高数 数学极限总结
高等数学极限公式汇总
高等数学极限公式汇总在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，它贯穿了整个学科的始终。
极限的计算和应用需要掌握一系列的公式和方法，下面就为大家详细汇总一下高等数学中的极限公式。
一、数列极限1、定义：对于数列$＼｛a_n\｝＄，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n ＞ N$时，有$｜a_n A| ＜＼epsilon$，则称数列$＼｛a_n\｝＄的极限为$A$，记作$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A$。
2、数列极限的性质（1）唯一性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则极限是唯一的。
（2）有界性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则数列$＼｛a_n\｝＄是有界的。
（3）保号性：如果$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A ＞ 0$（或$A ＜0$），则存在正整数$N$，当$n ＞ N$时，有$a_n ＞ 0$（或$a_n ＜0$）。
3、常见数列的极限（1）＄＼lim_{n\to\infty} ＼frac{1}｛n} ＝ 0$（2）＄＼lim_{n\to\infty} q^n ＝ 0$（＄｜q| ＜ 1$）（3）＄＼lim_{n\to\infty} C ＝ C$（＄C$为常数）二、函数极限1、定义（1）当$x\to x_0$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$＼delta$，使得当$0 ＜｜x x_0| ＜＼delta$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to x_0$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to x_0} f(x) ＝ A$。
（2）当$x\to\infty$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$M$，使得当$｜x| ＞ M$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to\infty$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to\infty} f(x) ＝A$。
高数_数学极限总结
高数_数学极限总结
数学极限旨在研究一个变量值接近但未达到一个特定数值时整个表达式的行为。
在极
限理论中，经常被称为“触及极限”(tending to limit)。
极限有两种类型：极限和无穷大。
极限是指表达式越来越接近某个特定的数值的状态，而无穷大则表示表达式几乎接近于一个特定的无限大的数值。
求极限的各种方法:
原函数法：根据变量趋向特定值时函数展开时形成的多项式推导其极限值。
变量迭代法：针对变量求值，当自变量变化时，函数值变化相同。
导数法：根据定义对变量取导数，把导数置零，得到方程和变量取值。
分母重置法：当表达式中存在分式且分母可变，则把它变为分母的重置形式，来求极限。
泰勒公式法：利用泰勒公式求函数展开式的极限。
洛必达斯平方和定理法：用变量求和，然后把求和结果代入平方和定理，求解方程，
进而求极限的值。
三角函数法：利用三角函数的展开式，求三角函数的极限值。
极限也可以作为形函数理论的有用工具，比如求最大值和最小值、极限点、局部极小
点和全局极小点。
极限还可以用于分析函数不可导性、曲线不可娶群及曲线是否对称等问题。
极限在数学中运用广泛，它常常可以把复杂的问题变得容易理解；它也可以解决无法
用解析的方法解决的问题。
极限的概念也可以帮助我们更清晰的理解经典数学中的很多概念，比如微分、积分等。
高等数学极限求法总结
高等数学极限求法总结高等数学极限求法总结极限的判断定义是:单调递增有上界则有极限,单调递减有下界则有极限。
下面是小编整理的高等数学极限求法总结，希望对你有帮助！函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知的极极限值的证明题中。
掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x时的极限。
1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。
方能利用极限四则运算法则进行求之。
不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。
但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。
而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。
例 1 求 lim( x 2 3x + 5).x→ 2解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5= (lim x) 2 3 lim x + lim 5= 2 2 3 2 + 5 = 3.x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →22.利用洛必达法则洛必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。
一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。
利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;（3）x→a时,lim(f(x)/F(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F(x))例1：1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx) = 1 / (cosx)^2(x) = 1原式 = lim 1/(cosx)^2当 x --> 0 时,cosx ---> 1原式 = 13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：① 分子、分母为无穷小，即极限为 0 ；② 分子上取正弦的角必须与分母一样。
有关极限知识点总结
有关极限知识点总结一、极限的概念1.1 极限的定义在微积分中，我们通常用极限来描述函数在某一点附近的行为。
如果一个函数f(x)在x趋向于a的过程中，当x足够接近a时，f(x)的取值也趋向于一个确定的常数L，那么我们就说f(x)在x趋向于a时的极限存在，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义还可以用符号ε和δ来表达，即对任意给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。
1.2 极限的几何意义极限可以理解为函数在某一点附近的局部平均值。
当x趋向于a时，函数f(x)在a点的极限就是当x趋近a时，f(x)对应的y值所形成的一个集合，而这个集合的平均值即为该点的极限值。
这也可以理解为函数在某一点附近的近似值，通过这个近似值，我们可以更好地了解函数在该点的行为。
1.3 极限的存在性极限并不是所有函数都存在的，有些函数在某些点处可能不存在极限。
一般来说，函数在某一点处的极限是否存在取决于该点的邻域内函数的性质和变化规律。
我们需要通过一些定理和性质来判断函数在某一点的极限是否存在。
二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x趋向于a时的极限存在且是唯一的，那么这个极限值是确定的，记作lim(x→a)f(x)=L。
这说明函数在某一点的极限只可能有一个值，如果存在多个值，则说明函数在该点的极限不存在。
2.2 极限的局部性极限具有局部性的特点，即函数在某一点的极限与该点的邻域内的函数值相关。
当x趋向于a时，函数f(x)的极限值只与a点邻域内的函数值有关，与该点的邻域外的函数值无关。
这也说明了极限可以通过邻域内的近似值来确定。
2.3 极限的分段性如果一个函数可以分成若干个区间，每个区间内函数的极限存在且是确定的，那么这个函数在整个定义域内的极限也是存在的。
这说明了极限的存在性与区间的分割是有密切关系的，通过区间的极限可以得到整个函数的极限。
极限的公式总结
极限的公式总结极限是高等数学中的重要概念，它在数学、物理和工程等领域中都有着广泛的应用。
极限的公式可以帮助我们求解一些复杂的问题和优化计算。
在本文中，我们将总结一些常见的极限公式，包括函数极限、无穷极限和级数极限等。
一、函数极限公式1. 一次函数极限：若 f(x) = ax + b（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a+b。
2. 二次函数极限：若 f(x) = ax² + bx + c（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a²+b*a+c。
3. 幂函数极限：若 f(x) = x^a（a为实数），则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若 a > 0，则极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的正负；- 若 a = 0，则极限为 1；- 若 a < 0，则极限为 0。
4. 指数函数极限：α 为常数，若f(x) = α^x，则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若α > 1，则极限为∞ 或 0，具体取决于 x 的正负；- 若0 < α < 1，则极限为 0 或∞，具体取决于 x 的正负； - 若α = 1，则极限为 1。
5. 对数函数极限：若f(x) = logₐ(x)（a>0 且a≠1），则当x→0 或x→∞ 时，f(x) 的极限为：- 当 a > 1 时，极限为 -∞ 或∞，具体取决于 x 的趋势；- 当 0 < a < 1 时，极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的趋势。
6. 三角函数极限：- sin(x) 的极限为 1，当x→0 时；- cos(x) 的极限为 1，当x→0 时；- tan(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(nπ/2)(n为整数) 时；- cot(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时；- sec(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(2n+1)(π/2)(n为整数) 时； - csc(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时。
《高等数学》各章知识点总结——第1章（五篇）
《高等数学》各章知识点总结——第1章（五篇）第一篇：《高等数学》各章知识点总结——第1章第1章函数与极限总结1、极限的概念（1）数列极限的定义给定数列{xn}，若存在常数a，对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N ,使得对于n >N 时的一切n,恒有|xn-a |<ε 则称a 是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a ,记为n→∞limxn=a或xn→a(n→∞).（2）函数极限的定义设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内（或当x>M>0）有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,（或存在X）使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ 时,（或当x>X时）恒有|f(x)-A|<ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限,记为x→x0limf(x)=A或f(x)→A(当x→x0).（或limf(x)=A）x→∞类似的有：如果存在常数A,对∀ε>0,∃δ>0,当x:x0-δ<x<x0（x0<x<x0-δ）时，恒有f(x)-A<ε，则称A为f(x)当x→x0时的左极限（或右极限）记作x→x0-limf(x)=A(或lim+f(x)=A)x→x0x→x0x→x0x→x0显然有limf(x)=A⇔lim-f(x)=lim+f(x)=A) 如果存在常数A,对∀ε>0,∃X>0,当x<-X(或x>X)时，恒有f(x)-A<ε，则称A为f(x)当x→-∞（或当x→+∞）时的极限记作limf(x)=A(或limf(x)=A)x→-∞x→+∞显然有limf(x)=A⇔limf(x)=limf(x)=A)x→∞x→-∞x→+∞2、极限的性质（1）唯一性若limxn=a，limxn=b，则a=bn→∞n→∞若limf(x)=Alimf(x)=B，则A=Bx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)（2）有界性（i）若limxn=a，则∃M>0使得对∀n∈Nn→∞+,恒有xn≤M（ii）若limf(x)=A，则∃M>0当x:0<x-x0<δ时，有f(x)≤Mx→x0（iii）若limf(x)=A，则∃M>0,X>0当x>X时，有f(x)≤Mx→∞（3）局部保号性（i）若limxn=a且a>0(或a<0)则∃N∈N+，当n>N时，恒有xn>0(或xn<0)n→∞)=A，且A>0(或A<0)，则∃δ>0当x:0<x-x0<δ时，有（ii）若limf(xx→x0f(x)>0(或f(x)<0)3、极限存在的准则（i）夹逼准则给定数列{xn},{yn},{zn}若①∃n0∈N,当n>n0时有yn≤xn≤zn ②limyn=limzn=a，n→∞n→∞+则limxn=an→∞ 给定函数f(x),g(x),h(x)， 若①当x∈U(x0,r)（或x>X）时，有g(x)≤f(x)≤h(x)②limg(x)=limh(x)=A，x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)0则limf(x)=A x→∞(x→x0)（ii）单调有界准则给定数列{xn}，若①对∀n∈N+有xn≤xn+1(或xn≥xn+1)②∃M(m)使对∀n∈N+有xn≤M(或xn≥m)则limxn存在n→∞若f(x)在点x0的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则lim-f(x)（或lim+f(x)）x→x0x→x0存在4、极限的运算法则（1）若limf(x)=A，limg(x)=Bx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)则(i)lim[f(x)±g(x)]=A±Bx→∞(x→x0)(ii)lim[f(x)⋅g(x)]=A⋅Bx→∞(x→x0)(iii)limx→∞(x→x0)f(x)A=⋅（B≠0）g(x)B0（2）设（i）u=g(x)且limg(x)=u0（ii）当x∈U(x0,δ)时g(x)≠u0x→x0（iii）limf(u)=Au→u0则limf[g(x)]=limf(u)=Ax→x0u→u05、两个重要极限（1）limsinx=1x→0xsinu(x)=1u(x)→0u(x)limlimsinx11=0，limxsin=1，limxsin=0x→∞x→∞x→0xxxxu(x)⎛1⎫1⎫⎛lim1+（2）lim 1+⎪=e ⎪u(x)→∞x→∞u(x)⎭x⎭⎝⎝=e;lim(1+x)=ex→01xv(x)→0lim(1+v(x))1v(x)=e;6、无穷小量与无穷大量的概念（1）若limα(x)=0，即对∀ε>0,∃δ>0,当x:0<x-x0<δ（或x→∞(x→x0)x>X）时有α(x)<ε，则称当x→x0(或x→∞)，α(x)无穷小量（2）或X>0),若limf(x)=∞即对∀M>0,∃δ>0(当x:0<x-x0<δx→∞(x→x0)（或x>X）时有f(x)>M则称当x→x0(或x→∞)，f(x)无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）limf(x)=A⇔f(x)=A+α(x),其中limx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)α(x)=0（f(x)≠0）⇒lim（2）limf(x)=0x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)1=∞f(x)（3）limg(x)=∞⇒limx→∞(x→x0)x→∞(x→x01=0 g(x))（4）limf(x)=∞且∃M>0,当x:0<x-x0<δ（或x>X）时有g(x)≤M，x→∞(x→x0)则lim[f(x)+g(x)]=∞x→∞(x→x0)（5）limf(x)=0且∃M>0,当x:0<x-x0<δ（或x>X）时有g(x)≤M，x→∞(x→x0)则lim[f(x)⋅g(x)]=0x→∞(x→x0)nn（6）limfk(x)=0(k=1,2,Λ,n)则limx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)k=1∑fk(x)=0,limx→∞(x→x0)k=1∏fk(x)= 0，8、无穷小量的比较x→∞(x→x0)limf(x)=0,limg(x)=0,limα(x)=0x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)若（1）lim小。
高等数学极限的公式总结
高等数学极限的公式总结在高等数学中，极限的公式是非常重要的概念，这些公式能够帮助我们理解函数的极限，并进行极限的运算。
以下是一些常见的高等数学极限的公式总结：1. 极限的四则运算性质：lim(a+b) = lim a + lim blim(a-b) = lim a - lim blim(ab) = lim a lim b (假设lim a 和 lim b都存在)lim(a/b) = lim a / lim b (假设lim b 不等于0)2. 极限的常数性质：lim a = a (当a是一个常数)3. 极限的单调性：lim(f(x0+delta x) - f(x0)) / delta x = f'(x0) (当delta x -> 0)4. 连续函数的性质：如果f(x)在x0处连续，那么lim f(x) = f(x0) 当 x -> x05. 无穷小量与无穷大量：当x -> 0时，x是无穷小量，1/x是无穷大量。
6. 洛必达法则：如果lim (f'(x)/g'(x))存在，那么lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x)) (当x->a时)。
7. 泰勒公式：对于任何n阶可导函数f(x)，存在一个多项式Pn(x)，使得对于所有-∞ < x < ∞，有f(x) = Pn(x) + o(x^n)，其中o(x^n)是高阶无穷小。
8. 夹逼准则：如果存在一个区间或闭区间[a, b]，满足f(a) <= g(a), f(b) >= g(b)，并且lim f(x) = lim g(x)，则lim g(x)存在，并且lim g(x) = lim f(x)。
9. 无穷大与无穷小的关系：lim x -> ∞ f(x) = lim x -> ∞ f(x) （如果存在的话）lim x -> ∞ f(x) = 0 （如果lim x -> ∞ f(x)存在的话）10. 极限的唯一性：对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当x - x0 < δ时，有f(x) - A < ε。
高数函数的极限知识点
高数函数的极限知识点一、极限的定义1. 数列极限数列 $\{a_n\}$ 极限为 $L$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式 $|a_n - L| < \epsilon$ 成立。
2. 函数极限函数 $f(x)$ 当 $x \to c$ 时的极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - c| < \delta$ 时，不等式 $|f(x) - L| < \epsilon$ 成立。
二、极限的性质1. 唯一性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} f(x) = M$ 都成立，则 $L = M$。
2. 局部有界性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，则 $f(x)$ 在 $c$ 的某个邻域内有界。
3. 局部保号性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 且 $L > 0$，则存在 $c$ 的一个邻域，使得在这个邻域内 $f(x) > 0$。
三、极限的计算1. 极限的四则运算如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} g(x) = M$ 都存在，则：- $\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = L + M$- $\lim_{x \to c} [f(x) - g(x)] = L - M$- $\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$- $\lim_{x \to c} [f(x) / g(x)] = L / M$，当 $M \neq 0$。
高数数学极限总结资料
高数数学极限总结资料一、定义：极限（limit）是高等数学中一个重要的概念，不管在何时何地，几乎所有的数学定理和实际应用中，都离不开极限的概念，极限的概念的出现，使得很多以前被认为无解的数学问题，得以有效解决。
二、速率极限：速率极限（Rate of Change Limit）是讨论函数变化率（rate of change）时使用的概念。
它指的是一个函数当它处于极限状态时，其变化率（rate of change）会几乎接近于零。
可以说，函数的某个点处的变化率越接近零，则函数处于越接近极限的状态。
速率极限是解决常微分方程的关键，可帮助理解函数的变化率是如何随着自变量的变化而变化的。
三、双边极限：双边极限是在一个定义域中植入一个“小数字”，使得函数趋近某个可观察值。
双边极限定义了曲线就在“极限值”上，即曲线非常接近这一“极限值”。
双边极限可以用来判断函数是否连续，可以用来判断两个函数是否相等、是否存在封闭集等。
双边极限也是解决无穷积分问题的关键。
四、无穷大极限：无穷大极限（infinity limit）是当函数在某一方向上的取值不断增加时，函数的值会几乎趋近于正无穷大或负无穷大，也可以把无穷大极限看做是一个函数在相应方向上的“极限值”。
无穷大极限的发现，使得很多以前无法解决的极大（或极小）量问题得以解决，是极限理论及应用取得巨大成就的基础。
五、极限定理：极限定理(Limit Theorem)是数学分析中，极限理论的更深层次的一个定义。
它是指当一个数序中的每一项都趋近于某个数时，其和也会趋近于这个数。
极限定理的宗旨是使数位的总和趋近于一数值，从而使所有数都趋近于此数值。
在微积分中，极限定理对许多定理，如泰勒公式、极大值定理等初步思想，均有重要作用。
常用极限知识点归纳总结
常用极限知识点归纳总结一、极限的定义1. 函数在某个点的极限设函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义（除$x_0$本身可以无定义），如果对任意一个实数$\varepsilon>0$，总存在一实数$\delta>0$，使得当$x$满足不等式$0<|x-x_0|<\delta$时，相应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|<\varepsilon$，则称A是当x趋于$x_0$时函数$f(x)$的极限\[ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = A \]2. 函数的无穷大极限如果对于任意一个正数$M$，总存在着正数$\delta$，使得当$|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)|>M$，则称当$x$趋于$x_0$时函数$f(x)$的极限为无穷大，记作\[ \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = \infty \]3. 函数的无穷小极限如果对于任意一个正数$\varepsilon$，总存在着正数$\delta$，使得当$|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)|<\varepsilon$，则称当$x$趋于$x_0$时函数$f(x)$的极限为无穷小，记作\[ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = 0 \]二、极限的性质1. 有界性若$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = A$，并且$\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = B$，则\[ \lim_{x \rightarrow x_0} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B \]\[ \lim_{x \rightarrow x_0} k \cdot f(x) = k \cdot A \]这里$k$是常数\[ \lim_{x \rightarrow x_0} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B \]\[ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} \]如果$g(x)$不等于02. 夹逼定理若在$x_0$的某邻域内有$\varphi(x) \leq f(x) \leq \psi(x)$，而$\lim_{x \rightarrow x_0}\varphi(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} \psi(x) = A$，则\[ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = A \] 3. 无穷小的性质若$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = 0$，则\[ \lim_{x \rightarrow x_0} [f(x)]^n = 0 \]其中$n$是大于零的常数\[ \lim_{x \rightarrow x_0} k \cdot f(x) = 0 \]其中$k$是常数\[ \lim_{x \rightarrow x_0} [f(x)]^m \cdot [g(x)]^n = 0 \]其中$m,n$都是大于零的常数\[ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) \cdot g(x) = 0 \]\[ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \]如果$g(x)$不等于04. 无穷大的性质若$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = A$，则\[ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)} =\frac{1}{A} \]5. 组合函数的极限若$\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = b$，而$\lim_{y \rightarrow b} f(y) = A$，则\[ \lim_{x \rightarrow x_0} f(g(x)) = A \]三、常用极限1. 无穷小的极限\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]\[ \lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e \]\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0 \]\[ \lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e \]\[ \lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{k}{x})^x = e^k \]2. 无穷大的极限\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = \infty \]\[ \lim_{x \rightarrow \infty} e^x = \infty \]\[ \lim_{x \rightarrow \infty} \ln x = \infty \]3. 三角函数的极限\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0 \]4. 指数函数和对数函数的极限\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x} = 1 \]\[ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \]5. 组合函数的极限\[ \lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e \]以上是常用的极限知识点的归纳总结，希望能对大家有所帮助。
高等数学极限求法总结
高等数学极限求法总结在高等数学中，极限是一个至关重要的概念，它在微积分、数学分析等领域中扮演着重要角色。
极限求法是数学学习中的一个关键技能，通过正确的方法和技巧能够更快地求解各种极限问题。
本文将系统总结常见的极限求法，包括极限的基本性质、洛必达法则、泰勒展开等内容，帮助读者更好地掌握和运用极限求法。
一、极限的基本性质1. 有界性如果一个函数在某点的一个邻域内有界，那么该函数在该点的极限存在且有限。
2. 夹逼准则如果函数f(x)在点a的某个邻域内除a点以外都满足0≤g(x)≤f(x)≤h(x)，并且lim[g(x)]=lim[h(x)]=L，则由夹逼准则可得lim[f(x)]=L。
二、洛必达法则洛必达法则常用来解决0/0型或∞/∞型的极限。
若lim[f(x)]=0, lim[g(x)]=0，并且lim[f’(x)/g’(x)]存在，则lim[f(x)/g(x)]=lim[f’(x)/g’(x)]。
三、泰勒展开泰勒展开是在某一点附近用多项式逼近一个函数的方法。
简单来说，就是用一个多项式不断逼近原函数，使得在该点附近它们的表现尽量接近。
泰勒展开的公式如下：f(x)≈f(a)+f’(a)(x-a)+f’’(a)(x-a)2/2!+⋯+f n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中，f(x)是原函数，a是展开的点，f^(n)(a)表示f(x)在点a处的n阶导数，Rn(x)是泰勒余项，即多项式逼近的误差。
通过以上总结，我们可以看到，极限求法涉及到多方面的知识和技巧，需要结合具体问题选择合适的方法进行求解。
掌握极限求法不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还可以在数学建模、物理学等领域中发挥重要作用。
希望通过本文的总结，读者能够更加熟练地运用各种极限求法，提升自己的数学水平。
极限高数知识点总结
极限高数知识点总结极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究函数趋于某个趋势或者某个值时的性质的一种方法。
极限的研究对于理解函数的性质、求解微积分的各种问题具有非常重要的意义。
在高等数学中，极限被广泛应用于各个领域，是数学分析的基础和核心之一。
下面我们来系统地总结一下极限的相关知识点。
一、极限概念1.1 函数的极限函数的极限是指当自变量趋于某一值时，因变量的值趋于某一值。
设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义时，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，对应的f(x)都满足|f(x)-A|<ε。
那么称当x趋于a时，f(x)的极限为A，记作lim(f(x))=A，或者x→a时f(x)趋于A。
1.2 无穷大与无穷小当x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷大，记作lim(f(x))=∞。
当x趋于无穷小时，函数f(x)的极限称为无穷小，记作lim(f(x))=0。
1.3 极限运算法则函数极限的运算法则包括加减乘除四则运算法则、乘积的极限法则、商的极限法则等。
二、极限存在性2.1 极限的必要条件与充分条件函数极限存在的充分必要条件是明确的，但是对于不同类型的函数，其极限存在的条件也有所不同。
比如对于无穷大级数，其收敛的充分必要条件为级数通项趋于0。
2.2 极限存在的判定方法判定极限是否存在的方法包括夹逼准则、单调有界法、变量代换法、洛必达法则、泰勒展开法等。
三、极限计算3.1 无穷小量的性质无穷小量有许多性质，包括有限个无穷小的和、积仍是无穷小，无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小，无穷小的高阶无穷小、低阶无穷小、等阶无穷小等。
3.2 无穷大量的性质无穷大量也有一些性质，包括有限个无穷大的和、积仍是无穷大，无穷大的倒数为无穷小等。
3.3 极限的计算方法极限的计算方法包括利用极限的基本性质和极限的等价无穷小、等价无穷大的性质，还有利用洛必达法则或者泰勒展开法则进行计算。
极限总结（小编整理）
极限总结（小编整理）第一篇：极限总结概念整理一、证明极限二、求极限三、定理概念，证明，用途。
四、等价利用，证明一：无穷小：对于任意数，必存在使≤该任意数成立。
改变依他（反3）形式。
二：利用等价，先想清楚化简的目的，看清趋向。
三：1、收敛数列的唯一、有界性，与子数列的关系（同号性）。
2、唯一，函数极限的局部有界性（|…|≤M），局部保号性。
3、limf（x）=A←→f（x）=A+α，其中limα=04、无穷大：对任意数，必存在使≥该任意数，垂直渐近线。
5、无穷小±*无穷小=无穷小，无穷小*有界函数（或常数）=无穷小。
6、某函数有极限，则一定领域内，_1___有界（本来是由无穷大到某个数，倒过来之后是某个数到无穷小）f（x）7、无穷小/以非零常数为极限的函数=无穷小（由6,5得）。
8、limf（x），则lim【Cf（x）】=Climf（x）、so does “n次方”。
9、limsinx/x=1P22.P23有好多等价（有证明）。
10、lim（1+1/x）^x=eP2411、趋向更快，则为高阶。
相除为常数，同阶。
与K次相除为常数，K阶无穷小。
相除为1，等价无穷小。
12、连续的定义：该点存在极限且等于该点函数值；在|x-xo|≤δ中存在|f（x）-f（xo）|≤ε；Δx→0，Δy→0.13、可去间断点，跳跃间断点，无穷间断点，震荡间断点（f（x）=1/sinx）。
14、连续函数的四则运算，与常数一致。
15、闭区间连续函数：有界，介值（A>C>B，A、B为端点函数值），零点定理。
习题整理第二篇：高等数学极限总结【摘要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。
然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。
本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。
希望以此文能对学习者有所帮助。
【关键词】高等数学极限技巧《高等数学》极限运算技巧《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。
高数常用极限公式大全
高数常用极限公式大全极限公式：1、e^x-1～x (x→0)2、e^(x^2)-1～x^2 (x→0)3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)5、sinx~x (x→0)6、tanx~x (x→0)7、arcsinx~x (x→0)8、arctanx~x (x→0)9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)10、a^x-1~xlna (x→0)11、e^x-1~x (x→0)12、ln(1+x)~x (x→0)13、(1+Bx)^a-1~aBx (x→0)14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx (x→0)15、loga(1+x)~x/lna(x→0)扩展资料：高等数学极限中有“两个重要极限”的说法，指的是：sinX/x →1（x→0 ），与(1+1/x)^x→e^x（x→∞）。
另外，关于等价无穷小，有：sinx ~ tanx ~ arctanx ~ arcsinx ~ e^x-1 ~ ln(1+X)~ (a^x-1)/lna ~[(1+x)^a-1]/a ~x（x→0），1-cosx ~ x^2/2（x→0）。
你是说求极限的方法吧？求极限没有固定的方法，必须是具体问题具体分析，没有哪个方法是通用的，大学里用到的方法如下：1、四则运算法则（包括有理化、约分等简单运算）；2、两个重要极限（第二个重要极限是重点）；3、夹逼准则，单调有界准则；4、等价无穷小代换（重点）；5、利用导数定义；6、洛必达法则（重点）；7、泰勒公式（考研数学1需要，其它考试不需要这个方法）；8、定积分定义（考研）；9、利用收敛级数（考研）每个方法中可能都会有相应的公式，全总结就太多了，你自己去看吧。
希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。
等价无穷小代换罗必塔法则泰勒展开转化成定积分转化成求导夹逼定理。
高等数学极限知识点总结
高等数学极限知识点总结
以下是高等数学极限知识点总结：
1. 极限的定义：极限是描述函数在某一点的行为的数学工具。
它包括数列的极限和函数的极限。
2. 极限的性质：包括唯一性，有界性，和收敛性。
3. 极限的四则运算法则：如果lim f(x)，lim g(x)存在，那么对于加减乘除四种运算，极限都存在。
4. 极限的夹逼定理：如果一个数列被两个已知极限的数列夹在中间，那么这个数列的极限就是这两个数列的极限。
5. 函数极限的运算法则：如果lim f(x)存在，那么lim [f(x) + c] = lim f(x) + lim c，lim [f(x) c] = lim f(x) lim c，其中c是一个常数。
6. 无穷小和无穷大的概念：无穷小是一个趋于0的变量，无穷大是一个趋于无穷的变量。
7. 洛必达法则：当分子和分母的极限都存在时，可以求出函数的极限。
8. 泰勒级数：将一个函数表示为其各阶导数的无限和的方法。
9. 单侧极限和双侧极限：函数在某一点的单侧极限是指函数在该点的左侧或右侧的极限；双侧极限是指函数在这一点左侧和右侧的极限。
10. 连续性和可微性：如果一个函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则称该函数在该点连续；如果一个函数在某一点的导数存在，则称该函数在该点可微。
以上就是高等数学极限的基本知识点，希望对你有所帮助。
高数数学极限总结
高数数学极限总结.doc高等数学极限总结引言极限是高等数学中的核心概念之一，它描述了函数在某一点附近的行为，是微积分学的基础。
本文档旨在总结高等数学中极限的基本概念、性质、计算方法以及应用。
极限的定义函数的极限设函数( f(x) )定义在点( a )的某个去心邻域内，如果存在常数( L )，对于任意给定的正数( \epsilon )（无论多么小），总存在正数( \delta )，使得当( 0 < |x - a| < \delta )时，都有( |f(x) - L| < \epsilon )，则称( L )是函数( f(x) )当( x )趋于( a )时的极限，记作( \lim_{x \to a} f(x) = L )。
无穷远处的极限函数( f(x) )在( x )趋于无穷大时的极限，如果存在常数( L )，使得对于任意给定的正数( \epsilon )，总存在正数( M )，使得当( |x| > M )时，都有( |f(x) - L| < \epsilon )，则称( L )是函数( f(x) )当( x )趋于无穷大时的极限，记作( \lim_{x \to \infty} f(x) = L )。
极限的性质唯一性极限存在且唯一。
保号性如果( \lim_{x \to a} f(x) = L )，且( L > 0 )，则存在( \delta > 0 )，使得当( 0 < |x - a| < \delta )时，( f(x) >0 )。
有界性如果( \lim_{x \to a} f(x) = L )，则存在( \delta > 0 )，使得当( 0 < |x - a| < \delta )时，( f(x) )是有界的。
极限的计算方法直接代入法如果函数( f(x) )在点( a )处连续，则可以直接代入( x = a )来求极限。
高数极限的知识点笔记总结
高数极限的知识点笔记总结一、数列极限的概念1.1、数列的概念1.1.1、若给定一个从自然数集合N到实数集合R的函数an=f(n),则称序列{an}为数列。
1.1.2、数列是数学中的一个重要概念，它是指有序的一串数的集合。
比如，1,2,3,4,5,6,... 就是一个数列，其中每一个数都有一个位置，称之为该数在数列中的项。
这个位置通常用自然数n表示，称为项数。
1.2、数列极限的概念1.2.1、若数列{an}的项在某一项之后，无论距离这一项多近，都能无限地接近某一个确定的常数A，则称常数A为数列{an}的极限。
极限通过记号lim(an)=A来表示。
1.2.2、数列极限的概念是指当n趋于无穷大时，数列中的项an的极限值。
1.2.3、形式化定义：对于数列{an}，若对于任意给定的正数ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，则称A是数列{an}的极限。
1.3、无穷大数列1.3.1、若数列{an}满足：对于任何实数M，存在正整数N，使得当n>N时，有|an|>M，则称数列{an}为无穷大数列。
1.3.2、无穷大数列的极限是无穷大。
1.4、数列极限的性质1.4.1、唯一性：数列的极限若存在，则唯一。
1.4.2、有界性：如果数列有极限，则这个数列一定是有界的。
1.4.3、保号性：如果数列{an}有极限A, 且A>0（或A<0），则存在正整数N1，当n>N1时，有an>0（或an<0）。
二、函数极限的概念2.1、函数极限的概念2.1.1、在自然数集N上定义的函数f(n)，若当n趋于无穷大时，f(n)的极限存在，则称函数f(n)在n趋于无穷大时有极限。
2.1.2、形式化定义：对于函数f(x)，若对于任意给定的正数ε>0，存在正数δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A是f(x)当x趋于a时的极限。
大一高数极限知识点归纳
大一高数极限知识点归纳一、定义和基本性质高等数学中的极限是一种重要的数学概念，其定义如下：设函数 f(x) 在某一点 a 的某一邻域内有定义，如果存在一个常数 L，对于任意给定的正数ε，无论它多么小，总存在正数δ，当0 < |x - a| < δ 时，使得 |f(x) - L| < ε 成立，则称函数 f(x) 当 x 趋于 a 时的极限为 L，记作lim(x→a) f(x) = L。
极限具有以下基本性质：1. 唯一性：如果极限存在，则极限值唯一。
2. 局部有界性：若函数在某一点的邻域内有极限，则函数在该点的某一邻域内有界。
3. 夹逼定理：如果函数 f(x) 在点 a 的某一邻域内，除点 a 外的其他点的函数值都被两个函数 g(x) 和 h(x) 夹住，即g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，并且lim(x→a) g(x) = lim(x→a) h(x) = L，则函数 f(x) 在点 a 处的极限也存在，且等于 L。
二、常见极限公式1. 基本极限公式：- 常值函数极限：lim(x→a) c = c，其中 c 为常数。
- 自变量 x 的幂函数极限：lim(x→a) x^n = a^n，其中 n 为正整数。
- 指数函数极限：lim(x→a) a^x = a^a，其中 a 为正实数。
- 对数函数极限：lim(x→a) logₐ x = logₐ a，其中 a 为正实数，且a ≠ 1。
2. 三角函数极限公式：- 正弦函数极限：lim(x→0) sinx = 0。
- 余弦函数极限：lim(x→0) cosx = 1。
- 正切函数极限：lim(x→0) tanx = 0。
- 余切函数极限：lim(x→0) cotx = ∞。
3. 指数函数与对数函数极限公式：- 自然对数函数极限：lim(x→0) ln(1+x) = 0。
- 指数函数极限：lim(x→0) (a^x - 1) / x = ln a，其中 a 为正实数，且a ≠ 1。
高数极限总结
高数极限总结高等数学中的极限是一个重要的概念，深入理解和掌握极限的性质和计算方法对于学习数学和应用数学都是非常关键的。
本文将对高数中的极限进行总结，从极限的定义、性质到计算方法进行系统地探讨。
1. 极限的定义极限是数学分析中最重要的概念之一，它描述了函数在某一点附近的变化趋势。
对于函数$f(x)$当$x$无限接近某一点$a$时，如果$f(x)$的函数值趋近于某个常数$L$，则称$L$为函数$f(x)$在$x=a$处的极限，记作$\lim_{x\to a}f(x)=L$。
这个定义可以形象地理解为“当$x$无限接近$a$时，$f(x)$趋近于$L$”。
2. 极限的性质极限具有一些重要的性质，其中最基本的有唯一性、有界性和保号性。
- 唯一性：如果函数$f(x)$在$x=a$处的极限存在，那么极限值$L$是唯一确定的，即唯一确定一个函数在某点的极限。
- 有界性：如果函数$f(x)$在$x=a$处的极限存在，那么函数在某个邻域内是有界的，即存在一个上界$M$和下界$m$，使得对于所有的$x$都有$m\leq f(x)\leq M$。
- 保号性：如果函数$f(x)$在$x=a$处的极限存在且为正数（负数），那么函数在某个邻域内保持正号（负号），即对于任意$x$，都有$f(x)>0$（$f(x)<0$）。
3. 极限的计算方法计算极限是数学分析中的基本技能，要熟练掌握各种计算方法。
- 代入法：对于简单的函数，可以直接将$x$的值代入函数中计算极限，如$\lim_{x\to3}(2x+1)=2\cdot3+1=7$。
- 基本极限法则：根据极限的性质，可以利用基本的极限法则来计算复杂函数的极限，如$\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=1$。
- 多项式函数的极限：对于多项式函数，可以通过化简或利用洛必达法则来计算极限，如$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$。
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函数极限总结
一．极限的产生
极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。
极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。
但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。
从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。
[1]
二．极限知识点总结
1. 极限定义
函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式
时，对应的函数值 都满足不等式：
那么常数A 就叫做函数f(x) 当x →x 0时的极限，记作。
[2] 单侧极限：①.左极限：或 ②.右极限：或 定理：
函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相
等 即。
2. 极限概念
函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式
时，对应的函数值f(x)都满足不
δ<<|x -x |00ε
<-|)(|A x f A x f x
x =→)(lim 0
A x f x
x =-
→)(lim )()(左→→x A x f A x f x
x =+
→)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==⇔
=+-→)()()(lim 0)()()()()(0000lim
x f x f x f x f x f x x ==⇔=+
-→)(x f 0x x →)()()(lim 0
00x f x f x f x
x →+
-==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →
等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。
时的极限。
函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2]
3. 存在准则
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。
下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。
准则Ⅰ.如果数列，及满足以下条件： （1）从某项起，即，当时，有；
（2）；， 那么数列的极限存在，且 准则Ⅰ＇如果（1）当（或）时，
（2），，
那么存在，且等于。
夹逼定理：（1）当时，有 成立
（2）
,那么，极限存在，且等于A
【准则Ⅰ，准则Ⅰ´合称夹逼定理】 准则Ⅱ： 单调有界数列必有极限
准则Ⅱ＇ ：设函数在点的某个左(右)邻域内单调并且有界，则在的左(右)极限必定存在[3]
单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。
柯西准则：数列收敛的充分必要条件是任给o >ε,存在)(εN ,使得当N >n ,
N >m 时，有ε<-||m n x x 成立。
[2]
极限运算相关法则、定理及推论
（1）.设α、β为同一极限过程下的无穷小 （无穷小） （2）.穷小之积为无穷小 （无穷小）
{}n x {}n y {}n z +∈∃N n 00n n >n n n z x y ≤≤a y n x =∞→lim a z n x =∞
→lim {}n x a x n x =∞
→lim ),(0r x U x
∈M x >||)()()(x h x f x g ≤≤A x g x x x =∞→→)(lim )
(0
A x h x x x o =∞→→)(lim )
()(lim )
(0
x f x x x ∞→→A ),(x 0r x U
∉()0x f )(x f 0x )(x f 0x )(-x f ()[]
+x f 0=±βα0=•βα
例1. 【解】
（2）约零因子求极限
)138(21
lim
+-→x x x ()
6
1381
381
381
382
11
21
1
1
21
2
1lim lim lim lim lim lim lim =+-⎪⎭⎫
⎝⎛=+-=+-=+-→→→→→→→x x x x x x x
x x x x x x x
(8)用对数恒等式求极限
)()(lim x g x f
四．参考文献
[1]极限理论
https:///item/%E6%9E%81%E9%99%90%E7%90
%86%E8%AE%BA/5081808?fr=aladdin 2017.11.24
[2]函数极限https:///item/函数极限
/727083?fr=aladdin 2017.11.24
[3]同济大数学系《高等数学第七版上册》北京高等教育出版社
1987年
[4]来自QQ空间由大学生笔记墙整理。