数的开方知识点(最新编写)
数的开方知识点及复习
数的开方知识点及复习
知识点一：平方根
（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。 （2）开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.
（3）平方根的表示：a 的平方根记作:a 2±±或a 。a 叫做被开方 （4）求一个数的平方根的方法：利用平方和开平方互为逆运算
（5）平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数②0有一个平方根，它是0本身③负数没有平方根。 （6）算术平方根的定义：非负数a 的正的平方根。
（7）算术平方根表示：一个非负数a 的平方根用符号表示为：“a ”，读作：“根号a ”，其中a 叫做被开方数 （8）算术平方根的性质:①正数a 的算术平方根是一个正数；②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方根。 注1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；
(a≥0)是一个非负数, 即
≥0;
2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数； 3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1; 4).非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：(
)2=a(a≥0)；
5）.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|=
6).平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平 方 根，非负数a 的负平方根。要特别注意： a ≠±a
7).平方根与算术平方根的区别与联系：
区别：①定义不同 ②个数不同： ③ 表示方法不同：
联系:①具有包含关系： ②存在条件相同： ③ 0的平方根和算术平方根都是0。 知识点二、立方根：
数开方知识点汇总
数的开方知识点汇总
安皋二中八年级数学组
一、平方根、算术平方根
1、平方根的定义：假如一个数的平方等于 a 那么这个数就叫做数
a 的平方根。即假如 x2= a 那么 x 就是 a 有平方根。
2、平方根的性质：
（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0 的平方根是 0
（3）负数没有平方根（由于任何数的平方都是一个非负数）
3、平方根的表示方法
一个非负数 a 的平方根可表示为± a ，读作正负根号 a
其实它的完好写法是±2 a 我们称2是根指数，a叫做被开方数，叫根号，我们平时省略了根指数 2。
3、算术平方根
（1、）定义：一个正数的正的平方根叫做这个数的
算术平方根。
（2）表示方法：一个非负数 a 的算术平方根可表示为
a ，读作根号a,
（3）算术平方根的性质：
①正数有一个正的算术平方根。②0 的算术
平方根是 0 ③负数没有平方根，自然也没有
算术平方根。
（4）a的两重非负性
①第一， a 要存心义，第一被开方数一定是一个非
负数。
②其次， a 表示一个非数的算术平方根，它的值不
行能是一个负数，即它的值是一个非负数。
综上： a 中a≥0 a ≥0
（5）初中所学的三类非负数
ⅰ：绝对值非负即 |a| ≥0
偶次
ⅱ：偶次方非负即a≥0
ⅲ：算术平方根非负即当 a≥0 时a≥0 4、
立方根
（1、）定义：假如一个数的立方等于 a 那么这个数就叫做 a 的立方根。即假如 x3=a 那么 x 就是 a 的立方根。（2、）立方根的表示方法：
一数 a 的立方根表示为3a，读作三次根号 a
此中 3 叫做根指数， a 叫被开方数。
数的开方知识点
平方根与立方根知识点
1、平方根：
（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。
（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数
B零有一个平方根，它是零本身
C负数没有平方根
（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示， a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合
起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平
方根也可记作“”读作“正、负根号a”.
（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.
2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是
：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。要特别注意：a≠±a。
3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：
①被开方数a是非负数，即a≥0.
②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。
4.平方根与算术平方根的区别与联系：
区别：1定义不同2个数不同：3表示方法不同：
联系：①具有包含关系：
②存在条件相同：
2、立方根：
1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。
有关开方的知识点总结
有关开方的知识点总结
开方的定义很简单：如果一个数x的平方等于另一个数y，那么y就是x的平方根。符号
√表示开方，可以理解为“根号”。比如√9=3，因为3的平方是9。有时候为了避免歧义，
需要在根号下面加上一个正号或者负号，表示正根和负根。
开方的运算规则也很简单，主要有以下几点：
1. 正数的开方
对于正数来说，它的开方有且只有一个正解。比如√9=3，因为3的平方是9。任何一个正数都有一个正的平方根。
2. 负数的开方
对于负数来说，它的开方有两个解，一个正数和一个负数。比如√16=4或者-4，因为4的平方是16，同时-4的平方也是16。在实际应用中，通常只考虑正数的解。
3. 0的开方
0的开方是0，因为0的平方也是0。这个特殊情况在数学中经常会用到。
开方的运算方法也有多种。一般来说，可以用牛顿迭代法、二分查找等方法来计算。对于
大型数字或者小数，一般会使用计算器或者电脑来进行开方运算。
在实际应用中，开方经常会用到。比如在几何学中，计算直角三角形的斜边长度、圆的半
径等。在物理学中，计算速度、加速度等也会用到开方。在工程学中，计算电路中的电压、电流等也用到开方。在金融学中，计算利率、贷款等也会用到开方。
开方还有一些重要的性质，比如：
1. 开方的运算顺序
开方和其他的运算符有不同的优先级。一般来说，先进行括号内的运算，然后进行乘除法、最后进行加减法。如果有多个开方运算符，一般从左往右进行计算。
2. 开方的乘法法则
(√a) * (√b) = √(a * b)。也就是说，两个数的开方的乘积等于这两个数的乘积的开方。
数的开方知识点与例题
平方根与立方根
一、知识点和方法概述 1、平方根：
（1）平方根的定义： （2）开平方： （3）平方根的意义： （4）平方根的表示：
（5）求一个数的平方根的方法： （6）算术平方根：
注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1. 2、立方根： （1）立方根的定义： （2）开立方： （3）立方根的意义： （4）立方根的表示：
（5）求一个数的立方根的方法：
注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1. 3、n 次方根：
（1）n 次方根的定义： （2）开n 次方： （3）n 次方根的意义： （4）n 次方根的表示：
（5）求一个数的n 次方根的方法： 二、二次根式：
1、二次根式的定义：式子
(a ≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如
不是最简二次根式，因被开方数
中含有4是可开得尽方的因数，又如 ， ， ..........都不是最简二
次根式，而 ， ，5 ， 都是最简二次根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根
式就叫做同类二次根式。如 ,
,
就是同类二次根式，因为
=2
，
=3
，它们与
的被开方数均为2。
第章数的开方知识点总结
第章数的开方知识点总结
数的开方是数学中的一个重要概念，它表示一个数的平方根。在解决各种数学问题以及实际生活中的应用中，数的开方常常用到。本文将对数的开方的基本概念、性质、计算方法以及其应用进行总结。
一、数的开方的基本概念
数的开方是指求一个数的平方根。对于非负实数a，如果有一个非负实数x，使得x的平方等于a，那么x就是a的平方根，记作√a。
二、数的开方的性质
1.非负数的开方是唯一的。即对于任意非负实数a，只有一个非负实数x，使得x的平方等于a。
2.平方根是非负实数。即对于任意非负实数a，它的平方根也一定是非负实数。
三、数的开方的计算方法
1.分解因数法：将被开方数分解成若干个互质的因数的乘积，然后对每个因数分别开方。
2.二分逼近法：从区间的两个端点开始，取区间中点作为试探值，然后逐步逼近所要求的平方根。
3.等差平方根法：根据等差数列的性质，可通过等差数列的特点，或相邻两项之间的差值关系，直接计算出平方根的近似值。
四、数的开方的应用
1.几何学中的应用：如计算正方形的对角线长度、长方形的对角线长
度等。
2.物理学中的应用：如计算速度、加速度等。
3.统计学中的应用：如计算标准差等。
4.工程学中的应用：如计算电路的电阻、计算建筑物的面积等。
五、注意事项
1.负数的开方是复数，不是实数。正数的开方是唯一的，但负数的开
方有两个解，一正一负。
2.有时候需要对数的开方进行近似计算，可以使用牛顿迭代法等方法。
六、数的开方的扩展
1.平方根的概念可以扩展到其他次方根的概念，如立方根、四次方根等。
2.对于复数，也可以进行开方运算，得到复数的开方。
数的开方知识点
平方根与立方根知识点
1、平方根：
（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。
（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数
B零有一个平方根，它是零本身
C负数没有平方根
（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示， a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合
起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平
方根也可记作“”读作“正、负根号a”.
（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.
2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是
：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。要特别注意：a≠±a。
3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：
①被开方数a是非负数，即a≥0.
②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。
4.平方根与算术平方根的区别与联系：
区别：1定义不同2个数不同：3表示方法不同：
联系：①具有包含关系：
②存在条件相同：
2、立方根：
1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。
数的开方知识点总结
第11章 数的开方知识点总结
1.关于平方根:
（1）一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数;
（2）0只有一个平方根,是它本身;
（3）负数没有平方根.
2.非负数a 的平方根表示为)0(≥±a a ,算术平方根表示为a .
3.若A 有意义,则0≥A .即要求被开方数为非负数.其中的A 既可以是单个的字母,也可以是代数式.
4.算术平方根等于它本身的数是0,1.
5.a 具有双重非负性:
（1）0≥a ;（2）0≥a .
6.若几个非负数的和等于0,则每个非负数分别等于0.写出公式为: 若02=++C B A ,则⎪⎩
⎪⎨⎧===000C B A
7.若B A -与A B -都有意义,则.B A = 8.()a a =±2,分开来记为:
（1）()a a =2;（2）()a a =-2. 9.⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2
a a a a a a . 10.
b a b a +≠+
11.b a b a ⋅=. 12.)0(≥a a 与a 的平方根是不一样的.如16的平方根是4±,而16的平方根是2±.
13.介绍一个新概念——完全平方数
如果一个数是另一个整数的完全平方,那么这个数就叫做完全平方数.如0、1、4、9、16、25等都是完全平方数.
完全平方数可用于估算某些无理数的值（如开方开不尽）.
14.任何实数都有立方根,且每个数的立方根只有一个.正数的立方根是正数,负数的立方根是负数.
15.关于立方根的重要结论:
（1）()a a =33;
（2）a a =33;
（3）若33B A -=（或033=+B A ）,则0=+B A .
第11章--数的开方知识点总结
第11章数的开方知识点总结
平方根
★1.平方根的定义: 如果一个数的________等于a,那么这个数叫做a的__________.
2,那么________叫做________的__________.
即如果a
x
★2.数的开方: 数的开方是一种运算,它包括开平方和开立方.
（1）开平方: 求一个数的平方根的运算,叫做开平方;
（2）开立方: 求一个数的________的运算,叫做开立方.
★3.平方根的特征:
（1）正数的平方根有________个,它们互为________;
（2）0的平方根只有________个,是________,即它本身;
（3）负数________平方根.
★4.平方根的表示:
非负数a的平方根表示为__________.其中a叫做__________,对a 的要求是________.
★5.算术平方根
非负数a的算术平方根表示为__________.
★6.关于算术平方根
正数的算术平方根只有________个,0的算术平方根是________,负数没有平方根,当然也就没有____________.
算术平方根等于它本身的数有________个,分别是____________.
平方根等于它本身的数有________个,是________.
★7.()0≥a a 具有双重非负性:
（1）0≥a ; （2）0≥a .
★8.非负数的和为0的问题
若几个非负数的和等于0,则每个非负数分别等于________. 若02=++C B A ,则______________________.
★9.重要结论:
数的开方知识点与复习0001
数的开方知识点及复习
例2、已知2a-1的算术平方根是 3，3a+b-1的平方根是 ±4，求a+2b 的平方根。
例3、若X 、y 都是实数，且y =J x -3+j 3-x +2，求x+3y 的平方根。
知识点一：平方根
(1)
(2)
(3) (4) (5) (6)
平方根的定义：如果一个数的平方等于 a ，这个数就叫做a 的平方根。 开平方：求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方. 平方根的表示：a 的平方根记作：土^/舌或土丿^。a 叫做被开方 求一个数的平
方根的方法：利用平方和开平方互为逆运算 平方根的性质①一个正数有两个平
方根，它们互为相反数② 算术平方根的定义：非负数 a 的正的平方根。 0有一个平方根，它是 0本身③负数没有平方根。 算术平方根表示：一个非负数
a 的平方根用符号表示为：
算术平方根的性质：①正数a 的算术平方根是一个正数；②
注1)算术平方根是非负数，具有非负数的性质；
五(a > 0)是一个非负数，即
2)若两数的平方根相等或互为相反数时， 这两数相等；反之，若两非负数相等时,
3)平方根等于本身的数只有
0,算术平方根等于本身的数有
0、1；
(瞩)2
=a(a > 0);
a(a > 0) -a(a <
0)
(7) (8) 4).非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即:
“ j a ”读作：“根号a ”其中a 叫做被开方数 0的算术平方根是0;③负数没有算术平方根。
為> 0;
它们的平方根相等或互为相反数;
5 ).某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 肿 =|a|=
(完整版)数的开方知识点汇总
数的开方知识点汇总
安皋二中八年级数学组
一、平方根、算术平方根
1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数
a的平方根。即如果x2= a那么x就是a有平方根。
2、平方根的性质：
（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0的平方根是0
（3）负数没有平方根（因为任何数的平方都是一个非负数）
3、平方根的表示方法
一个非负数a的平方根可表示为±a，读作正负根号 a
其实它的完整写法是±2a我们称2是根指数，a叫做
被开方数，叫根号，我们平常省略了根指数2。3、算术平方根
（1、）定义：一个正数的正的平方根叫做这个数的算
术平方根。
（2）表示方法：一个非负数a的算术平方根可表示为
a，读作根号a,
（3）算术平方根的性质：
①正数有一个正的算术平方根。
②0的算术平方根是0
③负数没有平方根，当然也没有算术平方根。
（4）a的双重非负性
①首先，a要有意义，首先被开方数必须是一个非
负数。
②其次，a表示一个非数的算术平方根，它的值不
可能是一个负数，即它的值是一个非负数。
综上：a中a≥0 a≥0
（5）初中所学的三类非负数
ⅰ：绝对值非负即|a|≥0
ⅱ：偶次方非负即a偶次≥0
ⅲ：算术平方根非负即当a≥0时a≥0
4、立方根
（1、）定义：如果一个数的立方等于a那么这个数就叫做a的立方根。即如果x3=a那么x就是a的立方根。（2、）立方根的表示方法：
一数a的立方根表示为3a，读作三次根号 a
其中3叫做根指数，a叫被开方数。
（当根指数是2时可以省略，是3或其数时不能省略）（3、）立方根的性质：
任何数都有立方根且只有一个
数的开方知识点汇总
数的开方知识点汇总
安皋二中八年级数学组
一、平方根、算术平方根
1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数a的平方
根。即如果x2= a那么x就是a有平方根。
2、平方根的性质：
（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0的平方根是0
（3）负数没有平方根（因为任何数的平方都是一个非负数）
3、平方根的表示方法
一个非负数a的平方根可表示为±a，读作正负根号a
其实它的完整写法是±2a我们称2是根指数，a叫做被开方数，叫根号，我们平常省略了根指数2。
3、算术平方根
（1、）定义：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。
（2）表示方法：一个非负数a的算术平方根可表示为a，读作根号a,
（3）算术平方根的性质：
①正数有一个正的算术平方根。
②0的算术平方根是0
③负数没有平方根，当然也没有算术平方根。
（4）a的双重非负性
①首先，a要有意义，首先被开方数必须是一个非负数。
②其次，a表示一个非数的算术平方根，它的值不可能是一个负数，即它的值是一个非负数。
综上：a中a≥0 a≥0
（5）初中所学的三类非负数
ⅰ：绝对值非负即|a|≥0
ⅱ：偶次方非负即a偶次≥0
ⅲ：算术平方根非负即当a≥0时a≥0
4、立方根
（1、）定义：如果一个数的立方等于a那么这个数就叫做a 的立方根。即如果x3=a那么x就是a的立方根。
（2、）立方根的表示方法：
一数a的立方根表示为3a，读作三次根号a
其中3叫做根指数，a叫被开方数。
（当根指数是2时可以省略，是3或其数时不能省略）（3、）立方根的性质：
任何数都有立方根且只有一个
数的开方知识点
知识点一、平方根、算数平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。正数a正的平方根叫做a的算数平方根，0的平方根也叫做0的算术平方根．
若x2=a(a≥0)，则x叫做a的平方根。表示法：x=a
±。
主要性质:正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
例1. (1) 若a2=5则a= ；（2）若a=1.2，则a=_________；
（3）
1
3
16
的算术平方根是___________；121的平方根是________；
例2.如果一个数的平方根是a+3与2a-15，那么这个数是多少？练习.
1.求下列各数的平方根与算术平方根
(1) 196 (2)0.0144 (3)
7 1 9
2.平方等于本身的数是；平方根等于本身的数是；算术平方根等于本身的
数是；相反数等于本身的数是；绝对值等于本身的数是；
3、若4a+1的平方根是±5，则a= ．
4.
=
=
==
16
2
1
5.81的算术平方根是___ ___
的值是__ ___
___ ___
___ __
6.2
(的平方根是( )
A．5 B.5
±
D.
7.下列各数中有算术平方根的是个数为( )个
21,2
(1)
-,-|-2|,0,π
A.2
B.3
C.4
D.5
8.下列语句写成数学式子正确的是（）
A．9是81
的算术平方根：9
= B．5是-5
5
=
C．6
±是36
6
=± D．-2是4
2
=-
知识点二：两个有意义：(1)a(a≥0)；(2) 1
(0)
a
a
≠.
例3. 当x_______时1
x+在实数范围内有意义.
练习：1.当x_______时3
-
x在实数范围内有意义.
数的开方知识点
平方根与立方根知识点
1、平方根：
（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方
数
（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。
（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数
B零有一个平方根，它是零本身
C负数没有平方根
（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读作“二次根号下a”．当根指
数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.
（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两
数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的
平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的
数有0、1.
2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。要特别注意：a≠±a。
3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：
①被开方数a是非负数，即a≥0.
②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。
4.平方根与算术平方根的区别与联系：
区别：1定义不同2个数不同：3表示方法不同：
联系：①具有包含关系：
②存在条件相同：
2、立方根：
1.（1）定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，a 叫做被开
立方数
（2）开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开平方。