2021新高考数学专题23 期望、方差及正态分布的实际应用附参考答案3

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高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析

高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.已知某一随机变量X的分布列如下：且，则a＝__________；b＝__________。

【答案】，【解析】由得，又由得。

【考点】随机变量的期望2.某市公租房房屋位于A、B、C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中：(1)若有2人申请A片区房屋的概率；(2)申请的房屋在片区的个数的X分布列与期望．【答案】（1）（2）X的分布列为：X123【解析】解:(1)所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C·22种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为＝.(2)X的所有可能值为1,2,3.又p(X＝1)＝＝，p(X＝2)＝＝，p(X＝3)＝＝，综上知，X的分布列为：从而有E(X)＝1×＋2×＋3×＝.3.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有人独立来该租车点则车骑游．各租一车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求出甲、乙所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列与数学期望E(X)．【答案】(1) (2) 分布列X02468【解析】解：(1)所付费用相同即为0,2,4元．设付0元为P1＝×＝，付2元为P2＝×＝，付4元为P3＝×＝，则所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝.(2)设甲，乙两个所付的费用之和为X, X可为0,2,4,6,8.P(X＝0)＝P(X＝2)＝×＋×＝P(X＝4)＝×＋×＋×＝P(X＝6)＝×＋×＝P(X＝8)＝×＝.分布列E(X)＝＋＋＋＝.4.已知离散型随机变量X的分布列如表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.【答案】【解析】由题意知解得5.设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝p令随机变量X＝，则X的方差V(X)等于________．【答案】p(1－p)【解析】X服从两点分布，∴V(X)＝p(1－p)．6.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.(1)求乙至多击中目标2次的概率；(2)记甲击中目标的次数为Z，求Z的分布列、数学期望和标准差．【答案】(1) (2) Z的分布列如下表：【解析】解：(1)甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布，故乙至多击中目标2次的概率为1－33＝.C303＝；(2)P(Z＝0)＝C313＝；P(Z＝1)＝C323＝；P(Z＝2)＝C333＝.P(Z＝3)＝C3Z的分布列如下表：Z0123E(Z)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，D(Z)＝2×＋2×＋2×＋2×＝，∴＝.7.样本4，2，1，0，－2的标准差是：（）A．1B．2C．4D．【答案】D【解析】，样本4，2，1，0，－2的标准差是：=，选D。

期望与方差例题选讲(含详解)

概率统计（理）典型例题选讲(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)()(I card A card ＝n m ;等可能事件概率的计算步骤：① 计算一次试验的基本事件总数n ;② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n=求值;④ 答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B );特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件：独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.典型例题分析1.有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5.从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字和为ξ，求E ξ与D ξ.解：这3张卡片上的数字和ξ这一随机变量的可能取值为6，9，12，且“ξ=6”表示取出的3张卡上都标有2，则P（ξ=6)=.“ξ=9”表示取出的3张卡片上两张为2，一张为5，则P(ξ=9)=.“ξ=12”表示取出的3张卡片上两张为5，一张为2，则P(ξ=12)=.则期望Eξ=6×+9×+12×=7.8,方差Dξ=(6-7.8)2+(9-7.8)2+(12-7.8)2=3.36.2.（2010江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止。

2021版江苏高考数学复习讲义：离散型随机变量的均值与方差、正态分布含答案

考点1求离散型随机变量的均值、方差求离散型随机变量X的均值与方差的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值．(2)求X取每个值时的概率．(3)写出X的分布列．(4)由均值的定义求E(X)．(5)由方差的定义求D(X)．2．大豆是我国主要的农作物之一，因此，大豆在农业发展中占有重要的地位，随着农业技术的不断发展，为了使大豆得到更好的种植，就要进行超级种培育研究．某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试：选择一块营养均衡的可种植4株的实验田地，每株放入三粒“超级豆”种子，且至少要有一粒种子发芽这株豆苗就能有效成活，每株豆成活苗可以收成大豆2.205kg.已知每粒豆苗种子成活的概率为12(假设种子之间及外部条件一致，发芽相互没有影响)．(1)求恰好有3株成活的概率；(2)记成活的豆苗株数为ξ，收成为η(kg)，求随机变量ξ分布列及η的数学期望E η.[解](1)设每株豆子成活的概率为P 0，则P 0＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1－123＝78.所以4株中恰好有3株成活的概率P ＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫783⎝⎛⎭⎪⎫1－781＝3431024. (2)记成活的豆苗株数为ξ，收成为η＝2.205ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，78，所以ξ的分布列如下表：∴Eξ＝4×78＝3.5， Eη＝E (2.205ξ)＝2.205·Eξ＝7.717 5(kg)．考点2 均值与方差在决策中的应用P(X＝3)＝110×310×2＋15×25×2＝1150，P(X＝4)＝25×25＋310×15×2＝725，P(X＝5)＝25×310×2＝625，P(X＝6)＝310×310＝9100，∴X的分布列为X 0123456P110012532511507256259100(2)选择延保方案一，所需费用Y1元的分布列为：Y17 0009 00011 00013 00015 000P1710011507256259100EY1＝17100×7 000＋1150×9 000＋725×11 000＋625×13 000＋9100×15 000＝10720(元)．选择延保方案二，所需费用Y2元的分布列为：Y210 00011 00012 000P 671006259100EY2＝67100×10 000＋625×11 000＋9100×12 000＝10 420(元)．∵EY1＞EY2，∴该医院选择延保方案二较合算．考点3正态分布(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x ＝116＝9.97，s ＝＝)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.[解](1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.X 的数学期望E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.本题考查正态分布、概率统计问题的综合，是在知识网络的交汇处命制的一道较为新颖的试题．正态分布与统计案例有些知识点是所谓的高考“冷点”，由于考生对这些“冷点”的内容重视不够，复习不全面，一旦这些“冷点”知识出了考题，虽然简单但也做错，甚至根本不会做，因而错误率相当高．本题求解的关键是借助题设提供的数据对问题做出合理的分析，其中方差公式的等价变形是数据处理的关键点．。

高考数学离散型随机变量的期望及方差解答题

高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题考点预测和题型解析在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景，涉及主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。

属于基础题或中档题的层面。

高考中一定要尽量拿满分。

● 考题预测离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。

从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。

● 复习建议1．学习概率与统计的关键是弄清分布列,期望和方差在统计中的作用. 离散型随机变量的分布列的作用是：（1）可以了解随机变量的所有可能取值；（2）可以了解随机变量的所有取值的概率；（3）可以计算随机变量在某一范围内取值的概率。

2．离散型随机变量的分布列从整体上全面描述了随机变量的统计规律。

3．离散型随机变量的数学期望刻画的是离散型随机变量所取的平均值，是描述随机变量集中趋势的一个特征数。

4．离散型随机变量的方差表示了离散型随机变量所取的值相对于期望的集中与分散程度。

● 知识点回顾1．离散型随机变量的期望：（1）若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望（平均值、均值）简称为期望。

① 期望反映了离散型随机变量的平均水平。

② ξE 是一个实数，由ξ的分布列唯一确定。

③ 随机变量ξ是可变的，可取不同值。

④ ξE 是不变的，它描述ξ取值的平均状态。

（2）期望的性质：① C C E =)(为常数）C ( ② b aE b a E +=+ξξ)( 为常数）b a ,(③ 若),(~p n B ξ，则np E =ξ （二项分布）④ 若),(~p k g ξ，则pE 1=ξ （几何分布） 2．离散型随机变量的方差（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量ξ可能取的值为,,,,,21 n x x x 且这些值的概率分别为 ,,,,,321n p p p p则称 +-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2)(ε…；为ξ 的方差。

正态分布习题与详解(非常有用-必考点)

2001.若 x 〜N (0,1),求(I) P (-2.32< X <1.2) ; (2) P (x >2).解： ⑴ P (-2.32< x <1.2)=(1.2)-(-2.32)=(1.2)-[1-(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2) P (x >2)=1- P (x <2)=1-(2)=1-0.9772=0.0228.:2利用标准正态分布表，求标准正态总体 (1)在 N(1,4)下，求 F(3).2 ,(2)在 N(^,b )下，求F (卩一6,卩+6);3 1 解: (1) F (3) =( ) =0( 1)= 0.8413 2a( )0.975 ■ 200(2)F(y+b)= ( -------------- )=0( 1)= 0.8413F(y —b))=0 (— 1 )=1—0 ( 1 )= 1 - 0.8413 = 0.1587F(y — c,a+b)=F(a+b) — F(y — cr)0.8413 — 0.1587 = 0.68263某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为 1=，求总体落入区间(一1.2 , 0.2 )之间的概率.[0 ( 0.2 ) =0.5793,0 ( 1.2 ) (x )22~=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是f(x),x ()，它是偶函数,1说明” 0,f(x)的最大值为f()=亍，所以"1,这个正态分布就是标准正态分P( 1.2 x 0.2)(0.2)( 1.2) (0.2) [1 (1.2)] (0.2) (1.2) 10.5793 0.8848 10.46424.某县农民年平均收入服从 =500元,在500 : 520元间人数的百分比；(2) 的概率不少于0.95，则a 至少有多大？ =200元的正态分布 (1)求此县农民年平均收入如果要使此县农民年平均收入在( [0 ( 0.1 ) =0.5398,0 ( 1.96 ) a, a )内=0.975]解：设表示此县农民年平均收入,~ N(500,2002).P(500520 500(500 500.200 ')(0.1) (0) 0.5398 0.50.0398 ( 2 )a)(盘—)2 200(旦)10.95,200查表知：—1.961设随机变量X 〜 N (3,1), 若P(X4) p ,,则 J P(2<X<4)=—、11(A) p(B)l 一P C .l -2p D . - p22 【答案】C因为P(X 4) P(X 2)p ,所以 P(2<X<4)1 P(X 4) P(X2) 1 2p ,选C .2. （2010新课标全国理）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（）A . 100B . 200C . 300D . 400［答案］B［解析］记“不发芽的种子数为了，贝U 汁B(1 000,0.1)，所以E(8= 1 000 X 0.1= 100,而 X = 2E,故 E(X)= E(2 3= 2E( 3 = 200，故选 B.3.设随机变量3的分布列如下:3—10 1 Pabc其中a , b , c 成等差数列，若 E( 3 = 3,贝U D(3 =( )［答案］A［解析］设白球x 个，则黑球7— x 个，取出的2个球中所含白球个数为C 7-x 2 7 — x 6 — xP( 3= 0)= C 72 =42,x - 7 — x x 7 — x P( 3=1)= C 72 =21 ,C x 2 x x — 1P( 3= 2)= C 72 = 42 ,.x = 3.4A.9 B .1 2 9 C.3［答案］D［解析］由条件a , b , c 成等差数列知，2b = a + c ,由分布列的性质知 a + b + c = 1,又1 111 1E( 3 = — a + c = 3 解得 a= 6’ b= 3 c = 2，二 D(3= 6X2+21-「=舟.4. （2010上海松江区模考）设口袋中有黑球、白球共 7个，从中任取 2个球，已知取到白球个数的数学期望值为7，则口袋中白球的个数为（)A . 3 B . 4C . 5D . 23贝U 3取值0,1,2,0X7— x 6— x 42x 7 — x 21 + 2X X X —1 42 55.小明每次射击的命中率都为 p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数E 的期望值为4,方差为2，则p( &1)=()A 255B 9C 247D 7 A 256 B.256 C.256 D .64 ［答案］C［解析］由条件知旷B(n , P),E E = 4, np = 4 D E = 2n p 1 — p = 2 '1解之得，p = , n = 8, ••• P( = 0)= C 8°x 218= 2 8,1 1 1P( E= 1) = C 81x 2 1x2 7= 2 5，• P(E 1) = 1 — P( = 0) — P(E= 1)A . 2< 俘=淨，01=d2> d3B .皿> 俘=淨，d=d < dC . (J1= (J2<P 3, d 1< d 2= d 3D .小< p2= 3, d 1 = d < d 3 ［答案］D(^2(X)和g(X )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故3= 3，又屉(X)的对称轴的横坐标值比也(X)的对称轴的横坐标值大，故有 3<比 =3.又d 越大，曲线越“矮胖”，d 越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数咖(X)和侯(X )的图象一样“瘦高”，松(X )明显“矮胖”，从而可知d= d < d .6①命题"X R,cosx 0 ”的否定是：“ X R,cosx 0 ”； ②若lg a lg b lg( a b),则a b 的最大值为4； ③定义在R 上的奇函数f(X)满足f (X 2)f(X),则f(6)的值为0;=1— 18— 1 5= 24Z2 2 256. 5已知三个正态分布密度函数则()1XX )= 2 nd e —.2X —d^(x € R , 2 di = 1,2,3)的图象如图所示,［解析］正态分布密度函数<>④已知随机变量服从正态分布 N(1, 2),P( 5) 0.81,则P( 3) 0.19 ;其中真命题的序号是 ________ (请把所有真命题的序号都填上 ).【答案】①③④ ①命题“ x R,cosx 0”的否定是：“ x R,cosx 0 ”；所以① 正确.②若 lg a lg b lg( a b),则 Ig ab lg( a b),即 ab a b,a 0,b 0 .所以a b 22ab a b(/,即(a b) 4(a b),解得a b 4,则a b 的最小值为4;所以②错误.③定义在R 上的奇函数f( x)满足f ( x 2) f ( x),则f (x 4) f(x),且 f (0) 0,即函数的周期是 4.所以 f (6) f(2) f (0)0;所以③正确④已知随机变量服从正态分布2N(1, ),P(5) 0.81 ,则P( 5) 1 P(5) 1 0.81 0.19 ,所以 P(3) P( 5)0.19 ;所以④正确，所以真命题的序号是①③④.7、在区间［1,1］上任取两数 m 和n ,则关于x 的方程x 2 mx n 2 0有两不相等实根的概率为 ____________ .1【答案】—由题意知1 m 1, 1 n 1.要使方程x2 mx n 2 0有两不相等实4根，则 2=m 4n 2 0 , 即(m 2n )(m 2n) 0 . .作出对应的可行域，如图直线m 2n 0,m2n0 , 当 m1 时 1 1, n C—, n B—,所以SO111 1所以方程22 2BC 一 1 [( )xmx n 0有两不相等实根的概率为2 2222S OBC2 1 2 12 24 4'⑶ 随机变量X 服从正态分布 N(1,2),则P(X 0) P(X 2)；2 1⑷ 已知a,b R ,2a b 1,则一一 &其中正确命题的序号为 ________________________ .a b【答案】⑵(3)(1)2G lnx 〔2 ln2 ,所以⑴错误.(2)不等式1x|x 1| |x 3|的最小值为4,所以要使不等式|x 1|2 1⑵正确.(3)正确.(4)--a b所以⑷错误，所以正确的为 ⑵(3).场中的得分如图所示，则该样本的方差为7 2 3频数为A . 26B . 25C . 23D . 18【答案】D 样本的平均数为23,所以样本方差为1 [(19 523)2 (20 23)2 (22 23)2 (23 23)2(31 2 23)] 18,选 D3有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示 ,据图估计，样本数据在8,10内的21dx 1 x3.，⑵不等式|x 1|| x 3| a 恒成立,则a 4;| x 3| a 成立,则a 4,所以2已知某篮球运动员 2012年度参加了 40场比赛,现从中抽取 5场,用茎叶图统计该运动员2 1(a 严 b) 4 19,【答案】C样本数据在 8,10之外的频率为（0.02 0.05 0.09 0.15） 2 0.62,0.38 200 76,选 C .1的概率为,选 B .45从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为2【答案】25_3从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有C 5 10种.则3个数能构成等差数列的42所以样本数据在8,10内的频率为1 0.62 0.38,所以样本数据在 8,10的频数为4. （ 2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）的正方形OABC 中任取一点P,则点 1 A .3【答案】（x x 3）dxP 恰好取自阴影部分的概率为B .14【答案】B12141（c XX ） C.D.-5 6根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为11,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分4如图所示，在边长为I 第孕期图4 2.有,1,2,3;2,3, 4;3,4,5;1,3,5;有4种，所以这个数可以构成等差数列的概率为10 5。

高中数学选修2-3 北师大版正态分布的应用课后作业(含答案)

04课后课时精练1. 设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：解法一：由P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)可知2＝(c ＋1)＋(c －1)2，解得c ＝2.解法二：∵P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，∴正态密度曲线关于x ＝c 对称，又N (2,9)，∴c ＝2. 答案：B2. [2014·广东高二检测]已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.6826，则P (X >4)等于( )A ．0.1588B ．0.1587C ．0.1586D ．0.1585解析：由于X ～N (3,1)，故正态分布密度曲线的对称轴为直线x ＝3，所以P (X >4)＝P (X <2)，故P (X >4)＝1－P (2≤X ≤4)2＝0.1587，故选B.答案：B3. 设X ～N (10,0.8)，则D (2X ＋1)等于( ) A ．1.6 B ．3.2 C ．6.4D ．12.8解析：∵X ～N (10,0.8)，∴D (X )＝0.8，∴D (2X ＋1)＝4DX ＝3.2. 答案：B4. [2014·合肥高二检测]如图是正态分布N(μ，σ21)，N(μ，σ22)，N(μ，σ23)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是() A．σ1>σ2>σ3B．σ3>σ2>σ1C．σ1>σ3>σ2D．σ2>σ1>σ3解析：由σ的意义可知，图像越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.答案：A5. [2014·开封高二检测]为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数是()A．997 B．954C．819 D．683解析：由题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，从而属于正常情况的人数是1000×0.6826≈683.答案：D6. 某厂生产的零件外径ξ～N(10,0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm,9.3 cm，则可认为()A．上午生产情况正常，下午生产情况异常B．上午生产情况异常，下午生产情况正常C．上午、下午生产情况均正常D．上午、下午生产情况均异常解析：因测量值ξ为随机变量，又ξ～N(10,0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，记I＝(μ－3σ，μ＋3σ)＝(9.4,10.6)，9．9∈I,9.3∉I，故选A.答案：A7. [2014·日照高二检测]设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ>3)＝P(ξ<－1)，则Eξ＝________.解析：ξ～N(μ，σ2)，∴μ＝3＋(－1)2，∴μ＝1，∴Eξ＝μ＝1.答案：18. 设随机变量X～N(1,22)，则Y＝3X－1服从的总体分布可记为________．。

数学期望练习题及答案

数学期望练习题及答案数学期望练习题及答案数学期望是概率论中的一个重要概念，用来描述随机变量的平均值。

在实际应用中，数学期望有着广泛的应用，涉及到各个领域，如金融、经济、工程等。

本文将介绍一些数学期望的练习题，并提供详细的解答。

练习题一：某公司有三个部门，分别是销售部门、人力资源部门和研发部门。

销售部门的年度利润为100万元，人力资源部门的年度利润为50万元，研发部门的年度利润为80万元。

假设每个部门的年度利润变化服从正态分布，且销售部门、人力资源部门和研发部门的年度利润变化的标准差分别为20万元、10万元和15万元。

求该公司的年度利润的数学期望。

解答：设销售部门的年度利润变量为X1，人力资源部门的年度利润变量为X2，研发部门的年度利润变量为X3。

根据数学期望的定义，公司的年度利润的数学期望E(X)等于各个部门年度利润的数学期望之和。

E(X) = E(X1) + E(X2) + E(X3)由于X1、X2、X3分别服从正态分布，且均值分别为100万元、50万元和80万元，所以各个部门年度利润的数学期望分别为100万元、50万元和80万元。

因此，公司的年度利润的数学期望为：E(X) = 100万元 + 50万元 + 80万元 = 230万元练习题二：某电商平台上有三个商家A、B、C，分别销售商品a、b、c。

商家A销售商品a的销售额为1000元，商家B销售商品b的销售额为2000元，商家C销售商品c的销售额为3000元。

假设每个商家的销售额变化服从正态分布，且商家A、B、C的销售额变化的标准差分别为500元、700元和900元。

求该电商平台的总销售额的数学期望。

解答：设商家A的销售额变量为X1，商家B的销售额变量为X2，商家C的销售额变量为X3。

根据数学期望的定义，电商平台的总销售额的数学期望E(X)等于各个商家销售额的数学期望之和。

E(X) = E(X1) + E(X2) + E(X3)由于X1、X2、X3分别服从正态分布，且均值分别为1000元、2000元和3000元，所以各个商家销售额的数学期望分别为1000元、2000元和3000元。

2021年全国新高考卷数学试题含答案

2021年全国新高考卷数学试题含答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^2 + 12. 已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B等于（）A. {x|0＜x＜2}B. {x|0＜x≤2}C. {x|0≤x＜3}D. {x|0≤x≤2}3. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3=3，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数z的模等于（）A. 0B. 1C. 2D. z5. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A. y = e^xB. y = ln(x)C. y = x^2D. y = 1/x二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个平行线的斜率相等。

（）2. 若矩阵A可逆，则其行列式值不为0。

（）3. 任何两个实数的和都是实数。

（）4. 二项式展开式中，各项系数的和等于2的n次方。

（）5. 函数y = x^3在区间（∞，+∞）上单调递增。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若向量a=(1，2)，b=(1，3)，则向量a与向量b的夹角余弦值为______。

2. 在等比数列{bn}中，若b1=2，公比q=3，则b6=______。

3. 若函数f(x)=3x^24x+1，则f'(x)=______。

4. 三角形内角和为______。

5. 圆的标准方程为(xa)^2+(yb)^2=r^2，其中圆心坐标为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的极值的定义。

2. 什么是排列组合？请举例说明。

3. 请写出余弦定理的公式。

4. 简述概率的基本性质。

5. 举例说明平面向量的线性运算。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=x^22x+1，求f(x)的最小值。

2. 设有4个红球，3个蓝球，求从中任取3个球，恰有2个红球的概率。

高三数学随机变量的期望与方差试题答案及解析

高三数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，则ξ的数学期望为()A．B．C．D．【答案】B【解析】由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x＝1，解得x＝0.018，∴成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成绩在90分以上(含90分)的学生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴ξ的分布列为ξ012∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.选B.2.某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩游戏的得分.若=4.2，则小白得5分的概率至少为 .【答案】【解析】设＝1,2,3,4,5的概率分别为，则由题意有，，对于，当越大时，其值越大，又，因此，所以，解得．【考点】随机变量的均值（数学期望），排序不等式．3.（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=_________．【答案】【解析】由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，∵P（X=0）=，∴，∴p=，P（X=1）=+=P（X=2）==，P（X=3）=1﹣=，∴E（X）==，故答案为：4.已知离散型随机变量ξ1的概率分布为离散型随机变量ξ2的概率分布为求这两个随机变量数学期望、方差与标准差．【答案】4；4；0.2.【解析】E(ξ1)＝1×＋2×＋…＋7×＝4；V(ξ1)＝(1－4)2×＋(2－4)2×＋…＋(7－4)2×＝4，σ1＝＝2.E(ξ2)＝3.7×＋3.8×＋…＋4.3×＝4；V(ξ2)＝0.04，σ2＝)＝0.2.5.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为E(X)＝________．【答案】【解析】用分布列解决这个问题，根据题意易知X＝0，1，2，3.列表如下：X0123所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.6.为防止山体滑坡，某地决定建设既美化又防护的绿化带，种植松树、柳树等植物．某人一次种植了n株柳树，各株柳树成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活柳树的株数，数学期望E(ξ)＝3，标准差σ(ξ)为.(1)求n、p的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的柳树未成活，则需要补种，求需要补种柳树的概率．【答案】（1）n＝6，p＝，（2）【解析】(1)由E(ξ)＝np＝3，(σ(ξ))2＝np(1－p)＝，得1－p＝，从而n＝6，p＝，ξ的分布列为(2)记“需要补种柳树”为事件A,则P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝.7.甲向靶子A射击两次，乙向靶子射击一次.甲每次射击命中靶子的概率为0.8，命中得5分；乙命中靶子的概率为0.5，命中得10分.（1）求甲、乙二人共命中一次目标的概率；（2）设X为二人得分之和，求X的分布列和期望.【答案】（1）0.18；（2）详见解析.【解析】本题主要考查二项分布、独立事件、随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由题意分析，“甲乙二人共命中”共有2种情况：一种是甲射击2次中一次、乙没中，一种情况是甲射击2次都没中、乙中一次；第二问，由题意分析：甲乙射击是否命中有以下几种情况：1.甲2次都没中、乙没中，2.甲2次都没中、乙中一次，3.甲2次中一次、乙没中，4.甲2次中1次、乙中1次，5.甲2次都中、乙没中，6.甲2次都中、乙中一次，共6种情况，所以得分情况分别为0分、5分、10分、15分、20分，共5种情况，分别与上述情况相对应，求出每一种情况的概率，列出分布列，再利用计算数学期望.试题解析：（1）记事件“甲、乙二人共命中一次”为A，则P(A)＝0.8×0.2×0.5＋0.22×0.5＝0.18． 4分（2）X的可能取值为0，5，10，15，20．P(X＝0)＝0.22×0.5＝0.02，P(X＝5)＝0.8×0.2×0.5＝0.16，P(X＝10)＝0.82×0.5＋0.22×0.5＝0.34，P(X＝15)＝0.8×0.2×0.5＝0.16，P(X＝20)＝0.82×0.5＝0.32．X的分布列为X05101520X的期望为E(X)＝0×0.02＋5×0.16＋10×0.34＋15×0.16＋20×0.32＝13． 12分【考点】二项分布、独立事件、随机变量的分布列和数学期望.8.现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，（0<t<2），且三个人是否应聘成功是相互独立的.（1）若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值；（2）记应聘成功的人数为，若当且仅当为=2时概率最大，求E（）的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）乙、丙有且只有一个人应聘成功分为乙成功且丙不成功和乙不成功且丙成功两种情况，根据相互独立事件有一个发生的概率公式列出关于t的方程，解之即可.（2）写出随机变量的所有可能取值，然后计算出相应的概率，列出分布列，求出E（）的表达式，由于=2时概率最大，可得，，，而0<t<2，解得，即得E（）的取值范围..试题解析：（1）由题意得，解得. 3分（2）的所有可能取值为0，1，2，3；；；.故的分布列为：7分. 8分由题意得：，，，又因为所以解得的取值范围是. 11分. 12分【考点】1.相互独立事件的概率；2.随机变量的分布列和数学期望.9.甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8，设随机变量为两人中能达标的人数，则的数学期望为．【答案】1.6【解析】甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8.所以相当与他们是独立性重复的实验，所以=，即=.【考点】1.独立性重复试验.2.数学期望的公式.10.生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：81240328（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下；（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为（Ⅱ）（i）（ii）所以的分布列为：1509030-30【解析】（Ⅰ）用频率估计概率值;（Ⅱ）设出随机变量,确定随机变量的所有可能取值,求出各个取值的概率,列出概率分布表,从而得出答案.试题解析：（Ⅰ）由题可知元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为。

高中数学高考总复习离散型随机变量的期望方差及正态分布习题及详解

高中数学离散型随机变量的期望方差及正态分布习题及详解一、选择题1．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400 2．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A ．49B ．－19C ．23D ．593．某区于2010年元月对全区高三理科1400名学生进行了一次调研抽测，经统计发现5科总分ξ(0<ξ<750)大致服从正态分布N (450,1302)，若ξ在(0,280)内取值的概率为0.107，则该区1400名考生中总分为620分以上的学生大约有(结果四舍五入)( )A ．100人B ．125人C ．150人D ．200人 4．下列判断错误的是( )A ．在1000个有机会中奖的号码(编号为000～999)中，有关部门按照随机抽取的方式确定后两位数字是09号码为中奖号码，这是用系统抽样方法确定中奖号码的；B ．某单位有160名职工，其中业务人员120名，管理人员24名，后勤人员16名．要从中抽取容量为20的要本，用分层抽样的方法抽取样本；C ．在正常条件下电子管的使用寿命、零件的尺寸，在一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积的产量等一般都服从正态分布；D ．抛掷一枚硬币出现“正面向上”的概率为0.5，则某人抛掷10次硬币，一定有5次出现“正面向上”． 5．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．26．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( )A ．39元B ．37元C ．20元D ．1003元7．某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800、600、0的四个球(球的大小相同)，参与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即放回)，公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金(元)，并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次，但是所得奖金减半(若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会)，求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．( )A ．450元B ．900元C ．600元D ．675元8．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A ．255256B ．9256C ．247256D ．7649．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a ，平局的概率为b ，负的概率为c (a ，b ，c ∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab 的最大值为( )A ．13B ．12 C．112 D ．1610．已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 二、填空题11．如图，A 、B 两点间有5条线并联，它们在单位时间内能通过的信息量依次为2,3,4,3,2.现从中任取3条线且记在单位时间内通过的信息总量为ξ.则信息总量ξ的数学期望为________．12．产量相同的机床Ⅰ、Ⅱ生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数X 1、X 2的分布列分别如下：两台机床中，较好的是________，这台机床较好的理由是________． 13．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512.现甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数．（1）袋中原有白球的个数为________．（2）随机变量X 的数学期望E (X )＝________.14．如果随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，且D (ξ)＝2，则E (pξ－D (ξ))＝________. 三、解答题15．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课程互不影响，已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．（1）记“函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率；（2）求ξ的分布列和数学期望．16．高二下学期，学校计划为同学们提供A 、B 、C 、D 四门方向不同的数学选修课，现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习(受条件限制，不允许多选，也不允许不选)．（1）求3位同学中，选择3门不同方向选修的概率；（2）求恰有2门选修没有被3位同学选中的概率；（3）求3位同学中，选择选修课程A 的人数ξ的分布列与数学期望．17．设两球队A 、B 进行友谊比赛，在每局比赛中A 队获胜的概率都是p (0≤p ≤1)．（1）若比赛6局，且p ＝23，求其中A 队至多获胜4局的概率是多少？（2）若比赛6局，求A 队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？（3）若采用“五局三胜”制，求A 队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望．参考答案1. [解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.2. [解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59. 3. [解析] 由条件知，P (ξ>620)＝P (ξ<280)＝0.107,1400×0.107≈150. 4.[答案] D 5．[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3.6. [解析] ξ的分布列为∴E (ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×7.[解析] 摸到数字0的概率为14，再摸一次，故得500元、400元、300元、0元的概率分别为14×14＝116，故分布列为∴E (ξ)＝1000×14＋800×14＋600×14＋500×116＋400×116＋300×116＋0×116＝675.8. [解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2，解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128，P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.9. [解析] 由条件知，3a ＋b ＝1，∴ab ＝13(3a )·b ≤13·⎝⎛⎭⎫3a ＋b 22＝112，等号在3a ＝b ＝12，即a ＝16，b ＝12时成立．10．[答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.11. [解析] 由题意得，ξ的可能取值为7,8,9,10. ∵P (ξ＝7)＝C 21C 22C 53＝15，P (ξ＝8)＝C 21C 22＋C 22C 11C 53＝310，P (ξ＝9)＝C 21C 21C 11C 53＝25，P (ξ＝10)＝C 22C 11C 53＝110，∴ξ的分布列为：E (ξ)＝15×7＋310×8＋25×9＋110×10＝425.12.[答案] Ⅱ 因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2) 13．[答案] (1)6 (2)107[解析] (1)设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为C n 2C 92＝512，即n (n －1)29×82＝512，化简得n 2－n －30＝0.解得n ＝6或n ＝－5(舍去)．故袋中原有白球的个数为6. (2)由题意，X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝69＝23；P (X ＝2)＝3×69×8＝14；P (X ＝3)＝3×2×69×8×7＝114；P (X ＝4)＝3×2×1×69×8×7×6＝184.所以X 的概率分布列为：所求数学期望E (X )＝1×23＋2×14＋3×114＋4×184＝107.14．[答案] 0[解析] ∵ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，∴np ＝4，又∵D (ξ)＝2，∴np (1－p )＝2，∴p ＝12，∴E (pξ－D (ξ))＝E (12ξ－2)＝12E (ξ)－2＝0.15．[解析] 设该学生选修甲、乙、丙的概率分别是x ，y ，z ，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧x (1－y )(1－z )＝0.08xy (1－z )＝0.121－(1－x )(1－y )(1－z )＝0.88，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.4y ＝0.6z ＝0.5.(1)∵函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数，∴ξ＝0. ξ＝0表示该学生选修三门功课或三门功课都没选． ∴P (A )＝P (ξ＝0)＝xyz ＋(1－x )(1－y )(1－z ) ＝0.4×0.6×0.5＋0.12＝0.24. (2)依题意ξ＝0,2，则ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×0.24＋2×0.76＝1.52.16．[解析] (1)设3位同学中，从4门课中选3门课选修为事件M ，则P (M )＝A 4343＝38.(2)设3位同学中，从4门课中选3门课选修，恰有2门没有选中为事件N ，则P (N )＝C 42C 32A 2243＝916. (3)由题意，ξ的取值为0、1、2、3.则P (ξ＝0)＝3343＝2764，P (ξ＝1)＝C 31×3×343＝2764，P (ξ＝2)＝C 32×343＝964，P (ξ＝3)＝143＝164.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.17．[解析] (1)设“比赛6局，A 队至多获胜4局”为事件A ，则P (A )＝1－[P 6(5)＋P 6(6)]＝1－⎣⎡⎦⎤C 65⎝⎛⎭⎫235⎝⎛⎭⎫1－23＋C 66⎝⎛⎭⎫236＝1－256729＝473729. ∴A 队至多获胜4局的概率为473729.(2)设“若比赛6局，A 队恰好获胜3局”为事件B ，则P (B )＝C 63p 3(1－p )3. 当p ＝0或p ＝1时，显然有P (B )＝0.当0<p <1时，P (B )＝C 63p 3(1－p )3＝20·[p (1－p )]3≤20·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫p ＋1－p 223＝20·⎝⎛⎭⎫126＝516 当且仅当p ＝1－p ，即p ＝12时取等号．故A 队恰好获胜3局的概率的最大值是516.(3)若采用“五局三胜”制，A 队获胜时的比赛局数ξ＝3,4,5. P (ξ＝3)＝p 3，P (ξ＝4)＝C 32p 3(1－p )＝3p 3(1－p ) P (ξ＝5)＝C 42p 3(1－p )2＝6p 3(1－p )2，所以ξ的分布列为：E (ξ)＝3p 3(10p 2－24p ＋15)．[点评] 本题第(3)问容易出错，“五局三胜制”不一定比满五局，不是“五局中胜三局”．A 队获胜包括：比赛三局，A 队全胜；比赛四局，A 队前三局中胜两局，第四局胜；比赛五局，前四局中胜两局，第五局胜，共三种情况．。

高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析

高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.小李练习射击，每次击中目标的概率为，用表示小李射击次击中目标的次数，则的均值与方差的值分别是______________________．【答案】【解析】的可能取值是0,1,2,3,4,5,．【考点】期望、方差的计算．2.如图所示，旋转一次的圆盘，指针落在圆盘中3分处的概率为，落在圆盘中2分处的概率为，落在圆盘中0分处的概率为，（），已知旋转一次圆盘得分的数学期望为1分，则的最小值为A．B．C．D．【答案】A【解析】由分布列知：，∴.【考点】随机变量的分布列与数学期望.3.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，当盒中旧球的个数为时，相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个，所以取出的3个球中只有一个新球即取出的3个球中有2个是旧球1个新球，所以，故选C.【考点】离散型随机变量及其分布列.4.生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（2）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（1）的前提下：（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（1）元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为；（2）（i）；（ii）的分布列为：.【解析】（1）用指标大于或等于82所对应的的元件的个数除以总的元件个数即是正品的概率；（2）（i）先设生产的5件元件中正品件数为，次品件，由题意列出不等式，求解并确定的取值是4或5，然后再由次独立重复试验某事件恰好发生次的概率公式即可得到“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”的概率；（ii）根据题意分别求出一件A正品和一件B正品，一件A次品和一件B正品，一件A正品和一件B次品，一件A次品和一件B次品的概率，列出分布列，由公式求出数学期望即可.试题解析：（1）由题可知元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为．（2）（i）设生产的5件元件中正品件数为，则有次品件，由题意知得到，设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为事件，则（ii）随机变量的所有取值为150,90,30，则，，所以的分布列为：.【考点】1.次独立重复试验某事件恰好发生次的概率；2.随机变量的分布列；3.数学期望.5.多选题是标准化考试的一种题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确的答案.在一次考试中有5道多选题，某同学一道都不会，他随机的猜测，则他答对题数的期望值为．【答案】【解析】答对每道题的概率为,设答对的题数为，则，所以.【考点】二项分布的数学期望.6.袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球.（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率；（Ⅱ）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分，求得分的分布列和数学期望.【答案】（1）108:343（2）3456【解析】解：（Ⅰ）从袋子里有放回地取3次球，相当于做了3次独立重复试验，每次试验取出红球的概率为，取出黑球的概率为，设事件“取出2个红球1个黑球”，则6分（Ⅱ）的取值有四个:3、4、5、6，分布列为：，,，.345610分从而得分的数学期望.0 12分【考点】分布列和期望点评：主要是考查了分布列的求解以及期望值的运用，属于基础题。

新高考数学备考专题离散型随机变量的期望与方差考点真题训练(解析版)

新高考离散型随机变量的期望与方差专题训练一、单选题1．（2021·四川雅安·模拟预测（文））按照四川省疫情防控的统一安排部署，2021年国庆前后继续对某区12周岁及以上人群全面开展免费新冠疫苗接种工作.该区设置有A ，B ，C 三个接种点位，每个市民需间隔28天左右完成两针的疫苗接种，每一针都可以随机选择去任何一个点位接种.则该区有接种意愿的人，在同一接种点位完成两针疫苗接种的概率是（）A ．15B ．13C ．12D ．23【答案】B 【分析】结合独立事件乘法公式即可求解. 【详解】设事件A 为两针疫苗都在A 点位接种，则()111339P A =⨯=，同理在B ，C 点位接种的概率也为19，所以在同一接种点位完成两针疫苗接种的概率是11393P =⨯=.故选：B2．（2021·广东·石门中学模拟预测）在一个抛硬币的游戏里，抛出的前2个硬币都是正面朝上，则在抛第3个硬币时，正面朝上的概率为（）A ．18B ．14C ．12D ．38【答案】C 【分析】由于抛第3个硬币出现的结果与前2个硬币出现的结果没有关系，进而可得结果. 【详解】因为抛每一个硬币正面朝上的概率均为12，且抛第3个硬币出现的结果与前2个硬币出现的结果没有关系，所以在抛第3个硬币时，正面朝上的概率为12. 故选：C.3．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误. 故选：D.4．（2019·浙江·高考真题）设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时 A ．()D X 增大 B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大【答案】D 【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故选D. 【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.5．（2018·全国·高考真题（理））某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【答案】B 【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =-p 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．6．（2021·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立 D ．丙与丁相互独立【答案】B 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁，，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁， 1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B 【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立7．（2017·浙江·高考真题）已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξB ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξC ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ【答案】A 【详解】∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<，∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<，故选A ．【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A正确．8．（2021·全国·模拟预测）世界读书日全称为世界图书与版权日，又称“世界图书日”，最初的创意来自于国际出版商协会.1995年正式确定每年4月23日为“世界图书与版权日”，设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．每年的这一天，世界100多个国家都会举办各种各样的庆祝和图书宣传活动．在2021年4月23日这一天，某高校中文系为了解本校学生每天的课外阅读情况，随机选取了200名学生进行调查，其中女生有120人．根据调查结果绘制了如下学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频数分布表．将日均课外阅读时间在[]30,60内的学生评价为“课外阅读时间合格”，已知样本中“课外阅读时间合格”的学生中有20男生．那么下列说法正确的是（）A．该校学生“课外阅读时间”的平均值约为26分钟B．按分层抽样的方法，从样本中“课外阅读时间不合格”的学生抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，则这2人恰好是一男一女的概率为5 9C．样本学生“课外阅读时间”的中位数为24分钟D．若该校有10000名学生，估计“课外阅读时间合格”的女生有3500人【答案】B【分析】利用组中值乘以频率最后作和，求得平均值，可以判断A 项是错误的；根据题中所给的条件，可以判断出合格的同学有80人，根据男生20人，得到女生60人，从而求得不合格男女生人数，利用分层抽样方法，结合概率公式求得B 项是正确的；利用中位数满足的条件，可以确定其为26，可得C 项错误；利用所占比例可求得其人数为3000，得到D 项错误，最终选出正确结果. 【详解】50.25150.1250.25350.3450.06550.0426x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≠，A 错；合格的同学有80人，其中男生20人，女生60人不合格的同学有120人，其中男生60人，女生60人在不合格的同学中分层抽样抽10人，则男生5人，女生5人10人中任取两人为一男一女的概率为1155210C C 5C 9P ==，B 对；设中位数为x ，则200.250.10.250.510x -++⨯= ∴2624x =≠，C 错课外阅读合格女生所占全体学生的概率60320010P == 30100003000100⨯=人，D 错．故选：B ．二、多选题9．（2022·湖南株洲·一模）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．1A 表示事件“从甲罐取出的球是红球”，2A 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（） A ．1A 、2A 为对立事件 B ．()1411P B A =C ．()310P B =D ．()()121P B A P B A +=【答案】AB 【分析】只需注意到事件B 是在事件1A 或2A 发生之后可解.【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A 正确；当1A 发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B 发生的概率为411，故B 正确；当2A 发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B 发生的概率为311，故D 不正确；14137()21121122P B =⨯+⨯=，故 C 不正确.故选：AB10．（2021·湖南·衡阳市八中模拟预测）下列说法正确的有（） A ．1~,3X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，且()2D X =，则6n =B ．设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，则(1)0.5P ξ≤= 【答案】BD 【分析】A 利用二项分布的方差公式求参数即可；B 根据回归方程直接可判断x 、y 的增量间的影响；C 线性相关性强弱与|r |有关；D 根据正态分布的对称性即可判断. 【详解】A ：由1~,3XB n ⎛⎫⎪⎝⎭，()12233D X n ==⨯⨯，则，所以9n =，故不正确；B ：若有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，()351355y x x =-+=--，故y 平均减少5个单位，正确；C ：线性相关系数|r |越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误；D ：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，由于正态曲线关于1x =对称，则(1)0.5P ξ≤=，正确．故选：BD ．11．（2021·湖南长沙·模拟预测）人民日报智慧媒体硏究院在2020智慧媒体髙峰论坛上发布重磅智能产品—人民日报创作大脑，在AI 算法的驱动下，无论是图文编辑､视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a 个､图片b 张()*,,1a b a b ∈>>N ，从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A ，“视频甲入选”为事件B ，“图片乙入选”为事件C ，则下列判断中正确的是（） A ．()()()P A P B P C =+ B ．()()()P A P B P C =⋅ C ．()()()P A P BC P BC >+D ．()()P BC P BC < 【答案】BC 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由相互独立事件的概率的乘法计算公式，可得A 错误，B 正确；事件A 包含“视频甲未入选，图片乙入选”、“视频甲入选，图片乙未入选”、“视频甲､图片乙都未入选”三种情况，所以()()()()P A P BC P BC P BC =++，则()()()P A P BC P BC >+，所以C 正确；由题可知，111()1a P BC a b ab -⎛⎫=-⋅= ⎪⎝⎭，111()1b P BC a b ab -⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭，因为a ，*b N ∈，1a b >>，所以11a b ab ab-->，即()()P BC P BC >，故D 错误. 故选:BC .12．（2021·全国·模拟预测）假定某射手每次射击命中的概率为34，且只有3发子弹.该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直射击到子弹用完.设耗用子弹数为X ，则（） A ．目标被击中的概率为3132B ．()314P X == C ．()2316E X =D ．()87256D X =【答案】BD 【分析】求随机变量X 的分布列，由期望，方差公式求其期望，方差，由此判断各选项对错. 【详解】由题意可得，目标没有被击中的概率为30311464C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以目标被击中的概率为16316464-=，A 错误.易知该射手每次射击命中失败的概率为14，X 的取值范围为{1，2，3}，所以()314P X ==，()13324416P X ==⨯=，()11134416P X ==⨯=，所以X 的分布列为：()331211234161616E X =⨯+⨯+⨯=，()2222132132118712316416161616256D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， B ，D 正确，C 错误，故选：BD.三、填空题13．（2011·广东·一模（理））在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>.若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为_______________. 【答案】0.8 【分析】利用正态分布的对称性求解即可【详解】因为正态分布的平均数为1，所以(12)(01)0.4P P ξξ<<=<<=所以(02)(01)(12)0.8P P P ξξξ<<=<<+<<= 故答案为： 0.814．（2019·全国·高考真题（理））甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18 【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯= 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+= 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．15．（2022·全国·模拟预测）2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加A 市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为______.【答案】35【分析】利用条件概率公式即可得到结果. 【详解】设“甲同学被选出”记为事件A ，“乙同学被选出”记为事件B ，则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率()2435C ()3()|C 5n AB P B A n A ===. 故答案为：3516．（2022·重庆·模拟预测）已知随机变量X 的概率分布为()()()1,2,3,,101aP X n n n n ===⋅⋅⋅+，则实数=a ______．【答案】1110【分析】根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答.【详解】依题意，()11()1P X n a n n ==-+，由分布列的性质得1011111110()[(1)()()]1223101111n a P X n a ===-+-++-==∑，解得1110a =，所以实数1110a =. 故答案为：1110。

专题26 期望、方差及正态分布的实际应用(学生版)

去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0 ，则 p0 的值为（）
(参考数据：若 X ～N (, 2 ) ，则 P( X ) 0.6826 ； P( 2 X 2 ) 0.9544 ； P( 3 X 3 ) 0.9974 .)
A．0.9544
B．0.6826
（i）请用统计学的知识分析该市 18 岁男大学生身高的情况；
（ii）下面是抽取的 100 名 18 岁男大学生中 20 名大学生身高（ cm ）的数据：
1.65
1.62
1.74
1.82
1.68
1.72
1.75
1.66
1.73
1.67
1.86
1.81
1.74
1.69
1.76
1.77
1.69
1.78[来源:学科网]
2.巩固提升综合练习
【练习 1】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 N 0, 32 ，从中随机取一件，其长度误
差落在区间（3，6）内的概率为（）
（附：若随机变量ξ服从正态分布 N , 2 ，则 P 68.26% ，
P 2 2 95.44% .）
A．4.56%
B．13.59%
C．27.18%
D．31.74%
【练习 2】在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 N (0,1) 的密
度曲线)的点的个数的估计值为
A．2 386
B．2 718
Hale Waihona Puke C．3 413D．4 772
附：若 X~N(μ，σ2)，则 P X 0.682 6,P 2 X 2 0.954 4 .
【练习 4】（入座问题）编号 1，2，3 的三位学生随意入坐编号为 1，2，3 的三个座位，每位学生坐一

高二正态分布(期望、方差)讲义

期望、方差、正态分布期望、方差知识回顾：1．数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ x 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．特别提醒：1. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平2. 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 2.期望的一个性质: ()E a b ξ+=aE b ξ+ 3.若ξ～B （p n ,），则ξE =np4.方差:ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…．5.标准差: ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．6.方差的性质： ξξD a b a D 2)(=+；若ξ～B （p n ,），则=ξD )1(p np - 特别提醒：1. 随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；2. 随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；3. 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛正态分布知识回顾：1.若总体密度曲线就是或近似地是函数R ,21)(222)(∈=--x ex f x σμσπ的图象，则其分布叫正态分布，常记作),(2σμN ．)(x f 的图象称为正态曲线．三条正态曲线：①5.0,1==σμ；②1,0==σμ；③2,1==σμ，其图象如下图所示：观察以上三条正态曲线，得以下性质：①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交．②曲线关于直线μ=x 对称，且在μ=x 时位于最高点．③当μ<x 时，曲线上升；当μ>x 时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．④当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．注意: 当1,0==σμ时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是R ,21)(22∈=-x e x f x π．相应的曲线称为标准正态曲线．2. 正态总体的概率密度函数：,,21)(222)(R x ex f x ∈=--σμσπ式中σμ,是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；当0μ=时得到标准正态分布密度函数：()()221,,26xf x e x π-=∈-∞+∞.3.正态曲线的性质：① 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ② 曲线是单峰的，关于直线x ＝μ 对称； ③ 曲线在x ＝μ处达到峰值πσ21；④ 曲线与x 轴之间的面积为1；4. σμ,是参数σμ,是参数的意义:① 当σ一定时，曲线随μ质的变化沿x 轴平移；② 当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中； σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。

高中试卷-专题7.5 正态分布(含答案)

专题7.5 正态分布姓名：班级：重点正态分布的特征难点正态分布的相关计算例1-1．已知随机变量)2(~2σ，N X （0>σ），若7.0)4(=<X P ，则=<)0(X P （）。

A 、2.0B 、3.0C 、5.0D 、7.0【答案】B【解析】∵随机变量)2(~2σ，N X （0>σ），当7.0)4(=<X P ，又∵5.0)2(=<X P ，∴2.0)42(=<<X P ，根据正态分布的对称性可得2.0)20(=<<X P ，∴3.02.05.0)0(=-=<X P ，故选B 。

例1-2．已知)41(~，N η，若)1()2(-<η=>ηa P a P ，则=a （）。

A 、1-B 、0C 、1D 、2【答案】C【解析】∵)41(~，N η，∴对称轴方程为1=η=x ，∵)1()2(-<η=>ηa P a P ，∴1212=-+a a ，解得1=a ，故选C 。

例1-3．设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布)1675(，N ，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在]8379(，内的个数约为（）。

附：若)(~2σμ，N X ，则6827.0)(=σ+μ≤<σ-μX P ，9545.0)22(=σ+μ≤<σ-μX P 。

A 、134B 、136C 、817D 、819【答案】B【解析】由题意，75=μ、4=σ，则)]()22([21])8379(σ+μ≤<σ-μ-σ+μ≤<σ-μ=≤<X P X P X P 1359.026827.09545.0=-=，故直径在]8379(，内的个数约为1369.1351359.01000≈=⨯，故选B 。

例1-4．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险。

为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布)3.01.0(2，N ，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间)7.04.0(，内的概率为（）。

2023年高考数学----《期望与方差的实际应用》规律方法与典型例题讲解

2023年高考数学----《期望与方差的实际应用》规律方法与典型例题讲解【规律方法】数学期望反映的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反映随机变量取值在其平均值附近的离散程度．现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差来对事件发生大小的可能性和稳定性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案．（1）若我们希望实际的平均水平较理想，则先求随机变量12,ξξ的期望，当12E E ξξ=时，不应认为它们一定一样好，还需要用12,D D ξξ来比较这两个随机变量的方差，确定它们的偏离程度．（2）若我们希望比较稳定性，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近．（3）方差不是越小就越好，而是要根据实际问题的需要来判断．【典型例题】例1．（2022春·河南·高三期末）根据疫情防控的需要，某地设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检测和预防性消毒工作，为了进一步确定某批进口冷链食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其进行化验，若结果为阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒．对于()N n n *∈份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n 次；二是混合检验，将k 份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份全为阴性，检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份究竟哪些为阳性，需要对它们再次取样逐份检验，则k 份检验的次数共为1k +1)p <<，而且样本之间是否有该病毒是相互独立的．（1）若取得8份样本，采用逐个检测，发现恰有2个样本检测结果为阳性的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）若对取得的8份样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组4份样本采用混合检验，若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．若“方案二”比“方案一”更“优”，求p 的取值范围（精确到0．01）．【解析】（11)p <<，则阳性概率为11)p <<；则8份样本，采用逐个检测，发现恰有2个样本检测结果为阳性的概率(3116222248()C12821f p p p p ⎛⎫==−+ ⎪⎝⎭即73242()282f p p p p ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，所以311111114222424473()282144731443122f p p p p p p p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=−+=−+=−− ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为01p <<，所以11241410p p ⎛⎫− ⎪⎝⎭<当14430p −<，即4304p ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，()0f p '>，所以()f p 在4304⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上单调递增；当14430p −>，即4314p ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，()0f p '<，所以()f p 在4314⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上单调递减；所以()f p 在434p ⎛⎫= ⎪⎝⎭时取得最大值，即()f p 的最大值点403814256p ⎛⎫== ⎪⎝⎭．（2）若采用方案一，则需要检验的次数为8次，即检验次数的期望值1()8E X =；若采用方案二：平均分成两组，每组4份样本采用混合检验，则每组检测结果为阴性的概率为4p =，则为阳性的概率为1p −；所以检验次数2X 的所有可能取值为2610、、；当两组检测结果全为阴性时，检验次数为2次，则()222p X p ==；当两组检测结果一组为阴性，另一组为阳性时，检测次数为6次，则()1226C (1)p X p p ==−；当两组检测结果全为阳性时，检验次数为10次，则()2210(1)p X p ==−；此时，方案二的检验次数的期望值21222()26C (1)10(1)108E X p p p p p =+⨯−+−=−；若“方案二”比“方案一”更“优”，则21()()E X E X <，即1088p −<，得0.251p << 即p 的取值范围为()0.25,1例2．（2022春·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习）随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的．切比雪夫在数论､概率论､函数逼近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设X 为离散型随机变量，则()()()2D X P XE X λλ−厔，其中λ为任意大于0的实数．切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X 的分布未知的情况下，对事件X λλ−…的概率作出估计．（1）证明离散型切比雪夫不等式；（2）应用以上结论，回答下面问题：已知正整数5n …．在一次抽奖游戏中，有n 个不透明的箱子依次编号为1,2,,n ，编号为()1i i n 剟的箱子中装有编号为0,1,,i 的1i +个大小､质地均相同的小球．主持人邀请n 位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为i 的箱子中抽取的小球号码为i X ，并记1nii X X i==∑．对任意的n ，是否总能保证()0.10.01P X n 剠（假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论．附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量12,,,,n X X X X 满足1n i i X X ==∑，则有()1()ni i E X E X ==∑．【答案】（1）证明见解析（2）不能保证()0.10.01P X n 剠，证明见解析【分析】通过方差的计算公式，结合()X E X λ−≥变形即可证明．结合所给公式，再()2()(())D X E X E X =−变形式子来解出()D X ，再利用第（1）证明的离散型切比雪夫不等式即可得到矛盾．（1）设X 的所有可能取值为12,,,,n x x x X 取i x 的概率为()1i P i n 剟．则()()()i ni x E X P X E X P λλ−≥−≥=∑，()X E X λ−≥ ()221i x E X λ−∴≥()()()()()()2222211i nni i i i i x E X x E X D X P X E X P P x E X λλλλλ=−≥−∴−≥≤⋅≤⋅−=∑∑（2）（2）由参考公式，()()11()2n n i i i i E X E X nE X E i i ==⎡⎤===⎢⎥⎣⎦∑∑． ()2211()(())2n i i X D X E X E X E i =⎡⎤⎛⎫=−=−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑22111111122222nn j i i i i i j n i X X X X E E E E i i j i =<=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑剟1ni i X D i =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，用到10(1)2i X E i n i ⎛⎫−= ⎪⎝⎭剟而2012114ij i j i X D i i =⎛⎫− ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪+⎝⎭∑…，故()4n D X …．当160n =时，()240.10.40.0120.16nn P X n P X n n ⎛⎫<−< ⎪⎝⎭剠?，因此，不能保证()0.10.01P X n 剠．例3．（2022·全国·高三专题练习）一台机器设备由A 和B 两个要件组成，在设备运转过程中，A B ､发生故障的概率分别记作()()P A P B ､，假设A 和B 相互独立．设X 表示一次运转过程中需要维修的要件的数目，若()()0.1,0.2P A P B ==．（1）求出()()()0,1,2P X P X P X ===；（2）依据随机变量X 的分布，求()E X 和()D X ；（3）若1X 表示A 需要维修的数目，2X 表示B 需要维修的数目，写出1X X ､和2X 的关系式，并依据期望的线性性质和方差的性质，求()E X 和()D X ．【解析】（1）因为()()0.1,0.2P A P B ==，所以()()()010.110.20.72P X ==−⨯−=， ()()()110.10.20.110.20.26P X ==−⨯+⨯−=， ()20.10.20.02P X ==⨯=．（2）由（1）得X 的分布列为：所以()00.7210.2620.020.3E X =⨯+⨯+⨯=，()()()()22200.30.7210.30.2620.30.020.25D X =−⨯+−⨯+−⨯=．（3）由题意可得12X X X =+，且12,X X 均服从两点分布，所以12()0.1,()0.2E X E X ==，12()0.1(10.1)0.09,()0.2(10.2)0.16D X D X =⨯−==⨯−=，所以1212()()()()0.3E X E X X E X E X =+=+=，因为12,X X 相互独立，所以1212()()()()0.25D X D X X D X D X =+=+=．。

正态分布期望方差zst

第十一模块计数原理、概率、随机变量及其分布
二、数学数学高期考总望复习、人教方版差
1、定义：若离散型随机变量 X的概率分布为 n P( X xi ) pi , i 1, 2, , n
⑴ 称 EX xi pi x1 p1 xn pn 为 X的数学期望或均值 i 1 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 n
B．0.4 C．0.3 D．0.2
3.(2012·广州调研)已知随机变量 x 服从正态分布 N(μ，σ2)，
且 P(μ－2σ<x≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－σ<x≤μ＋σ)＝0.6826，若 μ
＝4，σ＝1，则 P(5<x<6)等于( )
A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716
D．0.2718
第十一模块计数原理、概率、随机变量及其分布
数学高考总复习人教版
第十一模块计数原理、概率、随机变量及其分布
数学高考总复习人教版
解：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线 x
＝20
对称，最大值是 1 2
，所以 π
μ＝20.
1＝ 2π·σ 2
1
，解得 π
σ＝
2.
于是正态分布密度函数的解析是
f(x)
6．若随机变量 ξ 的概率分布密度函数是 φμ，σ(x)＝
2 12π·e－x＋822 ，x∈R，则 E(2ξ－1)的值等于(
)
A．3 B．4 C．－4
D．－5
第十一模块计数原理、概率、随机变量及其分布
数学高考总复习人教版
补充：如图是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态曲线函数解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
bc
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________. 解析：∵a，b，c 成等差数列，∴2b＝a＋c. 又 a＋b＋c＝1，∴b＝13，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝23.

2021新高考数学专题23 期望、方差及正态分布的实际应用附参考答案3

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