高等数学中常见极限类型的计算

1高等数学中常见极限类型的计算1 1高等数学中常见极限类型的计算1.1一些常见极限的结论1.lim n→+∞n√n=1,limn→+∞n√a=1(a>0)2.lim n→+∞n√多项式=1,n比较大的时候多项式为正3.lim n→+∞n√a n+b n+c n+···+有限个=a,b,c等绝对值最大的那个4.limn→+∞log a nn k=0(a>0,a=1)5.limn→+∞n kc n=0(c>1)6.limn→+∞c nn!=07.limn→+∞n!n n=0以上的4，5，6，7的结论恰好说明了当n→+∞时，以下的几类函数的增长快慢问题：log a n,n k,c n,n!,n n分别对应着对数函数，幂函数，指数函数，阶乘，幂指函数，从左往右的增长速度逐渐增快，而且不同函数类型函数的增长速度是不在同一量级的（因为不同类型函数的比的极限为0）。

这里虽然是以数列为例，如果换成函数的话，也有相应的结论，只是函数里面就没有与n!阶乘相对应的了。

利用以上结论可以快速计算极限，例如：limx→0+x0.001[ln(x)]999=01高等数学中常见极限类型的计算2 1.2极限计算的类型极限计算的类型未定式等价无穷小洛必达法则泰勒公式夹逼定理利用连续、导数、积分的定义利用中值定理Stolz定理单调有界原理未定式类型，例：limx→0sin(x)x,limx→0x−sin(x)x3∞∞，例：limx→+∞2x2+e xx−e x+2,limx→0+ln(sin(2x))ln(sin(3x))0·∞，例：limx→+∞x2(e1x−e1x+1),limx→+∞x2e−x∞−∞，例：limx→+∞(√x2+x−x),limx→1(1x−1−1ln(x))1∞(=e∞·ln(1)=e0·∞)，例：limx→+∞(1+1x)x,limx→1x1x−1∞0(=e0·ln(∞)=e0·∞)，例：limx→+∞x1x,limx→0+(1x)tan(x)00(=e0·ln(0)=e0·∞)，例：limx→0+x x,limx→0+(tan(x))arctan(x)1高等数学中常见极限类型的计算3 1.3等价无穷小等价无穷小(x→0)x∼sin(x)∼tan(x)∼arcsin(x)∼arctan(x)∼ln(1+x),log a(1+x)∼xln(a)∼e x−1,a x−1∼x ln(a)12x2∼1−cos(x)=2sin2(x2)λx∼(1+x)λ−1,(1+x)λ−1=eλln(1+x)−1等价无穷小里面的x可以代指任意不为零的无穷小。

例如：当x→0时，sin(tan(x))∼tan(x)∼x，比较sin(tan(x))∼sin(x)∼x等价顺序的不同。

x→0可以代指任意过程，其它极限过程可以做做变量代换转化为x→0过程，例如：x→x0，做变量代换t=x−x0，则有t→0x→∞，做变量代换t=1x，则有t→0等价无穷小替换的使用条件：替换的部分可以使用作为整个式子的因子或者可以提到整个表达式的外面。

例如：lim x→0sin(x)()(),limx→0sin(x)−()(),limx→0(sin(x)()()−()())例1：lim x→+∞x2(e1x−e1x+1)=limx→+∞x2e1x+1(e1x−1x+1−1)=limx→+∞x2(1x−1x+1)=limx→+∞x2x(x+1)=limx→+∞11+1x=1例2：lim x→+∞(3√x2+x−x)=limx→+∞x((1+1x)13−1)=limx→+∞x·(13·1x)=131高等数学中常见极限类型的计算41.4洛必达法则：以0为例定理：已知lim x→x0f(x)=limx→0g(x)=0若有limx→x0f′(x)g′(x)=A其中，A为有限值，或者∞则有lim x→x0f(x)g(x)=limx→x0f′(x)g′(x)=A注意：一般f(x),g(x)是具体表达式时可以用洛必达法则，如果f(x),g(x)不是具体表达式时一般不能使用洛必达法则。

例如：已知f(x)在x=0处可导，并且f(0)=0，求lim x→0f(1−cos(x)) arctan(5x2)如下做法是错误的：（此题正确解法后面会讲）lim x→0f(1−cos(x))arctan(5x2)=limx→0f(1−cos(x))5x2=limx→0sin(x)f′(1−cos(x))10x=f′(0)10例1：lim x→0+x2ln(x)=limx→0+ln(x)1x2=limx→0+1x−2x3=limx→0+−x22=0例2：lim x→0+ln(sin(2x))ln(sin(3x))=limx→0+2cos(2x)sin(2x)3cos(3x)sin(3x)=limx→0+22x33x=11高等数学中常见极限类型的计算5 1.5泰勒公式泰勒公式(x→0)e x=1+x+x22!+···+x nn!+o(x n)sin(x)=x−x33!+x55!+···+(−1)n+1x2n+1(2n+1)!+o(x2n+1) cos(x)=1−x22!+x44!+···+(−1)nx2n(2n)!+o(x2n)ln(1+x)=x−x22+···+(−1)n−1x nn+o(x n)(1+x)λ=1+λx+λ(λ−1)2x2+···+λ(λ−1)···[λ−(n−1)]n!x n+o(x n)例1：lim x→0x−sin(x)x3=limx→0x−[x−x33!+o(x3)]x3=limx→0x33!x3=16例2：lim x→0cos(sin(x))−cos(x)x4=limx→0[1−12!(sin(x))2+14!(sin(x))4+o((sin(x))4)]−[1−12!x2+14!x4+o(x4)]x4=limx→0{−12![x−x33!+o(x3)]2+14![x−x33!+o(x3)]4}−[−12!x2+14!x4]x4=limx→016x4+o(x4)x4=161高等数学中常见极限类型的计算6 1.6夹逼定理定理：已知f(x)≤g(x)≤h(x)，若有lim x→x0f(x)=limx→x0h(x)=A则有limx→x0g(x)=A 例1：lim x→0+x[1 x]由于1 x −1≤[1x]≤1x因此1−x≤x[1x]≤1左右两边的极限都是1，从而有lim x→0+x[1x]=1例2：lim n→+∞(1n2+12+1n2+22+···+1n2+n2)由于nn2+n2≤1n2+n2+1n2+22+···+1n2+n2≤nn2+12而limn→+∞nn2+n2=limn→+∞nn2+12=0从而有lim n→+∞(1n2+12+1n2+22+···+1n2+n2)=0思考题：（此题解法后面会讲）lim n→+∞(nn2+12+nn2+22+···+nn2+n2)1高等数学中常见极限类型的计算7 1.7利用连续、导数、积分的定义例1:已知f(x)在x=0处可导，且f(x0)=0，试问1f(x)在x=0处是否可导？根据定义有：lim ∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x=f′(x0)而lim ∆x→01f(x0+∆x)−1f(x0)∆x=−lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)f(x0+∆x)f(x0)∆x=−f′(x0)[f(x0)]2例2:已知f(x)在x=0处可导，并且f(0)=0，求lim x→0f(1−cos(x)) arctan(5x2)求解过程：lim x→0f(1−cos(x))arctan(5x2)=limx→0f(1−cos(x))−f(0)1−cos(x)−0·1−cos(x)arctan(5x2)=limx→0f(1−cos(x))−f(0)1−cos(x)−0·12x25x2=f′(0)10例3:lim n→+∞(nn2+12+nn2+22+···+nn2+n2)=limn→+∞(1n1+(1n)2+1nn2+(2n)2+···+1n1+(nn)2)=limn→+∞1n(11+(1n)2+1n2+(2n)2+···+11+(nn)2)=limn→+∞n∑k=111+(kn)2·1n=∫111+x2dx=π4思考题:limn→+∞1n2(sin1n+2sin(2n)+···+n sin(1))1高等数学中常见极限类型的计算8 1.8利用中值定理例1:lim x→0e sin(x)−e x sin(x)−x考试函数f(x)=e x，f′(x)=e x，根据微分中值定理f(x2)−f(x1)=f′(ξ)(x2−x1)，其中ξ介于sin(x)和x之间有e sin(x)−e x=eξ(sin(x)−x)，其中ξ介于sin(x)和x之间当x→0时，有ξ→0，因此lim x→0e sin(x)−e xsin(x)−x=limx→0eξ=1例2:limn→+∞∫n+λncos(x)√xdx(n∈Z+,λ>0)根据积分中值定理∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a)，其中a≤ξ≤b 从而有lim n→+∞∫n+λncos(x)√xdx=limn→+∞cos(ξ)√ξ·λ，其中n≤ξ≤n+λ当n→+∞时，有ξ→+∞，cos(ξ)√ξ→0因此，有limn→+∞∫n+λncos(x)√xdx=01高等数学中常见极限类型的计算9 1.9Stolz定理定理：设{a n}和{b n}为两个数列，若{b n}单调增加，且lim n→+∞b n=+∞,limn→+∞a n+1−a nb n+1−b n=A则有limn→+∞a nb n=A例1：已知：limn→+∞a n=A，证明lim n→+∞a1+a2+···+a nn=A证明：令u n=a1+a2+···+a n，v n=n，则lim n→+∞u n+1−u nv n+1−v n=limn→+∞a n+11=A故limn→+∞a1+a2+···+a nn=A例2：已知：limn→+∞a n=A，计算lim n→+∞a1+2a2+···+na nn2解：令u n=a1+2a2+···+na n，v n=n2，则lim n→+∞u n+1−u nv n+1−v n=limn→+∞(n+1)a n+12n+1=A2故limn→+∞a1+2a2+···+na nn2=A21高等数学中常见极限类型的计算10 1.10单调有界原理（数列以递推关系给出，要证明数列收敛，并求极限值）定理：若{a n}单调增加且有上界，则{a n}收敛，且lim n→+∞a n=supn≥1{a n}若{a n}单调减少且有下界，则{a n}收敛，且lim n→+∞a n=infn≥1{a n}例1：已知：0<x1<1，x n+1=x n(1−x n)(n=1,2,3,···)，证明：limn→+∞nx n=1分析过程：由要证明的结论，可以初步判断出x n→0，由x1>0，可以判断x n可能单调减少。