高等数学求极限的常用方法
求极限13种方法
求极限的 13种方法（简叙）
龘龖龍 极
限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终， 极限思想亦是高等数学的核心与 基础， 因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。 本篇较为全面地介绍了
求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。
一、利用恒等变形求极限
利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多 变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母
有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。
n
例 1、求极限 lim (1 a)(1 a 2
)...(1 a 2
) ，其中 a 1 n
分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，
n
因为 (1 a)(1 a 2
)...(1 a 2
)
1
(1 a)(1 a)(1 a 2 )...(1 a 2
1a
1
2 2
2
n
(1 a 2)(1 a 2
)...(1 a 2
) 1a
1 2
n 1
11a
(1 a 2
)
2
2n
0,从而 lim (1 a)(1 a 2
)...(1 a 2
)=
n
1 a
二、利用变量代换求极限
利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量， 提高运算效率。常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。
此， 应先对其进行恒等变形。
n 时
2n 1
2
n 1
a 2
例 2、求极限 lim x 1
，其中 m,n 为正整数。
x 1n
x 1
分析 这是含根式的（ 0
）型未定式，应先将其利用变量代换进行化
简，再进一步计算极限
1
解 令 t x mn
,则当 x 1时，t 1
三、利用对数转换求极限
原式
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)精编
f ( x) g ( x )
g ( x) ln f ( x)
e
，
ex 1 x x 2 2!
xn
e x xn 1 ；
n! (n 1)!
sin x x x3 x 5 3! 5!
( 1)m x 2 m 1
( 1) m 1 cos x x2m 3
( 2m 1)!
( 2m 3)!
x2 x 4 cos= 1
2! 4!
, 必须是函数的导数要存在，假
如告诉 f （x）、g（x）, 没告诉是否可导， 不可直接用洛必达法则。 另外， 必须是 “0 比 0”或“无穷大比无穷大” ,
并且注意导数分母不能为 0。洛必达法则分为 3 种情况：
（i ）“ 0 ”“ 0
”时候直接用
(ii) “ 0 ”“
”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通
项之后，就能变成 (i) 中的形式了。即 f (x)g ( x)
f ( x) 或 f (x)g (x) 1
g ( x)
g( x) ；
1
f ( x) g( x)
f ( x)
1
1
g (x) f ( x) 1
f (x)g(x)
(iii) “ 0 0 ”“ 1 ”“ 0 ”对于幂指函数 , 方法主要是取指数还取对数的方法，即 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“ 0 ”型未定式。 3. 泰勒公式 ( 含有 ex 的时候，含有正余弦的加减的时候）
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
A x f x x =→)(lim
，
（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：
（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”
（ii ）A x x f x A x f x =+∞
→=-∞→⇔=∞→lim lim lim )()(
(iii)
A x x x x A x f x x =→=
→⇔
=→+
-
lim
lim
lim
)(
(iv)单调有界准则
（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限
)
(lim
x f x x →存在的充分必要条件是：
εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o
时，恒有、使得当
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．．
时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
洛必达法则（定理）
设函数f(x ）和F(x ）满足下列条件： ⑴x→a 时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;
⑵在点a 的某去心邻域内f(x ）与F(x ）都可导，且F(x ）的导数不等于0; ⑶x→a 时，lim(f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大 则 x→a 时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))
高等数学求极限的常用方法附例题和详解
高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
A x f x x =→)(lim
，
（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：
（i ）数列{}
的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”
（ii ）A x x f x A x f x =+∞
→=-∞
→⇔=∞
→lim
lim
lim
)()(
(iii)
A x x x x A x f x x =→=→⇔
=→+
-
lim
lim lim
)(
(iv)单调有界准则
（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限
)
(lim
x f x x →存在的充分必要条件是：
εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．．
时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
高数中求极限的16种方法
千里之行，始于足下。
高数中求极限的16种方法
在高等数学中，求极限是一个格外重要的技巧和考点。为了解决各种极限
问题，数学家们总结出了很多方法和技巧。以下是高数中求极限的16种方法：
1.代换法：将极限中的变量进行代换，使其变成简洁计算的形式。
2.夹逼准则：当函数处于两个已知函数之间时，可以通过比较已知函数的
极限来确定未知函数的极限。
3.无穷小量比较法：比较两个函数的无穷小量的大小，以确定它们的极限。
4.利用函数性质：利用函数的对称性、奇偶性等性质来计算极限。
5.利用恒等变形：将极限式子进行恒等变形，以将其转化为简洁计算的形式。
6.利用泰勒开放：将函数开放成无穷级数的形式，以求出极限。
7.利用洛必达法则：对于某些不定型的极限，可以利用洛必达法则将其转
化为可计算的形式。
8.利用级数或累次求和：将极限式子转化为级数或累次求和的形式，以求
出极限。
9.利用积分计算：将极限式子进行积分计算，以求出极限。
10.利用微分方程：将极限问题转化为求解微分方程的问题，以求出极限。
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锲而不舍，金石可镂。
11.利用积素等价：将极限式子进行积素等价，以求出极限。
12.利用无穷增减变异法：通过凑出一个等价变形，将极限问题转化为比较某些函数值的大小。
13.利用不等式：通过找到合适的不等式，对函数进行估量，以求得极限。
14.利用递推公式：对于递归定义的函数，可以通过递推公式求出极限。
15.利用导数性质：利用函数的导数性质，对极限进行计算。
16.利用对数和指数函数的性质：利用对数和指数函数的特性，求出极限。
除了上述方法外，还有很多其他的方法和技巧，可以依据具体问题来选择使用。这些方法和技巧的使用需要机敏把握，通过大量的练习和思考，可以在求解极限问题中得到娴熟应用。
高等数学求极限的17种常用方法(附例题和详解)
=
9.利用 极限相同求极限。例如：
（1）已知 ，且已知 存在，求该极限值。
解:设 =A，（显然A ）则 ，即 ，解得结果并舍去负值得A=1+
（2）利用单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。例如
设
解：（i）显然 （ii）假设 则 ，即 。所以， 是单调递增数列，且有上界，收敛。设 ，（显然 则 ，即 。解方程并舍去负值得A=2.即
例:设 存在，求
解：原式=
=
导数
微分学
微分
微积分
不定积分
积分学
定积分
无穷级数
第一章函数及其特性
1.1集合
一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。
二、表达方式：集合A，B，C……（大写字母）
元素a，b，c……（小写字母）
A=｛a，b，c｝
元素的排列无重复，无顺序。
a属于A记作a A，1不属于A记作1 A或1 A
6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设 ， ，求
解：由于 ，由夹逼定理可知
（2）求
解：由 ，以及 可知，原式=0
(3)求
解：由 ,以及 得，原式=1
7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如：
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法之南宫帮珍创作
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
A x f x x =→)(lim
，
（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：
（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。经常使用的是其推论，
即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”
（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=
-∞
→⇔=∞
→lim
lim
lim )()(
(iii)A x x x x A x f x x =→=
→⇔
=→+
-
lim
lim
lim
)(
(iv)单调有界准则
（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0
x f x x →存在的充分需要条件是：
εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o
时，恒有、使得当
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不成能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不成直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比
高等数学求极限的14种方法
高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
A x f x x =→)(lim 0
，
（1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：
（1）数列{}
的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”
（2）A x x f x A x f x =+∞
→=-∞
→⇔=∞
→lim
lim
lim
)()(
(3)
A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+
-
lim lim lim 0
)(
(4) 单调有界准则
（5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限
)(lim 0
x f x x →存在的充分必要条件。是：
ε
δεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．．
时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学中求极限是一项重要的数学技巧，它在数学分析、微积
分和其他数学领域中都有广泛应用。本文将介绍一些常用的求极限的
方法，并给出相应的例题和详解。
一、直接代入法
直接代入法是求极限的最基本方法之一。当函数在某一点连续时，可
以直接将该点代入函数中来求极限。
例题1：求函数f(x) = x^2在x=2处的极限。
解：直接将x=2代入函数中，得到f(2) = 2^2 = 4。因此，f(x)在x=2处的极限为4。
二、夹逼法
夹逼法（也称为夹挤准则）是求解一些复杂极限的常用方法。它基于
一个简单的想法：如果函数g(x)和h(x)在某一点p附近夹住函数f(x)，并且g(x)和h(x)的极限都相等，那么f(x)的极限也等于这个相等的极限。
例题2：求极限lim(x→∞) [(x+1)/x]。
解：我们可以用夹逼法来求解这个极限。首先，我们可以注意到
1 ≤ [(x+1)/x] ≤ [x/x] = 1（其中[x]表示取整函数）。因此，我
们可以将极限表达式两侧夹逼：
lim(x→∞) 1 ≤ lim(x→∞) [(x+1)/x] ≤ lim(x→∞) 1。
根据夹逼准则，当lim(x→∞) 1 = 1时，极限lim(x→∞) [(x+1)/x]存在且等于1。
三、极限的四则运算法则
在求解复杂函数的极限时，可以利用极限的四则运算法则。该法则规定，如果函数f(x)和g(x)在某点p处的极限存在，则函数h(x) = f(x) ± g(x)、h'(x) = f(x) * g(x)、和h''(x) = f(x) / g(x)在点p的
考研数学：求极限的16种方法
考研数学：求极限的16种方法1500字
求极限是数学中一个重要的概念和技巧，经常会在高等数学、微积分、函数分析等课程中出现。在考研数学中，求极限也是一个比较常见的题型，有时候会要求借助不同的方法来求解极限。以下是16种常见的求极限的方法：
方法1：代入法
代入法是求极限中最基本的方法之一，特别适用于极限问题中有指定点的情况。代入的点可以是有限点或无限点，通过将极限值代入原函数中，来求得极限。
方法2：夹逼定理
夹逼定理也是一种常用的方法，适用于需要用两个已知函数夹住待求函数的情况。通过取两个已知函数逐渐逼近待求函数，来求得极限。
方法3：集中取值法
集中取值法是一种常用的方法，适用于需要对待求函数的取值进行讨论的情况。通过将待求函数的取值限制在一个区间内，来求得极限。
方法4：变量代换法
变量代换法是一种常用的方法，适用于需要通过变换变量来求得极限的情况。通过进行恰当的变换变量，将原极限转化为另一个更容易求解的极限。
方法5：公共因子法
公共因子法是一种常用的方法，适用于需要将待求函数的表达式进行分解的情况。通过进行恰当的分解，将待求函数表达式中的公共因子提取出来，来求得极限。
方法6：三角函数极限法
三角函数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行三角函数的极限转化的情况。通过使用三角函数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的三角函数极限。
方法7：幂函数极限法
幂函数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行幂函数的极限转化的情况。通过使用幂函数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的幂函数极限。
方法8：自然对数极限法
高等数学求极限的常用方法附例题和详解
高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
A x f x x =→)(lim 0
，
（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；
（ii ）若有,0>δ
使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：
（i ）数列{}
的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”
（ii ）A x x f x A x f x =+∞
→=
-∞
→⇔
=∞
→lim
lim
lim
)()(
(iii)
A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+
-
lim lim lim 0
)(
(iv)单调有界准则
（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限
)(lim 0
x f x x →存在的充分必要条件是：
εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．．
时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“
高等数学求极限的常用方法（附例题和详细讲解）
.. .. ..
.. 参考.资料资料
高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
A x f x x =®)(lim 0
，
（i ）若A 0>，则有0>d ，使得当d
<-<||00
x x 时，0)(>x f ；
（ii ）若有,0>d 使得当d
<-<||00
x x 时，0A ,0)(³³则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为¥®x 时函数的极限和0x x ®的极限。要特别注意判定极限是否存在在：
（i ）数列{}的充要条件收敛于a n
x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”
（ii ）A x x f x A x f x =+¥
®=
-¥
®Û
=¥
®lim
lim
lim
)()(
(iii)A x x x x A x f x x =®=®Û=®
+
-lim lim lim 00
)(
(iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)
(lim 0
x f x x ®存在的充分必要条件是：
e d e d
<-Î>$>"|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o
时，恒有、使得当
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．．
时候使用。例题略。
2.洛必达（L’ho spital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
洛必达法则（定理）
设函数f(x ）和F(x ）满足下列条件： ⑴x→a 时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解).
高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设，
（i）若A，则有，使得当时，；
（ii）若有使得当时，。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和
的极限。要特别注意判定极限是否存在在：
（i）数列是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”
（ii）
(iii
(iv单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限存在的充分必要条件是：
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
洛必达法则（定理）
设函数f(x）和F(x）满足下列条件：
⑴x→a时，lim f(x=0,lim F(x=0;
⑵在点a的某去心邻域内f(x）与F(x）都可导，且F(x）的导数不等于0;
⑶x→a时，lim(f'(x/F'(x）存在或为无穷大
则x→a时，lim(f(x/F(x=lim(f'(x/F'(x
注：它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
（i）“”“”时候直接用
(ii“”“”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i中的形式了。即；
高等数学求极限的各种方法
⾼等数学求极限的各种⽅法
求极限的各种⽅法
1.约去零因⼦求极限
例1:求极限1
1
lim 41--→x x x
【说明】1→x 表明1与x ⽆限接近,但1≠x ,所以1-x 这⼀零因⼦可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1
)
1)(1)(1(lim
2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分⼦分母同除求极限
例2:求极限1
3lim 32
3+-∞→x x x x
【说明】
∞
∞
型且分⼦分母都以多项式给出的极限,可通过分⼦分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323=
+-=+-∞→∞→x x
x x x x x 【注】(1) ⼀般分⼦分母同除x 的最⾼次⽅;
(2)
=<∞>=++++++----∞→n
m b a n m n m b x b x b a x a x a n n
m m m m n n n n x 0lim 01101
1ΛΛ 3.分⼦(母)有理化求极限
例3:求极限)13(lim 22+-++∞
→x x x
【说明】分⼦或分母有理化求极限,就是通过有理化化去⽆理式。【解】1
3)
13)(13(lim
)13(lim 2
2
22222
2
+++++++-+=+-++∞
→+∞
→x x x x x x x x x x
01
32lim
2
2
=+++=+∞
→x x x
例4:求极限3
sin 1tan 1lim
x
x
x x +-+→
【解】x
x x x
x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim
sin 1tan 1lim
3030
+-+-=+-+→→ 41
高等数学求极限的各种方法
求极限的各种方法
1.约去零因子求极限
例1:求极限1
1
lim 41--→x x x
【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1
)
1)(1)(1(lim
2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分子分母同除求极限
例2:求极限1
3lim 32
3+-∞→x x x x
【说明】
∞
∞
型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3
11323=
+-=+-∞→∞→x x
x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方;
(2) ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
=<∞>=++++++----∞→n
m b a n m n m b x b x b a x a x a n n
m m m m n n n n x 0lim 01101
1ΛΛ 3.分子(母)有理化求极限
例3:求极限)13(lim 22+-++∞
→x x x
【说明】分子或分母有理化求极限,就是通过有理化化去无理式。 【解】1
3)
13)(13(lim
)13(lim 2
2
22222
2
+++++++-+=+-++∞
→+∞
→x x x x x x x x x x
01
32lim
2
2
=+++=+∞
→x x x
例4:求极限3
sin 1tan 1lim
x
x
x x +-+→
【解】x
x x x
x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim
sin 1tan 1lim
3030
+-+-=+-+→→ 41
sin tan lim 21sin tan lim
高等数学求极限的常用方法附例题和详解
高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
A x f x x =→)(lim 0
，
（i ）若A 0>，则有0>δ
，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；
（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：
（i ）数列{}
的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”
（ii ）A x x f x A x f x =+∞
→=
-∞
→⇔
=∞
→lim
lim
lim
)()(
(iii)
A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+
-
lim lim lim 0
)(
(iv)单调有界准则
（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限
)
(lim 0
x f x x →存在的充分必要条件是：
εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．．
时候使用。例题略。
2.洛必达（L’ho spital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
??它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
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高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
A x f x x =→)(lim 0
，
（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：
（i ）数列{}
的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”
（ii ）A x x f x A x f x =+∞
→=-∞
→⇔=∞
→lim
lim
lim
)()(
(iii)
A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+
-
lim lim lim 0
)(
(iv)单调有界准则
（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限
)
(lim 0
x f x x →存在的充分必要条件是：
εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．．
时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
（i ）“
00”“∞
∞
”时候直接用 (ii)“∞•0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通
项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；)
()(1
)(1
)(1
)()(x g x f x f x g x g x f -=-
(iii)“00”“∞1”“0
∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e
x f x g x g x f )
(ln )()()(=，
这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞•0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x
e 的时候，含有正余弦的加减的时候）
12)!
1(!!21+++++++=n x
n x
x n e n x x x e θΛ ； 3211253)!
32(cos )1()!12()1(!5!3sin ++++-++-+-+-=m m m m
x m x m x x x x x θΛ
cos=221242)!
22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θΛ ln （1+x ）=x-1
1132)1)(1()
1()1(32++-++-+-+-+n n n
n
n x n x n x x x θΛ (1+x)u =1112
)1(!
2)1(1+--+++++-+
+n n u n u n n u x x C x C x u u ux θΛ 以上公式对题目简化有很好帮助 4.两多项式相除:设均不为零m n b a ,，
P （x ）=0111a x a x a x a n n n n ++++--Λ,0111)(b x b x b x b x Q m m m m ++++=--Λ (i)⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==∞
→)(,)(,0)(,)()(lim m n m n n m b a x Q x P x n n
（ii ）若0)(0≠x Q ，则)()
()()(00lim
x Q x P x Q x P x x =→ 5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。 6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设0>>>c b a ，
n n n n n c b a x ++=，求n n x lim ∞
→
解：由于a a
a a a x a n
n n n n ==<<∞
→∞
→)3(,,3lim lim 以及
，由夹逼定理可知a x n n =∞
→lim
（2）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++∞→222
)2(1)1(11lim n n n
n Λ
解：由n n
n n n n n
1
111)2(1)1(1102222
22
=+++<++++<ΛΛ，以及01
0lim lim ==∞→∞→n
n n 可知，原式=0 (3)求⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++++++∞
→n n n n n 2
221
211
1lim Λ 解：由
n
n n n
n n
n n
n n
n n n n
n n +=
++++
+<
+++++
+<=++2
2
2
2
2
2
1111
211
111
11Λ
ΛΛ,以及
11111lim
lim
lim 2
=+
=+=∞
→∞
→∞
→n
n
n n n n n 得，原式=1
7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q 绝对值要小于1）。例如：