高等数学-求极限的各种方法
高等数学求极限的14种方法
高等数学求极限的14种方法高等数学求极限的14种方法一、极限的定义极限的保号性很重要。
设$x\to x_0$，$limf(x)=A$，则有以下两种情况：1）若$A>0$，则有$\delta>0$，使得当$00$；2）若有$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$f(x)\geq 0$，则$A\geq 0$。
极限分为函数极限和数列极限，其中函数极限又分为$x\to\infty$时函数的极限和$x\to x_0$的极限。
要特别注意判定极限是否存在，收敛于$a$的充要条件是它的所有子数列均收敛于$a$。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于$a$的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于$a$”。
二、解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除时候使用。
2.XXX（L'Hospital）法则。
它的使用有严格的使用前提。
首先必须是$x$趋近，而不是$n$趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求$x$趋近情况下的极限，数列极限的$n$当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。
其次，必须是函数的导数要存在，假如只告诉$f(x)$、$g(x)$，而没有告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。
另外，必须是“比”或“无穷大比无穷大”，并且注意导数分母不能为$0$。
洛必达法则分为三种情况：1）$\infty/\infty$时，直接用$\infty$；2）$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$0^0$、$\infty^0$时，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通分之后，就能变成（1）中的形式了。
即$f(x)g(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$或$f(x)g(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$；3）$1^\infty$、$0^0$、$1^{\infty-\infty}$、$\infty^0$对于幂指函数，方法主要是取指数还取对数的方法，即$e^{f(x)g(x)}=e^{g(x)lnf(x)}$，这样就能把幂上的函数移下来了，变成$0/0$型未定式。
高等数学求极限的14种方法(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（2）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→lim lim lim )()((3) A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-lim lim lim 0)((4) 单调有界准则（5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理）(6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件。
是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。
只能在乘除．．时候使用。
例题略。
2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。
首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。
另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况： （1）“00”“∞∞”时候直接用(2)“∞•0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
高等数学级数求极限方法
高等数学中求极限的方法
高等数学中求极限的方法有：
1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；
2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法；
3、运用两个特别极限；
4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。
它不是所向无敌，不可以代替其他所有方法，一楼言过其实。
5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。
6、等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。
因为一要死背，不是值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。
7、夹挤法。
这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。
8、特殊情况下，化为积分计算。
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析
函数极限是高等数学中的重要概念，也是其他数学领域的基础。
在计算函数极限时，有一些常用的技巧和方法，可以帮助我们更快地求解极限问题。
下面是一些常用的函数极限求法技巧。
1. 代入法：当函数极限中存在形如"0/0"或"无穷大/无穷大"的不定型时，可以尝试使用代入法求解。
即将函数中的变量逐渐靠近极限值进行代入，计算出函数在极限点附近的取值，进而得到极限结果。
2. 无穷小代换法：当函数极限中含有无穷大或无穷小的项时，可以使用无穷小代换法进行求解。
即将无穷大或无穷小项替换为相应的无穷小量，对含有无穷大或无穷小的函数进行化简，再进行极限计算。
3. 分子分母除以最高幂次法：当函数极限中含有多项式的幂次较高时，可以尝试使用分子分母除以最高幂次的方法进行化简。
将函数中的每一项均除以该最高幂次，使得函数的分子和分母变为相对较小的多项式，从而更便于求解极限。
4. 辅助函数法：当函数极限较复杂时，可以尝试构造一个辅助函数来辅助求解。
通过适当选择辅助函数，将原函数转化为一个更简单的形式，再求解极限。
5. 夹逼定理：夹逼定理是函数极限求解的重要工具，适用于求解某些特殊的函数极限。
当函数的上下界均存在且极限相等时，可以通过夹逼定理求出函数的极限。
6. 泰勒级数展开法：当函数极限中含有三角函数、指数函数等特殊函数时，可以尝试使用泰勒级数展开法进行求解。
通过将特殊函数展开为无穷级数的形式，可以将原函数转化为一个容易求解的形式，再进行极限计算。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)精编
函数极限的求法及技巧总结
函数极限的求法及技巧总结函数极限是高等数学的一个重要概念，它在微积分、实分析等许多领域都有着广泛的应用。
在计算函数极限时，需要掌握一些求法和技巧。
本篇文章将对此进行总结。
1. 直接代入法直接代入法是最基本也是最简单的一种方法，它适用于可以直接将自变量代入函数中计算得到结果的情况。
例如，当求函数f(x) = x² + 3x + 2在x = 1处的极限时，我们可以直接将x = 1代入函数中，得到f(1) = 1² + 3×1 + 2 = 6。
因此，f(x)在x = 1处的极限为6。
2. 分式化简法分式化简法是一种常用的求极限的方法，它适用于形如“分式”的函数。
3. 夹逼定理夹逼定理是一种常用的求极限的方法，它适用于当我们无法通过代入或化简等方法直接求出函数极限时。
夹逼定理的思想是：若存在函数g(x)和h(x)，满足 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)且limx→a g(x) = limx→a h(x) = L，那么limx→a f(x) = L。
4. 洛必达法则其中，f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)的导数。
例如，当求函数f(x) = (e^x - 1) / x在x = 0处的极限时，我们可以将f(x)表达为g(x) / h(x)的形式，即g(x) = e^x - 1，h(x) = x，然后计算g'(x)和h'(x)，得到 g'(x) = e^x，h'(x) = 1。
因此，根据洛必达法则，我们得到limx→0 f(x) = limx→0 [e^x / 1] = 1。
5. 泰勒展开法泰勒展开法是一种常用的求函数极限的方法，它适用于当函数在极限点左右存在二阶及以上的导数时。
泰勒展开法的思想是：当limx→a f(x)存在时，可以将函数f(x)在a附近进行泰勒展开，得到f(x) = f(a) + f'(a)×(x - a) + f''(a)×(x - a)² / 2 + …… + Rn(x)，其中Rn(x)为余项。
高等数学微积分求极限的方法整理
一，求极限的方法横向总结：
1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）
2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到
2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。
4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和
5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
6运用重要极限求极限（基本）。
7乘除法中用等价无穷小量求极限。
8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。
9常数比0型求极限：先求倒数的极限。
10根号套根号型：约分，注意别约错了。
11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos
二，求极限的方法纵向总结：
1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。
2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置
2）用无穷小量与有界变量的乘积
3）2个重要极限
4）分式解法（上述）。
高等数学 求极限方法小结及举例
11
x = f ′( t ) d2y 例 12 . f ′′( t ) ≠ 0 求 . 2 dx y = t f ′( t ) − f ( t ) d y y′( t ) f ′( t ) + t f ′′( t ) − f ′( t ) 解. = = =t d x x′( t ) f ′′( t )
2
t =π − x −1 2 t ========= lim t →0 cot t
tan t = − lim = −1 . t →0 t
"∞" ∞
例 7 . lim ( x ⋅ cot x )
x →0
x = lim =1. x →0 tan x
( 有界量乘无穷小 )
"0⋅ ∞"
lim x cos 1 = 0 . x x →0
4 . "∞ ± ∞" 型 ,
1 ± 1 = f ( x ) ± g( x ) . f ( x ) g( x ) f ( x ) ⋅ g( x )
5 . " ( 1 ± 0 ) ∞ " 型 , 0 " "0 型, u( x ) v ( x ) = e v ( x )⋅ln u( x ) 6. (指数型) " ∞0 " 型 , 7. lim [v ( x )⋅ln u( x ) ] v( x )
n x n −1 sin 1 − x n − 2 cos 1 x>0 x x f ′( x ) = 0 x=0 n x n −1 x<0 ′( x ) = lim n x n −1 sin 1 − x n − 2 cos 1 lim f x x x → +0 x →+0
高数中求极限的16种方法
千里之行，始于足下。
高数中求极限的16种方法在高等数学中，求极限是一个格外重要的技巧和考点。
为了解决各种极限问题，数学家们总结出了很多方法和技巧。
以下是高数中求极限的16种方法：1.代换法：将极限中的变量进行代换，使其变成简洁计算的形式。
2.夹逼准则：当函数处于两个已知函数之间时，可以通过比较已知函数的极限来确定未知函数的极限。
3.无穷小量比较法：比较两个函数的无穷小量的大小，以确定它们的极限。
4.利用函数性质：利用函数的对称性、奇偶性等性质来计算极限。
5.利用恒等变形：将极限式子进行恒等变形，以将其转化为简洁计算的形式。
6.利用泰勒开放：将函数开放成无穷级数的形式，以求出极限。
7.利用洛必达法则：对于某些不定型的极限，可以利用洛必达法则将其转化为可计算的形式。
8.利用级数或累次求和：将极限式子转化为级数或累次求和的形式，以求出极限。
9.利用积分计算：将极限式子进行积分计算，以求出极限。
10.利用微分方程：将极限问题转化为求解微分方程的问题，以求出极限。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
11.利用积素等价：将极限式子进行积素等价，以求出极限。
12.利用无穷增减变异法：通过凑出一个等价变形，将极限问题转化为比较某些函数值的大小。
13.利用不等式：通过找到合适的不等式，对函数进行估量，以求得极限。
14.利用递推公式：对于递归定义的函数，可以通过递推公式求出极限。
15.利用导数性质：利用函数的导数性质，对极限进行计算。
16.利用对数和指数函数的性质：利用对数和指数函数的特性，求出极限。
除了上述方法外，还有很多其他的方法和技巧，可以依据具体问题来选择使用。
这些方法和技巧的使用需要机敏把握，通过大量的练习和思考，可以在求解极限问题中得到娴熟应用。
高等数学求极限的17种常用方法(附例题和详解)
(iii)
(iv)单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 存在的充分必要条件是：
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
；
cos=
ln（1+x）=x-
(1+x) =
以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除:设 ，
P（x）= ,
(i) （ii）若 ，则
5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
（i）“ ”“ ”时候直接用
(ii)“ ”“ ”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 ；
(iii)“ ”“ ”“ ”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 ，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“ ”型未定式。
3.泰勒公式(含有 的时候，含有正余弦的加减的时候）
例1已知A=｛x -2≤x<3｝，B=｛x -1<x≤5｝，求A B，A B
高等数学中求极限方法总结
高等数学中求极限方法总结高等数学第一章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位，特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。
一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。
树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。
故在这里总结了10种常用的求极限的方法并举例说明。
1、利用等价无穷小的转化求极限例：求极限x x x x 1cossin lim 20→。
解：x x x x 1cossin lim 20→x x x x 1cos lim 20→=xx x 1cos lim 0→=＝2注：通常在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，但是前提是必须证明拆分后极限依然存在，要记住常用的等价无穷小，例如当0→x 时，).(0~sin ,21~sin ,~3x x x x x tgx x tgx −−。
2、罗比达法则例：求极限∫→x x tdtx 020arctan 1lim 解：∫→x x tdt x 020arctan 1lim 21211lim 2arctan lim 200=+==→→x x t x x 例：求极限⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→11ln 1lim 1x x x 解：x x x x x x x x ln )1(ln 1lim 11ln 1lim 11−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→→21111lim 1ln 11lim 2211=+=−+−=→→xx x x x x x x x …注：使用罗比达法则必须满足使用条件，要注意分母不能为零，导数存在。
罗比达法则分为三种情况（1）0比0和无穷比无穷时候直接分子分母求导；（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1的形式；（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，）3、利用2个重要极限求极限例：求极限2)11(lim 22x x x x +−∞→解：211(lim 22x x x x +−∞→2)121(lim 2x x x +−+=∞→12212222])121[(lim +−−+∞→+−+=x x x x x 12lim 22+−∞→=x x x e 2−=e 。
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析
函数极限是高等数学中的重要内容，它可以用来研究函数的性质和趋势。
对于函数极限的求法，有很多技巧和方法，下面将对其中的一些常用技巧进行解析。
1. 代入法：对于一些简单的函数，可以直接代入趋于极限的点来求极限。
比如对于多项式函数f(x)=ax^n+bx^{n-1}+...+c，在x=a处的极限为f(a)=a^n+ba^{n-1}+...+c。
2. 分解因式法：对于一些复杂的函数，可以通过分解因式来简化求极限的过程。
比如对于f(x)=\frac{sinx}{x}，可以分解为f(x)=\frac{sinx}{x}*\frac{1}{1}，然后再进行代入。
5. 夹逼法：对于一些复杂函数，可以通过构造夹逼的方式来求极限。
夹逼法的基本思想是找到两个函数，一个上确界为极限，一个下确界为极限，然后通过这两个函数的极限来求解。
比如对于f(x)=sinx，可以通过夹逼法得到-1\le sinx \le 1，从而求得极限为f(x)=0。
这些是高等数学中函数极限的一些常用求法技巧，通过灵活运用这些技巧，可以更快更准确地求解函数的极限。
在实际应用中，还需要根据具体情况选择合适的方法和技巧，以求得更好的结果。
高等数学---求极限的各种方法
求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→ 【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→xxx 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
高等数学求极限的各种方法
求极限的各种方法1.约去零因子求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分子分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方;(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3.分子(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限,就是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．就是解题的关键 4.应用两个重要极限求极限两个重要极限就是1sin lim 0=→xxx 与e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
高等数学求极限的各种方法
⾼等数学求极限的各种⽅法求极限的各种⽅法1.约去零因⼦求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x ⽆限接近,但1≠x ,所以1-x 这⼀零因⼦可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分⼦分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分⼦分母都以多项式给出的极限,可通过分⼦分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) ⼀般分⼦分母同除x 的最⾼次⽅;(2)=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3.分⼦(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分⼦或分母有理化求极限,就是通过有理化化去⽆理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使⽤分⼦有理化⽅法外,及时分离极限式中的⾮零因⼦．．．．．．．．．．．就是解题的关键 4.应⽤两个重要极限求极限两个重要极限就是1sin lim 0=→xxx 与e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第⼀个重要极限过于简单且可通过等价⽆穷⼩来实现。
高等数学求极限的17种常用方法（附例题和详解）
⾼等数学求极限的17种常⽤⽅法（附例题和详解）⾼等数学求极限的14种⽅法⼀、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限⼜分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有⼦数列均收敛于a 。
常⽤的是其推论，即“⼀个数列收敛于a 的充要条件是其奇⼦列和偶⼦列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→?=∞→limlimlim)()((iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+-lim lim lim 0)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当⼆．解决极限的⽅法如下：1.等价⽆穷⼩代换。
只能在乘除．．时候使⽤。
例题略。
2.洛必达（L’ho spital ）法则（⼤题⽬有时候会有暗⽰要你使⽤这个⽅法）它的使⽤有严格的使⽤前提。
⾸先必须是X 趋近，⽽不是N 趋近，所以⾯对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正⽆穷的，不可能是负⽆穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接⽤洛必达法则。
另外，必须是“0⽐0”或“⽆穷⼤⽐⽆穷⼤”,并且注意导数分母不能为0。
函数极限的几种求解方法
函数极限的几种求解方法函数极限是高等数学中很重要的一个概念，其涉及到数列极限、导数、微积分等知识点。
在实际问题中，函数极限可以用来求出某些物理量、经济学问题等的解。
本文将介绍函数极限的几种求解方法，包括直接代入法、夹逼准则、极限的四则运算法则、洛必达法则等。
1. 直接代入法直接代入法是最基本的求解函数极限的方法，其原理是将极限中的变量值代入函数中，看其是否存在极限值。
如果存在，则直接将该数值作为函数极限结果。
例如，求下列函数极限：lim(x→0) [(x+1)^2-1]/x我们可以将变量x → 0 代入函数中得到：[(0+1)^2-1]/0=undefined由于分母等于 0，函数值不存在极限。
2. 夹逼准则夹逼准则是通过构造一个比较函数来求解函数极限。
其原理是通过找到一个比较函数，使得比较函数的极限值等于函数极限，从而判定函数极限是否存在。
我们可以构造一个比较函数 f(x)=1/x，即有：1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1当x → ∞ 时，左右两边的极限值都等于 0，因此由夹逼准则可知，sin(x)/x 的极限值也等于 0。
3. 极限的四则运算法则极限的四则运算法则指的是，对于一个由多个函数组成的函数极限，可以根据四则运算规则将其转化为多个简单的函数极限之和、差、积、商的形式，从而求解函数极限。
根据极限的四则运算法则，可以将其转化为两个函数极限的商：[lim(x→0) sin(x)+lim(x→0) cos(x)]/[lim(x→0) 1-cos(x)]由于 sin(x)/x 的极限值为 1，cos(x)/x 的极限值为 0，1-cos(x)/x 的极限值为 0，因此有：4. 洛必达法则洛必达法则是一种求解函数极限的高效方法，其原理是利用洛必达法则，将函数极限转化为一个比值函数的极限值，从而求出函数极限。
洛必达法则的公式为：lim[f(x)/g(x)]=lim[f`(x)/g`(x)]其中 f`(x) 和 g`(x) 分别表示函数 f(x) 和 g(x) 的导数。
高等数学求极限的14种方法
高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（2）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→limlimlim)()((3)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-lim lim lim 0)((4) 单调有界准则（5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理）(6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件。
是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除．．时候使用。
例题略。
2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。
首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。
另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况： （1）“00”“∞∞”时候直接用 (2)“∞•0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
16种求极限的方法
16种求极限的方法 <网上找的仅供参考>首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。
树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。
函数的性质表现在各个方面首先对极限的总结如下极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！当然还要注意分母不能为0落笔他法则分为3中情况1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了3 0的0次方 1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）3泰勒公式 (含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限3sin 1tan 1lim xxx x +-+→ 【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→xxx 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
主要考第二个重要极限。
例5：求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X1+，最后凑指数部分。
【解】2221212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x xx x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→211lim ；(2)已知82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→xx a x a x ，求a 。
5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】(1)常见等价无穷小有：当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x-,()abx ax x x b~11,21~cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．；(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．。
例7：求极限0ln(1)lim1cos x x x x →+=-【解】 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x xx x →→+⋅==-.例8：求极限xxx x 30tan sin lim -→【解】x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 222102030-=-==-=-=→→→x x x x x x x x x x6．用罗必塔法则求极限例9：求极限220)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→【说明】∞∞或0型的极限,可通过罗必塔法则来求。
【解】220)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→x x xx x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim20+--=→ 3sin 112cos 222sin lim20-=⎪⎭⎫⎝⎛+--=→x x x x x 【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解例10：设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x【解】 由于⎰⎰⎰=-=-=-0)())(()(xxxu t x du u f du u f dt t x f ,于是⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→xxxx x xx duu f x dtt tf dt t f x dtt x f x dtt f t x 00)()()(lim)()()(lim=⎰⎰+-+→xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 0)()()()()(lim=⎰⎰+→x xx x xf du u f dtt f 0)()()(lim=)()()(limx f x duu f x dtt f xxx +⎰⎰→=.21)0()0()0(=+f f f7．用对数恒等式求)()(lim x g x f 极限 例11：极限xx x 20)]1ln(1[lim ++→【解】 xx x 20)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2lim x xx e++→=.2)1ln(2lim)]1ln(1ln[2lime eexx xx x x ==+++→→【注】对于∞1型未定式)()(lim x g x f 的极限，也可用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -因为===-+)1)(1ln()(lim ))(ln()(lim )()(lim x f x g x f x g x g e e x f )()1)(lim(x g x f e -例12：求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【解1】 原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫ ⎪⎝⎭= 20ln 2cos ln 3lim x x x →+-=（）01sin 2cos lim 2x x x x →⋅-+=（）011sin 1lim 22cos 6x x x x →=-⋅=-+【解2】 原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫ ⎪⎝⎭= 2cos 1ln 3limx x x →-+=（1）20cos 11lim 36x x x →-==- 8．利用Taylor 公式求极限例13 求极限 ) 0 ( ,2lim20>-+-→a x a a x x x . 【解】 ) (ln 2ln 1222ln x a x a x ea ax xο+++==,) (ln 2ln 1222x a x a x axο++-=-;). (ln 2222x a x a a x x ο+=-+-∴ a xx a x x a a x x x x 22222020ln ) (ln lim 2lim =+=-+→-→ο. 例14 求极限011lim (cot )x x x x→-.【解】 00111sin cos lim (cot )lim sin x x x x x x x x x x x→→--= 323230()[1()]3!2!lim x x x x x x x xοο→-+--+= 333011()()12!3!lim 3x x x x ο→-+==.9．数列极限转化成函数极限求解例15：极限21sin lim n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→【说明】这是∞1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。
【解】考虑辅助极限611sin 11011sin 222lim lim 1sin lim -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→+∞→===⎪⎭⎫ ⎝⎛+e eex x y y y y x x x x x x所以，6121sin lim -∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛e n n n n10．n 项和数列极限问题n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限.例16：极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n Λ 【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把)(x f 看成［0,1］定积分。
⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→10)(211limdx x f n n f n f n f n n Λ 【解】原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→222112111111lim n n n n n n Λ 1212ln2111102+--=+=⎰dx x例17：极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim Λ 【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n n f n f n f n n Λ211lim的形式，因而用两边夹法则求解；(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。
【解】⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim Λ 因为11211122222+≤++++++≤+n n nn n n nn n Λ又 nn n n +∞→2lim11lim2=+=∞→n n n所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim Λ＝１ 12．单调有界数列的极限问题例18：设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==L（Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.【详解】 （Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<. 可推得 10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=L ，则数列{}n x 有界. 于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，）， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1sin n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即lim 0n n x →∞=.（Ⅱ） 因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型， 61sin 01sin 110032221lim lim sin 1lim --→⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→===⎪⎭⎫⎝⎛+++e eex x xx x x x x x x x x (使用了罗必塔法则)故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.求不定积分的方法及技巧小汇总~1.利用基本公式。