高等数学求极限的16种方法

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高等数学求极限的14种方法

高等数学求极限的14种方法高等数学求极限的14种方法一、极限的定义极限的保号性很重要。

设$x\to x_0$，$limf(x)=A$，则有以下两种情况：1）若$A>0$，则有$\delta>0$，使得当$00$；2）若有$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$f(x)\geq 0$，则$A\geq 0$。

极限分为函数极限和数列极限，其中函数极限又分为$x\to\infty$时函数的极限和$x\to x_0$的极限。

要特别注意判定极限是否存在，收敛于$a$的充要条件是它的所有子数列均收敛于$a$。

常用的是其推论，即“一个数列收敛于$a$的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于$a$”。

二、解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。

只能在乘除时候使用。

2.XXX（L'Hospital）法则。

它的使用有严格的使用前提。

首先必须是$x$趋近，而不是$n$趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求$x$趋近情况下的极限，数列极限的$n$当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。

其次，必须是函数的导数要存在，假如只告诉$f(x)$、$g(x)$，而没有告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。

另外，必须是“比”或“无穷大比无穷大”，并且注意导数分母不能为$0$。

洛必达法则分为三种情况：1）$\infty/\infty$时，直接用$\infty$；2）$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$0^0$、$\infty^0$时，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通分之后，就能变成（1）中的形式了。

即$f(x)g(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$或$f(x)g(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$；3）$1^\infty$、$0^0$、$1^{\infty-\infty}$、$\infty^0$对于幂指函数，方法主要是取指数还取对数的方法，即$e^{f(x)g(x)}=e^{g(x)lnf(x)}$，这样就能把幂上的函数移下来了，变成$0/0$型未定式。

求数列极限的十五种解法

求数列极限的十五种方法1．定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ；记作：lim n n a a →∞=，否则称{}n a 为发散数列．例1．求证：1lim 1nn a →∞=，其中0a >．证：当1a =时，结论显然成立．当1a >时，记11n a α=-，则0α>，由()1111(1)nn a n n ααα=+≥+=+-，得111na a n--≤，任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11na ε-<，即1lim 1nn a →∞=．当01a <<时，令1b a=，则1b >，由上易知：1lim 1nn b →∞=，∴111lim 1lim n n nn a b→∞→∞==．综上，1lim 1nn a →∞=，其中0a >．例2．求：7lim !nn n →∞．解：变式：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤⋅=⋅-；∴77710!6!n n n -≤⋅， ∴0ε∀>，7716!N ε⎡⎤∃=⋅⎢⎣⎦，则当n N >时，有77710!6!n n n ε-≤⋅<；∴7lim 0!n n n →∞=． 2．利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >、时，总有：n m a a ε-<成立．例3．证明：数列1sin (1, 2, 3, )2nn kk kx n ===⋅⋅⋅∑为收敛数列．证：11111sin(1)sin 111112(122222212n mn m m n m n m m m n x x m -+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-， 0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n m N >>时，有n m x x ε-<，由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．例4．（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件：11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛．证：令1112210, n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-，那么{}n y 单调递增，由已知可知：{}n y 有界，故{}n y 收敛，从而0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >>时，有n m y y ε-<；此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-<；由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性． 3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．例5．证明：数列n x =n 个根式，0a >，1, 2, n = ）极限存在，并求lim nn x →∞．证：由假设知n x =；①用数学归纳法可证：1, n n x x k N +>∈；② 此即证{}n x 是单调递增的．事实上，10n x +<<<1=；由①②可知：{}n x 单调递增有上界，从而lim n n x l →∞=存在，对①式两边取极限得：l =解得：l =l =；∴lim n n x →∞=4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n N >时，有：n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=．例6．求：22212lim()12n nn n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+++++++．解：记：2221212n n x n n n n n n n =++⋅⋅⋅+++++++，则：2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++；∴22(1)(1)2(2)2(1)n n n n n x n n n n ++≤≤+++；从而22(1)1(1)lim lim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++， ∴由迫敛性，得：222121lim()122n n n n n n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++++++．注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用． 5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为()f x 定义在[, ]a b 上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数0ε>，总存在某一正数δ，使得对[, ]a b 的任意分割T ，在其上任意选取的点集{}i ξ，i ξ∈[]1,i i x x -，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[, ]a b 上（黎曼）可积，数J 为()f x 在[, ]a b 上的定积分，记作()baJ f x dx =⎰．例7．求：()()11lim !2!nnn n n n --→∞⎡⎤⋅⋅⎣⎦．解：原式n n →∞→∞==112lim (1)(1)(1)nn n n n n →∞⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦11exp lim ln(1)nn i i nn →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()1expln(1)exp 2ln 21x dx =+=-⎰．例8．求：2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭．解：因为：222sinsinsin sin sin sin sin sin sin 111112n n n nn n n n n n n n n n n n n n nπππππππππ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++++，又：2sinsinsin 12limlim (sin sin sin )11n n n n n nn n n n n n n n ππππππππ→∞→∞++⋅⋅⋅+⎡⎤=⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥++⎣⎦∴02sinsinsin 12limsin 1n n nn n xdx n ππππππ→∞++⋅⋅⋅+=⋅=+⎰；同理：2sinsinsin 2lim1n n nn n n nππππ→∞++⋅⋅⋅+=+；由迫敛性，得：2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+= ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭．注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论．6．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：0lim ()x xf x A →=⇔对任何0 ()n x x n →→∞，有lim ()n n f x A →∞=．例9．求：11lim 1n n e n →∞-．解：11001lim lim ()111n nx x n n e e e e n n=→∞→∞--'===-．例10．计算：211lim 1nn n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭．解：一方面，2111(1)(1) ()n n e n n n n+-<+→→∞；另一方面，2221112221111(1)(1)(1n n n n n n n n n n n n n -------+-=+≥+；由归结原则：（取2, 2, 3, 1n n x n n ==⋅⋅⋅-），22222111222211111lim(1)lim(1lim(1lim(1)lim(1)n n n x n n n n n n n x n n n n e x n n n n ----→∞→∞→∞→∞→∞----+=+⋅+=+=+=；由迫敛性，得：211lim(1)nn e n n →∞+-=．注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决． 7．利用施托尔茨（stolz ）定理求数列极限stolz 定理1：()∞∞型：若{}n y 是严格递增的正无穷大数列，它与数列{}n x 一起满足：11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．stolz 定理2：0()0型：若{}n y 是严格递减的趋向于零的数列，n →∞时，0n x →且11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．例11．求：112lim ()p p pp n n p N n +→∞++⋅⋅⋅+∈．解：令112, , p p p p n n x n y n n N +=++⋅⋅⋅+=∈，则由定理1，得：112lim p p p p n n n +→∞++⋅⋅⋅+=11(1)lim (1)p p p n n n n ++→∞+=+-1(1)1lim (1)1(1)12p n p p n p p p p n n →∞-+=+⋅++-+⋅⋅⋅+．注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略．例12．设02ln nk nk n CS n ==∑，求：lim n n S →∞．解：令2n y n =，则{}n y 单调递增数列，于是由定理2得：lim n n S →∞=02ln lim nknk n C n =→∞∑110022ln ln lim (1)n nk k n nk k n C C n n++==→∞-=+-∑∑01ln 1lim 21nk n n n k n =→∞+-+=+∑11(1)ln(1)ln lim 21n k n n n k n +=→∞++-=+∑ 1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1lim lim 2122nn n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+．注：stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达（L'Hospita ）法则． 8．利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决．例13．求：212lim()n n na a a→∞++⋅⋅⋅+，(1)a >．解：令1x a =，则1x <，考虑级数：1nn nx ∞=∑．∵11(1)lim lim 1n n n n n n a n x x a nx ++→∞→∞+==<， ∴此级数是收敛的．令1()nn S x nx ∞==∑11n n x nx∞-==⋅∑，再令11()n n f x nx ∞-==∑，∵111()xxn n n n f t dt nt dt x ∞∞-=====∑∑⎰⎰1xx-；∴21()(1(1)x f x x x '==--；而2()()(1)x S x x f x x =⋅=-；因此，原式=1112()(1)a S a a ---==-．9．利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题．例14．设00x >，12(1)2n n nx x x ++=+(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明：数列{}n x 收敛，并求极限lim nn x →∞．证：由00x >，可得：0n x >(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，令2(1)(), (0)2x f x x x+=>+，则2210'()(2)2f x x <=<+，且12(1)(), 0, (0, 1, 2, )2n nn n nx f x x x n x ++==>=⋅⋅⋅+，考虑级数：10n n n x x ∞+=-∑；由于11n n n n x x x x +--=-11()()n n n n f x f x x x ---=-11'()()12n n n n f x x x x ξ---<-；所以，级数10n n n x x ∞+=-∑收敛，从而10()n n n x x ∞+=-∑收敛．令()10nn k k k S x x +==-∑10n x x +=-，∵lim n n S →∞存在，∴10lim lim n n n n x x Sl +→∞→∞=+=（存在）；对式子：12(1)2n n n x xx ++=+，两边同时取极限：2(1)2l l l+=+，∴l =或l =（舍负）；∴lim nn x →∞= 例15．证明：111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在．（此极限值称为Euler 常数）．证：设1111ln 23n a n n =++⋅⋅⋅+-，则1n n a a --=[]1ln ln(1)n n n---；对函数ln y n =在[1, ]n n -上应用拉格朗日中值定理，可得：1ln ln(1) (01)1n n n θθ--=<<-+，所以1211111(1)(1)n n a a n n n n n θθθ---=-=<-+-+-；因为221(1)n n ∞=-∑收敛，由比较判别法知：12n n n a a ∞-=-∑也收敛，所以lim nn a →∞存在，即111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在． 10．利用幂级数求极限利用基本初等函数的麦克劳林展开式，常常易求出一些特殊形式的数列极限．例16．设11sin sin , sin sin(sin ) (2, 3, )n n x x x x n -===⋅⋅⋅，若sin 0x >，求：sin n n x →∞．解：对于固定的x ，当n →∞时，1sin n x单调趋于无穷，由stolz 公式，有： 2222111lim sin lim lim 111sin sin sin n n n n n n n n n n x x x x →∞→∞→∞++-==-221lim 11sin (sin )sin n n n x x→∞=-46622220002244221()1sin 3lim lim lim 111sin (())sin 3t t t t t o t t t t t t t t o t t t +++→→→-⋅+⋅===----+46622004411()1()33lim lim 311()(1)33t t t t o t t o t t o t o ++→→-⋅+-⋅+===++． 11．利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛．下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用．例17．求：2lim (arctan arctan )1n a an n n →∞-+，(0)a ≠．解：设()arctan f x x =，在[, 1a an n+上应用拉格朗日中值定理，得：21()()( [, ]1111a a a a a af f n n n n n nξξ-=-∈++++，故当n →∞时，0ξ→，可知：原式22lim 11n a nn a n ξ→∞=⋅⋅=++． 12．巧用无穷小数列求数列极限引理：数列{}n x 收敛于a 的充要条件是：数列{}n x a -为无穷小数列．注：该引理说明，若lim nn x a →∞=，则n x 可作“变量”替换：令n n x a α=+，其中{}n α是一个无穷小数列．定理1：若数列{}n α为无穷小数列，则数列{}n α也为无穷小数列，反之亦成立．定理2：若数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．推论1：设数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．例18．（算术平均收敛公式）设lim n n x a →∞=，求极限12limnn x x x n→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim nn x a →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，其中{}n α是一无穷小数列；由定理2的结论有：12lim n n x x x n →∞++⋅⋅⋅+12()()()lim n n a a a nααα→∞++++⋅⋅⋅++= 1212()()lim lim 0n n n n na a a a n nαααααα→∞→∞+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==+=+=．此题还可以用方法1（定义法）证明，也可通过方法7（stolz 公式）求得，此处略．例19．设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，求极限1211lim n n n n x y x y x y n-→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，n n y b β=+，其中{}n α，{}n β都是一无穷小数列，故1211lim n n n n x y x y x y n -→∞++⋅⋅⋅+11()()()()lim n n n a b a b nαβαβ→∞+++⋅⋅⋅+++= 1111lim n n n n n ab b a n n n ααββαβαβ→∞+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ 因为0n β→()n →∞，所以{}n β有界数列，即n M β≤，从而结合上述推论1，有：12110 ()nn n M n nnααααβαβ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅≤⋅→→∞，再根据定理1，即有：110 ()n n n nαβαβ+⋅⋅⋅→→∞；又由定理2，可知：10na nββ+⋅⋅⋅+⋅→，10 ()nb n nαα+⋅⋅⋅+⋅→→∞；∴1211lim n n n n x y x y x y ab n-→∞++⋅⋅⋅+=．注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法．用这种方法求某类数列的极限是极为方便的． 13．利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限定理：设函数()f x 、()g x 在0x =的某个领域有意义，()0g x >，0()lim 1()x f x g x →=，且当n →∞时，0mn a →(1, 2, 3, )m =⋅⋅⋅，11lim ()lim ()nnmn mn n n m m f a g a →∞→∞===∑∑，则在右端极限存在时成立．例20．求极限1lim 1)nn i →∞=∑．解：令()1f x =-，1()3g x x =，当0x →1x ~，由定理1，得：2111111lim 1)lim 3326nnn n i i i n→∞→∞===⋅=⋅=∑∑．例21．求：2231lim (1)nn i i a n →∞=+∏，（a 为非零常数）．解：原式2331exp lim ln(1)nn i i a n →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑；令()ln(1)f x x =+，当0x →时，ln(1)x x +~，由定理1，得：22333311lim ln(1)lim nnn n i i i i a a n n→∞→∞==+=∑∑223(1)(21)1lim 63n n n n a a n →∞++==；∴2231lim (1)nn i i a n →∞=+=∏21exp()3a ．注：我们知道，当0x →时，函数sin , tan , arcsin , arctan , 1, ln(1)x x x x x e x -+都x 与等价，倘若熟悉这些等价函数，观察它们与本文定理中的()f x 的关系，把求某些函数列极限问题转化为求熟知的数列极限问题，这样就会起到事半功倍的效果． 14．利用压缩映射原理求数列极限定义1：设()f x 在[, ]a b 上有定义，方程()f x x =在[, ]a b 上的解称为()f x 在[, ]a b 上的不动点．定义2：若存在一个常数k ，且01k ≤<，使得[, ]x y a b ∀∈、有()()f x f y k x y -≤-，则称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射．压缩映射原理：设称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射且0x ∈[, ]a b ，1()n n x f x +=，对n N ∀∈，有[, ]n x a b ∈，则称()f x 在[, ]a b 上存在唯一的不动点c ，且lim nn x c →∞=．例22．设12ax =，212n n a x x ++=(01)a <<，1, 2, n =⋅⋅⋅，求lim nn x →∞．解：考察函数2()22a x f x =+，1[0,2ax +∈，易见对1[0, ]2a x +∀∈，有：21()2n n n a x x f x ++==，11[0, 22a a x +=∈，1()12af x x +'=≤<；所以，()f x 是压缩的，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛．设lim nn x c →∞=，则c 是222a x x =+在1[0, ]2a +的解，解得1c =，即lim 1n n x →∞=例23．证明：数列n x =（n 个根式，14a >，1, 2, n =⋅⋅⋅）极限存在，并求lim nn x →∞．解：易知：n x =，考察函数：()f x =，[0, )x ∈+∞且在[0, )+∞上有：1f '<，因此，()f x 在[0, )+∞上是压缩的；1[0, )x =+∞，1()n n x f x +=，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛且极限为方程：()x f x ==的解，解得：lim n n x →∞=本题也可通过方法三（单调有界定理）解得，此处略．注：压缩映射原理在实分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决．15．利用矩阵求解一类数列的极限（1）若数列的递推公式形如：12n n n x px qx --=+且已知01x x 、，其中p q 、为常数且0p ≠，0q ≠，2, 3, n =⋅⋅⋅；解：可将递推公式写成矩阵形式，则有1111201010n n n n n x x x p q p q x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2, 3, n =⋅⋅⋅，从而可利用线性代数知识求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．（2）若数列的递推公式形如：11n n n ax bx cx d--+=+且已知0x ，其中0c ≠且ad bc ≠，1, 2, n =⋅⋅⋅，解法1：令211n n n y cx d y ---+=，则1121()n n n y x d c y ---=-，11()n n n yx d c y -=-，从而有：121211()(())n n n n n n y yy a d d b c y c y y ------=-+⋅，整理得：12()()n n n y a d y bc ad y --=++-，再由（1）可以求解．解法2：设与关系式010ax b x cx d +=+对应的矩阵为a b A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由关系式11n nn ax b x cx d --+=+；逐次递推，有00n nn n n a x b x c x d +=+，其对应的矩阵为nn n n a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用数学归纳法易证得n B A =，通过计算n A 可求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．例24．证明：满足递推公式11(1)n n n x x x αα+-=+-(01)α<<的任何实数序列{}n x 有一个极限，并求出以α、0x 及1x 表示的极限．解：由已知可得：111111200111010n n n n n n x x x x A x x x x αααα-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（110A αα-⎛⎫=⎪⎝⎭）；矩阵A 的特征值121, 1λλα==-，对应的特征向量分别为：''12(1, 1), (1, 1)ξξα==-；令1211(, )11P αξξ-⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11001P AP α-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而有：()()11111111111111120101n n n AP P ααααα----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111111121111n nn n ααααααα--⎛⎫---+- ⎪= ⎪----+-⎝⎭；于是，101(1(1))(1(1))2n n n x x x αααα=--+-+-⎡⎤⎣⎦-．因为11α-<，所以lim(1)0nn α→∞-=，从而[]011lim (1)2n n x x x αα→∞=-+-．例25．已知斐波那契数列定义为：1101 (1, 2, 1)n n n F F F n F F +-=+=⋅⋅⋅==；；若令1n n n F x F +=，01x =且111n n x x -=+，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明极限lim nn x →∞存在并求此极限．解：显然1011x x =+，相应矩阵0111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值12 λλ==，对应的特征向量分别为：''12 1), 1)ξξ==；令()21121211, 111111P λλλλξξ⎛⎫--⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，11211P λλ-⎫=⎪--⎭；则有：11200P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；于是11112121112121200nn n n n nn n n n n A P P λλλλλλλλλλ---++--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭；从而，()111212111212, 1, 2, n n n nn nn n n x n λλλλλλλλ--++-+-==⋅⋅⋅-+-，由于211λλ<，上式右端分子、分母同时除以1n λ，再令n →∞，则有：1lim limn n n n n F x F →∞→∞+==．注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用．。

极限计算的21方法总结

极限计算的21方法总结引言在高等数学学习中，极限是一个重要的概念，它在计算、分析和应用问题中发挥着重要的作用。

在求解极限的过程中，我们经常会遇到各种不同的情况和类型。

本文总结了21种常见的极限计算方法，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

1. 代入法代入法是最简单的一种方法，它适用于一些简单的极限计算，例如当函数在某点存在有限极限时，可以直接将该点代入函数进行计算。

2. 分解法分解法是将复杂的函数分解成更简单的函数，例如将分式拆分成多个分式或者利用三角函数的和差化积等等。

3. 换元法换元法是通过引入一个新的变量来改变原函数，使得原函数的形式更简单，从而更容易计算极限。

4. 两边夹法两边夹法是通过找到两个函数，一个上界函数和一个下界函数，使得它们的极限值相等，从而求解原函数的极限值。

5. 大O小o符号法大O小o符号法是一种用来衡量函数增长速度的方法，其中O表示上界，o表示严格上界。

6. 无穷小量法无穷小量法是将有限的增量化为无穷小量，通过比较函数与无穷小量的大小关系来计算极限。

7. 极限的四则运算法则极限的四则运算法则是利用函数之间的基本运算性质，将复杂的极限计算分解成简单的极限计算。

8. 导数与极限的关系导数与极限的关系是利用导数的定义，将函数的极限转化为导数的计算。

9. 洛必达法则洛必达法则是通过对被除函数和除函数同时求导，再计算导数的极限，来求解不定型的极限。

10. 常用的极限公式常用的极限公式包括常数公式、幂函数公式、指数函数公式、对数函数公式、三角函数公式等等。

11. 泰勒展开法泰勒展开法是将函数在某一点处展开成无穷级数的形式，通过截取有限项来近似计算函数的值。

12. 勒让德法勒让德法是一种利用泰勒展开法来计算极限的特殊方法，它通过构造一系列特殊的函数来逼近原函数。

13. 递推公式法递推公式法适用于由递归关系定义的函数，通过递推关系求解函数的极限。

14. 二次平均值不等式法二次平均值不等式法是利用二次平均值不等式，将函数的极限转化为不等式的极限。

高等数学中函数极限的求法技巧解析

高等数学中函数极限的求法技巧解析
函数极限是高等数学中的重要概念，也是其他数学领域的基础。

在计算函数极限时，有一些常用的技巧和方法，可以帮助我们更快地求解极限问题。

下面是一些常用的函数极限求法技巧。

1. 代入法：当函数极限中存在形如"0/0"或"无穷大/无穷大"的不定型时，可以尝试使用代入法求解。

即将函数中的变量逐渐靠近极限值进行代入，计算出函数在极限点附近的取值，进而得到极限结果。

2. 无穷小代换法：当函数极限中含有无穷大或无穷小的项时，可以使用无穷小代换法进行求解。

即将无穷大或无穷小项替换为相应的无穷小量，对含有无穷大或无穷小的函数进行化简，再进行极限计算。

3. 分子分母除以最高幂次法：当函数极限中含有多项式的幂次较高时，可以尝试使用分子分母除以最高幂次的方法进行化简。

将函数中的每一项均除以该最高幂次，使得函数的分子和分母变为相对较小的多项式，从而更便于求解极限。

4. 辅助函数法：当函数极限较复杂时，可以尝试构造一个辅助函数来辅助求解。

通过适当选择辅助函数，将原函数转化为一个更简单的形式，再求解极限。

5. 夹逼定理：夹逼定理是函数极限求解的重要工具，适用于求解某些特殊的函数极限。

当函数的上下界均存在且极限相等时，可以通过夹逼定理求出函数的极限。

6. 泰勒级数展开法：当函数极限中含有三角函数、指数函数等特殊函数时，可以尝试使用泰勒级数展开法进行求解。

通过将特殊函数展开为无穷级数的形式，可以将原函数转化为一个容易求解的形式，再进行极限计算。

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。

2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。

要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。

常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→lim lim lim )()((iii)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-limlimlim)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。

极限)(limx f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。

只能在乘除．．时候使用。

例题略。

2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）洛必达法则（定理）设函数f(x ）和F(x ）满足下列条件： ⑴x→a 时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;⑵在点a 的某去心邻域内f(x ）与F(x ）都可导，且F(x ）的导数不等于0; ⑶x→a 时，lim(f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大则 x→a 时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))注：它的使用有严格的使用前提。

求数列极限的十五种解法

1
；
0
0 n1
n1
1 x
1 x (1 x)2
而 S(x) x f (x) x ；因此，原式= S(a1) a1 ．
(1 x)2
(1 a1 )2
9．利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此
数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题．
求数列极限的十五种方法
求数列极限的十五种方法
1．定义法
N 定义：设{an} 为数列， a 为定数，若对任给的正数，总存在正数 N ，使得当 n N 时，
有
an
a
，则称数列
{an
பைடு நூலகம்
}
收敛于
a
；记作：
lim
n
an
a
，否则称{an} 为发散数列．
1
例 1．求证： lim an 1，其中 a 0 ． n
列以外的数 a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性．
3．运用单调有界定理
单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．
例 5．证明：数列 xn a a a （ n 个根式， a 0 ， n 1, 2,
证：由假设知 xn a xn1 ；① 用数学归纳法可证： xn1 xn , k N ；② 此即证 {xn} 是单调递增的．
n0
n0
n
令 Sn
xk1 xk
xn1
x0
，∵
lim
n
Sn
存在，∴
lim
n
xn1
x0
lim
n
Sn
l
（存在）；
k 0
对式子：

高等数学求极限方法小结及举例

+ ⋯⋯ + ( x − a )n −1ϕ ( n −1) ( x ) = n ! ϕ (a ) .
11
x = f ′( t ) d2y 例 12 . f ′′( t ) ≠ 0 求 . 2 dx y = t f ′( t ) − f ( t ) d y y′( t ) f ′( t ) + t f ′′( t ) − f ′( t ) 解. = = =t d x x′( t ) f ′′( t )
2
t =π − x −1 2 t ========= lim t →0 cot t
tan t = − lim = −1 . t →0 t
"∞" ∞
例 7 . lim ( x ⋅ cot x )
x →0
x = lim =1. x →0 tan x
( 有界量乘无穷小 )
"0⋅ ∞"
lim x cos 1 = 0 . x x →0
4 . "∞ ± ∞" 型 ,
1 ± 1 = f ( x ) ± g( x ) . f ( x ) g( x ) f ( x ) ⋅ g( x )
5 . " ( 1 ± 0 ) ∞ " 型 , 0 " "0 型, u( x ) v ( x ) = e v ( x )⋅ln u( x ) 6. (指数型) " ∞0 " 型 , 7. lim [v ( x )⋅ln u( x ) ] v( x )
n x n −1 sin 1 − x n − 2 cos 1 x>0 x x f ′( x ) = 0 x=0 n x n −1 x<0 ′( x ) = lim n x n −1 sin 1 − x n − 2 cos 1 lim f x x x → +0 x →+0

高数中求极限的16种方法

千里之行，始于足下。

高数中求极限的16种方法在高等数学中，求极限是一个格外重要的技巧和考点。

为了解决各种极限问题，数学家们总结出了很多方法和技巧。

以下是高数中求极限的16种方法：1.代换法：将极限中的变量进行代换，使其变成简洁计算的形式。

2.夹逼准则：当函数处于两个已知函数之间时，可以通过比较已知函数的极限来确定未知函数的极限。

3.无穷小量比较法：比较两个函数的无穷小量的大小，以确定它们的极限。

4.利用函数性质：利用函数的对称性、奇偶性等性质来计算极限。

5.利用恒等变形：将极限式子进行恒等变形，以将其转化为简洁计算的形式。

6.利用泰勒开放：将函数开放成无穷级数的形式，以求出极限。

7.利用洛必达法则：对于某些不定型的极限，可以利用洛必达法则将其转化为可计算的形式。

8.利用级数或累次求和：将极限式子转化为级数或累次求和的形式，以求出极限。

9.利用积分计算：将极限式子进行积分计算，以求出极限。

10.利用微分方程：将极限问题转化为求解微分方程的问题，以求出极限。

第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

11.利用积素等价：将极限式子进行积素等价，以求出极限。

12.利用无穷增减变异法：通过凑出一个等价变形，将极限问题转化为比较某些函数值的大小。

13.利用不等式：通过找到合适的不等式，对函数进行估量，以求得极限。

14.利用递推公式：对于递归定义的函数，可以通过递推公式求出极限。

15.利用导数性质：利用函数的导数性质，对极限进行计算。

16.利用对数和指数函数的性质：利用对数和指数函数的特性，求出极限。

除了上述方法外，还有很多其他的方法和技巧，可以依据具体问题来选择使用。

这些方法和技巧的使用需要机敏把握，通过大量的练习和思考，可以在求解极限问题中得到娴熟应用。

高等数学求极限的17种常用方法(附例题和详解)

（ii）
(iii)
(iv)单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限存在的充分必要条件是：
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
；
cos=
ln（1+x）=x-
(1+x) =
以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除:设，
P（x）= ,
(i) （ii）若，则
5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
（i）“ ”“ ”时候直接用
(ii)“ ”“ ”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即；
(iii)“ ”“ ”“ ”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“ ”型未定式。
3.泰勒公式(含有的时候，含有正余弦的加减的时候）
例1已知A=｛x -2≤x<3｝，B=｛x -1<x≤5｝，求A B，A B

高等数学中求极限方法总结

高等数学中求极限方法总结高等数学第一章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位，特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。

一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。

树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。

故在这里总结了10种常用的求极限的方法并举例说明。

1、利用等价无穷小的转化求极限例：求极限x x x x 1cossin lim 20→。

解：x x x x 1cossin lim 20→x x x x 1cos lim 20→=xx x 1cos lim 0→=＝2注：通常在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，但是前提是必须证明拆分后极限依然存在，要记住常用的等价无穷小，例如当0→x 时，).(0~sin ,21~sin ,~3x x x x x tgx x tgx −−。

2、罗比达法则例：求极限∫→x x tdtx 020arctan 1lim 解：∫→x x tdt x 020arctan 1lim 21211lim 2arctan lim 200=+==→→x x t x x 例：求极限⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→11ln 1lim 1x x x 解：x x x x x x x x ln )1(ln 1lim 11ln 1lim 11−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→→21111lim 1ln 11lim 2211=+=−+−=→→xx x x x x x x x …注：使用罗比达法则必须满足使用条件，要注意分母不能为零，导数存在。

罗比达法则分为三种情况（1）0比0和无穷比无穷时候直接分子分母求导；（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成1的形式；（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，）3、利用2个重要极限求极限例：求极限2)11(lim 22x x x x +−∞→解：211(lim 22x x x x +−∞→2)121(lim 2x x x +−+=∞→12212222])121[(lim +−−+∞→+−+=x x x x x 12lim 22+−∞→=x x x e 2−=e 。

2023考研数学高数备考冲刺：16种求极限的方法

2023考研数学高数备考冲刺：16种求极限的方法2023考研数学高数备考冲刺：16种求极限的方法1、极限分为一般极限，还有个数列极限〔区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种〕。

2、解决极限的方法如下1〕等价无穷小的转化，〔只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限仍然存在〕e的X次方-1或者〔1+x〕的a次方-1等价于Ax等等。

全部熟记。

〔x趋近无穷的时候复原成无穷小〕2〕洛必达法那么〔大题目有时候会有暗示要你使用这个方法〕首先他的使用有严格的使用前提。

必须是X趋近而不是N 趋近。

〔所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。

还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！〕必须是函数的导数要存在！〔假设告诉你g〔x〕，没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条〕必须是0比0，无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。

洛必达法那么分为三种情况1〕0比0无穷比无穷时候直接用2〕0乘以无穷，无穷减去无穷〔应为无穷大于无穷小成倒数的关系〕所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成1中的形式了3〕0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方对于〔指数幂数〕方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，〔这就是为什么只有3种形式的原因，ln〔x〕两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候ln〔x〕趋近于0〕3、泰勒公式〔含有ex的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！〕ex展开，sinx展开，cos展开，ln〔1+x〕展开对题目简化有很好帮助4、面对无穷大比上无穷大形式的解决方法取大头原那么最大项除分子分母！看上去复杂处理很简单。

5、无穷小与有界函数的处理方法面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

高等数学经典求极限方法

求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。

【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→ 【解】)sin 1tan 1(sin tan lim sin 1tan 1lim3030x x x xx x x x x x +++-=+-+→→41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→xxx 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。

极限方法总结

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）
可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化
10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式
2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。
4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和
5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）
必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！
当然还要注意分母不能为0
落笔他法则分为3中情况
1 0比0 无穷比无穷时候直接用
2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了
首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面
首先对极限的总结如下

考研数学：求极限的16种方法

考研数学：求极限的16种方法1500字求极限是数学中一个重要的概念和技巧，经常会在高等数学、微积分、函数分析等课程中出现。

在考研数学中，求极限也是一个比较常见的题型，有时候会要求借助不同的方法来求解极限。

以下是16种常见的求极限的方法：方法1：代入法代入法是求极限中最基本的方法之一，特别适用于极限问题中有指定点的情况。

代入的点可以是有限点或无限点，通过将极限值代入原函数中，来求得极限。

方法2：夹逼定理夹逼定理也是一种常用的方法，适用于需要用两个已知函数夹住待求函数的情况。

通过取两个已知函数逐渐逼近待求函数，来求得极限。

方法3：集中取值法集中取值法是一种常用的方法，适用于需要对待求函数的取值进行讨论的情况。

通过将待求函数的取值限制在一个区间内，来求得极限。

方法4：变量代换法变量代换法是一种常用的方法，适用于需要通过变换变量来求得极限的情况。

通过进行恰当的变换变量，将原极限转化为另一个更容易求解的极限。

方法5：公共因子法公共因子法是一种常用的方法，适用于需要将待求函数的表达式进行分解的情况。

通过进行恰当的分解，将待求函数表达式中的公共因子提取出来，来求得极限。

方法6：三角函数极限法三角函数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行三角函数的极限转化的情况。

通过使用三角函数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的三角函数极限。

方法7：幂函数极限法幂函数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行幂函数的极限转化的情况。

通过使用幂函数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的幂函数极限。

方法8：自然对数极限法自然对数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行自然对数的极限转化的情况。

通过使用自然对数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的自然对数极限。

方法9：常数e极限法常数e极限法是一种常用的方法，适用于需要进行常数e的极限转化的情况。

通过使用常数e的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的常数e极限。

方法10：斜率法斜率法是一种常用的方法，适用于需要进行斜率的极限转化的情况。

大学数学如何求极限

高数求极限的方法⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①：假设极限)(lim 0x f x x →和)(lim x g xx →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ⋅当0x x →时也存在且①[])()()()(lim lim lim 0.0x g x f x g x f x x x x x →→→±=±②[])()()()(lim lim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=⋅又假设0)(lim 0≠→x g x x ，则)()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()()(limlim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如∞∞、00等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。

例1：求2422lim ---→x x x解：原式=()()()02222lim lim22=+=-+---→→x x x x x x⒉用两个重要的极限来求函数的极限①利用1sin lim=→xxx 来求极限 1sin lim 0=→x xx 的扩展形为：令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞→x g x g x例2：xxx -→ππsin lim解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim==-→→t tx x t x ππ例3：求()11sin 21lim --→x x x解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 122121lim lim =--⋅+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)11(lim 来求极限e x x =+∞→)11(lim 的另一种形式为e =+→ααα1)1(lim .事实上，令.1x =α∞→x .0→⇔α所以=+=∞→x x x e )11(lim e =+→ααα10)1(lim例4: 求xx x 1)21(lim +→的极限解：原式=221210)21()21(lim e x x xx x =⎥⎦⎤+⋅⎢⎣⎡+→利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。

高等数学求极限的各种方法

求极限的各种方法1.约去零因子求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。

【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分子分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方;(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3.分子(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限,就是通过有理化化去无理式。

【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．就是解题的关键 4.应用两个重要极限求极限两个重要极限就是1sin lim 0=→xxx 与e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。

高等数学求极限的各种方法

⾼等数学求极限的各种⽅法求极限的各种⽅法1.约去零因⼦求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x ⽆限接近,但1≠x ,所以1-x 这⼀零因⼦可以约去。

【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分⼦分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分⼦分母都以多项式给出的极限,可通过分⼦分母同除来求。

【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) ⼀般分⼦分母同除x 的最⾼次⽅;(2)=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3.分⼦(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分⼦或分母有理化求极限,就是通过有理化化去⽆理式。

【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使⽤分⼦有理化⽅法外,及时分离极限式中的⾮零因⼦．．．．．．．．．．．就是解题的关键 4.应⽤两个重要极限求极限两个重要极限就是1sin lim 0=→xxx 与e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第⼀个重要极限过于简单且可通过等价⽆穷⼩来实现。

极限的求法

极限的求法1. 直接代入法适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为例 1. 求.分析由于,所以采用直接代入法.解原式=2．利用极限的四则运算法则来求极限为叙述方便，我们把自变量的某个变化过程略去不写，用记号)(lim x f 表示)(x f 在某个极限过程中的极限，因此极限的四则运算法则可确切地叙述如下：定理在同一变化过程中，设)(lim ),(lim x g x f 都存在，则（1）=±)]()(lim[x g x f )(lim )(lim x g x f ± （2）=)]()(lim[x g x f )(lim )(lim x g x f （3）当分母)(lim x g 0≠时，有)(lim )(lim )()(limx g x f x g x f =总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。

例2. 求11lim2+-→x x x 。

解11lim 2+-→x x x )1(lim )1(lim 22+-=→→x x x x 31=3．无穷小量分出法适用于分子、分母同时趋于,即型未定式例3．分析所给函数中，分子、分母当时的极限都不存在，所以不能直接应用法则.注意到当时，分子、分母同时趋于，首先将函数进行初等变形，即分子、分母同除的最高次幂，可将无穷小量分出来，然后再根据运算法则即可求出极限.为什么所给函数中,当时，分子、分母同时趋于呢?以当说明：因为,但是趋于的速度要比趋于的速度快，所以.不要认为仍是(因为有正负之分).解原式 (分子、分母同除)（运算法则）（当时，都趋于.无穷大的倒数是无穷小.）4.消去零因子法适用于分子、分母的极限同时为0,即型未定式例4．分析所给两个函数中,分子、分母的极限均是0,不能直接使用法则四,故采用消去零因子法.解原式= (因式分解)=(约分消去零因子 )=(应用法则)=5. 利用无穷小量的性质例5．求极限分析因为不存在,不能直接使用运算法则, 故必须先将函数进行恒等变形.解原式=(恒等变形)因为当时,, 即是当时的无穷小,而 ≤1, 即是有界函数,由无穷小的性质：有界函数乘无穷小仍是无穷小,得=0.6. 利用拆项法技巧例6：))12)(12(15.313.11(lim +-+⋅⋅⋅++∞→n n n分析：由于))12)(12(1+-n n =)12112(1(21+--n n原式=21)1211(21)]121121()5131()311[(21lim lim =+-=+--+⋅⋅⋅+-+-∞→∞→n n n n n7. 变量替换例7 求极限.分析当时,分子、分母都趋于,不能直接应用法则,注意到,故可作变量替换.解原式 == (令,引进新的变量,将原来的关于的极限转化为的极限.)=. (型,最高次幂在分母上)8.分段函数的极限例8设讨论在点处的极限是否存在.分析所给函数是分段函数,是分段点, 要知是否存在,必须从极限存在的充要条件入手.解因为所以不存在.注1因为从的左边趋于,则,故.注2因为从的右边趋于,则,故.我总结的16种求极限的方法（你还能找出其他的？首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。

高等数学求极限的16种方法

高等数学求极限的14种方法

求数列极限的十五种解法

极限计算的21方法总结

高等数学中函数极限的求法技巧解析

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