平方根知识点总结讲义
(完整版)平方根知识点总结讲义
平方根 知识点总结【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a0，a ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥，是a 的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），解得m ＝1；∴m 的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22212111a -=⨯-=②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？2x 4x -11x x +-1x - 【答案与解析】解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x - (3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-义．(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．所以当1x ≥且3x ≠1x - 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．举一反三：【变式】已知4322232b a a =-+-+，求11a b +的算术平方根． 【答案】解：根据题意，得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．(1)2222252434-+；(2)111200.36900435--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)2222252434-+49257535==⨯=； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=【答案与解析】解：（1）∵23610x -=∴2361x =∴36119x ==±（2）∵()21289x +=∴1289x +=∴x ＋1＝±17x ＝16或x ＝－18.（3）∵()2932640x +-= ∴()264329x += ∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______； （3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32±；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b 是实数，26|20a b ++=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-． 【答案与解析】解：∵a 、b 26|20a b +-=260a +≥，|20b -≥，∴260a +=，20b -=．∴a =－3，2b =把a =－3，2b =2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．举一反三：2110x y -+=，求20112012x y +的值． 【答案】2110x y -+=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得32300x x ⋅=.26300x =.250x =.∵ x ＞0，∴ 50x = ∴ 长方形纸片的长为350cm .∵ 50＞49,507>.∴ 35021>, 即长方形纸片的长大于20cm .由正方形纸片的面积为400 2cm , 可知其边长为20cm ,∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.。
平方根知识点总结
平方根知识点总结
1. 平方根的定义
平方根是一个数字的平方的正值的那个根。
通常使用符号√来表示。
例如,√4 = 2,因为2的平方等于4。
2. 平方根的性质
a) √(a×b) = √a×√b
b) √(a/b) = √a/√b (b≠0)
c) (√a)^2 = a
d) (√a)^n = a^(n/2) (n为偶数)
e) √(a^n) = a^(n/2) (n为偶数)
3. 无理数和有理数的平方根
a) 完全平方数的平方根是有理数,例如√4 = 2,√9 = 3。
b) 非完全平方数的平方根是无理数,例如√2,√5,√π。
4. 计算平方根的方法
a) 对于有理数,可以通过长除法计算平方根的近似值。
b) 对于无理数,可以使用牛顿迭代法或其他数值方法来近似计算平方根。
c) 科学计算器和计算机可以快速精确地计算平方根。
5. 平方根在几何中的应用
平方根在计算三角形的边长、面积和体积等几何运算中有广泛应用。
例如,勾股定理就涉及到直角三角形的两条直角边的平方根和。
平方根是一个基本的数学概念,在各个学科领域中都有重要的应用。
掌握平方根的基本性质和计算方法,对于进一步学习高等数学和相关领域知识很有帮助。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
平方根知识点总结
平方根知识点总结平方根是代数学中的一个重要概念，经常在各种数学问题中出现。
简单来说，平方根就是一个数与自己相乘等于指定数的操作的逆运算。
本文将为您总结平方根的知识点，并讨论相关概念、性质和应用。
一、基本概念1. 平方根的定义：对于一个非负数a，它的平方根是指满足x * x = a的非负数x。
符号√a表示a的平方根，√a ≥ 0。
2. 平方根的记法：平方根记作√a。
例如√25 = 5，√144 = 12。
二、性质与运算1. 非负数的平方根：对于任意非负实数a，都存在唯一一个非负实数x，使得x * x = a。
2. 平方根的唯一性：每个正实数只有一个正平方根，即√a是唯一的。
但负实数没有实数平方根。
3. 非零实数的平方根：对于任意非零实数a，其平方根√a的正负号取决于a的符号。
当a > 0时，√a > 0；当a < 0时，√a不存在实数解。
4. 平方根的运算性质：a) 两个非负数的积的平方根等于它们的平方根的乘积：√(ab) = √a * √b。
b) 两个非负数的商的平方根等于它们的平方根的商：√(a/b) = √a / √b（b ≠ 0）。
c) 平方根的乘方等于它的被开方数：(√a)² = a。
三、平方根的求解方法1. 估算法：通过估算被开方数的大小，可以快速确定一个近似的平方根。
2. 迭代法：通过迭代运算，逐步逼近平方根的精确值。
3. 牛顿法：利用泰勒级数近似平方根，通过迭代逼近平方根的解。
四、平方根的应用1. 几何应用：平方根在几何图形的计算中有广泛应用，如计算圆的半径或直径、计算三角形的斜边、计算四边形的对角线等。
2. 物理应用：平方根在物理学中的运动学、力学、电磁学等领域广泛应用，如计算速度、加速度、力的大小等。
3. 工程应用：平方根在工程学中的建筑、机械等领域有重要应用，如计算力的大小、材料的强度等。
4. 统计学应用：平方根在统计学中用于计算方差和标准差等。
总结：平方根是数学中一个非常重要的概念，它在各个领域均有广泛的应用。
平方根(基础)知识讲解
平方根（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】【高清课堂：389316 平方根，知识要点】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2x a=,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：a0，a≥0.2.平方根的定义如果2x a=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a≥0)的平方根的符号表达为0)a≥a的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩()2a a=≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.5，所以本说法正确；B.1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.4，所以本说法错误；D.因为0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（24=±．（ ）（3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×，提示：（24=；（4）25是425的算术平方根．2、 填空： （1）4-是 的负平方根．（2表示 的算术平方根，= ．（3的算术平方根为 ．（43=，则x = ，若3=，则x = ．【思路点拨】（3181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根.【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13(4) 9；±3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化. 举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（）：①3是9的平方根．② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④8-是64的负的平方根．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）（2（3（4【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）6 553x的取值范围是______________．【答案】x≥1-；【解析】x＋1≥0，解得x≥1-.【总结升华】a0，a≥0. 举一反三：【变式】（2015春•中江县期中）若+（3x+y﹣1）2=0，求5x+y2的平方根．【答案】解：∵+（3x+y﹣1）2=0，∴，解得，，∴5x+y2=5×1+（﹣2）2=9，∴5x+y2的平方根为±=±3．类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x值（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，两边同时除以169，得1442x=169开平方，得x=（2）（x﹣2）2﹣36=0，移项，得（x﹣2）2=36开平方，得x﹣2=±6，解得：x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝1323x=±21x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.。
平方根-初中数学知识点
平方根
1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a
”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
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初中人教版七年级平方根知识点总结
初中人教版七年级平方根知识点总结
一、概念
平方根是指一个数的平方等于被开方数的数。
例如，2的平方根是√2，因为√2×√2=2。
平方根的符号为√，并且不能出现负数。
二、平方根的性质
1. 如果一个数是平方数，那么它的平方根就是一个整数。
2. 如果一个数不是平方数，那么它的平方根就是一个无限不循环小数。
3. 两个平方数之间的数字是整数。
三、求解平方根的方法
1. 直接法：用手算或计算器求出平方根的值。
2. 开方法：因数分解后，将同样的因数放在一个括号中，然后每个因数的次数除以2，再将式子乘起来。
例如：√72=√(2 × 2 × 2 × 3 × 3)=2 × √6。
3. 近似法：用前一次算出的平方根估算下一次的平方根。
四、平方根的应用
平方根在数学、物理、化学等各个学科中都有广泛的应用，例如用来计算等腰三角形的高、圆的直径等。
总之，学好平方根对于研究数学有很大的帮助，也为日常生活中的实际应用提供了便利。
以上就是初中人教版七年级平方根知识点的总结。
平方根知识点
平方根知识点平方根是数学中常见的一个概念，它是指一个数的平方等于另一个数的操作。
平方根有许多重要的知识点，下面将对其进行详细介绍。
一、平方根的定义和表示平方根是指一个数的平方等于另一个数的操作。
用数学符号表示为√，读作“根”，前面的数字表示所要求的数。
例如，√4表示求4的平方根，结果为2。
平方根可以是正数、负数或零。
二、平方根的性质1. 非负数的平方根都是实数。
2. 负数的平方根是虚数，用i表示。
例如，√-4 = 2i，其中i为虚数单位。
3. 零的平方根是0，即√0 = 0。
4. 平方根的运算规则：√(a × b) = √a × √b（a≥0，b≥0）。
三、平方根的求解方法1. 计算器：现代计算器中通常内置了平方根的计算功能，只需输入要求平方根的数，即可得到结果。
2. 特殊平方数：有些平方数的平方根是整数，例如√4 = 2，√9 = 3等。
对于这类特殊平方数，可以直接得到结果。
3. 近似计算：对于无法得到精确结果的平方根，可以使用近似计算的方法。
例如，可以通过牛顿迭代法、二分法等数值计算方法来逼近平方根的值。
四、平方根的应用领域平方根在实际生活和科学领域中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 工程计算：平方根在建筑、物理、化学等工程计算中经常被用到，如求解方程、计算长度、面积等。
2. 统计学：平方根可以用来求解方差、标准差等统计指标，帮助分析和描述数据的离散程度。
3. 金融领域：平方根在金融中被广泛应用于风险评估、波动率计算等方面，帮助投资者进行风险管理和预测。
4. 电子通信：平方根在电信领域中用于信号处理、频谱分析等方面，有助于优化信号传输和解析。
总结：平方根是数学中的重要概念，它能够帮助我们求解方程、计算数据、进行风险管理等。
了解平方根的定义、性质和求解方法，以及其在实际应用中的各个领域，能够提升我们的数学素养和解决实际问题的能力。
在今后的学习和工作中，平方根的知识将继续发挥重要的作用。
初中数学知识点精讲精析 平方根知识讲解
13·1 平方根要点精讲1. 平方根的概念（1）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：x 2＝a ，x 叫a 的平方根．（2）数a （a ≥0）的平方根记作±a ，读作“正负根号下a ”，其中a 表示a 的正的平方根，－a 表示a 的负的平方根；“a ”实际上省略了2a 中的2，2叫做根指数，a 叫做被开方数．2. 平方根的性质（1）正数有两个平方根，它们互为相反数．（2）0的平方根只有一个，还是0．（3）负数没有平方根．3. 算术平方根一个正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根还是0．（1）算术平方根的定义表明，只要是非负数就一定有算术平方根．（2）算术平方根是平方根的一种．（3）非负数的算术平方根还是非负数．a (a ≥0)， a ≥0常见的非负数的类型：︱a ︱，a 2，a (a ≥0)注：（1）要加强对平方根和算术平方根概念的理解，进一步明确非负数a 的算术平方根是a ，而平方根是±a ．（2）计算化简时要谨慎细心，如求81的平方根，需先算出81＝9，求81的平方根就是求9的平方根，而不是求81的平方根．（3）真正领会负数没有平方根．典型例题例1.求下列各数的平方根和算术平方根（1）12149（2）0.0081 （3）(－45)2 （4）14解析：（1）平方根是：±117，算术平方根是：117（2）平方根是：±0.09，算术平方根是：0.09（3）平方根是：±45，算术平方根是：45（4）平方根是：±14，算术平方根是：14例2.求下列各式中的x ．（1）9x 2－256＝0（2）4(2x －1)2＝25解析：（1）x 2＝2569，x ＝±163（2）把2x －1作为一个整体，则2x －1＝±52．当2x －1＝52时，x ＝74；当2x －1＝－52时，x ＝－344. ∵（1－2a ）2≥0，b －2≥0，又（1－2a ）2＋b －2＝0，∴（1－2a ）2＝0，b －2＝0，∴1－2a ＝0，b －2＝0，∴a ＝12，b ＝2，∴ab ＝1．例3.如果一个正数的平方根是a ＋3和2a －15，求a 的值和这个正数．分析：由平方根的意义可知a ＋3和2a －15互为相反数，故有a ＋3＋（2a －15）＝0，从而可以解得a ，进而求出这个正数．解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以（a ＋3）＋（2a －15）＝0，解得a ＝4．当a ＝4时，a ＋3＝7，2a －15＝－7．即这个正数的平方根分别是＋7和－7，所以原数为49．评析：解决本题的关键是利用一个正数的平方根是互为相反数的关系得到a 的一元一次方程，解方程求出a 的值，从而求出这个正数．例4.在交通事故的处理中，警察往往用公式v ＝16df 来判断该车辆是否超速，其中v 表示车速（单位：千米/时），d 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f 表示摩擦系数.某日，在一段限速60千米/时的公路上，发生了一起两车追尾事故，警察赶到后经过测量，得出其中一辆车的d ＝18，f ＝2. 请问：该车超速了吗？分析：运用公式，求出该车的速度，再与60千米/时进行比较，看是否超速便可解决. 解：把d ＝18，f ＝2代入公式v ＝16df 得v ＝1618×2＝16×6＝96（千米/时）.而96＞60，所以该车超速了.评析：平方根和立方根的知识在实际生活中应用非常广泛，因此数的发展与现实需要密不可分.例5.求下列各式中的x 的值．（1）x 2－676＝0；（2）9（3x ＋1）2＝64．分析：这是一道求平方根的题目．（1）x 2－676＝0可化为x 2＝676，x 的值就是676的平方根．（2）可将3x ＋1看作一个整体来解，即（3x ＋1）2＝649，所以3x ＋1是649的平方根，从而可求出x ．解：（1）∵x 2－676＝0，∴x 2＝676．∴x ＝±676＝±26．（2）∵9（3x ＋1）2＝64，∴（3x ＋1）2＝649，∴3x ＋1＝±649＝±83， 当3x ＋1＝83时，x ＝59； 当3x ＋1＝－83时，x ＝－119． 评析：解带有平方的方程时，首先应将方程化为一边是完全平方，另一边是一个非负数的形式，然后两边同时开平方，开方时一定要注意不要漏掉负的平方根，同时根据题目的特点，本题利用了一个重要的数学思想——整体思想．例6.对于题目：“化简并求值：1a ＋(1a －a )2，其中a ＝15”，甲、乙两人的解答不同． 甲的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝495， 乙的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋a －1a ＝a ＝15． 阅读后你认为谁的解答是错误的？为什么？分析：将a ＝15代入便知谁的解答正确． 解：乙的解答是错误的，因为当a ＝15时，1a＝5． a －1a ＝15－5＜0，所以(1a －a )2≠a －1a ，而应是(1a －a )2＝1a－A. 评析：在化简a 2时，一定要注意a 的符号，并且根据算术平方根的意义，a 2的结果应为非负数．例7.利用计算器计算： …，0.0625，0.625， 6.25，62.5，625，6250，62500，…计算后，分析结果，你发现了什么规律？分析：可分析开方前和开方后小数点的变化规律．解：用计算器计算结果如下：…，0.25，0.7906，2.5，7.906，25，79.06，250，…分析计算结果可以发现：被开方数的小数点每向右（左）移动两位，算术平方根的小数点相应地向右（左）移动一位．评析：可利用开平方时小数点的这一变化规律对一些数开平方．。
(完整版)平方根立方根知识点归纳及常见题型
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a ”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
30a ≥0。
4、公式：⑴2=a （a ≥0）（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值. 0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.23(2)0y z -++=，求xyz 的值。
2021年平方根知识点总结讲义
平方根知识点总结【学习目的】1．理解平方根、算术平方根概念，会用根号表达数平方根．2．理解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根概念1.算术平方根定义=,那么这个正数x叫做a算术平方根（规定0算如果一种正数x平方等于a，即2x a术平方根还是0）；a a算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：故意义时，a0，a≥0.2.平方根定义=，那么x叫做a平方根.求一种数a平方根运算，叫做开平方.平方与开平方如果2x aa≥是a算术平方根.互为逆运算. a(a≥0)平方根符号表达为0)要点二、平方根和算术平方根区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）成果不同：2．联系：（1）平方根包括算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数平方根有两个，它们互为相反数，其中正那个叫它算术平方根；负数没有平方根．（2）正数两个平方根互为相反数，依照它算术平方根可以及时写出它另一种平方根.因而，咱们可以运用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根性质2(0)||0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ ()()20a a a =≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数小数点向右或者向左移动2位，它算术平方根小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根概念1、若2m －4与3m －1是同一种正数两个平方根，求m 值．【思路点拨】由于同一种正数两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），解得m ＝1；∴m 值为1．【总结升华】此题重要考查了平方根性质：一种正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 平方根，求m 值.【答案】2a －1与－a ＋2是m 平方根，因此2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，因此m ＝()()22212111a -=⨯-=②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，因此m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-= 2、x 为什么值时，下列各式故意义？(1)2x ； (2)4x -； (3)11x x ++-； (4)13x x --． 【答案与解析】 解：(1)由于20x ≥，因此当x 取任何值时，2x 均故意义． (2)由题意可知：40x -≥，因此4x ≥时，4x -故意义．(3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．因此11x -≤≤时11x x ++-故意义．(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．因此当1x ≥且3x ≠时，13x x --故意义． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一种含字母代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才故意义．(2)当分母中具有字母时，只有当分母不为0时，式子才故意义．举一反三：【变式】已知4322232b a a =-+-+，求11a b +算术平方根． 【答案】解：依照题意，得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，因此b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b+算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根运算3、求下列各式值．2222252434-+；111200.36900435【思路点拨】（1）一方面要弄清晰每个符号表达意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)2222252434-+49257535==⨯=； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 【总结升华】(1)混合运算运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以依照平方根、算术平方根意义和表达办法来解，纯熟后直接依照2(0)a a a =>来解．类型三、运用平方根解方程4、求下列各式中x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=【答案与解析】解：（1）∵23610x -=∴2361x =∴36119x ==±（2）∵()21289x +=∴1289x +=∴x ＋1＝±17x ＝16或x ＝－18.（3）∵()2932640x +-= ∴()264329x += ∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题实质是一元二次方程，开平办法是解一元二次方程最基本办法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______； （3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32±；（4）±2. 类型四、平方根综合应用5、已知a 、b 是实数，且26|2|0a b ++-=，解关于x 方程2(2)1a x b a ++=-．【答案与解析】解：∵a 、b 是实数，26|2|0a b ++-=，260a +≥，|2|0b -≥，∴260a +=，20b -=．∴a =－3，2b =． 把a =－3，2b =代入2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．【总结升华】本题是非负数性质与方程知识相结合一道题，应先求出a 、b 值，再解方程．此类题重要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者非负性，只需令每项分别等于零即可． 举一反三：【变式】若2110x y -++=，求20112012x y +值． 【答案】解：由2110x y -++=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 正方形纸片，沿着边方向裁出一块面积为3002cm 长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你阐明小丽能否用这块纸片裁出符合规定长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片长为3x (x＞0) cm，则宽为2x cm，依题意得⋅=.x x3230026300x=.250x=.∵ x＞0，∴ x=∴ 长方形纸片长为cm.∵ 50＞49，>.7>，即长方形纸片长不不大于20cm.∴ 21cm，可知其边长为20cm，由正方形纸片面积为400 2∴ 长方形纸片长不不大于正方形纸片边长.答：小丽不能用这块纸片裁出符合规定长方形纸片.【总结升华】本题需依照平方根定义计算出长方形长和宽，再判断能否用边长为20cm正方形纸片裁出长方形纸片.。
平方根知识点总结
平方根知识点总结平方根是数学中一个重要的概念，它在数学、物理以及工程学等方面有着广泛的应用。
本文将对平方根的定义、性质以及计算方法进行总结和介绍。
一、平方根的定义与性质平方根（square root）是指一个数乘以自己等于另一个数的操作。
对于非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则称x是a的平方根。
表示为√a。
1. 平方根的定义：对于非负实数a，a的平方根是找到一个非负实数x，使得x 的平方等于a，即x^2 = a。
2. 平方根的性质：a) 任何非负实数都有一个非负平方根。
b) 非负实数的平方根存在唯一性，即每个非负实数a只有一个非负实数根。
c) 负数没有实数平方根，但可以用虚数表示。
d) 平方根运算是具有结合律，即√(a√b) = √a * √b。
e) 平方根运算是与乘法运算可交换的，即√(ab) = √a * √b。
f) 不同数的平方根在实数范围内一般是不等的。
二、平方根的性质和计算方法平方根在数学和实际生活中有着广泛的应用，为了方便计算和应用，人们对平方根的性质和计算方法进行了研究。
1. 平方根的估算：a) 当数字的位数较大时，可以使用开方法则估算。
b) 利用平方根的几何意义，可以通过作图来估算平方根。
2. 平方根的近似计算：a) 牛顿迭代法：通过迭代，逐渐逼近平方根的值。
b) 二分法：利用数轴上二分的方法逼近平方根。
3. 平方根的算术运算：a) 平方根的加法：√a + √b ≠ √(a + b)。
这是因为平方根运算不满足加法交换率。
b) 平方根的乘法和除法：√a * √b = √(ab)；√a / √b = √(a/b)。
4. 平方根的应用：平方根在物理、工程学以及金融数学等领域有着广泛的应用，其中包括但不限于：a) 物体自由落体运动的速度计算。
b) 圆的半径计算。
c) 金融投资中的风险评估。
d) 工程学中的震动分析。
三、平方根的历史与发展平方根的研究可以追溯到古代。
古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪左右，发现了平方根的几何意义，并得出了数学上的一些结论。
平方根总结知识点
平方根总结知识点一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于另一个数的操作，比如数a的平方根就是满足等式：x^2= a的x，记作√a。
1. 正数的平方根当a是非负实数时，存在一个非负实数x，使得x^2 = a成立，这个非负实数就是a的平方根。
如果a=0，则a的平方根为0；如果a>0，则a的平方根有两个，一个是正数，一个是负数。
比如，√9=3，-3。
2. 负数的平方根当a是负实数时，不存在任何实数x，使得x^2 = a成立，因此负数没有实数域内的平方根，这在实数范围内是没有意义的。
3. 复数的平方根如果a是负数，则我们可以在复数域内寻找a的平方根，因为复数域中规定了i^2 = -1，即虚数单位i的平方为-1。
因此，负数a的平方根可以表示为√a=i√|a|，其中|a|表示a的绝对值。
二、平方根的性质平方根具有一系列性质，这些性质对于平方根的运算和性质分析都有着重要的作用。
1. 非负实数的平方根性质（1）正数的平方根是非负实数，即√a≥0。
（2）如果a<b，则√a<√b。
（3）平方根的运算性质：a) √(ab) = √a * √bb) √(a/b) = √a / √b （其中b≠0）2. 负实数与复数的平方根性质（1）负实数的平方根是复数且成对出现，例如√-4 = 2i。
（2）负实数的平方根满足共轭关系：如果z是负数a的平方根，那么z的共轭z*也是负数a的平方根。
3. 平方根的运算规律（1）平方根的加减法计算：a) √a + √b = √(a + 2√ab + b)b) √a - √b = √(a - 2√ab + b)（2）平方根的乘除法计算：a) √ab = √a * √bb) √(a/b) = √a / √b （其中b≠0）三、平方根的计算方法1. 精确计算如果已知某个数的精确值，可以直接通过平方根的定义来计算，即求解方程x^2 = a。
但是这种方法对于大数来说较为繁琐，且无法精确计算出其平方根。
平方根(基础)知识点归纳总结及典型例题详解
平方根（基础）知识讲解【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】【平方根，知识要点】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2x a=,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作a的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：a一定表示一个非负数，0，a≥0.2.平方根的定义如果2x a=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a≥0)的平方根的符号表达为a≥是a的算术平方根.0)知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质20 ||00a aa a aa a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()()2a a a=≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（）A.5是25的算术平方根B.l是l的一个平方根C.()24-的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为25＝5，所以本说法正确；B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误； D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（2）164=±．（ ）（3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×，提示：（2）164=；（4）25是425的算术平方根． 2、 填空：（1）4-是 的负平方根．（2116表示 的算术平方根，116= ．（3）181的算术平方根为 ． （4）若3x =，则x = ，若23x =，则x = ． 【思路点拨】（3）181就是181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13 (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）325 （2）8136+ （3）0.040.25- （4）40.36121⋅ 【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）655 3、使代数式1x +有意义的x 的取值范围是______________．【答案】x≥1-；【解析】x＋1≥0，解得x≥1-.【总结升华】当式子a有意义时，a一定表示一个非负数，即a≥0，a≥0.举一反三：【变式】（2015春•中江县期中）若+（3x+y﹣1）2=0，求5x+y2的平方根．【答案】解：∵+（3x+y﹣1）2=0，∴，解得，，∴5x+y2=5×1+（﹣2）2=9，∴5x+y2的平方根为±=±3．类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x值（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，两边同时除以169，得1442x=169开平方，得x=（2）（x﹣2）2﹣36=0，移项，得（x﹣2）2=36开平方，得x﹣2=±6，解得：x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝1323x=±21x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.。
(完整版)平方根知识点总结讲义
平方根 知识点总结【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a0，a ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥，是a 的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），解得m ＝1；∴m 的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22212111a -=⨯-=②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？2x 4x -11x x +-1x - 【答案与解析】解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x - (3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-义．(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．所以当1x ≥且3x ≠1x - 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．举一反三：【变式】已知4322232b a a =-+-+，求11a b +的算术平方根． 【答案】解：根据题意，得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．(1)2222252434-+；(2)111200.36900435--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)2222252434-+49257535==⨯=； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=【答案与解析】解：（1）∵23610x -=∴2361x =∴36119x ==±（2）∵()21289x +=∴1289x +=∴x ＋1＝±17x ＝16或x ＝－18.（3）∵()2932640x +-= ∴()264329x += ∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______； （3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32±；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b 是实数，26|20a b ++=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-． 【答案与解析】解：∵a 、b 26|20a b +-=260a +≥，|20b -≥，∴260a +=，20b -=．∴a =－3，2b =把a =－3，2b =2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．举一反三：2110x y -+=，求20112012x y +的值． 【答案】2110x y -+=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得32300x x ⋅=.26300x =.250x =.∵ x ＞0，∴ 50x = ∴ 长方形纸片的长为350cm .∵ 50＞49,507>.∴ 35021>, 即长方形纸片的长大于20cm .由正方形纸片的面积为400 2cm , 可知其边长为20cm ,∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.。
平方根知识点总结讲义
平方根知识点总结讲义平方根是数学中非常重要的概念，我们经常在各种计算和解题中都会用到。
以下是平方根的相关知识点总结：1.平方根的定义：平方根是指一个数的平方等于该数的非负实数解。
对于正数a，它的平方根记作√a。
2.平方根的性质：a)平方根的平方等于它本身，即(√a)^2=a。
b)任意正数的平方根是唯一的。
但是对于负数，它的平方根是虚数。
c) 平方根满足乘法的可交换性，即√(ab) = √a * √b。
3.平方根的运算法则：a) 平方根的和差：√a ± √b = √(a ± 2√ab + b)。
b)平方根的积除：√(a/b)=√a/√b。
c)乘法公式：(a±b)*(a∓b)=a^2-b^2、利用该公式，我们可以进行平方根的乘法运算。
4.求平方根的方法：a)通过查表或使用计算器可以求得近似值。
b)使用二分法逼近平方根的精确值。
c)使用牛顿迭代法来计算平方根的近似值。
5.特殊平方根值：a)2的平方根是无理数，它的近似值约为1.414b)3的平方根也是无理数，它的近似值约为1.7326.平方根的应用：a)平方根可以用于计算直角三角形的边长。
例如，根据毕达哥拉斯定理，两条边长分别为a和b的直角三角形的斜边长c可以通过√(a^2+b^2)来计算。
b)平方根在统计学中经常用到，例如计算标准差和方差等。
c)平方根还可以用于解决一些数论问题和代数方程等。
总结起来，平方根是数学中极为重要的概念之一、了解平方根的定义、性质和运算法则，掌握求解平方根的方法，以及理解平方根的应用，对于解决实际问题和提高数学能力都非常有帮助。
初二上册数学《平方根》知识点
初二上册数学《平方根》知识点《平方根》是初中数学中的重要知识点之一，它是解决一元二次方程、勾股定理、正方形和正方体的表面积等问题的基础。
本文将详细介绍《平方根》的相关概念、性质和解题方法。
一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于该数的非负实数解。
其中，平方根后面的方括号[]表示正平方根的意思。
例如，若a²=b，则称b为a的平方根。
若a²=b²，则称b为a的绝对值。
二、平方根的性质1.非负数的平方根是非负数。
2.负数没有实数平方根，但可以有虚数平方根。
例如，-1的平方根为i（虚数单位）。
3.平方根具有唯一性。
正数的平方根只有一个值，且为正数；负数的平方根只有一个值，且为虚数。
三、平方根的运算法则1.两个平方数的积的平方根等于这两个数的平方根的乘积。
即√(a*b)=√a*√b。
2.两个平方数的商的平方根等于这两个数的平方根的比值。
即√(a/b)=√a/√b。
3.任意一个非负实数的平方根都可以写成一个非负实数的平方根与i （虚数单位）的乘积形式。
即√a=√（a*k²）=k*√a。
四、平方根的求解方法1.直观法：通过检验其中一数的平方与所求的值相近程度来估算。
例如，√3≈1.73，因为1.73²≈32.质数因子分解法：将数分解为质数的乘积，然后提取平方根。
例如，√48=√(2²*2*2*3)=2√33.倒数法：根据倒数的性质，将数分解为两个因数，其中一个因数的平方是已知的。
例如，√0.04=0.24.计算器使用法：利用计算器的平方根功能求得结果。
这种方法简便且精确。
五、平方根的应用1.解一元二次方程：通过求解一元二次方程的平方根来获得方程的解。
例如，对于方程x²+4x+3=0，可通过求解√(4²-4*3)来获得方程的解。
2.求直角三角形的边长：根据勾股定理，直角三角形的斜边等于两直角边的平方和的平方根。
例如，若直角边分别为3和4，则斜边为√(3²+4²)=53.求正方形和正方体的面积：正方形的面积等于边长的平方，正方体的表面积等于一个面的面积乘以6、例如，正方形的面积为a²，正方体的表面积为6a²。
平方根知识点总结
平方根知识点总结平方根，是数学中一个重要的概念，它在解决各种数学问题和实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，让我们一起深入了解平方根的相关知识。
一、平方根的定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
用数学语言表示为：若 x²＝ a，则 x 叫做 a 的平方根，记为±√a 。
例如，因为 3²＝ 9，（－3）²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3，即±√9 ＝ ±3 。
需要注意的是，正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
二、平方根的性质1、一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 4 的平方根是 ±2，2 和－2 互为相反数。
2、 0 的平方根是 0。
这是一个比较特殊的情况，因为 0 的平方还是 0 。
3、负数没有平方根。
因为任何数的平方都是非负数，所以负数不存在平方根。
4、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记为√a 。
例如，9 的算术平方根是 3，即√9 ＝ 3 。
三、平方根的表示方法平方根通常用符号“±√”来表示，读作“正负根号”。
例如，±√16 表示 16 的平方根，即 ±4 。
算术平方根则用“√”表示。
四、开平方运算求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方，其中 a 叫做被开方数。
开平方与平方互为逆运算。
例如，求 25 的平方根，就是进行开平方运算：±√25 ＝ ±5 。
五、平方根的应用1、在几何中例如，计算正方形的边长。
如果已知正方形的面积为16 平方厘米，那么它的边长就是面积的平方根，即√16 ＝ 4 厘米。
2、在实际生活中比如，在建筑工程中计算面积、体积等问题时，常常会用到平方根。
3、在数学计算中解方程时，也可能会涉及到平方根的运算。
六、平方根与立方根的区别1、定义不同平方根是指一个数的平方等于另一个数，那么这个数就是另一个数的平方根；而立方根是指一个数的立方等于另一个数，那么这个数就是另一个数的立方根。
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平方根知识点总结讲义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
平方根知识点总结
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
【要点梳理】
要点一、平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数x的平方等于a，即2x a
=,那么这个正数x叫做a的算术平方根
（规定0的算术平方根还是0）；a，读作“a的算术平方根”，a叫做被开方数.
要点诠释：有意义时，a≥0，a≥0.
2.平方根的定义
=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方如果2x a
a≥a的算与开平方互为逆运算. a(a≥0)的平方根的符号表达为0)
术平方根.
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算
术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
要点三、平方根的性质
要点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.
【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．
【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解．
【答案与解析】
解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），
解得m ＝1；
∴m 的值为1．
【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
举一反三：
【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.
【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22
212111a -=⨯-=
②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，
所以m ＝()()22
221[2(1)1]39a -=⨯--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义
2x 4x -11x x +-1x - 【答案与解析】
解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x
(2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x - (3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩
解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-义．
(4)由题意可知：1030
x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠． 所以当1x ≥且3x ≠时，13
x x -- 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义． 举一反三：
【变式】已知4322232b a a =--，求
11a b
+的算术平方根． 【答案】 解：根据题意，得320,230.
a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以
b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b
+112a b += 类型二、平方根的运算
3、求下列各式的值． (1)2222252434-+；(2)111200.36900435
--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.
【答案与解析】
解：(1)22
22252434-+49257535==⨯=； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72
=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．
类型三、利用平方根解方程
4、求下列各式中的x .
（1）23610;x -= （2）()2
1289x +=；
（3）()2932640x +-=
【答案与解析】
解：（1）∵23610x -=
∴2361x =
∴36119x ==±
（2）∵()21289x +=
∴1289x +=
∴x ＋1＝±17
x ＝16或x ＝－18.
（3）∵()2
932640x +-= ∴()2
64329
x += ∴8323
x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.
（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度. 举一反三：
【变式】求下列等式中的x ：
（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______；
（3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______．
【答案】（1）±；（2）±13；（3）32
±
；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用 5、已知a 、b 26|20a b +-=，解关于x 的方程
2(2)1a x b a ++=-．
【答案与解析】
解：∵a 、b 26|20a b ++-=260a +≥，|20b -≥，
∴260a +=，20b =．
∴a =－3，2b =．
把a =－3，2b =代入2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．
【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．
举一反三： 【变式】若2110x y -++=，求20112012x y +的值．
【答案】
解：由2110x y -++=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．
①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．
②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．
6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002
cm 的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【答案与解析】
解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得
32300x x ⋅=.
26300x =.
250x =.
∵ x ＞0，
∴ 50x = ∴ 长方形纸片的长为350cm .
∵ 50＞49,
507>.
∴ 35021>, 即长方形纸片的长大于20cm .
由正方形纸片的面积为400 2cm , 可知其边长为20cm ,
∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.
答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm的正方形纸片裁出长方形纸片.。