高数无穷小、无穷大极限运算法则

x
x
都是无穷小．
二、 无穷大(Infinite Large)
定义2 . 若任给 M > 0 ,总存在
(正数 X ) , 使对
一切满足不等式
( x X ) 的 x , 总有
①
则称函数 当
( x ) 时为无穷大, 记作
( lim f ( x) )
x
若在定义中将 ①式改为
( f (x) M ),
y 1 sin 1 xx
(1) 取 xk
1
2k
2
y( xk ) 2k 2 ,
(2)
取
xk
1 2k
(k 0,1,2,3,)
当k充分大时, y( xk ) M . (k 0,1,2,3,)
无界，
当 k 充分大时, xk ,
但 y( xk ) 2ksin 2k 0 M .
不是无穷大．
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证 必要性 设 lim f ( x) A, 令 ( x) f ( x) A, x x0 则有 lim ( x) 0, f ( x) A ( x). x x0 充分性 设 f ( x) A ( x),
其中 ( x)是当x x0时的无穷小,
则 lim f ( x) lim ( A ( x)) A lim ( x) A.
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x3 1 x2 3x 5
lim x 3 lim 1
x2
x2
lim( x 2 3x 5)
23 1 3
7. 3
x2
小结: 1. 设 f ( x) a0 x n a1 x n1 an ,则有
x x0
x x0
x x0
意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);
（2）给出了函数 f ( x) 在 x0 附近的近似表达
式 f ( x) A, 误差为( x).
3、无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数 和仍是无穷小.
注意: 无穷多个无穷小的代数和未必 是无穷小.
( A B) 0.
(2)成立.
f ( x) A A A B A B A 0. g( x) B B B B(B )
又 0, B 0, 0, 当0 x x0 时,
B , B B B 1 B 1 B
2
22
B(B ) 1 B2 , 故 2
则记作
( lim f ( x) )
x x0 ( x )
注意:
（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
（2）切勿将 lim f ( x) 认为极限存在. x x0
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
例如: 当x 0时, y 1 sin 1 xx
是一个无界变量, 但不是无穷大.
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小. x
lim (1)n n n
0,
数列{(1)n }是当n n
时的无穷小.
注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
2、无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B
,则有
(1)
lim (
n
xn
yn )
A B
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当 yn
0且 B
0时,
lim
n
xn yn
A B
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Hint: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由
直接得出结论 。
求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
第三、四节 无穷小、无穷大 极限运算法则
一、 无穷小 二、 无穷大
三 、 极限 运算法则 四、小结与思考
一、无穷小(Infinite Small)
1.
定义1:
若 (或x
时 )
,
函数
为
时的无穷小 .
(或x )
则称函数
例如 :
函数
当
时为无穷小;
函数 当
时为无穷小;
函数
当
时为无穷小.
再如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小. x0
例 证明 lim 1 . x1 x 1
证 M 0. 要使 1 M ,
x1
只要 x 1 1 , 取 1 ,
M
M
当0 x 1 1 时, 就有 1 M .
M
x1
1 lim .
x1 x 1
y 1 x1
无穷小与无穷大的关系:
定理4. 在自变量的同一变化过程中,
若
为无穷大, 则 1 为无穷小 ;
1 B(B
)
2 B2
,
有界，
(3)成立.
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
定理6 ：若
证 lim f ( x) A, lim g( x) B. f ( x) A , g( x) B . 其中 0, 0. 由无穷小运算法则,得
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
f (x)
若
为无穷小, 且
f (x) 0, 则
1 为无穷大. f (x)
(自证)
Note: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
三、极限运算法则
定理5: 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
例如, n 时, 1 是无穷小， n
但 1 1 1 1 不是无穷小. nn n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷 小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如,当x 0时, x sin 1 , x2 arctan 1