高等数学 求极限方法小结及举例
求极限的方法总结及例题
求极限的方法总结及例题求极限是微积分学探究函数变化规律的基础，也是微积分学最重要的概念之一。
在求极限的运算中，由于函数的特殊性，其结果有可能是一个常数、一个变量或者无穷大，因此，求极限的计算要建立在对偏导数的理解和计算上，即在计算极限之前，首先要掌握偏导数的概念和计算方法。
一般来说，有三种常见的求极限方法：1、基本形式求极限；这种方法是指函数表达式本身具有特定性，可以用固定的简单运算公式直接求出极限值。
例如：当x趋向于0时，lim x→0 (1-cosx/x2)= 1/22、恒等式转换求极限；这种方法是指通过给出函数的形式进行合理的变换，从而使函数表达式转换成可以直接求出极限值的公式，从而解决函数求极限的问题。
例如计算：lim x→0(sin2x/x)可以将该式化简进行转换：lim x→0(sin2x/x)= lim x→0(2sinxcosx/x)= lim x→0(2cosx/1)= 2* lim x→0 (cosx)由于cosx等于1，当x趋向于0时，极限结果为2。
3、洛必达法则求极限；洛必达法则是指在求函数极限时，可以根据函数的性质将原函数转换成另外一组函数，从而推出极限结果。
例如：计算：lim x→∞ (1+1/x)x可以把原本的函数，转换成另一函数，即：lim x→∞ (1+1/x)x= lim x→∞ x/x2= lim x→∞ 1/x= 0 以上所述就是求极限的三种常见的方法。
接下来，我们就以例题来试验一下这三种方法的使用。
例题1：求lim x→0 (sin2x/x)解：由上文所述，这种情况应使用恒等式转换求极限：可以将该式化简进行转换：lim x→0(sin2x/x)= lim x→0(2sinxcosx/x)= lim x→0(2cosx/1)= 2* lim x→0 (cosx)由于cosx等于1，当x趋向于0时，极限结果为2。
例题2：求lim x→∞ (1+1/x)x解：这种情况应使用洛必达法则：可以把原本的函数，转换成另一函数，即：lim x→∞ (1+1/x)x= lim x→∞ x/x2= lim x→∞ 1/x= 0 以上就是求极限的三种方法总结及例题分析。
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
高等数学B上册 求极限方法总结
求极限的几种常用方法1．约去零因子求极限例1：求极限lim1→x 114--x x【说明】1→x 表明x 与1无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】()()()()1111lim 21-+-+→x x x x x =()()1121lim ++→x x x =42．分子分母同除求极限例2：求极限13323lim+-∞→x x x x 【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】311311lim 13lim 3323=+-=+-∞→∞→xx x x x x x 【注】（1）一般分子分母同除x 的最高次方；0 m>n（2）=++++++----∞→011011......lim b xb x b a x a x a m n m n n n n n x ∞ m<nnnb a m=n 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限()13lim22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】()()()()131313lim13lim22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x xx x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限3sin 1tan 1limx xx x +-+→【解】30sin 1tan 1limx x x x +-+→=()xx x xx x sin 1tan 1sin tan lim 30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11limx x x xx x x -+++→→=41sin tan lim 2130=-→x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键4.应用两个重要极限求极限两个重要的极限（1）1sin lim0=→xxx（2）()e x n x x x nx xx =+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→∞→∞→11lim 11lim 11lim在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。
(完整word版)高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14 种方法一、极限的定义1. 极限的保号性很重要：设limf (x)A ，x x 0（ i ）若 A 0 ，则有0 ，使适当 0 | x x 0 |时， f (x) 0 ； （ ii ）如有0, 使适当 0 | x x 0 |时， f (x)0,则A0 。
2. 极限分为函数极限、数列极限，此中函数极限又分为限能否存在在：x时函数的极限和 xx 0 的极限。
要特别注意判断极（ i ）数列 x n 收敛于 a 的充要条件 是它的全部子数列均收敛于 a 。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ ii ）limf (x)Alimf ( x)limAxxx(iii)lim f ( x)AlimlimAx xx x 0x x 0(iv) 单一有界准则 （ v ）两边夹挤准则（夹逼定理 / 夹逼原理） （ vi ） 柯 西 收 敛 准 则 （ 不 需 要 掌 握 ）。
极 限 limf ( x) 存 在 的 充 分 必 要 条 件 是 ：x x 00,0, 使适当 x 1、 x 2U o ( x 0 )时，恒有 | f ( x 1 ) f ( x 2 ) |二．解决极限的方法以下：1. 等价无量小代换。
只好在乘除 时候使用。
例题略。
．．2. 洛必达（ L ’ho spital ）法例（大题目有时会有示意要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。
第一一定是X 趋近，而不是 N 趋近，因此面对数列极限时候先要转变为求 x 趋近状况下的极限，数列极限的n 自然是趋近于正无量的，不行能是负无量。
其次 , 一定是函数的导数要存在，假如告诉 f （x ）、g （x ）, 没告诉能否可导， 不行直接用洛必达法例。
此外，一定是 “0 比 0”或“无量大比无量大” ,而且注意导数分母不可以为 0。
洛必达法例分为 3 种状况：（i ）“ 0”“”时候直接用(ii) “0? ”“”，应为无量大和无量小成倒数的关系，因此无量多数写成了无量小的倒数形式了。
函数极限的求法及技巧总结
函数极限的求法及技巧总结函数极限是高等数学的一个重要概念，它在微积分、实分析等许多领域都有着广泛的应用。
在计算函数极限时，需要掌握一些求法和技巧。
本篇文章将对此进行总结。
1. 直接代入法直接代入法是最基本也是最简单的一种方法，它适用于可以直接将自变量代入函数中计算得到结果的情况。
例如，当求函数f(x) = x² + 3x + 2在x = 1处的极限时，我们可以直接将x = 1代入函数中，得到f(1) = 1² + 3×1 + 2 = 6。
因此，f(x)在x = 1处的极限为6。
2. 分式化简法分式化简法是一种常用的求极限的方法，它适用于形如“分式”的函数。
3. 夹逼定理夹逼定理是一种常用的求极限的方法，它适用于当我们无法通过代入或化简等方法直接求出函数极限时。
夹逼定理的思想是：若存在函数g(x)和h(x)，满足 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)且limx→a g(x) = limx→a h(x) = L，那么limx→a f(x) = L。
4. 洛必达法则其中，f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)的导数。
例如，当求函数f(x) = (e^x - 1) / x在x = 0处的极限时，我们可以将f(x)表达为g(x) / h(x)的形式，即g(x) = e^x - 1，h(x) = x，然后计算g'(x)和h'(x)，得到 g'(x) = e^x，h'(x) = 1。
因此，根据洛必达法则，我们得到limx→0 f(x) = limx→0 [e^x / 1] = 1。
5. 泰勒展开法泰勒展开法是一种常用的求函数极限的方法，它适用于当函数在极限点左右存在二阶及以上的导数时。
泰勒展开法的思想是：当limx→a f(x)存在时，可以将函数f(x)在a附近进行泰勒展开，得到f(x) = f(a) + f'(a)×(x - a) + f''(a)×(x - a)² / 2 + …… + Rn(x)，其中Rn(x)为余项。
大学数学经典求极限方法及解析(最全)
求极限的各种方法及解析1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x 【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 0110113．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim )13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限30sin 1tan 1limxxx x +-+→ 【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非．．．．．．．．零因子．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim0=→xxx 和e x nx x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
高等数学中求极限方法总结
高等数学中求极限方法总结高等数学第一章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位，特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。
一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。
树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。
故在这里总结了10种常用的求极限的方法并举例说明。
1、利用等价无穷小的转化求极限例：求极限x x x x 1cossin lim 20→。
解：x x x x 1cossin lim 20→x x x x 1cos lim 20→=xx x 1cos lim 0→=＝2注：通常在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，但是前提是必须证明拆分后极限依然存在，要记住常用的等价无穷小，例如当0→x 时，).(0~sin ,21~sin ,~3x x x x x tgx x tgx −−。
2、罗比达法则例：求极限∫→x x tdtx 020arctan 1lim 解：∫→x x tdt x 020arctan 1lim 21211lim 2arctan lim 200=+==→→x x t x x 例：求极限⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→11ln 1lim 1x x x 解：x x x x x x x x ln )1(ln 1lim 11ln 1lim 11−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→→21111lim 1ln 11lim 2211=+=−+−=→→xx x x x x x x x …注：使用罗比达法则必须满足使用条件，要注意分母不能为零，导数存在。
罗比达法则分为三种情况（1）0比0和无穷比无穷时候直接分子分母求导；（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1的形式；（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，）3、利用2个重要极限求极限例：求极限2)11(lim 22x x x x +−∞→解：211(lim 22x x x x +−∞→2)121(lim 2x x x +−+=∞→12212222])121[(lim +−−+∞→+−+=x x x x x 12lim 22+−∞→=x x x e 2−=e 。
求函数极限的方法总结（精选3篇）
求函数极限的方法总结（精选3篇）求函数极限的方法总结篇1(一) 四则运算法则四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商，各自求出极限即可得到要求的极限。
但是在分解的时候要注意：(1)分解的各部分各自的极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则，(分母不能为0)。
四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。
如果极限式中有几项均是无穷大，就从无穷大中选取起主要作用的那一项，选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数，幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。
(二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式，所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。
当然，在用洛必达的时候需要注意：(1)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件，当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的式子化成“干净”的式子，否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的甚至求不出来，所以一定要先化简。
化简常用的方法就是等价无穷小替换，有时也会用到四则运算。
考生一定要熟记常用的等价无穷小，以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)。
考研中，除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查，这种类型的题目，首先要考虑洛必达，但是我们也要掌握变限积分求导。
另外，考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”，“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。
(三) 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限，也是考研中常见的方法。
泰勒公式可以将常用的等价无穷小进行推广，如(四) 定积分定义考研中求n项和的极限这类题型用夹逼定理做不出来，这时候需要用定积分定义去求极限。
常用的是这种形式只要把要求的极限凑成等是左边的形式，就可以用定积分去求极限了。
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11
x = f ′( t ) d2y 例 12 . f ′′( t ) ≠ 0 求 . 2 dx y = t f ′( t ) − f ( t ) d y y′( t ) f ′( t ) + t f ′′( t ) − f ′( t ) 解. = = =t d x x′( t ) f ′′( t )
2
t =π − x −1 2 t ========= lim t →0 cot t
tan t = − lim = −1 . t →0 t
"∞" ∞
例 7 . lim ( x ⋅ cot x )
x →0
x = lim =1. x →0 tan x
( 有界量乘无穷小 )
"0⋅ ∞"
lim x cos 1 = 0 . x x →0
4 . "∞ ± ∞" 型 ,
1 ± 1 = f ( x ) ± g( x ) . f ( x ) g( x ) f ( x ) ⋅ g( x )
5 . " ( 1 ± 0 ) ∞ " 型 , 0 " "0 型, u( x ) v ( x ) = e v ( x )⋅ln u( x ) 6. (指数型) " ∞0 " 型 , 7. lim [v ( x )⋅ln u( x ) ] v( x )
n x n −1 sin 1 − x n − 2 cos 1 x>0 x x f ′( x ) = 0 x=0 n x n −1 x<0 ′( x ) = lim n x n −1 sin 1 − x n − 2 cos 1 lim f x x x → +0 x →+0
dt 1 d2y d 1 ′⋅ (t ) = 1( t )? = = . = 1⋅ 2 dx dx x′(t ) f ′′( t ) dx
例13 . y = tan( x + y ) , 求 y′′ .
解 . y′ = sec2 ( x + y ) ⋅ (1 + y′ ) ,
sec2 ( x + y ) 1 + tan 2 ( x + y ) 1 + y 2 1 ′= y = = 2 2 2 = − 2 −1 . 1 − sec ( x + y ) − tan ( x + y ) −y y
lim( 1 + f ( x ))
g( x )
=e
c
3
c = lim[ f ( x ) g( x )]
( x + 1)( x − 1) x +1 例 1 . lim 2 = lim = lim = −2 . x →1 x − 3 x + 2 x →1 ( x − 2)( x − 1) x →1 x − 2
= lim x
x → +0 n −1
sin 1 = 0 . x
如果 n > 1
f ( x ) − f ( 0) xn ′ f − (0) = lim = lim = 0 . 如果 n > 1 x →−0 x −0 x → −0 x
如果 n > 1 ,
则 f ′(0) = 0 .
8
∴ 当 n > 1时 ,
( (幂指型)
lim u( x )
[
]= e
=e
5 . " (1 ± 0 )∞ " 型 ,
(1Байду номын сангаас+
f ( x ))
g( x )
g( x )
g ( x )⋅ln (1+ f ( x ) )
,
lim( 1 + f ( x ))
=e
lim[ g ( x )⋅ln (1+ f ( x ) )]
,
(经验公式)
+ ⋯ + ( x − a )n ⋅ ϕ ( n −1) ( x ) ,
f ( n −1) (a ) = 0 .
f ( n −1) ( x ) − f ( n −1) (a ) f ( n ) (a ) = lim x →a x−a
n ! ϕ ( x ) + ( n − 1) ⋅ n ! ( x − a )ϕ ′( x ) = lim 2 x →a
10
例 11 .
f ( x ) = ( x − a )n ϕ ( x ) , ϕ ( x ) 在 U (a ) 内 n − 1 次可导 , 求 f ( n ) (a ) . f ( n −1) ( x ) = n !( x − a ) ⋅ ϕ ( x ) + ( n − 1) ⋅
解.
n! ( x − a ) 2 ⋅ ϕ ′( x ) 2!
lim x cos 1 = lim x ⋅ lim cos 1 = 0 . x x→0 x→0 x x→0
错!
7
x n sin 1 x > 0 x 例 8 . f ( x ) = 0 x=0 n − 正整数 . n x<0 x 讨论 f ′( x ) 的连续性及 n 的取值范围 . x n sin 1 f ( x ) − f ( 0) x ′ 解 . f + (0) = lim = lim x → +0 x → +0 x −0 x
−1
( x ) 的二阶导数 .
( x ) 的直接函数是 x = f ( y ) .
dy 1 = , d x f ′( y )
d2y d 1 − f ′′( y ) d y − f ′′( y ) = ⋅ = . = 2 2 dx 3 d x f ′( y ) [ f ′( y ) ] dx [ f ′( y )]
x 2 −1
e x −1 e x −1 ~ x x 例 2 . lim =========== lim =1. x →0 x x →1 x t = e −1 ln(1 + t ) lim x ========== lim = lim ln(1 + t ) x →0 e − 1 t →0 t t →0 x
2( x +1) 2 x +1 x →∞ 2 x +1 2 lim
=e =e.
1
可用经验公 式验证
例 5 . lim x +x
2
x →∞
x 2 − 10000
= lim
1+ 1 x 1 − 10000 x2
x →∞
=1.
"∞" ∞
6
1 x −π 2 例 6 . lim x →π tan x
x
1 t
= ln lim (1 + t )
t →0
1 t
= ln e = 1 .
∴
e −1 lim =1. x →0 x
x
当 x → 0 时, 证明e x −1 ~ x ?
4
例3 .
x → +∞
lim
(
x +x− x −x
2 2
)
=1.
"∞ − ∞"
" ∞", 用 必 法 ? 洛 达 则 ∞
= lim
= lim
2x x2 + x + x2 − x
2 1+ 1 + 1− 1 x x
x +1
x → +∞
x → +∞
2x + 3 例 4 . lim x → ∞ 2 x + 1
2 = lim 1 + x → ∞ 2 x + 1
2( x +1) 2 x +1 2 x +1 2
( ) y′ = f ′(x 2 )⋅ 2 x = 2 x f ′(x 2 ) . y′′ = 2 f ′(x 2 ) + 2 x f ′′(x 2 )⋅ 2 x = 2 f ′(x 2 ) + 4 x 2 f ′′(x 2 ) .
−1
例 10 . 设 f 二次可导 , 求 y = f 解. y= f
x +1
"(1+0 )∞"
2 = lim 1 + x →∞ 2 x + 1
"幂指函数取极限 "
5
2 = lim 1+ x→∞ 2x +1
lim 1 + 2 = x →∞ 2 x + 1
2( x+1) 2x+1 2x+1 2
5 . 约去公因子 .
6 . 代数变换 , 如取对数等 . f ′( x) = f ( x) [ln f ( x)] ′
二 . 常见未定式及对策 :
1 . " 0 "型 , 常见 . 0 2 . " ∞ " 型 , 常见 . ∞ 3. "0 ⋅ ∞" 型 , g( x ) f ( x) f ( x ) ⋅ g( x ) = 或 f ( x ) ⋅ g( x ) = . 1 1 f ( x) g( x ) 2
[
v( x )
] = [ lim u( x ) ]
lim v ( x )
.
当 x → 0 时, x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x x ~ ln(1+ x) ~ e x −1 , a x −1 ~ x ln a .