第11章 数的开方知识点总结
数开方知识点汇总
数的开方知识点汇总安皋二中八年级数学组一、平方根、算术平方根1、平方根的定义：假如一个数的平方等于 a 那么这个数就叫做数a 的平方根。
即假如 x2= a 那么 x 就是 a 有平方根。
2、平方根的性质：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0 的平方根是 0（3）负数没有平方根（由于任何数的平方都是一个非负数）3、平方根的表示方法一个非负数 a 的平方根可表示为± a ，读作正负根号 a其实它的完好写法是±2 a 我们称2是根指数，a叫做被开方数，叫根号，我们平时省略了根指数 2。
3、算术平方根（1、）定义：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。
（2）表示方法：一个非负数 a 的算术平方根可表示为a ，读作根号a,（3）算术平方根的性质：①正数有一个正的算术平方根。
②0 的算术平方根是 0 ③负数没有平方根，自然也没有算术平方根。
（4）a的两重非负性①第一， a 要存心义，第一被开方数一定是一个非负数。
②其次， a 表示一个非数的算术平方根，它的值不行能是一个负数，即它的值是一个非负数。
综上： a 中a≥0 a ≥0（5）初中所学的三类非负数ⅰ：绝对值非负即 |a| ≥0偶次ⅱ：偶次方非负即a≥0ⅲ：算术平方根非负即当 a≥0 时a≥0 4、立方根（1、）定义：假如一个数的立方等于 a 那么这个数就叫做 a 的立方根。
即假如 x3=a 那么 x 就是 a 的立方根。
（2、）立方根的表示方法：一数 a 的立方根表示为3a，读作三次根号 a此中 3 叫做根指数， a 叫被开方数。
（当根指数是 2 时能够省略，是 3 或其数时不可以省略）（3、）立方根的性质：任何数都有立方根且只有一个正数的立方根是一个正数， 0 的立方根是 0，负数的立方根是一个负数。
5、数的开方中的几个公式：（1）a2| a | (a 为随意实数 )（2、）（a）2=a (a ≥0)（3、）（3a）3= a （a 为随意实数）（4、）3a3a（a 为随意实数）（5、）- 3a =3a（a 为随意实数）6、实数与数轴（1、）无理数的定义：无穷不循环小数叫无理数（2、）实数的定义：有理数和无数统称为实数。
数的开方知识点
平方根与立方根知识点1、平方根：（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。
（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数B零有一个平方根，它是零本身C负数没有平方根（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。
要特别注意：a≠±a。
3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0.②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。
4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同2个数不同：3表示方法不同：联系：①具有包含关系：②存在条件相同：2、立方根：1.（1）定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，a 叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开平方。
（3）立方根的性质：A 正数有一个正立方根B 负数有一个负立方根C 零的立方根是零 （4）立方根的表示：数a 的立方根我们用符号 来表示，读作"三次根号a"，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。
注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1.3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0,b ≥0）。
(完整版)华师大版八年级数学上册知识点总结
八年级数学上册复习提纲第11章数的开方§11.1平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
（也叫做二次方根）即：若x2=a，则x叫做a的平方根。
2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。
它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。
二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a ≥0。
三、平方根和算术平方根是记号：平方根±a（读作：正负根号a）；算术平方根a（读作根号a）即：“±a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“a”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。
其中a叫做被开方数。
∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。
四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。
五、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
（也叫做三次方根）即：若x3=a，则x叫做a的立方根。
2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。
3、立方根的记号：3a（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。
3a中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。
六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。
七、注意事项：1、“±a”、“a”、“3a”的实质意义：“±a”→问：哪个数的平方是a；“a”→问：哪个非负数的平方是a；“3a”→问：哪个数的立方是a。
2、注意a和3a中的a的取值范围的应用。
如：若3x有意义，则x取值范围是。
（∵x-3≥0，∴x≥3）（填：x ≥3）若32009x -有意义，则x 取值范围是 。
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第十一章：数的开方
知识点内容备注
平方根概念:如果一个数的平方等于a，
那么这个数叫做a的平方根
算术平方根：正数a的正的平方根
记作：
性质：正数有两个平方根，它们互
为相反数，0的平方根是0，负数
没有平方根
考点：
（a的取值范围a）
②
()
③(a的取值范围为任意实
数)
④=
例：=（）=5
⑤=a(a为任意实数)
例：=2, =—
2
立方根概念：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根
性质：任何实数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0
实数1.包括有理数和无理数
2.实数与数轴上的点一一对应
常见的无理数（无限不循环小数）
有：①π
②开方开不尽的数，如，等
考点：判断下列的数哪些是无
理数？
有理数：分数和整数的统称
如：，, 0都是有理数
1。
第11章--数的开方知识点总结
第11章数的开方知识点总结平方根★1.平方根的定义: 如果一个数的________等于a,那么这个数叫做a的__________.2,那么________叫做________的__________.即如果ax★2.数的开方: 数的开方是一种运算,它包括开平方和开立方.（1）开平方: 求一个数的平方根的运算,叫做开平方;（2）开立方: 求一个数的________的运算,叫做开立方.★3.平方根的特征:（1）正数的平方根有________个,它们互为________;（2）0的平方根只有________个,是________,即它本身;（3）负数________平方根.★4.平方根的表示:非负数a的平方根表示为__________.其中a叫做__________,对a 的要求是________.★5.算术平方根非负数a的算术平方根表示为__________.★6.关于算术平方根正数的算术平方根只有________个,0的算术平方根是________,负数没有平方根,当然也就没有____________.算术平方根等于它本身的数有________个,分别是____________.平方根等于它本身的数有________个,是________.★7.()0≥a a 具有双重非负性:（1）0≥a ; （2）0≥a .★8.非负数的和为0的问题若几个非负数的和等于0,则每个非负数分别等于________. 若02=++C B A ,则______________________.★9.重要结论:（1）⎩⎨⎧==________________________2a （2）()=2a ________,()=-2a ________.（3）若A B B A --与都有意义,则____________.★10.新概念---完全平方数如果一个数是另一个整数的完全平方,那么这个数就叫做_______,如0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100等.完全平方数可以用于估算某些无理数的值,即开方开不尽的数. ★11.易错题例1. 16的平方根是________,16的平方根是________. 例2. 81的平方根是________,81的平方根是________. 例3. ()24-的平方根是________,算术平方根是________. 例4. 如果()=-=a a 则,6.122________. 例5. 2516的平方根是________,用数学式子表示为_______________. 例6. 若某个数的平方根只有一个,则这个数是______.若一个自然数的算术平方根是a ,则和这个自然数相邻的下一个自然数是________.★12.立方根的定义: 如果一个数的________等于a ,那么这个数叫做a 的________.一个数a 的立方根表示为________,其中a 可以是任何________. ★13.立方根的特征:（1）任何数都有________,且都只有________个;（2）正数的立方根是________数,0的立方根是________,负数的立方根是________;（3）立方根等于它本身的数有________个,分别是____________. ★14.关于立方根的结论:（1）33a a -=-,即三次根号内的负号可以移到根号的外面;（2）()=33a ________;（3）若=+=+B A B A 则,033________.★15.无理数的定义: ________________小数叫做无理数.如圆周率π就是一个无理数.★16.实数的定义: ________和________统称为实数.实数与数轴上的点是__________的.实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧等数）如开方开不尽，无理数（无限不循环小或无限循环小数）分数（可化为有限小数负整数正整数整数有理数π0 典型例题分析1.。
数的开方知识点与复习
数的开方知识点与复习在数学中，数的开方是一个常见的运算方法。
开方是求一个数的平方根，即找到一个数，使得它的平方等于给定的数。
本文将介绍数的开方的基本概念和方法，并提供相关的复习知识点。
一、开方的概念开方是数学中的一种运算方法，用于求给定数的平方根。
开方运算的结果称为方根。
例如，2的平方根是√2，记作√2 = 2^(1/2)。
二、整数的平方根1. 完全平方数的平方根完全平方数是指可以写成某个整数的平方的数。
例如，4、9、16等都是完全平方数。
完全平方数的平方根一定是一个整数。
例如，√4 = 2，√9 = 3。
2. 非完全平方数的平方根非完全平方数的平方根是无限不循环小数，不能精确表示为一个整数或有限小数。
我们通常使用近似值来表示非完全平方数的平方根。
例如，√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732。
三、分数的平方根分数的平方根是指对一个分数进行开方运算。
分数的平方根可以是一个整数或者一个无限循环小数。
例如，√(1/4) = 1/2，√(1/9) = 1/3。
四、小数的平方根小数的平方根是指对一个小数进行开方运算。
小数的平方根可以是一个无限循环小数，或者是一个不能写成有限小数或无限循环小数的数。
例如，√0.25 = 0.5，√0.8 ≈ 0.894。
五、负数的平方根在实数范围内，负数的平方根是无法表示为一个实数的。
这是因为假设有一个实数x，它的平方等于一个负数，即x^2 = -a，其中a为正数。
根据乘法的性质，两个正数相乘的结果是正数，因此不存在一个实数的平方等于负数。
六、复数的平方根为了解决负数的平方根问题，我们引入了虚数单位i，定义为i = √(-1)。
利用虚数单位i，我们可以定义复数，其中实部和虚部都可以是实数。
例如，√(-4) = 2i，√(-9) = 3i。
复习知识点：1. 完全平方数的特点；2. 完全平方数的平方根是一个整数；3. 如何使用近似值表示非完全平方数的平方根；4. 分数和小数的平方根的计算方法；5. 负数的平方根无法表示为一个实数，需要引入虚数单位i来定义复数；6. 虚数单位i的定义及其应用。
初中数学 华东师大版八年级上册 第11章数的开方知识点总结
数的开方知识点总结平方根定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根平方根的符号是±√2，根指数2一般省略不写平方根的性质：①一个正数有2个平方根且互为相反数②一个负数没有平方根③0只有一个平方根是0算术平方根的定义：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；0的算术平方根是0算术平方根的符号是√平方根是它本身的数是0立方根定义：如果一个数的立方是a ，那么这个数叫a 的立方根 立方根的符号：√3，根指数3不能省略立方根的性质：任何数都有立方根，且只有一个，而且与它本身的符号一致立方根的符号：√3，根指数3不能省略立方根的性质：任何数都有立方根，且只有一个，而且与它本身的符号一致典型例题：1. 解下列关于x 的方程：（1）29(32)16x +=；（2）31(21)42x -=-．2. 已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，3、 一个正数的平方根是27a -和4a +，求这个正数和a ．4、已知x -2的平方根是±2，2x +y +7的立方根是3，求x 2+y 2的平方根．5、求√7的整数部分和小数部分6、把下列各数分别填在相应的括号−12,3.1415，√3，−0.32,7.143，√，√……，π2，337，0，1π，，整数{ } 负数{ } 分数{ } 有理数{ }无理数{ }实数{有理数{ 整数{正整数0负整数分数{正分数负分数无理数{开方不尽特殊结构含π的数实数{有理数{整数{正整数√16,0：0负整数√−83，分数{正分数3.1415，7.143，337负分数−1，−0.32无理数{开方不尽√3，特殊结构5.3131131113……含π的数π2，1π。
干货｜初中数学数的开方知识点梳理
干货｜初中数学数的开方知识点梳理本章内容课标的要求● 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。
● 2.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算会求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
● 3.了解实数和无理数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数和绝对值。
● 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。
● 5.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。
如何落实课标的要求◆ 加强对平方根、算术平方根、立方根、实数和无理数的概念的理解。
在中学数学基础知识中，数学概念是最基本的内容，也是最普遍的形式。
所谓数学概念，是指数学名词和术语，尤其是数学名词。
学习数学最有意义的是对概念、定理、公式等结论的发现和抽象概括过程，我们把这些需要探究的概念、定理和公式纳入“探究”系列之中。
如：通过以下的填空题来加强对平方根、算术平方根、立方根的理解。
◆ 让学生根据平时学习的经验，熟记1-20的数的平方，1-9的数的立方。
◆ 对本章的知识点进行综合训练数学是一门系统科学，数学知识是由概念和原理组成的系统。
每个概念总是与其他概念有关系，每个概念都包含在某个系统中。
有时也可以用类比的方法来进行辨析，类比是根据两个或“两类”对象之间有部分属性相同，从而推出它们在某些方面的某种属性也可能相同的一种逻辑推理的方法。
包括从特殊到一般，从一般到特殊的推理。
其特点是:利用一些客观事物的相似性，以一个系统的研究为手段，获取另一个系统的信息。
请认真完成上述题目查看答案请下翻！。
数的开方知识点汇总
数的开方知识点汇总安皋二中八年级数学组一、平方根、算术平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数a的平方根。
即如果x2= a那么x就是a有平方根。
2、平方根的性质：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0的平方根是0（3）负数没有平方根（因为任何数的平方都是一个非负数）3、平方根的表示方法一个非负数a的平方根可表示为±a，读作正负根号a其实它的完整写法是±2a我们称2是根指数，a叫做被开方数，叫根号，我们平常省略了根指数2。
3、算术平方根（1、）定义：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。
（2）表示方法：一个非负数a的算术平方根可表示为a，读作根号a,（3）算术平方根的性质：①正数有一个正的算术平方根。
②0的算术平方根是0③负数没有平方根，当然也没有算术平方根。
（4）a的双重非负性①首先，a要有意义，首先被开方数必须是一个非负数。
②其次，a表示一个非数的算术平方根，它的值不可能是一个负数，即它的值是一个非负数。
综上：a中a≥0 a≥0（5）初中所学的三类非负数ⅰ：绝对值非负即|a|≥0ⅱ：偶次方非负即a偶次≥0ⅲ：算术平方根非负即当a≥0时a≥04、立方根（1、）定义：如果一个数的立方等于a那么这个数就叫做a 的立方根。
即如果x3=a那么x就是a的立方根。
（2、）立方根的表示方法：一数a的立方根表示为3a，读作三次根号a其中3叫做根指数，a叫被开方数。
（当根指数是2时可以省略，是3或其数时不能省略）（3、）立方根的性质：任何数都有立方根且只有一个正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数。
5、数的开方中的几个公式：（1）2a||a (a为任意实数)（2、）（a）2=a (a≥0)（3、）（3a）3= a（a为任意实数）（4、）a33（a为任意实数）a=（5、）-3a=3a-（a为任意实数）6、实数与数轴（1、）无理数的定义：无限不循环小数叫无理数（2、）实数的定义：有理数和无数统称为实数。
华师版八年级上学期第11章《数的开方》知识点整理及针对性训练
A、不循环小数是无理数B、分数不是有理数
C、有理数都是有限小数D、3.1415926是有理数
3、下列语句正确的是( )
A、3.78788788878888是无理数B、无理数分正无理数、零、负无理数
C、无限小数不能化成分数D、无限不循环小数是无理数
4、在直角△ABC中，∠C=90°，AC= ，BC=2，则AB为( )
④ 。其中正确的有( )
A、1个B、2个C、3个D、4个
知识点五、【无理数】：
1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率 以及含有 的一些数，如：2- ，3 等；（2）开方开不尽的数，如: 等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如： 等；无理数也不一定带根号，如： .
华师版八年级上学期第11章《数的开方》
知识点整理及针对训练
知识点一、【平方根】
如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根；
即：当 时，我们称x是a的平方根，记做： 。
因此：
1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
2、当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常
3 ， ， ， .
（6）将 用“＜”连接起来：___________________________。
（7）若 ，且 ，则 =。
（8）计算：
① ②
③
（9）已知 ，求代数式 的值。
（10）若等腰三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b满足 ，
华东师大版数学八年级上册第11章 单元综合复习《数的开方》知识点
《数的开方》知识点
1．平方根和算术平方根的概念及其性质：
（1）概念：如果2x a =，那么x 是a 的平方根，
记作：；
a 的算术平方根；
（2）性质：①当a ≥0
；当a ＜0
②2＝a
a =。
（3）开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，期中a 叫做被开方数.
2．立方根的概念及其性质：
（1）概念：若3x a =，那么x 是a
（2
a =；
②3a =；
（3）开立方：求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方，期中a 叫做被开方数.
3．有理数、无理数概念：
有理数：任何有限小数和无限循环小数都是有理数；
无理数：无限不循环小数叫做无理数.
4．实数的概念及其分类：
（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；
（2）分类：
a 按定义分
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数实数
b 按大小分:
实数
⎪⎩⎪⎨⎧负实数零正实数
在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大.
5．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的.。
华东师大版八年级上册 第11章数的开方知识点总结
数的开方知识点总结平方根定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根平方根的符号是±√2，根指数2一般省略不写平方根的性质：①一个正数有2个平方根且互为相反数②一个负数没有平方根③0只有一个平方根是0算术平方根的定义：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；0的算术平方根是0 算术平方根的符号是√平方根是它本身的数是0立方根定义：如果一个数的立方是a ，那么这个数叫a 的立方根 立方根的符号：√3，根指数3不能省略立方根的性质：任何数都有立方根，且只有一个，而且与它本身的符号一致立方根的符号：√3，根指数3不能省略立方根的性质：任何数都有立方根，且只有一个，而且与它本身的符号一致典型例题：1. 解下列关于x 的方程：（1）29(32)16x +=；（2）31(21)42x -=-．2. 已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，3、 一个正数的平方根是27a -和4a +，求这个正数和a ．4、已知x -2的平方根是±2，2x +y +7的立方根是3，求x 2+y 2的平方根．5、求√7的整数部分和小数部分6、把下列各数分别填在相应的括号−12,3.1415，√−83，−0.32,7.143，√3，√16,5.3131131113……，π2，337，0，1π，，整数{ } 负数{ } 分数{ } 有理数{ }无理数{ }实数{有理数{ 整数{正整数0负整数分数{正分数负分数无理数{开方不尽特殊结构含π的数实数{有理数{整数{正整数√16,0：0负整数√−83，分数{正分数3.1415，7.143，337负分数−1，−0.32无理数{开方不尽√3，特殊结构5.3131131113……含π的数π2，1π。
第11章 数的开方(单元小结)八年级数学上册(华东师大版)
单元小结
考点训练六 实数的混合计算
【例10】计算：
1
1
1
(1)(− − + )×(-36)；
3
12
36
6
(2) 27-4÷(-2)
1
【详解】（1）解：(−
12
1
−
36
1
6
+ ) ×(-36)
=3+1-6
=-2；
3
（2）解： 27-4÷(-2) =-3+2=-1．
单元小结
针对训练
1．计算： 25 − (
A．81 B．25
C．16
D．9
【详解】解：一个正数的两个平方根分别为5-a和2a-1，
5-a=-（2a-1）
解得：a=-4，
5-a=9
这个正数是81，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根的性质，解题关键是掌握正数的两个平方
根互为相反数．
单元小结
【例2】下列说法正确的是（ ）
A．2是4的平方根
B．-4的平方根是±2
单元小结
【例2】下列说法，其中错误的有（
）
① 81的平方根是9；
② 2是2的算术平方根；
③-8的立方根为±2；
④ 2 = ||．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【详解】解：①∵ 81=9，9的平方根是±3，
∴ 81的平方根是±3，原说法错误；
② 2是2的算术平方根，原说法正确；
③-8的立方根为-2，原说法错误；
02
=______，
1 2
( ) =______，
5
(−3)2 =______．
探究：当a≥0时， 2 =______；当a＜0时， 2 =______．
11、数的开方知识点与复习
数的开方知识点及复习(1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。
(2）开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.(3）平方根的表示：a 的平方根记作：a 2±±或a 。
a 叫做被开方 （4）求一个数的平方根的方法：利用平方和开平方互为逆运算(5）平方根的性质①一个正数有两个平方根,它们互为相反数②0有一个平方根,它是0本身③负数没有平方根。
（6）算术平方根的定义:非负数a 的正的平方根。
（7）算术平方根表示:一个非负数a 的平方根用符号表示为：“a ”，读作：“根号a ”，其中a 叫做被开方数（8）算术平方根的性质:①正数a 的算术平方根是一个正数；②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方根。
注:①算术平方根是非负数，具有非负数的性质;a （a≥0）是一个非负数, 即a ≥0； ②若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数;③平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1; ④非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：(a ）2=a （a ≥0）;⑤某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 2a =｜a|= ()()⎩⎨⎧<-≥00a a a a⑥平方根有三种表示形式：±a ，a ,－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根,非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。
要特别注意: a ≠±a ⑦平方根与算术平方根的区别与联系：区别:①定义不同 ②个数不同: ③ 表示方法不同：联系：①具有包含关系： ②存在条件相同： ③ 0的平方根和算术平方根都是0。
知识点二、立方根：(1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（也叫三次方根）。
如果x3=a ，则x 叫做a 的立方根。
记作：3a x = ,读作“三次根号a ” . （2）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方(3）求一个数的立方根的方法：利用立方和开立方互为逆运算（4）立方根的性质①一个正数有一个正的立方根，即若a>0,则03>a ②一个负数有一个负的立方根，即若a 〈0,则03<a ③0的立方根是0，即若a=0，则03=a .注：①若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；②立方根等于本身的数有0、1、—1. 典型例题：例1、x 为何值时，下列代数式有意义. (1）x 23+ （2）x x -+-22 （3）32+x （4）131-x (5）11-+x x （6）2)1(--x例2、已知2a-1的算术平方根是3，3a+b —1的平方根是4±，求a+2b 的平方根. 例3、若x 、y 都是实数，且233+-+-=x x y ，求x+3y 的平方根。
(完整word版)数的开方知识点汇总
数的开方知识点汇总安皋二中八年级数学组一、平方根、算术平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数a的平方根。
即如果x2= a那么x就是a有平方根。
2、平方根的性质：(1）正数有两个平方根,它们互为相反数。
（2）0的平方根是0（3）负数没有平方根（因为任何数的平方都是一个非负数）3、平方根的表示方法一个非负数a的平方根可表示为±a,读作正负根号a其实它的完整写法是±2a我们称2是根指数，a叫做被开方数,叫根号，我们平常省略了根指数2.3、算术平方根（1、）定义：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。
（2)表示方法:一个非负数a的算术平方根可表示为a,读作根号a，（3）算术平方根的性质：①正数有一个正的算术平方根。
②0的算术平方根是0③负数没有平方根，当然也没有算术平方根。
（4）a的双重非负性①首先，a要有意义，首先被开方数必须是一个非负数。
②其次，a表示一个非数的算术平方根，它的值不可能是一个负数,即它的值是一个非负数。
综上：a中a≥0 a≥0(5）初中所学的三类非负数ⅰ：绝对值非负即｜a｜≥0ⅱ：偶次方非负即a偶次≥0ⅲ：算术平方根非负即当a≥0时a≥04、立方根(1、)定义:如果一个数的立方等于a那么这个数就叫做a的立方根。
即如果x3=a那么x就是a的立方根。
（2、)立方根的表示方法：一数a的立方根表示为3a，读作三次根号a其中3叫做根指数，a叫被开方数。
（当根指数是2时可以省略,是3或其数时不能省略）（3、）立方根的性质:任何数都有立方根且只有一个正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数。
5、数的开方中的几个公式：（1）2a||a=（a为任意实数）(2、）（a）2=a （a≥0)（3、）（3a）3= a（a为任意实数)（4、）aa=33(a为任意实数）(5、）—3a=3a-（a为任意实数)6、实数与数轴（1、）无理数的定义：无限不循环小数叫无理数（2、）实数的定义：有理数和无数统称为实数。
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第11章数的开方知识点总结
平方根
★1.平方根的定义: 如果一个数的________等于a,那么这个数叫做a的__________.
2,那么________叫做________的__________.
即如果a
x
★2.数的开方: 数的开方是一种运算,它包括开平方和开立方.
（1）开平方: 求一个数的平方根的运算,叫做开平方;
（2）开立方: 求一个数的________的运算,叫做开立方.
★3.平方根的特征:
（1）正数的平方根有________个,它们互为________;
（2）0的平方根只有________个,是________,即它本身;
（3）负数________平方根.
★4.平方根的表示:
非负数a的平方根表示为__________.其中a叫做__________,对a 的要求是________.
★5.算术平方根
非负数a的算术平方根表示为__________.
★6.关于算术平方根
正数的算术平方根只有________个,0的算术平方根是________,负数没有平方根,当然也就没有____________.
算术平方根等于它本身的数有________个,分别是____________.
平方根等于它本身的数有________个,是________.
★7.()0≥a a 具有双重非负性:
（1）0≥a ; （2）0≥a .
★8.非负数的和为0的问题
若几个非负数的和等于0,则每个非负数分别等于________. 若02=++C B A ,则______________________.
★9.重要结论:
（1）⎩⎨⎧==________________________2
a （2）()=2a ________,()=-2a ________.
（3）若A B B A --与都有意义,则____________.
★10.新概念---完全平方数
如果一个数是另一个整数的完全平方,那么这个数就叫做_______,如0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100等.
完全平方数可以用于估算某些无理数的值,即开方开不尽的数. ★11.易错题
例1. 16的平方根是________,16的平方根是________. 例2. 81的平方根是________,81的平方根是________. 例3. ()2
4-的平方根是________,算术平方根是________. 例4. 如果()=-=a a 则,6.12
2________. 例5. 25
16的平方根是________,用数学式子表示为_______________. 例6. 若某个数的平方根只有一个,则这个数是______.若一个自然数的算术平方根是a ,则和这个自然数相邻的下一个自然数是________.
★12.立方根的定义: 如果一个数的________等于a ,那么这个数叫做a 的________.
一个数a 的立方根表示为________,其中a 可以是任何________. ★13.立方根的特征:
（1）任何数都有________,且都只有________个;
（2）正数的立方根是________数,0的立方根是________,负数的立方根是________;
（3）立方根等于它本身的数有________个,分别是____________. ★14.关于立方根的结论:
（1）33a a -=-,即三次根号内的负号可以移到根号的外面;
（2）()=33a ________;
（3）若=+=+B A B A 则,033________.
★15.无理数的定义: ________________小数叫做无理数.如圆周率π就是一个无理数.
★16.实数的定义: ________和________统称为实数.
实数与数轴上的点是__________的.
实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧等数）如开方开不尽，无理数（无限不循环小
或无限循环小数）分数（可化为有限小数负整数正整数整数有理数π0 典型例题分析
1.。