求极限的常用方法(精髓版)考试必备

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求极限的若干方法

求极限的若干方法求极限是数学中的重要内容之一，它在微积分、数学分析、几何等诸多领域中都有广泛的应用。

在数学中，我们经常使用各种方法来求解极限，以下是一些常见的方法。

1. 代入法：当出现极限中的变量可以直接代入某个值时，可以利用代入法求解。

当求lim(x→0) (sinx/x)时，我们可以将x代入0，得到lim(x→0) sinx/0 = lim(x→0) (sin0)/0 = 1/0 = ∞。

2. 抵消法：当极限存在但不易计算时，可以通过抵消法将其化简为易计算的形式。

当求lim(x→∞) (x^2 + 2x + 3)/(x + 1)时，可以利用抵消法将分子的x^2项与分母的x 项抵消，得到lim(x→∞) (x^2 + 2x + 3)/(x + 1) = lim(x→∞) (x + 2 + 3/x)/(1 + 1/x) = ∞/1 = ∞。

4. 夹逼法：当极限存在但不易直接计算时，可以利用夹逼法将其夹在两个已知的极限之间，从而求出极限的值。

当求lim(x→0) x*sin(1/x)时，可以利用夹逼法，由于-1 ≤ sin(1/x) ≤ 1，所以有-lim(x→0) x ≤ lim(x→0) x*sin(1/x) ≤ lim(x→0) x，即-0 ≤ lim(x→0) x*sin(1/x) ≤ 0。

根据夹逼定理，由-lim(x→0) x = 0及lim(x→0) x = 0可知，lim(x→0) x*sin(1/x) = 0。

5. 利用特殊函数的性质：当极限涉及到特殊函数时，可以利用特殊函数的性质来求解。

当求lim(x→∞) (1 + 1/x)^x时，可以利用自然对数函数的性质，将极限转化为lim(x→∞) e^(x*log(1 + 1/x)) = e^lim(x→∞) (x*log(1 + 1/x)) = e^lim(x→∞) (log(1 + 1/x))/((1/x)) = e^lim(x→∞) ((log(1 + 1/x))/((1/x)))，再利用洛必达法则，得到lim(x→∞) ((log(1 + 1/x))/((1/x))) = lim(x→∞) (1/((1 + 1/x)(-1/x^2))) = 1。

求极限的12种方法总结及例题

求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。

在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。

本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。

2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。

根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。

利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。

3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。

当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。

要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。

4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。

利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。

要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。

5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。

洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。

通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。

6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。

当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。

通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。

7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。

通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。

对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。

求极限的方法,(自己总结的)

求极限的常用方法1.直接代入法:对于初等函数f( )的极限, , 若f( )在0处的函数值f( 0)存在, 即。

直接代入法的本质就是只要将= 0代入函数表达式, 若有意义, 其极限就是该函数值（称为“能代则代”）。

例I: 求极限（1）（2）（3）解: （1）（2）（3）2.变型法（包括两个重要极限）通俗地说代入后无意义的极限称为不定式, （如0/0,∞/∞,∞-∞等）此时若极限存在往往要变形后才可看出。

例I: 求极限（1）（2）解: （1）（2）两个重要极限是和, 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。

主要考第二个重要极限。

例I: 求极限解:例II: 求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１, 再凑, 最后凑指数部分。

解:3.利用连续性定义。

例I: 求解：y= 可看作由y= 与复合而成。

因为= , 而函数y= 在点u= 连续, 所以=例II: 求解: =例III: 求解：因为利用定理３及极限的运算法则, 便有4.利用无穷小、无穷大的关系【说明】(1)常见等价无穷小有:当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,21~cos 12-+- 例1: 求极限解 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x x x x →→+⋅==- 例2: 求极限解x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 222102030-=-==-=-=→→→xx x x x x x x x x 例3因式代替规则x x x x 3sin tan lim 0-→x x x x 30)1cos 1(sin lim -=→212lim 330==→x x x 5.利用极限的性质法（如四则运算）利用极限的4则运算法则, , ,例1: 求解：先用除分子和分母, 然后求极限, 得52123lim 232+---∞→x x x x x 020512123lim 332==+---=∞→x x x x x x 例2: 求解, 因为分母的极限 , 不能应用商的极限的运算法则, 但因所以∞=+--→4532lim 21x x x x6.洛必达法则（求不定式极限）定理一设（1）当x 时, f(x)及F （x ）都趋向于零；（2）在点a 的某一去心领域内, f ’(x)及F ’(x)都存在且F ’(x)≠o ；（3） )(')('lim x F x f a x →存在（或为无穷大）；那么 )(')('lim )()(lim x F x f x F x f a x a x →→=定理二设（1）当x 时，∞→函数f(x)及F(x)都趋向于零；（2）当；）都存在，且与时0('F )(')('x ≠>x x F x f N （3）或为无穷大），存在()(')('lim x F x f x ∞→ 那么）x F x f x F x f x (')('lim )()(lim x ∞→∞→= 例1: 求解: 原式=例2: 求 >0)解: 原式=例3: 求解: 原式=7.积分法积分求极限法:例一: 求。

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。

2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。

要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。

常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→lim lim lim )()((iii)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-limlimlim)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。

极限)(limx f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。

只能在乘除．．时候使用。

例题略。

2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）洛必达法则（定理）设函数f(x ）和F(x ）满足下列条件： ⑴x→a 时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;⑵在点a 的某去心邻域内f(x ）与F(x ）都可导，且F(x ）的导数不等于0; ⑶x→a 时，lim(f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大则 x→a 时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))注：它的使用有严格的使用前提。

16种求极限的方法及一般题型解题思路分享

千里之行，始于足下。

16种求极限的方法及一般题型解题思路共享求极限是微积分中格外重要的概念，它可以挂念我们争辩函数的性质以及解决各种数学问题。

在求极限的过程中，有很多种不同的方法可以使用。

本文将介绍16种常见的求极限的方法，并共享一般题型的解题思路。

1. 代入法：将变量的值直接代入函数中，求出函数在该点的函数值。

这种方法适用于对于给定的变量值函数值可以直接计算的状况。

2. 合并同类项法：对于多项式函数，可以将同类项合并，化简为简洁的表达式，使得求极限更加便利。

3. 分子有理化法：对于分式函数，可以通过有理化分子的方法将其转化为整式的形式，使得求极限更加便利。

4. 凑微分法：对于含有微分的项，可以通过凑微分的方法将其转化为可求极限的形式。

5. 分部积分法：对于不定积分的形式，可以通过分部积分的方法将其转化为可求极限的形式。

6. 换元法：通过适当的变量替换，将原函数转化为简洁函数的形式，使得求极限更加便利。

7. 反函数法：对于已知函数，可以通过找到其反函数，将原函数的极限转化为反函数的极限来求解。

第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。

8. 夹逼定理：假如一个函数在某点四周的两个函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么该点的极限存在且等于这两个函数的极限。

9. 洛必达法则：对于两个函数的极限，假如它们的导数的极限都存在且有限，那么这两个函数的极限相等。

这个法则对于解决0/0和∞/∞型的极限问题格外有用。

10. 先有界后无穷法则：假如一个函数在某个点四周有界，并且向正无穷或负无穷趋于极限，那么该点的极限等于无穷。

11. 拆分法则：假如一个极限可以通过拆分成多个极限来求解，那么可以分别求解这些极限，然后将结果合并。

12. 开放法则：对于含有无穷小量的表达式，可以将其开放成多项式的形式，然后求极限。

13. 不等式法则：可以通过利用一些不等式关系来限定函数的范围，从而求出极限的范围。

14. 递推法：对于递归定义的序列或函数，可以通过递推关系式来求出其极限。

16种求极限的方法

16种求极限的方法在微积分中，求极限是一项重要的技巧和方法，用于研究函数在其中一点或趋于其中一点时的行为。

求极限的方法有很多种，下面将介绍16种常见的求极限方法。

1.代入法：将待求极限中的变量替换成极限点处的值，如果代入后得到一个有界的数或者可数收敛，则该极限存在。

2.四则运算法则：利用加法、减法、乘法和除法的性质进行极限运算。

例如，如果两个函数的极限都存在，则它们的和、差、积以及商（除数非零）的极限均存在。

3.夹逼定理：如果两个函数在其中一点附近夹住一个函数，并且夹住的函数的极限存在，则被夹住的函数的极限也存在，并且等于夹住的函数的极限。

4.极限的唯一性：如果存在一个数L是函数f在其中一点的极限，那么该极限是唯一的。

5.极限的有界性：如果函数f在其中一点的极限存在，则函数f在该点附近必定有界。

反之，如果函数f在其中一点附近有界，那么该点处的极限必定存在。

6.无穷小量和无穷大量：无穷小量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于零的量，无穷大量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于无穷的量。

利用无穷小量和无穷大量的性质，可以简化极限的求解过程。

7. 根式求极限：使用L'Hopital法则来解决根式的极限问题，即将根式转化为分式，再求导数。

8.多项式求极限：将多项式的极限转化为无穷小量的极限，利用低阶无穷小量和高阶无穷小量的性质进行极限计算。

9.取对数法：将函数取对数后，利用对数的性质进行极限计算。

10.换元法：通过进行合适的变量替换，将待求极限转化为更容易求解的形式。

11.不等式运算法：通过使用不等式的性质，对函数进行合理的估计，从而求解极限。

12.导数法则：利用导数的性质，对函数进行极限计算。

例如，利用导数的定义和求导法则可以方便地求解一些函数的极限。

13.递推法：对于一些递归定义的数列或函数，可以通过递推法求解其极限。

14.泰勒展开法：利用函数对应点附近的泰勒展开式，将函数的极限转化为级数的极限，进而求解极限。

(完整word版)高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

高等数学求极限的14 种方法一、极限的定义1. 极限的保号性很重要：设limf (x)A ，x x 0（ i ）若 A 0 ，则有0 ，使适当 0 | x x 0 |时， f (x) 0 ；（ ii ）如有0, 使适当 0 | x x 0 |时， f (x)0,则A0 。

2. 极限分为函数极限、数列极限，此中函数极限又分为限能否存在在：x时函数的极限和 xx 0 的极限。

要特别注意判断极（ i ）数列 x n 收敛于 a 的充要条件是它的全部子数列均收敛于 a 。

常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ ii ）limf (x)Alimf ( x)limAxxx(iii)lim f ( x)AlimlimAx xx x 0x x 0(iv) 单一有界准则（ v ）两边夹挤准则（夹逼定理 / 夹逼原理）（ vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。

极限 limf ( x) 存在的充分必要条件是：x x 00,0, 使适当 x 1、 x 2U o ( x 0 )时，恒有 | f ( x 1 ) f ( x 2 ) |二．解决极限的方法以下：1. 等价无量小代换。

只好在乘除时候使用。

例题略。

．．2. 洛必达（ L ’ho spital ）法例（大题目有时会有示意要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。

第一一定是X 趋近，而不是 N 趋近，因此面对数列极限时候先要转变为求 x 趋近状况下的极限，数列极限的n 自然是趋近于正无量的，不行能是负无量。

其次 , 一定是函数的导数要存在，假如告诉 f （x ）、g （x ）, 没告诉能否可导，不行直接用洛必达法例。

此外，一定是 “0 比 0”或“无量大比无量大” ,而且注意导数分母不可以为 0。

洛必达法例分为 3 种状况：（i ）“ 0”“”时候直接用(ii) “0? ”“”，应为无量大和无量小成倒数的关系，因此无量多数写成了无量小的倒数形式了。

求极限的13种方法

求极限的13种方法求极限的方法有很多种，以下列举了常见的13种方法和技巧，以帮助解决各种极限问题。

1.代入法：将极限中的变量代入表达式中，简化计算。

这通常适用于简单的多项式函数。

2.夹逼定理：当一个函数夹在两个趋向于相同极限的函数之间时，函数的极限也趋向于相同的值。

3.式子分解：通过将复杂的函数分解成更简单的部分，可以更容易地计算极限。

4.求导法则：使用导数的性质和规则来计算函数的极限。

这适用于涉及导数的函数。

5.递归关系：如果一个函数的递归关系式成立，可以使用递归关系来计算函数的极限。

6.级数展开：将函数展开成无穷级数的形式，可以使用级数的性质来计算函数的极限。

7.泰勒级数：对于可微的函数，可以通过使用泰勒级数来近似计算函数的极限。

8. 洛必达法则：如果一个函数的极限形式是$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$，可以使用洛必达法则来计算极限。

该法则涉及对分子分母同时求导的操作。

9.极限存在性证明：通过证明一个函数在一些点上的左极限和右极限存在且相等，可以证明函数在该点上的极限存在。

10.收敛性证明：对于一个序列极限，可以通过证明序列是有界且单调递增或单调递减的来证明其极限存在。

11.极限值的判断：根据函数的性质，可以判断函数在一些点上的极限是多少。

12.替换法：通过将变量替换为一个新的变量，可以使函数更容易计算极限。

13.反证法：通过假设极限不存在或不等于一些特定值，来推导出矛盾的结论，从而证明极限存在或等于一些特定值。

这些方法并非完整的极限求解技巧列表，但是它们是最常见和基本的方法。

在实际问题中，可能需要结合使用多种方法来求解复杂的极限。

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学求极限的常用方法（附例题和详解）在高等数学中，求极限是一个基础而重要的概念，它在各个数学领域都有广泛的应用。

本文将介绍一些常用的方法，以及针对这些方法的例题和详细解析。

I. 无穷小量法无穷小量法是求解极限最常见的方法之一。

它的基本思想是将待求极限转化为无穷小量之间的比较。

下面通过一个例题来说明这个方法。

例题1：求极限lim(x→0) (sin x) / x解析：考虑当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 的关系。

根据三角函数的极限性质，我们知道 sin x / x 的极限为 1。

因此，原式可以看作(sin x) / x ≈ 1，即它在 x 趋近于 0 时趋近于 1。

故lim(x→0) (sin x) / x = 1.II. 夹逼法夹逼法也是常用的求解极限的方法，它适用于求解含有不等式的极限问题。

下面通过一个例题来说明夹逼法的思想。

例题2：求极限lim(x→0) x^2sin(1/x)解析：首先，我们要注意到 x^2sin(1/x) 的取值范围在 [-x^2, x^2] 之间，因为 -1 ≤sin(θ) ≤ 1 对任意θ 成立。

然后，我们可以利用夹逼法，将 x^2sin(1/x) 夹逼在 0 和 0 之间。

也就是说，对于任何 x，都有 -x^2 ≤ x^2sin(1/x) ≤ x^2。

根据夹逼定理，当 x 趋近于 0 时，x^2sin(1/x) 的极限为 0。

故lim(x→0) x^2sin(1/x) = 0.III. 泰勒展开法泰勒展开法是一种将函数在某点附近进行多项式逼近的方法，它可以帮助我们求解一些复杂的极限问题。

下面通过一个例题来说明泰勒展开法的应用。

例题3：求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x解析：考虑函数 f(x) = e^x 在 x = 0 处的泰勒展开式：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2 / 2! + f'''(0)x^3 / 3! + ...其中，f'(0)表示 f(x) 在 x = 0 处的导数，依次类推。

16种求极限方法及一般题型解题思路分享

16种求极限方法及一般题型解题思路分享求极限是微积分中的重要内容之一，常见于各种数学和工程科学中。

为了求出一个函数在某一点的极限，需要使用合适的方法。

下面介绍16种常用的求极限方法，以及一般题型解题思路。

一、直接代入法对于多项式函数和分式函数，可以直接将自变量代入函数表达式中计算极限。

例如，求函数 f(x) = 2x + 3 在 x = 1 处的极限，直接代入即可得到结果。

二、分解因式法对于分式函数，可以通过分解因式来简化计算，特别适用于分子和分母都是多项式的情况。

例如，求函数 f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) 在 x = 1 处的极限，可以将分子进行因式分解，得到 f(x) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1)，然后约去公因式，即可得到结果。

三、夹逼定理夹逼定理用于解决复杂函数在某一点处的极限问题。

如果一个函数在某一点附近被两个其他函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么原函数的极限也存在且等于这个相等的极限。

例如，对于函数 f(x) = x*sin(1/x)，当 x 趋近于 0 时，f(x) 被两个函数 g(x) = x 和 h(x) = -x 夹住，且 g(x) 和 h(x) 的极限都是 0，所以 f(x) 的极限也是 0。

四、变量代换法第1页/共5页对于一些特殊的函数，可以通过变量代换来简化计算。

例如，对于函数f(x) = sin(1/√x)，当 x 趋近于 0 时，可以将√x = t，那么 x = t^2，且当 x 趋近于 0 时，t 也趋近于 0，所以求 f(x) 在 x = 0 处的极限可以转化为求 g(t) = sin(1/t) 在 t = 0 处的极限。

五、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求函数极限的方法，特别适用于形如 0/0 或∞/∞的不定式。

根据洛必达法则，如果一个不定式的分子和分母的极限都存在且为 0 或∞，那么可以分别对分子和分母求导后再次求极限，直到找到一个不是 0/0 或∞/∞的形式。

考研数学：求极限的16种方法1500字

考研数学：求极限的16种方法1500字极限是数学中的重要概念，是解析数学中很多问题的基础。

求极限的方法有很多种，下面就介绍一下求极限的16种常用方法。

1. 直接代入法：对于某个函数在某个点的极限，如果可以直接将极限点代入函数中计算出极限值，则可以使用直接代入法。

2. 连续性法则：如果一个函数在某个点处连续，那么该点的极限值就是函数在该点的函数值。

3. 无穷小量的性质：利用无穷小量的性质对极限进行求解，例如利用已知的极限，对函数进行分子分母的化简、展开等操作。

4. 夹逼法：当一个函数夹在两个函数之间时，利用两个函数的极限值可以求出该函数的极限值。

5. 单调有界原理：对于单调有界的函数，可以通过证明上下确界得到极限值。

6. 极限的四则运算法则：对于两个函数的极限，可以利用四则运算法则求出其和、差、积、商的极限。

7. 换元法：通过对函数进行变量替换，将原来的极限问题转化为更简单的问题求解。

8. 泰勒级数展开法：对于某些函数，可以利用泰勒级数展开的性质，将函数进行级数展开，然后求出极限值。

9. 符号常用极限法：对于一些特殊的函数，例如正弦函数、指数函数等，可以通过符号常用极限值来求出其极限。

10. 隐函数极限法：对于隐函数的极限问题，需要通过隐函数求导的方式来求出极限值。

11. 单调列法：对于一个递增（递减）且有上（下）界的序列，可以通过极限的单调列法求出极限。

12. Stolz定理：当一个数列为无穷大与无穷小的极限的商时，可以利用Stolz定理求出极限。

13. 递推法：对于递归定义的数列，可以通过递推的方式求出极限。

14. 分部积分法：对于一些函数的积分，可以通过分部积分法转化为极限问题求解。

15. L'Hospital法则：对于一些不定型的极限问题，可以通过L'Hospital法则来求出其极限。

16. 堪培拉法则：对于一些含有多个变量的函数，可以利用堪培拉法则求出其极限。

以上是求解极限的16种常用方法，掌握这些方法可以更好地应对极限求解问题。

专升本数学函数极限求解技巧方法

专升本数学函数极限求解技巧方法在求解数学函数极限时，我们可以采用一系列的技巧和方法来简化题目，加快计算速度。

下面我将介绍一些常用的技巧和方法。

1. 代入法：将极限中的变量替换为一个接近他的数值，来近似计算极限。

例如，对于一个函数 f(x)，当 x 趋近于某个数 a 时，可以将 f(x) 中的 x 替换为 a，然后计算 f(a)。

这个方法适用于一些简单的函数，可以快速得到结果。

2. 分子分母配对：如果一个函数的分子和分母都是多项式或者指数函数，可以尝试将分子分母进行配对，消去一些项，使得计算更加简化。

例如，对于一个极限lim(x->0) (x^2 - sin(x))/(x^3 - x sin(x))，我们可以进行分子分母配对，得到 lim(x->0) (x^2 - sin(x))/(x^3 - x sin(x)) = lim(x->0) (1 - cos(x))/(x^2 - x)。

然后使用代入法，令x = 0，得到极限值为 1。

3. 合并同类项：在极限计算中，我们经常遇到一些含有多项式的函数，可以将其中的同类项合并，以简化计算。

例如，对于一个函数 f(x) = (2x-1)/(3x^2 - x - 2)，我们可以将分子和分母中的x 合并，得到f(x) = (2 - 1/x)/(3x - 2/x - 1)，然后使用代入法，令 x = ∞，得到极限值为 2/3。

4. 极限的性质：在计算极限时，可以利用一些极限的性质来简化计算。

例如，对于两个函数f(x) 和g(x)，如果lim(x->a) f(x) = L，lim(x->a) g(x) = M，那么有以下极限性质：- lim(x->a) [f(x) +/- g(x)] = L ± M- lim(x->a) [f(x) * g(x)] = L * M- lim(x->a) [f(x) / g(x)] = L / M (如果 M 不等于 0)这些性质可以帮助我们在计算复杂的极限时，将其分解为更简单的极限。

求极限的21个方法总结

求极限的21个方法总结1. 直接代入法：将变量的值代入极限表达式中，计算极限的值。

2. 分子分母同除以最高次项的方法：可以使得分子和分母的最高次项的系数为1，简化计算。

3. 消去法：利用性质将某些项消去，使得表达式更容易计算。

4. 因式分解法：将极限表达式中的因式进行分解，简化计算。

5. 分数分解法：将极限表达式中的分数进行分解，简化计算。

6. 奇偶性性质：利用函数的奇偶性质，简化计算。

7. 倍角、半角、和差公式：利用三角函数的相关公式，简化计算。

8. 幂函数性质：利用幂函数的性质，简化计算。

9. 对数函数性质：利用对数函数的性质，简化计算。

10. 指数函数性质：利用指数函数的性质，简化计算。

11. 三角函数性质：利用三角函数的性质，简化计算。

12. 极坐标法：将极限表达式转化为极坐标形式，简化计算。

13. 无穷小代换法：将极限表达式中的变量代换为无穷小量，简化计算。

14. 夹逼定理：利用夹逼定理确定极限的值。

15. L'Hopital法则：当计算的极限为0/0或者∞/∞形式时，可以利用L'Hopital 法则进行计算。

16. 泰勒展开法：将极限表达式进行泰勒展开，取较低阶项进行计算。

17. 递推法：将极限表达式中的各项逐步推导出来，从而得到极限的值。

18. 积分法：将极限表达式转化为积分形式，利用积分的性质计算极限的值。

19. 微分法：将极限表达式转化为微分形式，利用微分的性质计算极限的值。

20. 反函数法：将极限表达式中的函数进行反函数变换，简化计算。

21. 几何法：利用几何图形的性质计算极限的值。

16种求极限的方法总结

16种求极限的方法总结说起考研数学，你觉得最难的是哪个?据调查，数学中求极限的问题一直困扰着广大考生，2015年的考研马上就要到了，海文考研专门为大家梳理了16种求极限的方法，相信肯定对你有帮助。

解决极限的方法如下：1、等价无穷小的转化只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。

全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。

首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。

洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。

对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。

3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x 展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。

4、无穷大比上无穷大面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。

求极限的常用方法

例18
ex lim(
e2x
e3x
1
)x.
x0
3
lim 1 ln( ex e2 x e3 x )
e 解：原式 x0 x
3
而
1 ex e2 x e3x
lim
x0
x
ln(
3
)
ln(ex e2 x e3x )ln 3
lim
x0
x
ex 2e2 x 3e3x
lim
x0
ex e2 x e3x
2
注： 0 ，型不定式极限可直 0
lim x0
tan x x3
x
lim sec2 x 1 x0 3x2
lim
x0
tan2 x 3x2
1 3
注： 0 ，型不定式极限可直 0
接使用罗比达法则．
例13 lim( 1 x ). x1 ln x x 1
解：原式 lim x 1 x ln x x1 (x 1) ln x
lim
x1
1 ln ln x
lim
x0
ln2 x x1
e e lim x0
2ln x x1
2 lim xln x
x0
e0 1
六、利用罗比达法则求极限
1
例16 lim (cot x)ln x . x0 lim 1 ln cot x
e 解：原式 x0 ln x
而 lim 1 ln(cot x) x0 ln x
lim
接使用罗比达法则．
七、利用Taylor展开式求极限
例19
x2
cos x e 2
lim
x0
x4
解：原式
1 x2 x4 o(x4 ) (1 x2 x4 o(x4 ))

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学中求极限是一项重要的数学技巧，它在数学分析、微积分和其他数学领域中都有广泛应用。

本文将介绍一些常用的求极限的方法，并给出相应的例题和详解。

一、直接代入法直接代入法是求极限的最基本方法之一。

当函数在某一点连续时，可以直接将该点代入函数中来求极限。

例题1：求函数f(x) = x^2在x=2处的极限。

解：直接将x=2代入函数中，得到f(2) = 2^2 = 4。

因此，f(x)在x=2处的极限为4。

二、夹逼法夹逼法（也称为夹挤准则）是求解一些复杂极限的常用方法。

它基于一个简单的想法：如果函数g(x)和h(x)在某一点p附近夹住函数f(x)，并且g(x)和h(x)的极限都相等，那么f(x)的极限也等于这个相等的极限。

例题2：求极限lim(x→∞) [(x+1)/x]。

解：我们可以用夹逼法来求解这个极限。

首先，我们可以注意到1 ≤ [(x+1)/x] ≤ [x/x] = 1（其中[x]表示取整函数）。

因此，我们可以将极限表达式两侧夹逼：lim(x→∞) 1 ≤ lim(x→∞) [(x+1)/x] ≤ lim(x→∞) 1。

根据夹逼准则，当lim(x→∞) 1 = 1时，极限lim(x→∞) [(x+1)/x]存在且等于1。

三、极限的四则运算法则在求解复杂函数的极限时，可以利用极限的四则运算法则。

该法则规定，如果函数f(x)和g(x)在某点p处的极限存在，则函数h(x) = f(x) ± g(x)、h'(x) = f(x) * g(x)、和h''(x) = f(x) / g(x)在点p的极限也存在，并满足相应的运算法则。

例题3：求极限lim(x→0) (sinx/x)。

解：我们可以利用极限的四则运算法则来求解这个极限。

首先，观察到当x→0时，分子sinx和分母x都趋向于0，因此这个极限是一个未定式。

根据极限的四则运算法则，我们可以将lim(x→0) (sinx/x)转化为lim(x→0) sinx / lim(x→0) x。

考研数学：求极限的16种方法

考研数学：求极限的16种方法1500字求极限是数学中一个重要的概念和技巧，经常会在高等数学、微积分、函数分析等课程中出现。

在考研数学中，求极限也是一个比较常见的题型，有时候会要求借助不同的方法来求解极限。

以下是16种常见的求极限的方法：方法1：代入法代入法是求极限中最基本的方法之一，特别适用于极限问题中有指定点的情况。

代入的点可以是有限点或无限点，通过将极限值代入原函数中，来求得极限。

方法2：夹逼定理夹逼定理也是一种常用的方法，适用于需要用两个已知函数夹住待求函数的情况。

通过取两个已知函数逐渐逼近待求函数，来求得极限。

方法3：集中取值法集中取值法是一种常用的方法，适用于需要对待求函数的取值进行讨论的情况。

通过将待求函数的取值限制在一个区间内，来求得极限。

方法4：变量代换法变量代换法是一种常用的方法，适用于需要通过变换变量来求得极限的情况。

通过进行恰当的变换变量，将原极限转化为另一个更容易求解的极限。

方法5：公共因子法公共因子法是一种常用的方法，适用于需要将待求函数的表达式进行分解的情况。

通过进行恰当的分解，将待求函数表达式中的公共因子提取出来，来求得极限。

方法6：三角函数极限法三角函数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行三角函数的极限转化的情况。

通过使用三角函数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的三角函数极限。

方法7：幂函数极限法幂函数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行幂函数的极限转化的情况。

通过使用幂函数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的幂函数极限。

方法8：自然对数极限法自然对数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行自然对数的极限转化的情况。

通过使用自然对数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的自然对数极限。

方法9：常数e极限法常数e极限法是一种常用的方法，适用于需要进行常数e的极限转化的情况。

通过使用常数e的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的常数e极限。

方法10：斜率法斜率法是一种常用的方法，适用于需要进行斜率的极限转化的情况。

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学是高等教育中的重要课程之一，其涵盖的内容非常广泛，包括微积分、数理方程和变换等方面。

其中求极限是微积分中的核心内容之一，也是数学建模和应用中常用的方法之一。

本文将介绍求极限的常用方法，并提供相应的例题和详解。

一、用夹逼定理求极限夹逼定理是求极限中常用的方法之一，其思路是通过一个比较大小的框架，来判断所求极限的范围和趋势。

具体而言，假设存在两个函数 f(x) 和 g(x)，满足以下条件：1. 对于 x 属于某个区间 [a, b]，有 f(x) <= g(x)。

2. 在区间 [a, b] 内，f(x) 和 g(x) 的极限均存在，即 lim[f(x)] = A，lim[g(x)] = A。

3. 在区间 [a, b] 内，除有限个点外，f(x) = g(x)。

则可以得到 lim[f(x)] = lim[g(x)] = A。

下面是一个例子：例1：求极限 lim[(x^2 - 4x + 3) / (x - 3)]。

解法：可以将原式改写成 (x - 1)(x - 3) / (x - 3)，即 (x - 1)。

则对于x ∈ (3,∞)，有 0 <= x - 1 <= x - 3，因此：0 <= (x^2 - 4x + 3) / (x - 3) - (x - 1) <= x - 3，而 lim[x - 3] = ∞，因此可用夹逼定理得到所求极限为 lim[(x^2 - 4x + 3) / (x - 3)] = lim[(x - 1)] = 2。

二、用洛必达法则求极限洛必达法则是求导数时的常用方法，在求极限时也可以用到。

具体而言，假设有一个形如 lim[f(x) / g(x)] 的无穷小量，若这个无穷小量的分子和分母都存在极限，并且它们的极限都等于 0 或者±∞，则可以用洛必达法则来求出极限的值。

其中，洛必达法则的形式如下：若 lim[f(x)] = 0，lim[g(x)] = 0，且g'(x) ≠ 0，则 lim[f(x) / g(x)] = lim[f'(x) / g'(x)]。

求极限的方法总结

求极限的几种常用方法一、约去零因子求极限例如求极限limx→1x4-1x-1，本例中当x→1时，x-1→0，表明x 与1无限接近，但x≠1,所以x-1这一因子可以约去。

二、分子分母同除求极限求极限limx→∞x3-x23x3+1∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

limx→∞x3-x23x3+1=limx→∞1-1x3+1x3=13三、分子(母)有理化求极限例:求极限limx→∞(x3+3-x2+1)分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

()()()()131313lim 13lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x xx x x 0132lim 22=+++=+∞→x x x例：求极限limx→01+tanx -1+sinxx330sin 1tan 1lim x x x x +-+→=()x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim 30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11lim x x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。

四、应用两个重要极限求极限(2)limx→∞(1+1x)x=limx→0(1+x)1x=e在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。

例：求极限limx→∞(x+1x-1)x第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑1+1x，最后凑指数部分。

limx→∞(x+1x-1)x=limx→∞(1+2x-1)x=limx→∞[1+1x-122x-1(1+ 2x-1)12]2=e2五、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。

这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。