成都七中16届高二理科数学上期半期考试试卷

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四川省成都市第七中学2016-2017学年高二上学期12月测试数学(理)试题

成都七中(高新校区)高二上期数学测试卷（12、4）（考试时间：120分钟，满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为（） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 2．圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（）A ．43-B ．34- C D ．2 3．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（）A ．14B ．12C ． 2D ．44．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过3次传递后，毽子又被踢回给甲.则不同的传递方式共有( )A.5种B.2种C.3种D.4种 5．下列命题正确的个数是（）(1)命题“若0>m 则方程02=-+m x x 有实根”的逆否命题为：“若方程02=-+m x x 无实根则0≤m ”(2)对于命题p ：“R x ∈∃使得012<++x x ”，则p ⌝：“R x ∈∀，均有012≥++x x ” (3)“1≠x ”是“0232≠+-x x ”的充分不必要条件 (4)若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题A ．4B ．3C ．2D ．16．在某电视台举行的大型联欢会晚上，需抽调部分观众参加互动，已知全部观众有900人，现需要采用系统抽样方法抽取30人，根据观众的座位号将观众编号为1,2,3，…，900号，分组后在第一组,采用简单随机抽样的方法抽到的号码为3，抽到的30人中，编号落入区间[1,360]的人与主持人A 一组，编号落入区间[361,720]的人与支持人B 一组，其余的人与支持人C 一组，则抽到的人中，在C 组的人数为（） A ．12 B ．8 C ．7 D ．67．某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是（） A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定8．已知直线1:l 210x y --=，直线2:l 10ax by -+=，其中a ，{}1,2,3,4,5,6b ∈．则直线1l 与2l 的交点位于第一象限的概率为（） A ．16 B ．14 C ．13 D ．129．过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为'A ，'B 两点，以线段'A 'B 为直径的圆C 过点)3,2(-，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(3)9x y -+-=B ．5)1()1(22=-++y xC ．17)1()1(22=+++y xD ．22(2)5x y +-=10．数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有（）个． A ．24 B ．23 C ．21 D ．1211．已知双曲线12222=-by a x 的左右焦点分别为12F F 、，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则( ) A. ||||OA e OB = B. ||||OB e OA = C. ||||OA OB = D. ||OA 与||OB 关系不确定12．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）A ．()13，B ．()14，C ．()23，D ．()24，二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m = . 14．某单位从包括甲、乙在内的4名应聘者中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是 .15．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ．若)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则ba 32+的最小值是 16．已知直线1()4y k x =+与曲线y k 的所有可能取值构成集合A ；(),P x y ，是椭圆221169y x +=上一动点，111(,)P x y 与点P 关于直线y ＝x ＋1对称，记114y -的所有可能取值构成集合B ，若随机的从集合A ，B 中分别抽出一个元素12,λλ，则12λλ>的概率是___________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知a R ∈，命题[]2:1,2,-0p x x a ∀∈≥，命题2q :22,-0x R x ax a ∃∈++=.（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195m 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率并估计该校800名男生中身高在180cm 以上（含180cm ）的人数；（2）从第六组和第八组的男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为,x y ，事件{5}E x y =-≤，求)(E P ．19．（本小题满分12分）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩．（1（2）已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？（已知88⨯94+83⨯91+117⨯108+92⨯96+108⨯104+100⨯101+112⨯106=70497，709941121001089211783882222222=++++++）（参考公式：∑∑∑∑=-=--=--=-Λ--=---=ni ni i ni ii ni ixn xy x n yx x xy y x xb 12211121)())((，-Λ-Λ-=x b y a ）20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221+=x y a b （0a b >>）的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.求证：BM AN ⋅为定值.21．（本小题满分12分）已知1(,0)2F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，点000(,)(0)N x y y >为其上一点，点M 与点N 关于x 轴对称，直线l 与抛物线交于异于M ，N 的A ，B 两点，且5||, 2.2NA NB NF k k =⋅=- （1）求抛物线方程和N 点坐标；（2）求MAB ∆面积的最小值及MAB ∆面积最小时的直线l 的方程。

四川省成都七中实验学校高二上学期期中考试数学(理)试题

成都七中实验学校2015--2016学年度期中考试高二数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回．第I卷（选择题）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卷上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．直线323y x=-+的倾斜角是（）A．30︒ B．60︒ C．120︒ D．150︒2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D.l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面3．经过圆2220x x y++=的圆心C，且与直线0x y+=垂直的直线方程是A．10x y--= B．10x y-+= C．10x y+-= D．10x y++= 4．圆22(4)9x y-+=和圆22(3)4x y+-=的公切线有A．1条 B．2条 C．3条 D．4条5．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A.﹣3B.2C.﹣3或2D.3或﹣26．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A. B. C. D.7．若点(5,)b在两条平行直线6810x y-+=与3450x y-+=之间，则整数b的值为A ．4-B ．4C ．5-D ．58．过点(1,0)P -作圆22:(1)(2)1C x y -+-=的两切线，设两切点为A 、B ，圆心为C ，则过A 、B 、C 的圆方程是A ．22(1)2x y +-=B ．22(1)1x y +-=C ．22(1)4x y -+=D ．22(1)1x y -+= 9．如图，在正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心）S ﹣ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）（1）EP ⊥AC ；（2）EP ∥BD ；（3）EP ∥面SBD ；（4）EP ⊥面SAC ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10．二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥且1AB AC ==，2BD =，则CD 的长为A ．1B ．3C ．2D ．511．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为错误！未找到引用源。

四川省成都七中2015-2016学年高二上学期12月数学理试题

成都七中2015-2016学年上期2017届阶段性考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟总分：150分命题人：刘在廷审题人：张世永一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案凃在答题卷上.）1.将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的（）倍。

A.1 B.2 C.4 D.82.非零向量，不共线且32+=，向量同时垂直于、，则（） A.// B.n m ⊥ C.m 与n 既不平行也不垂直 D.以上情况均有可能3.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（） A ． 4 B ．5 C ．6D ．74.直线3x-4y+5=0关于y 轴对称的直线方程为（） A.3x+4y+5=0 B.3x-4y+5=0 C.3x+4y-5=0 D.3x-4y-5=05.在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长AB=2，点E 是棱11D C 的中点，则异面直线E B 1与1BC 所成角的余弦值为（） A.510B.515 C.1015 D.1010 6.下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（） A ．9π B ．10π C ．11π D ．12π 7.若O 为坐标原点，(2,0)A ，点(,)P x y坐标满足43035251x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，n ＝12, i ＝1 n ＝3n ＋1开始n 是奇数?输出i结束是否 n ＝ n ＝5?是否n2i ＝i ＋1 (第3题图)则||cos OP AOP ∠的最大值为（）A 6B 5C 4D 38.已知圆C:422=+y x ，直线l :y=-x+b,圆C 上恰有3个点到直线l 的距离为1，则b =（） A.2±B.2C.-2D.以上答案都不对9.在棱长为2 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 是体对角线1BD 的中点，Q 在棱1CC 上运动，则min PQ =（）A.3B.2C.22D.3210.如图，二面角βα--AB 的大小为060，棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知AB=4，AC=6，BD=8，则直线AB 与CD所成角的余弦值为（）21717C 22117D 171711.过点P （2，3)的动直线交圆M:422=+y x 于A 、B 两点，过A 、B 作圆M 的切线，如果两切线相交于点Q ，那么点Q 的轨迹为（）A.直线B.直线的一部分C.圆的一部分D.以上都不对12. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点,E F 分别在线段AC ，1D B 上，且11((0,))D F AE AC D Bλλ==∈+∞，直线EF 与直线11,AD B C 所成的角为12,θθ，又1212()||[cos()sin()]f EF λθθθθ=+++，则()f λ随着λ增大时（）A ()f λ先增大后减小，且最小值为1B ()f λ先减小后增大，且最小值为1C ()f λ5D ()f λ5 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上。

成都七中2016届高三理科数学10月阶段性考试试卷(PDF版)(1)

20．（本小题满分 12 分）已知函数 f x sin x （ 0 1, 0 ）是 R 上的偶函数，其图象关于点 M （1）求 , 的值；（2）求 f x 的单调递增区间；（3） x
3 4 ,
18、（1） a 3 ， b 1 （2）当 t 1 时，所求最大值为 4
at 12 bt = 3 4 t t
求导可解决或三角代换： t 4sin , 0,
2
1 1 A2 A3 3 10 A52
2
19、（1） P
（2） X 200,300,400
1 a a
2
）
A．
B． 1 a
2
C．
a
2
1 a
D． 1 a 2
4．若 a 为实数，且 A． 4
2 ai 1 i
3 i ，则 a （
） D． 4
B． 3
2 x
C． 3
5．函数 f x ln x 1 A． 0 ,1
的一个零点所在的区间是（ C． 2 , 3
3 4
, 0 对称

2
，求 f x 的最大值与最小值．
21．（本小题满分 12 分）已知函数 f x ln
1 x 1 x
（1）求曲线 y f x 在点 0 , f 0 处的切线方程；（2）求证：当 x 0 ,1 时， f x 2 x
11．已知 f x 是定义在 R 上的增函数，函数 y f x 1 的图象关于点 1, 0 对称，若对任意的 x , y R ，不等式 f x 2 6 x 2 1 f

【精选高中试题】四川省成都市高二数学(理)上学期期中试题word版

成都七中 2015-2016 学年上期2017 届半期考试数学试卷（理科）考试时间：120 分钟总分：150 分一．选择题（每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案凃在答题卷上.）1. 直线y x 的倾斜角为（）A. B.C. 2D. 3 4 2 3 42. 平面平面的条件可以是（）A. 内有无穷多条直线都与平行 B. 直线a, a, 且 a , aC ．内的任何直线都与平行 D. 直线 a , 直线 b ，且 a, b3 . 与直线3 x4 y5 0 关于原点对称的直线方程为（）A. 3 x 4 y 5 0C. 3 x4 y54 .A B C 中， A4 ，0, B8 ，7, C0 ，3，则 B C边上的高所在直线的方程（）A. 2 x y 8 0C. x2 y45 . 棱长为 2 ，各面均为等边三角形的四面体的表面积为（）A. 4 2 3 66 .三棱锥的三条侧棱互相垂直，三条侧棱的长分别为3 、4 、5 ，则它的外接球的体积为（）A.1 2 5 2D. 2 5 0 27 . 过点P 2 ，3 ，并且在两轴上的截距为相反数的直线方程为（）A．3x 2 y 0 或x y 1 0B. x y1 0C ．3 x 2 y0 或 xy 5 0D. 3 x 2 y 0 或 3 x 2 y 1 08 . 在一个平面上，机器人甲到与点C 2 ， 3 距离为5的地方绕C 点顺时针而行，在行进过程中保持与点C 的距离不变，机器人乙在过点A 8 ，0 与B 0 ，6 的直线上行进，机器人甲与机器人乙的最近距离是（）A.6755242 17 B. C.D. 5559 . 直线m2x 1 m y 6 0 与圆x22y 21 1 11= 1 的位置关系是（）A. 相交B.相离C. 相切D. 以上都有可能C1 0 . 在棱长为2 的正方体 A B CD A B C D 中， M 为经过点A 作 D M 的垂面，该垂面被正方体截得部分的面积是（）DC224A M B1 1 . 已知长度为 4 的线段 A B 在平面内，线段 A C 、B D 不在平面内，A CB D3 ，C A 平面且与平面交于A , B D A B , B D 与它在内的射影成30 角，则C D 为（）A. 5B.C. 5 或4 3D. 3 4 或 4 31 2 . 设 f ( x ) 是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f (1x)2f(1 x) 0 恒成立，如果实数2 2f ( a a 、 b 满足不等式组6 a 2 3 )f ( b8 b ) 0那么ab的取值范围是（）f(b 1)f ( 5 )A. 1 7 , 4 9）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16 分，把答案填在答题卷的横线上。

四川省成都七中2015-2016学年高二上学期期末数学模拟试卷(理科)(一) 含解析

2015-2016学年四川省成都七中高二（上）期末数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（)A．46，45，56 B．46,45,53 C．47,45,56D．45，47，532．执行如图的框图，第3次和最后一次输出的A的值是（）A．7，9 B．5，11 C．7,11 D．5，93．对于线性回归方程，下列说法中不正确的是（）A．直线必经过点B．x增加一个单位时，y平均增加个单位C．样本数据中x=0时，可能有D．样本数据中x=0时,一定有4．如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①；②∠BAC=60°;③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥;④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④5．若A、B两点的坐标分别是A（3cosa,3sina，1），B （2cosb，2sinb，1），则｜|的取值范围是( )A．B．C．（1，5） D．6．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H．若AE=3，BF=4，CG=5，则DH等于( ）A．6 B．5 C．4 D．37．已知直线l的倾斜角为α,且60°＜α≤135°，则直线l斜率的取值范围是( ）A．B．C．D．8．已知：,求z=x2+y2最小值为（）A．13 B．C．1 D．9．已知圆C1：（x+1）2+(y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称,则圆C2的方程为（）A．（x+2)2+（y﹣2）2=1 B．（x﹣2)2+（y+2)2=1C．（x+2）2+（y+2）2=1 D．(x﹣2）2+（y﹣2）2=110．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是( ）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 11．两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（)A．1条B．2条C．3条D．4条12．已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4,a）作圆C的一条切线，切点为B,则|AB|=（)A．2 B．6 C．4D．2二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分。

四川省成都市高二上学期期中数学试卷(理科)

四川省成都市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）对于下列四个命题,；,；,．其中的真命题是（）A . p1 ， p3B . p1 ， p4C . p2 ， p3D . p2 ， p42. （2分） (2018高二上·南阳月考) 已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是（）A .B .C . 6D .3. （2分）条件，条件，则p是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件4. （2分） (2016高二上·绍兴期末) 点P（﹣3，1）在椭圆 =1（a＞b＞0）的左准线上．过点P且方向为 =（2，﹣5）的光线，经直线y=﹣2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A .B .C .D .5. （2分）已知椭圆的焦点，， P是椭圆上一点，且是，的等差中项，则椭圆的方程是（）A .B .C .D .6. （2分）方程x=所表示的曲线是（）A . 双曲线B . 椭圆C . 双曲线的一部分D . 椭圆的一部分7. （2分）(2017·凉山模拟) 已知命题p：函数f（x）=|cos2x﹣sinxcosx﹣ |的最小正周期为π；命题q：函数f（x）=ln 的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是（）A . p∧qB . p∨qC . （￢p）∧（￢q）D . p∨（￢q）8. （2分）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分）设，向量，，，且，，则（）A .B .C .D . 1010. （2分） (2016高二上·吉安期中) 已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，• =2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A . 2B . 3C .D .11. （2分） (2015高二上·福建期末) 直线l过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是（）A . x2=12yB . x2=8yC . x2=6yD . x2=4y12. （2分）设双曲线的半焦距为c，直线l过两点，若原点O到l的距离为，则双曲线的离心率为（）A . 或2B . 2C . 或D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·承德期末) 若抛物线上一点到焦点的距离为5，以为圆心且过点的圆与轴交于两点，则 ________．14. （1分） (2019高二上·上海期中) 已知，，若在曲线上恰有4个不同的点，使，则的取值范围是________.15. （1分） (2019高二上·唐山月考) ，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点，，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为________.16. （1分） (2016高二上·临川期中) 过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），则椭圆的方程为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣6x+a）的定义域为R，命题q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1=0的两个实根均大于3．若“p或q”为真，“p且q“为假，求实数a的取值范围．18. （5分）解不等式（Ⅰ）若不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件为＜x＜求实数m的取值范围；（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣5|＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．19. （10分）已知动圆P过点A（﹣2，0）且与圆B：（x﹣2）2+y2=36内切．（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；（2）若轨迹E上有一动点Q，满足∠AQB=60°，求|QA|•|QB|的值．20. （5分）在四棱柱中，底面为矩形，面⊥平面， = == ， =2，是的中点．（Ⅰ）求证：⊥ ；（Ⅱ）求BD与平面所成角的正弦值．21. （10分）(2020·漳州模拟) 已知直线与轴，轴分别交于，，线段的中垂线与抛物线有两个不同的交点、．（1）求的取值范围；（2）是否存在，使得，，，四点共圆，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．22. （10分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

【数学】2016-2017年四川省成都七中高二上学期数学期末试卷(理科)及答案

本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除2016-2017学年四川省成都七中高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：“a=﹣2”是命题q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）成都七中为了全面落实素质教育，切实有效减轻学生课业负担，拟从林荫、高新两个校区的初高中学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按年级分层抽样D．系统抽样3．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离4．（5分）已知双曲线的离心率为2，那么双曲线的渐近线方程为（）A．B．x±y=0C．2x±y=0D．5．（5分）函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f （x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）设实数x，y满足，则μ=的取值范围是（）A．[，2]B．[，]C．[，2]D．[2，] 7．（5分）有5名高中优秀毕业生回母校成都7中参加高2015级励志成才活动，到3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A．200B．180C．150D．2808．（5分）柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，下列叙述错误的是（）A．取出的鞋不成对的概率是B．取出的鞋都是左脚的概率是C．取出的鞋都是同一只脚的概率是D．取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是（）A．z≤42？B．z≤20？C．z≤50？D．z≤52？10．（5分）某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5），[5，10），…[35，40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）A．B．C．D．11．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小12．（5分）以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足=，则﹣S（）A．2B．4C．1D．﹣1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题∀x∈R，|x|＜0的否定是．14．（5分）已知双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的3倍，则实数m的值是．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为．16．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）与直线l：y=x+3，且直线l上有唯一的一个点P，使得过点P作圆C的两条切线互相垂直．设EF是直线l上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q，，则的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）．（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按收入从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应在月收入为[2500，3000）的人中抽取多少人？18．（12分）口袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1，2，3，4，甲、乙、丙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编号分别为a，b，c．（1）在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，求甲、乙两人成为“好朋友”的概率；（2）求抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立的概率．19．（12分）某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据．单价x（万元）88.28.48.88.69销量y（件）908483758068（1）①求线性回归方程y=x+；②谈谈商品定价对市场的影响；（2）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为 4.5元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？（附：=，=﹣，=8.5，=80）20．（12分）已知⊙C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m ﹣4=0．（1）求证：直线l与⊙C恒有两个交点；（2）若直线l与⊙C的两个不同交点分别为A，B．求线段AB中点P的轨迹方程，并求弦AB的最小值．21．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）是否存在整数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为，左右顶点分别为P，Q．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D（m，0）（m∈（﹣2，2），m≠0）作两条射线分别交椭圆C于A，B两点（A，B在长轴PQ同侧），直线AB交长轴于点S（n，0），且有∠ADP=∠BDQ．求证：mn为定值；（3）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C 交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的λ倍，求λ的最大值．2016-2017学年四川省成都七中高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：“a=﹣2”是命题q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”，则6a+3×4=0，解得a=﹣2，故p是q成立的充要条件，故选：A．2．（5分）成都七中为了全面落实素质教育，切实有效减轻学生课业负担，拟从林荫、高新两个校区的初高中学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按年级分层抽样D．系统抽样【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大，按年级分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．3．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．【解答】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选：B．4．（5分）已知双曲线的离心率为2，那么双曲线的渐近线方程为（）A．B．x±y=0C．2x±y=0D．【分析】利用双曲线的离心率，转化求出a，b关系，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线的离心率为2，可得，即，可得，双曲线的渐近线方程为：y=±，即．故选：D．5．（5分）函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f （x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．【分析】先解不等式f（x0）≤0，得能使事件f（x0）≤0发生的x0的取值长度为3，再由x0总的可能取值，长度为定义域长度10，得事件f（x0）≤0发生的概率是0.3【解答】解：∵f（x）≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2，∴f（x0）≤0⇔﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈[﹣5，5]，∴使f（x0）≤0的概率P==故选：C．6．（5分）设实数x，y满足，则μ=的取值范围是（）A．[，2]B．[，]C．[，2]D．[2，]【分析】根据不等式组画出可行域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域．设P（x，y）为区域内一点，根据斜率计算公式可得μ=表示直线OP的斜率，运动点P得到PQ斜率的最大、最小值，即可得到μ=的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域其中A（1，2），B（4，2），C（3，1）设P（x，y）为区域内的动点，可得μ=表示直线OP的斜率，其中P（x，y）在区域内运动，O是坐标原点．运动点P，可得当P与A点重合时，μ=2达到最大值；当P与C点重合时，μ=达到最小值．综上所述，μ=的取值范围是[，2]故选：A．7．（5分）有5名高中优秀毕业生回母校成都7中参加高2015级励志成才活动，到3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A．200B．180C．150D．280【分析】根据题意，分2步进行分析，①、先将5个人分成3组，分析可得有2种分组方法：分成2﹣2﹣1的三组或分成3﹣1﹣1的三组，分别求出每种情况的分组方法数目，由分类计数原理可得分组方法数目，②、将分好的3组对应三个班级，由排列数公式可得其方法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析，①、先将5个人分成3组，若分成2﹣2﹣1的三组，有=15种情况，若分成3﹣1﹣1的三组，有=10种情况，一共有15+10=25种分组方法；②、将分好的3组对应三个班级，有=6种方法，则一共有25×6=150种不同分派方法，故选：C．8．（5分）柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，下列叙述错误的是（）A．取出的鞋不成对的概率是B．取出的鞋都是左脚的概率是C．取出的鞋都是同一只脚的概率是D．取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是【分析】利用等可能事件概率计算公式分别求解，能求出结果．【解答】解：∵柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，∴基本事件总数n==15，在A中，取出的鞋是成对的取法有3种，∴取出的鞋不成对的概率是：1﹣=，故A 正确；在B中，取出的鞋都是左脚的取法有=3种，∴取出的鞋都是左脚的概率为：，故B正确；在C中，取出的鞋都是同一只脚的取法有：=6，∴取出的鞋都是同一只脚的概率是p==；在D中，取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，由题意，可以先选出左脚的一只有=3种选法，然后从剩下两双的右脚中选出一只有=2种选法，所以一共6种取法，∴取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是，故D 错误．故选：D．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是（）A．z≤42？B．z≤20？C．z≤50？D．z≤52？【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量z的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行z=2x+y后，z=1，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=1，y=1，第二次执行z=2x+y后，z=3，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=1，y=3，第三次执行z=2x+y后，z=5，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=3，y=5，第四次执行z=2x+y后，z=11，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=5，y=11，第五次执行z=2x+y后，z=21，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=11，y=21，第六次执行z=2x+y后，z=43，满足输出条件，故进行循环的条件可以为z≤42？，故选：A．10．（5分）某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5），[5，10），…[35，40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）A．B．C．D．【分析】由频率分布直方图可得，[25，30），[30，35）的频率相同，频数为3，即可得出结论．【解答】解：由频率分布直方图可得，[25，30），[30，35）的频率相同，频数为3，故选：B．11．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小【分析】连接BD、AC，假设AD=t，根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e1=，最后根据余弦函数的单调性可判断e1的单调性；同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e2的关系式，最后令e1、e2相乘即可得到e1e2的关系．【解答】解：连接BD，AC设AD=t，则BD==∴双曲线中a=e1=∵y=cosθ在（0，）上单调减，进而可知当θ增大时，y==减小，即e1减小∵AC=BD∴椭圆中CD=2t（1﹣cosθ）=2c∴c'=t（1﹣cosθ）AC+AD=+t，∴a'=（+t）e2==∴e1e2=×=1故选：B．12．（5分）以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足=，则﹣S（）A．2B．4C．1D．﹣1【分析】通过已知条件，写出双曲线方程，结合已知等式及平面几何知识得出点M是△F1PF2的内心，利用三角形面积计算公式计算即可．【解答】解：∵椭圆方程为+=1，∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0），∴双曲线方程为，设点P（x，y），记F1（﹣3，0），F2（3，0），∵=，∴=，整理得：=5，化简得：5x=12y﹣15，又∵，∴5﹣4y2=20，解得：y=或y=（舍），∴P（3，），∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0，∴点M到直线PF1的距离d==1，易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心．故﹣===2，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题∀x∈R，|x|＜0的否定是∃x0∈R，|x0|≥0．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定：∃x0∈R，|x0|≥0．故答案为：∃x0∈R，|x0|≥0．14．（5分）已知双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的3倍，则实数m的值是．【分析】利用双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的3倍，列出方程求解即可．【解答】解：双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的3倍，可得：=3，解得m=．故答案为：．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为6π+8．【分析】x＞0，y＞0时，方程化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，其面积为=+2，根据图象的对称性，可得曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积．【解答】解：x＞0，y＞0时，方程化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，其面积为=+2根据图象的对称性，可得曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为6π+8，故答案为6π+8．16．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）与直线l：y=x+3，且直线l上有唯一的一个点P，使得过点P作圆C的两条切线互相垂直．设EF是直线l上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q，，则的最小值是4+4．【分析】由圆的对称性知直线l上的唯一点P与圆心C（1，0）所在直线必与直线l垂直，求得PC所在直线方程，与直线l求得交点P，再根据对称性可得r=2，由题意，知|EF|取得最小值时，一定关于直线y=﹣x+1对称，画出图形，通过图形观察，当两圆相内切时，求得最小值．【解答】解：根据圆的对称性知直线l上的唯一点P与圆心C（1，0）所在直线必与直线l垂直，则PC所在直线的方程为x+y=1，与直线y=x+3联立求得P（﹣1，2），再根据对称性知过点P（﹣1，2）的两条切线必与坐标轴垂直，r=2；由题意，知|EF|取得最小值时，一定关于直线y=﹣x+1对称，如图所示，因此可设以点P（﹣1，2）为圆心，以R为半径的圆，即（x+1）2+（y﹣2）2=R2与圆C内切时，的最小值即为2R，由相切条件易知2R=2（|CP|+2）=2（2+2）=4+4．故答案为：4+4．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）．（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按收入从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应在月收入为[2500，3000）的人中抽取多少人？【分析】（1）根据频率=小矩形的高×组距来求；（2）根据中位数的左右两边的矩形的面积和相等，所以只需求出从左开始面积和等于0.5的底边横坐标的值即可，运用取中间数乘频率，再求之和，计算可得平均数，求出众数即可；（3）求出月收入在[2500，3000）的人数，用分层抽样的抽取比例乘以人数，可得答案．【解答】解：（1）月收入在[3000，3500）的频率为0.0003×500=0.15；（2）从左数第一组的频率为0.0002×500=0.1；第二组的频率为0.0004×500=0.2；第三组的频率为0.0005×500=0.25；∴中位数位于第三组，设中位数为2000+x，则x×0.0005=0.5﹣0.1﹣0.2=0.2⇒x=400．∴中位数为2400（元）由1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400，样本数据的平均数为2400（元）；众数是：=2250，和=2750；（3）月收入在[2500，3000）的频数为0.25×10000=2500（人），∵抽取的样本容量为100．∴抽取比例为=，∴月收入在[2500，3000）的这段应抽取2500×=25（人）．18．（12分）口袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1，2，3，4，甲、乙、丙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编号分别为a，b，c．（1）在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，求甲、乙两人成为“好朋友”的概率；（2）求抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立的概率．【分析】（1）将甲、乙依次取到小球的编号记为（a，b），利用列出法求出基本事件个数和甲、乙两人成为好朋友包含的情况种数，由此能求出甲、乙两人成为“好朋友”的概率．（2）将甲、乙、丙依次取到小球的编号记为（a，b，c），求出基本事件个数，利用列举法求出丙抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立包含的基本事件个数，由此能求出抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立的概率．【解答】解：（1）将甲、乙依次取到小球的编号记为（a，b），则基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个．记“甲、乙两人成为好朋友”为事件M，则M包含的情况有：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），共4个人，故甲、乙两人成为“好朋友”的概率为P（M）==．（2）将甲、乙、丙依次取到小球的编号记为（a，b，c），则基本事件有n=4×4×4=64个，记“丙抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立”为事件N，当丙抽取的编号c=1时，a+b=4，∴（a，b）分别为（1，3），（2，2），（3，1），当丙抽取的编号c=2时，a+b=2，∴（a，b）为（1，1），当丙抽取的编号c=3或c=4时，方程a+b+2c=6不成立．综上，事件N包含的基本事件有4个，∴．19．（12分）某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据．单价x（万元）88.28.48.88.69销量y（件）908483758068（1）①求线性回归方程y=x+；②谈谈商品定价对市场的影响；（2）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为 4.5元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？（附：=，=﹣，=8.5，=80）【分析】（1）①根据公式求出和的值，求出回归方程即可；②根据b的值判断即可；（2）求出关于w的表达式，结合二次函数的性质求出w的最大值即可．【解答】解：（1）①依题意：==﹣20，=﹣=80+20×8.5=250，∴回归直线的方程为y=﹣20x+250；②由于=﹣20＜0，则x，y负相关，故随定价的增加，销量不断降低．（2）设科研所所得利润为w，设定价为x，∴w=（x﹣4.5）（﹣20x+250）=﹣20x2+340x﹣1125，∴当时，w max=320，故当定价为8.5元时，w取得最大值．20．（12分）已知⊙C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m ﹣4=0．（1）求证：直线l与⊙C恒有两个交点；（2）若直线l与⊙C的两个不同交点分别为A，B．求线段AB中点P的轨迹方程，并求弦AB的最小值．【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，整理直线方程为m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，求出直线2x+y﹣7=0，x+y﹣4=0的交点，判断它在圆内，即可得证；（2）由题意知，设点P（x，y）为弦AB的中点，连接CP，则CP⊥PQ，由平面几何知识可得点P的轨迹方程是以CQ为直径的圆，求得圆心和半径，注意运用中点坐标公式，再由当Q（3，1）是弦AB的中点时，|AB|最小，运用勾股定理即可得到所求值．【解答】解：（1）证明：⊙C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，圆心C（1，2），半径r=5，又直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，化为m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，由解得，则直线l恒过定点Q（3，1），由|CQ|==＜5，可得Q在圆C内，则直线l与⊙C恒有两个交点；（2）由题意知，设点P（x，y）为弦AB的中点，由（1）可知CP⊥PQ，点P的轨迹方程是以CQ为直径的圆，线段CQ的中点为（2，），|CQ|=，则线段AB中点P的轨迹方程为；由圆的几何性质可知，当Q（3，1）是弦AB的中点时，|AB|最小．弦心距，⊙C的半径为5，可得|AB|min=2=4．21．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）是否存在整数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设P（x，y）（x＞0）是曲线C上任意一点，列出方程求解即可．（2）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=λy+m，联立利用韦达定理，结合向量的数量积推出m2﹣6m+1＜4λ2，对任意实数λ，4λ2的最小值为0，转化求解即可得到m的取值范围．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：，化简得y2=4x（x＞0）．（2）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=λy+m，由得y2﹣4λy﹣4m=0，△=16（λ2+m）＞0，于是①，又，②，又，于是不等式②等价于③，由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4λ2④对任意实数λ，4λ2的最小值为0，所以不等式④对于一切π成立等价于m2﹣6m+1＜0，即．由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2，且m的取值范围为．22．（12分）已知椭圆的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为，左右顶点分别为P，Q．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D（m，0）（m∈（﹣2，2），m≠0）作两条射线分别交椭圆C于A，B两点（A，B在长轴PQ同侧），直线AB交长轴于点S（n，0），且有∠ADP=∠BDQ．求证：mn为定值；（3）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C 交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的λ倍，求λ的最大值．【分析】（1）利用椭圆离心率三角形的面积，解得a，b，即可得到椭圆方程．（2）设AB：y=k（x﹣n）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及斜率关系，推出结果即可．（3）设E（x3，y3），F（x4，y4），通过，直线TM方程为：x=t（y﹣1），直线TN：3x﹣ty﹣t=0，联立直线与椭圆方程，求出E，F坐标，求出E到直线TN：3x﹣ty﹣t=0的距离，推出两个三角形的面积，利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）椭圆离心率，又，解得a=2，b=1，∴椭圆．（2）由已知AB必有斜率，设AB：y=k（x﹣n）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立.⇒k（x1﹣n）（x2﹣m）+k（x1﹣m）（x2﹣m）=0⇒2x1x2﹣（m+n）（x1+x2）+2mn=0⇒mn=4．（3）设E（x3，y3），F（x4，y4），因为，直线TM方程为：x=t（y﹣1），直线TN：3x﹣ty﹣t=0，联立，联立，所以E到直线TN：3x﹣ty﹣t=0的距离，，∴，（取等条件），λ的最大值为．本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除。

四川省成都市第七中学2018-2019学年高二上学期半期考试数学(理科)试题含答案

成都七中2018～2019 学年度上期高2020 届数学半期考试试题（理科）（满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.不在曲线上的点的坐标是（）2.抛物线的焦点到准线的距离等于（）3.双曲线的渐近线方程为（）4.直线在x轴上的截距为（）5.直线与坐标轴围成的三角形的周长为（）6.若x,y满足约束条件，则的最小值为（）7.设P为双曲线上任一点，，则以FP为直径的圆与以双曲线实轴长为直径的圆（）相切相交相离内含8.已知P为椭圆上一点，为椭圆焦点，且，则椭圆离心率的范围是（）9.点满足关系式，则点M的轨迹是（）椭圆双曲线双曲线的一支线段10.圆关于直线对称的圆的方程为（）.x2+y2+3y+1=011.设点，直线相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论：①当时，点M的轨迹方程为；x2 9y2②当时，点M的轨迹方程为-=1(x≠±5);25 100③当时，点M的轨迹方程为.其中正确结论的个数为（）0 1 2 312．设A,B,M为椭圆上的三个点，且以AB为直径的圆过原点O，点N在线段AB上，且，则的取值范围是（）⎨⎩二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷横线上)13.双曲线的实轴长为.⎧2x+y-2≥0,14．已知x,y满足约束条件⎪x-2y+4≥0,则的最大值为.⎪3x -y-3≤0.15.直线l过抛物线的焦点F交抛物线于A,B两个点，则1+1= .FA FB16.点为椭圆x 2 y2+ =1上一点，F1,F2为椭圆的两个焦点，则∆F1MF2的内心的轨迹方程为9 5.三、解答题（17题10分，18～22每小题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知圆C的圆心在直线上，并且与x轴的交点分别为.（1）求圆C的方程；（2）若直线l过原点且垂直直线，直线l交圆C于M,N，求的面积.x2 y218.已知双曲线E:-a2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±，焦距为作直线l交双曲线E于A,B 两点，且M为AB的中点.（1）求双曲线E的方程；（2）求直线l的方程.19.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t，生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t，现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种肥料，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元，生产1车皮乙种肥料，产生的肥料为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？20.已知圆P 过.（1）求圆P 的方程；（2）若过点的直线l 被圆P 所截得的弦长为8，求直线l 的方程.21.从抛物线上各点向x 轴作垂线，垂线段中点的轨迹为E .（1）求曲线E 的方程;（2）若直线与曲线E 相交于A ,B 两点，求证：OA ⊥OB ；（3）若点F 为曲线E 的焦点，过点Q (2,0)的直线与曲线E 交于M ,N 两点，直线MF ,NF 分别与曲线E 交于C ,D 两点，设直线MN ,CD 的斜率分别为k 1,k 2 ，求k 2 的值.k 122.已知椭圆的离心率为，短轴长为4，直线AB 过原点O 交椭圆于A ,B ，，直线AP ,BP 分别交椭圆于C ,D ，且直线AD ,BC交于点M ，图中所有直线的斜率都存在.（1）求椭圆方程；（2）求证：;（3）求的值.成都七中2018～2019 学年度上期高2020届数学半期考试（理科）参考答案一、选择题（共12题，每题5分，共60分）二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13.814.1315. 116.x 2 5y 2+ =1(y ≠0)4 4三、解答题17.解：（1）线段AB 的中垂线方程为：,由，得,∴圆心C 为 ,又半径,∴圆C 的方程为.……5分（2）直线l 的方程为：,所以点C 到直线l 的距离为：，∴，∴. ……10分b18.解：（1）由已知得= a2，2c =2 3，解得a =1,b =2.∴双曲线E 的方程为.……4分（2）设直线l 方程为:，，.由，得……6分∴…①……8分∴，由为AB的中点，得，解得，适合①……10分∴直线l的方程为，即……12分说明：学生也可以用点差法求解，如果没有检验∆>0的学生，扣1分.19.解：设生产甲种肥料x车皮，乙种肥料y车皮，能够产生利润z万元，目标函数为,其中x，y满足以下条件：……4分可行域如右图：……6分把变形为，……8分得到斜率为，在y轴上的截距为2z，随z变化的一族平行直线，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大，联立方程得.……10分∴……11分答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元.……12分20.解：（1）设圆P的方程为：.∵A,B,C都在圆上,∴, 解得.∴所求圆P的方程为.……6分（2）由，知圆心，半径，如右图，由直线l被圆p截得的弦长为8，得圆心距……8分当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为：,即,∴圆心P到直线l距离，化简得，则.∴直线l方程为：，即.……10分当直线轴时，直线l方程为，代入圆方程得，解得，，∴弦长仍为8,满足题意.……11分综上，直线l的方程为,或.……12分21.解：（1）令抛物线上一点,设.由已知得,∵满足，∴,则，即.∴曲线E的方程为：.……4分（2）由，可得，设，由于∆=122 -4⨯16>0,由韦达定理可知：，，∴，∴OA⊥OB.……8分22.解：（1）由2b=4，得b=2.由e=，得，解得.∴椭圆的方程为.……3分（2）设，则.∴由得：,即，，即. ……7分（3）设,由（2）知,又,,∴,∴…③同理,又, ,∴,∴…④由化简得：,∴，即.……12分。

2017-2018学年四川省成都市第七中学高二数学上半期考试(理)试题

中点到y 轴的距离为（
椭圆的方程
四川省成都市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考
试数学（理）试题第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的 1.拋物线y =4x 2的准线方程是（ A . x =1 C . y = _1 1 D .目二… 16 2. “ a =3 ”是“直线 2 _3g=8相切”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设双曲线 2 X 2 a 2 y 1 a 9 .0的渐近线方程为 3x _2y =0，贝y a 的值为（） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4.圆 A : x 2
「2x =0 禾口圆 B : x -y 2 _4y =0的位置关系是 A.相离
B.相交
C.外切
D.内切 5.已知F 是拋物线y =x 的焦点, A, B 是该拋物线上的两点,
=3 ,贝熾段AB 的 x
6•设椭圆 m
=1 m >0, n 0的右焦点与拋物线 1 y 2 =8x 的焦点相同，离心率为 -，则此 2 2 2 x y A . 1 1 2 16 2 2 x y 1 1 6 1 2 2 2 x y 1 48 64 7.在同一坐标系中，方程 2 2 2 2 x 亠ny =1与mx 亠ny =0 m .n . 0的曲线大致是（
2 2 x y D . 1 64 48。

四川省成都七中2015-2016学年高二上学期10月阶段性考试数学(理)试卷

成都七中2015-2016学年高二上学期10月阶段性考试数学（理科）试卷考试时间：120分钟总分：150分一选择月（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把答案填在答题卡上．）1、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A ．9πB．10π C ．11πD．12π2、过不重合的A（m2＋2，m2一3），B（3一m一m2，2m）两点的直线l倾斜角为450，则m的取值为（）A．m＝一1 B．m＝一2 C．m＝一1或2 D．m＝l或m＝－23、利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形。

②平行四边形的直观图是平行四边形。

③正方形的直观图是正方形。

④菱形的直观图是菱形。

以上结论，正确的是（）A．①②B．①④C．③④D．①②③④4、若直线l沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位后，回到原来位置，则直线l的斜率为（）A．13B、一13C、一3 D．35、己知圆C1：x2十y2＋2x＋8y一8＝0，圆C2：x2十y2－4x－4y一2＝0，圆C1与圆C2的位置关系为（）A．外切B．内切C．相交D．相离6、己知变量x，y满足约束条件，则z＝3x十y的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．一l7、己知点A（l，3），B（3，l），C（一1，0），则△ABC的面积为（）A．5 B．10C D．78、若圆x2十y2一4x一4y一10＝0上至少有三个不同的点，到直线l：y＝x＋b的距离为，则b取值范围为（）A．（一2，2）B．［一2，2］C．［0，2］D．［一2，2）9、若直线a x 十2by 一2＝0（a ＞0，b ＞0）始终平分圆x 2十y 2一4x 一2y 一8＝0的周长，则12a b+的最小值为（）A ．1B ．5C ．D ．3＋10、己知函数f （x ）＝（x 一l ）（log 3a ）2一6（log 3a ）x ＋x ＋l 在x ∈0，l ］内恒为正值，则a 的取值范围是（）A 一1＜a ＜13B 、a ＜13C 、aD ·13＜a 11、平面上到定点A （l ，2）距离为1且到定点B （5，5）距离为d 的直线共有4条，则d 的取值范是（）A ．（0，4）B ．（2，4）C ．（2，6）D ．（4，6）12、实数a ，b 满足这三个条件，则｜a 一b 一6｜的范围是（）A ．［2，4＋B ．［32，7］C ．［32，4＋］ D ．［4－2，7］二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在答题卡的横线上．）13、长、宽、高分别为3，4，5的长方体，沿相邻面对角线截取一个三棱锥（如图），剩下几何体的体积为。

成都市高二上学期期中数学试卷(理科)(II)卷

成都市高二上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·福田期中) 设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高一上·广州月考) 函数y＝5－|x|的图象是（）A .B .C .D .3. （2分）已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=2+，则下列结论正确的是（）A . =+2﹣2B . =﹣2﹣+3C . =2+﹣3D . =2+﹣24. （2分）三棱锥S—ABC中，SA⊥底面ABC ， SA=4，AB=3，D为AB的中点∠ABC=90°，则点D到面SBC 的距离等于（）A .B .C .D .5. （2分）双曲线x2﹣y2=1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是（）A . （﹣∞，0）B . （1，+∞）C . （﹣∞，0）∪（1，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）6. （2分）若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（）．A . 若m∥α，n∥α，则m∥B . 若m∥n，m⊥α，则n⊥αC . 若m∥β，α∥β，则m∥αD . 若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥α7. （2分）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心在（）A . 一个椭圆上B . 一条抛物线上C . 双曲线的一支上D . 一个圆上9. （2分）(2014·四川理) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A . [ ，1]B . [ ，1]C . [ ， ]D . [ ，1]10. （2分）如图，直线l⊥平面α，垂足为O，已知边长为2的等边三角形ABC在空间做符合以下条件的自由运动：①A∈l，②C∈α，则B，O两点间的最大距离为（）A . 1+B . 2+C . 1+D . 2+11. （2分）(2018·佛山模拟) 已知分别为双曲线的左顶点、右焦点以及右支上的动点,若恒成立，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D .12. （2分） (2019高二下·富阳月考) 已知双曲线的左、右焦点分别为， .过右焦点作双曲线其中一条渐近线的垂线，垂足为，连接 .若，则该双曲线的离心率为（）A . 3B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二上·和平期末) 已知点A（4，1，3），B（6，3，2），且，则点C的坐标为________．14. （1分） (2016高二下·芒市期中) 已知抛物线y2=4x与直线2x+y﹣4=0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么 =________．15. （1分） (2015高二上·太和期末) 命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为________．16. （1分）(2018·沈阳模拟) 已知向量，，且与垂直，则x的值为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2017高二下·新余期末) 已知双曲线方程为16x2﹣9y2=144．（1）求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率；（2）若抛物线C的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其左顶点，求抛物线C的方程．18. （10分） (2017高二上·河南月考) 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形.（1）求证：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值.19. （10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ= ，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．（1）求曲线C′的普通方程；（2）设点M的直角坐标为（﹣2，0），直线l与曲线C′的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．20. （10分）已知圆锥曲线（为参数）和定点， F1 、 F2 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线 AF2 的直角坐标方程；（2）经过点 F1 且与直线AF2 垂直的直线 l 交此圆锥曲线于M,N 两点，求||MF1|-|NF1|| 的值．21. （5分） (2016高三上·平阳期中) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90℃，BC=2AD，△PAB与△PAD 都是等边三角形，平面ABCD⊥平面PBD．（I）证明：CD⊥平面PBD；（II）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．22. （10分） (2015高二上·船营期末) 已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD 为直径的圆过E点？请说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。

易错汇总年四川省成都七中高二上学期数学期中试卷带答案(理科)

，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（
）
A． B．
C． 4 D．
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．（ 5 分）命题 p：? x∈R，| x| ＜ 0 的否定是
．
14．（ 5 分）过点 A（4，1）的圆 C 与直线 x﹣y=1 相切于点 B（2，1），则圆 C 的
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方程为
．
15．（ 5 分）点 F 为双曲线 C：
=1（ a＞ 0， b＞0）的右焦点，以 F 为圆心
的圆过坐标原点 O，且与双曲线 C 的两渐近线分别交于 A、B 两点，若四边形 OAFB
是菱形，则双曲线 C 的离心率为
．
16．（ 5 分） Rt△ ABC中，斜边 BC 为 6，以 BC的中点 O 为圆心，作半径为 2 的
∵椭圆
，（ 0＜ m＜3）
∴ a=3， ∴四边形 AF1CF2 的周长为 12．故选： D．
10．（ 5 分）设直线 l：mx+（ m﹣1）y﹣1=0（m∈ R），圆 C：（ x﹣ 1） 2+y2=4，则
下列说法中正确的是（
）
A．直线 l 与圆 C 有可能无公共点
B．若直线 l 的一个方向向量为 =（1，﹣ 2），则 m=﹣1
）
A． B． C． D．【解答】解：满足等式（ x﹣ 2） 2+y2=3 的图形如下图所示：
表示圆上动点与原点 O 连线的斜率，
由图可得动点与 B 重合时，此时 OB 与圆相切，取最大值，连接 BC，在 Rt△OBC中， BC= ，OC=2，易得∠ BOC=6°0，
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4．（5 分）圆 O1：x2+y2﹣2x=0 和圆 O2：x2+y2﹣4y=0 的位置关系是（

四川省成都七中高二上学期期末数学模拟试卷(理科)(一)

2015-2016学年四川省成都七中高二（上）期末数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，532．执行如图的框图，第3次和最后一次输出的A的值是（）A．7，9 B．5，11 C．7，11 D．5，93．对于线性回归方程，下列说法中不正确的是（）A．直线必经过点B．x增加一个单位时，y平均增加个单位C．样本数据中x=0时，可能有D．样本数据中x=0时，一定有4．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①；②∠BAC=60°；③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④5．若A、B两点的坐标分别是A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），则||的取值范围是（）A．B．C．（1，5）D．6．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H．若AE=3，BF=4，CG=5，则DH等于（）A．6 B．5 C．4 D．37．已知直线l的倾斜角为α，且60°＜α≤135°，则直线l斜率的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知：，求z=x2+y2最小值为（）A．13 B．C．1 D．9．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2=1 B．（x﹣2）2+（y+2）2=1 C．（x+2）2+（y+2）2=1 D．（x﹣2）2+（y﹣2）2=110．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣811．两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条12．已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．6 C．4D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案直接写在题中横线上.13．在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．已知成绩在频数8 20 42 22 8B配方的频数分布表指标值分组频数 4 12 42 32 10（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．19．如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，其中AB=3，PA=4，若在线段PD上存在点E 使得BE⊥CE，求线段AD的取值范围，并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时，二面角E﹣BC﹣A正切值的大小．20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．21．设圆C1的方程为（x+2）2+（y﹣3m﹣2）2=4m2，直线l的方程为y=x+m+2．（1）若m=1，求圆C1上的点到直线l距离的最小值；（2）求C1关于l对称的圆C2的方程；（3）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．22．随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．如图是其中一个抽象派雕塑的设计图．图中α表示水平地面，线段AB表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD与AC异面．（1）若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料，求BD与α应成的角；（2）设计师想在AB，CD中点M，N处再焊接一根连接管，然后挂一个与AC，BD同时平行的平面板装饰物．但他担心此设计不一定能实现．请你替他打消疑虑：无论AB，CD多长，焊接角度怎样，一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行（即证明向量与，共面，写出证明过程）；（3）如果事先能收集确定的材料只有AC=BD=24，请替设计师打消另一个疑虑：即MN要准备多长不用视AB，CD长度而定，只与θ有关（θ为设计的BD与α所成的角），写出MN与θ的关系式，并帮他算出无论如何设计MN都一定够用的长度．2015-2016学年四川省成都七中高二（上）期末数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】计算题．【分析】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．【解答】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值： =46．众数是45，极差为：68﹣12=56．故选：A．【点评】本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．2．执行如图的框图，第3次和最后一次输出的A的值是（）A．7，9 B．5，11 C．7，11 D．5，9【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；转化思想；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环输出的A的值，当S=6时满足条件S＞5，退出循环，观察即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得A=1，S=1输出A的值为1，S=2，不满足条件S＞5，A=3输出A的值为3，S=3，不满足条件S＞5，A=5输出A的值为5，S=4，不满足条件S＞5，A=7输出A的值为7，S=5，不满足条件S＞5，A=9输出A的值为9，S=6，满足条件S＞5，退出循环，结束．故第3次和最后一次输出的A的值是5，9．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，根据S的值判断退出循环前输出的A的值是解题的关键，属于基础题．3．对于线性回归方程，下列说法中不正确的是（）A．直线必经过点B．x增加一个单位时，y平均增加个单位C．样本数据中x=0时，可能有D．样本数据中x=0时，一定有【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】线性回归方程中，直线必过点，x增加一个单位时，y平均增加个单位，样本数据中x=0时，可能有，也可能有．【解答】解：线性回归方程一定过点，故A正确；线性回归方程中，x增加一个单位时，y平均增加个单位，故B正确；线性回归方程中，样本数据中x=0时，可能有，也可能有，故C正确，D不正确．故选D．【点评】本题考查线性回归方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概念．4．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①；②∠BAC=60°；③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【考点】棱锥的结构特征；向量的数量积判断向量的共线与垂直．【专题】常规题型．【分析】①由折叠的原理，可知BD⊥平面ADC，可推知BD⊥AC，数量积为零，②因为折叠后AB=AC=BC，三角形为等边三角形，所以∠BAC=60°；③又因为DA=DB=DC，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC和平面ABC不垂直．【解答】解：B D⊥平面ADC，⇒BD⊥AC，①错；AB=AC=BC，②对；DA=DB=DC，结合②，③对④错．故选B．【点评】本题是一道折叠题，主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．5．若A、B两点的坐标分别是A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），则||的取值范围是（）A．B．C．（1，5）D．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【专题】三角函数的图像与性质；空间向量及应用．【分析】根据两点间的距离公式，结合三角函数的恒等变换，求出||的取值范围．【解答】解：∵A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），∴=（3cosa﹣2cosb）2+（3sina﹣2sinb）2+（1﹣1）2=9+4﹣12（cosacosb+sinasinb）=13﹣12cos（a﹣b）；∵﹣1≤cos（a﹣b）≤1，∴1≤13﹣12cos（a﹣b）≤25，∴||的取值范围是．故选：B．【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换与应用问题，是基础题目．6．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H．若AE=3，BF=4，CG=5，则DH等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】棱柱的结构特征．【专题】计算题．【分析】如图，过F点作CC1的垂线，过E点作DD1的垂线，垂足分别为N，M．由于平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H．得出四边形EFGH是平行四边形，从而有FG EH，再结合△GFN≌△HEM，即可得出DH的长．【解答】解：如图，过F点作CC1的垂线，过E点作DD1的垂线，垂足分别为N，M．由于平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H．∴四边形EFGH是平行四边形，∴FG EH，又FN EM，∴△GFN≌△HEM，∴GN=HM，而GN=CG﹣CN=CG﹣BF=5﹣4=1，∴HM=1，∴DH=DM+HM=AE+HM=3+1=4．故选C．【点评】本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形全等等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．7．已知直线l的倾斜角为α，且60°＜α≤135°，则直线l斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线的斜率．【专题】计算题；转化思想；分析法；直线与圆．【分析】直接利用直线倾斜角的范围求得其正切值的范围得答案．【解答】解：∵60°＜α≤135°，∴tanα或tanα≤﹣1，又α为直线l的倾斜角，∴k∈（﹣∞，﹣1]∪（）．故选：C．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角和斜率的关系，是基础题．8．已知：，求z=x2+y2最小值为（）A．13 B．C．1 D．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出可行域，则Z表示可行域内得点到原点的距离的平方．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由图可知原点到可行域内点的最小距离为原点到直线2x+y﹣2=0的距离d=．∴z=x2+y2最小值为（）2=．故选：B．【点评】本题考查了简单的线性规划，根据z的几何意义寻找最小距离是关键．9．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2=1 B．（x﹣2）2+（y+2）2=1 C．（x+2）2+（y+2）2=1 D．（x﹣2）2+（y﹣2）2=1【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【专题】计算题．【分析】求出圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1的圆心坐标，关于直线x﹣y﹣1=0对称的圆心坐标求出，即可得到圆C2的方程．【解答】解：圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1的圆心坐标（﹣1，1），关于直线x﹣y﹣1=0对称的圆心坐标为（2，﹣2）所求的圆C2的方程为：（x﹣2）2+（y+2）2=1故选B【点评】本题是基础题，考查点关于直线对称的圆的方程的求法，考查计算能力，注意对称点的坐标的求法是本题的关键．10．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d==．再由弦长公式可得 2﹣a=2+4，∴a=﹣4，故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．11．两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】圆的切线方程．【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2两圆圆心距离：，说明两圆相交，因而公切线只有两条．故选B．【点评】本题考查圆的切线方程，两圆的位置关系，是基础题．12．已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．6 C．4D．2【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6．故选：B．【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案直接写在题中横线上.13．在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．已知成绩在频数8 20 42 22 8B配方的频数分布表指标值分组频数 4 12 42 32 10（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（1）由试验结果先求出用A配方生产的产品中优质品的频率和用B配方生产的产品中优质品的频率，由此能分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率．（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94．由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96．由此能求出用B配方生产的产品平均一件的利润．【解答】解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为=0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94．由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96．所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96．用B配方生产的产品平均一件的利润为×=2.68（元）．【点评】本题考查产品的优质品率的求法，考查产品平均一件的利润的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频数分布表的合理运用．19．如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，其中AB=3，PA=4，若在线段PD上存在点E 使得BE⊥CE，求线段AD的取值范围，并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时，二面角E﹣BC﹣A正切值的大小．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】计算题；证明题；空间角．【分析】根据题意，以BC为直径的球与线段PD有交点，因此设BC的中点为O（即球心），取AD的中点M，连接OM，作ME⊥PD于点E，连接OE．要使以BC为直径的球与PD有交点，只要OE≤OC即可，设OC=OB=R，算出ME=，从而得到OE2=9+≤R2，解此不等式得R≥2，所以AD的取值范围[4，+∞）．最后根据AD=4时，点E在线段PD上惟一存在，结合二面角平面角的定义和题中数据，易得此时二面角E﹣BC﹣A 正切值．【解答】解：若以BC为直径的球面与线段PD有交点E，由于点E与BC确定的平面与球的截面是一个大圆，则必有BE⊥CE，因此问题转化为以BC为直径的球与线段PD有交点．设BC的中点为O（即球心），再取AD的中点M，∵AB⊥AD，AB⊥AP，AP∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∵矩形ABCD中，O、M是对边中点的连线∴OM∥AB，可得OM⊥平面PAD，作ME⊥PD交PD于点E，连接OE，则OE⊥PD，所以OE即为点O到直线PD的距离，又∵OD＞OC，OP＞OA＞OB，点P，D在球O外，∴要使以BC为直径的球与线段PD有交点，只要使OE≤O C（设OC=OB=R）即可．由于△DEM∽△DAP，可求得ME=，∴OE2=9+ME2=9+令OE2≤R2，即9+≤R2，解之得R≥2；∴AD=2R≥4，得AD的取值范围[4，+∞），当且仅当AD=4时，点E在线段PD上惟一存在，此时作EH∥PA交AD于H，再作HK⊥BC于K，连接EK，可得BC⊥平面EHK，∠EKH即为二面角E﹣BC﹣A的平面角∵以BC为直径的球半径R==OE，∴ME==，由此可得ED==3，所以EH===∵PA⊥平面ABCD，EH∥PA，∴EH⊥平面ABCD，得EH⊥HK∵Rt△EHK中，HK=AB=3，∴tan∠EKH==即二面角E﹣BC﹣A的平面角正切值为．【点评】本题给出特殊四棱锥，探索空间两条直线相互垂直的问题，并求二面角的正切值，着重考查了空间垂直位置关系的证明和二面角平面角的作法，以及求二面角大小等知识点，属于中档题．20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．【考点】恒过定点的直线；基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，直线l过定点（﹣2，1）．（2）要使直线l不经过第四象限，则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数，解出k 的取值范围．（3）先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值．【解答】解：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，故无论k取何值，直线l总过定点（﹣2，1）．（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是k≥0．（3）依题意，直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为1+2k，∴A（﹣，0），B（0，1+2k），又﹣＜0且1+2k＞0，∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）=（4k++4）≥（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时，取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0．【点评】本题考查直线过定点问题，直线在坐标系中的位置，以及基本不等式的应用（注意检验等号成立的条件）．21．设圆C1的方程为（x+2）2+（y﹣3m﹣2）2=4m2，直线l的方程为y=x+m+2．（1）若m=1，求圆C1上的点到直线l距离的最小值；（2）求C1关于l对称的圆C2的方程；（3）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．【考点】直线与圆的位置关系；关于点、直线对称的圆的方程．【专题】综合题．【分析】（1）把m=1代入圆的方程和直线l的方程，分别确定出解析式，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，发现d大于半径r，故直线与圆的位置关系是相离，则圆上的点到直线l距离的最小值为d﹣r，求出值即可；（2）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（3）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线x﹣2y=0上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，综上，得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．【解答】解：（1）∵m=1，∴圆C1的方程为（x+2）2+（y﹣5）2=4，直线l的方程为x﹣y+3=0，所以圆心（﹣2，5）到直线l距离为：，所以圆C1上的点到直线l距离的最小值为；（4分）（2）圆C1的圆心为C1（﹣2，3m+2），设C1关于直线l对称点为C2（a，b），则解得：，∴圆C2的方程为（x﹣2m）2+（y﹣m）2=4m2；（3）由消去m得a﹣2b=0，即圆C2的圆心在定直线x﹣2y=0上．（9分）①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，则，即（﹣4k﹣3）m2+2（2k﹣1）bm+b2=0，∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，所以有：解之得：，所以C2所表示的一系列圆的公切线方程为：，故所求圆的公切线为x=0或．（14分）【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（3）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．22．随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．如图是其中一个抽象派雕塑的设计图．图中α表示水平地面，线段AB表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD与AC异面．（1）若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料，求BD与α应成的角；（2）设计师想在AB，CD中点M，N处再焊接一根连接管，然后挂一个与AC，BD同时平行的平面板装饰物．但他担心此设计不一定能实现．请你替他打消疑虑：无论AB，CD多长，焊接角度怎样，一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行（即证明向量与，共面，写出证明过程）；（3）如果事先能收集确定的材料只有AC=BD=24，请替设计师打消另一个疑虑：即MN要准备多长不用视AB，CD长度而定，只与θ有关（θ为设计的BD与α所成的角），写出MN与θ的关系式，并帮他算出无论如何设计MN都一定够用的长度．【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定．【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离．【分析】（1）作出BD在α内的射影，根据勾股定理求出D到平面α的距离，即可求出线面角的大小；（2）使用表示出，即可证明与，共面；（3）对（2）中的结论两边平方，得出MN的长度表达式，根据θ的范围求出MN的最大值．【解答】解：（1）设D在α上的射影为H，∵AC⊥α，DH⊥α，∴AC∥DH，∴AC，DH共面，∴过D作DK⊥AC于K，则AHDK为矩形，∴DK=AH．设DH=h，则（AC﹣h）2+AH2=CD2，①∵BD⊥AB，AB⊥DH，∴BH⊥AB，∴AH2=AB2+BH2=AB2+（BD2﹣h2）②将②代入①，得：（24﹣h）2+72+（242﹣h2）=252，解得h=12，于是，∴∠DBH=30°，即BD与α所成的是30°．（2）解：∵，，∴2==．∴共面．∴一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行．（3）由（2）得=，∴=++=++cos（）=288（1+sinθ）．∴MN==12．（θ∈[0，））．∴12≤MN＜24．∴当MN大于或大于24米时一定够用．【点评】本题考查了线面垂直的性质，直线共面的判断，向量法在几何中的应用，属于中档题．。

四川省成都市第七中学(高新校区)2016-2017学年高二上学期期末复习综合测试数学(理)试题

高二上期期末复习综合试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ) A 。

抽签法 B.系统抽样法 C.分层抽样法 D 。

随机数法答案 C2．若直线过点(1,1),(2,13)+则此直线的倾斜角是（ C ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 3. 命题“2,0x R x ∀∈>”的否定是（ D ）A ．2,0x R x ∀∈≤B ．2,0x R x ∃∈>C ．2,0x R x ∃∈<D ．2,0x R x ∃∈≤4．下列四个命题中的真命题是（ D ) A ．经过定点()000,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示;B ．经过任意两个不同点()111,P x y 、()222,P x y 的直线都可以用方程()()()()112121y y x x y y x x --=-- 表示;C ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b +=表示；D ．斜率存在且不为0,过点(,0)n 的直线都可以用方程x my n =+表示 5．“直线l 1：ax +03)1(=--y a 与直线l2：02)32()1(=-++-y a x a 互相垂直”是“3a =-"的（ B ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6。

已知点()M ,x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则1y z x =+的取值范围是（ C )A ．[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ B ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．执行下面的程序框图，若输入的a ,b ,k 分别为1，2,3，则输出的M 等于（ )A.错误!B.错误!C.错误!D.错误! 答案 D8. 一名小学生的年龄和身高（单位：cm ）的数据如下：年龄x6789身高y118126136144由散点图可知，身高y 与年龄x 之间的线性回归直线方程为ˆˆ8.8yx a =+，预测该学生10岁时的身高为( B ） (A) 154 （B) 153 （C ） 152 （D ） 1519。

四川省成都七中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) 含解析

2015—2016学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．直线y=﹣x+2的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．l1,l2,l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2,l3共面D．l1，l2,l3共点⇒l1,l2，l3共面3．求经过圆x2+2x+y2=0的圆心G，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣1=0 D．x+y+1=04．圆（x﹣4）2+y2=9和圆x2+（y﹣3）2=4的公切线有( ）A．1条B．2条 C．3条 D．4条5．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0,若L1∥L2，则a的值为( ）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣26．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（)A．B．C． D．7．若点（5，b）在两条平行直线6x﹣8y+1=0与3x﹣4y+5=0之间，则整数b的值为( )A．5 B．﹣5 C．4 D．﹣48．过点P（﹣1，0）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2)2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C,则过A、B、C 的圆方程是( )A．x2+（y﹣1）2=2 B．x2+（y﹣1)2=1 C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+y2=19．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD,SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）(1）EP⊥AC；（2)EP∥BD；（3)EP∥面SBD；（4）EP⊥面SAC．A．1个B．2个 C．3个 D．4个10．二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（）A．1 B．C．2 D．11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．12．在直角△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D 为AC中点（左图），将∠ABD沿BD折起，使得AB ⊥CD（右图)，则二面角A﹣BD﹣C的余弦值为( ）A．﹣ B． C．﹣D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是．14．一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为．15．已知直线l过点P（2，1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为．16．关于图中的正方体ABCD﹣A1B1C1D1,下列说法正确的有: ．①P点在线段BD上运动，棱锥P﹣AB1D1体积不变；②P点在线段BD上运动，直线AP与平面A1B1C1D1平行;③一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；④一个平面α截此正方体,如果截面是四边形，则必为平行四边形；⑤平面α截正方体得到一个六边形（如图所示）,则截面α在平面AB1D1与平面BDC1间平行移动时此六边形周长先增大，后减小．三、解答题：本大题共6小题，合计70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E,F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：平面CBC1⊥平面EAD．18．直线3x﹣4y+12=0与坐标轴的交点是圆C一条直径的两端点（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ)圆C的弦AB长度为且过点（1，）,求弦AB 所在直线的方程．19．如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点．（1）求证:B1C∥平面A1DB;（2）求直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD，AB=BC=1,O为AD 中点．（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值．（2）求B点到平面PCD的距离．（3）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣AC ﹣D的余弦值为？若存在,求出的值;若不存在，请说明理由．21．已知⊙C：x2+(y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；(2)求弦AB中点M轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线？（3）若定点P（1，1)分弦AB为,求l方程．22．点P到A（﹣2，0）的距离是点P到B(1,0)的距离的2倍．(Ⅰ）求点P的轨迹方程;（Ⅱ)点P与点Q关于点(2，1）对称,点C(3，0），求|QA|2+｜QC｜2的最大值和最小值．(Ⅲ）若过A的直线从左向右依次交第（II)问中Q的轨迹于不同两点E，F，=λ,判断λ的取值范围并证明．2015-2016学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．直线y=﹣x+2的倾斜角是( )A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的方程求得直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求得它的倾斜角即可．【解答】解：由于直线y=﹣x+2，设倾斜角为θ，则tanθ=﹣,θ=120°,故选：C．2．l1,l2,l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1,l2，l3共面D．l1,l2,l3共点⇒l1，l2，l3共面【考点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．【解答】解：对于A,通过常见的图形正方体,从同一个顶点出发的三条棱两两垂直,A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1,l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行,但不共面，故C 错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点,但不共面，故D错．故选B．3．求经过圆x2+2x+y2=0的圆心G，且与直线x+y=0垂直的直线方程是( ）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣1=0 D．x+y+1=0【考点】圆的一般方程．【分析】将圆的方程x2+2x+y2=0可化为，（x+1）2+y2=1求其圆心G（﹣1，0），根据直线垂直的斜率关系,求出与直线x+y=0垂直的直线的斜率为1，根据点斜式即可写出所求直线方程．【解答】解：圆的方程x2+2x+y2=0可化为，（x+1）2+y2=1∴圆心G(﹣1，0）,∵直线x+y=0的斜率为﹣1，∴与直线x+y=0垂直的直线的斜率为1，∴由点斜式方程可知，所求直线方程为y=x+1，即x ﹣y+1=0，故选：A．4．圆（x﹣4）2+y2=9和圆x2+（y﹣3)2=4的公切线有( )A．1条B．2条 C．3条 D．4条【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出两圆的圆心和半径,根据两圆的圆心距小于半径之和，可得两圆相交,由此可得两圆的公切线的条数．【解答】解：圆（x﹣4）2+y2=9,表示以(4，0)为圆心,半径等于3的圆．圆x2+（y﹣3）2=4，表示以（0，3）为圆心，半径等于2的圆．两圆的圆心距等于=5=2+3,两圆相外切,故两圆的公切线的条数为3，故选：C．5．直线L1:ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1)y+1=0，若L1∥L2,则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2【考点】两条直线平行的判定;两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【分析】由题意可知直线L1：ax+3y+1=0,斜率存在，直线L2：2x+（a+1）y+1=0，斜率相等求出a的值．【解答】解：直线L1：ax+3y+1=0的斜率为：,直线L1∥L2，所以L2：2x+（a+1）y+1=0的斜率为：所以=；解得a=﹣3，a=2（舍去）故选A．6．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心,E、F分别是CC1、AD的中点,那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．B．C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解:取BC的中点G．连接GC1∥FD1，再取GC的中点H,连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE=,HE=,OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH=．故选B．7．若点（5，b）在两条平行直线6x﹣8y+1=0与3x﹣4y+5=0之间，则整数b的值为( ）A．5 B．﹣5 C．4 D．﹣4【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系;两条平行直线间的距离．【分析】先用待定系数法求出过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程，再利用直线在y轴上的截距大于且小于，求出整数b的值．【解答】解：设过点（5,b)且与两直线平行的直线的方程为3x﹣4y+c=0，把点（5，b）代入直线的方程解得c=4b﹣15，∴过点(5，b）且与两直线平行的直线的方程为3x﹣4y+4b﹣15=0，由题意知，直线在y轴上的截距满足：＜＜，∴＜b＜5，又b是整数，∴b=4．故选C．8．过点P（﹣1，0)作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）A．x2+(y﹣1）2=2 B．x2+（y﹣1）2=1 C．(x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1)2+y2=1【考点】圆的标准方程．【分析】根据切线的性质可知PA垂直于CA，PB垂直于CB，所以过A、B、C三点的圆即为四边形PACB 的外接圆，且线段AC为外接圆的直径,所以根据中点坐标公式求出外接圆的圆心,根据两点间的距离公式即可求出圆的半径，根据求出的圆心坐标与圆的半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，得到圆心C（1，2）,又P(﹣1,0）则所求圆的圆心坐标为（,)即为(0，1），圆的半径r==,所以过A、B、C的圆方程为：x2+（y﹣1）2=2．故选A9．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）（1）EP⊥AC；（2）EP∥BD；（3）EP∥面SBD；（4）EP⊥面SAC．A．1个B．2个 C．3个 D．4个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM,EN．（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，进而得到SO⊥AC．可得AC⊥平面SBD．由已知E，M,N分别是BC,CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EM∥BD，MN ∥SD，于是平面EMN∥平面SBD,进而得到AC⊥平面EMN,AC⊥EP．（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EP∥BD；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP ∥平面SBD；(4）由（1）同理可得:EM⊥平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．【解答】解:如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD,∵E，M，N分别是BC,CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N,∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC ⊥EP．故正确．（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD,因此不正确；(3）由(1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC,若EP⊥平面SAC，则EP∥EM,与EP∩EM=E相矛盾，因此当P 与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．综上可知：只有（1）(3）正确．即四个结论中恒成立的个数是2．故选B．10．二面角α﹣l﹣β为60°,A、B是棱上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内,AC⊥l，BD⊥l且AB=AC=1,BD=2,则CD的长为( ）A．1 B．C．2 D．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】由题设条件，结合向量法求出CD的长．【解答】解:如图，∵在一个60°的二面角的棱上,有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，AB=AC=1，BD=2,∴，＜＞=120°，∴==1+1+4+2×1×2×cos120°=4．∴|CD｜=．故选：C．11．在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化圆C的方程为（x﹣4)2+y2=1，求出圆心与半径，由题意，只需（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．【解答】解:∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得:（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0)为圆心，1为半径的圆;又直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C(4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选A．12．在直角△ABC中，∠ACB=30°,∠B=90°，D为AC中点（左图），将∠ABD沿BD折起,使得AB⊥CD （右图)，则二面角A﹣BD﹣C的余弦值为（）A．﹣ B． C．﹣D．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】由（1)的证明可得∠A′EF为二面角A﹣BD ﹣C的平面角．过A作AO⊥面BCD，垂足为O．由于面AEF⊥面BCD,所以O在FE上，连BO交CD延长线于M,从而当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理得BM⊥CM,由此可求得cos∠AEO=,利用互补得出二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．【解答】解：过A作AE⊥BD,在原图延长角BC与F，过A作AO⊥面BCD，垂足为O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上,连BO交CD延长线于M，∵在△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC 中点，AB=，BD=AC，∴△ABD为等边三角形,∴BD⊥AE，BD⊥EF，∴∠AEF为二面角A﹣BD﹣C的平面角，过A作AO⊥面BCD，垂足为O，∵面AEF⊥面BCD，∴O在EF上，理解BO交CD延长线于M，当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理可知:MB⊥CM，∴O为翻折之前的三角形ABD的中心，∴OE=AE，cos∠AEO=,∴cos∠AEF=,故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．已知直线y=（3a﹣1）x﹣1,为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是．【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】由于给出的直线恒过定点(0，﹣1）所以直线的斜率确定了直线的具体位置，由斜率大于0可求解a的范围．【解答】解:因为直线y=（3a﹣1)x﹣1过定点（0,﹣1）,若直线y=(3a﹣1）x﹣1经过第一、三、四象限，则其斜率大于0，即3a﹣1＞0，所以a＞．故答案为a．14．一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是两个正四棱锥的组合体，根据图中数据求出它的表面积．【解答】解:根据几何体的三视图，得；该几何体是上部为四棱锥，下部也为四棱锥的组合体，且两个四棱锥是底面边长为1的正方形，高为正四棱锥；所以该几何体的表面积为S=8××1×=2．故答案为：2．15．已知直线l过点P（2，1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 4 ．【考点】直线的一般式方程．【分析】设AB方程为，点P(2,1）代入后应用基本不等式求出ab的最小值，即得三角形OAB面积面积的最小值．【解答】解：设A（a，0)、B（0,b ），a＞0，b＞0,AB 方程为，点P（2，1）代入得=1≥2，∴ab≥8 （当且仅当a=4，b=2时，等号成立)，故三角形OAB面积S=ab≥4，故答案为4．16．关于图中的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列说法正确的有：①②③．①P点在线段BD上运动，棱锥P﹣AB1D1体积不变；②P点在线段BD上运动，直线AP与平面A1B1C1D1平行；③一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；④一个平面α截此正方体,如果截面是四边形，则必为平行四边形；⑤平面α截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面α在平面AB1D1与平面BDC1间平行移动时此六边形周长先增大，后减小．【考点】棱柱的结构特征．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断．【解答】解：①中,BD∥B1D1，B1D1⊂平面AB1D1，BD ⊄平面AB1D1,∴BD∥平面AB1D1，又P∈BD，∴棱锥P﹣AB1D1体积不变是正确的,故①正确;②中，P点在线段BD上运动，∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，直线AP⊂平面ABCD,∴直线AP与平面A1B1C1D1平行，故②正确;③中，一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形，故③正确;④中，一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则可能是平行四边形，或梯形，故④错误;⑤中，截面α在平面AB1D1与平面BDC1间平行移动时此六边形周长不变，故⑤错误．故答案为：①②③．三、解答题:本大题共6小题，合计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等,且D,E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ) 求证：平面B1FC∥平面EAD;(Ⅱ）求证:平面CBC1⊥平面EAD．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ)由已知及三角形中位线的性质可得DE ∥CB1，AE∥FB1，即可证明平面B1FC∥平面EAD；(Ⅱ）先证明AD⊥BC，又CC1⊥AD,即可证明AD⊥平面BCC1,从而证明平面CBC1⊥平面EAD．【解答】证明：（Ⅰ）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．∴DE∥CB1，AE∥FB1，∵DE∩AE=E,CB1∩FB1=B1，DE，AE⊂平面EAD，CB1，FB1⊂平面B1FC∴平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ)∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1,AA1的中点．∴AD⊥BC，又∵CC1⊥AD，BC∩CC1=C1,∴AD⊥平面BCC1，又∵AD⊂平面EAD,∴平面CBC1⊥平面EAD．18．直线3x﹣4y+12=0与坐标轴的交点是圆C一条直径的两端点（Ⅰ）求圆C的方程;(Ⅱ)圆C的弦AB长度为且过点（1,),求弦AB所在直线的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1)由题意可得，A（0，3）B（﹣4,0）,AB的中点(﹣2,）为圆的圆心，直径AB=5,从而可利用圆的标准方程求解;（2）圆C的弦AB长度为，所以圆心到直线的距离为1，设直线方程为y﹣=k（x﹣1）,利用点到直线的距离公式，即可求弦AB所在直线的方程．【解答】解：（Ⅰ)由题意可得，A（0，3）B(﹣4，0）AB的中点（﹣2,）为圆的圆心，直径AB=5以线段AB为直径的圆的方程（x+2）2+（y﹣）2=；(Ⅱ）圆C的弦AB长度为,所以圆心到直线的距离为1,设直线方程为y﹣=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+=0，所以=1,所以k=0或﹣，所以弦AB所在直线的方程为y=或3x+4y﹣5=0．19．如图所示,正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点．（1）求证：B1C∥平面A1DB；(2)求直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1)连结AB1，交A1B于点O,由三角形中位线定理得OD∥B1C，由此能证明B1C∥平面A1DB．(2）取A1C1中点E，以D为原点，DC为x轴,DB为y 轴,DE为z轴,建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值．【解答】证明：（1）连结AB1，交A1B于点O,∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，ABB1A1是矩形，∴O是AB1中点，∵D为AC中点，∴OD∥B1C,∵OD⊂平面A1DB，B1C⊄平面A1DB，∴B1C∥平面A1DB．解：（2）取A1C1中点E，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴,DE为z轴，建立空间直角坐标系，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点，∴B（0，，0)，D（0，0，0)，A1（﹣1，0，2），C1（1，0，2），=（0，﹣，0）,=（﹣1，﹣,2），=（1,﹣,2）,设平面A1BC1的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0,2，3），设直线BD与平面A1BC1所成的角为θ,则sinθ=|cos＜＞｜=||=||=∴直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值为．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=，PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD 中点．（1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值．(2）求B点到平面PCD的距离．（3）线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q﹣AC ﹣D的余弦值为？若存在,求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角．【分析】（1）先证明直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直,可得PO⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，确定平面POC的法向量，利用向量的夹角公式,即可求直线PB与平面POC所成角的余弦值．（2）求出平面PDC的法向量,利用距离公式，可求B 点到平面PCD的距离．（3）假设存在,则设=λ(0＜λ＜1），求出平面CAQ 的法向量、平面CAD的法向量=(0，0，1）,根据二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为,利用向量的夹角公式，即可求得结论．【解答】解:（1）在△PAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD．又在直角梯形ABCD中，易得OC⊥AD；所以以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z 轴建立空间直角坐标系．则P(0，0，1），A（0，﹣1，0),B（1，﹣1,0）,C（1,0，0)，D（0，1，0）;所以，易证：OA⊥平面POC,所以，平面POC的法向量，所以PB与平面POC所成角的余弦值为…．(2），设平面PDC的法向量为，则,取z=1得B点到平面PCD的距离…．(3）假设存在，则设=λ（0＜λ＜1）因为=（0，1，﹣1）,所以Q（0,λ,1﹣λ）．设平面CAQ的法向量为=（a，b，c)，则，所以取=（1﹣λ,λ﹣1，λ+1）,平面CAD的法向量=（0，0，1)，因为二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为,所以=,所以3λ2﹣10λ+3=0．所以λ=或λ=3（舍去),所以=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知⊙C：x2+（y﹣1)2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0（1）求证:对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；（2）求弦AB中点M轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？（3）若定点P（1，1)分弦AB为，求l方程．【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程；轨迹方程;直线和圆的方程的应用．【分析】（1）利用圆心到直线的距离小于半径，判定,直线l与圆C总有两个不同交点A、B;（2）设出弦AB中点M，求出直线L，利用弦的中点与圆心连线与割线垂直，求出轨迹方程．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程利用韦达定理，以及定点P（1，1）分弦AB为,求出A 的坐标，代入圆的方程,求出m，即可求l方程．【解答】解：（1）圆心C(0，1），半径r=，则圆心到直线L的距离d=，∴d＜r,∴对m∈R直线L与圆C总头两个不同的交点；（或用直线恒过一个定点,且这个定点在圆内）（2）设中点M（x，y）,因为L：m（x﹣1）﹣(y﹣1）=0恒过定点P(1,1）斜率存在时则，又，k AB•K MC=﹣1，∴，整理得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0,即：=，表示圆心坐标是(），半径是的圆；斜率不存在时，也满足题意，所以：=，表示圆心坐标是（)，半径是的圆．(3)设A（x1，y1），B（x2，y2）解方程组得(1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0,∴,①又∴（x2﹣1，y2﹣1）=2（1﹣x1,1﹣y1）,即：2x1+x2=3②联立①②解得，则，即A（）将A点的坐标代入圆的方程得：m=±1,∴直线方程为x﹣y=0和x+y﹣2=022．点P到A（﹣2，0）的距离是点P到B（1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ)点P与点Q关于点（2,1)对称，点C（3，0）,求｜QA|2+|QC|2的最大值和最小值．（Ⅲ）若过A的直线从左向右依次交第(II）问中Q的轨迹于不同两点E，F，=λ,判断λ的取值范围并证明．【考点】与直线有关的动点轨迹方程．【分析】（Ⅰ）利用直接法,求点P的轨迹方程；(Ⅱ）求出Q的轨迹方程,令z=｜QA｜2+|QC|2=（x+2)2+y2+（x﹣3)2+y2=6x+8y+5，所以6x+8y+5﹣z=0,利用直线与圆的位置关系，即可求｜QA|2+｜QC|2的最大值和最小值；(Ⅲ)设过A的直线方程为x=ty﹣2（一定存在)，与Q 的轨迹方程联立，消去x得(1+t2）y2﹣（8t+4)y+16=0，利用韦达定理,结合基本不等式，即可得出结论．【解答】解：（I）设点P(x，y），由题意可得|PA|=2｜PB｜，即=2．化简可得（x﹣2）2+y2=4．（II）设Q(x0，y0)，由题可得x=4﹣x0,y=2﹣y0代入上式消去可得（x0﹣2）2+（y0﹣2）2=4，即Q的轨迹方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，即x2+y2+4=4x+4y．令z=|QA|2+|QC｜2=(x+2）2+y2+（x﹣3）2+y2=6x+8y+5，所以6x+8y+5﹣z=0，d=≤2，所以13≤z≤53．因此｜QA|2+｜QC|2的最大值为53，最小值为13．(III）λ的取值范围是（1，]．证明：设E(x1，y1），F（x2,y2）且y1＜y2．因为=λ，所以,且λ＞1．设过A的直线方程为x=ty﹣2(一定存在)，与Q的轨迹方程联立,消去x得（1+t2）y2﹣（8t+4)y+16=0．△＞0，解得t＞．而y1+y2=,y1y2=,+2=,因此+2=4+=4+≤5,当且仅当t=2时等号成立．所以﹣3≤0(k＞1），解得1＜λ≤．2017年1月15日。