2018版高中数学第一章立体几何初步1.1.2圆柱圆锥圆台和球学案苏教版必修2(含解析)

1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球

1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的概念．(重点)

2．通过与棱柱、棱锥、棱台的类比进一步认识圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．(难点、易混点)

3．了解复杂几何体的组成情况，学会分析并掌握它们是由哪些简单几何体组合而成．(难点)

[基础·初探]

教材整理1 圆柱、圆锥和圆台的概念

阅读教材P8～P9第6行以上部分，完成下列问题．

1．圆柱、圆锥和圆台的概念

将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．

2．与圆柱、圆锥、圆台有关的概念

绕着旋转的这条直线叫做轴．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．(×)

(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆．(×)

(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．(×)

2．如图1－1－18将图(1)(2)(3)(4)所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图(5)所示的几何体的是哪一个图中的三角形__________．(填序号)

图1－1－18

【答案】(2)

教材整理2 球

阅读教材P9第7～10行的内容，完成下列问题．

半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，如图1－1－19所示．

图1－1－19

下列说法中正确的是__________．(填序号)

①半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球；

②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；

③球面和球是同一个概念；

④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆．

【解析】半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球面，球面围成的几何体，叫球，①不正确；②正确；球面和球是两个不同的概念，③错误；若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故④错误．

【答案】②

教材整理3 旋转体

阅读教材P9第11行至例1上面部分，完成下列问题．

下列各命题：

①圆锥的轴截面是等腰三角形，且只有一个；

②球的任意截面都是圆面；

③圆台所有母线的延长线交于一点．

其中正确命题的序号是__________．(写出所有正确命题的序号)

【解析】圆锥的轴截面是等腰三角形，但其轴截面有无数个，故①错误；由球的特征性质可知②正确；由圆台的特征性质可知③正确．

【答案】②③

[小组合作型]

旋转体的结构特征

下列说法：

①以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；

②分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱；

③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

其中正确说法的序号是________．

【精彩点拨】要紧扣住圆柱、圆锥、圆台的形成过程进行判断．

【自主解答】①错误．若以直角梯形的不垂直于底边的腰为轴旋转一周形成的旋转体不是圆台，是圆锥和圆台的组合体．

②正确．若矩形的两邻边长不相等，则其旋转形成的曲面或圆面的半径也不一样，故所得圆柱也不同．

③错误．当此平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台，否则不能得到．

【答案】②

准确掌握圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键．要注意定义中的关键字眼，对于似是而非的问题，可以通过动手操作来解决．

[再练一题]

1．给出以下四个命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；

③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．

其中正确的是__________.

【解析】①不正确，因为这两点的连线不一定与圆柱的旋转轴平行；②正确，符合圆锥母线的定义；③不正确，结合圆台母线的定义可知，母线与旋转轴的延长线应交于一点，而从圆台上、下底面圆周上各取一点，其连线未必满足这一条；④正确，符合圆柱母线的性质．

【答案】②④

球与旋转体

(1)下列说法：

①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；

②球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；

③球面上任意三点可能在一条直线上；

④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．

其中正确的序号是__________．

(2)已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰(如图1－1－20)．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？

图1－1－20

【精彩点拨】(1)依据球的形成过程及相关概念判断．

―

――→

为轴

【自主解答】(1)作球的一个大圆，在大圆上任取四点，则这四点就在球面上，且共面，故①错误；根据球的半径的定义可知②正确；球面上任意三点一定不共线，故③错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故④正确．

【答案】②④

(2)①以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台．如图(1)所示．

②以BC边为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥．如图(2)所示．

③以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图(3)所示．

④以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图(4)所示．

(1) (2) (3) (4)

关于平面图形绕固定轴旋转后得到的几何体的组成问题，可采用如下方法解决：

[再练一题]

2．如图1－1－21所示，画出下列图形绕直线旋转一周后所形成的几何体，并说出这些几何体是由哪些旋转体组合而成的．

图1－1－21

【解】如图所示，(a)是由圆锥、圆柱组合而成的．(b)是由圆柱中间挖去一个圆锥组合而成的．