高考数学第五章平面向量专题19平面向量的数量积及其应用考场高招大全

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高考数学(文)《平面向量》专题复习

专题5 平面向量
第1节平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理
600分基础考点&考法
❖考点29 平面向量的基本概念及线性运算 ❖考点30 平面向量的坐标运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
❖考法1 平面向量的有关概念 ❖考法2 平面向量的线性运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
【注意】①向量数乘的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝0.②实数和向量可以求积，但不能求和、求差．③正确区分向量数量积与向量数乘的运算律．
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考法2 平面向量的线性运算
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考点30 平面向量的坐标运算
❖考法3 平面向量基本定理的应用 ❖考法4 平面向量的共线问题 ❖考法5 平面向量的坐标表示与运算
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
考法1 平面向量的有关概念
解决平面向量的有关概念的问题时，应注意以下两点： 1．应正确理解向量的概念 ①向量既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；②大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；③向量可以自由平移，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 2．正确理解共线向量与平行向量共线向量就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．
(2)b在a方向上的投影是一个数量，当0°≤θ＜ 90°时为正；当90°＜θ ≤180°时为负；当θ＝ 90°时为0.
考点31 平面向量的数量积
【注意】x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．

(北京专用)2019版高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例

5.(2016北京,9,5分)已知向量a=(1, 3 ),b=( 3 ,1),则a与b夹角的大小为
6
.
答案
6
解析 ∵cos<a,b>= a b = 1 3 3 1= 3 ,
|a||b|
22
2
∴a与b夹角的大小为 .
6
考点突破
考点一平面向量数量积的运算
典例1 (1)(2017北京朝阳期中)已知三角形ABC外接圆的半径为1(O为圆心),且 OB+ O=C0,| |O=A2| |,则AB · C等A 于BC ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案 C 设a与b的夹角为θ, ∵(2a+b)·b=0,∴2a·b+b2=0, ∴2|a|·|b|cos θ+b2=0, 又∵|a|=|b|,
∴2|a|2cos θ+|a|2=0,∴cos θ=- 1 ,
2
又∵0°≤θ≤180°,∴θ=120°.故选C.
2.(2017北京西城二模)设向量a=(2,1),b=(0,-2),则与a+2b垂直的向量可以
是 ( A )
A.(3,2) B.(3,-2) C.(4,6) D.(4,-6)
答案 A 由题意,可知a+2b=(2,-3).利用两非零向量数量积为0可推出两向量垂直,检验四个选项,只有A符合题意.
3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为 ( C )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析
A
易知 OA=(1,3), A=B(-3,k-3),∵ ⊥OA ,

AB
∴ OA· A=B0,即1×(-3)+3(k-3)=0,解得k=4.故选A.

2019高考数学复习：平面向量的数量积及其应用

第3节平面向量的数量积及其应用最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知识梳理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos_θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos_θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.3.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律).(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律). [常用结论与微点提醒]1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去同一个向量.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(2018·云南11校跨区调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A.13＋6 2 B.2 5 C.30D.34解析依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，|3a ＋b |＝（3a ＋b ）2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34，选D. 答案 D3.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.解析由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，因为a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 答案 74.(必修4P104例1改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________.解析由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案－25.(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________. 解析 cos 60°＝（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3－λ3＋11＋λ2 ＝12，解之得λ＝33.答案 33考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用【例1】 (1)(2018·河南天一联考测试)如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，∠BAC ＝60°，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接CD ，BE 交于点F ，连接AF ，取CF 的中点G ，连接BG ，则AF →·BG →＝________.(2)(2018·莆田三月检测)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝2AD ，△ABD 的面积为1，若DE →＝12EC →，BE ⊥CD ，则DA →·DC →＝________. 解析 (1)依题意，F 是△ABC 的重心， AF →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)， BG →＝12(BF →＋BC →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13BA →＋43BC →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫43AC →－53AB →＝23AC →－56AB →，故AF →·BG →＝13(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－56AB →＝9536.(2)如图，以B 为坐标原点，BC ，BA 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设|AD |＝a (a >0)，则|BC |＝2a ，又S △ABD ＝1， ∴|AB |＝2a ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，B (0，0)，C (2a ，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a .设E (x ，y )，则DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ，y －2a ，EC →＝(2a －x ，－y )，∵DE →＝12EC →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ，y －2a ＝12(2a －x ，－y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －x 2，－y 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝a －x 2，y －2a ＝－y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43a ，y ＝43a ，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫43a ，43a ，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43a ，43a ，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，2a ，∵BE ⊥CD ，∴BE →·CD →＝0，∴43a ·(－a )＋43a ·2a＝0，解得a 2＝2，∴DA →·DC →＝(－a ，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－2a ＝－a 2＝－ 2. 答案 (1)9536 (2)－ 2规律方法 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【训练1】 (1)(2018·武汉三调)在平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，且满足BC ＝3MC ，DC ＝4NC ，若AB ＝4，AD ＝3，则AN →·MN →＝( ) A.－7B.0C.7D.7(2)(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.解析 (1)以AB →，AD →为基底，AN →＝AD →＋34AB →，MN →＝CN →－CM →＝14CD →－13CB →＝－14AB→＋13AD →，AN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋34AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14AB →＋13AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →2－916AB →2＝13(9－9)＝0. (2)AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ3×3＋2λ3×4－13×9－23×3＝－4⇒λ＝311.答案 (1)B (2)311考点二平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.(2)(2018·洛阳一模)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( ) A.－7B.－3C.2D.3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.解析 (1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0，即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.答案 (1)2 (2)D (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3规律方法 1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 【训练2】 (1)(2018·广东省际名校联考)已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |＝2，且(a ＋3b )⊥(a －b )，则a ，b 夹角的余弦值为________.(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.解析 (1)∵|a |＝2|b |＝2，且(a ＋3b )⊥(a －b )， ∴(a ＋3b )·(a －b )＝0，即a 2＋2a ·b －3b 2＝0，故有a ·b ＝－12，则cos 〈a ，b 〉＝－14.(2)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. 答案 (1)－14 (2)－2考点三平面向量的模及其应用【例3】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.(2)(2016·四川卷改编)已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.解析 (1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3. (2)建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494. 答案 (1)23 (2)494规律方法 1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【训练3】 (1)(2018·湖北七市联合调考)平面向量a ，b ，c 不共线，且两两所成的角相等，若|a |＝|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________.(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________.解析 (1)由|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝9＋2×2×2cos 120°＋2×2×1×cos 120°＋2×2×1×cos 120°＝9－4－2－2＝1，则|a ＋b ＋c |＝1. (2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴PA →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|PA →＋3PB →|的最小值为5. 答案 (1)1 (2)5基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·全国Ⅱ卷)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A.a ⊥bB.|a |＝|b |C.a ∥bD.|a |>|b |解析由|a ＋b |＝|a －b |平方得a 2＋2a·b ＋b 2＝a 2－2a·b ＋b 2，即a·b ＝0，则a ⊥b . 答案 A2.(2018·合肥质检)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，a ·b ＝1，则|a －b |＝( ) A.2B.2 3C.3D.2 5解析由|a ＋b |＝4，a ·b ＝1可得，a 2＋b 2＝16－2＝14，∴|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝14－2×1＝12，∴|a －b |＝2 3. 答案 B3.(2018·华中师大高考联盟质检)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，m )，c ＝(2，4)，且(2a －5b )⊥c ，则实数m ＝( ) A.－310B.－110C.110D.310解析因为2a －5b ＝2(2，1)－5(1，m )＝(－1，2－5m )，又(2a －5b )⊥c ，所以(2a －5b )·c ＝0，则(－1，2－5m )·(2，4)＝－2＋4(2－5m )＝0，解得m ＝310. 答案 D4.(2018·西安八校联考)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量CD →在AB →方向上的投影是( ) A.322B.－322C.3 5D.－3 5解析依题意得，AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，AB →·CD →＝(2，1)·(5，5)＝15，|AB →|＝5，因此向量CD →在AB →方向上的投影是AB →·CD →|AB →|＝155＝3 5.答案 C5.(2018·大连测试)若向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与a ＋2b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 ∵向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝2×1×cos π3＝1，|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2 ＝22＋4×1＋4×12＝23，∴cos 〈a ，a ＋2b 〉＝a ·（a ＋2b ）|a ||a ＋2b |＝a 2＋2a ·b |a ||a ＋2b |＝22＋2×12×23＝32，∵〈a ，a ＋2b 〉∈[0，π]，∴〈a ，a ＋2b 〉＝π6. 答案 A 二、填空题6.(2018·河南百校联盟联考)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(3，－1)，则|a ＋b |（2a ＋b ）·（a －b ）＝________.解析 ∵a ＝(2，1)，b ＝(3，－1)，∴a ＋b ＝(5，0)，2a ＋b ＝(7，1)，a －b ＝(－1，2)，∴|a ＋b |＝5，(2a ＋b )·(a －b )＝－5，∴|a ＋b |（2a ＋b ）·（a －b ）＝－1.答案－17.已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________. 解析由已知得AB →＝OB →－OA →＝(3，1)， AC →＝OC →－OA →＝(2－m ，1－m ).若AB →∥AC →，则有3(1－m )＝2－m ，解得m ＝12. 由题设知，BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m ). ∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0，可得m >－34.由题意知，当m ＝12时，AB →∥AC →，且AB →与AC →同向. 故当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8.(2017·北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.解析设P (cos α，sin α)，∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1时取等号. 答案 6 三、解答题9.(2017·德州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影. 解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4. 由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0，所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3（2＋1）2，即△ABC 的面积的最大值为32＋32.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·江西新高考联盟质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，c 2，n ＝(cos C ，cos A )，且m ·n ＝b cos B ，则B 的值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3解析 ∵m ·n ＝a 2cos C ＋c 2cos A ，且m ·n ＝b cos B . ∴a 2cos C ＋c 2cos A ＝b cos B ，即a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，则sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B .∵0<B <π，sin B ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.答案 B12.(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ).令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25，(|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.答案 4 2 513.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π2).(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.解 (1)由题设知AB →＝(n －8，t )，∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8，∴OB →＝(24，8)或OB →＝(－8，－8).(2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )，∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16， t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k .∵k >4，∴0<4k <1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k .由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4，8)，∴OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32.。

高考文科数学平面向量数量积及向量应用空间直角坐标系考点讲解

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高考复习讲义
平面向量的数量积与向量的应用、空间直角坐标系
考点全通关 13
考点四平面向量应用举例
1.向量在平面几何中的应用
基于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如全等、相似、平行、垂直等都可以由向量的线性运算与数量积表示出来.
高考文科数学平面向量数量积及向量应间直角坐标系考点讲解
高考复习讲义考情精解读 1
考纲解读
命题规律
命题趋势
平面向量的数量积与向量的应用、空间直角坐标系
1.理解平面向量数量积的含义与其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 7.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. 8.会推导空间两点间的距离公式.
1.预计高考对本讲内容的考查以向量的长度、角度与数量积为主. 2.以向量数量积的运算为载体,综合考查三角函数、解析几何等知识是一种新的趋势,复习时应予以关注.
高考复习讲义考点全通关 1 1.向量的夹角
平面向量的数量积与向量的应用、空间直角坐标系考点一平面向量的数量积
图5-3-1
所有理想化模型均忽略对所研究问题无影响的因素,是研究问题的一种理想方法.在高中学习的理想模型还有:点电荷、理想气体、弹簧振子、点光源等.

高考数学专题二微专题19 平面向量的数量积及最值与范围问题

专题二平面向量、三角函数与解三角形
微专题19
平面向量的数量积及最值与范围问题
考情分析
平面向量的数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.一般难度较大.
＝x－322＋(y－2)2－245.
又x－322＋(y－2)2 表示圆 x2＋y2＝1 上一点到点32，2距离的平方，圆心(0,0)到点32，2的距离为52，所以P→A·P→B∈52－12－245，52＋12－245，即P→A·P→B∈[－4,6].
跟踪训练2 (1)如图，已知 AOB 是半径为 4，圆心角为π2的扇形，点 E，
(2)已知向量 a，b 满足a－b＝3，a＝2b，设 a－b 与 a＋b 的夹角为 θ，则 cos θ 的最小值为
A.45
√B.35
C.13
D.25
令b2＝t，则a2＝4b2＝4t，则a－b2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9,2a·b＝5t－9，由 5t－9＝2a·b≤2ab＝4t 得 t≤9，由 5t－9＝2a·b≥－2ab＝－4t 得 t≥1，所以 1≤t≤9，a＋b＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2＝ 10t－9，所以 cos θ＝aa＋＋bb·aa－－bb＝ 1a02t－－b92×3＝ 10tt－9＝ 10tt－2 9，令 y＝10tt－2 9，显然 y>0，t2－10yt＋9y＝0，
解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.

2024届新高考一轮复习北师大版第5章第3节平面向量的数量积及平面向量应用举例课件(64张)

B．－1
C．－6
D．－18
D
由题意知 cos
〈a，b〉＝sin
17π 3
＝sin
6π－π3
＝－sin
π 3
＝
－
3 2
，所以 a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝1×2
3
×－
3
2
＝－3，b·(2a－b)
＝2a·b－b2＝－18.故选 D.
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3．在 Rt△ABC 中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，则向量B→A 在向量
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[常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； ③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0. 2．有关向量夹角的两个结论 ①两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因为夹角为 0 时不成立).
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规定零向量与任一向量的数量积为 0
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(2)当 0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0；当〈a，b〉＝90°时，a·b＝0；当 90°＜〈a，b〉≤180°时，a·b<0；当〈a，b〉＝0°时，a·b＝|a||b|；当〈a，b〉＝180°时，a·b＝－|a||b|.
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(3)投影向量
大一轮复习讲义数学（BSD）
第五章平面向量、复数第三节平面向量的数量积及平面向量应用举例
内夯实·主干知识容探究·核心考点索引课时精练
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【考试要求】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某其他一些实际问题．

2018年高考数学第五章平面向量专题19平面向量的数量积及其应用考场高招大全

专题十九平面向量的数量积及其应用考点42平面向量的数量积考场高招1 三大方法(定义法、坐标法、转化法)解决平面向量数量积问题1.解读高招2.典例指引1(1)(2017届山西临汾一中等五校三联)如图,在△ABC中,AD⊥AB,=3,||=1,则的值为()A.1B.2C.3D.4(2)在菱形ABCD中,对角线AC=4,E为CD的中点,则=()A.8B.10C.12D.14(3)如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则的值是()A.-B.-C.-D.-(2)(坐标法)特殊化处理,用正方形代替菱形,边长为2,以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),C(2,2),E(,2).所以=(2,2),=(,2).所以=2+2³2=12.故选C.(3)(转化法)∵=2,r=1,∴||==()²()=²()+=+0-1=-,故选B.【答案】(1)C(2)C(3)B3.亲临考场1.(2014课标Ⅱ,理3)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a²b=()A.1B.2C.3D.5【答案】 A∵|a+b|=,∴(a+b)2=10,即a2+b2+2a²b=10.①∵|a-b|=,∴(a-b)2=6,即a2+b2-2a²b=6.②由①②可得a²b=1.故选A.2.(2013课标Ⅱ,理13)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则= .【答案】2高手解惑典题(2017四川资阳一诊)已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且满足+2+4=0,则= ()A.-B.-C.D.考生困惑：感觉所求的无法和已知条件联系到一起.如何将已知条件+2+4=0通过转化得到所求的,采用什么运算方式达到转化目的是困惑点.解惑绝招：第一步:明确转化法分析已知条件含有三个向量,观察所求,联系到,代入所求=()²,问题可以转化为求,这一步体现了利用“转化法”的指导作用.第二步:借助平方技巧如何将已知+2+4=0进行转化,达到消去的目的是解题的关键.将已知变形为2=-4,借助两边平方技巧,既能达到消去的目的,又能得到,胜利就在眼前!第三步:回扣条件顺利求解利用△ABC的外接圆半径为1,即||=||=||=1,化简第二步得到的等式,顺利求解.【解析】由+2+4=0,得2=-4,两边平方,得4+4=16.因为△ABC的外接圆半径为1,所以||=||=||=1.所以4+1+4=16.所以.所以=()²-1=.故选C.考场高招2 求向量a在向量b方向上的投影的方法1.解读高招方向上的投影为2.典例指引2(1)(2017辽宁葫芦岛第二次考试)已知向量a,b满足|a|=1,a⊥b,则向量a-2b在向量-a方向上的投影为()A.0B.1C.2D.-1(2)圆O为△ABC的外接圆,半径为2,若=2,且||=||,则向量在向量方向上的投影为【答案】 (1)D(2)33.亲临考场1.(2016陕西西安质检)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且a⊥(a+b),则b在a方向上的投影为()A.3B.-3C.-D.【答案】 B由a⊥(a+b)得a²(a+b)=0,即a2+a²b=0,于是a²b=-9,因此b在a方向上的投影为=-3.2.(2017江西抚州七校联考)在Rt△AOB中,=0,||=,||=2,AB边上的高线为OD,点E位于线段OD上,若,则向量在向量方向上的投影为()A. B.1 C.1或 D.【答案】 D因为•=0,所以OA⊥OB,|AB|=5,S△OAB=²AB²OD=²OA²OB.所以OD==2.因为=||²||²cos∠DEA=,所以||²||=.所以(2-||)²||=,即||=或||=.故选D.考点43 平面向量的长度与角度考场高招3 平面向量基本定理的应用方法1.解读高招>=2.典例指引3(1)(2017河北唐山期末)设向量a与b的夹角为θ,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),则cos θ=()A.-B.C.D.-(2)若a,b均为非零向量,且(a-2b)⊥a,( b-2a)⊥b,则a,b的夹角为.【答案】 (1)A(2)3.亲临考场1.(2016课标Ⅲ,理3)已知向量,则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°【答案】 A由题意得cos∠ABC==,所以∠ABC=30°,故选A.2.(2017湖南郴州二测)已知a,b均为单位向量,且(2a+b)²(a-2b)=-,则向量a,b的夹角为()A. B. C. D.【答案】 A设向量a,b的夹角为θ,因为|a|=|b|=1,所以(2a+b)²(a-2b)=-3a²b=-3cosθ=-,即cosθ=,θ=.故选A.3.(2017广东阶段测评)已知向量满足,||=2,||=1,E,F分别是线段BC,CD的中点,若=-,则向量的夹角为()A. B. C. D.考场高招4 巧用公式法、几何法求解向量的模1.解读高招2.典例指引4(1)已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=2,a²b=-3,则|a+2b|= .(2)若向量=(1,-3), ||=||,=0,则||=3.亲临考场1.(2017课标Ⅰ,理13)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .【答案】 2【解析】因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4²|a|²|b|²cos60°+4|b|2=22+4³2³1³+4³1=12,所以|a+2b |==2.2.(2017云南大理一测)已知向量a与b的夹角为30°,且|a |=,|b|=2,则|a-b|等于()A.1B.C.13D.【答案】 A因为a²b=|a|²|b|²cos<a,b>=3,所以|a-b |====1.故选A.考场高招5三法(代数法、几何法、不等式法)搞定向量模的最值1.解读高招2.典例指引5(1)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为()A.6B.7C.8D.9(2)若平面向量a,b满足|2a-b|≤3,则a²b的最小值是.方法二:同方法一,得||=|2|.又,所以||=|2|=|-3|====7,当且仅当∠POB=180°时取等号,故||的最大值为7.方法三:同方法一,得||=|2|.设B(cosα,sinα),则|2|=|2(-2,0)+(cosα-2,sinα)|=|(-6+cosα,sinα)|==7,当cosα=-1,即B落在点(-1,0)处时取等号.故||的最大值为7.(2)由向量的数量积知,-|a||b|≤a²b≤|a||b|⇒|a||b|≥-a²b(当且仅当<a,b>=π时等号成立).由|2a-b|≤3⇒4|a|2-4a²b+|b|2≤9⇒9+4a²b≥4|a|2+|b|2≥4|a||b|≥-4a²b⇒a²b≥-(当且仅当2|a|=|b|,<a,b>=π时取等号),所以a²b的最小值为-.【答案】 (1)B(2)-3.亲临考场1.(2017课标Ⅱ,理12)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则²()的最小值是 ()A.-2B.-C.-D.-1所以²()=2x2-2y(-y)=2x2+2≥-.当点P的坐标为时,²()取得最小值为-,故选B.2.(2015天津,理14)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,则的最小值为.【答案】=³1³1³cos120°-³1³2³cos180°-λ³1³1³cos120°+1³2³cos60°=-+1=+2,当且仅当λ=时等号成立.故应填.考点44 平面向量的综合应用考场高招6 用向量解决平面几何问题的“三部曲”1.解读高招2.典例指引6.(1)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若=1,则AB的长为. (2)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF.若=1,则λ的值为.方法二:以A为原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,过点D作DM⊥AB于点M.由AD=1,∠BAD=60°,可知AM=,DM=.设|AB|=m(m>0),则B(m,0),C,D.因为E是CD的中点,所以E.所以.由=1可得=1,即2m2-m=0.所以m=0(舍去)或m=.故AB的长为.(2)如图,由题意可得=||²||cos120°=2³2³=-2.在菱形ABCD中,易知,所以=-2=1,解得λ=2.【答案】 (1)(2)23.亲临考场1.(2017课标Ⅲ,理12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为()A.3B.2C.D.2【答案】 A建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设z=x-y+1,即x-y+1-z=0.因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=上,所以圆心C到直线x-y+1-z=0的距离d≤r,即,解得1≤z≤3,所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.2.(2016湖北宜昌一模)已知△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若3+4+5=0,则△AOC的面积为()A. B. C. D.3.(2016辽宁大连质检)设F1,F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2面积最大时,的值等于()A.0B.2C.4D.-2【答案】 D由题意得c==2=2³²|F1F2|²h(h为△PF1F2的边F1F2上的高),所以当h=b=1时,取最大值,此时∠F1PF2=120°,||=||=2.所以当四边形PF1QF2面积最大时,=||||cos120°=2³2³=-2.。

高考数学专题19平面向量的数量积及向量的应用(含解析)文(2021年整理)

考点19平面向量的数量积及向量的应用1．平面向量的数量积(1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义. (2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。

（4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2．向量的应用（1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。

（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。

一、平面向量的数量积 1．平面向量数量积的概念 (1)数量积的概念已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即，其中θ是与的夹角.【注】零向量与任一向量的数量积为0。

（2）投影的概念设非零向量与的夹角是θ，则（)叫做向量在方向上(在方向上)的投影.如图（1）（2)(3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是,向量在向量方向上的投影长是向量的长度.,a b||||c o s θab a b⋅a b ⋅=a b ||||c o s θa b aba b||co s θa ||c o s θb abbaa ba b1OB =||c o s θa ab1O B（3)数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.2．平面向量数量积的运算律已知向量和实数,则①交换律：; ②数乘结合律：；③分配律：.二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量,是与的夹角.（1）数量积：。

（2）模：。

（3）夹角:。

（4）垂直与平行:；a ∥b ⇔a ·b =±｜a ｜|b |。

【注】当与同向时，；当与反向时，.(5）性质:｜a ·b ｜≤|a ||b ｜(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔. 三、平面向量的应用1．向量在平面几何中常见的应用已知。

⋅a b ⋅a b a||a ba||c o s θb ,,a b c λ⋅=⋅abba ()()λλ⋅=⋅a b a b =()λ⋅a b ()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c 1122(,),(,)x y x y ==ab θab⋅=a b 1212||||c o s x xy y θ=+a b 2211||x y =⋅=+a a a c o s ||||θ⋅==a b a b 121212122222xx yy x y x y ++⋅+0⊥⇔⋅=⇔aba b 12120x x y y +=ab||||⋅=aba b ab ⋅=a b ||||-a b 121212222212|x xy xy x y +≤+⋅+1122(,),(,)x y x y ==ab（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：（2)证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形,判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：(其中为非零向量）（3)求夹角问题，若向量与的夹角为,利用夹角公式:(其中为非零向量）(4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：，或（其中两点的坐标分别为)（5）对于有些平面几何问题,如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来,通过代数运算解决综合问题. 2．向量在物理中常见的应用（1）向量与力、速度、加速度及位移力、速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算。

2021年高考数学考点汇总考点19 平面向量的数量积、平面向量应用举例(含解析)

2021年高考数学考点汇总考点19 平面向量的数量积、平面向量应用举例（含解析）一、选择题 1. （xx ·湖南高考文科·Ｔ10）与（xx ·湖南高考理科·Ｔ16）相同在平面直角坐标系中，为原点，，,，动点满足,则的取值范围是（）A. B.C. D.【解题提示】把拆分为，再利用求解。

【解析】选D.()++=+++OA OB OD OA OB OC CD2. （xx ·上海高考文科·Ｔ17）(1,2,7)(1,2,7)i i i AB AP i ==如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，P 是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为（）（A)7 (B)5 (C)3 (D)2 【解题提示】根据向量数量积的定义可得. 【解析】2511351470cos 2cos i i i i i i i i i i i i i iP P P AB AP AP P P P P AB AP AB AP BAP AB AP AB AP AP AB P P P AB AP AB AP BAP AB AP AP •=•=<>=••=•=•=<>=••当取，时，，当取，，时，当取，时，24.AB ==所以取值共有三个3. （xx ·浙江高考文科·Ｔ9）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，是最小值为1（） A ．若确定，则唯一确定 B ．若确定，则唯一确定C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定【解题提示】由平面向量的数量积、模列出不等式，利用二次函数求最值.【解析】选B.依题意，对任意实数，恒成立，所以恒成立，若为定值，则当为定值时，二次函数才有定值.4. （xx·山东高考文科·Ｔ7）已知向量.若向量的夹角为，则实数=( )A、B、C、D、【解题指南】本题考查了平面向量的数量积的运算，利用数量积的坐标运算即可求得. 【解析】()33cos,2923a ba b a b a bm⋅=+⋅==+∴+==答案：B5.（xx·安徽高考文科·Ｔ10）10.设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（）A. B. C. D.0【解题提示】对的可能结果进行讨论，根据各选项分别判断。

2019版高考数学(理科A版)一轮复习第五章平面向量5.3 平面向量的数量积及其应用

= x2 4x 4 1 x2 + x2 4x 4 1 x2 = 5 4x + 5 4x
= ( 5 4x 5 4x )2 = 10 2 25 16x2 , ∵0≤x2≤1,故当x=0,即a⊥b时, |a+b|+|a-b|有最大值2 5 , 当x2=1,即a∥b时,|a+b|+|a-b|有最小值4. 答案 4;2 5
1
2
A·B
3
2 3
2
AC
2
AB
3
AC,
又
AB·
A=C3×2×cos
60°=3, =9,
AB=24,
2
AC
所以 AD· A=Eλ-3+
λ8-2= 11λ-5=-4,解得λ= 3.
33
11
答案 3
11
一题多解以A为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因
为AB=3,AC=2,∠BAC=60°,所以B(3,0),C(1,
ab
(5)cos α=⑤ | a || b | (α是a与b的夹角).
3.向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R)(数乘结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
考点二平面向量的长度问题
1.已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).
x12.x1xy212
y1 y2 x22
y22
方法技巧
方法 1 求向量长度的方法
向量的长度即向量的模,通常有以下求解方法:
(1)|a|= a; a
(2)|a±b|= a;2 2a b b2 (3)若a=(x,y),则|a|= x;2 y2 (4)解向量所在三角形,转化为求三角形的边长;