2010江西省数据库期末考试入门

1、证明由二叉树的中序序列和后序序列，也可以唯一确定一棵二叉树。

当n=1时，只有一个根结点，由中序序列和后序序列可以确定这棵二叉树。

设当n=m-1时结论成立，现证明当n=m时结论成立。

设中序序列为S1，S2，…，Sm,后序序列是P1,P2,…，Pm。

因后序序列最后一个元素Pm是根，则在中序序列中可找到与Pm相等的结点（设二叉树中各结点互不相同）Si(1≤i≤m)，因中序序列是由中序遍历而得，所以Si是根结点，S1，S2，…，Si-1是左子树的中序序列，而Si+1,Si+2,…,Sm是右子树的中序序列。

若i=1，则S1是根，这时二叉树的左子树为空，右子树的结点数是m-1,则{S2，S3，…，Sm}和{P1，P2，…，Pm-1}可以唯一确定右子树，从而也确定了二叉树。

若i=m,则Sm是根，这时二叉树的右子树为空，左子树的结点数是m-1，则{S1，S2，…，Sm-1}和{P1，P2，…，Pm-1}唯一确定左子树，从而也确定了二叉树。

最后，当1<i<m时，Si把中序序列分成{S1，S2，…，Si-1}和{Si+1,Si+2,…，Sm}。

由于后序遍历是“左子树—右子树—根结点”，所以{P1,P2,…,Pi-1}和{Pi,Pi+1,…Pm-1}是二叉树的左子树和右子树的后序遍历序列。

因而由{S1，S2，…，Si-1}和{P1，P2，…，Pi-1}可唯一确定二叉树的左子树，由{Si+1,Si+2,…，Sm}和{Pi,Pi+1,…，Pm-1}可唯一确定二叉树的右子树。

2、因为后序遍历栈中保留当前结点的祖先的信息，用一变量保存栈的最高栈顶指针，每当退栈时，栈顶指针高于保存最高栈顶指针的值时，则将该栈倒入辅助栈中，辅助栈始终保存最长路径长度上的结点，直至后序遍历完毕，则辅助栈中内容即为所求。

void LongestPath(BiTree bt)//求二叉树中的第一条最长路径长度{BiTree p=bt,l[],s[]; //l, s是栈，元素是二叉树结点指针，l中保留当前最长路径中的结点int i，top=0,tag[],longest=0;while(p || top>0){ while(p) {s[++top]=p；tag[top]=0; p=p->Lc;} //沿左分枝向下if(tag[top]==1) //当前结点的右分枝已遍历{if(!s[top]->Lc && !s[top]->Rc) //只有到叶子结点时，才查看路径长度if(top>longest) {for(i=1;i<=top;i++) l[i]=s[i]; longest=top; top--;}//保留当前最长路径到l栈，记住最高栈顶指针，退栈}else if(top>0) {tag[top]=1; p=s[top].Rc;} //沿右子分枝向下}//while(p!=null||top>0)}//结束LongestPath3、请编写一个判别给定二叉树是否为二叉排序树的算法，设二叉树用llink-rlink法存储。

4、连通图的生成树包括图中的全部n个顶点和足以使图连通的n-1条边，最小生成树是边上权值之和最小的生成树。

故可按权值从大到小对边进行排序，然后从大到小将边删除。

每删除一条当前权值最大的边后，就去测试图是否仍连通，若不再连通，则将该边恢复。

若仍连通，继续向下删；直到剩n-1条边为止。

void SpnTree (AdjList g)//用“破圈法”求解带权连通无向图的一棵最小代价生成树。

{typedef struct {int i,j,w}node; //设顶点信息就是顶点编号，权是整型数node edge[];scanf( "%d%d",&e,&n) ; //输入边数和顶点数。

for (i=1;i<=e;i++) //输入e条边：顶点，权值。

scanf("%d%d%d" ,&edge[i].i ,&edge[i].j ,&edge[i].w);for (i=2;i<=e;i++) //按边上的权值大小，对边进行逆序排序。

{edge[0]=edge[i]; j=i-1;while (edge[j].w<edge[0].w) edge[j+1]=edge[j--];edge[j+1]=edge[0]; }//fork=1; eg=e;while (eg>=n) //破圈，直到边数e=n-1.{if (connect(k)) //删除第k条边若仍连通。

{edge[k].w=0; eg--; }//测试下一条边edge[k]，权值置0表示该边被删除k++; //下条边}//while}//算法结束。

connect()是测试图是否连通的函数，可用图的遍历实现，5、假设以邻接矩阵作为图的存储结构，编写算法判别在给定的有向图中是否存在一个简单有向回路，若存在，则以顶点序列的方式输出该回路（找到一条即可）。

（注：图中不存在顶点到自己的弧）有向图判断回路要比无向图复杂。

利用深度优先遍历，将顶点分成三类：未访问；已访问但其邻接点未访问完;已访问且其邻接点已访问完。

下面用0，1，2表示这三种状态。

前面已提到，若dfs（v）结束前出现顶点u到v的回边，则图中必有包含顶点v和u的回路。

对应程序中v的状态为1，而u是正访问的顶点，若我们找出u的下一邻接点的状态为1，就可以输出回路了。

void Print(int v,int start ) //输出从顶点start开始的回路。

{for(i=1;i<=n;i++)if(g[v][i]!=0 && visited[i]==1 ) //若存在边（v,i），且顶点i的状态为1。

{printf(“%d”,v);if(i==start) printf(“\n”); else Print(i,start);break;}//if}//Printvoid dfs(int v){visited[v]=1;for(j=1;j<=n;j++ )if (g[v][j]!=0) //存在边(v,j)if (visited[j]!=1) {if (!visited[j]) dfs(j); }//ifelse {cycle=1; Print(j,j);}visited[v]=2;}//dfsvoid find_cycle() //判断是否有回路，有则输出邻接矩阵。

visited数组为全局变量。

{for (i=1;i<=n;i++) visited[i]=0;for (i=1;i<=n;i++ ) if (!visited[i]) dfs(i);}//find_cycle6、矩阵中元素按行和按列都已排序，要求查找时间复杂度为O（m+n），因此不能采用常规的二层循环的查找。

可以先从右上角（i=a,j=d）元素与x比较，只有三种情况：一是A[i,j]>x，这情况下向j 小的方向继续查找；二是A[i,j]<x，下步应向i大的方向查找；三是A[i,j]=x，查找成功。

否则，若下标已超出范围，则查找失败。

void search(datatype A[ ][ ], int a,b,c,d, datatype x)//n*m矩阵A,行下标从a到b,列下标从c到d,本算法查找x是否在矩阵A中.{i=a; j=d; flag=0; //flag是成功查到x的标志while(i<=b && j>=c)if(A[i][j]==x) {flag=1;break;}else if (A[i][j]>x) j--; else i++;if(flag) printf(“A[%d][%d]=%d”,i,j,x); //假定x为整型.else printf(“矩阵A中无%d 元素”，x)；}算法search结束。

[算法讨论]算法中查找x的路线从右上角开始，向下（当x>A[i,j]）或向左（当x<A[i,j]）。

向下最多是m，向左最多是n。

最佳情况是在右上角比较一次成功，最差是在左下角（A[b,c]），比较m+n次，故算法最差时间复杂度是O(m+n）。

7、给出折半查找的递归算法，并给出算法时间复杂度性分析。

8、假设以I和O分别表示入栈和出栈操作。

栈的初态和终态均为空，入栈和出栈的操作序列可表示为仅由I和O组成的序列，称可以操作的序列为合法序列，否则称为非法序列。

（15分）（1）A和D是合法序列，B和C 是非法序列。

（2）设被判定的操作序列已存入一维数组A中。

int Judge(char A[])//判断字符数组A中的输入输出序列是否是合法序列。

如是，返回true，否则返回false。

{i=0; //i为下标。

j=k=0; //j和k分别为I和字母O的的个数。

while(A[i]!=‘\0’) //当未到字符数组尾就作。

{switch(A[i]){case‘I’: j++; break; //入栈次数增1。

case‘O’: k++; if(k>j){printf(“序列非法\n”)；exit(0);}}i++; //不论A[i]是‘I’或‘O’，指针i均后移。

}if(j!=k) {printf(“序列非法\n”)；return(false);}else {printf(“序列合法\n”)；return(true);}}//算法结束。

9、对二叉树的某层上的结点进行运算，采用队列结构按层次遍历最适宜。

int LeafKlevel(BiTree bt, int k) //求二叉树bt 的第k(k>1) 层上叶子结点个数{if(bt==null || k<1) return(0);BiTree p=bt,Q[]; //Q是队列，元素是二叉树结点指针,容量足够大int front=0,rear=1,leaf=0; //front 和rear是队头和队尾指针, leaf是叶子结点数int last=1,level=1; Q[1]=p; //last是二叉树同层最右结点的指针，level 是二叉树的层数while(front<=rear){p=Q[++front];if(level==k && !p->lchild && !p->rchild) leaf++; //叶子结点if(p->lchild) Q[++rear]=p->lchild; //左子女入队if(p->rchild) Q[++rear]=p->rchild; //右子女入队if(front==last) {level++; //二叉树同层最右结点已处理,层数增1last=rear; } //last移到指向下层最右一元素if(level>k) return (leaf); //层数大于k 后退出运行}//while }//结束LeafKLevel10、给定n个村庄之间的交通图，若村庄i和j之间有道路，则将顶点i和j用边连接，边上的Wij表示这条道路的长度，现在要从这n个村庄中选择一个村庄建一所医院，问这所医院应建在哪个村庄，才能使离医院最远的村庄到医院的路程最短?试设计一个解答上述问题的算法，并应用该算法解答如图所示的实例。