无穷小与无穷大
无穷小与无穷大
无穷小。
2）如果函数 为无f (穷x)小，且
则
为无f 1(穷x)大。
1
为f (x)
f (x) 0
1.4 具有极限的函数与无穷小的关系
定理8 在自变量的同一变化过程中， 1）具有极限的函数等于极限值与一
个无穷小的和。
2）如果函数可表为常数与无穷小之 和，则该常数就是函数的极限值。
即若函数 f (x)在x x（0 或x ）时的极限 为A，则 f (x) A (x) 或简记为 y A 。其 中 (x) 为 x x0（或 x ）时的无穷
数学
无穷小与无穷大
1.1 无穷小
当 x x（0 或x ）时，函数 f (x) 的极限为
零，则称函数 f (x)当x x（0 或 x ）时为无穷小。
定义7如果对于任意给定的 0 总存在 0 （或 M>0 ），使得对于适合不等式 0 x x0 （或 x M）的一切x，对应的函数值f (x) 都满足
例
试证当
x
1
时，f (x)
1 x 1
是无穷大量。
证明对任意给定的正数M，要使
x
1 1
M
只须 x 1 1 M
所以取值
1 M
则对于
适合 0
x 1
的一切x，有
1 M x 1
。
这就证明了
lim 1 x1 x 1
。
1.3无穷小与无穷大之间的关系
定理7 在自变量同一变化过程中，
1）如果函数 为无f (穷x)大，则
3）因为
Lim csc x cot x Lim 1 cos x Lim
sin 2 x 2
sin x Lim 2
1
1 1
x0
无穷大与无穷小
无穷大与无穷小无穷大和无穷小是数学中常常提到的概念。
它们在数学的各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍无穷大和无穷小的定义、性质以及一些常见的例子。
无穷大是指在数列或函数中，当自变量趋向于某个特定的值时，函数或数列的绝对值无限增大的情况。
换句话说，无穷大是指某个数在数轴上无限远离原点的时候。
在数学符号表示中，我们常用符号∞来表示无穷大。
当一个数a的绝对值大于任意实数M时，我们可以说这个数a是无穷大，表示为|a|>M或者a→∞。
无穷大在解析几何、极限理论、微积分等数学分支中都起着重要的作用。
在解析几何中，无穷大可以用来描述平行线的情况。
在极限理论和微积分中，无穷大常常用于研究函数的极限和趋势。
与无穷大相对应的是无穷小。
无穷小是指当自变量趋向于某个特定的值时，函数或数列的绝对值逐渐趋于零。
换句话说，无穷小可以理解为比任何实数都小的数。
在数学符号表示中，我们常用符号ε来表示无穷小。
当一个数a的绝对值小于任意正实数ε时，我们可以说这个数a是无穷小，表示为|a|<ε或者a→0。
无穷小在微积分和函数论等领域中得到广泛应用。
在微积分中，无穷小常用于描述函数的变化趋势、导数和积分的定义。
在函数论中，无穷小可以用于衡量一个函数在某个点的连续性和可导性。
下面我们来看几个具体的例子。
例子1：考虑函数f(x)=1/x，当x趋向于0时，函数f(x)的值趋近于正无穷大。
这可以用极限表示为lim(x→0)1/x=∞。
例子2：考虑函数g(x)=1/x，当x趋向于正无穷大时，函数g(x)的值趋近于0。
这可以用极限表示为lim(x→∞)1/x=0。
例子3：考虑数列an=1/n，当n趋向于正无穷大时，数列an的值逐渐趋近于0。
这可以用极限表示为lim(n→∞)1/n=0。
通过以上例子，我们可以看出无穷大和无穷小是两个相关但又不同的概念。
无穷大描述的是函数或数列绝对值的无限增大，而无穷小描述的是函数或数列绝对值的逐渐趋近于零。
无穷小与无穷大
无穷小与无穷大无穷小和无穷大是数学中重要的概念，它们在极限运算和微积分中有着重要的作用。
本文将介绍无穷小和无穷大的定义、性质以及它们在数学和物理中的应用。
一、无穷小的定义与性质无穷小是指函数在某一点附近取值时，其值趋近于零的特殊情况。
具体说，对于函数f(x)，如果当x无限接近某一点a时，f(x)也无限接近于零，那么f(x)就是在点a处的无穷小。
常表示为lim x→a f(x) = 0。
1.1 阶与比较无穷小可以根据其趋近于零的速度分为不同的阶。
例如，当x无限接近零时，x^2相比于x，其趋近于零的速度更快，因此x^2是x的高阶无穷小。
同样，x^n（n>1）相比于x，其趋近于零的速度更快，因此x^n是x的高阶无穷小。
1.2 运算性质无穷小具有一些运算性质。
例如，两个无穷小的和仍然是无穷小，若f(x)为无穷小，g(x)为有界函数，则f(x)g(x)为无穷小。
此外，无穷小与有界函数的乘积也为无穷小。
1.3 等价无穷小在无穷小的研究中，等价无穷小也是一个重要的概念。
如果两个无穷小f(x)和g(x)满足li m x→a (f(x)/g(x)) = 1，那么称f(x)和g(x)是在点a处等价的无穷小。
等价无穷小具有相似的性质，在一些极限运算中可以互相替换。
二、无穷大的定义与性质无穷大是指函数在某一点附近取值时，其值趋近于正无穷或负无穷的情况。
具体说，对于函数f(x)，如果当x趋近于某一点a时，f(x)的值无限增大或无限减小，那么f(x)就是在点a处的无穷大。
2.1 正无穷和负无穷无穷大可以分为正无穷大和负无穷大。
当x趋近于某一点a时，若f(x)的值无限增大，则称f(x)为正无穷大。
若f(x)的值无限减小，则称f(x)为负无穷大。
2.2 无穷大的性质无穷大具有一些基本性质。
例如，正无穷大与负无穷大的和仍然是无穷大。
另外，无穷大与常数的乘积仍然是无穷大。
然而，无穷大的乘积与除法需要谨慎处理。
2.3 无穷大与极限在求解极限问题时，无穷大也扮演了重要的角色。
无穷小和无穷大
（2） 如果 lim C 0 那么就说β与α是同阶无穷小；
如果 lim 1 那么就说β与α是等价无穷小，
记作
（3）
如果
lim k
C
0, k
0
那么就说β是α的k阶无穷小；
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
定理 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，
那么
f
1 (x
)
为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，
y
o
x
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
性质1 同一过程中的有界函数与无穷大之和 仍为该过程中的无穷大.
性质2 某过程中的有限个无穷大的乘积 仍为该过程中的无穷大.
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
仍为该过程中的无穷小？
例
x2, x , 3x 都是 x 0 中的无穷小.
lim x2 lim x 0
x x0
x0
lim x 1 x0 3x 3
定义
设α,β是同一过程中的两个无穷小，且α≠0
（1）
如果
lim
0
那么就说β是比α高阶的无穷小，
无穷大与无穷小
lim f ( x ) 0 : f ( x)称为x 时的无穷小.
x
lim xn 0 :
n
xn称为n 时的无穷小.
例如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小 . x 0 1 lim 0, 函数 1 是当x 时的无穷小 . x x x ( 1) n ( 1) n lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
第四节
无穷小与无穷大
一、无穷小
1、定义: 极限为零的变量称为无穷小.
x x0
lim f ( x ) 0 : f ( x)称为x x0时的无穷小.
0
lim f ( x ) 0 “ - ”定义 x x
0, 0, 使当0 | x x0 | 时, 恒有 f ( x) .
1 例1 求极限 lim x sin x 0 x 1 解 | sin | 1 是有界函数 x
x 是x 0时的无穷小
1 lim x sin =0 x 0 x
二、无穷大
定义 在自变量的某个变化过程中，对应的 函数值的绝对值 | f ( x ) | 无限增大,则称f ( x )为 在此过程中的无穷大,记为 lim f ( x )
（ 未定式） 思考2 两个无穷大相除是无穷大么？
x 时,x , x , x 2 +1都是无穷大, x x 1 x 但是 1, , 2 0 x x x 1
2
（+未定式） 思考3 两个无穷大的和是无穷大么？
x 时,x , x , x 2 , x 2 +1都是无穷大, 但是x ( x ) 0, x 2 1 ( x ) , x 2 1 ( x 2 ) 1
无穷大与无穷小
若
为无穷大, 则 1 为无穷小 ;
f (x)
若
为无穷小, 且
f (x) 0, 则
1 为无穷大. f (x)
(自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
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内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小的运算性质 Th2 Th3 4. 无穷小与无穷大的关系 Th4
一、 无穷小
定义1 极限为0的变量（函数）称为无穷小.
例如 :
函数
当
时为无穷小;
函数 当为无穷小.
注意: 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的常数. 3.无穷小是相对自变量的某一变化趋势而言。
说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
因为
作业 P46 6
x x0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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二、 无穷小的运算性质
定理2 定理3 推论1 推论2
有限个无穷小之和还是无穷小. 有界函数与无穷小的乘积还是无穷小. 常数与无穷小的乘积还是无穷小. 有限个无穷小的乘积还是无穷小.
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例题1 求
C
当
时,
显然 C 只能是 0 !
C
定理 1 ( 无穷小与函数极限的关系 )
lim f (x) A
x x0
f (x) A , 其中 为 x x0
时的无穷小量 .
证: lim f (x) A
x x0
0, 0, 当 0 x x0 时,有
f (x) A
无穷小与无穷大的概念
快些, x 比 x2 慢些, sin x 与 x 大致相同. 即无
穷小之比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的
快慢程度不同.
定义3 设 , 是同一过程中的两个无穷小,
且 0.
(1)
如果
lim
0,
称 是比 高阶的无穷小,
无穷小比较的概念
定义3 设 , 是同一过程中的两个无穷小,
且 0.
中, 用任意一个无穷小 ( x) 代替 x, 等价关系依
然成立.
例如, x 1 时,有 ( x 1)2 0,从而 sin( x 1)2 ~ ( x 1)2 ( x 1).
完
例 5 证明：e x 1 ~ x( x 0).
证 令 y e x 1, 则 x ln(1 y), 且 x 0 时， y 0, 因此
又 lim(4x 1) 3 0, 故 x1
lim
x1
x2 2x 4x 1
3
0 3
0.
由无穷小与无穷大的关系, 得
lim
x1
4x 1 x2 2x
3
.
完
例3
求
lim
x
2x2 7x2
3 4
x2 x2
5 1
.
解 当 x 时, 分子和分母的极限都是无穷大,
此时可采用所谓的无穷小因子分出法, 即以分母
而
lim x2 0, x0 x
lim
x0
x x2
,
lim
x0
sin x
x
1,
从中可看出各无穷小趋于0的快慢程度: x2 比 x
快些, x 比 x2 慢些, sin x 与 x 大致相同. 即无
穷小之比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的
无穷小与无穷大.
f ( x) ln x( x 0 ) 是负无穷大。 即 lim ln x
x 0
tan x 即 lim f ( x) tan x( x 2 )是正无穷大。
定义
若 M 0, 0, x : 0 x a , 有
f ( x) M
f ( x) 就说函数 f ( x)(x a) 是无穷大。记为 lim xa
f ( x) tan x( x lim t an x 2 ) 是无穷大。 即 x 2 1 1 f ( x) ( x 0) 是无穷大。 即 lim x x 0 x
x2 lim 0 x 0 2 x
2x 2 lim x 0 5 x 5
2x lim 2 x 0 x
两个无穷小的比，可能是无穷小，也有可能是其他情况
x
x2 2x
0.1
0.01 0.2
0.01
0.0001 0.02
0.001
0.000001 0.002
0.0001
0.000000001 0.0002
引入几个记号：
f ( x) K, （1）若K > 0， x : 0 < | x – a | < , 有 g ( x) 记为 f ( x) O( g ( x)) ( x a) f ( x) 0, 记为 f ( x) o( g ( x)) ( x a) （2）若 lim xa g ( x) f ( x) 1, 记为 f ( x) ~ g ( x) ( x a) （3）若 lim x a g ( x)
§2.5 无穷小与无穷大
第五节无穷小与无穷大
分析：M 0, x0 , yx0 M .
M 0, 取x0 M 1 , yx0 M 1 cosM 1 M 1 M
若函数 y x cos x当 x 时为无穷大，
由定义，对 M 0, X 0,当 x X时，均有 yx M .
但是，对M 0，X 0, 若取x0
yx0
故：
x1 x 2 1
(3)分子、分母极限都为零。（消除致零因子）
例5 求 lim x 2 x 2 x1 x 2 1
解
lim
x2
x
2
(x lim
1)( x
2)
lim
x
2
3
.
x1 x 2 1
x1 ( x 1)( x 1) x1 x 1 2
21
附：多项式除法
消去致零因子，即进行除式为（x - a) 的多项式除法
x
x
无穷小的倒数是无穷大
19
有理分式的极限：
有理分式: P x Q x
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
a0 , b0 0
1.当x
x
时有理分式的极限：
0
(1)分母的极限不为零:
例3
Px Qx
a0 xn b0 x m
X 0, 使得当x X时,恒有 f x 成立, 则称f x当
当x 是的无穷小量.记为:lim f x 0. x
1
同样可以定义:
当x x0 0, x x0 0, x , x 时的无穷小.
如: lim x3 27 0, x3 27当x 3时为无穷小.
x3
lim
x
1 x
M
所以，u是当 x x0时的无穷小。
无穷小与无穷大
一、 无穷小与无穷大1. 无穷小的定义定义1当在给定的()0x x x →→∞或时，()x f 以零为极限，则称()x f 是()0x x x →→∞或下的无穷小量，简称无穷小，记作()()0lim 0(lim 0)x x x f x f x →→∞==或 例如, 函数36y x =-是2x →时的无穷小，而函数12y x=是x →∞时的无穷小。
注意(1)无穷小是变量,不能把无穷小量和很小的数混淆;一般来说，无穷小表达的是量的变化状态，而不是量的大小，一个量不管多么小，都不是无穷小量，零是唯一可作为无穷小的常数。
(2)当-∞→+∞→-→→+x x x x x x ,,,00时都可得到相应的无穷小量 例1 自变量在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小？()111y x =- ()224y x =- ()32x y = ()144x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 解 (1) 因为1lim 01x x →∞=-，当x →∞时，11x -为无穷小 (2) 因为()()22lim 240x x →-=，所以当2x →时，24x -为无穷小（3）因为lim 20xx →-∞=，所以当x →-∞时，2x 无穷小 (4) 因为1lim 04x x →+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当x →+∞时，14x ⎛⎫ ⎪⎝⎭为无穷小 2. 无穷大的定义定义2 如果0x x →(或x →∞)时，()x f 无限增大，则称()x f 为当0x x →(或x →∞)时的无穷大量，简称无穷大，记作()0lim x x f x →=∞(或()lim x f x →∞=∞)。
特殊情形：正无穷大，负无穷大．))(lim ()(lim )()(00-∞=+∞=∞→→∞→→x f x f x x x x x x 或 注意:(1).无穷大是变量,不能与很大的数混淆;(2)lim ().x x f x →=∞切勿将认为极限存在 (3)．当0x x +→。
0x x -→，x →+∞，x →-∞时可得到相应的无穷大定义3. 无穷大与无穷小的关系定理1 在自变量的同一变化过程0x x →(或x →∞)中，如果()x f 为无穷大，则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
无穷小和无穷大
例如
limsin x 0,
x0
lim 1 0, x x
(1)n
lim
0,
n n
函数sin x是当x 0时的无穷小;
函数 1 是当x 时的无穷小; x
数列(
1)n n
是当n
时的
无穷小.
注意 1.无穷小是变量, 不能与很小的数混淆;
2.零是可以作为无穷小的唯一的数.
x 1
x1 x 1
所以1 0, 当1 x 1 1 时, f ( x) M.
故 f ( x) 在点 x0 1的任何邻域内都是无界的. 又因为 lim f ( x) 0, 所以M 0,
x1
2 0, 当1 2 x 1时, f ( x) M .
因此函数 f ( x) 不是当x 1时的无穷大.
又设 是当x x0 时的无穷小 ,
所以 0, 2 0,
o
使得当x U( x0,2 )时,
恒有 .
M
取 min{ 1, 2 },
o
使得当x U( x0, )时,
u M 和 同时成立,
M
所以 u u M ,
M
故 当 x x0时, u 为无穷小 .
推论1
常数与无穷小的乘积是无穷小.
二、无穷小的性质
1. 无穷小与函数极限的关系
定理1 在自变量的同一变化过程 x x0 (或 x )中,函数 f ( x) 具有极限 A的充分必要条
件是 f ( x) A , 其中 是无穷小.
证 必要性
设 lim f ( x) A, x x0
则 0, 0, 使得当0 x in{ 1, 2}, 当0 x x0 时, ,
22
第五节 无穷小与无穷大
1 lim f ( x ) lim A 0. x x x
一、填空题:
练 习 题
1、 凡无穷小量皆以________为极限.
2、在 __________条件下, 直线 y c 是函数 y f ( x ) 的水平渐近线 .
3、lim f ( x ) A _______ f ( x ) A ,
例如，
x2 lim 0， x 0 3 x
sin x lim 1， x 0 x
即 x 2 o( 3 x ) ( x 0 ).
当 x 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小 ;
即 sin x ~ x ( x 0 ).
当 x 0 时， sin x 与 x 是等价无穷小 ．
2 2
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小, 记作 o( )；
( ２ ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小 ; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
第 2章
极限与连续
§2.2无穷小与无穷大
§2.2无穷小与无穷大
一、无穷小
1、定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 当 x x 0 (或 x )时,如果函数 f ( x ) 的 极限为零， 则称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时 为无穷小,记作
x x0
四、无穷小的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 x 2 lim 0, x 比3 x要快得多; 观 x0 3 x 察 各 lim sin x 1, sin x与x大致相同; 极 x0 x 1 2 限 x sin 1 x 0 lim lim sin 不存在. 不可比. 2 x 0 x 0 （ 型） x x 0 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
无穷小与无穷大
解 因为
tanx sinx tanx1 cosx ，而tanx
lim
x0
x2 2x
0 ，lim x0
2x x2
，lim x0
2x x
2
产生这种不同结果的原因，是因为当 x 0 时三个无穷小趋于0的速度是
有差别的。
定义1.3 设 ,是当自变量 x a a可以是有限数x0 ,可以是 或
时的两个无穷小,且 0。 (1)如果 lim 0 ，则称当 x a 时 是 的高阶无穷小，或称 是
x0 2x
所以 x2 2x x 0 ；
因为 lim x2 9 6 x3 x 3
所以当x →3时，x2 9
是x 3 的同阶无穷小；
因为
lim sinx x0 x
1 ，sinx
与x 是x
→0时的等价无穷小，所以
sinx x x 0 ；
定理1.3(等价无穷小的替换原理) 设 ， ，' ，是' x a时的无
时，
x 1
无 限 增 大, 所 以
x 1 是 当x 1 时 的 无 穷 大,
记作 lim 1 。
x1 x 1
上述 x x0 时的无穷大的定义,很容易推广到 x x0 ，x x0 ，x ，x 时的情形。
1.3 无穷大与无穷小的关系
定理1.2 在自变量的同一变化过程中，若 lim f x 则
若 lim f x 0则
lim
f
1
x
。
lim
f
1
x
0；
例1.4 求 lim x 4。 x1 x 1
解 因为 lim x 1 0 ，即 x 1 是当 x 1 时的无穷小，
x1 x 4
x4
第四节 无穷小无穷大高等数学
不是无穷大 !
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三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
若 若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 则 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , f ( x)
x x0
x x0
注 1. 对于其他六种极限, 有同样的定义. 2. 在说到某函数是无穷大时, 必须同时指明 明其自变量的变化趋势.
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例如,
为
时的无穷小; 但当x →0
x
时为无穷大.
y tan x当x→0 时为无穷小, 当
2
时为无穷大.
3. 对应于自变量的某一变化趋势, f (x)为无穷大, 此时, 极限 lim f ( x) 不存在.为便于表述函数的这一性
例如 : ( 1) n lim 0, n n
(1)n { }是n 时的无穷小 . n
函数 是
是
时的无穷小; 时的无穷小;
是
时的无穷小.
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注 (1) 在说到一个函数是无穷小时, 必须同时指
明自变量的变化趋势. 例如, 说成
为
是无穷小.
时的无穷小. 不能简单地
x
1 1 1 ,且 是 x →∞ 时的无穷小, 2x 2 2x
1 2
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lim f ( x)
结束
二、无穷大
若当 时,
无限增大, 则称
是
,使
时的无穷大.
定义 . 若对任意给定的 M > 0 , 总存在 对满足 的所有 x , 总有
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1.4 无穷小与无穷大
1.4.1 无穷小
1．无穷小量的定义
定义：如果x → x 0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x ) 的极限为零 ,那么把f (x ) 叫做当x → x 0（或x → ∞ ）时的无穷小量，简称无穷小。
例如：因为0)1(lim 1
=-→x x ，所以函数x-1是x →1时的无穷小。
因为01lim =∞→x
x ，所以函数x 1是当x →1时的无穷小。
因为011lim =--∞→x
x ，所以函数x -11是当x →－∞时的无穷小。
以零为极限的数列｛x n ｝，称为当n →∞时的无穷小，
n 1，n 32 都是n →∞时的无穷小。
注：⑴不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数f(x)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。
⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在x →x 0（或x →∞）时，极限仍为常数本身，并不是零。
⑶常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在x →x 0（或x →∞）时，极限是零。
2.无穷小的性质
在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质：
⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多个无穷小之和不一定是无穷小）。
⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。
⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
（常数与无穷小的乘积仍是无穷小）。
⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。
例1．求x
x x sin lim ∞→ 解：∵1sin ≤x ，是有界函数， 而01lim =∞→x
x
∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
∴x
x x sin lim ∞→＝0 3．函数极限与无穷小的关系
定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是该函数的极限。
4．无穷小的比较
例：当x →0时，x, 3x ， x 2, sinx, x
x 1sin
2都是无穷小。
观察各极限： 0320lim =→x
x x x 2比3x 要快得多 1sin lim 0=→x
x x sinx 与x 大致相同 ∞=⋅=→→x x x x x x x sin 1sin lim lim 020
sinx 比x 2慢的多 x x x x x x 1sin 1sin lim lim 0
220→→= 不存在 不可比
极限不同，反映了无穷小趋于0的“速度”是多样的。
得到以下结论：设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小 ⑴如果α
β
lim ＝0，则称β是比α高阶的无穷小 ⑵如果α
βlim ＝∞，则称β是比α低阶的无穷小 ⑶如果α
βlim ＝k （k ≠0），则称β与α是同阶的无穷小 ⑷如果αβlim ＝1，则称β与α是等价无穷小，记为α～β。
例2．比较当x →0时，无穷小
x x
---111与x 2阶数的高低。
解：因为111)1()1()1)(1(1111lim lim lim lim 02202020=-=---+-=---→→→→x
x x x x x x x x x x x x x x 所以
x x ---111～x 2
例3．当x →1时，无穷小1－x 与1-x 3是否同阶，是否等价？ 解：31)1)(1(11121
31lim lim =++--=--→→x x x x x x x x 故同阶但不等价。
常用的等价无穷小：
当x →0时，sinx ～ x ； arcsinx ～x ； tanx ～x ；arctanx ～ x ； 1-cosx ～22
1x ，ln(1+x)～x ; e x -1～x ；(1+x)a ～1-ax 1.4.2无穷大
1．无穷大量的定义
如果当x → x 0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x ) 的绝对值无限增大,那么函数f (x ) 叫做当x → x 0（或x → ∞ ）时的无穷大量，简称无穷大。
注：⑴说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋向。
如函数x
1是当x → 0 时的无穷大，当x → ∞时，它就不是无穷大，而是无穷小了。
⑵不要把绝对值很大的常数说成是无穷大，因为常数在x →x 0(或x →∞)时极限为常数本身，并不是无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系
定理：在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则)
(1x f 为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则)
(1x f 为无穷大。
例4．求4
53221lim +--→x x x x 解：当x →1时，分母x 2-5x+4→0，因此不能直接使用商的极限法则，但f(x)的倒数
的极限
03245)(121
1lim lim =-+-=→→x x x x f x x 由无穷大与无穷小的关系可得
∞=→)(lim 1x f x。