贵州省贵阳一中2017-2018学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年贵州省贵阳一中高一（上）期中数学试卷
一．选择题（本大题共12小题，每题4分共40分）
1．已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）
A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}
2．函数y=的值域是（）
A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．（1，+∞）
3．下列函数中哪个与函数y=x相等（）
A．y=B．y=C．y=D．y=
4．若函数f（x）=x2﹣ax+2（a为常数）在[1，+∞）上单调递增，则a∈（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）
5．下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）上单调递减的是（）
A．y= B．y=e﹣x C．y=1﹣x2D．y=lg|x|
6．函数y=的定义域是（）
A．[1，+∞）B．（）C． D．（﹣∞，1]
7．函数f（x）=的图象（）
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称
8．已知f（+1）=x+2，且f（a）=3，则实数a的值是（）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．4
9．两个函数y=2x﹣1+1与y=2﹣x的图象的交点横坐标为x0，则x0∈（）
A．（﹣1，0）B．（0，）C．（，1）D．（1，）
10．若对任意的x∈[﹣1，2]，都有x2﹣2x+a≤0（a为常数），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]
11．下列结论中错误的是（）
A．1.72.5＜1.73B．log0.31.8＜log0.31.7
C．＜log23 D．＞log23
12．函数f（x）=x2﹣（）x的零点有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（本大题共4小题，每题5分共20分）
13．设函数f（x）=，则f（3）=．
14．若集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为．
15．已知t为常数，函数y=|x2﹣4x﹣t|在区间[0，6]上的最大值为10，则t=．16．已知集合A={a2，a+1，3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2+1}．当A∩B={3}，则实数a=．
三．解答题（本大题共6小题，每题10分共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算下列各式：（要求写出必要的运算步骤）
（1）0.027﹣（﹣）﹣2+2560.75﹣3﹣1+（）0；
（2）（log3）2+[log3（1++）+log3（1+﹣）]•log43．
18．设函数f（x）=lg（2+x）﹣lg（2﹣x）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判定f（x）的奇偶性．
19．已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．
（1）若a=2，求M∩（∁R N）；
（2）若M∪N=M，求实数a的取值范围．
20．已知函数f（x）=ax2+2x+c，（a，c∈N*）满足①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．（1）求函数f（x）的解析表达式；
（2）若对任意x∈[1，2]，都有f（x）﹣2mx≥1成立，求实数m的取值范围．
21．设函数f（x）=x+（a为常数，且a＞0）．
（1）是否存在常数a，使f（x）在（0，3]上单调递减，且在[3，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；
（2）若关于x的不等式x+﹣m≤0（m为常数）在[1，4]上恒成立，求常数m的取值范围．
22．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0有解，求k的取值范围．
2017-2018学年贵州省贵阳一中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每题4分共40分）
1．已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）
A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}
【考点】交集及其运算．
【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．
【解答】解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，
∴A∩B={2}．
故选B
2．函数y=的值域是（）
A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．（1，+∞）
【考点】函数的值域．
【分析】通过函数的解析式，直接得到函数的值域即可．
【解答】解：函数y=可知：，即y≥1．
所以函数的值域为：[1，+∞）．
故选：B．
3．下列函数中哪个与函数y=x相等（）
A．y=B．y=C．y=D．y=
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【分析】确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．
【解答】解：A．y=的定义域是{x|x≥0}，而函数y=x的定义域R，故不是同一函数．
B．y=的定义域是{x|x≠0}，而函数y=x的定义域R，故不是同一函数．
C．y==|x|与y=x的对应法则、值域皆不同，故不是同一函数．
D．y==x与y=x是同一函数．
故选：D．
4．若函数f（x）=x2﹣ax+2（a为常数）在[1，+∞）上单调递增，则a∈（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）
【考点】二次函数的性质．
【分析】求出函数的对称轴，得到函数的递增区间，结合集合的包含关系，求出a的范围即可．
【解答】解：函数f（x）=x2﹣ax+2的单调增区间为[，+∞），
又函数f（x）=x2﹣ax+1在区间[1，+∞）上为单调递增函数，
知[1，+∞）是它递增区间的子区间，
∴≤1，解得：a≤2，
故选：C．
5．下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）上单调递减的是（）
A．y= B．y=e﹣x C．y=1﹣x2D．y=lg|x|
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【分析】逐一考查各个选项中函数的奇偶性、以及在区间（﹣∞，0）上的单调性，从而得出结论．
【解答】解：由于y=是奇函数，故排除A；
由于y=e﹣x不满足f（﹣x）=f（x），不是偶函数，故排除B；
由于函数f（x）=﹣x2+1是偶函数，且满足在（﹣∞，0）上是单调递增函数，故C不满足条件；
由于y=lg|x|，有f（﹣x）=f（x）是偶函数，且在区间（﹣∞，0）上，f（x）=lgx是单调递减，故D正确；
故选：D．
6．函数y=的定义域是（）
A．[1，+∞）B．（）C． D．（﹣∞，1]
【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．
【分析】函数的定义域是：{x|}，由此能求出函数的定义域．
【解答】解：函数的定义域是：
{x|}，
即{x|}，
解得{x|}．
故选C．
7．函数f（x）=的图象（）
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称
【考点】奇偶函数图象的对称性．
【分析】将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．
【解答】解：因为═，所以f（﹣x）=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f（x），
所以函数f（x）是偶函数，即函数图象关于y轴对称．
故选A．
8．已知f（+1）=x+2，且f（a）=3，则实数a的值是（）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．4
【考点】函数的值．
【分析】设，则x=（t﹣1）2，t≥1，从而f（t）=（t﹣1）2+2t﹣2=t2﹣1，由此能求出a．
【解答】解：∵f（+1）=x+2，且f（a）=3，
设，则x=（t﹣1）2，t≥1，
∴f（t）=（t﹣1）2+2t﹣2=t2﹣1，
∴a2﹣1=3，
解得a=2或a=﹣2（舍）．
故选：B．
9．两个函数y=2x﹣1+1与y=2﹣x的图象的交点横坐标为x0，则x0∈（）
A．（﹣1，0）B．（0，）C．（，1）D．（1，）
【考点】函数的图象．
【分析】构造新函数f（x）=2x﹣1+x﹣1，依据零点存在条件即可找出正确答案．
【解答】解：设f（x）=2x﹣1+1﹣（2﹣x）=2x﹣1+x﹣1，
∵f（0）=+0﹣1=﹣＜0，
∴f（）=+﹣1＞0，
∴f（0）•f（）＜0，
∴f（x）的零点所在的区间为（0，），
故两个函数y=2x﹣1+1与y=2﹣x的图象的交点横坐标为x0，则x0∈（0，），
故选：B
10．若对任意的x∈[﹣1，2]，都有x2﹣2x+a≤0（a为常数），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]
【考点】二次函数的性质．
【分析】结合二次函数的性质，得到函数f（x）的单调区间，求出函数的最小值，从而得到a的范围．
【解答】解：若对任意的x∈[﹣1，2]，都有x2﹣2x+a≤0（a为常数）
⇔对任意的x∈[﹣1，2]，a≤﹣x2+2x（a为常数），
令f（x）=﹣x2+2x，x∈[﹣1，2]，
由f（x）的对称轴x=1，得：f（x）在[﹣1，1）递增，在（1，2]递减，
∴f（x）min=f（﹣1）=﹣3，
∴a≤﹣3，
故选：A．
11．下列结论中错误的是（）
A．1.72.5＜1.73B．log0.31.8＜log0.31.7
C．＜log23 D．＞log23
【考点】对数值大小的比较．
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可判断．
【解答】解：由题意y=1.7x在R上单调递增，故1.72.5＜1.73成立，
由y=log0.3x在定义域内单调递减，故log0.31.8＜log0.31.7成立，
对于=log22＜log23，故C成立，D错误，
故选：D
12．函数f（x）=x2﹣（）x的零点有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】把函数f（x）=x2﹣（）x的零点转化为求函数y=x2与y=（）x的交点的横坐标，在同一坐标平面内作出两个函数的图象得答案．
【解答】解：函数f（x）=x2﹣（）x的零点，即为方程x2﹣（）x=0的根，
也就是函数y=x2与y=（）x的交点的横坐标，
作出两函数的图象如图，
由图可知，函数f（x）=x2﹣（）x的零点有3个．
故选：C．
二．填空题（本大题共4小题，每题5分共20分）
13．设函数f（x）=，则f（3）=16．
【考点】函数的值．
【分析】由3＜6，得f（3）=f（5）=f（7），由此能求出结果．
【解答】解：函数f（x）=，
∴f（3）=f（5）=f（7）=3×7﹣5=16．
故答案为：16．
14．若集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为1或﹣1或0．【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】由已知中集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，我们易得到集合A是集合B的子集，结合子集的定义，我们分A=∅与A≠∅两种情况讨论，即可求出满足条件的m 的值．
【解答】解：∵A∪B=A，
∴B⊆A
当m=0时，B=∅满足条件
当m≠∅时，B={1}，或B={﹣1}
即m=1，或m=﹣1
故m的值为：1或﹣1或0
故答案：1或﹣1或0
15．已知t为常数，函数y=|x2﹣4x﹣t|在区间[0，6]上的最大值为10，则t=2或6．【考点】带绝对值的函数．
【分析】根据函数y=|（x﹣2）2﹣t﹣4|在区间[0，6]上的最大值为10，可得（6﹣2）2﹣t ﹣4=10，或t+4=10，由此求得t的值．
【解答】解：∵函数y=|x2﹣4x﹣t|=|（x﹣2）2﹣t﹣4|在区间[0，6]上的最大值为10，故有（6﹣2）2﹣t﹣4=10，或t+4=10，求得t=2，或t=6，
故答案为：2或6．
16．已知集合A={a2，a+1，3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2+1}．当A∩B={3}，则实数a=6，或．
【考点】集合关系中的参数取值问题．
【分析】由题意可得可得3∈B，分a﹣3=3、2a﹣1=3、a2+1=3三种情况，分别求出a的值，并检验，从而求得a的值．
【解答】解：由A∩B={3}可得3∈B．当a﹣3=3，可得a=6，此时，集合A={36，7，3}，B={3，11，37}，满足条件．
当2a﹣1=3，a=2，此时，集合A={4，3，3}，不满足条件集合中元素的互异性．
当a2+1=3，a=，此时，集合A={2，1±，3}，B={±﹣3，±2﹣1，3}，满足条件．
综上可得，a=6，或，
故答案为6，或．
三．解答题（本大题共6小题，每题10分共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算下列各式：（要求写出必要的运算步骤）
（1）0.027﹣（﹣）﹣2+2560.75﹣3﹣1+（）0；
（2）（log3）2+[log3（1++）+log3（1+﹣）]•log43．
【考点】对数的运算性质．
【分析】（1）利用指数幂的运算法则即可得出；
（2）利用对数的运算法则和换底公式即可得出．
【解答】解：（1）原式=﹣62+﹣+1=﹣36+64﹣+1=32．
（2）原式=•log43
=+
=
=
=1．
18．设函数f（x）=lg（2+x）﹣lg（2﹣x）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判定f（x）的奇偶性．
【考点】对数函数的图象与性质；对数的运算性质．
【分析】（1）对数函数的真数要大于0，即可求出定义域．
（2）根据奇偶性的定义及性质直接判断即可．
【解答】解：（1）由题意：可得：，
解得：﹣2＜x＜2，
∴f（x）的定义域为[﹣2，2]．
（2）由（1）可知定义域关于原点对称．
由f（x）=lg（2+x）﹣lg（2﹣x）．
那么：f（﹣x）=lg（2﹣x）﹣lg（2+x）
=﹣[lg（2+x）﹣lg（2﹣x）]
=﹣f（x）
所以：f（x）是奇函数．
19．已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．
（1）若a=2，求M∩（∁R N）；
（2）若M∪N=M，求实数a的取值范围．
【考点】并集及其运算；交、并、补集的混合运算．
【分析】（Ⅰ）a=2时，M={x|﹣2≤x≤5}，N={3≤x≤5}，由此能求出M∩（C R N）．（Ⅱ）由M∪N=M，得N⊂M，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】（本小题满分8分）
解：（Ⅰ）a=2时，M={x|﹣2≤x≤5}，N={3≤x≤5}，
C R N={x|x＜3或x＞5}，
所以M∩（C R N）={x|﹣2≤x＜3}．
（Ⅱ）∵M∪N=M，∴N⊂M，
①a+1＞2a+1，解得a＜0；
②，解得0≤a≤2．
所以a≤2．
20．已知函数f（x）=ax2+2x+c，（a，c∈N*）满足①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．
（1）求函数f（x）的解析表达式；
（2）若对任意x∈[1，2]，都有f（x）﹣2mx≥1成立，求实数m的取值范围．
【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）f（1）=5可得c=3﹣a．①，由6＜f（2）＜11，得6＜4a+c+4＜11，②联立①②可求得a，c，进而可得函数f（x）的解析表达式；
（2）法一：设g（x）=f（x）﹣2mx﹣1=x2﹣2（m﹣1）x+1，x∈[1，2]，则由已知得：当m﹣1≤1即m≤2时，g min（x）=g（1）=4﹣2m≥0，解得m的取值范围．
（2）法二：不等式f（x）﹣2mx≥1恒成立等价于2m﹣2≤x+在[1，2]上恒成立．只需求出（x+）min．
【解答】解：（1）∵f（1）=5
∴5=a+c+2，即c=3﹣a，
又∵6＜f（2）＜11
∴6＜4a+c+4＜11，
∴∴，
又∵a∈N*，
∴a=1，c=2．
所以f（x）=x2+2x+2．
（2）法一：设g（x）=f（x）﹣2mx﹣1=x2﹣2（m﹣1）x+1，x∈[1，2]，则由已知得：
当m﹣1≤1即m≤2时，g min（x）=g（1）=4﹣2m≥0，此时m≤2；
当1＜m﹣1＜2即2＜m＜3时，△≤0，解得：无解；
当m﹣1≥2即m≥3时，g min（x）=g（2）=9﹣4m≥0，此时无解．
综上所述，m的取值范围为（﹣∞，2]．
法二：由已知得，在x∈[1，2]上恒成立．
由于在[1，2]上单调递增，
所以，
故2（m﹣1）≤2，
即m≤2．
21．设函数f（x）=x+（a为常数，且a＞0）．
（1）是否存在常数a，使f（x）在（0，3]上单调递减，且在[3，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；
（2）若关于x的不等式x+﹣m≤0（m为常数）在[1，4]上恒成立，求常数m的取值范
围．
【考点】对勾函数．
【分析】（1）求导根据函数的单调性得到函数的零点为x=3，即可求出a的值，
（2）根据函数的单调性分类讨论即可求出函数f（x）的最大值，即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=x+（a为常数，且a＞0），x≠0，
∴f′（x）=1﹣=，
∵f（x）在（0，3]上单调递减，且在[3，+∞）上单调递增，
∴x=3时函数的一个极值点，
∴9﹣a=0，
解得a=9，
（2）不等式x+﹣m≤0（m为常数）在[1，4]上恒成立，
即m≥x+在[1，4]上恒成立，
∵f′（x）=1﹣=，
当0＜a≤1时，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在[1，4]上单调递增，
∴f（x）max=f（4）=4+，
当a≥16时，
f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）在[1，4]上单调递减，
∴f（x）max=f（1）=1+a，
当1＜a＜16时，
令f′（x）=0，解得x=，此时1＜＜4，
当f′（x）＞0时，即＜x≤4时，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即1≤x＜时，函数单调递减，
若1+a≥4+a，即4≤a＜16时，f（x）max=f（1）=1+a，
若1+a＜4+a，即1＜a＜4时，f（x）max=f（4）=4+，
综上所述：当0＜a≤4时，f（x）max=4+，
当a＞4时，f（x）max=1+a，
所以m的取值范围为，当0＜a≤4时，m≥4+，
当a＞4时，m≥1+a．
22．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0有解，求k的取值范围．
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【分析】（1）f（x）为奇函数，利用f（0）=0，解得b，并且验证即可得出．．
（2）由（1）可得：f（x）=，函数f（x）为增函数．任取实数x1＜x2，只要证
明f（x1）﹣f（x2）＜0即可．
（3）f（x）为奇函数，由不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0化为f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），再利用单调性即可得出．
【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0，f（0）==0，解得b=1．经过验证
满足条件．
（2）由（1）可得：f（x）=，函数f（x）为增函数．
证明：任取实数x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣
=，
∵x1＜x2，∴﹣x2＜﹣x1，＜，
∴﹣＜0，
又＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴函数f（x）为增函数．
（3）∵f（x）为奇函数，由不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0化为f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），即f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），
又∵f（t）为增函数，t2﹣2t＜k﹣2t2，∴3t2﹣2t＜k．
当t=﹣时，3t2﹣2t有最小值﹣，∴k．
2017-2018学年10月15日。