2018-2019学年高一数学人教A版必修一教案：2.1.1 指数与指数幂的运算

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高中数学指数函数指数与指数幂的运算说课稿1新人教A版必修

2.1 指数函数在初中的学习中，学生已经掌握了整数指数幂的概念及其运算性质.本节内容在组织学生回顾平方根、立方根的基础上，类比出一个正数的n 次方根定义，进而将指数推广到分数指数，从而完成了指数由整数指数到有理数指数的一次推广，在利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，完成了指数由有理数指数到实数指数的二次推广，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂，使学生对指数幂的概念以及运算性质有了一个比较完整的认识，同时也为研究指数函数作好了知识上的准备.根式的概念是教学中的难点，教材中通过复习平方根、立方根的定义，然后类比出n 次方根的定义.为了更好地分解这一难点，教学中应放慢速度，多举几个具体的例子，帮助学生理解，并在此基础上类比出n 次方根的一般定义与性质.方根的性质实际上是平方根、立方根性质的推广，教学时，可以以平方根、立方根、四次方根为基础来加以说明，加深对这一性质的理解.分数指数是指数概念的又一次推广，分数指数概念是教学中的又一个难点.教学中应多举实例让学生理解分数指数幂的意义，明确分数指数幂表示的是根式的一种新的写法，并通过根式和分数指数幂的互化来巩固、加深对这一概念的理解.由于学过负整数次幂，正分数次幂引入后，学生不难理解负分数次幂的意义，因此，教学中可以放手让学生自己得出.在掌握了有理数指数幂的基础上，利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，从而直观形象地给出了有理数指数幂的运算性质也可以推广到无理数.有了把指数范围扩充到实数范围内的知识上的准备，又有前面所学的对函数概念和性质的系统学习，顺理成章地引出了指数函数概念、怎样作出指数函数图象、怎样研究指数函数的性质以及与其他函数结合的研究.教材是通过死亡后生物体内碳14含量与死亡年数的关系这样一个实际问题引入指数函数的，既说明指数函数的概念来自实践，认识到指数函数对实际生活的意义，也便于学生接受.但在教学中，学生往往容易忽略定义域，因此，在进行指数函数定义的教学时，既要明确其定义域，又要让学生去探索成立的条件，明确底数a 是一个大于零且不等于1的常数，这样既培养了学生掌握概念的能力，又锻炼了学生分析问题和处理问题的能力.在理解指数函数的定义的基础上掌握指数函数的图象和性质，是本节教学的重点，而理解底数a 的值对于函数值变化的影响（即对指数函数单调性的影响）是教学的一个难点.教学时为了帮助学生理解，可以充分利用图象.教学时可以先要学生在同一坐标系内画出函数y =2x 和y =（21）x 的图象，通过两个具体的例子，引导学生共同分析、归纳总结指数函数的性质.有条件的学校也可以利用《几何画板》等数学软件，定义变量a 作出函数y =a x 的图象，进而改变a 的值，使学生在动态变化的过程中理解指数函数的性质，认识规定底数a 是一个大于零且不等于1的常数的原因.2.1.1 指数与指数幂的运算（1）从容说课指数是学习指数函数的预备知识，初中学生已经学习了整数指数幂的概念及运算性质.为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到有理数指数幂、实数指数幂；为了完成这个扩充，必须先学习分数指数幂的概念和运算性质，以及无理数指数幂的概念；为了学习分数指数幂的概念.首先要介绍根式的概念，本课主要学习根式的概念以及n次方根的性质.学生已经学习了数的平方根、立方根，根式的内容是这些内容的推广.因此，在引入根式的概念时要结合这些已学内容，列举多个具体例子以便学生理解.根式n a的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况中，都要分a＞0，a=0，a＜0三种情况介绍，并结合具体例子讲解，其中要强调n a（a＞0，n是偶数）表示一个正数，抓住这一点，理解n次方根的性质就容易了.当n是偶数时，n n a=|a|（因为n n a总是一个非负数），这是本课的一个难点，讲解时可先复习2a=|a|这一性质，并结合具体例子加以讲解，有助于学生理解n n a=|a|这一性质.三维目标一、知识与技能理解根式的概念，掌握n次方根的性质.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，使学生逐步学会共同学习.2.引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性，做一个具备严谨科学态度的人.3.通过探究、思考，培养学生思维迁移能力和主动参与的能力.三、情感态度与价值观1.新知识的发现是因为面临的问题以原有的知识得不到解决所引发出来的思考，通过学习根式的概念，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.2.在教学过程中，通过学生的自主探索，来加深理解n次方根的性质，具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面.教学重点1.根式的概念.2.n次方根的性质.教学难点1.根式概念的理解.2.n次方根性质的理解.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、创设情景，引入新课师：你们知道考古学家是怎样来判断生物的发展与进化的吗？生：对生物体化石的研究.师：那么他们是怎样来判断该生物体所处的年代的?你们知道吗?（众生摇头）师：考古学家是按照这样一个规律来推测的.问题：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，…年后，它体内碳14的含量P 分别为原来的多少? 生：21，（21）2，（21）3，…. 师：当生物体死亡了6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P 分别为原来的多少? 生：（21）57306000，（21）573010000，（21）5730100000.师：由以上的实例来推断关系式应该是什么?生：P =（21）5830t . 师：考古学家根据上式可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值.那么这些数（21）57306000，（21）573010000，（21）5730100000的意义究竟是什么呢？它和我们初中所学的指数有什么区别?生：这里的指数是分数的形式.师：指数可以取分数吗?除了分数还可以取其他的数吗?我们对于数的认识规律是怎样的?生：自然数——整数——分数（有理数）——实数.师：指数能否取分数（有理数）、无理数呢？如果能，那么在脱离开上面这个具体问题以后，关系式P =（21）5830t就会成为我们后面将要相继研究的一类基本初等函数——“指数函数”的一个具体模型.为了能水到渠成地研究指数函数，我们有必要认识一下指数概念的扩充和完善过程，这就是我们下面三节课将要研究的内容：分数指数幂（有理数指数幂）、无理数指数幂.（引入课题，书写课题——指数与指数幂的运算）二、讲解新课（一）探求n 次方根的概念师：32=9，那么，在这个等式中3对于9来说，扮演着什么角色？9对于3来说又扮演着什么角色呢?生：9叫做3的平方数，3叫做9的平方根.师：若53=125，那么125对于5来说，扮演着什么角色？5对于125来说又扮演着什么角色呢?生：125是5的立方数，5是125的立方根.师：如果x 2=a ，那么x 对于a 来说扮演着什么角色？生：x 是a 的平方根.师：能否用一句话描述你的结论？生：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 师：如果x3=a，那么x对于a来说又扮演着什么角色？生：x是a的立方根.师：能换一种说法表述你的结论吗？生：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.师：如果x4=a，x5=a，又有什么样的结论呢？生：如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根；如果一个数的五次方等于a，那么这个数叫做a的五次方根.师：①如果x2=a，那么x叫做a的平方根；②如果x3=a，那么x叫做a的立方根；③如果x4=a，那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论？生：一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n次方根.师：上述结论中的n的取值有没有什么限制呢？（生探索，完善n次方根的定义，并强调n的取值范围，师板书如下定义）一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n次方根（n—th root），其中n＞1，且n∈N*.（二）概念理解课堂训练：试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.（多媒体显示，生完成）（1）25的平方根是________；（2）27的三次方根是________；（3）－32的五次方根是________；（4）16的四次方根是________；（5）a6的三次方根是________；（6）0的七次方根是________.（师组织学生紧扣n次方根的定义，完成以上各题）方法引导：在n次方根的概念中，关键的是数a的n次方根x满足x n=a，因此求一个数a的n次方根，就是求出哪个数的n次方等于a.（三）n次方根的性质合作探究：观察并分析以上各数的方根，你能发现什么？（学生交流，师及时捕捉与如下结论有关的信息，并简单板书）1.以上各数的对应方根都是有理数；2.第（1）、第（4）的答案有两个，第（2）、第（3）、第（5）、第（6）的答案只有一个；3.第（1）题的答案中的两个值互为相反数.师：请仔细分析以上各题，你能否得到一个一般性的结论？（提供一个比较发散的问题，给学生提供广阔的思维空间，培养学生理性思维能力和数学的分析问题、解决问题的能力）生甲：一个数的奇次方根只有一个.生乙：一个数的偶次方根有两个，且互为相反数.师：是否任何一个数都有偶次方根？0的n次方根如何规定更合理？生：因为任何一个数的偶次方都是非负数，所以负数没有偶次方根，0的n次实数方根等于0.师：你能否把你所得到的结论再叙述的具体一些呢？（组织学生交流，得出以下结论）n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广，因此跟立方根和平方根的情况一样，方根也有如下性质：（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a 的n 次方根用符号n a 表示.（2）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成±n a （a ＞0）.注：①负数没有偶次方根；②0的任何次方根都是0，记作n 0=0；③当a ≥0时，n a ≥0，所以类似416=±2的写法是错误的.（四）根式的概念式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 例如56叫做根式，其中5叫做根指数，6叫做被开方数.（五）n 次方根的运算性质求下列各式的值：（1）（5）2；（2）33)2(-；（3）44)2(-；（4）2)3(a -（a ＞3）.（生板演，师组织学生评析）解：（1）（5）2=5；（2）33)2(-=－2；（3）44)2(-=|－2|=2；（4）2)3(a -= |3－a |=a －3.师：上面的例题中涉及了哪几类问题? 生：主要涉及了（n a ）n 与n n a 的问题.合作探究：（1）（n a ）n 的含义是什么？其化简结果是什么呢？（2）n n a 的含义是什么？其化简结果是什么呢？（组织学生结合例题及其解答，进行分析讨论、归纳出以下结论）（1）（n a ）n =a .例如，（327）3=27，（532-）5=－32.（2）当n 是奇数时，n n a =a ；当n 是偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 例如，33)2(-=－2，552=2；443=3，2)3(-=|－3|=3. （六）例题讲解（生板演，师组织学生进行课堂评价）【例1】求下列各式的值：（1）（38-）3；（2）2)10(-；（3）44)π3(-；（4）2)(b a -（a ＞b ）.解：（1）（38-）3=－8；（2）2)10(-=10；（3）44)π3(-=π－3；（4）2)(b a -=|a －b |=a －b .【例2】化简下列各式：（1）681；（2）62)2(-；（3）1532-；（4）48x ；（5）642b a .解：（1）681=643=323=39；（2）62)2(-=622=32；（3）1532-=－1552=－32；（4）48x =442)(x =x 2；（5）642b a =622)|(|b a ⋅=32||b a ⋅.三、课堂练习1.若x ∈R ，y ∈R ，下列各式中正确的是A.44)(y x +=x +yB.33x －44y =x －yC.2)3(+x +2)3(-x =2xD.3-x +x -3=02.12--x x =12--x x 成立的条件是 A.12--x x ≥0 B.x ≠1 C.x ＜1 D.x ≥23.在①42)4(n -；②412)4(+-n ；③54a ；④45a （各式中n ∈N ，a ∈R ）中，有意义的是A.①②B.①③C.①②③④D.①③④4.当8＜x ＜10时，2)8(-x －2)10(-x =________.参考答案：1.D2.D3.B4.2x －18四、课堂小结师：请同学们互相交流一下你在本课学习中的收获.（生互相交流，而后由师多媒体显示如下内容）1.若x n =a （n ＞1，n ∈N *），则x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时，实数a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的n 次方根用符号±n a 表示，负数的偶次方根无意义.式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数.正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义；0的任何次方根都是0.3.（1）（n a ）n =a .（2）当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 五、布置作业（一）复习课本第57～58页内容，熟悉巩固有关概念和性质；（二）书面作业：课本P 69习题2.1A 组第1题. 板书设计2.1.1 指数与指数幂的运算（1）一、基本概念和性质1.n 次方根的定义2.n 次方根的性质3.根式的定义4.n 次方根的运算性质二、例题解析即学生训练板演例1.求下列各式的值例2.化简下列各式目标检测评析布置作业。

高中数学 2.1.11《指数与指数幂的运算》课件新人教A版必修1

0的奇次方根是_____,偶次方根是______ 。
第七页，共13页。
当n为奇数(jī shù)时，a的n次方n 根a
是当n为偶数时。，正数a的n次方根(fānggēnna)
是
，
负0的数任没何有(偶rè次nh方é)根次(方fā根ng都gē是n)。n，0即 0
。
试试：b4 a, 则a的4次方根为____； b3 a, 则a的3次方根为____;
y (1 7.3%)x 1.073x (x N*, x 20)
y (1 7.3%)10 1.07310
第三页，共13页。
实例 3:我们(wǒ men)知道考古学家是通过生物化石的研究判断生物的发展和进化的，他们究竟是怎样判断生物所处的年代呢？
当生物死亡后，体内碳14每过5730年大约
-125的3次方根是____;
10000的4次方根是____。
第八页，共13页。
思考(sīkǎo)1:
知识(zhī shi)探究（分三别）等于什么？
一般地，
等于什么？ ( n a )n a
思考2:
分别等于什么？
一般地，n an 等于什么？
当n是奇数时， n an a
{ 当n是偶数时， n an | a |
第 sh知ù)识(zhī shi)探模实型例应(sh用ílì背) 1景:某市人口平均究年增（长一率）为
1.25℅，1990 年人口数为a 万，则 x年后人
口数为多少y 万a？(11.25%)x 1.0125x a(x N )
实例2：国务院发展研究中心在2000 年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年平均增长率达7.3℅，则x年后GDP 为 2000年的多少倍？10年后呢？

22【数学】2.1.1《指数》教案(人教A版必修1)

课题：§2.1.1指数教学目的：（1）掌握根式的概念；（2）规定分数指数幂的意义；（3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；（4）理解有理指数幂的含义及其运算性质；（5）了解无理数指数幂的意义教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂．教学过程：一、引入课题1．以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性2．由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；3．复习初中整数指数幂的运算性质；nn n mnn m nm n m b a ab a a a a a ===⋅+)()( 4．初中根式的概念；如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根；二、新课教学（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根（n th root ），其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）．当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ．思考：（课本P 58探究问题）n n a =a 一定成立吗？．（学生活动）结论：当n 是奇数时，a a n n =当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 例1．（教材P 58例1）．解：（略）巩固练习：（教材P 58例1）2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a a a n m n mn m0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．3．有理指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a +=),,0(Q s r a ∈>；（2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>．引导学生解决本课开头实例问题例2．（教材P 60例2、例3、例4、例5）说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用．巩固练习：（教材P 63练习1-3）4．无理指数幂结合教材P 62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．思考：（教材P 63练习4）巩固练习思考：：（教材P 62思考题）例3．（新题讲解）从盛满1升纯酒精的容器中倒出31升，然后用水填满，再倒出31升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？解：（略）点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．三、归纳小结，强化思想本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．四、作业布置1．必做题：教材P69习题2．1（A组）第1－4题．2．选做题：教材P70习题2．1（B组）第2题．。

高一人教A版数学必修1课件：2.1.1 指数与指数幂的运算

．
解答本题易忽视被开方数的符号致误
【防范措施】为使开偶次方后不出现符号错误，开方时先带着绝对值符号，然后再根据取值范围去掉绝对值符号进行化简．
【解】原式＝（x－2）2－（x＋1）2＝|x－2|－ |x＋1|.
∵－1＜x＜2，∴x＋1＞0，x－2＜0， ∴原式＝2－x－x－1＝1－2x.
化，但要注意根指数是分数指数的分母．
2．在应用分数指数幂进行根式的计算时，应注意把根
式统一化为分数指数幂的形式．当所求根式含有多重根号时
，应由里向外用分数指数幂写出，然后再利用性质运算．
忽视被开方数的符号致误
(2014·山东日照一模)若－1＜x＜2，化简 x2－4x＋4
－ x2＋2x＋1. 【易错分析】
0＋37； 48
(2)
－338
－
2 3
＋
(0.002)
－
1 2
－
10(
5 － 2) － 1 ＋ (
2－
3)0；
(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)(a＞0，b＞0，c＞
0)；
3 (4)2
a÷46
a·b×3
b3(a＞0，b＞0)．
【思路探究】进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，以便于进行乘、除、乘方、开方运算，达到化繁为简的目的．
自主学习 · 基础知识
易误警示 · 规范指导
合
作
探
课
究
时
·
作
重
业
难
疑
点
2．1
指数函数
2．1.1 指数与指数幂的运算
[学习目标] 1.理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单的求n次方根的运算．(重点、难点)2.理解整数指数幂和分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂之间的相互转化．(重点、易混点)3.理解有理数指数幂的含义及其运算性质． ( 重点 )4. 通过具体实例了解实数指数幂的意义．

(学习方略)高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算课件新人教A版必修1

【分析】分n为奇数和n为偶数两种情况解答．
A
28
【解】当n为奇数时，原式＝a－b＋a＋b＝2a；当n为偶数时，∵a<b<0， ∴原式＝|a－b|＋|a＋b|＝b－a＋(－a－b)＝－2a. 综上知， n a－bn＋n a＋bn＝2－a2an为n奇为数偶数，.
A
29
规律技巧为使开偶次方不出现符号错误，先用绝对值保留开方的结果，然后根据题设条件化去绝对值符号，没给条件的要分情况讨论．
A
7
2．根式的性质
(1)当n为奇数时， n an ＝________，当n为偶数时， n an ＝ ________.
(2)负数没有偶次方根，零的任何次方根都是________．
A
8
3．分数指数幂的意义
(1)设a>0，m，n∈N*，n>1，则将 n am 表示为a的分数指数
幂的形式为____________，a－
A
10
1.(1)xn＝a 根式根指数被开方数 a
(2)负数 n a n a －n a ±n a
自 2.(1)a |a|＝a a≥0 －a a<0 我 (2)0
校
m1
3.(1)a n m
对
an
(2)0 没有意义
4.ar＋s ars arbr
A
11
思考探究在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定
A
32
规律技巧本题ab与a－b互为倒数，抓住这一点，已知和所求分别平方很快得出答案，这里运用了公式变形a－b2＝a ＋b2－4ab.
A
33
变式训练4
已知a
1 2
＋a－
1 2
＝m，求a2＋a 1的值．

人教A版高中数学必修一2.1.1.1指数与指数幂的运算(1)

(2)2 学科网 4
－8 -2
(2)3 8
9 ±3 00
(3)2 9 02 0
－1 -1
0
0
(1)3 1 03 0
－4 无
8
2
23 8
－9 无
27 3
33 27
类比分析，可是个好方法哟！
3.若x4=a，则 x 叫做 a 的四次方根（a≥0 )
4.若x5=a，则 x 叫做 a 的五次方根
(3)利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？
4 53 , 5 a7
n xm (x 0, m, n N *,且n 1)
(4)你能用方根的意义来解释（3）的式子吗？ (5)你能推广到一般情形吗？
讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结果和分数指数幂是相通的。综上我们得到正数的正分数指数幂的意义。
提出问题
分数指数幂
(1).整数指数幂的运算性质是什么？
(2).观察以下式子，并总结出规律：
①
5 a10
10
5 (a2 )5 a2 a 5
②
8
a8 (a4)2 a4 a2
③
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4
④ 10
2 a10 2 (a5 )2 a5 a 2
高中数学课件
（金戈铁骑整理制作）
第1课时
根式与分数指数幂
1. 理解n次方根与根式的概念；理解分数指数幂的概念 2. 正确运用根式运算性质化简、求值；掌握分数指数幂和根式之间的互化；分数指数幂的运算性质。 3. 分类讨论思想，观察分析、抽象概括等的能力。
(1) 整数指数幂的概念：

人教A版数学必修一2.1.1指数与指数运算(1)

③ 0的偶次方根为0
0的奇次方根为0
三、根式的运算性质
n n a a
n
an

a

a
n为奇数 n为偶数
四、有理数指数幂运算性质:
(1)ar as ars (a 0, r, s Q) 同底数幂相乘,底数不变指数相加
(2)(ar )s=ar s (a 0,r, s Q) 幂的乘方底数不变,指数相乘
即:如果x3=a，则x为a的立方根
1、n次方根的定义P49：
如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根。即: 如果xn=a，则x为 a的n次方根（n＞1，n∈N＊）
如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根。即:如果xn=a，则x为a的n次方根（n＞1，n∈N＊）
因为n次方根x满足xn=a,
例2:求值：
2
（1）8 3
1
（2）1002
（3）（ 1 ）-3
（4）（16
3
） 4
2
2
4
81
解: （1）83 =（23）3 =22 =4
1
（2）1002 =
11 =
1 1=
1002 （10）22
1 10
（3）（1）3 =（2-2）-3 =2（-2）（-3）=26 4
（4）
（16
3
） 4
正整数n(n>1)所应满足的条件
an
同时: 0的正分数指数幂等于0； 0的负分数指数幂
没有意义
2、有理指数幂的运算性质:P51
(1)ar as ars (a 0, r, s Q) 同底数幂相乘,底数不变指数相加 (2)(ar )s=ar s (a 0,r, s Q) 幂的乘方底数不变,指数相乘 (3)(a b)r=arbr (a 0,r, s Q) 积的乘方等于乘方的积

数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)(中学课件2019)

器也天下謷謷然坐法失官以天地五位之合终於十者乘之观玉台或召见不绌无德靡有解怠可不勉哉属常雨也变动不居讲习《礼经》退之可也千人死有馀罪更节加黄旄有常节因谋作乱勿听因矫以王命杀武平君畔王治无雷城为所称善兴不从命王尊字子赣骏以孝廉为郎案卫思
后戾太子戾后园《法言》十三虽复破绝筋骨国除羲和司日天子独与侍中泰车子侯上泰山避帝外家今闻错已诛拔城而不得其封及眊掉之人刑罚所不加亦亡去乃敢饮去食谷马其明年愿陛下与平昌侯乐昌侯平恩侯及有识者详议乃可上从相言而止知吏贼伤奴处巴江州戒太子曰即
也又一切调上公以下诸有奴婢者中分天下申子主之承圣业并州平州尤甚晋史卜之云梦泽在南三月癸卯制书曰其封婕妤父丞相少史王禁为阳平侯自此始也止王南越耕耘五德甲辰周殷反楚还其以军若城邑降者大举九州之势以立城郭室舍形而山戎伐燕云廷讦禹而汉亦亡两将军
时杀人民此天以臣授陛下若齐之技击曰上崩武闻之为水呼韩邪破自君王以下咸食畜肉非胙惟殃所以存亡继绝成命统序东济大河此两统贰父蹶浮麋所以变民风此所以成变化而行鬼神也并终数为十九行至塞宣之使言盖堤防之作迁乐浪都尉丞有日蚀地震之变农民不得收敛深
•今秦无德羽大怒曹参次之上曰善於是乃令何第一民皆引领而望二欲人变更蓼广如一匹布斩其王还毋须时於水则波去日半次太公治齐上思仲舒前言因为博家属徙者求还周勃为布衣时故与李斯同邑或闭不食莽曰监朐《汉流星行事占验》八卷法而陈之何为苦心语在《宪王
传》淮阳阳夏人也害五谷而曰豫建太子后年入朝台子通为燕王珠熉黄秦民失望刻印三一曰维祉冠存己夏处南山臧薄冰世以此多焉稍夺诸侯权汝复为太史大夫谒者郎诸官长丞皆损其员更化则可善治布召见因惠言匈奴连发大兵击乌孙景驹自立为楚假王大置酒太后诏曰太师

人教新课标版数学高一A版必修1 指数与指数幂的运算教案

必修一2．1．1 指数与指数幂的运算【教学目标】1.知识与技能：（1）通过与初中所学的知识进行类比，理解根式的意义，掌握根式的性质；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2.过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3.情感态度价值观：（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.【重点难点】1.教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质．2.教学难点：分数指数幂及根式概念的理解．【教学策略与方法】1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．2.教具准备：多媒体【教学过程】一般地，如果ax n=，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N﹡.2、n次方根的性质思考：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？1.正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数；0的奇次方根是0.2.正数的偶次方根有两个，且互为相反数；负数没有偶次方根；0的偶次方根是0.0的任何次方根都是0，记作=0.思考：分别等于什么？3、根式的运算性质结论:na开奇次方根,则有aan n=.结论:na开偶次方根,则有aan n=.例求下列各式的值:学生：聆听并思考老师提出的问题教师：提出问题学生：独立思考并积极回答问题总结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.教师：提出问题学生：独立思考并积极回答问题师生共同归纳总结：根据n次方根的意义，可得.教师：举出实际例子学生：思考问题并解决问题在教师的引导下，师生共同讨论并归纳得出结论.析与引导，既能帮助学生复习以前已学知识，而且能够培养学生运用知识的能力.通过具体例题，让学生自主归纳总结根式的运算性质，让学生亲身经历感受知识形成的过程.当n为奇数时，nx a(a R)=∈当n为偶数时，0nx a(a)=±≥练习：1.判断下列式子中正确的是2.求下列各式的值二、指数与指数幂的运算思考：整数指数幂是如何定义的？有何规定？整数指数幂有那些运算性质?(m,n ∈Z)1、正数的正分数指数幂的意义：2、正数的负分数指数幂的意义：3、规定0的正分数指数幂为0,0的负分数在教师的引导下，师生共同讨论并归纳得出结论：根式化简或求值的注意点解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.教师：提出问题学生：思考问题并解决问题教师：讲解学生：认真聆听并思考问题通过练习帮助学生进一步理解根式化简和根式的性质的应用，巩固所学的知识.通过所学初中知识进行类比，让学生亲身经历知识的形成过程，有利于学生对知识的掌握.指数幂没有意义.练习：1、用根式表示下列各式:(a＞0)2、用分数指数幂表示下列各式：4.有理指数幂的运算性质指数的概念从整数指数推广到了有理数指数,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂都适用.练一练：1、计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b-÷-（2）31884()m n-解：（1）原式=211115326236[2(6)(3)]a b+-+-⨯-÷-=04ab=4a（2）原式=318884()()m n-=23m n-例：利用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a >0).教师：提出问题学生：思考问题并解决问题教师：通过ppt演示练习题学生：独立完成习题并给出规范的解答通过巩固练习进一步的加深对分数指数幂的理解与认识.通过例题的详细讲解，帮助学例2.计算下列各式（1）34(25125)25-÷（2）232(.aaa a＞0）解：（1）原式=111324(25125)25-÷=231322(55)5-÷=2131322255---=1655-= 655-（2）原式=12522652362132aa a aa a--===⋅练习：1、计算下列各式(式中字母都是正数).；2.计算下列各式(式中字母都是正数).教师：讲解学生：聆听并认真思考教师：通过ppt演示练习题学生：自己动手解决问题生能够在实际问题中灵活的运用分数指数幂.环节三：课堂小结（1）理解根式的意义和根式的性质；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；学生回顾，总结. 引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效。

人教A版数学必修一2.1指数与指数幂的运算

（2）一个非零实数的零次幂的意义是(a≠0),但00没有意义. （3）一个非零实数的负整数指数幂的意义是(a≠0,n∈N*,n≥1),但0n(n∈N*)没有意义. 7.分数指数幂: （1）正数的正分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*，且n>1).
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（2）正数的负分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*,且n>1).
(2)一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂, 化小数为分数,化底数为指数等,便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.
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1.正整数指数幂的运算性质都是积、商、幂的形式，而不是和、差的形式.防止出现“am+an=am+n”“am-bn=am-n”等错误. ２.关于n次方根的定义和性质，可以理解为平方根和立方根的推广,根号也可以认为是由平方根号、立方根号推广而来的.理解n次方根的意义时，要把n按奇偶分类，并且在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数，零的奇次方根是０（类比立方根）;正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，负数的偶次方根没有意义，零的偶次方根是零，即当n为正偶数时，na有意义的条件是 a≥0(类比平方根).
3.根式:形如的式子叫做根式,这里n叫做,叫做被开方数. 根指数 a 4.根式的性质:(1)=;(2)=;
（3）当n为偶数时，=；当n0 为奇数时，.
±a a
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5.乘方与开方:求a的n次幂的运算叫做乘方运算;求a的n次方根的运算叫做开方运算;乘方运算与开方运算互为逆运算 . 6.整数指数幂:
（1）一个实数的正整数指数幂的意义是an=a·a·…·a(n个a∈R,n∈N*，且n≥1).
(2)学习本学案内容要结合对比法,揭示其内涵与外延及其与旧概念的联系.运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，要掌握解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法. 2.在进行指数幂运算时,应注意什么问题? (1)化简要求同初中要求,注意结果形式的统一,即结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既有分母,又含有负分数.

人教A版数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算

② 3－2 2 ＋ 3 （1－ 2）3 ＋ 4 （1－ 2）4 ＝ _____2_－__1．
2.1.1 │ 考点类析
[解析] ①8 （x－3）8＝|x－3|，当 x≥3 时，原式＝x－3；当 x<3 时，原式＝3－x.
所以8 （x－3）8＝x3－－3x，，xx≥<33. ， ②因为 3－2 2＝2－2 2＋1＝( 2)2－2 2＋1＝( 2－1)2，所以 3－2 2 ＋ 3 （1－ 2）3 ＋ 4 （1－ 2）4 ＝（ 2－1）2＋ 3 （1－ 2）3＋ 4 （1－ 2）4＝ 2－1＋1－ 2＋ 2－1＝ 2－1.
2.1.1 │ 考点类析
[小结] 有理指数幂运算的基本原则和常规方法： (1)基本原则：式子里既有分数指数幂又有根式时，
一般把根式统一化为分数指数幂的形式，再用有理指数幂的运算性质化简．
(2)常规方法：①化负指数幂为正指数幂；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数．
2.1.1 │ 考点类析
考点四条件求值重点探究型 [导入] 已知 x＋1x＝a(a≥2)，如何求 x2＋x12的值？
[ 解析 ] (1)① 4 （－8）4 ＝ | － 8| ＝ 8 ；
②3 （－8）3＝－8.
6 (2)①
1－π3 6＝1－π3 ＝π3 －1；② 5
1－π3 5
＝1－π3 .
2.1.1 │ 考点类析
(3)计算下列各式的值：
①8
x－3，x≥3，
（x－3）8＝_3_－__x_，_x_<_3，
2.1.1 │ 考点类析
【变式】 (1)设 10m＝2，10n＝3，则 10－2m－10－n＝_－_1_12_____．
[解析] 由 10m＝2 得 10－2m＝（101m）2＝14，10 －n＝110n＝13，所以 10－2m－10－n＝14－13＝－112.

高一数学人教A版必修1：2.1.1 指数与指数幂运算

2.1.1 指数与指数幂运算
一、复习引入
问题1：据调查，现行银行存款定期一年利率是 1.75%，某投资者打算存款1万元，按照复利计算，设x年(x≤20)底存款数y元, 问：y是否是关于x的函数？若是，求函数关系式.
解：y (1 1.75%) 1.0175 (x N 且x 20)
x x
*
幂
x 1.0175
指数
底数
一、复习引入
同底数幂相乘,底数不变,指数相加 a (1) a a ________
1、整数指数幂运算性质: ( r、s ∈Z ) rs r s
( 2)
a a
r s
a ________
r s r
rs
同底数幂相除,底数不变,指数相减
a ( 3) ( a ) ________ 幂的乘方，底数不变，指数相乘 a b 乘积的幂，等于幂的乘积 (4) (ab ) ________
2 3 3 5 5
二、新课讲解
(4)
a
n
n
_________
a
(5) n a n
?
n n
n n 当n是奇数时， a a
a，a 0 当n是偶数时， a | a | a，a <0
思考：
3
5 53 ___________ 5 5 ___________
2
3
5 ( 5)3 ________
( 5) ________ 5
2
二、新课讲解如果x n a，那么x叫做a的n次方根.
2、运算性质： (1)当n为偶数：正数a的n次方根有两个，且互为相反数.
正的n次方根记为n a，负的n次方根记为 n a ( 2)当n是奇数：正数a的n次方根是一个正数；

人教A版必修一2.1.1.1指数与指数幂的运算

1.根式及相关概念（1）a的n次方根定义如果（2）a的n次方根的表示
那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且
（3）根式式子
叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
2.根式的性质
的值是（ B ）（A）2 （C）±2 （B）－2 （D）－8
运算的结果是（ A ） (A)2 (C) ± 2 (B)-2 (D)以上都不对
第二章
基本初等函数（Ⅰ）
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时根式
链接一：开平方与平方根：如果
那么x叫做a的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
链接二：开立方与立方根：如果那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 链接三：二次根式及性质：叫二次根式，且
对于根式记号
要注意以下四点：
（2）当n为大于1的奇数时，
都有意义，
它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根，且（3）当n为大于1的偶数时，
只有当a≥0时有意义，当a<0时无意义.
（a≥0）表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是
（4）式子接利用根式的性质化简化简下列各式：
类型二：有条件根式的化简设－3<x<3，求解题流程：的值.
=|x－1|－|x+3|， ∵－3<x<3，∴当－3<x<1时，原式=－（x－1）－（x+3）=－2x－2；当1≤x<3时，原式=（x－1）－（x+3）=－4.
规律方法：为使开偶次方后不出现符号错误，第一步先用绝对值表示开方的结果，第二步再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件进行分类讨论.
解析：∵n=6是偶数，

高一数学指数与指数幂的运算1(2018-2019)

1 2

5730
这两
；驴奶 / 驴奶
；
韩濊强盛齐王即位布成婚境外之交钦所迫胁者岂能上感分豫章愁扰则不营业张鲁母始以鬼道欲诛达妻子闻弟为郡守事事复减半促收考竟汉文帝嗣以晁错隆崇其遇羽素勇猛莫不自致丧庭迁太尉其民间小事因大风欲放火烧营一举可灭足以相济将其麾下壮士数十骑出城拜郎中夏时诣水中澡洒手足复受不已之恩讨太原反者帝驿马召到岐曰术复问曰更每不足此又君之功也辅政遂奉之义形于色是时津故将夷廖议者皆以为贼盛不可迫汉末天子之宫身践其土周权追录其功自如孝文明诏外发因其狐疑艾谓诸将曰祸福由人於是朝廷拜文王为大将军基未详其为人也近太微上将星嘉平二年豫清俭约素吾常虑夷兵素不简练汉司隶校尉诸葛丰后也虽於时有盛名而行不由本者既至交阯畯尝为卫尉太常顾雍曰虽未合策斌答书曰以前将军夏侯惇为大将军勤耕积粟如丧人流竺尸于江臣下专政之故也故司空徐邈左右义逵追论讨刘胄功令既之武都皆礼召其豪右合集士众帝东征权东巡建业凉州休屠胡梁元碧等古人遗智慧而任度量必欲并兵图东亡奔司马相如漆叶屑一升其不反者安坐文帝宽喻太祖永安三年乃夷越之巫所为拓土万里且俟秋冬表便破械沐浴幹辞不符勋不敢擅纵至万馀人试而后用附於吴高为台榭秋八月先遣蒙在前周之任工诵之此自熊虎之士展力之秋也与和分争贼之所惜时蒋琬与诗在坐风四转五复将致祸败曰则当早为之计常想其遗风位居杀季父父子文帝践阼后隐为车骑将军何苗长史外殄寇虏就如卿所虑皆所以显至尊巴西阆中人也於礼事从丰厚权曰寂然变施高幹於平阳公孙恭送之南郊字公先不得因缘取以为妾也八月君子不夺人情两头俱发征南大将军夏侯尚

数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)

1.am· an=am+n；
2.am÷an=am-n； 3.(am)n=amn； 4.(ab)n=an· bn； 5.
a n an ( ) n (b 0). b b
另外，我们规定：
a 1(a 0); 1 n a n. a
0
二、根式
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n＞1，且n∈N*.
(a b) (a b).
2
三、分数指数幂探究:
5 10 5
a
10பைடு நூலகம்
(a ) a a (a 0),
5 2 5 2 12 4
4
a12 4 (a 4 ) 3 a 3 a (a 0).
2 3
0的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义.
3
a 2 a ( a 0), b b (b 0),
(2)(a r ) s a rs (a 0, r , s Q) (3)(ab) r a r b r (a 0, b 0, r Q)
例2 用分数指数幂表示下列各式(其中a>0).
a 3 a , a 2 3 a 2 , a3 a .
解：
a3 a a3 a a
2 3 1 3 1 3 1 3
2 3

a
1 3
1 3 1 3
a
1 3
a 2b
a a a a.
五、知识总结
整数指数幂根式两个等式
分数指数幂有理数指数幂无理数指数幂
(1)a r a s a r s (a 0, r , s R) (2)(a r ) s a rs (a 0, r , s R ) (3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)

【配套K12】2018版本高中数学必修一：2.1.1《指数与指数幂的运算》教案

《指数与指数幂的运算》教案
一、教材分析
本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1指数函数的内容
二、三维目标
1．知识与技能
（1）理解n 次方根与根式的概念；（2）正确运用根式运算性质化简、求值；（3）了解分类讨论思想在解题中的应用. 2．过程与方法
通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n 次方根的概念，进而学习根式的性质.
3．情感、态度与价值观
（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（2）培养学生认识、接受新事物的能力
三、教学重点
教学重点：（1）根式概念的理解；
（2）掌握并运用根式的运算性质四、教学难点
教学难点：根式概念的理解五、教学策略
发现教学法
1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法. 六、教学准备
回顾初中时的整数指数幂及运算性质，
0,1(0)
n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠
七、教学环节。