§3-8 抽样信号的傅里叶变换与抽样定理解析

x(t )
s(t )

xs (t )
H ( j)
x(t )
H ( j)
T
c 0 c
n
(t nT )
理想低通滤波器的频率响应和单位 冲激响应为：

H ( j) T [u( c ) u( c )]
h(t ) T
T
c
c
h(t )

3 3 x2 (t ) Sa[ (t 1)] 试求下列各式： y(t )e jt dt , y (t ) Sa(t ) 2 2
sin t 十、试利用傅里叶变换，证明： dt t

十一、已知：x(t ) Sa(ct ) cos0t ，使其通过如下带通滤波器，求其输出y(t)。
2s

xs (t )
3T 2T T
0
T
2T
3T
t
s
s
2s
5

自然抽样信号及其傅里叶变换式
xs (t ) x(t ) s(t )
1 X s ( j ) X ( j ) s Sa(k s ) ( k s ) 2 2 k
H ( j)
1
（设Ω0>>Ωc）

16
( 0 )t0
(0 c ) 0
( 0 )t0
0 c 00 c
§3-8 抽样信号的傅里叶变换与抽样定理
一、抽样信号
抽 样 保 持 量 化 编 码 解 滤
码
波
A/D
x(t )
D/A
s (t )
xs (t )
0
t
s (t )
1
x(t )
xs (t )
3T 2T T

0
T
2T
3T
t
3T 2T T
T
2T
3T
t
1
这里“抽样”的实现可以描述为
x(t )
2s

xs (t )
n
x(nT )(t nT )

1 X s ( j) T
k
X [ j ( k )]
s

9
如果不满足抽样定理，此时
x(t )
fs 2 fm
( s 2m )
X ( j )
1
0
t
m
m

T (t )
(1)
( s )
t jt Re{ X ( j )} e d 2 e
试求：x(t)。
八、设y(t)=x(t)cost，且已知Y(jΩ)=u(Ω+2)-u(Ω-2)，试求：x(t)。
九、设y(t)=2x1(t).x2(t)，且已知: x1 (t )
1 Sa[ (t 1)] 2 2
写出指数形式和三角形式的傅里叶级数展开式，并画出双边与单边频谱图。 二、已知
x(t ) 2 cos(
n 三、设系统的频率响应：H ( j) 4Sa(4) ，已知： x(t ) [2 (1) u (t 4n)] 1
试求系统响应y(t)。 四、两系统对输入ej5t的响应分别是ej5(t-1)与cos5t，试问哪个系统是非线性的？ 五、一RL电路如图，输入为电流源is(t)，输出是电感中
2T
3T
t
以上有一组样本值：x(nT)，经过它可以连接成许多不同的信
号。
一般地说，在没有任何附加条件或说明下，不可能指望一个信 号能够唯一地由一组等间隔样值来表征。
7
抽样定理说：
设信号x(t)是频域带限的，即|Ω|＞Ωm ，X(jΩ)=0；以T为间隔， 对x(t)等间隔抽样的样本值：x(nT)，当T≤π/Ωm时，就可用这些样本 值唯一的表征信号x(t) ；并且信号x(t)可以由这些样本值完全恢复出 来。 当T=π/Ωm时，称抽样间隔T为奈奎斯特间隔，fs=1/T称为奈奎 斯特频率: fs=Ωm/π=2fm。 下面，我们讨论理想抽样，在满足和不满足抽样定理时，信号 时域频域的情况。此时
n

H ( j)
T

2c Sa(ct ) s
c 0
c


n

x(nT )(t nT )

2c Sa(ct ) s
X ( j )
1
2c s
m
c
m

n
x(nT )Sa[ (t nT )]
x(t )
n
若Ωs=2Ωc =2Ωm ，
2c c Sa(ct ) Sa ( c t ) s
0
c
t
11
X ( j) X s ( j) H ( j)
根据卷积定理
X s ( j)
1 T
s m0 m s
2s

x(t ) xs (t ) h(t )
[ x(nT )(t nT )]
s X ( j) Sa(k s )( k s ) 2 2 k
T
Sa(k s ) X [ j ( k s )] 2 k

6
四、抽样定理
x(2T )
x(T ) x(3T )
x(0)
x(2T )
2T
T T
x(T )
xs (t )
s(t )
xs (t ) x(t ) s(t )
信号s(t)称为开关信号。上式关系可以用右图表示。
根据开关信号的不同，可以产生不同的抽样信号。这里只介绍 两种常见的抽样信号：理想抽样与自然抽样。 理想抽样是不能实现的，但它在说明抽样定理时，有重要的理 论价值，我们会经常用到它。 自然抽样是一种现实的抽样，它不仅有理论价值，还有实用价 值。
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练习：P95(5),P90例题35， P94例题38
X ( j) 0 , m
f s 2 f m ( s 2m )
8
x(t )
X ( j )
0
t
m
m


T (t )
(1)

ℱ {T (t )}
( s )
T 2T
T 0
t
s
0
s
2s

xs (t )
1 T
X s ( j)
t
T 0
T 2T
s m0 m s
2
二、理想抽样
上述开关函数s(t)若是单位冲 激序列，抽样称为理想抽样。 于是，理想抽样信号为
x(t )
s(t )

n
xs (t )
(t nT )

xs (t ) x(t ) T (t ) x(t )
设信号x(t)的傅里叶变换为
FT x(t ) X ( j)
is (t ) io (t )
1H
的电流io(t)，试：列出电路的输入输出方程，求出其
频率响应，若输入x(t)=cost，求输出的时间函数。 六、周期性三角脉冲如图所示，试求其傅里叶级数展开式。
1
E
T T 2
x(t )
T 2
15 T
t
七、设一实值因果信号x(t)的傅里叶变换为X(jΩ)，已知：
3
s 1 X s ( j) X ( j) ( k s ) 2 T k
k
X [ j ( k
X ( j )

s
)]
x(t )
0
t
0

ℱ {T (t )}
T (t )
(1)
( s )
T 2T
T 0
t
s
0
s
2s

xs (t )
1 T
X s ( j)
t
T 0
T 2T
s
0
s
2s

4
三、自然抽样
上述开关函数s(t)若是周期性矩形脉冲，抽样称为自然抽样。 于是，信号抽样的图形如下：
x(t )
X ( j )
0
t
0
S ( j)

(s )
s (t )
1

3T 2T T
T
2T
3T
t
s
T
s
X s ( j)
x(nT )Sa[

c
(t nT )]
12
动态演示
xs (t )
1 T
X s ( j)
t
T 0
T 2T
s m0 m s
2s

T
c
c
h(t )
T
c
H ( j)
0
t
c 0
c

xs (t )
1
X ( j )
T 0
T 2T
t
m
ℱ {T (t )}
T
0
T
2T
t
2s s
s 2s

xs (t )
1 T
X s ( j)
t
T
0
T
2T
动态演示
2s m m 2s s
4s

10
当满足抽样定理时，让抽样信号通过截止频率为Ωc的理想低通 滤波器(Ωm<Ωc<Ωs-Ωm)，就可以恢复原信号。