精品新版高中数学人教A版必修4习题：第三章三角恒等变换3-1-1

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人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式导学案

3.1.3.二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标.1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.知识点一.二倍角公式的推导思考1.二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案.sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α. 思考2.根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答案.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二.二倍角公式的变形1.公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α， cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. 2.二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.类型一.给角求值例1.求下列各式的值：(1)cos 72°cos 36°；(2)13－23cos 215°； (3)1－tan 275°tan 75°；(4)1sin 10°－3cos 10°. 解.(1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36° ＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14. (2)13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30°＝－36. (3)1－tan 275°tan 75°＝2·1－tan 275°2tan 75°＝2·1tan 150°＝－2 3. (4)1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10° ＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10° cos 10° ＝4sin 20°sin 20°＝4. 反思与感悟.对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1.求下列各式的值：(1)cos 2π7cos 4π7cos 6π7； (2)1sin 50°＋3cos 50°.解.(1)原式＝2sin 2π7cos 2π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7＝sin 4π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7＝sin 8π7cos 6π74sin 2π7＝sin π7cos π74sin 2π7＝sin 2π78sin 2π7＝18. (2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2(12cos 50°＋32sin 50°)12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.类型二.给值求值例2.(1)若sin α－cos α＝13，则sin 2α＝ . 答案.89解析.(sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α ＝1－sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132⇒sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89. (2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于(..) A.6425B.4825C.1D.1625答案.A解析.cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α. 把tan α＝34代入，得 cos 2α＋2sin 2α＝1＋4×341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝42516＝6425.故选A.引申探究在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝13，求sin 2α. 解.由题意，得(sin α＋cos α)2＝19， ∴1＋2sin αcos α＝19，即1＋sin 2α＝19， ∴sin 2α＝－89. 反思与感悟.(1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2.已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值. 解.(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 类型三.利用倍角公式化简例3.化简2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.解.方法一.原式＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝cos 2αcos 2α＝1. 方法二.原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α2 ＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α(sin α＋cos α)2 ＝cos 2α(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝1. 反思与感悟.(1)对于三角函数式的化简有下面的要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.(2)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角. ②降幂或升幂.③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练3.化简下列各式：(1)π4＜α＜π2，则1－sin 2α＝； (2)α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝ . 答案.(1)sin α－cos α.(2)0解析.(1)∵α∈(π4，π2)，∴sin α＞cos α， ∴1－sin 2α＝1－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝(sin α－cos α)2＝sin α－cos α.(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0， ∴1＋cos 2αcos α－ 1－cos 2αsin α＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0.1.12sin π12cos π12的值等于(..) A.14B.18C.116D.12 答案.B解析.原式＝14sin π6＝18. 2.sin 4π12－cos 4π12等于(..) A.－12 B.－32 C.12 D.32答案.B解析.原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2π12＋cos 2π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 3.tan 7.5°1－tan 27.5°＝ . 答案.1－32 解析.tan 7.5°1－tan 27.5°＝12·2tan 7.5°1－tan 27.5°＝12tan 15°＝1－32. 4.设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是 . 答案. 3解析.∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α≠0，2cos α＋1＝0即cos α＝－12， sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 5.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值. 解.原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝513，且0<x <π4， ∴π4＋x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1213， ∴原式＝2×1213＝2413.1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1(n ∈N *). 2.二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α；②cos 2α＝1＋cos 2α2；③1－cos 2α＝2sin 2α；④sin 2α＝1－cos 2α2. 课时作业一、选择题1.已知α是第三象限角，cos α＝－513，则sin 2α等于(..) A.－1213B.1213C.－120169D.120169答案.D解析.由α是第三象限角，且cos α＝－513，得sin α＝－1213，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝120169，故选D. 2.若tan θ＝－13，则cos 2θ等于(..) A.－45 B.－15 C.15 D.45答案.D解析.tan θ＝－13，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45. 3.已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x 等于(..) A.724 B.－724 C.247 D.－247答案.D解析.由cos x ＝45，x ∈(－π2，0)，得sin x ＝－35，所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×(－34)1－(－34)2＝－247，故选D.4.已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于(..) A.16B.13C.12D.23 答案.A解析.因为cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A. 5.如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是(..) A.－105B.105C.－155D.155 答案.C解析.∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15， ∴cos θ<0，cos θ＝－15. 又∵5π4<θ2<3π2，∴sin θ2<0. ∴sin 2θ2＝1－cos θ2＝35， sin θ2＝－155. 6.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于(..) A.－53 B.－59 C.59 D.53答案.A解析.由题意得(sin α＋cos α)2＝13， ∴1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23. ∵α为第二象限角，∴cos α－sin α<0. 又∵sin α＋cos α>0，∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|<|sin α|， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0，∴cos 2α＝－ 1－sin 22α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝－ 1－49＝－53，故选A. 7.若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α等于(..) A.725B.15C.－15D.－725 答案.D解析.因为sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1，又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝2×925－1＝－725，故选D. 二、填空题8.2sin 222.5°－1＝ .答案.－22 解析.原式＝－cos 45°＝－22. 9.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ .答案.116解析.原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6° ＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. 10.设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan 2α＝ . 答案.247解析.cos α＝x x 2＋42＝x 5， ∴x 2＝9，x ＝±3.又∵α是第二象限角，∴x ＝－3，∴cos α＝－35，sin α＝45， ∴tan α＝－43，tan 2α＝2×(－43)1－(－43)2＝－831－169＝－83－79＝7221＝247. 11.已知tan x ＝2，则tan 2(x －π4)＝ . 答案.34 12.若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝ . 答案.0 解析.由tan α＋1tan α＝103，得tan α＝13或tan α＝3. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴tan α＝3. ∴sin α＝310，cos α＝110. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α ＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＋2cos π4cos 2α＝22×2sin αcos α＋22(2cos 2α－1)＋2cos 2α ＝2sin αcos α＋22cos 2α－22 ＝2×310×110＋22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1102－22 ＝5210－22＝0. 三、解答题13.已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)的值. 解.∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， ∴原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 四、探究与拓展14.等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为 . 答案.459解析.设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23， sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－(23)2＝53. 所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 15.已知π<α<32π，化简：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α. 解.∵π<α<32π，∴π2<α2<34π， ∴1＋cos α＝2|cos α2|＝－2cos α2， 1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2. ∴1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α ＝1＋sin α－2(cos α2＋sin α2)＋1－sin α2(sin α2－cos α2) ＝(cos α2＋sin α2)2－2(cos α2＋sin α2)＋(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2) ＝－2cos α2.。

高中数学第三章三角恒等变换 3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式新人教A版必修4

π 2
(k∈Z)，且

α≠kπ＋4π(k≠Z)．当α＝kπ＋π2时，求tan2α应使用诱导公式．请
读者自己寻求tan2α＝2tanα的条件．
3．使用二倍角公式应注意的问题
(1)对“二倍角”应该有广义上的理解，不仅局限于2α是α
的2倍．只要公式中等号左边的角是右边角的2倍，就可以使用
二倍角公式，如3α与
自 (1)2sinαcosα S2α 我 (2)cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α C2α
校
2tanα
对 (3)1－tan2α T2α
思考探究上述公式如何推导得到？提示在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令β＝α即可得到．
名师点拨 1.对“倍角”的理解 (1)本节所说的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字不能省略． (2)“倍”是描述两个数量关系的，2α是α的二倍，4α是2α 的二倍，α2是α4的二倍，这里蕴含着换元思想．
变式训练2 求下列各式的值：(1)cos215°－sin215°； (2)cos1π2cos152π；(3)sin150°＋cos530°.
解
(1)原式＝cos(2×15°)＝cos30°＝
3 2.
(2)原式＝cos1π2sin1π2＝12sin6π＝14.
(3)原式＝coss5in05°＋0°co3ss5i0n°50°
第三章三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识夯实基础
学习目标 1.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2．正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简、求值、证明.

高中数学：第3章三角恒等变换 3.1.1 _1

3.1.1两角差的余弦公式考试标准课标要点学考要求高考要求两角差的余弦公式b b 两角差的正弦公式及两角和的正弦、余弦公式c c两角和与差的正切公式c c 知识导图学法指导本节内容公式较多，需要在理解的基础上进行记忆；试题灵活多样、技巧性强，要多练多总结，如角度之间的联系、公式的逆用及变形应用等都需要总结.两角差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦C(α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β为任意角状元随笔对两角差的余弦公式的记忆和理解(1)公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式．(2)注意事项：不要误记为cos(α－β)＝cosα－cosβ或cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；同时还要注意公式的适用条件是α，β为任意角．(3)该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要sin π3＝15×12＋265×32＝1＋6210.★答案★：1＋6210类型一运用公式化简求值例1 化简求值： (1)cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°； (2)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β. 【解析】 (1)原式＝cos 63°cos 33°＋sin 63°sin 33°＝cos(63°－33°)＝cos 30°＝32.(2)原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. (1)由117 °＝180 °－63 °，57 °＝90 °－33 °，利用诱导公式化成同角．(2)利用公式求值．方法归纳两角差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．跟踪训练1 求值： (1)cos 15°＝________； (2)cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝________. 解析：(1)cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)原式＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.★答案★：(1)6＋24 (2)12 (1)15 °＝45 °－30 °.＝22.又因为sin α>sin β，所以0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，故α－β＝π4.★答案★：π4由sinα，sinβ求cosα，cosβ，再利用公式先求cos(α－β)的值，再求α－β的范围，最后求α－β的值．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( ) A ．cos 100° B ．sin 100°C.32D.12 解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝32.故选C.★答案★：C2．cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是( )A ．0 B.12C.22D.32解析：5π12和π12不是特殊角，但5π12＋π12＝π2，所以本题可利用角的互余关系转化函数名，逆用C α－β求值．cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6＝cos 5π12cos π6＋sin 5π12sin π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝cos π4＝22.★答案★：C。

【新】版高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案新人教A版必修4

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.(易错点)[基础·初探]教材整理二倍角的正弦、余弦、正切公式阅读教材P 132～P 133例5以上内容，完成下列问题. 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式2.3.正弦的二倍角公式的变形(1)sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α.(2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立.( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立.( )【解析】 (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误.(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α.【答案】 (1)× (2)√ (3)×2.已知cos α＝13，则cos 2α等于________.【解析】由cos α＝13，得cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.【答案】－79[小组合作型]利用二倍角公式化简三角函数式化简求值.(1)cos 4 α2－sin 4 α2；(2)sin π24·cos π24·cos π12；(3)1－2sin 2750°；(4)tan 150°＋1－3tan 2150°2tan 150°.【精彩点拨】灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得.【自主解答】 (1)cos 4 α2－sin 4 α2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2 α2－sin 2 α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2 α2＋sin 2 α2＝cos α.(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π24cos π24·cos π12＝12sin π12·cos π12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π12·cos π12＝14sin π6＝18.∴原式＝18.(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.∴原式＝12.(4)原式＝2tan 2150°＋1－3tan 2150°2tan 150°＝1－tan 2150°2tan 150°＝1tan 2×150°＝1tan 300°＝1tan360°－60°＝－1tan 60°＝－33.∴原式＝－33.二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2 α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan α＝tan 2α. (2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式.主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.[再练一题] 1.求下列各式的值： (1)sin π12cos π12；(2)2tan 150°1－tan 2150°；(3)1sin 10°－3cos 10°； (4)cos 20°cos 40°cos 80°.【解】 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(3)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝－2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(4)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.利用二倍角公式解决求值问题(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( ) A.2 B.－2 C.34D.－34(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α的值等于( ) A.79 B.13 C.－79D.－13(3)已知cos α＝－34，sin β＝23，α是第三象限角，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. ①求sin 2α的值；②求cos(2α＋β)的值.【精彩点拨】 (1)可先求tan α，再求tan 2α；(2)可利用23π－2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α及π3－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α求值； (3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β). 【自主解答】 (1)因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×31－32＝－34. (2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.【答案】 (1)D (2)C(3)①因为α是第三象限角，cos α＝－34，所以sin α＝－1－cos 2α＝－74，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－74×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝378. ②因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝23，所以cos β＝－1－sin 2β＝－53， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×916－1＝18，所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－378×23＝－5＋6724.直接应用二倍角公式求值的三种类型(1)sin α(或cos α)――→同角三角函数的关系cos α(或sin α)――→二倍角公式sin 2α(或cos 2α).(2)sin α(或cos α)――→二倍角公式cos 2α＝1－2sin 2 α(或2cos 2α－1). (3)sin α(或cos α)――→同角三角函数的关系⎩⎨⎧cos α或sin α，tan α――→二倍角公式tan 2α.[再练一题] 2.(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sinα＝55，则sin 2α＝______，cos 2α＝________，tan 2α＝________.(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求tan 4α的值. 【导学号：70512043】【解析】 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－255，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43.【答案】－45 35 －43(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，则已知条件可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16，即12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝13，所以cos 2α＝13.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2α∈(π，2π)，从而sin 2α＝－1－cos 22α＝－223，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－22，故tan 4α＝2tan 2α1－tan 22α＝－421－－222＝427.利用二倍角公式证明求证：(1)cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ； (2)cos 2θ(1－tan 2θ)＝cos 2θ.【精彩点拨】 (1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.(2)证法一：从左向右：切化弦降幂扩角化为右边形式；证法二：从右向左：利用余弦二倍角公式升幂后向左边形式转化. 【自主解答】 (1)左边＝1＋A ＋2B2－1－A －2B2＝cos2A ＋2B ＋cos 2A －2B2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B ) ＝cos 2A cos 2B ＝右边， ∴等式成立.(2)法一：左边＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ＝右边. 法二：右边＝cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ＝cos 2θ(1－tan 2θ)＝左边.证明问题的原则及一般步骤：观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[再练一题]3.证明：1＋sin 2α2cos 2α＋sin 2α＝12tan α＋12. 【导学号：00680072】【证明】左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α2cos 2α＋2sin αcos α＝α＋cos α22cos αα＋cos α＝sin α＋cos α2cos α＝12tan α＋12＝右边.所以1＋sin 2α2cos 2α＋sin 2α ＝12tan α＋12成立. [探究共研型]倍角公式的灵活运用探究1 请利用倍角公式化简：2＋2＋2cos α(2π<α<3π). 【提示】 ∵2π<α<3π， ∴π<α2<3π2，π2<α4<3π4，∴2＋2＋2cos α＝2＋4cos2α2＝2－2cos α2＝4sin2α4＝2sin α4. 探究2 如何求函数f (x )＝2cos 2x －1－23·sin x cos x (x ∈R )的最小正周期？【提示】求函数f (x )的最小正周期，可由f (x )＝(2cos 2x －1)－3×(2sin x cos x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，知其最小正周期为π.求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间.【精彩点拨】化简f x 的解析式→f x ＝A ωx ＋φ＋B→ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4⎝⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ＝33＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝33－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.∵π4≤x ≤7π24，∴π6≤2x －π3≤π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时，f (x )取最小值为33－2 2.∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递减.本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y ＝Aωx ＋φ的形式，再利用函数图象解决问题.[再练一题]4.求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间.【解】 y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋23sin x cos x ＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x －12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以T ＝2π2＝π，y min ＝－2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，所以令k ＝0，得函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.1.sin 22°30′·cos 22°30′的值为( ) A.22 B.24C.－22D.12【解析】原式＝12sin 45°＝24.【答案】 B2.已知sin x ＝14，则cos 2x 的值为( )A.78B.18C.12D.22【解析】因为sin x ＝14，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.【答案】 A3.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12的值为( ) 【导学号：00680073】 A.－32B.－12C.12D.32【解析】原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 【答案】 D4.已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.【解析】 sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.小中高精品教案试卷制作不易推荐下载 11 【答案】－565.求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5； (2)12－cos 2π8. 【解】 (1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sin π5＝14. (2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.。

高中数学第三章三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.(高考全国卷Ⅱ，理2)函数y=sin2xcos2x 的最小正周期是( )A.2πB.4πC.4π D.2π 解析：y=sin2xcos2x=21sin4x,所以最小正周期为T=42π=2π.答案：D2.(高考全国卷Ⅱ，理10)若f(sinx)=3-cos2x ，则f(cosx)等于( )A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x解析：f(sinx)=3-(1-2sin 2x)=2sin 2x+2,所以f(x)=2x 2+2.因此f(cosx)=2cos 2x+2=(2cos 2x-1)+3=3+cos2x. 答案：C3.已知α为锐角，且sinα∶sin 2α=8∶5，则cosα的值为( ) A.2512 B.258 C.257 D.54 解析：由2sin2cos2sin 22sin sin ααααα==2cos 2α=58，得cos 2α=54， cosα=2cos 22α-1=2×(54)2-1=257. 答案：C4.求下列各式的值：(1)cos 12πcos 125π=______________； (2)(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)=______________；(3)21-cos 28π=______________； (4)-32+34cos 215°=______________；(5)︒-︒5.22tan 15.22tan 2=_________________解析：(1)原式=cos 12πsin 12π=21sin 6π=41；(2)原式=cos212π-sin 212π=cos 6π=23； (3)原式=21-(2cos 28π-1)=21-cos 4π=42-；(4)-32+34cos 215°=32(2cos 215°-1)=32cos30°=33；(5)原式=21tan45°=21. 答案：(1)41 (2)23 (3)42- (4)33 (5)2110分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若tanx=2，则tan2(x-4π)等于( ) A.34 B.-34 C.43 D.43- 解析：tan(2x-2π)=-tan(2π-2x)=-cot2x=x 2tan 1-,而tan2x=4122-⨯=-34,∴原式=43.答案：C2.当0＜x ＜2π时，函数f(x)=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为( )A.2B.32C.4D.34解析：f(x)=x x x x cos sin 2sin 8cos 222+=x tan 1+4tanx≥42=4，当且仅当tanx=21时，取“=”.答案：C3.化简cos72°cos36°=________________. 解析：原式=︒︒=︒︒︒=︒︒•︒︒36sin 4144sin 36sin 472sin 72cos 236sin 236sin 236cos 72cos =41. 答案：414.在△ABC 中，tanA+tanB+33+tanAtanB 且sinAcosA=43，判断三角形的形状. 解：由sinAcosA=43，得21sin2A=43，即sin2A=23， ∴2A=60°或120°.∴A=30°或60°.又由tanA+tanB=3-(1-tanAtanB)，得tan(A+B)=3tan tan 1)tan tan 1(3-=---BA B A ，∴A+B=120°.当A=30°时，B=90°，tanB 无意义，∴A=60°,B=60°，即三角形为等边三角形. 5.平面上两塔相距120 m ，一人分别在两塔的底部测得一塔顶的仰角为另一塔顶仰角的2倍，又在两塔底的连线中点测得两塔顶的仰角互余.求两塔的高.解析：如图所示，设两塔的高分别为x m 、y m ，且∠ADB=α，∠AMB=θ.由题意，得∠CBD=2α，∠AMC=90°， ∠AMB=∠MCD=θ，所以x=60tanθ，y=θtan 60， x=120tan α，y=120tan2α.所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.12012,360022x x y xy 解得x=40，y=90.答：两塔高分别是90 m 和40 m.6.(2006高考北京卷，理15)已知函数f(x)=xx cos )42sin(21π--， (1)求f(x)的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tanα=-34，求f(α)的值. 解：(1)由cosx≠0,得x≠kπ+2π(k ∈Z ). 故f(x)的定义域为{x|x≠kπ+2π,k ∈Z }.(2)因为tanα=54-,cosα=53，且α为第四象限的角，所以sinα=54-,cosα=53.故f(α)=αααααααπαcos 2cos 2sin 1cos )2cos 222sin 22(21cos )42sin(21+-=--=--=ααααcos cos sin 2cos 22-=2(cosα-sinα)=514. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.已知θ是第三象限的角，若sin 4θ+cos 4θ=95，那么sin2θ等于( ) A.322 B.322- C.32 D.-32解析：(sin 2θ+cos 2θ)2=sin 4θ+cos 4θ+2sin 2θcos 2θ=sin 4θ+cos 4θ+21(sin2θ)2，而(sin 2θ+cos 2θ)2=1，可以得到sin2θ=±322，又由于θ是第三象限的角，所以sin2θ=322. 答案：A2.已知tanα=71，tanβ=2π，0＜α＜β＜2π,则α+2β等于( ) A.45π B.4π C.45π或4π D.47π解析：∵tan2β=43tan 1tan 2=-ββ，∴tan(α+2β)=28314371-+=1.∵tanα=71＜1,∴0＜α＜4π.tan2β=43＜1,∴0＜2β＜4π.∴0＜α+2β＜43π.∴α+2β=4π.答案：B3.(2006高考上海卷，理17)求函数y=2cos(x+4π)cos(x-4π)+3sin2x 的值域和最小正周期.解：y=2(cosxcos4π-sinxsin 4π)(cosxcos 4π-sinxsin 4π)+3sin2x =cos 2x-sin 2x+3sin2x=cos2x+3sin2x=2sin(2x+6π).∴原函数的值域是［-2,2］，周期T=22π=π. 4.化简︒-+︒+10sin 110sin 1. 解：原式=︒︒-︒+︒+︒︒+︒+︒5cos 5sin 25cos 5sin 5cos 5sin 25cos 5sin 2222=|sin5°+cos5°|+|sin5°-cos5°|=sin5°+cos5°+cos5°-sin5°=2cos5°. 5.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解：原式=21cos20°cos40°cos80° =︒︒︒=︒︒︒=︒︒︒︒︒20sin 1680cos 80sin 2880cos 40cos 40sin 220sin 480cos 40cos 20cos 20sin 2 =16120sin 16160sin =︒︒. 6.已知sin 22α+sin2αcos α-cos2α=1，α∈(0,2π)，求sin α,tan α.解：由题意知4sin 2αcos 2α+2sin αcos 2α-2cos 2α=0，即2cos 2α(2sin α-1)(sin α+1)=0. 又α∈(0,2π)，∴sinα+1≠0,cos 2α≠0. 由2sin α-1=0得sin α=21，∴α=6π,tan α=33.7.已知sin(α-4π)=1027，cos2α=257，求sin α及tan(α+3π).解：由sin(α-4π)=1027,得22(sin α-cos α)=1027，即sin α-cos α=57. ① 又由cos2α=257得cos 2α-sin 2α=257，即(cos α+sin α)(cos α-sin α)=257，∴cosα+sin α=-51. ②由①②得sin α=53，cos α=54-,∴tanα=-43.tan(α+3π)=1132548343344331433tan 313tan -=+-=+-=-+αα. 8.当x∈［-2π,2π］时，求f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的周期、最大值及此时的x 值. 解：f(x)=1+cos2x+1+sin2x=2sin(2x+4π)+2.周期T=π.当x ∈［-2π,2π］时，2x+4π∈［-43π,45π］,sin(2x+4π)∈［-1,1］. ∴f(x)∈［22-,22+］.∴f(x)max =22+.由2x+4π=2k π+2π得x=k π+8π. 又∵x∈［-2π,2π］，∴x=8π,即当x=8π时，f(x)的最大值为22+.9.(2006高考安徽卷，理17)已知43π＜α＜π,tanα+cosα=310-.(1)求tanα的值；(2)求)4sin(282cos 112cos2sin82sin 522πααααα--++的值.解：(1)∵tanα+cosα=310-,∴3tan 2α+10tanα+3=0,解得tanα=-31或tanα=-3.∵43π＜α＜π,∴-1＜tanα＜0.∴tanα=-31.(2)∵tanα=-31,∴)4(sin 282cos 112cos2sin82sin 522παααααα--++=451tan 3tan 4cos sin 82cos 16sin 4)2cos 2(sin 522-=-+=--+•+++αααααααα. 10.(2006高考四川卷，理17)已知A 、B 、C 是△ABC 三内角，向量m =(-1,3)，n =(cosA,sinA),且m ·n =1. (1)求角A ； (2)若BB B22sin cos 2sin -+1=-3，求tanC. 解：(1)∵m ·n =1,∴(-1,3)·(cosA,sinA)=1,即3sinA-cosA=1,2(sinA·23-cosA·21)=1,sin(A-6π)=21. ∵0＜A ＜π,-6π＜A-6π＜65π,∴A-6π=6π.∴A=3π.(2)由题知BB B B 22sin cos cos sin 21-+=-3，整理得sin 2B-sinBcosB-2cos 2B=0. ∵cosB≠0,∴tan 2B-tanB-2=0. ∴tanB=-2或tanB=-1.而tanB=-1使cos 2B-sin 2B=0，舍去. ∴tanB=2.∴tanC=tan［π-(A+B)］=-tan(A+B)=11358321322tan tan 1tan tan +=-+⨯-=-+-B A B A .。

高中数学第三章三角恒等变换 3_1-3_1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式练习新人教A版必修4

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式A 级基础巩固一、选择题1．sin 15°sin 75° 的值为( ) A.12 B.32 C.14 D.34解析：原式＝sin 15°cos 15°＝12(2sin 15°cos 15°)＝12sin 30°＝14. 答案：C2．已知sin α＝23，则cos (π－2α)＝( ) A ．－53 B ．－19 C.19 D.53 解析：因为sin α＝23，所以cos (π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2 α)＝－1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝－19. 答案：B3.1－sin 24°等于( )A.2cos 12° B ．2cos 12° C ．cos 12°－sin 12° D ．sin 12°－cos 12°解析：1－sin 24°＝sin 2 12°－2sin 12°cos12°＋cos 212°＝（sin 12°－cos 12°）2＝|sin 12°－cos 12°|＝cos 12°－sin 12°.答案：C4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝14，则sin 2α的值为( )A.78 B ．－78 C.34 D ．－34解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝14，所以sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－116×2＝78.答案：A5．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2 α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于()A.22 B.33 C. 2 D.3解析：因为sin 2 α＋cos 2α＝14，所以sin 2 α＋cos 2 α－sin 2 α＝cos 2 α＝14所以cos α＝±12.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝12，sin α＝32.所以tan α＝ 3.答案：D二、填空题 6．已知tan α＝－13，则sin 2α －cos 2 α1＋cos 2α＝________．解析：sin 2α－cos 2 α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2 α1＋2cos 2α－1＝ 2sin αcos α－cos 2 α2cos 2 α＝tan α－12＝－56. 答案：－56 7．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________．解析：因为sin θ2＋cos θ2＝233，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝43，即1＋2sin θ2cos θ2＝43，所以sin θ＝13，所以cos 2θ＝1－2sin 2 θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79. 答案：13 798．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于________．解析：法一：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725，所以 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝725. 法二：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，得22(sin x －cos x )＝－35，所以sin x －cos x ＝－325，两边平方得 1－sin 2x ＝1825，所以sin 2x ＝725. 答案：725三、解答题9．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)．解：原式sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 20°cos 20°－1＝ sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝ sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin （－10°）cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1. 10．已知tan α＝17，tan β＝13，并且α、 β均为锐角，求α＋2 β的值．解：因为tan β＝13，所以tan 2 β＝2tan β1－tan 2 β＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34，所以tan(α＋2 β )＝tan α＋tan 2 β1－tan αtan 2 β＝17＋341－17×34＝1. 0＜tan α＝17＜1，0＜tan β＝13＜1，又已知α， β均为锐角，所以0＜α＜π4，0＜ β ＜π4，0＜2 β ＜π2，所以0＜α＋2 β ＜3π4. 又tan(α＋2 β )＝1，所以α＋2 β＝π4. B 级能力提升1．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2 x ，x ∈R 的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22＋12，22＋12 D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22－12，22－12 解析：y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝ 22⎝⎛⎭⎪⎪⎫22sin 2x －22cos 2x ＋12＝ 22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12. 因为x ∈R，所以2x －π4∈R ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4∈[－1，1]，所以函数y 的值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22＋12，22＋12.答案：C2．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设此三角形的底角为α，顶角为 β，则cos α＝45，sin α＝35，所以sin β＝sin (π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425. 答案：24253．(2014·江苏卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解：(1)由题意知cos α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫552＝－255，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝ 22×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)sin 2α＝2sin αcos α＝－45， cos 2α＝2cos 2 α－1＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－33＋410.。

高一数学人教A版必修4第三章3.1.1 两角差的余弦公式教案

《两角差的余弦公式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4课题：3.1.1 两角差的余弦公式课时：1课时一、教学内容分析三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.二、教学目标1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算；2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.三、学生学情分析学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式.四、教学过程设计1.创设情景【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB 建筑市郊的一座小山CD 上,从山脚A 测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB ∠)为60︒，从A 点观测塔顶B 的视角（CAB ∠）约为45︒，求：A,B 两点间的距离.（请学生思考求解过程，某生表述：AB=2AD=2×50×()cos 6045︒-︒=100cos15︒.教师引导说明15︒角的余弦值是未知的，而60︒角、45︒角的三角函数值是已知的，不妨用它们来求差角6045︒-︒的余弦值.）【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要.【思考1】()cos 6045︒-︒如何求角60︒，45︒的正弦、余弦值来表示呢？（请学生大胆尝试说明，并根据自己的结论计算验证.在这个过程中，可将问题一般化：两角差αβ-的余弦值与这两个角,αβ的三角函数值之间有怎样的关系呢？引入课题：两角差的余弦公式）【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳，明确常犯的直接性错误为什么是错的，提出本节课的研究内容，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.2.新知探究【思考2】在已学过的知识中，有没有类似求两角差余弦的式子呢？（请学生思考说明：诱导公式()cos cos πββ-=-，cos sin 2πββ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.） ()()cos cos cos 2πβαβπβ--−−−→⎛⎫- ⎪⎝⎭特殊化【说明】观察以上两式就是把角α用特殊角π、2π来替换.由于特殊中往往能反映一般规律，我们不妨从上述公式出发，建立研究思路，寻找两角差的余弦公式的一般性规律.【设计意图】从学生的学习实际出发，回想已有的关于两角差的余弦的式子，寻找新旧知识之间的联系，使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生.【探究1】()cos πβ-如何用角π和β的正弦、余弦值来表示呢？本环节以教师引导探究为主，展现知识的生成过程.【问题1】根据三角函数的定义,你能写出点12,P P 的坐标吗?（请学生说明，点 ()()12cos ,sin ,cos ,sin P P ππββ.）【问题2】根据三角函数的定义，()cos πβ-是角πβ-的终边与单位圆交点的横坐标.那么，你能在图1中画出角πβ-的终边吗？（请学生说明自己画图的过程，可能会有两种做法：方法一：由角β的终边画出角β-的终边，然后将角β-旋转角π，得角πβ-的终边；方法二：以角π的终边为始边旋转角β，得角πβ-的终边.设角πβ-的终边与单位圆交于点3P ，则点3P 的坐标为()()()cos ,sin πβπβ--）【过渡】在已知各点坐标的情况下，我们不妨用向量知识来解决问题.【问题3】观察图1，有几组向量的夹角相等？（请学生说明：0312P OP POP ∠=∠，又向量的模相等，0312OP OP OP OP ∴⋅=⋅，由向量数量积的坐标运算得：()cos cos cos sin sin πβπβπβ-=+.）【活动】根据上述推导过程，请同学们整理研究思路，在学案（附后表1）β的终边y x π-β的终边1,0()π的终边P3P1P2O P0上完成图1对应的表格.【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义，建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量，加强新旧知识之间的关联性，使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式，将探究一拆分为三个问题，帮助学生建立研究思路.【探究2】根据上述做法， cos 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值如何用角,2πβ的正弦、余弦值来表示呢？（请学生根据学案中的图2，四人一组完成探究. 教师引导说明角2πβ-的终边的形成过程，学生类比()cos πβ-的推导过程，以向量为工具，根据向量的夹角相等，得：0312OP OP OP OP ⋅=⋅βπβπβπsin 2sin cos 2cos 2cos +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系，运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系，推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程.【思考3】观察上面两个式子，猜想：若,αβ是任意角，那么()cos αβ-= ？（学生观察上式，归纳说明.）【设计意图】有特殊到一般，猜想任意角两角差的余弦公式，使学生成为数学结论的发现者，这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的.【探究3】你能否证明自己的猜想？π（请学生类比上面两式的推导过程，在学案中自主探究完成，并与周围同学相互交流，解决自己存在的问题.其中，差角αβ-的形成过程教师可利用几何画板旋转得到，帮助学生认识图形间的内在联系.之后投影展示某生的证明过程，并请该生解说： 0312OP OP OP OP ⋅=⋅()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+）【设计意图】通过对猜想进行证明，体现数学知识的严谨性、合理性，使学生对公式的认识上升到理性高度.同时，体会向量方法的作用.【归纳】两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+【问题4】观察两角差的余弦公式，我们如记忆公式呢？（请学生尝试说明，教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳：余余正正异相连.）【设计意图】引导学生总结公式特点，帮助学生记忆公式.3.应用举例例.求cos15︒的值.（本例由情景问题提出，可引导学生采用不同的方法求值，认识到拆分角的多样性.）【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用，拓展数学思维，体会拆分的多样性，决定变换的多样性.4.课堂小结【问题5】本节课你学到了哪些知识，有什么样的心得体会？（学生说明，师生共同归纳总结.）（1）两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（2）向量作为工具性知识的运用；（3）解决数学问题的思路：由已知到未知、由特殊到一般.β的终边α)【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识，获得知识和能力的共同进步.5.作业布置（1）课本127页，练习2,3题；（2）查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗？【设计意图】巩固所学知识，拓展解决数学问题的思路.。

人教A版数学必修四习题第三章三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式分层训练含答案

分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.已知cos x=,则cos 2x= ( D )A.-B.C.-D.2.已知α∈,tan=,那么sin 2α+cos 2α的值为( A )A.-B.C.-D.3.已知α为锐角,且7sin α=2cos 2α,则sin= ( A )A. B.C. D.4.sin 20°cos10°-cos 160°sin 10°=( D )A.-B.C.-D.5.(2018·贵阳高一检测)已知sin+sin α=,则sin的值是( D )A.-B.C.D.-6.如果tan θ=2,那么1+sin θcos θ= ( B )A. B. C. D.7.计算:cos cos=.8.的值是2.9.若θ∈(0,π),且sin 2θ=-,则cos θ-sin θ=-.10.tan 20°+tan 40°+tan 20°tan40°=.11.已知tan α=,tanβ=,且α,β均为锐角,求α+2β的值.【解析】tan 2β==,tan(α+2β)==1.因为α,β均为锐角,且tan α=<1,tan β=<1,所以α,β∈,所以α+2β∈,所以α+2β=.12.已知cos α-sin α=,且π<α<,求的值.【解析】因为cos α-sin α=,所以1-2sin αcos α=,2sin αcos α=.又因为α∈,所以sin α+cos α=-=-,所以====-.B组提升练(建议用时20分钟)13.已知sin 2α=,则cos2= ( A )A. B. C. D.14.若α∈,且3cos 2α=sin,则sin 2α的值为( D )A. B.- C. D.-15.已知α是第二象限角,且sin(π-α)=,则sin 2α的值为-.16.已知0<α<,0<β<,tan(α+β)=2tan α,4tan=1-tan2,则α+β=.17.已知0<α<,sin α=.(1)求的值.(2)求tan的值.【解析】(1)由0<α<,sin α=,得cos α=,所以===20.(2)因为tan α==,所以tan===.18.已知cos=,x∈.(1)求sin x的值.(2)求sin的值.【解析】(1)因为x∈,所以x-∈.sin= =,sin x=sin=sin cos+cos sin =×+×=.(2)因为x∈,所以cos x=-=-=-,sin 2x=2sin xcos x=-,cos 2x=2cos2x-1=-.所以sin=sin 2xcos +cos 2xsin=-.C组培优练(建议用时15分钟)19.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ= ( B )A.-B.-C.D.20.已知向量a=(3sin α,cos α),b=(2sin α,5sin α-4cos α),α∈,且a⊥b.(1)求tan α的值.(2)求cos的值.【解析】(1)因为a⊥b,所以a·b=6sin2α+5sin αcos α-4cos2α=0,由于cos α≠0, 所以6tan2α+5tan α-4=0,解得tan α=-或tan α=.因为α∈,所以tan α<0,所以tan α=-.(2)因为α∈,所以∈.由tan α=-,求得tan =-或tan =2(舍去).所以sin =,cos =-,所以cos=cos cos -sin sin=-×-×=-.关闭Word文档返回原板块。

高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4

∴T＝2ωπ＝2π，值域[－2,2].
由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ 得，递增区间[－π3＋2kπ，23π＋2kπ]，k∈Z.
解析答案
类型三公式的变形应用例 3 已知 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求ttaann αβ的值.
解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.
123 45
解析答案
2.化简 2cos x－ 6sin x 等于( D )
A.2 2sinπ6＋x
B.2 2cosπ6－x
C.2 2sinπ3－x
D.2 2cosπ3＋x
解析
2cos x－
6sin x＝2
212cos
x－
3 2 sin
123 45
解析答案
123 45
5.已知
α，β
9
均为锐角，且
sin
α＝35，tan(α－β)＝－13，则
sin(α－β)＝
－
10 10
，
cos β＝
50
10
.
解析 ∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，
∴－π2<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－ 1100，cos(α－β)＝31010.
达标检测
1.sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( B )
A.－
3 2
B.－12
1
3
C.2
D. 2
解析原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°

2019_2020学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式练习新人教A版必修4

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式[A 基础达标]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x 的值为( ) A.1925 B.1625 C.1425D.725解析：选D.因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝725.2．已知sin α＝55，则cos 4α－sin 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C.15D.35解析：选 D.cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝1－2sin 2α＝1－25＝35.3．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2解析：选 C.因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13，则sin(－3π＋2α)＝( ) A.79B ．－79C.35 D ．－35解析：选A.易得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132－1＝－79.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin 2α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝79.故选A.5．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为( ) A.sin 28°2B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28°解析：选A.tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A. 6．已知sin α－2cos α＝0，则tan 2α＝________．解析：由sin α－2cos α＝0，得tan α＝sin αcos α＝2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×21－22＝－43. 答案：－437．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________．解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1 ＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 答案：－568.1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________．解析：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1.答案：19．已知sin 2α＝513，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α的值．解：由π4<α<π2，得π2<2α<π.因为sin 2α＝513，所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213. 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－120169；cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝119169.10．已知π2<α<π，sin α＝45.(1)求tan 2α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4的值．解：(1)由题意得cos α＝－35，所以tan α＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－831－169＝247. (2)因为sin α＝45，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725，sin 2α＝2sin α·cos α＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＝cos 2α·cos π4＋sin 2α·sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－725×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×22＝－31250. [B 能力提升]11．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4等于( )A.43 B ．－43C.34D ．－34解析：选C.tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x＝－1－tan 2x 2tan x ＝4－12×2＝34.12．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________．解析：1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝2 2 ⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)，所以sin 2θ＝－12，所以sin θ＋cos θ<0，所以θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以cos 2θ＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 2θ·cos π3＋sin π3cos 2θ＝12.答案：1213．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．解：因为0<x <π4，所以0<π4－x <π4.又因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213.因为cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，所以cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413.14．(选做题)已知sin x 2－2cos x2 ＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ）的值．解：(1)由sin x 2－2cos x2＝0，知cos x 2≠0，所以tan x2＝2，所以tan x ＝2tanx21－tan 2 x 2＝2×21－22＝－43.(2)由(1)知tan x ＝－43，所以cos 2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ）＝cos 2x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x （－sin x ）＝cos 2x －sin 2x⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x sin x＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）22（cos x －sin x ）sin x＝2×cos x ＋sin xsin x＝2×1＋tan x tan x ＝24.。

【2020】最新高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3-1-2第1课时两角和与差的正

(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β. (3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sinβ成立．(4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° ＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°) ＝sin 30°，故原式正确．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为( ) A．0 B．12C．32D．cos 54°B [原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝12.]3．若cos α＝－35，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －π4＝________.－210 [∵cos α＝－35，α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos2α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22sin α－22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－210.][合作探究·攻重难]给角求值问题(1)cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( ) A．－32B．－12C．12D．32(2)若θ是第二象限角且sin θ＝513，则cos(θ＋60°)＝________.(3)求值：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.(1)D (2)－12＋5326 [(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos20°＝－sin 70°，sin 40°＝cos 50°，∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝32. (2)∵θ是第二象限角且sin θ＝513， ∴cos θ＝－1－sin2θ＝－1213， ∴cos(θ＋60°)＝12cos θ－32sin θ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－32×513 ＝－12＋5326. (3)原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin －50°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－2.][规律方法] 解决给角求值问题的策略 1对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.2一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式.提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求.[跟踪训练] 1．化简求值： (1)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)． [解] (1)原式＝sin20°＋30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.给值求值、求角问题(1)已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P 的横坐标为45，点Q 的横坐标为513，则cos∠POQ ＝________.(2)已知cosα＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：①cos(2α－β)的值；②β的值.[思路探究](1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP 和∠xOQ 的正弦、余弦值，再依据∠POQ ＝∠xOP ＋∠xOQ 及两角和的余弦公式求值．(2)先求sinα，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cos β再求β.(1)5665 [(1)由题意可得，cos∠xOP ＝45，所以sin ∠xOP ＝35.再根据cos∠xOQ ＝513，可得sin∠xOQ ＝－1213，所以cos∠POQ ＝cos(∠xOP ＋∠xOQ )＝cos∠xOP ·cos∠xOQ －sin∠xOP ·si n ∠xOQ ＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665.(2)①因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010＞0，所以0＜α－β＜π2，所以sin α＝1－cos2α＝255，cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010， cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. ②cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22，又因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.][规律方法] 给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：1当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. 2当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.[跟踪训练]2．已知锐角α，β满足cos α＝255，sin(α－β)＝－35，求sin β的值．[解] 因为α，β是锐角，即0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜π2，因为sin(α－β)＝－35＜0，所以cos(α－β)＝45，因为cos α＝255，所以sin α＝55，所以sin β＝s in[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55×45＋255×35＝255. 辅助角公式的应用[探究问题]1．能否将函数y ＝sin x ＋cosx (x ∈R )化为y ＝A sin(x ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2？提示：能．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.2．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a2＋b2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式．提示：a sin x ＋b cos x＝a2＋b2⎝⎛⎭⎪⎫a a2＋b2sin x ＋b a2＋b2cos x ，令cos φ＝a a2＋b2，sin φ＝ba2＋b2，则a sin x ＋b cos x ＝a2＋b2(sin x cos φ＋cos x sin φ) ＝a2＋b2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝b a2＋b2和cos φ＝aa2＋b2共同确定)． (1)sinπ12－3cos π12＝________. (2)已知a ＝(3，－1)，b ＝(sin x ，cosx )，x ∈R ，f (x )＝a·b ，求函数f (x )的周期，值域，单调递增区间.[思路探究]解答此类问题的关键是巧妙构建公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α－β)、S (α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．(1)－2 [(1)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12.法一：(化正弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－si n π3cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π3－co s π12sin π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2.法二：(化余弦)原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－co s π6cos π12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2kπ，π4＋2kπ，k ∈Z .[规律方法] 辅助角公式及其运用 1公式形式：公式a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin α＋φ或a sin α＋b cos α＝a2＋b2cosα－φ将形如a sinα＋b cosαa ，b 不同时为零的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.2形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.[当堂达标·固双基]1．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A．－32B．－12C．12D．32B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)＝cos 155°， sin 125°＝sin(90°＋35°)＝cos 35°， ∴原式＝cos 155°cos 35°＋sin 155°sin 35°＝cos(155°－35°)＝cos 120°＝－12.]2．化简2cos x －6sin x 等于( ) A．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xB．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xC．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－xD．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋xD [2cos x －6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x－si n π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .]。

人教A版数学必修四培优教程练习：第3章三角恒等变换3-1-2-1a

A 级：基础巩固练一、选择题1．化简cos(x ＋y )sin y －sin(x ＋y )cos y 等于( ) A ．sin(x ＋2y ) B ．－sin(x ＋2y ) C ．sin x D ．－sin x答案 D解析 cos(x ＋y )sin y －sin(x ＋y )cos y ＝sin[y －(x ＋y )]＝－sin x . 2．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值为( )A ．－235B ．235C ．－45D ．45答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝32cos α＋12sin α＋sin α＝32cos α＋32sin α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.3．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案 A解析由根与系数的关系可知tan α＋tan β＝3， tan αtan β＝2，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.4．函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32答案 B解析因为f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6 ＝sin x －32cos x ＋12sin x＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6(x ∈R )，所以f (x )的值域为[－3，3]．5．△ABC 中，若0<tan A ·tan B <1，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定答案 B解析 ∵0<tan A ·tan B <1， ∴tan A >0，tan B >0，tan(A ＋B )＝－tan C ＝tan A ＋tan B1－tan A ·tan B >0.∴tan C <0，又∵0<C <π，∴π2<C <π. 二、填空题6.cos23°＋sin15°sin8°sin23°－cos15°sin8°的值为________．答案 2＋ 3解析原式＝cos (15°＋8°)＋sin15°sin8°sin (15°＋8°)－cos15°sin8°＝cos15°cos8°sin15°cos8° ＝cos15°sin15°＝cos (45°－30°)sin (45°－30°)＝22⎝⎛⎭⎪⎫32＋1222⎝⎛⎭⎪⎫32－12＝2＋ 3. 7．若点P (－3,4)在角α的终边上，点Q (－1，－2)在角β的终边上，则sin(α－β)＝________，cos(α＋β)＝________.答案－255 11525解析因为点P (－3,4)在角α的终边上，所以r ＝5，故sin α＝45，cos α＝－35.又因为点Q (－1，－2)在角β的终边上，所以r ′＝5，故sin β＝－255，cos β＝－55，则sin(α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－255.cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－45×⎝⎛⎭⎪⎫－255＝11525.8．在△ABC 中，A ＝120°，则sin B ＋sin C 的最大值为________．答案 1解析由A ＝120°，A ＋B ＋C ＝180°，得sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )．显然当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1.三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ； (2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．解 (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－32sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α ＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α ＝sin[(α＋β)－α]sin α ＝sin βsin α.10．(1)已知sin α＝35，cos β＝－513，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；(2)求值：3sin π12＋cos π12；(3)在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，判断△ABC 的形状．解 (1)因为α为第一象限角，β为第二象限角， sin α＝35，cos β＝－513，所以cos α＝45，sin β＝1213，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝35×⎝⎛⎭⎪⎫－513＋45×1213＝3365，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－45×1213＝－6365.(2)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin π12＋12cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π6＋cos π12sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝2sin π4＝ 2.(3)tan A ＝tan[180°－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1＝3－3tan B tan Ctan B tan C －1＝－3，而0°<A <180°，∴A ＝120°.tan C ＝tan[180°－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝tan A ＋tan Btan A tan B －1＝tan A ＋tan B 3tan A ＋3tan B＝33，而0°<C <180°，∴C ＝30°，∴B ＝180°－120°－30°＝30°，∴△ABC 是顶角为120°的等腰三角形．B 级：能力提升练1．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,3cos A ＋4sin B ＝1，则C 的大小为( )A ．π6B ．5π6C ．π6或5π6D ．π3或2π3答案 A解析由已知可得(3sin A ＋4cos B )2＋(3cos A ＋4sin B )2＝62＋12，即9＋16＋24sin(A ＋B )＝37.所以sin(A ＋B )＝12.所以在△ABC 中sin C ＝12，所以C ＝π6或C ＝5π6.又1－3cos A ＝4sin B ＞0，所以cos A ＜13.又13＜12，所以A ＞π3，所以C ＜2π3. 所以C ＝5π6不符合题意，所以C ＝π6.2．已知0<α<π2<β<π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝4－3310，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值； (2)求β的值．解 (1)∵0<α<π2<β<π，∴－π3<α－π3<π6，0<β－α<π. 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝4－3310，cos(β－α)＝210得 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝3＋4310，sin(β－α)＝7210. 于是sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3cos π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3sin π3 ＝4－3310×12＋3＋4310×32＝45.(2)由(1)知sin α＝45且0<α<π2，所以cos α＝35.于是cos β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α＝210×35－7210×45＝－22，因为π2<β<π，所以β＝3π4.由Ruize收集整理。

高中数学第三章三角恒等变换3.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式练习(含解析)新人教A版必修4

高中数学第三章三角恒等变换3.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式练习（含解析）新人教A 版必修41．设α是第四象限角，已知sin α＝－35，则sin2α，cos2α和tan2α的值分别为( )A ．－2425，725，－247B ．2425，725，247C ．－2425，－725，247D ．2425，－725，－247答案 A解析因为α是第四象限角，且sin α＝－35，所以cos α＝45，所以sin2α＝2sin αcos α＝－2425，cos2α＝2cos 2α－1＝725，tan2α＝sin2αcos2α＝－247．2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210，cos2α＝725，则cos α＝( )A ．45B ．－45C ．－35D ．35 答案 A解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210，∴22sin α＋22cos α＝7210，即sin α＋cos α＝75，∵cos2α＝725，∴cos 2α－sin 2α＝725，即(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725，∴cos α－sin α＝15，可得cos α＝45，故选A ．3．1－tan 215°2t an15°等于( )A ． 3B ．33C ．1D ．－1 答案 A解析原式＝12tan15°1－tan 215°＝1tan30°＝3．4．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值等于( ) A ．62 B ．32 C ．54 D ．1＋34答案 C解析原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋14＝54．5．sin65°cos25°＋cos65°sin25°－tan 222.5°2tan22.5°等于( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2 答案 B解析原式＝sin90°－tan 222.5°2tan22.5°＝1－tan 222.5°2tan22.5°＝1tan45°＝1．6．3－sin70°2－cos 210°的值是________．答案 2 解析3－sin70°2－cos 210°＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝23－cos20°3－cos20°＝2． 7．若cos(75°－α)＝13，则cos(30°＋2α)＝________．答案 79解析由cos(75°－α)＝13，得cos(150°－2α)＝2cos 2(75°－α)－1＝－79，则cos(30°＋2α)＝cos[180°－(150°－2α)] ＝－cos(150°－2α)＝79．8．若α∈2，2，则1＋sin α＋1－sin α的值为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2 C ．2sin α2 D ．－2sin α2 答案 D解析 ∵α∈5π2，7π2，∴α2∈5π4，7π4，∴原式＝sin α2＋cos α2＋sin α2－cos α2＝－sin α2－cos α2－sin α2＋cos α2＝－2sin α2． 9．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos2α－π4sin α＋π2等于( )A ．25B ．75C ．145D ．－25 答案 C解析 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45．∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin2α＝2sin αcos α＝2425，∴原式＝1＋2cos2αcos π4＋sin2αsinπ4cos α＝1＋cos2α＋sin2αcos α＝145．10．已知sin x 2－2cos x2＝0．(1)求tan x 的值；(2)求cos2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin π＋x 的值．解 (1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43．(2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin π＋x ＝cos2x－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin x＝cos 2x －sin 2x⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x sin x＝cos x －sin x cos x ＋sin x22cos x －sin x sin x＝2×cos x ＋sin x sin x ＝2×1＋tan x tan x ＝24．对应学生用书P90一、选择题1．12－sin 215°＝( ) A ．64 B ．6－24 C ．32 D ．34答案 D解析原式＝12－1－cos 2×15°2＝cos30°2＝34．2．函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数答案 C解析 ∵f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－1＝－cos2x 2＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x ，∴函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－1是最小正周期为2π的奇函数．3．已知cos π4－x ＝35，则sin2x 的值为( )A ．1825B ．725C ．－725D ．－1625 答案 C解析因为sin2x ＝cos π2－2x ＝cos2π4－x ＝2cos 2π4－x －1，所以sin2x ＝2×352－1＝1825－1＝－725．4．已知cos2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A ．1318 B ．1118 C ．79 D ．－1 答案 B解析 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118．5．若cos2αsin α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72 B ．－12C ．12D ．72 答案 C解析 cos2αsin α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝cos α＋sin αcos α－sin α22sin α－cos α＝－2(cos α＋sin α)＝－22． ∴sin α＋cos α＝12．二、填空题6．已知tan x ＋π4＝2，则tan xtan2x 的值为________．答案 49解析 ∵tan x ＋π4＝2，∴tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13．∴tan x tan2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x＝1－tan 2x2＝1－192＝49． 7．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈0，π2，则 α＝________．答案π6解析 ∵sin 22α＋sin2αcos α－(cos2α＋1)＝0． ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0． ∵α∈0，π2．∴2cos 2α>0．∴2sin 2α＋sin α－1＝0．∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6．8．设a ＝12cos7°－32sin7°，b ＝2cos12°·cos78°，c ＝1－cos50°2，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c >b >a解析 a ＝12cos7°－32sin7°＝sin30°cos7°－cos30°sin7°＝sin(30°－7°)＝sin23°，b ＝2cos12°cos78°＝2sin12°·cos12°＝sin24°，c ＝1－cos50°2＝1－1－2sin 225°2＝sin 225°＝sin25°，所以c >b >a ．三、解答题9．求下列各式的值：(1)sin π8sin 3π8；(2)cos 215°－cos 275°；(3)2cos25π12－1；(4)tan30°1－tan 230°； (5)求s in10°sin30°sin50°sin70°的值．解 (1)∵sin 3π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π8＝cos π8，∴sin π8sin 3π8＝sin π8cos π8＝12·2sin π8cos π8＝12sin π4＝24．(2)∵cos 275°＝cos 2(90°－15°)＝sin 215°， ∴cos 215°－cos 275°＝cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32． (3)2cos25π12－1＝cos 5π6＝－32． (4)tan30°1－tan 230°＝12×2tan30°1－tan 230°＝12tan60°＝32． (5)解法一：∵sin10°sin50°sin70°＝sin20°sin50°sin70°2cos10°＝sin20°cos20°sin50°2cos10°＝sin40°sin50°4cos10°＝sin40°cos40°4cos10°＝sin80°8cos10°＝18，∴sin10°sin30°sin50°sin70°＝116．解法二：sin10°sin30°sin50°sin70°＝12cos20°cos40°cos80°＝2sin20°cos20°cos40°cos80°4sin20°＝sin40°cos40°cos80°4sin20°＝sin80°cos80°8sin20°＝116·sin160°sin20°＝116．10．已知α为钝角，且tan π4－α＝2．(1)求tan α的值；(2)求sin2αcos α－sin αcos2α的值．解 (1)tan π4－α＝1－tan α1＋tan α，所以1－tan α1＋tan α＝2，1－tan α＝2＋2tan α，所以tan α＝－13．(2)sin2αcos α－sin αcos2α＝2sin αcos 2α－sin αcos2α＝sin α2cos 2α－1cos2α＝sin αcos2αcos2α＝sin α．因为tan α＝－13，所以cos α＝－3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110，又α为钝角，所以sin α＝1010，所以sin2αcos α－sin αcos2α＝1010．。

高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课后习题新人教A版必修4

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、A组1.(2016•陕西渭南阶段性测试)=()A.-B.-C.D.解析:原式=cos2-sin2=cos,故选D.答案:D2.若sin 2α=,且α∈,则cos α-sin α的值是()A. B. C.- D.-解析:(cos α-sin α)2=1-sin 2α=1-.∵α∈,∴cos α-sin α<0,∴cos α-sin α=-.答案:C3.已知向量a=(3,-2),b=(cos α,sin α),若a∥b,则tan 2α的值为()A. B.- C. D.-解析:由已知可得3sin α-(-2)cos α=0,∴tan α=-.∴tan 2α==-.答案:B4.若f(x)=2tan x-,则f的值为()A.-4B.-C.8D.4解析:∵f(x)=,∴f=8.答案:C5.设sin α=,tan(π-β)=,则tan(α-2β)=()A.-B.-C.D.解析:∵sin α=,α∈,∴cos α=-,∴tan α=-.又tan(π-β)=,∴tan β=-,∴tan 2β==-.∴tan(α-2β)==.答案:D6.若sin,则cos的值是.解析:∵sin=cos,∴cos=cos 2=2cos2-1=2×-1=-.答案:-7.(2016•广东深圳南山区期末)已知sin(π+α)=,则cos 2α=. 解析:∵sin(π+α)=-sin α=,∴sin α=-,∴cos 2α=1-2sin2α=1-2×.答案:8.化简:=.解析:原式==tan 2α.答案:tan 2α9.已知函数f(x)=cos2-sin cos .(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;(2)若f(α)=,求sin 2α的值.解:(1)因为f(x)=cos2-sin cos=(1+cos x)-sin x-=cos,所以函数f(x)的最小正周期为2π,值域为.(2)由(1)知,f(α)=cos,所以cos.所以sin 2α=-cos=-cos=1-2cos2=1-.10.(2016•北京朝阳区高一期末)已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x-2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的单调增区间.解:(1)∵f(x)=sin2x+sin x cos x-2=sin 2x-2=sin,∴f(x)的最小正周期T==π.(2)由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z可解得f(x)的单调增区间是(k∈Z).二、B组1.已知sin ,cos =-,则角α的终边所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵sin α=2sin cos =-<0,cos α=cos2-sin2=-<0,∴角α的终边在第三象限.答案:C2.若向量a=(2,sin x),b=(cos2x,2cos x),则函数f(x)=a·b的最小正周期是()A. B.π C.2π D.4π解析:∵f(x)=a·b=2cos2x+2sin x cos x=1+cos 2x+sin 2x=1+sin ,∴f(x)=a·b的最小正周期是π.答案:B3.化简等于()A. B.tan 2α C. D.tan α解析:原式====tan 2α.答案:B4.若θ∈,sin 2θ=,则sin θ=.解析:因为θ∈,所以2θ∈,所以cos 2θ<0,cos 2θ=-=-.又cos 2θ=1-2sin2θ=-,所以sin2θ=,所以sin θ=.答案:5.(tan 10°-)sin 40°的值为.解析:原式=·sin 40°=·sin 40°=·sin40°==-1.答案:-16sin +sin ,则的值为. 解析:∵sin +sin ,∴sin αcos +cos αsin +sin αcos -cos αsin , 即sin α=,∴sin α=.∴===.答案:7.已知cos <x<,求的值.解:=.易知cos x+sin x=sin ,cos x-sin x=cos.∵<x<,∴+x<2π,又∵cos ,∴sin =-.∵sin 2x=-cos =-cos , ∴原式=-sin 2x=cos=cos==-.8f(x)=5cos2x+sin2x-4sin x cos x.(1)求f;(2)若f(α)=5,α∈,求角α.解:f(x)=5cos2x+sin2x-4sin x cos x=5cos2x+5sin2x-2sin 2x-4sin2x=5-2sin 2x-2(1-cos 2x)=3-2sin 2x+2cos 2x=3-4=3-4=3-4sin .(1)f=3-4sin=3-4sin =3-4.(2)由f(α)=5,得sin =-.由α∈,得2α-, ∴2α-π,即α=.。

精品新版高中数学人教A版必修4习题：第三章三角恒等变换3-1-1

人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式导学案

高中数学 第三章 三角恒等变换 3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式 新人教A版必修4

高中数学：第3章 三角恒等变换 3.1.1 _1