气体分子的平均碰撞频率和平均自由程

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气体分子的平均自由程和碰撞频率

B A
平均碰撞频率：每个分子平均在单位时间与其他
分子相碰的次数平均值，用 z 表示。
平均自由程与平均碰撞频率之间的关系为：
vt v
zt z
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Байду номын сангаас
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二、平均自由程与平均碰撞频率之间的关系
简化模型（1）分子为刚性小球；
（2）分子有效直径为 d （分子间距平均值）；
（3）其他分子皆静止，某一分子以平均速率 u 相
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【例题7–4】计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平均碰撞频率。取分子的有效直径d=3.5×10-10m 。已知空气的平均分子量为29。
解： T 273K P 1.0atm 1.013105 Pa
d 3.51010 m
kT
2πd 2P

1.38 10 23 273 1.41 3.14 (3.510 10 ) 1.01105

6.9 10 8 m
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v 8RT 448m / s πM mol
z

v

448 6.9 108
6.5109 / s
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问：在常温下，气体的方均根速率（或平均速率）达几百米每秒。为什么在几米远的地方，打开酒精瓶塞，需几秒甚至更长的时间才能嗅到酒精味 ?
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一、分子的平均自由程和平均碰撞频率

分子运动的平均自由程

分子运动的平均自由程分子运动的平均自由程是指分子在气体或液体中运动时，与其他分子相互碰撞前所能平均自由穿越的距离。

它是分子间碰撞频率与分子运动速度之比的倒数。

分子间碰撞频率取决于分子的浓度和分子的直径。

根据动力学理论，分子运动速度与温度有关，分子运动速度在气体中服从玻尔兹曼分布，而在液体中服从麦克斯韦分布。

对于气体分子运动的平均自由程，可以根据分子间碰撞的概率来计算。

考虑一个气体分子在单位时间内与周围分子发生的碰撞次数，可以用分子的体积与单位时间内碰撞次数的乘积来表示。

这个体积称为碰撞体积。

假设分子的直径为d，则两个分子之间的碰撞体积为πd²。

假设单位体积内气体分子的数目为n，那么单位时间内一个分子完成的与其他分子的碰撞次数为nπd²/4V，其中V为气体的体积。

分子运动速度的分布函数称为速度分布函数或速度概率密度函数，用f(v)来表示。

根据玻尔兹曼和麦克斯韦的理论，f(v)与速度v的关系为f(v) = 4πv² (m/2πkT)^(3/2) * exp(-mv²/2kT)，其中m为分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为温度。

平均自由程λ可以通过碰撞体积与速度分布函数的积分来计算。

当速度为v的分子在单位时间内完成的与其他分子的碰撞次数为nπd²v * f(v)dv。

所以，单位时间内分子完成的平均碰撞数为∫(nπd²v * f(v))dv。

根据定义，平均自由程为碰撞体积与平均碰撞数之比的倒数，即λ = (4V/πd²) / (∫(nπd²v * f(v))dv)。

根据上述公式可以看出，平均自由程与分子间碰撞频率及分子运动速度有关。

当浓度增加或分子直径减小时，分子间碰撞频率增加，平均自由程减小。

当温度增加时，分子运动速度增加，平均自由程也会增加。

总之，分子运动的平均自由程是分子在气体或液体中运动时与其他分子相互碰撞前所能平均自由穿越的距离。

气体分子的平均自由程与碰撞频率

气体分子的平均自由程与碰撞频率气体分子在运动中会发生相互碰撞，这些碰撞对于气体的性质和行为有着重要的影响。

本文将探讨气体分子的平均自由程和碰撞频率以及它们在气体动力学中的意义。

1. 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程是指在单位时间内，分子在不受碰撞影响时所能走过的平均距离。

它与气体分子的碰撞次数、碰撞概率等因素密切相关。

计算平均自由程的方法是通过统计分子在一段时间内的位移，并将其平均值作为结果。

平均自由程与气体分子的直径和气体的密度有关。

当气体分子的直径较小时，分子之间的相互作用较小，平均自由程较大；而当气体分子的直径较大时，分子之间的相互作用较强，平均自由程较小。

此外，当气体的密度较小时，气体分子之间的碰撞次数较少，平均自由程较大；而当气体的密度较大时，气体分子之间的碰撞次数较多，平均自由程较小。

2. 气体分子的碰撞频率碰撞频率是指单位时间内气体分子发生碰撞的次数。

它与气体的温度、密度等因素息息相关。

碰撞频率的计算可以通过统计单位时间内发生的碰撞次数来实现。

碰撞频率与气体分子的速度和相对速度有关。

当气体的温度增加时，气体分子的速度增大，碰撞频率也增加；反之，当气体的温度降低时，气体分子的速度减小，碰撞频率也减小。

此外，当气体的密度增加时，气体分子之间的距离减小，碰撞频率也增加。

3. 平均自由程与碰撞频率的关系平均自由程和碰撞频率是气体分子运动的两个重要参数，它们之间存在着相互关系。

根据气体动力学理论，平均自由程与碰撞频率成反比关系。

当气体分子的平均自由程较大时，分子之间的相互作用较小，碰撞次数相对较少，碰撞频率较低；而当平均自由程较小时，分子之间的相互作用较强，碰撞次数相对较多，碰撞频率较高。

4. 平均自由程与碰撞频率的实际应用平均自由程和碰撞频率在气体动力学中有着广泛的应用。

例如，在研究气体扩散过程中，通过计算气体分子的平均自由程可以估算扩散的速率和距离；在研究气体传热过程中，通过计算气体分子的碰撞频率可以评估热传导的效率和速率。

《物理学教学课件》7-5碰撞频率和平均自由程

平均自由程
在气体分子运动论中，平均自由程表示气体分子在连续两次碰撞之间所经过的平均距离。通过研究平均自由程，可以深入理解气体分子的扩散和输运过程。
热力学第二定律
热传导
在热力学第二定律中，热传导是热量自发地从高温物体传递到低温物体的过程。通过研究气体分子碰撞频率和平均自由程，可以深入理解热传导的微观机制和热能传递的规律。
应用
在计算气体分子的平均速度、扩散系数等物理量时，需要用到平均自由程。
平均自由程的影响因素
分子间的相互作用力
分子间的相互作用力决定了碰撞频率，进而影响平均自由程的大小。
分子质量
较轻的分子具有较长的平均自由程，因为它们受到的空气阻力较小。
气体温度
气体温度越高，分子热运动越剧烈，碰撞频率越高，平均自由程越短。
、压力等实验条件的关系。
实验结果与数据分析
实验结果
通过实验，获得气体分子的碰撞频率和平均自由程数据。
数据分析
分析碰撞频率和平均自由程与温度、压力等实验条件的关系，得出气体分子运动和相互作用的规律。
结果讨论
根据实验结果，讨论碰撞频率和平均自由程在气体分子扩散、传递过程中的作用，以及在实际应用中的意义。
粘性流动
粘性流动是气体在流动过程中由于分子间的内摩擦力而产生的阻力。通过研究气体分子碰撞频率和平均自由程，可以进一步了解粘性流动的微观机制和气体流动的规律。
Part
05
实验研究
实验目的与原理
实验目的
通过实验研究，掌握碰撞频率和平均自由程的概念，理解气体分子碰撞和扩散的基本原理。
实验原理
气体分子在容器内不断进行碰撞，其碰撞频率与气体分子的密度、温度和分子间的相互作用力有关。分子在两次碰撞之间的平均距离称为平均自由程。通过测量容器内气体分子的碰撞频率和平均自由程，可以深入了解气体分子运动和相互作用的规律。

气体平均自由程

气体平均自由程
气体平均自由程是指气体分子在单位时间内在碰撞前直线路径上能够自由运动的平均距离。

它是描述气体分子运动的重要参数之一，与气体的密度、温度和分子直径等因素有关。

根据气体动理论，气体分子之间的碰撞是完全弹性碰撞，即在碰撞过程中没有能量损失。

在两个碰撞间隔期间，气体分子可以自由运动。

当气体分子之间的碰撞频率很高时，其平均自由程就很短。

相反，如果碰撞频率很低，其平均自由程就很长。

根据运动学原理，气体分子的平均自由程可以通过下式计算：
平均自由程 = 1 / (根号2 * 分子数密度* π * 分子直径^2)
分子数密度是单位体积中气体分子的数量，分子直径是气体分子的直径。

气体的平均自由程决定了气体的输运性质。

当气体分子的平均自由程远大于其他物体的尺度（如容器大小、障碍物等），气体可以被视为连续介质，可以使用流体力学的方法来描述气体的运动。

相反，当气体分子的平均自由程接近于容器或障碍物的尺度时，气体分子的运动会受到分子间相互作用和碰撞的影响，需要使用分子动力学的方法来描述。

分子平均碰撞次数和平均自由程

p 1.33 103 n 3.21 1017 m 3 kT 1.38 1023 300
1 1 2 2π d n 2π (3 1010 ) 2 3.21 1017
7.79 m
在这种情况下气体分子相互之间很少发生碰撞，只是不断地来回碰撞真空管的壁，因此气体分子的平均自由程就应该是容器的线度。即
分子的平均碰撞次数和平均自由程
问题的提出前面已经说过：分子速率在几百米/秒的数量级，但为什么食堂炸油饼时并不能马上闻到油香味呢？
原来分子速率虽高，但分子在运动中还要和大量的分子碰撞。
一平均碰撞次数
Z
碰撞频率：指一个分子在单位时间内与其它分子相碰的次数Z。平均碰撞频率：一个分子在单位时间内受到的碰撞次数的平均值
z n d u
理论证明：气体分子的平均相对速率 u 与平均速率 v 间有
u 2v
z 2nd 2 v v 1 z 2 d 2n
（１）这说明：平均自由程与分子数密度（２）对于理想气体
n成反比。
p p nkT 即 n kT

2 kT 2 d v P 2 d 2 P 或 z kT
说明

1 P
，即真空度越高，越大。

的数量级是 10-7m，是分子有效直径的 1000 倍。 -1 9 z 的数量级是 10 秒，即一秒种要碰撞几十亿次。
-2 -3 例真空管的线度为 10 m ，其中真空度为 1.33× 10 Pa 。设空气分子的有效直径为 3×10-10 m 。
求 27℃ 时单位体积内的空气分子数、平均自由程、平均碰撞次数。解由气体的状态方程, 有
102 m

分子的平均碰撞频率和平均自由程

第21讲分子的平均碰撞频率和平均自由程习题课教学要求理解气体分子的平均碰撞次数及平均自由程。

重点与难点重点：分子的平均碰撞次数及平均自由程。

难点：分子的平均碰撞次数及平均自由程。

7.7 分子的平均碰撞频率和平均自由程气体分子无规则热运动，频繁碰撞。

每个分子在两次碰撞之间自由行进多长的路径和用多长时间完全是偶然的、不确定的(如图7-10)。

但对大量分子，从统计的角度看，每个分子在单位时间内与其它分子平均碰撞多少次和平均自由行进多少路径却是有规律的。

7.7.1 平均碰撞频率z平均碰撞频率z 就是对于处于平衡状态下的大量气体分子组成的系统，一个分子单位时间内与其它分子的平均碰撞次数。

根据简化的气体分子模型，同种气体分子中每个分子都是直径为d 的刚性球，设想跟踪一个气体分子A ，为简化计算起见，首先假定其它分子不动，A 分子以平均相对速率u 接近其它分子，那么1秒内有哪些分子能与A 分子相碰呢?在A 分子运动过程中，它的质心轨迹是一条折线abce , 凡是其它分子的质心离开此折线的距离小于或等于分子有效直径d 的，都将与A 分子相碰（图7-11）。

如果以1秒内A 分子质心运动轨迹为轴，以分子有效直径d 为半径作一圆柱体（该圆柱体体积为2πd u ）。

质心在该圆柱体内的分子都将与A 分子相碰。

设n 为分子数密度,则该圆柱体内的分子数为2πn d u ，亦即1秒内A 分子与其它分图7-10气体分子的碰撞e子发生碰撞的平均次数。

所以平均碰撞频率2πZ n d u =式中，，2πd σ=称为分子的碰撞截面。

考虑所有分子同时以平均速率υ运动，分子间平均相对运动速率为υ2=u ，故2Z d n υ=(7-23)上式表明，分子热运动平均碰撞频率与分子数密度n 、分子平均速率υ成正比，也与分子碰撞截面σ或分子有效直径d 的平方成正比。

7.7.2 平均自由程 λ平均自由程 λ 就是在平衡状态下，一个分子在连续两次碰撞之间所经过的路程的平均值。

6气体分子的平均碰撞频率及平均自由程

解答：根据公式

1
2n d 2
dengyonghe1@
质量一定，体积保持不变，则气体的分子数密度 n 也不变，

1
2n d 2
平均自由程也不变。
讲解例题：P343，Example10.7
dengyonghe1@
第六节
气体分子的平均碰撞频率及
平均自由程
dengyonghe1@
一、平均碰撞频率
发难:分子运动论佯谬在常温下，空气分子速率 400~500米/秒，如果在讲台上打开一瓶香水，后排的同学立刻就可闻到香水味。但实际需要 1~2 分钟才能闻到，扩散与分子速率102m/s矛盾.
解释: 实际上由于分子激烈的热运动，不断地和其它分子碰撞，分子不是走直线，而是折线。
Z 2n d 2 v
例：求空气在27ºC、1atm下平均碰撞频率是多少？（空气分子直径为310-10m ）
解：由 P nkT 有
n

1
.
1.013 38 10
10 -23
5
300
n P kT
2.45 10 25 m -3
dengyonghe1@
由
v 8RT
气分子直径为310-10m ）
解：标准状态
T0 273 K , P0 1.013 105 Pa
dengyonghe1@

kT
2d 2P

1.38 10 -23 273
2 (3 10 -10 )2 1.013 10 5
9.3 10 -8 m
问题：一定质量的气体，保持体积不变，当温度增加时，分子运动变得剧烈，平均碰撞频率增加了，平均自由程如何变化？

第9章热学(93)平均自由程与碰撞频率_能均分定理

1mol 理想气体内能：
ii Emol NA 2 kT 2 RT
质量为m，摩尔质量为M的理想气体内能：
结论：
E
m M
Emol
m M
i RT 2
理想气体的内能只是温度的单值函数。
内能的改变量： E m i RT M2
例4 容器内有某种理想气体，气体温度为273K，压强为1.013×103 Pa ，密度为1.24×10-2 kg·m-3。试求：（1）气体分子的方均根速率；（2）气体的摩尔质量，并确定它是什么气体；（3）气体分子的平均平动动能和平均转动动能各是
RT p
12.824110032kg18..m0311o3l）或一氧化碳（CO）气体
（3）分子的平均平动动能：
3 kT 3 1.381023 273J 5.61021J 22
分子的平均转动动能：
2 kT 1.381023 273J 3.7 1021J
k
i 2
kT
“i”为分子自由度数
i3
k
3 2
kT
刚性双原子分子： i 5
k
5 2
kT
刚性多原子分子： i 6
k
6 2
kT
说明：能量均分定理是一个统计规律，是在平衡态下
对大量分子统计平均的结果。
3-4 理想气体的内能
内能：气体中所有分子的动能和分子间相互作用势能
的总和。
理想气体内能：气体中所有分子的动能。
多少？
（4）单位体积内分子的平动动能是多少？（5）若气体的物质的量为0.3 mol，其内能是多少？
解：（1）气体分子的方均根速率为
v2 3RT
由物态方程 pV m RT

大学物理气体分子的平均碰撞频率和平均自由程课件

n=2.451023 个/cm3,
__
v
=477m/s
代入公式计算其碰撞频率
__
Z 50亿次 / 秒
可见一个分子到达你的鼻孔，是不能用几经周折来描述的，而要用“亿经周折”来描述！
__
三）分子的平均自由程
分子在两次连续两次碰撞之间所经历路程的平均值。
则平均自由程为
分子平均一秒内所飞行的距离为
§7--7分子的平均碰撞次数和平均自由程
一）问题的提出前面已经过：分子速率在几百米/秒的数量级，但为什么食堂炸油条时并不能马上闻到油香味呢？
原来分子速率虽高，但分子在运动中还要和大量的分子碰撞
碰撞是分子的第二特征。（第一特征是分子作永恒的运动）
分了碰撞是“无规则”的，相隔多长时间碰撞一次？
分了碰撞是“无规则”的,相隔多长时间碰撞一次每次飞翔多远再碰撞，也都有是随机的、偶然的，因此也只能引出一些平均值来描写。
即下一面秒求内相分对速子率平均_u_碰撞与平的均次速数率
__
__
Zv 的n关系d。2 设u
Z 2nd v 所其有它即分分：子子都的以速平率均仅速决率定运于动分，子则运其动2 一的__个方分向(子。7相对33)
B
__
v
B
__
v
B
__
v
A
__
v
__
u 0
__
v
A
__
v
A
__
1.2107 (m)
2 3.14 (2.7 1010)2 1.013105
__
为什么压强降低时，
当p 107 atm时 1.2m 平均自由程增大呢？

气体分子的平均碰撞频率和平均自由程

大学物理
气体动理论
第9讲气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
一、分子的平均碰撞频率
平均碰撞频率和平均自由程
平衡态宏观性质的维持非平衡态向平衡态过渡
依靠分子间的频繁碰撞实现
刚性球模型
不可以像讨论压强那样将分子看成质点
不需像讨论内能那样考虑分子内部结构
分子的有效直径 d 约为10-10 m
无引力刚性球模型
=
1.013×105 1.38×10−23 × 273
=
2.69 ×1025 m−3
λ = 1 = 2.14 ×10−7 m 2π d 2n
z = v = 7.95×109 s−1
λ
(约80亿次)
平均碰撞频率和平均自由程
d d
假定: 分子是直径为d 的弹性小球
分子A以平均相对速率 u 运动, 其他分子静止由麦克斯韦速率分布可证 u = 2 v
球心轨迹为轴, d 为半径作折圆柱体
平均碰撞频率和平均自由程
d d
球心在圆柱体内的分子将与A碰撞
单位时间内有 πd 2u n 个分子与A发生碰撞
平均碰撞频率: z = 2π d 2nv
• 当温度一定时,平均自由程与压强成反比,压强越小,平均自由程越长.
平均碰撞频率和平均自由程
例. 求氢在标准状态下一秒内分子的平均碰撞次数. (已知分子直径d = 2×10-10m )
解:
v=
8RT =
Mπ
8×8.31× 273
2 ×10−3π
= 1.70 ×103 m ⋅ s−1
n
=
P kT
二、平均自由程平均碰撞频率平均自由程平均自由程( λ ): 分子在连续两次和其它分子发生碰撞

混合气体分子的平均碰撞频率和平均自由程的初等推导

混合气体分子的平均碰撞频率和平均自由程的初等推导
混合气体是指由多种不同种类分子组成的气体，其中包括氢和氦，氧和氮，氯和氩等。

对
于混合气体，人们想知道分子碰撞频率和自由程。

平均碰撞频率是指单个分子碰撞其他分子的平均频率。

计算混合气体的平均碰撞频率需要
用到平均碰撞频率常数。

它可以用以下公式表示：
k=∑_i(f_i*k_i)
其中k代表混合气体的平均碰撞频率常数。

f_i 的值等于混合气体内每种分子的浓度或含量，K_i代表单种分子的碰撞频率常数。

自由程是指分子能够直接穿过物体而不受物体的阻碍而飞行的距离。

在一般情况下，计算
混合气体的平均自由程也可以用到平均碰撞频率常数：
f=K/f
其中l为混合气体的平均自由程，K代表混合气体的平均碰撞频率常数，f代表流体的密度。

上述就是混合气体的平均碰撞频率和平均自由程的初等推导。

平均碰撞频率常数可以用于计算不同种类分子平均碰撞频率，而平均自由程可以用流体密度计算。

在研究气体性质时，这也是有益的推导。

大学物理 7.5 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程

气体氢
7
氮
氧
7
空气
7
(m ) 1.123 10
0.599 10
0.647 10
7.00 10
8
d ( m ) 2.30 10 10 3.10 10 10 2.98 1010 3.10 1010
例1
计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平均碰撞频率。取分子的有效直径 d = 3.10
空气摩尔质量为2910-3kg/mol 空气分子在标准状态下 8 RT v 448m / s 的平均速率 M
448 9 1 Z 5.1 10 s 8 8.71 10
v
=
v
Z
=
1
2 d2 n
=
kT
2 d2 P
10-10m。已知空气的平均分子量为29。
解：已知 T 273 K , P 1.0atm 1.013 105 Pa ,
d 3.10 10 10 m

kT 2d 2 P
23
1.38 10 273 8 8.71 10 m 10 5 1.41 3.14 ( 3.5 10 ) 1.01 10
7.5气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
一、分子的平均碰撞次数:
一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫平均碰撞频率 Z 设分子 A 以相对平均速率 v 运动，其它分子可设为静止。运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将与分子A 碰撞该圆柱体的面积就叫碰撞截面
= d2
d d
z d v n
2
一切分子都在运动
v
A d
v
动态演示
z 2d v n

气体分子的平均自由程

子有效直
径及分子数密度有关。
在标准状态下，多数气体平均自由程 ~10-8m，
只有氢气约为10-7m。一般d~10-10m，故 d
。可求得Z ~109/秒。
每秒钟一个分子竟发生几十亿次碰撞！
设想在z=z0处有一界面dS，实验指出dt时间内通过dS沿z轴方向传递的热量为
叫做导热系数
dQ dT dSdt
dz z0
微观机制（只讨论气体）
气体内的热传导在微观上是分子在热运动中输
运热运动能量的过程。
根据分子运动论可导出
1 3
nmvcV
假设：其他分子静止不动，只有分子A在它
们之间以平均相对速率 u 运动。
分子A的运动轨迹为一折线 u 2 v
以A的中心运动轨迹（图中虚线）为轴线，以分子有效直径d为半径，作一曲折圆柱体。凡中心在此圆柱体内的分子都会与A相碰。
平均自由程为
1 1 2n 2d 2n
P nkT kT 2d 2 P
平均自由程和平均碰撞频率的Z定义
平均自由程在一定的宏观条件下一个气体分子在连续两
次碰撞之间所可能经过的各段自由路程的平均值。平均碰撞频率 z
一个分子在单位时间内所受到的平均碰撞次数。
二者关系 Z
v Z
平均自由程和平均碰撞频率 Z的计算
设想：跟踪分子A，看其在一段时间t内与多少分子相碰。

气体分子碰撞频率和平均自由程的推导

气体分子碰撞频率和平均自由程的推导气体与固体、液体的不同之处在于，气体由的离散的分子构成，分子之间受到引力作用，在温度和压力相同时，分子们构成的气体能量总是不断变化，分子之间就会发生碰撞，产生热能。

这里以布朗分子模型(Brownian molecular model)为基准，来分析气体分子的碰撞频率及平均自由程。

首先，假设一定的温度和压强条件下，气体分子的碰撞频率是不变的。

在这样的条件下，分子能量总是在不同程度的变化，每次碰撞之后都会有能量的转换。

根据热力学定律，每次碰撞都要转换掉热能或动能到等价物，所以，当分子碰撞频率较高时，分子获取的能量也会增加。

而在温度和压强条件下，分子碰撞频率是不变的。

因此，任何一个分子都会有不同的碰撞频率，而这个频率可以用卡尔曼方程(KM equation)来描述，其表达式为：KM = (u/6)*(1+a1)^2*(1+a2)^2*…*(1+aN)^2其中u表示分子的总能量；ai表示分子碰撞的概率。

根据KM方程，可以得出碰撞频率的计算公式：f=1/u*(1+a1)^2*(1+a2)^2*…*(1+aN)^2其中，f表示分子的碰撞频率，u表示总能量，ai表示分子碰撞的概率。

由此可知，气体分子碰撞频率与能量有关，碰撞次数越多，气体分子的能量就越多。

接着，我们来探讨气体分子的平均自由程p。

由热力学可知，当一个分子受到外力作用时，就会发生力学变化，平均自由程就会发生变化。

因此，在温度和压强相同的情况下，气体分子的碰撞频率越高，此时分子的平均自由程p就会越大，公式为：p=f/u其中，f表示气体分子的碰撞频率，u表示能量总和。

由此可知，气体分子的平均自由程p也与能量有关，越大的能量，分子越可能进行更远的碰撞，所以平均自由程就会越大。

据以上分析，得出气体分子的碰撞频率和平均自由程的推导公式如下：气体分子的碰撞频率：KM = (u/6)*(1+a1)^2*(1+a2)^2*…*(1+aN)^2平均自由程：p=f/u最后，还要注意的是，由于温度和压强的变化，气体的分子的碰撞频率和平均自由程也会发生变化。

平均自由程和平均碰撞频率

平均自由程和平均碰撞频率在物理的世界里，平均自由程和平均碰撞频率就像是空气中的那股清新气息，听起来很专业，但其实挺有意思的。

想象一下，咱们在一个人多热闹的派对上，大家都在忙着交谈、跳舞。

这个时候，你得在众人中间穿梭，偶尔被人撞一下，或者和朋友聊聊。

这就像是气体分子在空间里移动，发生碰撞，听起来是不是挺有画面感的？平均自由程，就像你在派对上能顺利移动的距离。

分子在这个空间里就像是你，四处游荡，能走多远，就取决于周围有多少“障碍物”。

如果人多得像热锅上的蚂蚁，那你可得小心翼翼，才能不被撞到。

相反，如果人少，那就简单多了，能畅通无阻。

简单来说，平均自由程就是气体分子在碰撞之前能走多远的一个数值。

你可能会问，这个数值是怎么计算的呢？它和气体的性质、温度、压力都有关系。

像夏天的空气，热得让人受不了，分子动得飞快，碰撞频率自然就高，这样一来，平均自由程就会变得小一些。

说到平均碰撞频率，那就是在单位时间内，分子之间碰撞的次数。

再把它换个角度看，就像是你在派对上，跟朋友聊得开心，突然有人从旁边冲过来把你撞了一下，感觉一下子被打断了。

这个频率高了，你的谈话就得时不时被打断，显得有点混乱。

反过来，如果碰撞频率低了，那大家的聊天就显得井然有序，就像是一场优雅的舞会，大家都在轻声细语，享受这份宁静。

这里面还有个有趣的地方。

气体分子如果是小颗粒，平均自由程就会长一些；如果是大颗粒，碰撞的机会就多了，平均自由程就短了。

这就好比你在派对上，身材高大的人总是更容易被注意到，走动起来也能避开一些障碍。

但如果是小个子，就得更加灵活，才能在人群中穿梭自如。

这不禁让人想起“人外有人，天外有天”这句话，确实每种情况都有它的道理。

碰撞频率还和温度、压力有关系。

高温下，分子运动得飞快，撞得也多，频率自然就高。

就像夏天的海滩，大家都兴奋得不行，玩得不可开交，彼此碰撞得频繁。

相反，气温低了，分子们就懒洋洋的，像冬天的围炉夜话，大家都安静下来，不再热闹，这时候碰撞频率自然就降了下来。

§12.5-气体分子的平均碰撞频率和平均自由程

瓶胆中仍有稀薄的空气。空气分子的频繁碰撞会将能量从一个地方传到另一个地方。考虑到保温性能，对瓶胆的厚度有何要求？
·3 ·
Chapter 12. 气体动理论 §12. 5 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
一、定义
▲平均自由程：分子在连续两次碰撞间所经过的平均
路程。常用表示。
▲平均碰撞频率：分子在单位时间内的平均碰撞次数。
归纳
1. 平均碰撞频率： z 2 n d 2v 2. 平均自由程： kT
2 d2 p
( The end·)9 ·
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2021/4/9
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撞的分子个数为：
N n d 2ut
z
N t
n d2u
理论修正： u 2 v
分子数密度：n
·5 ·
Chapter 12. 气体动理论 §12. 5 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
z 2 n d 2v ~ 109 (s-1 ) 可知：z n , d 2 , v
则，平均自由程为：
v z
1
解：空气分子的有效直径 d = 3.5×10-10m，T = 373K 考虑到保温性能，应取：
1.5cm 1.5 102 m kT
2 d2 p p kT 0.63 (Pa) 6.22 106 atm
2 d2 瓶胆承受的压力～1.01×104kg/m2！
1.5cm
·8 ·
Chapter 12. 气体动理论 §12. 5 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
p (Pa)
(m)
1.01 105 1.33 102 1.33 1.33 102 1.33 104
6.9 108 5.2 105 5.2 103 5.2 101 52

高二物理竞赛课件：气体分子的平均碰撞频率和平均自由程

A• •B
在相同的t时间内, 分子由 A 到B 的位移比它的路程小得多
扩散速率 (位移/时间)
平均速率 (路程/时间)
自由程：分子在相邻两次碰撞之间自由通过的路程 .
分子的平均自由程( )：每两次连续碰撞之间，一个分子自由运动的平均路程 .
分子的平均碰撞频率( )：单位时间内一个分子和其它分子碰撞的平均次数.
碰撞截面: △t 时间内，A 通过的折线长：以折线为轴的曲折圆柱体积： △t 时间内, 能够与 A 球碰撞的分子数：
△t 时间内与 A 球碰撞的分子数：分子的平均碰撞频率：考虑其他分子的运动：分子的平均碰撞频率：
(证明见后)
分子平均碰撞频率
Z 2 πd 2 vn
p nkT
平均自由程： λ v 1 kT Z 2π d 2n 2π d 2 p
在能量均分定理中，我们将理想气体分子视为有结构的质点组，可以发生转动和振动；
在推导分子平均碰撞自由程时，我们将理想气体视为有一定大小(体积)的刚性小球。
由此可见，对不同的问题，我们采用不同的理想模型来进行研究，只要抓住问题的本质即可。
例试估计下列两种情况下空气分子的平均自由
程 : (1) 273 K、
能级处于Ei状态的粒子数
对于任意两个能级，有
在正常状态下，能级越低，粒子数越多。粒子总是优先占据低能级状态——能量最低原理
例：氢原子基态能级 E1= -13.6 eV，第一激发态能级 E2= -3.4eV，求出在室温 T = 27 0C 时原子处于第一激发态与基态的数目比。解：
在室温下，氢原子几乎全部处于基态。

时;
(2) 273 K 、
时.
（空气分子有效直径：

20平均自由程与碰撞频率10

d 2vn
dd
平均碰撞频率为
A
Z d 2vn
d
(2) 考虑到所有分子的运动，应以平均相对速度来代替上式中的平均速度
理论上可以证明，平均相对速度等于平均
速度的 2 倍
所以
Z 2 d 2vn
上式表明
平均碰撞次数与分子数密度，分子平均速率成正比，也是与分子的直径的平方成正比．
把 Z 2 d 2vn代入
2 (3.11010 )2 1.33 103
6.62(m)
从上面计算可知，在通常的容器中，在高
度真空的情况下，分子间发生碰撞的概率是很小的．
例题分析
例1 求在标准状态下，空气分子的平均自由程、平均速率及平均碰撞次数. （已知空气的平均摩尔质量为 2910-3kg·mol-1, 空气分子的有效直径为3. 5 10-10m）.
解 T 273K, p 1.013 105 Pa ,
d 3.5 1010m, 29 103kg mol1
小于或等于有效直径
dd
d 的分子，都要与A A
分子相碰．
d
以A 的中心运动轨迹为轴线，以分子的有效直径为半径做一个曲折的圆柱体，那么，凡
中心在此圆柱体内的分子都要与A 相碰．
设:A 的平均速率为 v ,单位体积内的分子数 n A在单位时间内走过的长度为 v
圆柱体的体积为 d 2v
圆柱体内分子数为
vt v Zt Z
得上式表明

1
2 d 2n
平均自由程与分子碰撞截面、分子数密度成反比，而与分子平均速率无关．
因为所以
p nkT

kT
2 d 2 p

理想气体的平均自由程和碰撞频率

思考题
1、容器内储有一定量的气体，保持容积不变，使气体温度升高，则分子的平均碰撞频率和平均自由程各怎样变化？
2、理想气体定压膨胀时，分子的平均自由程和平均碰撞频率与温度的关系如何？
分子的碰撞截面 =3.85 ×10-15 cm2 ，求在标准状态下，
空气分子的平均自由程和平均碰撞频率。
解：标准状态下 T 273K p 1.013105 Pa kT kT 6.83108 m 2 d 2 p 2 p
v 8RT 446m s1
M
Zv
446 6.83108
6.53109 s1
t
考虑其它分子的运动，由统计理论可知： u 2 v
Z 2 d 2nv
vZ
一秒钟内分子走过的平均路程为 v
一秒钟内与其它分子发生碰撞的平均次数为 Z
平均自由程 v
Z
1 2 d 2n
p nkT
kT
2 d 2 p
——平均自由程与压强的关系
例题：已知空气的摩尔质量为 M= 29 ×10-3 kg·mol-1
2、只有一个分子A 在运动，其它分子都认为是静
止不动的，且A 运动的相对速率为 u 。
t 时间内A分子走过的路程为： s ut
V d2 u t
在体积V 内的所有其它分子在t 时间内都与A 碰撞设分子数密度为n
A 分子在t 时间内与其它分子碰撞的次数： n d 2u t
分子平均碰撞频率
Z n d 2ut n d 2u
❖平均自由程 mean free path ：
分子在连续两次碰撞之间所经过的自由程的平均值。
❖平均碰撞频率 mean collision frequency Z ：单位时间内一个分子和其它分子碰撞的平均次数。