课本（文P66，理P14）练习第1题： ； ；（说明什么？ ） 第2题：（1） ；（2） ；（3） 。
（2）见课本（文P67，理P16）习题第2题：=)5(f ；=)5('f ；第4题：斜率为 ；切线方程为 。
学习反思：5.求导数的基本步骤：二、问题探究 问题1：割线逼近切线的方法的理解见课本（文P67，理P16）习题：第5题 ；第6题 。
小结1：问题2：导数概念的理解 若函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+x f x f 2)1()1( = ； （2）=-+x f x f )1()21( = 。
导数概念教学设计
导数概念教学设计一、导数概念简介导数是微积分学中的重要概念，可以理解为函数在某一点上的变化率。
导数的概念及其应用在数学和科学领域中具有广泛的应用。
为了有效地教授导数概念，本教学设计将分为三个部分进行介绍和讲解，以帮助学生全面理解导数概念的基础知识和应用。
二、导数概念的引入在教授导数概念之前，我们先通过一个例子引入导数的概念。
假设有一个小球在斜坡上滚动的示例，并且我们想要知道小球在某个时刻的速度。
我们让学生思考如何计算小球在不同时刻的速度以及在不同位置的速度会有何变化。
三、导数的定义与计算1. 导数的定义导数可以通过极限来定义，当一个函数f(x)在点x处可导时，其导数f'(x)可以通过以下公式计算：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)] / Δx2. 导数的计算为了让学生更好地理解导数的计算过程，我们可以提供一些简单的函数，如常数函数、幂函数、指数函数和三角函数，并指导学生通过基本的求导法则进行计算。
例如，常数函数的导数为0，幂函数的导数可以应用幂函数的求导公式等。
四、导数的几何意义导数除了可以表示函数在某一点上的变化率外，还有几何意义。
在本部分教学中，我们将通过图形的变化来说明导数的几何意义。
首先，我们可以使用绘图软件绘制简单的函数图像，并选择几个特定点，计算这些点的导数。
然后，我们将绘制这些点对应的切线，并观察切线在图像上的变化。
通过观察，学生可以理解导数代表了函数图像在某一点上的切线斜率。
五、导数的应用导数不仅在数学领域中有重要的应用，还在其他领域中具有广泛的应用。
在本部分教学中，我们可以介绍导数在物理学、经济学和工程学等领域中的具体应用。
六、导数概念的巩固与练习为了帮助学生巩固和深化对导数概念的理解，我们可以提供一些练习题供学生进行练习。
这些练习题可以包括导数的计算、导数的应用和导数的概念理解等方面。
七、导数概念的扩展为了进一步拓展学生对导数概念的认识，我们可以介绍一些高级导数概念，如高阶导数、导数的性质和导数的极值等。
导数的概念教案
导数的概念教案教案名称：导数的概念教案教学目标：1. 了解导数的概念及其意义；2. 理解导数的计算方法；3. 掌握导数的性质和应用；4. 能够应用导数解决实际问题。
教学准备：1. 打印教学材料，包括导数的定义和计算方法；2. 准备多个实例进行演示；3. 录制导数的演示视频或准备PPT。
教学流程：引入导数概念（10分钟）1. 显示导数的定义：导数是描述函数在某一点附近的变化率的量，也可看作是函数图像在某一点处的切线斜率。
2. 解释导数的意义：导数可以告诉我们函数在某点的瞬时变化速率。
比如，如果一个函数的导数为正，表示函数在该点上升；若导数为负，表示函数在该点下降；若导数为零，表示函数在该点处于极值。
3. 引导学生举例说明导数在实际生活中的应用场景，如速度为时间的导数，可以表示物体的加速度；收入为销售额的导数，可以表示销售额的增长速率等。
导数的计算方法（20分钟）1. 讲解导数的计算方法：导数的计算方法有多种，主要介绍以下几种：a. 使用定义计算导数：利用导数的定义公式，计算函数在某一点处的导数，即导数等于函数在该点的极限。
b. 使用公式计算导数：介绍常用函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数等。
c. 使用求导法则：介绍导数四则运算法则，如求和法则、差法则、积法则和商法则，以及复合函数求导法则等。
2. 举例演示导数的计算方法：通过几个具体的函数例子，进行导数的计算演示，包括使用定义计算导数、使用公式计算导数和使用求导法则计算导数。
导数的性质和应用（20分钟）1. 解释导数的性质：导数的性质有连续性、可导性和递增、递减性等，侧重讲解连续性和可导性的概念和性质。
2. 展示导数的应用：介绍导数在数学和实际问题中的应用，如极值问题、最优化问题、函数图像的绘制等。
解决实际问题（10分钟）1. 给学生提供几个实际问题，让他们应用导数求解，如最大值问题、最小值问题、最优化问题等。
2. 引导学生分析问题，提供解决问题的导数计算方法。
高中数学导数的概念教案
高中数学导数的概念教案
一、教学目标：
1. 理解导数的定义及其物理意义；
2. 掌握导数计算的方法和规则；
3. 能够应用导数解决实际问题；
4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、教学重点和难点：
1. 理解导数的定义及其物理意义；
2. 导数计算的方法和规则；
3. 实际问题应用。
三、教学内容与安排：
第一课时：导数的基本概念
1. 定义：导数是函数在某一点处的瞬时变化率；
2. 物理意义：导数表示了函数的变化速率，可以用来解释速度、加速度等物理现象；
3. 讨论导数存在的必备条件。
第二课时：导数的计算方法
1. 导数的计算法则：和、差、积、商、复合函数的导数；
2. 高阶导数的计算方法；
3. 计算导数的基本技巧。
第三课时：导数的应用
1. 利用导数求函数的极值；
2. 利用导数解决优化问题；
3. 利用导数解决曲线的切线问题。
四、教学方法：
1. 讲授相结合，引导学生主动探究；
2. 注重示范和实例讲解，提高学生的问题解决能力；
3. 课堂小组讨论，促进学生之间的合作与交流。
五、教学评价：
1. 课堂练习与作业；
2. 实际问题解决能力的考核；
3. 学生的课堂表现和参与度。
六、教学反思：
1. 根据学生的理解情况调整教学内容和节奏；
2. 激发学生的学习兴趣，增强学生的主动学习意识；
3. 关注学生的学习过程，及时给予反馈和帮助。
高中数学导数全章详细教案
高中数学导数全章详细教案一、导数的概念与意义1.1 导数的定义导数表示一个函数在某一点处的变化率，定义如下：$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$1.2 导数的物理意义导数可以表示函数在某一点的切线斜率，也可以表示函数在某一点的速度、加速度等物理量。
1.3 导数的几何意义导数表示函数曲线在某一点的切线斜率，也可以用来描述函数曲线的凹凸性等几何特性。
二、导数的计算方法2.1 导数的基本计算法则- 常数函数的导数为零- 幂函数的导数- 指数函数的导数- 对数函数的导数- 三角函数的导数- 反三角函数的导数2.2 导数的运算法则- 和、差、积函数的导数法则- 商函数的导数法则- 复合函数的导数法则2.3 隐函数求导对含有隐函数的方程两边同时求导，然后解出导数。
2.4 参数方程求导将参数方程表示的函数关系化简为常规函数后再求导。
三、导数的应用3.1 函数的单调性与极值通过导数的符号变化可以判断函数的单调性和极值。
3.2 函数的凹凸性与拐点通过导数的变化可以判断函数的凹凸性和拐点。
3.3 弧长与曲率通过导数可以求解函数曲线的弧长和曲率。
3.4 泰勒公式用导数的信息来近似表示函数的值，通过泰勒公式可以得到较好的近似结果。
四、导数的图像4.1 函数的导数图像通过函数的导数图像可以观察函数的单调性、凹凸性、极值等性质。
4.2 函数曲线的特性通过导数的信息可以画出函数曲线的切线、凹凸性、拐点等特性。
以上是高中数学导数章节的详细教案，希望对学习导数的同学有所帮助。
导数的概念教案
导数的概念教案导数的概念教案在高中数学中，导数是一个重要的概念，它是微积分的基础之一。
导数的概念不仅仅是一个数学概念，更是一种思维方式的培养。
在这篇文章中，我们将探讨导数的概念以及如何教授导数这一主题。
一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数的瞬时速度。
那么如何准确地定义导数呢？我们可以通过极限的概念来定义导数。
设函数f(x)在点x0处有定义，如果极限lim（h→0）[f(x0+h)-f(x0)]/h存在，那么这个极限就是函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数的定义可以通过几何直观地理解。
在函数图像上，导数可以表示为函数曲线在某一点处的切线斜率。
导数越大，切线越陡峭，函数曲线变化越快；导数越小，切线越平缓，函数曲线变化越慢。
二、导数的计算导数的计算是导数概念的实际运用，也是学生们在学习导数时需要掌握的重要技巧。
对于常见的函数，我们可以通过一些基本的导数公式来计算导数。
例如，对于幂函数f(x)=x^n，其中n是一个实数，导数公式为：f'(x)=n*x^(n-1)这个公式是通过极限的定义推导出来的，可以通过数学推理进行证明。
除了基本的导数公式，还可以通过导数的四则运算规则来计算复杂函数的导数。
例如，对于两个函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积和商的导数可以通过以下公式计算：（f+g）'(x)=f'(x)+g'(x)（f-g）'(x)=f'(x)-g'(x)（f*g）'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)（f/g）'(x)=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/g^2(x)这些导数的计算公式可以帮助学生们更方便地计算导数，提高他们在解题中的效率。
三、导数的应用导数不仅仅是一个数学概念，还有许多实际的应用。
在物理学、经济学、工程学等领域，导数都有着广泛的应用。
导数的概念教(学)案
【教学课题】：§2.1 导数的概念（第一课时）【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。
【教学重点】：在一点处导数的定义。
【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。
【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。
【教学过程】：一） 导数的思想的历史回顾导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。
导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz ）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。
二）两个来自物理学与几何学的问题的解决问题1 （以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：21()2s t gt =，[0,]t T ∈，求：落体在0t 时刻（0[0,]t T ∈）的瞬时速度。
问题解决：设t 为0t 的邻近时刻，则落体在时间段0[,]t t （或0[,]t t ）上的平均速度为00()()s t s t v t t -=-若0t t →时平均速度的极限存在，则极限00()()limt t s t s t v t t →-=-为质点在时刻0t 的瞬时速度。
问题2 （以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线)(x f y =上点00(,)M x y ，求：M 点处切线的斜率。
下面给出切线的一般定义；设曲线C 及曲线C 上的一点M ，如图，在M 外C 上另外取一点N ，作割线MN ，当N 沿着C 趋近点M 时，如果割线MN 绕点M 旋转而趋于极限位置MT ，直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线。
问题解决：取在C 上M 附近一点(,)N x y ，于是割线PQ 的斜率为0000()()tan y y f x f x x x x x ϕ--==--（ϕ为割线MN 的倾角） 当0x x →时，若上式极限存在，则极限00()()tan limx x f x f x k x x α→-==-（α为割线MT 的倾角）为点M 处的切线的斜率。
高二数学 导数的概念及运算教案
课题：导数的概念及运算1、教学目标：(1)了解导数的概念与定义，掌握函数在一点处的导数定义和导数的几何意义，理解导函数的概念，瞬时速度与变化率的联系；(2)熟记简单基本函数的导数公式，掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则；(3)能够利用导数求单调区间，以及求一个函数的最值问题，掌握导数的基本应用；2、教学重难点：重点：导数的基本公式及应用；难点：过点求切线的问题要分切点与非切点讨论；3、教学方法：启发式与讲练结合4、课时安排：1课时一、教学过程：（一）知识体系：1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为f(x2)-f(x1)x2-x1,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为ΔyΔx.2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率limΔx→0Δy=lim Δx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|x=x0,即f'(x0)=limΔx→0Δy=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0).(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点处的,切线方程为.3.函数f(x)的导函数一般地,如果函数y=f(x)在区间(a,b)上的每一点处都有导数，导数值记为f'(x),且f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx,则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为f(x)的，通常也简称为导数.4.基本初等函数的导数公式5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'= ; (2)[f(x)·g(x)]'=; (3) f (x ) '=f '(x )g (x )-f (x )g '(x )[g (x )]2(g (x )≠0).6.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为y'x= ,即y 对x 的导数等于 的导数与的导数的乘积.（二）知识梳理：1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)f'(x 0)是函数y=f(x)在x=x 0附近的平均变化率. ( ) (2)求f'(x 0)时,可先求f(x 0)，再求f'(x 0). ( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( )(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( )(5)曲线y=f(x)在点P(x 0,y 0)处的切线与过点P(x 0,y 0)的切线相同. ( )2.(2016河南郑州一模)曲线f(x)=e x cos x 在点(0,f(0))处的切线斜率为( )A.0B.-1C.1D. 223.(2016全国丙卷,理15)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 .（三）核心考点： 考点1 导数的运算y'u ·u'xy 对u u 对x f'(x )±g'(x ) f'(x )g (x )+f (x )g'(x )例1分别求下列函数的导数:(1)y=e x ·sin x ;(2)y=x x 2+1x +1x 3 ; (3)y=x-sin x2cos x 2;ln 1+x 2.? 解 (1)y'=(e x )'sin x+e x (sin x )'=e x sin x+e x cos x.(2)∵y=x 3+1+1x 2,∴y'=3x 2-2x 3.(3)∵y=x-sin x 2cos x 2=x-12sin x ,∴y'= x -12sin x '=1-12cos x.(4)∵y=ln 1+x 2=1ln(1+x 2),∴y'=12·11+x 2(1+x 2)' =12·11+x 2·2x=x 1+x2.解题心得:函数求导应遵循的原则:(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式变形等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错.(2)进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混.(3)复合函数求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量确定复合过程，然后求导.考点2 导数几何意义的应用考向一 已知过函数图象上一点求切线方程 例2已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程. 思考：求函数的切线方程要注意什么?解 (1)∵f'(x )=3x 2-8x+5,∴f'(2)=1,又f (2)=-2,∴曲线在点(2,f (2))处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0. (2)设曲线与经过点A (2,-2)的切线相切于点P (x 0,x 03-4x 02+5x 0-4),∵f'(x 0)=3x 02-8x 0+5,∴切线方程为y-(-2)=(3x 02-8x 0+5)(x-2),又切线过点P (x 0,x 03-4x 02+5x 0-4),∴x 03-4x 02+5x 0-2=(3x 02-8x 0+5)(x 0-2),整理得(x 0-2)2(x 0-1)=0,解得x 0=2或x 0=1,∴经过A (2,-2)的曲线f (x )的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.考向二 已知切线方程(或斜率)求切点例3设a ∈R,函数f(x)=ex+a ·e-x 的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f (x )的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( ) A .ln 2B .-ln 2C .ln22D .-ln22解题心得:1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x 0)(x-x 0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.2.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.3.已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.对点训练(1)设a 为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x 的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为( )A.y=3x+1B.y=-3xC.y=-3x+1D.y=3x-3为（ ）(3)在平面直角坐标系xOy 中,若曲线 (a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b 的值是 .（四）知识归纳：本节课的知识内容回顾：1、导数的相关概念，基本初等函数的导数公式，导数的运算法则与复合函数求导方法；2、求导原则：先化简，再求导；3、切线方法与切点的求法。
人教版数学高二新课标 《导数的概念》同步学案
作业：
1．自变量由 变到 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（）
A在区间 上的平均变化率B在 处的变化率
C在 处的变化率D在区间 上的导数
8．已知 ，求适合 的 的值。
参考答案：1－4 DCCC．5．1 6． 7．开始的速度为2，第5秒末的速度为42．
8． 或
8．（1）已知 在 处的导数为 ,求 及 的值。
（2）若 ,求 的值.
9．枪弹在枪筒中运动可以看作匀速运动，如果它的加速度是 ，枪弹从枪口，射出的时间为 ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度。
掌握瞬时速度的求法:
（选作）某一物体的运动方程如下： ，求此物体在 和 时的瞬时速度。
自助餐
1．一物体的运动方程是 ，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为（）
1.1.2导数的概念
班级：____________姓名：_____________学号：___________
【学习目标】1.了解瞬时速度，瞬时变化率（导数）的定义。
2.掌握瞬时速度，瞬时变化率的求法。
【重点、难点】形成导数的概念，了解导数的内涵。
【过程与方法】经历由平均速度到瞬时速度的推导过程，了解并掌握导数的概念及求法。
2．下列各式中正确的是（）
A B
C D
3．设 ，若 ，则 的值（）
A 2B .－2
C 3D－3
4．任一做直线运动的物体，其位移 与时间 的关系是 ，则物体的初速度是（）
A 0B 3
C－2D
5．函数 ，在 处的导数是
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第七讲 导数概念，运算及几何意义一．课时目标1.通过实例分析了解函数平均变化率的意义．.会求函数f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．2.了解函数的平均变化率及导数间的关系．掌握函数在一点处导数的定义，以及函数f (x )在区间(a ，b )内导函数的概念.3.理解函数y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的导数与函数y ＝f (x )图象在点(x 0，y 0)处的切线的斜率间的关系，掌握导数的几何意义．4.已知函数解析式，会求函数在点(x 0，y 0)处切线的斜率，能求过点(x 0，y 0)的切线的方程.5.掌握基本初等函数的导数公式．.掌握导数的和、差、积、商的求导法则．6.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.二．重点难点1.理解函数平均变化率的意义．(难点)2.求函数f (x )在 x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．(重点)3.理解函数在某点处的导数．(难点)4.根据导数的几何意义，求函数在点(x 0，y 0)处的切线的方程．(重点)5.准确理解在某点处与过某点处的切线方程．(易混点) 6导数公式表的记忆．.应用四则运算法则求导(重点) 7.利用导数研究函数性质．(难点)三．知识梳理1．函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率:函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率为1212)()(x x x f x f --若12x x x -=∆，12y y y -=∆，则平均变化率可表示为xy ∆∆.2． 函数)(x f y =在0x x =处的导数(1)定义:lim 0→∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00=lim 0→∆x xy ∆∆为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0'x f 或'y |0x x =，即)(0'x f ＝lim 0→∆x xy ∆∆为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0'x f 或'y|0x x =，即)(0'x f ＝lim 0→∆x xy ∆∆＝lim 0→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00(2)几何意义:函数)(x f 在点0x 处的导数)(0'x f 的几何意义是在曲线y ＝)('x f 上点 处的切线的 相应地，切线方程为 . 3．函数f (x )的导函数:称函数)('x f ＝lim→∆xxx f x x f ∆-∆+)()(为)('x f 的导函数，导函数有时也记作y ′.4．5.导数运算法则:(1)[f (x )±g (x )]′＝ ；(2)[f (x )·g (x )]′＝ ；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 6．复合函数的导数:复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的 关系为y ′x ＝ ，即y 对x 的导数等于的导数与 的导数的乘积．四．正本清源1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系：(1)函数)(x f 在点0x 处的导数)(0'x f 是一个常数；(2)函数y ＝)(x f 的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝)(x f 在区间(b a ,)内每一点x 都可导，是指对于区间(b a ,)内的每一个确定的值0x 都对应着一个确定的导数)(0'x f．这样就在开区间(b a ,)内构成了一个新函数，就是函数)(x f 的导函数)('x f ．在不产生 混淆的情况下，导函数也简称导数．2．曲线)(x f y= “在点),(00y x p 处的切线”“过点),(00y x p 的切线”的区别与联系 (1)曲线)(x f y =在点),(00y x p 处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线)(x f y=过点),(00y x p 的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．五．典例分析题型一 利用导数的定义求函数的导数例1 求函数12+=x y在0x 到0x ＋Δx 之间的平均变化率．思维启迪：紧扣定义xf ∆∆＝xx f x x f ∆-∆+)()(00进行计算．探究提高 ： 求函数)(x f 平均变化率的步骤：①求函数值的增量)()(12x f x f f-=∆②计算平均变化率xf ∆∆＝1212x x )f(x )f(x --.解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了．变式训练1 过曲线y ＝f (x )＝x 3上两点P (1,1)和Q (1＋Δx,1＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率，并求曲线在点P 处切线的斜率．题型二 导数的运算例2 求下列函数的导数：(1)y ＝x （2311xx x++）；(2)y ＝x －sin2xcos2x ；(3)y ＝(1)1)-. 思维启迪：若式子能化简，可先化简，再利用公式和运算法则求导．探究提高 ①求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；②有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．变式训练2 求下列函数的导数：(1)y ＝(x －2)2；(2)y ＝cos x2⎝⎛⎭⎫sin x 2－cos x 2； (3)y ＝log 2(ax 3)．例3 求下列复合函数的导数：(1)y ＝(2x －3)5； (2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (4)y ＝ln(2x ＋5)． 思维启迪：先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆．探究提高 由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程． 变式训练3 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n (n ∈N *)； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 5.题型三 导数的几何意义例4 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．思维启迪：函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在点Q (2，－1)处的导数值等于切线斜率为1，且点Q (2，－1)、点P (1,1)都在抛物线上．探究提高 利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q (2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．变式训练4 设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z)，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.求y ＝f (x )的解析式．题型四 求切点坐标例5 在曲线y ＝x 2上哪一点处的切线，满足下列条件：(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角．分别求出该点的坐标．[题后感悟] 解决此类问题，关键是利用导数的几何意义求出过切点的切线的斜率，结合题意列方程，求出切点的坐标．求解过程应认真领会数学的转化思想、待定系数法．变式训练5 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0?[特别提醒] (1)若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的导数f ′(x 0)不存在，就是切线与y 轴平行．f ′(x 0)＞0，切线与x 轴正向夹角为锐角，f ′(x 0)＜0，切线与x 轴正向夹角为钝角；f ′(x 0)＝0，切线与x 轴平行．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而可求出切线方程．六 易错警示：分不清“曲线在点P 处的切线”与“曲线过点P 的切线”的区别致误例6 已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．批阅笔记(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)易错点是：在第(2)问中，多数学生误以为点(2,4)就是切点，从而导致错误．(4)错因分析：一般情况下，受思维定势的影响，有些人认为直线与曲线相切时，有且只有一个公共点，这是错误的．依据切线斜率的导数定义可知，切线可以和曲线有除切点外的其他公共点．思想方法感悟提高．七课后小结1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f (x0)与(f (x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f (x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而(f (x0))′是函数值f (x0)的导数，而函数值f (x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．失误与防范1．利用导数定义求导数时，要注意到x与Δx 的区别，这里的x是常量，Δx是变量．2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．求曲线切线时，要分清点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．4．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．八家庭作业1，（2011全国高考4）曲线2y21x x=-+在点（1,0）处的切线方程为（A）1y x=-（B）1y x=-+（C）22y x=-（D）22y x=-+2，（2011年山东高考4）曲线311y x=+在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是（A）-9 （B）-3 （C）9 （D）15,3，（2011年江西考4）曲线xy e=在点A（0,1）处的切线斜率为（）A.1B.2C.eD.1 e4，（2011年重庆高考文3)曲线在点,处的切线方程为(A)(B)(C) (D)5,（2011年江西高考理4）设xxxxf ln42)(2--=，则0)('>xf的解集为A.),0(+∞ B. ),2()0,1(+∞- C. ),2(+∞ D.)0,1(-6，(2011年全国高考理8）曲线21xy e-=+在点（0,2）处的切线与直线0y=和y x=围成的三角形的面积为(A)13 (B)12 (C)23 (D)17，（2011年湖南高考7）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12 C．2-D．28，(2011年辽宁文高考题20）设函数)(x f =x+ax2+blnx ，曲线y=)(x f 过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2． （I ）求a ，b 的值；（II ）证明：)(x f ≤2x -2．9，（2011年全国Ⅰ理高考题21）已知函数ln ()1a x bf x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。