平方根知识点汇总讲义

平方根知识点汇总讲义

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平方根 知识点总结

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方

根．

【要点梳理】

要点一、平方根和算术平方根的概念

1.算术平方根的定义

如果一个正数x 的平方等于a ，即2

x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a 的算术平方根记作a ，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.

要点诠释：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0.

2.平方根的定义

如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为(0)a a ±≥，其中a 是a 的算术平方根.

要点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a ±和a

2．联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术

平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以

立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方

根来研究平方根.

要点三、平方根的性质 2(0)||0

(0)(0)

a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ ()()20a a a =≥

要点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.

【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念

1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．

【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －

1），解方程即可求解．

【答案与解析】

解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），

解得m ＝1；

∴m 的值为1．

【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：

【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.

【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22

212111a -=⨯-=

②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，

所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-=

2、x 为何值时，下列各式有意义？ (1)2x ； (2)

4x -； (3)11x x ++-； (4)13

x x --． 【答案与解析】

解：(1)因为20x ≥，所以当x 取任何值时，2x 都有意义． (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥时，

4x -有意义． (3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨

-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤时11x x ++-有意义．

(4)由题意可知：1030

x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．

所以当1x ≥且3x ≠时，

13x x --有意义． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．

举一反三：

【变式】已知4322232b a a =-+-+，求

11a b +的算术平方根． 【答案】

解：根据题意，得320,230.

a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以

b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b

+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算

3、求下列各式的值． (1)2222252434-+；(2)111200.36900435

--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序. 【答案与解析】

解：(1)2222252434-+49257535==⨯=； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72

=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．

类型三、利用平方根解方程

4、求下列各式中的x .

（1）23610;x -= （2）()2

1289x +=； （3）()2

932640x +-=

【答案与解析】

解：（1）∵23610x -=

∴2361x =

∴36119x =±=±

（2）∵()21289x +=

∴1289x +=±