高数数学极限总结
高等数学极限总结
摘要高等数学教学中对于极限部分的要求很高,这主要是因为其特殊的地位决定的.然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘.本文立足教材的基本概念阐述,着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路.希望以此文能对学习者有所帮助.关键词高等数学极限技巧高等数学极限运算技巧高等数学的极限与连续是前几章的内容,对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节.是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段.一,极限的概念从概念上来讲的话,我们首先要掌握逼近的思想,所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势这种变化趋势是具有唯一性,那么函数的应变量同时具有一种趋势,而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性.通俗的来讲,函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值,我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限从数学式子上来讲,逼近是指函数的变化,表示为.这个问题不再赘述,大家可以参考教科书上的介绍.二,极限的运算技巧我在上课时,为了让学生好好参照我的结论,我夸过这样一个海口,我说,只要你认真的记住这些内容,高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决.现在想来这不是什么海口,数学再难也是基本的内容,基本的方法,关键是技巧性.我记得blog中我做过一道极限题,当时有网友惊呼说太讨巧了其实不是讨巧,是有规律可循的今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助我们看到一道数学题的时候,首先是审题,做极限题,首先是看它的基本形式,是属于什么形式采用什么方法.这基本上时可以直接套用的.1,连续函数的极限这个我不细说,两句话,首先看是不是连续函数,是连续函数的直接带入自变量.2,不定型我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性,确实.那么下面详细说明一些注意点以及技巧.第一,所有的含有无穷小的,首先要想到等价无穷小代换,因为这是最能简化运算的.等价代换的公式主要有六个：需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的,即：在含有加减运算的式子中不能直接代换,在部分式子的乘除因子也不能直接代换,那么如果一般方法解决不了问题的话,必须要等价代换的时候,必须拆项运算,不过,需要说明,拆项的时候要小心,必须要保证拆开的每一项极限都存在.此外等价无穷小代换的使用,可以变通一些其他形式,比如：等等.特别强调在运算的之前,检验形式,是无穷小的形式才能等价代换.当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换,即无穷大的倒数是无穷小.这需要变通的看问题.在无穷小的运算中,洛必答法则也是一种很重要的方法,但是洛必答法则适用条件比较单一,就是无穷小比无穷小.比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况.特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式,这根据做题的需要来进行.第二,在含有∞的极限式中,一般可分为下面几种情况：1,“∞/∞ ”形式如果是幂函数形式的包含幂函数四则运算形式,可以找高次项,提出高次项,这样其他一切项就都是无穷小了,只有高次项是常数.比如：,这道题中,可以看到提出最高次x注意不是其他项都是“0”,原来的x都是常数1了.当然如果分式形式中,只有分子中含有高次项,那么该极限式极限不存在是无穷大,如果只有分母中含有高次项,那么该极限式极限为0,如果分子分母都含有高次项,我们可以直接去看高次项的系数,基本原理其实就是上面所说的提高次项.比如上面的例子,可以直接写1/2.如果不是纯幂函数形式,无法用提高次项的方法提高次项是优先使用的方法,使用洛必达也是一种很好的方法.需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法,它的严格限制形式只有这两种,所以比较好观察.但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决,这主要是考虑运算量的问题.2,“∞-∞ ”形式“ ∞-∞”形式不能直接运算,需要转换形式,即转换成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式,基本解法同上.比如：这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式,提高次项解.3“”形式这也是需要转换的一种基本形式.因为无穷大与无穷小之间的倒数关系,所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的.转换之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式.第三,“”这种形式的解决思路主要有两种.第一种是极限公式,这种形式也是比较直观的.比如：这道题的基本接替思路是,检验形式是“”,然后选用公式,再凑出公式的形式,最后直接套用公式.第二种是取对数消指数.简单来说,“ ”形式指数的存在是我们解题的主要困难.那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了.比如上面那道题用取对数消指数的方法来解,是这样的：可以看出尽管思路切入点不一样,但是这两种方法有异曲同工之妙.三,极限运算思维的培养极限运算考察的是一种基本能力,所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法.掌握一定的技巧可以使学习事半功倍.而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义.如何培养,一方面要立足概念,另一方面则需要在具体的运算中体会,多做题多总结.。
高等数学函数极限知识点总结
高等数学函数极限知识点总结《高等数学函数极限知识点总结：一场有趣的思维冒险》嘿呀，一提到高等数学里的函数极限知识点，那可真是像一场刺激又充满挑战的思维大冒险！咱先说说函数极限这个概念，它就好像是一个神奇的“边界探索者”。
想象一下函数就像个调皮的小精灵，在定义域里跑来跑去，而极限呢，就是要找出它跑到边缘时的那种趋势。
有时候它会偷偷靠近某个值，然后又突然拐弯，真像是在跟咱捉迷藏。
学习极限的计算法则，那真像是掌握了一套武林秘籍。
什么加减法法则啦，乘法法则啦，简直酷到不行！就像打游戏里的连招，一套接一套，把那些看起来很难缠的极限题目打得落花流水。
还有重要极限公式，那可是我们的秘密武器。
背熟了它们，遇到难题就像找到了通关密码，“刷刷”几下就能解出来，那感觉简直爽翻了。
比如那个sin x / x 在x 趋近于0 时的极限等于1，就像是隐藏在数学世界里的一把钥匙，找到了就能打开好多难题的大门。
不过，这可不容易啊！每次面对那些复杂的题目，感觉自己的脑袋都要转不过来了。
有时候会想，这数学咋这么难搞呢！但咱不能放弃呀，就跟打怪兽一样，一次不行再来一次。
自带函数极限在实际中有很多应用呢，像物理呀，工程呀，都少不了它。
感觉自己学会了这些知识点，就像掌握了超能力，能解决好多实际问题，超有成就感的。
最有趣的是和同学们一起讨论函数极限的时候，你有你的方法，我有我的思路，争得面红耳赤的，最后发现其实都对，哈哈！那感觉就像一起在数学的海洋里探险，找到了不同的宝藏。
总之，高等数学的函数极限知识点虽然有时候让人头疼，但也充满了乐趣和挑战。
它就像一个神秘的宝藏，等待我们去探索，去发现其中的奥秘。
只要我们坚持不懈，勇于挑战，就能在这场思维冒险中收获满满，成为数学世界里的英雄！加油吧，小伙伴们！让我们一起在函数极限的世界里尽情遨游！。
高数极限知识点
高数极限知识点高数极限是高等数学中的重要概念，也是十分复杂的概念。
极限描述的是某个量随着另一个量的变化而变化时，这两个量之间的关系会趋向于某个确定值。
极限本质上是一种抽象观念，它可以帮助我们理解函数给定一定语境下变化的趋势，以及它们接近某个特定值时的情况。
直观地，极限可以通过简单的图形来理解：如指定一定区域内函数f(x)的图象，当x趋近某个数字时，函数的值也会趋近于一定数值，它们也就是极限。
求解极限的常用方法有多种，包括定义域、一阶导数检验法、无穷小分析法、泰勒展开式法和函数等价法等方法，选择方法要视具体Resource情形而定，但都是以让某个量在另一个量取某个数时其值趋近于一定数值为目标实现的。
定义域是求取极限的基本方法，它的思路是：函数实际可以被表达成多个分段的函数的拼接，当x取某个值时它其可能落在不同段，因此首先要确定它的定义域，也就是确定x取多少时，函数的值取多少。
一阶导数检验法是建立在定义域的基础上的，它把求解极限看作是求某一函数的极值问题，通过对函数进行导数求值，给出了极值处x的取值，从而求得了极限值。
无穷小分析法是用来求解连续函数极限的一种方法，它应用了无穷小的概念，引进了增量eps让函数取某个值时离该值越来越近，当eps到一定程度时，函数值又取得精确值。
这种方法只适合求有限的极限，如果要求的极限是无限的，则不能用这种方法。
泰勒展开式法，即利用泰勒展开式来求解极限，它说明了任意一个函数在某个点附近的变化趋势，在某个无穷小范围内它的增量可以用下式表示：f(x) = f(p) + f'(p)(x-p) + R。
在这里f'(p)为函数在x=p处点导数，后面的R代表余项，当余项R趋近于0时，函数也趋近于先前求出的函数点导数，即f'(p)，因此可以求出函数的极限。
函数等价法是求极限的一种常用方法，它的思想是将函数进行等价转换，当函数在取得某个值时，这个函数可以转换为另一个函数，并用另一个函数来求解该极限，从而最终获得函数极限的值。
高等数学极限求法总结
高等数学极限求法总结高等数学极限求法总结函数极限的求法函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知的极极限值的证明题中。
掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
限为例，f(x)在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A 就叫做函数f(x)当x→x。
时的极限。
1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。
方能利用极限四则运算法则进行求之。
不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。
但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。
而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。
例1求lim(x23x+5).x→2解：lim(x23x+5)=limx2lim3x+lim5=(limx)23limx+lim5=2232+5=3.x→2x→2x→2x→2x→2x→2x→22.利用洛必达法则洛必达(L'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。
一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。
利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,limf(x)=0,limF(x)=0;（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;（3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))例1：1-cosx=1-{1-2[sin(x/2)]^2}=2[sin(x/2)]^2xsinx=2xsin(x/2)cos(x/2)原式=lim2[sin(x/2)]^2/[2xsin(x/2)cos(x/2)]=tgx/x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx)'=1/(cosx)^2(x)'=1原式=lim1/(cosx)^2当x-->0时,cosx--->1原式=13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：①分子、分母为无穷小，即极限为0；②分子上取正弦的角必须与分母一样。
高数极限运算法则讲解
高数极限运算法则讲解极限是数学中最重要的概念，它是用来描述一个函数d（x）在某个点a接近而不是等于某个值L时，对x的变化可以推导出一个结果。
也就是说，当x趋向于a时，d（x）会趋向于L，这时d（x）就称为以a为极限的函数。
实际应用中，很多复杂的数学问题都可以通过极限来解决。
极限也是高等数学的重点。
二、极限的运算法则（1）极限加法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的和也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)+g(x)]=lim_x→a f(x)+lim_x→a g(x)。
（2）极限减法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的差也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)-g(x)]=lim_x→a f(x)-lim_x→a g(x)。
（3）极限乘法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的积也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)*g(x)]=lim_x→a f(x)*lim_x→a g(x)。
（4）极限除法：当函数f (x)和g (x)都有极限，且lim_x→a g(x)非零时，两函数的极限的商也存在，其极限关系式为：lim_x→a [f(x)/g(x)]=lim_x→a f(x)/lim_x→a g(x)。
（5）极限交换法则：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，函数的项可以进行交换，即lim_x→a[f(x)g(x)]=lim_x→a g(x)lim_x→a f(x)。
（6）极限重复法则：当函数f (x)有极限，当x趋向于a时，函数f (x)重复m次，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)^m]=[lim_x →a f(x)]^m。
三、极限的应用（1）冯科普雷定理：当n≥3时，给定f（x）在区间[a,b]上有n次连续可导，且f（a）=f（b），就一定存在某一点c∈(a,b)，使得f′（c）=0。
大一高数两个重要极限知识点
大一高数两个重要极限知识点大一的学生在学习高数时，会接触到很多重要的知识点，其中有两个极限知识点尤为重要。
极限是数学中一个非常基础且重要的概念，它在高数的学习中发挥着重要的作用。
本文将重点介绍大一学生在高数学习中应重点掌握的两个极限知识点。
一、函数的极限和极限存在条件在学习函数极限时，我们首先需要明确什么是极限。
简单来说，函数f(x)在点x=a处的极限是指当x趋于a时，函数f(x)的取值趋于一个确定的有限值L。
数学中常用的表示方法是：lim(x→a) f(x) = L但是，在讨论函数极限时需要注意函数的定义域，并非所有函数都存在极限。
一个函数在某一点的极限存在的条件是，无论从函数的左边还是右边逼近这一点，函数的值都趋近于同一个值。
例如，对于函数f(x) = x/(x-1)，当x趋近于1时，从左边和右边逼近，函数的值分别是1和-1/2，因此函数在这一点不具备极限。
在求解极限时，我们可以利用一些基本的极限公式，如常数定理、分式定理、指数幂函数定理等。
同时，我们还可以利用夹逼定理、唯一性定理等重要定理来判断函数极限的存在与计算具体的值。
二、无穷大与无穷小在学习极限时，我们还需要了解无穷大和无穷小的概念。
无穷大是指当自变量趋于某个值时，函数的取值无限增加或无限减小。
无穷小则相反，是指当自变量趋于某个值时，函数的取值无限接近于0。
在高数中，我们用符号±∞来表示无穷大。
例如，当x趋于∞时，函数f(x) = x²的取值趋于无穷大，我们可以表示为：lim(x→∞) f(x) = +∞同样，我们用符号±0来表示无穷小。
当x趋于0时，函数f(x)= sinx / x的取值趋于0，可以表示为：lim(x→0) f(x) = 0无穷大和无穷小往往与极限的求解密切相关。
在求解一些复杂的极限问题时，我们需要用到无穷大和无穷小的性质，以及与之相关的一些重要极限公式，如洛必达法则等。
需要特别注意的是，无穷大和无穷小并不是绝对存在的，它们的存在与具体问题密切相关。
高数常用极限结论
高数常用极限结论高等数学中的极限是一个重要的概念，常常在各个数学领域中应用。
在学习高等数学时，我们经常会遇到一些常用的极限结论。
本文将介绍一些常见的高数极限结论，并对其应用做一些简单的说明。
1. 极限的唯一性：如果一个函数在某点存在极限，那么该极限是唯一的。
这个结论告诉我们，在计算极限时，我们可以放心地使用不同的方法，只要得到的极限是相同的，就可以认为是正确的。
2. 极限的四则运算：如果两个函数在某点都存在极限，那么它们的和、差、积、商的极限也存在，并且可以通过已知函数的极限来计算。
这个结论在计算复杂函数的极限时非常有用，可以简化计算过程。
3. 极限的保号性：如果一个函数在某点存在极限，并且极限大于（或小于）零，那么在该点附近，函数的取值也大于（或小于）零。
这个结论在研究函数的正负性质时非常有用，可以帮助我们判断函数在某点附近的取值情况。
4. 极限的夹逼定理：如果一个函数在某点附近被两个函数夹住，并且这两个函数的极限相等，那么该函数在该点也存在极限，并且极限等于这两个函数的极限。
这个结论在计算一些复杂函数的极限时非常有用，可以将其转化为已知函数的极限来计算。
5. 无穷小的性质：如果一个函数在某点存在极限，并且极限等于零，那么该函数在该点附近的取值都非常接近零，可以看作是无穷小。
这个结论在研究函数在某点的光滑程度时非常有用，可以帮助我们判断函数在该点的变化情况。
6. 极限的收敛性：如果一个函数在某点附近有界，并且存在一个数列趋于该点，那么该函数在该点存在极限。
这个结论在研究一些复杂函数的极限时非常有用，可以通过找到趋于该点的数列来计算极限。
7. 极限的换元法：如果一个函数在某点存在极限，并且通过某个函数进行换元后，可以得到另一个函数的极限，那么原函数也存在极限，并且极限相等。
这个结论在计算复杂函数的极限时非常有用，可以通过换元简化计算过程。
8. 极限的级数展开：如果一个函数在某点附近可以展开成幂级数，那么该函数在该点存在极限，并且极限等于幂级数的和。
高等数学极限的公式总结
高等数学极限的公式总结在高等数学中，极限的公式是非常重要的概念，这些公式能够帮助我们理解函数的极限，并进行极限的运算。
以下是一些常见的高等数学极限的公式总结：1. 极限的四则运算性质：lim(a+b) = lim a + lim blim(a-b) = lim a - lim blim(ab) = lim a lim b (假设lim a 和 lim b都存在)lim(a/b) = lim a / lim b (假设lim b 不等于0)2. 极限的常数性质：lim a = a (当a是一个常数)3. 极限的单调性：lim(f(x0+delta x) - f(x0)) / delta x = f'(x0) (当delta x -> 0)4. 连续函数的性质：如果f(x)在x0处连续，那么lim f(x) = f(x0) 当 x -> x05. 无穷小量与无穷大量：当x -> 0时，x是无穷小量，1/x是无穷大量。
6. 洛必达法则：如果lim (f'(x)/g'(x))存在，那么lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x)) (当x->a时)。
7. 泰勒公式：对于任何n阶可导函数f(x)，存在一个多项式Pn(x)，使得对于所有-∞ < x < ∞，有f(x) = Pn(x) + o(x^n)，其中o(x^n)是高阶无穷小。
8. 夹逼准则：如果存在一个区间或闭区间[a, b]，满足f(a) <= g(a), f(b) >= g(b)，并且lim f(x) = lim g(x)，则lim g(x)存在，并且lim g(x) = lim f(x)。
9. 无穷大与无穷小的关系：lim x -> ∞ f(x) = lim x -> ∞ f(x) （如果存在的话）lim x -> ∞ f(x) = 0 （如果lim x -> ∞ f(x)存在的话）10. 极限的唯一性：对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当x - x0 < δ时，有f(x) - A < ε。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数极限总结
一．极限的产生
极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。
极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。
但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。
从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。
[1]
二．极限知识点总结
1. 极限定义
函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式
时，对应的函数值 都满足不等式：
那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限，记作。
[2]
单侧极限：✍.左极限：或 ✍.右极限：或 定理：
函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相
δ<<|x -x |00ε
<-|)(|A x f A
x f x
x =→)(lim 0
A x f x
x =-
→)(lim )()(左→→x A x f A x f x
x =+
→)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==⇔
=+-→)()()(lim 0
)(x f 0x x →
等 即。
2. 极限概念
函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式
时，对应的函数值f(x)都满足不
等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。
时的极限。
函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。
下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。
准则Ⅰ.如果数列，及满足以下条件： （1）从某项起，即，当时，有；
（2）；， 那么数列的极限存在，且 准则Ⅰ＇如果（1）当（或）时，
（2）
，， 那么存在，且等于。
夹逼定理：（1）当时，有??成立
（2）
?,那么，极限存在，且等于A
【准则Ⅰ，准则Ⅰ′合称夹逼定理】
)()()(lim 0
00x f x f x f x
x →+-==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →{}n x {}n y {}n z +∈∃N n 00n n >n n n z x y ≤≤a y n x =∞→lim a z n x =∞
→lim {}n x a x n x =∞
→lim ),(0r x U x ο
∈M x >||)()()(x h x f x g ≤≤A x g x x x =∞→→)(lim )
(0
A x h x x x o =∞→→)(lim )
()(lim )
(0
x f x x x ∞→→A ),(x 0r x U ο
∉()0x f
准则Ⅱ： 单调有界数列必有极限
准则Ⅱ＇ ：设函数在点的某个左(右)邻域内单调并且有界，则在的左(右)极限必定存在[3]
单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。
柯西准则：数列收敛的充分必要条件是任给o >ε,存在)(εN ,使得当N >n ,
N >m 时，有ε<-||m n x x 成立。
[2]
极限运算相关法则、定理及推论
)(x f 0x )(x f 0x )(-x f ()[]
+x f
计算极限方法总结 （1）直接带入求极限
例1. 【解】
（2）约零因子求极限
)138(2
1
lim
+-→x x x ()
6
1381
381
381
382
11
21
1
1
21
2
1lim lim lim lim lim lim lim =+-⎪⎭⎫
⎝⎛=+-=+-=+-→→→→→→→x x x x x x x
x x x x x x x
【说明】分子分母有理化求极限，是通过有理化去除无理式
(5)应用两个重要极限求极限
(6)用等价无穷小两代换求极限
(7)用洛必达法则求极限
(8)用对数恒等式求极限
)()(lim x g x f
四．参考文献
[2]函数极限
[3]同济大数学系《高等数学第七版上册》北京高等教育出版社1987年
[4]来自QQ空间由大学生笔记墙整理。