平方根知识点汇总讲义
(完整版)数的开方知识点汇总
数的开方知识点汇总安皋二中八年级数学组一、平方根、算术平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数a的平方根。
即如果x2= a那么x就是a有平方根。
2、平方根的性质：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0的平方根是0（3）负数没有平方根（因为任何数的平方都是一个非负数）3、平方根的表示方法一个非负数a的平方根可表示为±a，读作正负根号a其实它的完整写法是±2a我们称2是根指数，a叫做被开方数，叫根号，我们平常省略了根指数2。
3、算术平方根（1、）定义：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。
（2）表示方法：一个非负数a的算术平方根可表示为a，读作根号a,（3）算术平方根的性质：①正数有一个正的算术平方根。
②0的算术平方根是0③负数没有平方根，当然也没有算术平方根。
（4）a的双重非负性①首先，a要有意义，首先被开方数必须是一个非负数。
②其次，a表示一个非数的算术平方根，它的值不可能是一个负数，即它的值是一个非负数。
综上：a中a≥0 a≥0（5）初中所学的三类非负数ⅰ：绝对值非负即|a|≥0ⅱ：偶次方非负即a偶次≥0ⅲ：算术平方根非负即当a≥0时a≥04、立方根（1、）定义：如果一个数的立方等于a那么这个数就叫做a的立方根。
即如果x3=a那么x就是a的立方根。
（2、）立方根的表示方法：一数a的立方根表示为3a，读作三次根号a其中3叫做根指数，a叫被开方数。
（当根指数是2时可以省略，是3或其数时不能省略）（3、）立方根的性质：任何数都有立方根且只有一个正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数。
5、数的开方中的几个公式：（1）2a||a= (a为任意实数)（2、）（a）2=a (a≥0)（3、）（3a）3= a（a为任意实数）（4、）a33（a为任意实数）a=（5、）-3a=3a-（a为任意实数）6、实数与数轴（1、）无理数的定义：无限不循环小数叫无理数（2、）实数的定义：有理数和无数统称为实数。
(完整版)平方根知识点总结讲义
平方根 知识点总结【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a0，a ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥，是a 的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），解得m ＝1；∴m 的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22212111a -=⨯-=②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？2x 4x -11x x +-1x - 【答案与解析】解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x - (3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-义．(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．所以当1x ≥且3x ≠1x - 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．举一反三：【变式】已知4322232b a a =-+-+，求11a b +的算术平方根． 【答案】解：根据题意，得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．(1)2222252434-+；(2)111200.36900435--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)2222252434-+49257535==⨯=； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=【答案与解析】解：（1）∵23610x -=∴2361x =∴36119x ==±（2）∵()21289x +=∴1289x +=∴x ＋1＝±17x ＝16或x ＝－18.（3）∵()2932640x +-= ∴()264329x += ∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______； （3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32±；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b 是实数，26|20a b ++=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-． 【答案与解析】解：∵a 、b 26|20a b +-=260a +≥，|20b -≥，∴260a +=，20b -=．∴a =－3，2b =把a =－3，2b =2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．举一反三：2110x y -+=，求20112012x y +的值． 【答案】2110x y -+=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得32300x x ⋅=.26300x =.250x =.∵ x ＞0，∴ 50x = ∴ 长方形纸片的长为350cm .∵ 50＞49,507>.∴ 35021>, 即长方形纸片的长大于20cm .由正方形纸片的面积为400 2cm , 可知其边长为20cm ,∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.。
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结1. 平方根平方根是指一个数的平方等于给定数的正数解。
以√a表示a的平方根，其中a为非负实数。
1.1 平方根的概念对于非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则这个非负实数x被称为a的平方根。
平方根的记号为√a。
1.2 平方根的性质- 平方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 非负实数的平方根有两个解，一个是正数，另一个是负数，但我们在常见的情况下只讨论正数平方根。
- 非负实数的平方根可以通过求解方程x^2 = a得到。
2. 立方根立方根是指一个数的立方等于给定数的正数解。
以³√a表示a的立方根，其中a为实数。
2.1 立方根的概念对于实数a，如果存在一个实数x，使得x的立方等于a，则这个实数x被称为a的立方根。
立方根的记号为³√a。
2.2 立方根的性质- 立方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 实数的立方根有两个复数解和一个实数解，其中实数解为正数立方根。
- 实数的立方根可以通过求解方程x^3 = a得到。
3. 计算平方根与立方根3.1 通过近似方法计算- 对于非完全平方数和非完全立方数，可以通过近似方法利用计算器或者数学软件计算得到一个接近真实值的结果。
3.2 通过公式计算- 对于完全平方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全平方数a，其平方根可以通过√a = a的1/2次方得到。
- 对于完全立方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全立方数a，其立方根可以通过³√a = a的1/3次方得到。
4. 应用场景平方根和立方根在日常生活和科学领域中有广泛的应用。
4.1 数学- 在代数中，求解方程的过程中常常需要计算平方根和立方根。
- 在概率统计中，方差和标准差的计算中，需要使用平方根。
- 在计算几何中，勾股定理的应用需要计算平方根。
4.2 自然科学- 物理学中，运动速度、加速度等的计算中，需要使用平方根。
平方根知识点总结
平方根知识点总结
1. 平方根的定义
平方根是一个数字的平方的正值的那个根。
通常使用符号√来表示。
例如,√4 = 2,因为2的平方等于4。
2. 平方根的性质
a) √(a×b) = √a×√b
b) √(a/b) = √a/√b (b≠0)
c) (√a)^2 = a
d) (√a)^n = a^(n/2) (n为偶数)
e) √(a^n) = a^(n/2) (n为偶数)
3. 无理数和有理数的平方根
a) 完全平方数的平方根是有理数,例如√4 = 2,√9 = 3。
b) 非完全平方数的平方根是无理数,例如√2,√5,√π。
4. 计算平方根的方法
a) 对于有理数,可以通过长除法计算平方根的近似值。
b) 对于无理数,可以使用牛顿迭代法或其他数值方法来近似计算平方根。
c) 科学计算器和计算机可以快速精确地计算平方根。
5. 平方根在几何中的应用
平方根在计算三角形的边长、面积和体积等几何运算中有广泛应用。
例如,勾股定理就涉及到直角三角形的两条直角边的平方根和。
平方根是一个基本的数学概念,在各个学科领域中都有重要的应用。
掌握平方根的基本性质和计算方法,对于进一步学习高等数学和相关领域知识很有帮助。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
(完整版)数的开方知识点汇总
7、实数与数轴的关系
任意一个数对应了数轴上的一个点，数轴上任意一上 点对应了一个实数，因此实数与数轴上的点是—对 应关系。
iii：算术平方根非负即当a>0时-,a>0
4、立方根
（1、）定义：如果一个数的立方等于a那么这个数就 叫做a的立方根。即如果x3=a那么x就是a的立方根。
（2、）立方根的表示方法：
一数a的立方根表示为3a，读作三次根号a其中3叫做根指数，a叫被开方数。
（当根指数是2时可以省略，是3或其数时不能省略） （3、）立方根的性质：
（3）算术平方根的性质：
1正数有一个正的算术平方根。
20的算术平方根是0
3负数没有平方根，当然也没有算术平方根。
（4）, a的双重非负性
1首先，石要有意义，首先被开方数必须是一个非 负数。
2其次，心表示一个非数的算术平方根，它的值不 可能是一个负数，即它的值是一个非负数。
综上：,a中a>0,a>0
（5）初中所学的三类非负数i：绝对值非负即|a|>0丘：偶次方非负即a偶次>0
数的开方知识点汇总
安皋二中八年级数学组
一、平方根、算术平方根
1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数a的平方根。即如果x2= a那么x就是a有平方根。
2、平方根的性质：
（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0的平方根是0
（3）负数没有平方根（因为任何数的平方都是一个非负数）
3、平方根的表示方法
一个非负数a的平方根可表示为土..a，读作正负根号a
其实它的完整写法是土2a我们称2是根指数，a叫做
被开方数，、叫根号，我们平常省略了根指数2。
平方根和立方根讲义
专题1: 平方根和立方根【基础知识梳理】 一、算术平方根1、算术平方根定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式2x =a (x ≥0)中，规定x =a ，x 就是a 的算术平方根。
例1：下列说法中正确的是（ ）A.25是5的算术平方根B.5是25的算术平方根C.5是25的算术平方根D.25是5的算术平方根 例2：81的算术平方根是 。
例3：若a+2有算术平方根，则a= 。
例4：若一个圆的面积为236cm π，则这个圆的直径为 cm 。
小结：（1）只有非负数才有算术平方根（2）一个非负数的算术平方根只有一个且仍旧为非负数。
2、你对正数a 的算术平方根a 的结果有怎样的认识呢？a 的结果有两种情：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
例如7525和=，25是完全平方数，7不是完全平方数。
3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？一般来说，被开放数扩大（或缩小）n 倍，算术平方根扩大（或缩小）n 倍，例如502500,525== 二、平方根1、平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。
即：如果2x =a ，那么x 叫做a 的平方根。
求一个数的平方根的运算，叫做开平方，即a x ±=。
例如：9的平方根是±3，±3的平方等于9，所以平方与开平方互为逆运算． 例5：求下列各数的平方根。
（1） 100 （2）169 （3） 0.25 （4）412 （5）49.0例6：求下列各式中的x 的值。
81)2(16)4(845.021)3(0100)2(225)1(2222=+==-=x x x x2、平方根的性质：讨论：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这两个平方根互为相反数；0的平方根只有一个0；负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；符号：非负数a 的算术平方根可用a 表示；负的平方根可用-a 表示；平方根则表示为a ±，这里的0≥a例7下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由． （1）－64 （2）0 （3）(－4)2（4）10－2例8：（1）下列运算正确的是（ ） （2） ：下列计算正确的是（ ）18324.148686.12144.3)3(.222±=±=+=+=--=-D C B A例9：若13++-x x 有意义，则x 的取值范围是 。
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
即若 x²＝a，则 x 叫做 a 的平方根，记为±√a。
例如，因为 5²＝ 25，（－5）²＝ 25，所以 25 的平方根是 ±5。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
例如，正数 9 的平方根是 ±3。
（2）0 的平方根是 0。
（3）负数没有平方根。
3、开平方求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
例如，求 16 的平方根，即求解方程 x²＝ 16，可得 x ＝ ±4。
4、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a。
例如，4 的算术平方根是 2，记作√4 ＝ 2。
5、重要公式（1）（√a）²＝ a（a≥0）（2）√a² ＝｜a|当a≥0 时，√a² ＝ a；当 a＜0 时，√a² ＝ a。
例如，√5² ＝ 5，√（－3）²＝ 3。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
即若 x³＝a，则 x 叫做 a 的立方根，记为³√a。
例如，因为 2³＝ 8，所以 8 的立方根是 2，记作³√8 ＝ 2。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0。
3、开立方求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
例如，求－27 的立方根，即求解方程 x³＝－27，可得 x ＝－3，即³√－27 ＝－3。
4、重要公式（1）（³√a）³＝ a（2）³√a³ ＝ a例如，（³√5）³＝ 5，³√（－3）³＝－3 。
初中数学知识点精讲精析 平方根知识讲解
13·1 平方根要点精讲1. 平方根的概念（1）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：x 2＝a ，x 叫a 的平方根．（2）数a （a ≥0）的平方根记作±a ，读作“正负根号下a ”，其中a 表示a 的正的平方根，－a 表示a 的负的平方根；“a ”实际上省略了2a 中的2，2叫做根指数，a 叫做被开方数．2. 平方根的性质（1）正数有两个平方根，它们互为相反数．（2）0的平方根只有一个，还是0．（3）负数没有平方根．3. 算术平方根一个正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根还是0．（1）算术平方根的定义表明，只要是非负数就一定有算术平方根．（2）算术平方根是平方根的一种．（3）非负数的算术平方根还是非负数．a (a ≥0)， a ≥0常见的非负数的类型：︱a ︱，a 2，a (a ≥0)注：（1）要加强对平方根和算术平方根概念的理解，进一步明确非负数a 的算术平方根是a ，而平方根是±a ．（2）计算化简时要谨慎细心，如求81的平方根，需先算出81＝9，求81的平方根就是求9的平方根，而不是求81的平方根．（3）真正领会负数没有平方根．典型例题例1.求下列各数的平方根和算术平方根（1）12149（2）0.0081 （3）(－45)2 （4）14解析：（1）平方根是：±117，算术平方根是：117（2）平方根是：±0.09，算术平方根是：0.09（3）平方根是：±45，算术平方根是：45（4）平方根是：±14，算术平方根是：14例2.求下列各式中的x ．（1）9x 2－256＝0（2）4(2x －1)2＝25解析：（1）x 2＝2569，x ＝±163（2）把2x －1作为一个整体，则2x －1＝±52．当2x －1＝52时，x ＝74；当2x －1＝－52时，x ＝－344. ∵（1－2a ）2≥0，b －2≥0，又（1－2a ）2＋b －2＝0，∴（1－2a ）2＝0，b －2＝0，∴1－2a ＝0，b －2＝0，∴a ＝12，b ＝2，∴ab ＝1．例3.如果一个正数的平方根是a ＋3和2a －15，求a 的值和这个正数．分析：由平方根的意义可知a ＋3和2a －15互为相反数，故有a ＋3＋（2a －15）＝0，从而可以解得a ，进而求出这个正数．解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以（a ＋3）＋（2a －15）＝0，解得a ＝4．当a ＝4时，a ＋3＝7，2a －15＝－7．即这个正数的平方根分别是＋7和－7，所以原数为49．评析：解决本题的关键是利用一个正数的平方根是互为相反数的关系得到a 的一元一次方程，解方程求出a 的值，从而求出这个正数．例4.在交通事故的处理中，警察往往用公式v ＝16df 来判断该车辆是否超速，其中v 表示车速（单位：千米/时），d 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f 表示摩擦系数.某日，在一段限速60千米/时的公路上，发生了一起两车追尾事故，警察赶到后经过测量，得出其中一辆车的d ＝18，f ＝2. 请问：该车超速了吗？分析：运用公式，求出该车的速度，再与60千米/时进行比较，看是否超速便可解决. 解：把d ＝18，f ＝2代入公式v ＝16df 得v ＝1618×2＝16×6＝96（千米/时）.而96＞60，所以该车超速了.评析：平方根和立方根的知识在实际生活中应用非常广泛，因此数的发展与现实需要密不可分.例5.求下列各式中的x 的值．（1）x 2－676＝0；（2）9（3x ＋1）2＝64．分析：这是一道求平方根的题目．（1）x 2－676＝0可化为x 2＝676，x 的值就是676的平方根．（2）可将3x ＋1看作一个整体来解，即（3x ＋1）2＝649，所以3x ＋1是649的平方根，从而可求出x ．解：（1）∵x 2－676＝0，∴x 2＝676．∴x ＝±676＝±26．（2）∵9（3x ＋1）2＝64，∴（3x ＋1）2＝649，∴3x ＋1＝±649＝±83， 当3x ＋1＝83时，x ＝59； 当3x ＋1＝－83时，x ＝－119． 评析：解带有平方的方程时，首先应将方程化为一边是完全平方，另一边是一个非负数的形式，然后两边同时开平方，开方时一定要注意不要漏掉负的平方根，同时根据题目的特点，本题利用了一个重要的数学思想——整体思想．例6.对于题目：“化简并求值：1a ＋(1a －a )2，其中a ＝15”，甲、乙两人的解答不同． 甲的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝495， 乙的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋a －1a ＝a ＝15． 阅读后你认为谁的解答是错误的？为什么？分析：将a ＝15代入便知谁的解答正确． 解：乙的解答是错误的，因为当a ＝15时，1a＝5． a －1a ＝15－5＜0，所以(1a －a )2≠a －1a ，而应是(1a －a )2＝1a－A. 评析：在化简a 2时，一定要注意a 的符号，并且根据算术平方根的意义，a 2的结果应为非负数．例7.利用计算器计算： …，0.0625，0.625， 6.25，62.5，625，6250，62500，…计算后，分析结果，你发现了什么规律？分析：可分析开方前和开方后小数点的变化规律．解：用计算器计算结果如下：…，0.25，0.7906，2.5，7.906，25，79.06，250，…分析计算结果可以发现：被开方数的小数点每向右（左）移动两位，算术平方根的小数点相应地向右（左）移动一位．评析：可利用开平方时小数点的这一变化规律对一些数开平方．。
七年级下册数学期末考复习专题01平方根及立方根(知识点串讲)【含答案】
专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，a≥0．备注：20 ||00a aa a aa a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根练习1．（安徽四十二中中铁国际城校区初一期中）计算16的平方根为（）A．4±B．2±C．4 D．2±练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．3B．81C．3±D．81±例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）14的算术平方根是( )A．12±B．12-C．12D．116练习1．（六安市裕安中学初一期中）16的算术平方根是_____．练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。
例3．（·安徽初一期中）81的平方根是_________；364的算术平方根是_________.练习1．（·安徽初一月考）若2a-1和5-a是一个正数m的两个平方根，则m=_______练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.二. 立方根1．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果3x a=，那么x叫做a的立方根．记作：．2．立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．3．求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．备注：①符号中的根指数“3”不能省略；②对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．例1．（·安徽初一期中）64的立方根是（）A ．4B ．±4C ．8D ．±8练习1．（·淮南初一期中）下列说法中，不正确的是（ ） A ．8的立方根是2 B ．﹣8的立方根是﹣2 C ．0的立方根是0D ．64的立方根是±4练习2．（·北京市昌平区阳坊中学初二期中）8-的立方根是__________．例2．（合肥市第四十五中学初一期中）已知a +3和2a ﹣15是某正数的两个平方根，b 的立方根是﹣2，c 算术平方根是其本身，求2a +b ﹣3c 的值．练习1．（·淮南初一期中）已知5a 2+的立方根是3，3a b 1+-的算术平方根是4，c （1） 求a ，b ，c 的值；（2）求3a b c -+的平方根．练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n 的值.例3．（安徽初一期中）求下列各式中x 的值：（1）2x 2＝4； （2）64x 3 + 27＝0专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，a≥0．备注：||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根A试题分析：A、B、C、D都可以根据平方根和算术平方根的定义判断即可．解：A、﹣5是25的平方根，故选项正确；B、25的平方根是±5，故选项错误；C、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误；D、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误．故选A．练习1的平方根为（）A．4±B．2±C．4 D．B，又∵(±2)2=4，∴4的平方根是±2±2，故选B．练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．3B．81C．3±D．81±C解：9的平方根是3±.故选：C.例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）14的算术平方根是( )A ．12± B ．12-C ．12D ．116C本题解析: ∵211()24=， ∴14的算术平方根为12+，故选C.练习1 _____． 2，4的算术平方根是2，2.练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是 。
平方根总结知识点
平方根总结知识点一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于另一个数的操作，比如数a的平方根就是满足等式：x^2= a的x，记作√a。
1. 正数的平方根当a是非负实数时，存在一个非负实数x，使得x^2 = a成立，这个非负实数就是a的平方根。
如果a=0，则a的平方根为0；如果a>0，则a的平方根有两个，一个是正数，一个是负数。
比如，√9=3，-3。
2. 负数的平方根当a是负实数时，不存在任何实数x，使得x^2 = a成立，因此负数没有实数域内的平方根，这在实数范围内是没有意义的。
3. 复数的平方根如果a是负数，则我们可以在复数域内寻找a的平方根，因为复数域中规定了i^2 = -1，即虚数单位i的平方为-1。
因此，负数a的平方根可以表示为√a=i√|a|，其中|a|表示a的绝对值。
二、平方根的性质平方根具有一系列性质，这些性质对于平方根的运算和性质分析都有着重要的作用。
1. 非负实数的平方根性质（1）正数的平方根是非负实数，即√a≥0。
（2）如果a<b，则√a<√b。
（3）平方根的运算性质：a) √(ab) = √a * √bb) √(a/b) = √a / √b （其中b≠0）2. 负实数与复数的平方根性质（1）负实数的平方根是复数且成对出现，例如√-4 = 2i。
（2）负实数的平方根满足共轭关系：如果z是负数a的平方根，那么z的共轭z*也是负数a的平方根。
3. 平方根的运算规律（1）平方根的加减法计算：a) √a + √b = √(a + 2√ab + b)b) √a - √b = √(a - 2√ab + b)（2）平方根的乘除法计算：a) √ab = √a * √bb) √(a/b) = √a / √b （其中b≠0）三、平方根的计算方法1. 精确计算如果已知某个数的精确值，可以直接通过平方根的定义来计算，即求解方程x^2 = a。
但是这种方法对于大数来说较为繁琐，且无法精确计算出其平方根。
(完整版)平方根和立方根经典讲义
内容基本要求略高要求较高要求平方根、算术平方根了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根 会用平方运算求某些非负数的平方根立方根 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根会用立方根运算求某些数的立方根 实数了解实数的概念会进行简单的实数运算实数可按下图进行详细分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数实数与数轴上的点一一对应.(以下概念均在实数域范围内讨论) 平方根的定义及表示方法：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2x a=，则x就叫做a 的平方根．一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a”．算术平方根：一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为a ；有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根.知识点睛中考要求平方根和立方根一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥0a .平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．通过验算我们可以知道：⑴ 当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． ⑵ 平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若0a ≥，则2()a a =；②不管a 2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系．⑶若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<1a 2a 之间，即：120a a a ≤<范围．立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表3a ，其中“3”叫做根指数，不能省略. 前面学习的a 其实省略了根指数“2”2a a 3a “三次根号a ”2a “二次根号a ”a “根号a ”.任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．通过归纳我们可以知道：⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍． 33a a =，33()a a =⑶若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<， 31a 32a 33312a a a < 利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围．重、难点难点：平方根的性质【例1】 判断下列各题，并说明理由819±． ( ) a ( ) ⑶2a 的算术平方根是a ． ( ) ⑷ 2()5a -，则5a =-. ( ) 93=±. ( ) ⑹ 6-是2(6)-的平方根． ( ) ⑺ 2(6)-的平方根是6-．( )⑻ 若236x =，则366x =±=±. ( ) ⑼ 若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) ⑽ 如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． ( ) ⑾ 算术平方根一定是正数． ( ) ⑿ 2a -没有算术平方根． ( ) ⒀ 64的立方根是4±． ( )⒁ 1-是16-的立方根． ( )⒂ 33x x ． ( ) ⒃ 互为相反数的两个数的立方根互为相反数． ( ) ⒄ 正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根． ( )【例2】 ⑴ 若22(2)a =-，则a = ；若22()(3)x -=-，则x = .⑵ 22x +，则(25)x +的平方根是 ；若25x =，则x = .⑶ 21a =-，则a ；若20a a =，则a . ⑷ 当0m <，2m 的算术平方根是 .⑸ 2()a b -算术平方根是a b -，则a b .⑹ 若一个自然数的一个平方根是m ，那么比它大1的自然数的平方根是 .⑺ 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是，立方根等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .例题精讲⑴21(51)30x --=； ⑵3(100.2)0.027x -=-3312573511164168---33321600010.125-【例4】 已知某正数的两个平方根是35a -与1a +，求这个正数．【例5】 已知3(2)27a b +=-235a b -=，求21(3)n a b ++的值(n 为正整数).【例6】 求22221995199519961996+⋅+的平方根.【例7】 (人大附单元测试)已知a 为实数，且满足200201a a a --=，求2200a -的值.【练习1】若22(3)x =-，33(2)y =-，求x y +所有可能值．【练习2】一个数的平方根是22a b +和4613a b -+，求这个数．【练习3】(101数学实验班单元练习)已知2a -的平方根是2±，27a b ++的立方根是3，求22a b +的平方根．【练习4】(2007年成都)22(5)0a b -+=，那么a b +的值为 .【练习5】22111a ab -+-+=，求a ，b 的值.课堂作业【练习6】若a 、b 为实数，且|1|20a ab --，求1111(1)(1)(2)(2)(1993)(1993)ab a b a b a b +++++++++的值.1． ⑴ (安顺市中考题)16的平方根是 ；2( 2.5)-的平方根是 ；2(2)-的平方根是 .⑵ (威海中考题38的相反数是 ；64的立方根是 .⑶ 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根 等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 . ⑷ (江西省中考题)20n n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 ⑸ (上海市中考题)12x -=的根是 . 31.815848 1.2231815848- _____. 2． 若一正数的平方根是36a +与29a +，求这个正数．3． 已知x y +的负的平方根是3-，x y -的立方根是3，求25x y -的平方根. 4． 243a b x a -+=+3a +的算术平方根，323b a y b -+=-3b -的立方根，求y x -的立方根.5．已知：|1|2340a b a b -+--．求：24a b +的立方根． 家庭作业。
算术平方根平方根知识点
算术平方根平方根知识点算数平方根和平方根是数学中的基本概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。
本文将详细介绍算数平方根和平方根的定义、性质以及它们在数学中的应用。
一、算术平方根1.定义2.性质(1)非负数的算术平方根是唯一的。
例如，16的算术平方根是4，没有其他数字的平方等于16(2)正数的算术平方根一定是正数。
(3)零的算术平方根是0。
(4)负数没有实数的算术平方根。
3.求算术平方根的方法(1)直接开方法：对一个给定的数开平方根，找到一个数使得它的平方等于给定数。
例如，√16=4(2)近似开方法：通过计算和估算找到一个数，使得它的平方与给定数值相近。
例如，√25≈54.算术平方根的应用(1)几何学：算术平方根被用于计算直角三角形的斜边长度。
(2)物理学：算术平方根被用于计算速度、加速度和力的大小。
(3)经济学：算术平方根被用于计算方差和标准差，用于测量数据的离散程度。
二、平方根1.定义平方根是指一个数与自身相乘等于给定数的非负根。
例如，4的平方根为2，因为2×2=4、平方根也可以用符号√a来表示。
2.性质(1)非负数的平方根是唯一的。
例如，16的平方根是4，没有其他数字与自身相乘等于16(2)正数的平方根一定是正数。
(3)零的平方根是0。
(4)负数没有实数的平方根。
3.求平方根的方法(1)直接开方法：对一个给定的数开平方根，找到一个数使得它与自身相乘等于给定数。
例如，√16=4(2)近似开方法：通过计算和估算找到一个数，使得它与自身相乘与给定数相近。
例如，√25≈54.平方根的应用平方根在数学、物理学、工程学等领域有广泛的应用：(1)数学：平方根被用于解方程和求解二次函数的根。
(2)物理学：平方根被用于计算速度、加速度和力的大小。
(3)工程学：平方根被用于计算电阻、电容和感应电流等电路的参数。
综上所述，算术平方根和平方根是数学中的重要概念，它们具有丰富的性质和广泛的应用。
了解算数平方根和平方根的定义、性质以及求解方法，有助于加深对数学的理解，并在实际生活和学习中灵活运用。
(完整版)平方根知识点总结讲义
平方根 知识点总结【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a0，a ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥，是a 的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），解得m ＝1；∴m 的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22212111a -=⨯-=②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？2x 4x -11x x +-1x - 【答案与解析】解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x - (3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-义．(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．所以当1x ≥且3x ≠1x - 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．举一反三：【变式】已知4322232b a a =-+-+，求11a b +的算术平方根． 【答案】解：根据题意，得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．(1)2222252434-+；(2)111200.36900435--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)2222252434-+49257535==⨯=； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=【答案与解析】解：（1）∵23610x -=∴2361x =∴36119x ==±（2）∵()21289x +=∴1289x +=∴x ＋1＝±17x ＝16或x ＝－18.（3）∵()2932640x +-= ∴()264329x += ∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______； （3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32±；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b 是实数，26|20a b ++=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-． 【答案与解析】解：∵a 、b 26|20a b +-=260a +≥，|20b -≥，∴260a +=，20b -=．∴a =－3，2b =把a =－3，2b =2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．举一反三：2110x y -+=，求20112012x y +的值． 【答案】2110x y -+=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得32300x x ⋅=.26300x =.250x =.∵ x ＞0，∴ 50x = ∴ 长方形纸片的长为350cm .∵ 50＞49,507>.∴ 35021>, 即长方形纸片的长大于20cm .由正方形纸片的面积为400 2cm , 可知其边长为20cm ,∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.。
平方根知识点总结讲义
平方根知识点总结讲义平方根是数学中非常重要的概念，我们经常在各种计算和解题中都会用到。
以下是平方根的相关知识点总结：1.平方根的定义：平方根是指一个数的平方等于该数的非负实数解。
对于正数a，它的平方根记作√a。
2.平方根的性质：a)平方根的平方等于它本身，即(√a)^2=a。
b)任意正数的平方根是唯一的。
但是对于负数，它的平方根是虚数。
c) 平方根满足乘法的可交换性，即√(ab) = √a * √b。
3.平方根的运算法则：a) 平方根的和差：√a ± √b = √(a ± 2√ab + b)。
b)平方根的积除：√(a/b)=√a/√b。
c)乘法公式：(a±b)*(a∓b)=a^2-b^2、利用该公式，我们可以进行平方根的乘法运算。
4.求平方根的方法：a)通过查表或使用计算器可以求得近似值。
b)使用二分法逼近平方根的精确值。
c)使用牛顿迭代法来计算平方根的近似值。
5.特殊平方根值：a)2的平方根是无理数，它的近似值约为1.414b)3的平方根也是无理数，它的近似值约为1.7326.平方根的应用：a)平方根可以用于计算直角三角形的边长。
例如，根据毕达哥拉斯定理，两条边长分别为a和b的直角三角形的斜边长c可以通过√(a^2+b^2)来计算。
b)平方根在统计学中经常用到，例如计算标准差和方差等。
c)平方根还可以用于解决一些数论问题和代数方程等。
总结起来，平方根是数学中极为重要的概念之一、了解平方根的定义、性质和运算法则，掌握求解平方根的方法，以及理解平方根的应用，对于解决实际问题和提高数学能力都非常有帮助。
平方根知识点讲解(含例题)
1．算术平方根（1）定义一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的__________．（2）表示方法a的算术平方根记为__________，读作“根号a”，a叫被开方数．（3）算术平方根的性质①正数a；②0的算术平方根是0=__________；③负数__________算术平方根．被开方数a是非负数，即a≥0；0．2．平方根（1）平方根的概念一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的__________或二次方根．【注意】在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a≥0．（2）平方根的性质①一个正数a有__________”，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根．（3）开平方的概念求一个数a的平方根的运算，叫做__________．（4）利用平方根的定义解方程将各式转化为等号的左边是含x的一个式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如x2=m或（ax+b）2=m（m≥0），然后利用平方根的定义得到x=或ax+b=，进而得到原方程的解．3．平方根与算术平方根的区别（1）定义不同；（2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；（3）表示方法不同，正数a的平方根表示为，正数a；（4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．K知识参考答案：1．（1）算术平方根（23）0，没有2．（1）平方根（2）两（3）开平方一、求平方根和算术平方根若求一个算式的算术平方根，一般是先求出算式的值，再求出它的算术平方根，有时也可通过简单的变形化成一个正数的平方的形式，从而提高运算的速度和准确率．【例1】9的算术平方根是A B．-3 C．±3 D．3【答案】D【解析】∵32=9，∴9的算数平方根是3，故选D．【例2】（-2）2的算术平方根是A．2 B．±2 C．-2 D【答案】A【解析】∵（-2）2=4，4的算术平方根是2，∴（-2）2的算术平方根是2，故选A．【名师点睛】求一个式子的算术平方根时，先把这个式子化简，再按算术平方根的定义求化简所得数的算术平方根即可．【例3】25的平方根是A ．5B ．-5C ．D ．±5【答案】D【解析】∵（±5）2=25，∴25的平方根为±5，故选D ． 【例4】设a -3是一个数的算术平方根，那么A ．a ≥0B ．a >0C ．a >3D ．a ≥3 【答案】D【解析】∵3a -是一个数的算术平方根，∴30a -≥，解得3a ≥，故选D ．【名师点睛】本题考查的是算术平方根的“非负性”，即非负数a 0≥．【例5】下列说法正确的是①–是2的一个平方根 ②–4的算术平方根是2③的平方根是±2④0没有平方根A ．①②③B ．①④C ．①③D ．②③④ 【答案】C【解析】①–是2的一个平方根，正确；②–4没有算术平方根，错误； ③的平方根是±2，正确；④0有平方根，是0，错误；故选C ．【例6】求下列各式的值：（1；（2）；（3）4．【解析】（1=12．（2）=-0.9．（3）1114±．（4=56．二、算术平方根非负性的应用常用的三类非负性的表示形式：绝对值、偶次幂、算术平方根，当几个非负数的和为0时，则每一个非负数均为0，这一结论在解答许多数学问题中起着关键的作用．【例7】的值取最小值时，a 的取值为A ．0B ．−12C ．–1D ．1 【答案】B【解析】∵2a +1≥0的值取最小值时，2a +1=0，∴a 的取值为–12．故选B ． 【例8】若实数x ，y20（y +-=，则xy 的值为__________．【答案】【解析】根据题意得：200x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则xy=故答案为：． 【例9】x 、y0，则xy =__________．【答案】–6【解析】由题意可知：x +2=0，y –3=0，∴x =–2，y =3，∴xy =–6，故答案为：–6． 三、利用平方根的知识解方程先将方程转化为一个式子的平方等于一个非负数的形式，再利用开平方发求解．【例10】求下列各式中的x ．（1）x 2=17；（2）212149x -=0． 【解析】（1）因为2(17=，所以x=．（2）2121049x -=， 212149x =，x =117±． 【例11】求下列各式中x 的值：（1）4（x -1）2-16=0；（2）8（2x +1）3-1=0.【解析】（1）4（x -1）2-16=0，4（x -1）2=16，（x -1）2=4，x -1=±2，x =-1或x =3．（2）8（2x +1）2-1=0，8（2x +1）2=1，（2x +1）2=18，2x ，2x =-，x =-12-x =-12． 四、平方根和算术平方根定义和性质的综合运用若一个数的平方根是它本身，则这个数是0；若一个数的算术平方根是它本身，则这个数是0或1．【例12】若一个正数的算术平方根是a ，则比这个数大3的正数的平方根是A B ． C ．D ．【答案】C【解析】根据一个正数的算术平方根是a ，则这个正数为2a ，则比这个数大3的正数的平方根是C ．【例13】已知2a-1的平方根是±3b．【解析】∵2a-1的平方根是±3，∴2a-1=9，∴a=5，b，即16的算术平方根是b，∴b=4=3．【名师点睛】本题主要考查的是算术平方根和平方根的定义，由平方根和算术平方根的定义得到2a-1=9，b=4是解题的关键．【例14】已知9的算术平方根是a，b的平方是25，求ab的值．【名师点睛】本题目是一道考查平方根和算术平方根的问题，注意一个正数的平方根有两个，且互为相反数．。
第一讲 平方根与算术平方根
是 49 的平方根，即±
都有意义，则 a 的值是(
(A)a≥0 (B)a≤0 4、求下列各式 x 中的取值范围： (1) x 1 (2)
(C)a＝0
3 x 2x 4
(3) x 2 1
(4) 9 x 2 5、求下列各式的平方根： （1）
(5) 3 x
x3
(6) x 4
-2-
3. 性质： （1） ( a ) 2 a (a 0) （2） a 2 a ：①当 a 0 时， a 2 a ； ②当 a＜0 时， a 2 a 。 4、开平方：①求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，其中 a 叫被开方数； ②开平方是一种运算方法，与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算； ③平方与开平方互为逆运算. 例 6、求下列各数的平方根： （1）121； （2）
5 3 x 18
144 ； 49
（2） 10 12 ；
（3）
1 ； 16
（4） 17 2 152
6、求 x 值： ① x 2 24 25 ② 4 x 2 25 ③ ( x 0.7 ) 3 0.027
B 组：能力提升
1、若数轴上的点 A，B，C，D 表示数－2，1，2，3，则表示 (A) AB 上 (B) BC 上 (C) CD 上 (D) OB 上 的点 P 应在线段( ).
3
x x 有意义，则 x 1 的值是
；
；若
x
1 1 ＋ x 有意义，则 8 8
x=
5． （ 2012 江苏）已知 x 、 y 都是实数，且 y 是 . 6. .若 4a 1 有意义，则 a 能取得最小整数是（ A、0 B、1 C、 5 D、 4
平方根知识点总结
平方根知识点总结平方根，是数学中一个重要的概念，它在解决各种数学问题和实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，让我们一起深入了解平方根的相关知识。
一、平方根的定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
用数学语言表示为：若 x²＝ a，则 x 叫做 a 的平方根，记为±√a 。
例如，因为 3²＝ 9，（－3）²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3，即±√9 ＝ ±3 。
需要注意的是，正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
二、平方根的性质1、一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 4 的平方根是 ±2，2 和－2 互为相反数。
2、 0 的平方根是 0。
这是一个比较特殊的情况，因为 0 的平方还是 0 。
3、负数没有平方根。
因为任何数的平方都是非负数，所以负数不存在平方根。
4、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记为√a 。
例如，9 的算术平方根是 3，即√9 ＝ 3 。
三、平方根的表示方法平方根通常用符号“±√”来表示，读作“正负根号”。
例如，±√16 表示 16 的平方根，即 ±4 。
算术平方根则用“√”表示。
四、开平方运算求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方，其中 a 叫做被开方数。
开平方与平方互为逆运算。
例如，求 25 的平方根，就是进行开平方运算：±√25 ＝ ±5 。
五、平方根的应用1、在几何中例如，计算正方形的边长。
如果已知正方形的面积为16 平方厘米，那么它的边长就是面积的平方根，即√16 ＝ 4 厘米。
2、在实际生活中比如，在建筑工程中计算面积、体积等问题时，常常会用到平方根。
3、在数学计算中解方程时，也可能会涉及到平方根的运算。
六、平方根与立方根的区别1、定义不同平方根是指一个数的平方等于另一个数，那么这个数就是另一个数的平方根；而立方根是指一个数的立方等于另一个数，那么这个数就是另一个数的立方根。
平方根知识讲解
平方根【学习目标】1. 了解平方根、算术平方根的含义；2. 会表示、计算一个数的平方根、算术平方根.【要点梳理】【高清课堂：平方根、算术平方根知识要点】知识点一、算术平方根的定义一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为√a，读作“根号a”.a叫做被开方数.要点诠释：①算术平方根一定是正数.②负数没有算术平方根.③0的算术平方根是0.知识点二、算术平方根的性质特征：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.知识点三、平方根的定义一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.要点诠释：①正数有两个平方根，它们互为相反数.② 0的平方根是0.③负数没有平方根【典型例题】类型一、算术平方根的概念1、求下列各数的算术平方根（1）100 （2）4964（3） 2. 计算下列各式的值（1）√1（2）√925（3）−√0.493. 判断下列各式是否有意义？为什么？（1）-√3（2）√−3（3）√（−3）2（4）√0练 1、求下列各数的算术平方根（1）（2）81（3）322.计算下列各式的值（1）√9（2）√22（3）±√64 813.求下列x的取值范围，使得式子有意义. （1）√x（2）√x−1（3）√x2类型二、算术平方根的比较大小1、比较下列各组数的大小：（1）与 （2）与8类型三、平方根的概念1、 求下列各数的平方根．（1）100 （2）4964 （3） (4)32 2.判断下列说法是否正确（1）0的平方根是0；（2）1的平方根是1；（3）-1的平方根是-1；（4）是的一个平方根.练 1. 求下列各数的平方根．（1）49 （2）425 （3） (4)0 2. 判断下列说法是否正确（1）5是25的算术平方根；（2）56是2536的一个平方根； （3）(−4)2的平方根是-4；（4）0的平凡根与算术平方根都是0. 类型四、解方程（1）x 2=25；（2）x 2−81=0；（3）25x 2=36．。
算术平方根(二次根式)知识点汇总
算术平方根（二次根式）知识点汇总知识点一： 二次根式的概念： （0a ≥）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以0a ≥知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0没有意义。
0a ≥）的非负性0a ≥）表示a 的算术平方根，0a ≥）是一个非负数，0(0)a ≥≥注：（0a ≥）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（0a ≥0(0)a ≥≥这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用0=，则a=0,b=00b =，则a=0,b=020b =，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式2的性质 ：2(0)a a =≥文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式2(0)a a =≥是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则2a =，如：22=，212=.知识点五：二次根式的性质 a =文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注： 1、一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即a a ==(0)a ≥；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即(0)a a a ==-≤；2a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3a ，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：21、不同点：2与2表示一个正数a 的算术平方根的平a 的平方的算术平方根；在2中，0a ≥a 可以是正实数，0，负实数。
但2与20≥0≥.2、相同点：当被开方数都是非负数，即当0a≤时，2无意a≥时，20=-.a。
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平方根知识点汇总讲义
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平方根 知识点总结
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方
根．
【要点梳理】
要点一、平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数x 的平方等于a ，即2
x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a 的算术平方根记作a ，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.
要点诠释：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0.
2.平方根的定义
如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为(0)a a ±≥，其中a 是a 的算术平方根.
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a ±和a
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术
平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以
立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方
根来研究平方根.
要点三、平方根的性质 2(0)||0
(0)(0)
a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ ()()20a a a =≥
要点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.
【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．
【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －
1），解方程即可求解．
【答案与解析】
解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），
解得m ＝1；
∴m 的值为1．
【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：
【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.
【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22
212111a -=⨯-=
②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，
所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-=
2、x 为何值时，下列各式有意义？ (1)2x ； (2)
4x -； (3)11x x ++-； (4)13
x x --． 【答案与解析】
解：(1)因为20x ≥，所以当x 取任何值时，2x 都有意义． (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥时，
4x -有意义． (3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨
-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤时11x x ++-有意义．
(4)由题意可知：1030
x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．
所以当1x ≥且3x ≠时，
13x x --有意义． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．
举一反三：
【变式】已知4322232b a a =-+-+，求
11a b +的算术平方根． 【答案】
解：根据题意，得320,230.
a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以
b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b
+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算
3、求下列各式的值． (1)2222252434-+；(2)111200.36900435
--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序. 【答案与解析】
解：(1)2222252434-+49257535==⨯=； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72
=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．
类型三、利用平方根解方程
4、求下列各式中的x .
（1）23610;x -= （2）()2
1289x +=； （3）()2
932640x +-=
【答案与解析】
解：（1）∵23610x -=
∴2361x =
∴36119x =±=±
（2）∵()21289x +=
∴1289x +=±
∴x ＋1＝±17
x ＝16或x ＝－18.
（3）∵()2
932640x +-= ∴()2
64329
x += ∴8323
x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）
（3）小题中运用了整体思想分散了难度.
举一反三：
【变式】求下列等式中的x ：
（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2
169x =，则x ＝______； （3）若2
9,4
x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32±；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用
5、已知a 、b 是实数，且26|2|0a b ++-=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-． 【答案与解析】
解：∵a 、b 是实数，26|2|0a b ++-=，260a +≥，|2|0b -≥，
∴260a +=，20b -=．
∴a =－3，2b =
． 把a =－3，2b =代入2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．
【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．
举一反三： 【变式】若2110x y -+
+=，求20112012x y +的值． 【答案】 解：由2110x y -++=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．
①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．
②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．
6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm
的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符
合要求的长方形纸片.
【答案与解析】
解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得
32300x x ⋅=.
26300x =.
250x =.
∵ x ＞0，
∴ 50x =.
∴ 长方形纸片的长为350cm .
∵ 50＞49, ∴507>.
∴ 35021>, 即长方形纸片的长大于20cm .
由正方形纸片的面积为400 2
cm , 可知其边长为20cm ,
∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.
答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.。