高数求极限方法总结
高数求极限运算法则
高数求极限运算法则极限（Limit）是高等数学中非常重要的数学概念，是对函数在某一特定变量无穷接近某个值的概念，是理解微积分及其它研究的基础。
极限的求取是高数教学的重要内容，它不仅提高了学生的数学思维能力，还有助于培养其创新能力。
因此，高数求极限的运算法则的掌握就显得尤为重要。
一、定义极限又称无穷小，是指分母函数值趋近于无穷小，且分子函数值恒不变时，分母函数不变时其商函数极限，记作：$$lim_{xto a}f(x)=L$$其中$xto a$（x逼近a）表示x不断逼近a，当$xto a$时，$f(x)=L$。
二、极限的计算1、无穷小的消去法即在极限的运算中，若分母中出现无穷小，可让其消去，即$lim_{xto a}f(x)=f(a)$，$f(a)$为极限值。
2、无穷大的消去法即若极限运算中出现无穷大，首先判断一下分子和分母的大小，根据大小将分母合理改写，使无穷大可以化简消去，然后将合理改写后的分母和分子相除，得到极限的值。
3、积分型极限计算法则即若函数形式为$frac{f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+cdots+f(x_n)}{x_0+x_1+x_2+cdots+x_n}$，此时函数的极限可以用随机积分法求出。
4、指数函数极限计算法则即若函数形式为$a^x$,其中a为任意正数，当$xto infty$时极限值为无穷大；当$xto -infty$时极限值为0。
5、三角函数极限计算法则即当函数形式为$sin x$或$cos x$等三角函数的极限时，可以运用三角恒等公式，将它们改写成有限值表达式，求出其极限值。
6、指数型函数极限计算法则即当函数形式为$a^x$,其中a为任意正数，此时函数的极限可以用对数函数法求出，其计算方法是将该函数改写成对数函数形式，再用极限运算法则加以求解。
三、总结1、极限定义：极限是指函数在某一特定变量无穷接近某个值的概念，记作：$$lim_{xto a}f(x)=L$$2、求极限的方法：包括无穷小的消去法、无穷大的消去法、积分型极限计算法则、指数函数极限计算法则、三角函数极限计算法则、指数型函数极限计算法则等，其中各种方法有其特色，使用了正确的方法可以满足不同的求解要求。
考研高数求极限的方法总结
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1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
高数中求极限的16种方法
高数中求极限的16种方法——好东西首先对极限的总结如下:极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种）二、求极限的方法如下：1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提，必须是 X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0注意：罗比达法则分为3种情况0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！！！）E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则，最大项除分子分母！！！！！！！！！！！5.无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6.夹逼定理（主要对付数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
大一高数函数极限知识点
大一高数函数极限知识点函数极限是高等数学中的重要概念之一，它是分析函数性质和求解各种数学问题的基础。
在大一高数课程中，函数极限是必修内容，下面将介绍几个常见的函数极限知识点。
一、基本极限公式在求解函数极限的过程中，常用的基本极限公式有以下几个：1. 当n趋向于无穷大时，$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^p} = 0$，其中p是大于0的实数。
2. 当x趋向于无穷大时，$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^p} = 0$，其中p是大于0的实数。
3. $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x} = 1$。
4. $\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x = e$，其中e是自然对数的底数。
这些基本极限公式在求解各种函数极限时非常常用，熟练掌握它们可以简化计算过程。
二、函数极限的性质函数极限具有一些重要的性质，下面介绍两个常用的性质。
1. 函数极限的唯一性：如果$\lim_{x \to x_0}f(x) = A$，且$\lim_{x \to x_0}f(x) = B$，那么A=B。
即函数在某一点的极限存在时，它的极限值是唯一确定的。
2. 函数极限的四则运算法则：设$\lim_{x \to x_0}f(x) = A$，$\lim_{x \to x_0}g(x) = B$，其中A、B都存在，则有以下四则运算法则：（1）$\lim_{x \to x_0}[f(x) \pm g(x)] = A \pm B$（2）$\lim_{x \to x_0}[f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$（3）$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$，其中B不等于0。
这些性质在计算复杂函数极限时非常有用，可以简化计算步骤。
三、函数极限的求解方法对于一些特殊函数，我们需要使用一些特殊的求解方法来计算其极限。
2-4高数极限运算法则
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
例5
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
(型)
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大.
先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限.
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
ห้องสมุดไป่ตู้ 1
2 lim
x
7
3 x 4 x
5 x3 1 x3
2. 7
二、求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
令 u (x) a lim ( x)
x x0
lim f (u)
ua
例8
求
lim
xa
3
3
x3 a xa
.
解: 原式 lim
x a3 (x a)2
xa x a (3 x2 3 ax 3 a2 )
高数大一函数的极限知识点
高数大一函数的极限知识点一、极限的定义在数学中，极限是指函数在某一点上逼近特定值的过程。
对于大一学生来说，了解极限的定义对于后续的数学学习至关重要。
根据极限的定义，给定一个函数和一个点，当该函数的自变量无限接近这个点时，函数值趋近于某个确定的值，这个确定的值就是函数在该点的极限。
二、常用的极限运算法则在计算函数极限时，我们可以使用一些常用的运算法则，这些法则可以简化计算过程，提高效率。
1. 基本极限法则：- 常数函数的极限：若k为常数，则lim(f(x)) = k (x-->a)- 恒等函数的极限：lim(x) = a (x-->a)- 幂函数的极限：lim(x^n) = a^n (x-->a)，其中n为正整数- 指数函数的极限：lim(a^x) = a^a (x-->a)，其中a为正实数2. 四则运算法则：- 和差的极限：lim(f(x)±g(x)) = lim(f(x)) ± lim(g(x)) (x-->a)- 积的极限：lim(f(x)g(x)) = lim(f(x)) · lim(g(x)) (x-->a)- 商的极限：lim(f(x)/g(x)) = lim(f(x))/lim(g(x)) (x-->a)，其中g(x) ≠ 03. 复合函数的极限法则：- 复合函数的极限：lim(f(g(x))) = lim(f(u)) (u-->lim(g(x)))三、函数的一致性对于大一函数的极限，函数的一致性也是需要注意的重要概念。
一致性是指当自变量趋于某个特定值时，函数的极限是唯一确定的。
具体来说，对于一个函数f(x)，当x趋于a时，如果极限值是L，在邻域内的所有点都有f(x)趋于L，那么函数f(x)在点a处是连续的。
四、无穷极限除了有限极限之外，函数还可能存在无穷极限。
无穷极限包括正无穷大、负无穷大以及无穷小。
当函数在某一点的极限是正无穷大时，我们可以表示为lim(f(x)) = +∞ (x-->a)；当极限是负无穷大时，我们可以表示为lim(f(x)) = -∞ (x-->a)；当极限是无穷小时，我们可以表示为lim(f(x)) = 0 (x-->a)。
高数中求极限的16种方法
千里之行，始于足下。
高数中求极限的16种方法在高等数学中，求极限是一个格外重要的技巧和考点。
为了解决各种极限问题，数学家们总结出了很多方法和技巧。
以下是高数中求极限的16种方法：1.代换法：将极限中的变量进行代换，使其变成简洁计算的形式。
2.夹逼准则：当函数处于两个已知函数之间时，可以通过比较已知函数的极限来确定未知函数的极限。
3.无穷小量比较法：比较两个函数的无穷小量的大小，以确定它们的极限。
4.利用函数性质：利用函数的对称性、奇偶性等性质来计算极限。
5.利用恒等变形：将极限式子进行恒等变形，以将其转化为简洁计算的形式。
6.利用泰勒开放：将函数开放成无穷级数的形式，以求出极限。
7.利用洛必达法则：对于某些不定型的极限，可以利用洛必达法则将其转化为可计算的形式。
8.利用级数或累次求和：将极限式子转化为级数或累次求和的形式，以求出极限。
9.利用积分计算：将极限式子进行积分计算，以求出极限。
10.利用微分方程：将极限问题转化为求解微分方程的问题，以求出极限。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
11.利用积素等价：将极限式子进行积素等价，以求出极限。
12.利用无穷增减变异法：通过凑出一个等价变形，将极限问题转化为比较某些函数值的大小。
13.利用不等式：通过找到合适的不等式，对函数进行估量，以求得极限。
14.利用递推公式：对于递归定义的函数，可以通过递推公式求出极限。
15.利用导数性质：利用函数的导数性质，对极限进行计算。
16.利用对数和指数函数的性质：利用对数和指数函数的特性，求出极限。
除了上述方法外，还有很多其他的方法和技巧，可以依据具体问题来选择使用。
这些方法和技巧的使用需要机敏把握，通过大量的练习和思考，可以在求解极限问题中得到娴熟应用。
高数中求极限的16种方法
高数中求极限的16种方法——好东西首先对极限的总结如下:极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种）二、求极限的方法如下：1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提，必须是 X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0注意：罗比达法则分为3种情况0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！！！）E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则，最大项除分子分母！！！！！！！！！！！5.无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6.夹逼定理（主要对付数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
高数中求极限的16种方法
高数中求极限的16种方法——好东西(from Lisa liu)来源：高婕Summer.G的日志高数中求极限的16种方法——好东西假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。
树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。
函数的性质表现在各个方面首先对极限的总结如下极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于A x 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
高数极限求解方法
高数极限求解方法极限是数学中一个重要的概念，它在微积分和其他数学领域中都有广泛的应用。
对于学习高等数学的学生来说，掌握好极限的求解方法是至关重要的。
本文将介绍一些常见的高等数学极限求解方法，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
1. 极限的定义在介绍具体的求解方法之前，先来回顾一下极限的定义。
在数学中，当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值，这个确定的值就称为极限。
一般用符号$\\lim_{x \\to a} f(x) = L$表示。
2. 重要极限求解方法2.1 代入法代入法是求解极限中最基础、最直观的方法之一。
当函数在某一点未定义，或者无法直接计算极限时，可以尝试通过代入法来解决。
即可将自变量代入函数中进行计算，得到极限值。
2.2 因式分解法在某些情况下，可以通过因式分解的方法来简化极限的求解过程。
将函数进行因式分解后，往往能够更容易地计算极限值。
2.3 洛必达法则洛必达法则是一种常用的极限求解方法，适用于求解$\\frac{0}{0}$或$\\frac{\\infty}{\\infty}$形式的极限。
通过对函数的导数进行比较来确定极限值。
2.4 三角函数化简法当遇到包含三角函数的极限问题时，可以尝试通过将三角函数化简为简单形式来解决。
常用的化简技巧包括倍角公式、和差化积公式等。
2.5 泰勒展开法泰勒展开法是一种高阶近似求解方法，通过将函数在某一点处展开成无穷级数，利用展开式的有限项来逼近函数在该点的极限值。
3. 实例分析下面通过几个具体的实例来演示以上介绍的极限求解方法：3.1 代入法计算$\\lim_{x \\to 2} (x^2 - 4)$。
直接将x代入函数得到$\\lim_{x \\to 2} (x^2 - 4) = 0$。
3.2 洛必达法则计算$\\lim_{x \\to 0} \\frac{e^x - 1}{x}$。
利用洛必达法则，对分子和分母同时求导，得到$\\lim_{x \\to 0} \\frac{e^x - 1}{x} = 1$。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ2. （i ）数列{}n x a 的 （ii ）f x ∞→lim ( (iii)x f x x →lim)( (iv)（v （vi ）柯西条件是：ε>∀1.2.洛必达（L’ho x 趋如告诉f （x ）,并且注意导数分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：（i ）“00”“∞∞”时候直接用 (ii)“∞∙0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后，就能变成(i)中的形式了。
即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；)()(1)(1)(1)()(x g x f x f x g x g x f -=-(iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即ex f x g x g x f )(ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞∙0”型未定式。
3.泰勒公式(含有xe 的时候，含有正余弦的加减的时候）12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ ；3211253)!32(cos )1()!12()1(!5!3sin ++++-++-+-+-=m m m mxm x m x x x x x θ cos=221242)!22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ4.5.6.0>>>c b a ，n x =a（2）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++∞→222)2(1)1(11lim n n nn解：由n nn n n n n 1111)2(1)1(110222222=+++<++++< ，以及010limlim==∞→∞→nn n 可知，原式=0 (3)求⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim 解：由nn nn n n n n n n n n n n n n +=+++++<++++++<=++222222111121111111 ,以及11111limlimlim 2=+=+=∞→∞→∞→nnn n n n n 得，原式=17.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q 绝对值要小于1）。
高数求极限的常用公式
高数求极限的常用公式求极限是高等数学中的一个重要概念，它在许多数学和科学领域中都有着重要的应用。
在求极限的过程中，我们可以利用一些常用的公式来简化计算，提高求解效率。
下面我们将介绍一些常用的求极限公式。
1. 常数的极限公式：当n趋向于无穷大时，常数a的极限为a，即lim(a) = a。
2. 幂函数的极限公式：当n趋向于无穷大时，幂函数x^n的极限为：若n>0，则lim(x^n) = ∞或lim(x^n) = -∞，具体取决于x的正负；若n=0，则lim(x^n) = 1；若0<n<1，则lim(x^n) = 0。
3. 指数函数的极限公式：当x趋向于无穷大时，指数函数a^x的极限为：若a>1，则lim(a^x) = ∞；若0<a<1，则lim(a^x) = 0。
4. 对数函数的极限公式：当x趋向于无穷大时，对数函数log_a(x)的极限为：若a>1，则lim(log_a(x)) = ∞；若0<a<1，则lim(log_a(x)) = -∞。
5. 三角函数的极限公式：当x趋向于无穷大时，三角函数的极限为：lim(sin(x)) = 不存在；lim(cos(x)) = 不存在；lim(tan(x)) = 不存在。
6. 指数与对数函数的极限公式：当x趋向于无穷大时，指数与对数函数的极限为：lim(e^x) = ∞；lim(ln(x)) = ∞。
通过以上常用的求极限公式，我们可以简化极限的计算过程，提高求解的效率。
在实际应用中，我们还可以根据具体问题，灵活运用这些公式，并结合其他数学知识来求解更复杂的极限问题。
求极限是高等数学中的重要内容，掌握这些常用公式对于深入理解极限概念和解决实际问题都具有重要意义。
高数极限与数列公式定理总结大全
高数极限与数列公式定理总结大全高数极限与数列公式定理总结大全一、极限1.极限的定义：当一个数列中的项数n无限增大时，如果数列的项趋近于一个确定的数值，则称这个数值为这一数列的极限。
2.极限的性质：极限具有唯一性、有界性、收敛性。
3.极限的求法：通常有直接观察法、定义法、等价无穷小代换法、洛必达法则、泰勒公式等方法。
4.重要极限：lim(1+1/n)^n=e；lim(sinx/x)=1(x趋向于无穷)。
二、数列1.等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则称这个数列为等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差。
2.等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则称这个数列为等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比。
3.数列的求和：通常有公式求和法、分组求和法、倒序相加法、裂项相消法等方法。
4.数列的通项公式：通常有直接观察法、构造法、递推关系式法等方法。
5.数列的极限：当数列的项数n无限增大时，如果数列的项趋近于一个确定的数值，则称这个数值为这一数列的极限。
三、导数与微分1.导数的定义：导数是函数在某一点的变化率，反映了函数在这一点附近的局部性质。
2.导数的几何意义：在曲线上某点的切线斜率即为该点的导数值。
3.导数的运算：导数的四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
4.微分的定义：微分是函数在某一点附近的近似值，可以用来近似计算函数在某一点的值。
5.微分的应用：微分主要用于近似计算和误差估计等方面。
四、积分1.定积分的定义：定积分是函数在区间上的积分和，表示函数在这个区间上的平均值。
2.定积分的性质：定积分具有非负性、可加性、可减性等性质。
3.微积分基本定理：微积分基本定理说明了定积分与被积函数的原函数之间的关系。
4.不定积分的定义：不定积分是函数的一组原函数，表示该函数的无穷多个可能的值。
5.不定积分的性质：不定积分具有线性性、可加性等性质。
6.积分的应用：积分在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用，如求面积、体积、长度等。
求极限方法总结
求极限方法总结求极限方法总结一，求极限的方法横向总结：1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。
4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
6运用重要极限求极限（基本）。
7乘除法中用等价无穷小量求极限。
8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。
9常数比0型求极限：先求倒数的极限。
10根号套根号型：约分，注意别约错了。
11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos二，求极限的方法纵向总结：1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。
2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置2）用无穷小量与有界变量的乘积3）2个重要极限4）分式解法（上述）高数解题技巧。
高数（上册）期末复习要点高数（上册）期末复习要点第一章：1、极限2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）高数解题技巧。
大学数学如何求极限
高数求极限的方法⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①：假设极限)(lim 0x f x x →和)(lim x g xx →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ⋅当0x x →时也存在且①[])()()()(lim lim lim 0.0x g x f x g x f x x x x x →→→±=±②[])()()()(lim lim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=⋅又假设0)(lim 0≠→x g x x ，则)()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()()(limlim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如∞∞、00等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。
例1：求2422lim ---→x x x解：原式=()()()02222lim lim22=+=-+---→→x x x x x x⒉用两个重要的极限来求函数的极限①利用1sin lim=→xxx 来求极限 1sin lim 0=→x xx 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞→x g x g x例2：xxx -→ππsin lim解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim==-→→t tx x t x ππ例3：求()11sin 21lim --→x x x解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 122121lim lim =--⋅+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)11(lim 来求极限e x x =+∞→)11(lim 的另一种形式为e =+→ααα1)1(lim .事实上，令.1x =α∞→x .0→⇔α所以=+=∞→x x x e )11(lim e =+→ααα10)1(lim例4: 求xx x 1)21(lim +→的极限解：原式=221210)21()21(lim e x x xx x =⎥⎦⎤+⋅⎢⎣⎡+→利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。
高数求极限
高数求极限
高数中，求极限是一种重要的数学计算方法。
在极限的计算中，我们需要根据函数的性质和一些基本的极限公式来求解。
主要步骤如下：
1. 确定极限的形式：当我们要求一个函数的极限时，首先要确定其形式，如极限是否为无穷大、无穷小或者有限值等。
2. 找到函数的极限公式：根据函数的性质和一些基本的极限公式，可以找到合适的公式来求解极限。
3. 化简极限：在使用极限公式计算时，我们需要对函数进行化简，以便于计算。
4. 求解极限：通过一系列的计算和化简，最终可以得到函数的极限值。
需要注意的是，在使用极限计算时，我们需要注意一些常见的错误，如分母为零、未考虑余项等。
因此，在求解极限时，需要谨慎思考，避免错误的发生。
总之，高数求极限不仅是一种数学技巧，更是一种思维方法。
只有通过不断的练习和思考，才能更好地掌握求解极限的技巧和方法。
- 1 -。
高数数学极限总结
高数数学极限总结.doc高等数学极限总结引言极限是高等数学中的核心概念之一，它描述了函数在某一点附近的行为，是微积分学的基础。
本文档旨在总结高等数学中极限的基本概念、性质、计算方法以及应用。
极限的定义函数的极限设函数( f(x) )定义在点( a )的某个去心邻域内，如果存在常数( L )，对于任意给定的正数( \epsilon )（无论多么小），总存在正数( \delta )，使得当( 0 < |x - a| < \delta )时，都有( |f(x) - L| < \epsilon )，则称( L )是函数( f(x) )当( x )趋于( a )时的极限，记作( \lim_{x \to a} f(x) = L )。
无穷远处的极限函数( f(x) )在( x )趋于无穷大时的极限，如果存在常数( L )，使得对于任意给定的正数( \epsilon )，总存在正数( M )，使得当( |x| > M )时，都有( |f(x) - L| < \epsilon )，则称( L )是函数( f(x) )当( x )趋于无穷大时的极限，记作( \lim_{x \to \infty} f(x) = L )。
极限的性质唯一性极限存在且唯一。
保号性如果( \lim_{x \to a} f(x) = L )，且( L > 0 )，则存在( \delta > 0 )，使得当( 0 < |x - a| < \delta )时，( f(x) >0 )。
有界性如果( \lim_{x \to a} f(x) = L )，则存在( \delta > 0 )，使得当( 0 < |x - a| < \delta )时，( f(x) )是有界的。
极限的计算方法直接代入法如果函数( f(x) )在点( a )处连续，则可以直接代入( x = a )来求极限。
高数极限总结
高数极限总结高等数学中的极限是一个重要的概念，深入理解和掌握极限的性质和计算方法对于学习数学和应用数学都是非常关键的。
本文将对高数中的极限进行总结，从极限的定义、性质到计算方法进行系统地探讨。
1. 极限的定义极限是数学分析中最重要的概念之一，它描述了函数在某一点附近的变化趋势。
对于函数$f(x)$当$x$无限接近某一点$a$时，如果$f(x)$的函数值趋近于某个常数$L$，则称$L$为函数$f(x)$在$x=a$处的极限，记作$\lim_{x\to a}f(x)=L$。
这个定义可以形象地理解为“当$x$无限接近$a$时，$f(x)$趋近于$L$”。
2. 极限的性质极限具有一些重要的性质，其中最基本的有唯一性、有界性和保号性。
- 唯一性：如果函数$f(x)$在$x=a$处的极限存在，那么极限值$L$是唯一确定的，即唯一确定一个函数在某点的极限。
- 有界性：如果函数$f(x)$在$x=a$处的极限存在，那么函数在某个邻域内是有界的，即存在一个上界$M$和下界$m$，使得对于所有的$x$都有$m\leq f(x)\leq M$。
- 保号性：如果函数$f(x)$在$x=a$处的极限存在且为正数（负数），那么函数在某个邻域内保持正号（负号），即对于任意$x$，都有$f(x)>0$（$f(x)<0$）。
3. 极限的计算方法计算极限是数学分析中的基本技能，要熟练掌握各种计算方法。
- 代入法：对于简单的函数，可以直接将$x$的值代入函数中计算极限，如$\lim_{x\to3}(2x+1)=2\cdot3+1=7$。
- 基本极限法则：根据极限的性质，可以利用基本的极限法则来计算复杂函数的极限，如$\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=1$。
- 多项式函数的极限：对于多项式函数，可以通过化简或利用洛必达法则来计算极限，如$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$。
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第一章极限计算方法总结
一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：
数列极限、函数极限， 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：0)1(1
lim
2=+-∞→n n ；5)13(lim 2=-→x x ；1,0lim <=∞
→q q n n 当等。
定义证明按着总结的四个步骤来，缺一不可！（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限
作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则
定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在， 且（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[（2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim
（3）)0(,)()(lim
成立此时需≠=B B
A
x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限
（1）
1sin lim
0=→x
x x （2） e x x
x =+→1
0)1(lim ； e x x
x =+∞→)11(lim
说明：（1）不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式。
（2）一定注意两个重要极限成立的条件。
例如：
133sin lim 0=→x
x x ，e x x x =--→210)21(lim ，e x x
x =+∞→3)31(lim ；等等。
4．等价无穷小
定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x
e 。
说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。
定理4 如果函数
)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ，
)(x g ～)(1x g ，则当)()(lim
110
x g x f x x →存在时，)()
(lim 0x g x f x x →也存在且等于)()(lim 1
10x g x f x x →。
5．连续性
定理5 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x 是函数)(x f 的定义去间内
的一点，则有)()(lim
00
x f x f x x =→ 。
求极限的一个方法。
6．极限存在准则
定理6（准则1） 单调有界数列必有极限。
定理7（准则2） 已知}{,}{,}{n n n z y x 为三个数列，且满足：
（1）
),3,2,1(,Λ=≤≤n z x y n n n （2） a y n n =∞
→lim ，a z n n =∞
→lim
则极限∞
→n n x lim
一定存在，且极限值也是a ，即a x n n =∞
→lim 。
二、求极限方法举例
1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限
例1
1
2
13lim
1
--+→x x x
解：原式=4
3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2
)12(lim --+∞
→n n n n
解：原式=2
3
11213lim
1
2)]1()2[(lim
=
-++
=
-++--+∞
→∞
→n
n n n n n n n n
n 分子分母同除以。
例3 n
n n
n n 323)1(lim ++-∞→
解：原式
11)3
2(1)31
(lim 3
=++-=
∞→n
n n n
上下同除以 。
2． 利用函数的连续性（定理6）求极限 例4
x
x e
x 122
lim →
解：因为20=x 是函数x
e
x x f 12)(=的一个连续点，
所以 原式=e e 42
2
12
= 。
3． 利用两个重要极限求极限 例5 2
03cos 1lim
x x
x -→
解：原式=61
)
2
(122sin 2lim 32sin 2lim
22
02
2
=⋅=→→x x
x x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则(第三章) 例6
x
x x 20
)sin 31(lim -→
解：原式=6sin 6sin 31
sin 6sin 310
]
)
sin 31[(lim )
sin 31(lim ---→-⋅
-→=-=-e x x x
x x
x x
x
x x 。
例7
n
n n n )1
2(
lim +-∞
→ 解：原式=31
331
1
331])1
31[(lim )1
31(lim -+--+∞→+-⋅
-+∞→=+-+=+-+e n n n n
n n n n
n n 。
4． 利用定理2求极限 例8
x
x x 1
sin
lim 20
→ 解：原式=0 （定理2的结果）。
5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限
例9 )
arctan()
31ln(lim 20x x x x +→
解：)31ln(0x x +→时，Θ
～x 3，)arctan(2x ～2x ，∴ 原式=33lim
2
=⋅→x x
x x 。
例10 x
x e e x
x x sin lim sin 0--→
解：原式=1sin )
sin (lim sin )1(lim sin 0sin sin 0=--=--→-→x
x x x e x x e e x x x x x x 。
注：下面的解法是错误的：
原式=1sin sin lim sin )1()1(lim
0sin 0=--=----→→x x x x x
x e e x x x x 。
正如下面例题解法错误一样：
0lim sin tan lim
3030
=-=-→→x
x
x x x x x x 。
例11
x
x x x sin )
1
sin tan(lim 20→
解：等价与是无穷小，时，当x
x x x x x x 1
sin )1sin tan(1sin
0222
∴→Θ， 所以， 原式=01sin lim 1
sin
lim
020
==→→x
x x x x x x 。
（最后一步用到定理2）
5． 利用极限存在准则求极限
例20 已知),2,1(,2,211
Λ=+==+n x x x n n ，求n n x ∞
→lim
解：易证：数列}{n x 单调递增，且有界（0<n x <2），由准则1极限n n x ∞
→lim 存在，
设 a x n n =∞
→lim 。
对已知的递推公式 n
n x x +=+21两边求极限，得：
a
a +=2，解得：2=a
或1-=a （不合题意，舍去）
所以
2lim =∞
→n n x 。
例21 )12111(lim 2
2
2
n
n n n n ++
+++
+∞
→Λ
解： 易见：
1
12
1
1
1
2
2
2
2
2+<
+++++
+<
+n n n
n n n n
n n Λ
因为
1lim
2
=+∞
→n
n n n ，11
lim
2
=+∞→n n n
所以由准则2得：1)12
1
1
1
(
lim 2
2
2
=++
+++
+∞
→n
n n n n Λ 。
上面对求第一章极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。
另外，求极限还有其它一些方法，如用洛必达、定积分求极限等，后面再作介绍。