数学人教八(上)第十五章分式方程课时1
第15章 15.3 第1课时 分式方程及其解法
第十六章
夯实训练
整合方法
综学合科素探养究
-20-
解：(1)x1＝c，x2＝mc .将 x1＝c 代入方程 x＋mx ＝c＋mc 得 c＋mc ＝c＋mc ， 显然 x1＝c 是原分式方程的根．将 x2＝mc 代入方程 x＋mx ＝c＋mc 得mc ＋c＝c ＋mc ，显然 x2＝mc 是原分式的根．
教必材备知感识知
课堂检测
-7-
8．解方程： (1)x＋x 2＝1－2x3＋x 4； (2)xx＋ －11－x2－4 1＝1.
教必材备知感识知
课堂检测
-8-
解：(1)原方程可化为x＋x 2＝1－2(x3＋x 2)，去分母，得 2x＝2(x＋2)－3x， 移项，合并同类项得 x＝43，经检验：x＝43是原方程的解． (2)方程两边同 乘(x2－1)，得(x＋1)2－4＝x2－1，整理得 2x＝2，∴x＝1，经检验当 x＝1 时，x2－1＝0，∴x＝1 不是原方程的解，原方程无解．
A．2＋(x＋2)＝3(x－1)
B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3(1－x)
D．2－(x＋2)＝3(x－1)
教必材备知感识知
课堂检测
-4-
4．关于 x 的方程3xx＋－12＝2＋x＋m 1无解，则 m 的值为( A )
A．－5
B．－8
C．－2
D．5
教必材备知感识知
课堂检测
-5-
5．关于 x 的分式方程5x＝x－a 2有解，则字母 a 的取值范围是( D )
第十六章
夯实训练
整合方法
综学合科素探养究
-21-
(2)通过上面方程的观察、比较、理解验证，你能解出关于 x 的方程 x
人教版初中八年级数学上册第十五章《分式》知识点(含答案解析)(1)
一、选择题1．使分式21xx -有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≠1B ．x ≠0C ．x ≠±1D ．x 为任意实数2．若关于x 的一元一次不等式组()()1112232321x x x a x ⎧-≤-⎪⎨⎪-≥-⎩恰有3个整数解，且使关于y 的分式方程3133y ayy y++=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．33．若关于x 的分式方程3211m x x =---有非负实数解，且关于x 的不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解，则满足条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9-B ．8-C ．7-D ．6-4．如果关于x 的分式方程6312233ax x x x--++=--有正整数解，且关于y 的不等式组521510yy a -⎧≥-⎪⎨⎪+->⎩至少有两个整数解，则满足条件的整数a 的和为（ ） A ．2 B ．3C ．6D ．115．已知分式34x x -+的值为0，则x 的值是（ ） A ．3B ．0C ．－3D ．－46．如图，若x 为正整数，则表示3211327121(1)(1)543x x x x x x x x x--++--÷++++的值的点落在（ ）．A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④7．下列各式中，正确的是（ ）A ．22a a b b =B ．11a ab b +=+ C ．2233a b a ab b= D ．232131a ab b ++=--8．已知2340x x --=，则代数式24xx x --的值是（ ）A ．3B ．2C ．13D ．129．若2x 11x x 1+--的值小于3-，则x 的取值范围为（ ） A ．x 4>- B ．x 4<-C ．x 2>D ．x 2<10．若分式()22222x y x y a x a yax ay+-÷-+的值等于5，则a 的值是（ ）A ．5B ．-5C ．15D ．15-11．2222x y x y x y x y -+÷+-的结果是（ ） A ．222()x y x y ++B ．222()x y x y +-C ．222()x y x y -+D ．222()x y x y ++12．020*******)(0.125)8+⨯的结果是（ ）A B 2C ．2D ．013．下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）． A ．132x - B ．213x + C ．231x x+ D ．21xx + 14．当1x 0-<<时， 1x -，0x ，2x 的大小顺序是（ ） A ．102x x x -<< B ．012x x x -<<C ．021x x x -<<D ．120x x x -<<15．计算a ba b a÷⨯的结果是（） A ．aB ．2aC ．2b aD ．21a二、填空题16．已知5a b +=，6ab =，b aa b+=______． 17．已知3m n +=．则分式222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭的值是_________． 18．已知5,3a b ab -==，则b aa b+的值是__________． 19．新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店抓住商机购进甲、乙、丙三种口罩进行销售．已知销售每件甲种口罩的利润率为30%，每件乙种口罩的利润率为20%，每件丙种口罩的利润率为5%．当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为1：3：2时，药店得到的总利润率为20%；当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为3：2：2时，药店得到的总利润率为24%．因丙种口罩利润较低，现药店准备只购进甲、乙两种口罩进行销售，若该药店想要获得的总利润率为28%，则该药店应购进甲、乙两种口罩的数量之比是______．20．某班在“世界读书日”当天开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍，则第一组的人数为_________人．21．某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg ，甲型机器人搬运800kg 所用时间与乙型机器人搬运600kg 所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg 产品？ 根据以上信息，解答下列问题．（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，可列方程为______小惠同学设甲型机器人搬运800kg 所用时间为y 小时，可列方程为____________． （2）乙型机器人每小时搬运产品_______________kg ．22．计算：2120192-⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 23．如图，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为1a ，第2幅图中“□”的个数为2a ，第3幅图中“□”的个数为3a ，……，以此类推，若123201922222020n a a a a +++⋅⋅⋅+=（n 为正整数），则（1）5a =________；（2）n 的值为________．24．已知(3)1a a -=，则整数a 的值为______． 25．方程11212x x =+-的解是x =_____． 26．方程22020(1)1x x x ++-=的整数解的个数是_____．三、解答题27．雪梨是石家庄市某地的特色时令水果．雪梨上市后，水果店的老板用2400元购进一批雪梨，很快售完；老板又用3750元购进第二批雪梨，所购件数是第一批的32倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）求第一批雪梨每件进价是多少元？（2）老板以每件225元的价格销售第二批雪梨，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销，要使得第二批雪梨的销售利润为2460元，剩余的雪梨每件售价应该打几折？（利润＝售价－进价） 28．计算：（1）化简：()()22n m n m n -++；（2）解分式方程：2132163x x x -=---． 29．分式计算与解方程：（1）21211a a a a ----； （2）121221xx x +=-+． 30．先化简，再求值：22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中5x =．。
分式方程(第一课时)教案-初二数学第十五章15.3人教版
第十五章分式的方程15.3分式的方程第一课时 15.3.1分式的方程（认识、解法）1教学目标1.1知识与技能：[1]理解分式方程的意义。
[2]使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法。
[3]理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握分式方程的验根方法。
1.2过程与方法：经历“实际问题---分式方程---整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识。
1.3 情感态度与价值观：[1]在活动中培养学生乐于探究﹑合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.[2]结合已有的数学经验,解决新问题,获得成就感以及克服困难的方法和勇气。
2教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]可化为一元一次方程的分式方程的解法。
[2]分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想。
2.2 教学难点[1]理解解分式方程时可能无解的原因。
[2]解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根。
3 专家建议本节课内容难度不大，但是难点在于灵活运用。
在讲授分式方程解法时，老师应该尽量说清楚以下知识点：（1）类比整式方程与分式方程的区别。
（2）在进行解分式方程时，注意出现曾根的情况。
从下一节起将开始分式方程的应用。
因此，可以在课下带领同学进行分式的乘除、加减、幂运算以及混合运算进行专题练习，锻炼同学综合运用分式运算知识进行解题的技能。
4 教学方法[1]分组讨论。
[2]类比推理。
[2]启发引导探索的教学方法。
5 教学用具多媒体，黑板6教学过程6.1复习提问【师】同学们好。
同学们看一下大屏幕上的这个题，我们一起回亿一下之前我们学过哪些方程？我们该如何求解它呢？【生】答：（1）前面已经学过了一元一次方程．（2）一元一次方程是整式方程．（3）一元一次方程解法步骤是：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化一。
2022年人教版八年级数学上册第十五章分式教案 分式方程(第1课时)
第十五章分式15.3 分式方程第1课时一、教学目标【知识与技能】1.理解分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用；2.知道分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程.3. 了解分式方程产生增根的原因，掌握解分式方程验根的方法.【过程与方法】经历“实际问题—分式方程模型”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识.【情感、态度与价值观】1.在探索活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值.2. 通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】1. 正确、完整地解可化为一元一次方程的分式方程.2.探索如何将分式方程转化为整式方程并掌握解分式方程的一般步骤.【教学难点】产生增根的原因.五、课前准备教师:课件、直尺等。
学生:三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。
六、教学过程（一）导入新课一艘轮船在静水中的最大航速为20 km/h，它沿江以最大航速顺流航行100 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少? （出示课件2）解:设江水的流速为v km/h，根据题意，得100 20+v =60 20−v这样的方程与以前学过的方程一样吗？（二）探索新知1.创设情境，探究分式方程的概念教师问1:为要解决导入中的问题，我们得到了方程10020+v =6020−v，仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？（出示课件4）教师问2:方程与上面的方程有什么共同特征？教师问3:上面所得到的方程是我们以前学过的方程吗？学生回答:不是.教师问4:以前我们学过什么方程？试举例说明.学生回答:以前学过一元一次方程和二元一次方程，如x－1＝3，x＋y＝7等.教师问5:仔细观察这两个方程，未知数的位置有什么特点？学生回答:分母中都含有未知数．教师问6:像这种，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.，你能再写出几个分式方程吗？学生思考后，找学生回答。
人教版八年级上册数学教案：15.3分式方程
设计教师
工作单位
学科
数学
课型
新授课
所教内容
新人教版数学八年级上册第十五章第三节第一课时
课程标准
讨论分式方程的概念及解法，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程.从章引言中的实际问题出发，分析分式方程的特点，给出分式方程的概念，接着从分式方程的特点入手，引出解分式方程的基本思路，即通过去分母将分式方程化为整式方程，再解出未知数.
教材分析
《分式方程》是人教版八年级数学《分式方程》第三节内容，从知识上讲，分式方程是在掌握方程、分式相关概念基础上的一次知识拓展，本节课为分式方程第一课时，让学生初步感知分式方程，认识分式方程，初步掌握分式方程的一般解法，为以后学习解打基础。从思想方法上讲，分式方程的求解是转化为已经学习的整式方程的解法，从而找到解分式方程的途径，让学生逐步理解并掌握应用转化的思想方法。
（师总结新的根的检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，就不是原分式方程的解。
问：你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？
观察分式方程的两种检验方法，你发现了什么？
学生自愿上讲台解题，其他学生在下面独立完成.
学生自愿举手评价板书学生的解题过程.
1、如何把它化成整式方程？
2、如何去分母？
3、在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
4、这样做的依据是什么？
师生共同分析解法，微视频展示系统地分析过程，师按照严格的格式板书详细的解方程过程）
再次展示规范的解题过程：
追问：x=6是原分式方程的解吗？怎样检验？
师总结道：在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方法：转化的数学思想（分式方程转化为整式方程----化分为整）。
最新人教版八年级上册数学第十五章分式第59课时分式方程的应用(1)——工程问题
典型例题
知识点1
“t1=t2”型
【例1】甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用
的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两
人每天共加工35个玩具，求甲每天加工的玩具数.
解：设甲每天加工x个玩具，则乙每天加工
（35-x）个玩具.
由题意，得
解得x=15.经检验，x=15是原分式方程的解，且符合题意.
作10天完成了剩余的工程，乙工程队单独完成这项工程需
要几天？
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解：甲工程队单独完成这项工程需要10÷ =40（天），设乙
工程队单独完成这项工程需要x天.
依题意,得
×10=1－ .
解得x=20.
经检验，x=20是原分式方程的解，且符合题意.
答：乙工程队单独完成这项工程需要20天.
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A组
4. 已知甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，
两人每天共做140个零件，设甲每天做x个零件，根据题意，
可列方程为
（ A ）
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5. 甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，
甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每
小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方
原来提高了50%，这样加工同样多的零件就少用1 h，求采用
新工艺前每小时加工的零件数.
解：设采用新工艺前每小时加工x个零件.
根据题意,可得
解得x=4.经检验，x=4是原分式方程的解.答：采用新工艺前
每小时加工4个零件.
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变式训练
2. 某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组的工作效
人教版八年级上册数学精品教学课件 第1课时 分式方程及其解法3
8
8
x 2 2x 15 x 2 16x 48
x2
x2x159
x2
16x
48
2
经检验, x 9 是原方程的根
2
11 1 1 x 3 x 4 x 5 x 12
1 1 11 x 3 x 12 x 5 x 4
2x 9 0
x
2x
3x
9 12
x
2x 9
5x
4
x 9 2
x2 9x 36 x2 9x 9
经检验, x 9 是 2
原方程的根
例3 ：解方程 y 4 y 5 y 7 y 8 y5 y6 y8 y9
点拨： 此方程的特点是：各分式的分子与分母的次数相
同， 这样一般可将各分式拆成： 整式+分式 的形式。
解：1 1 1 1 1 1 1 1
y 5
y6
y 8
y9
1
1
1
y 1 y 2y01yy12y1,y2102yyy1121y,y220 20
下面的过程请同学们自己完成 相信你们能行
以下各方程能利用换元法进行换元吗？
x x2 1
x2 1 x
5 2
能 y 1 5 y2
( x )2 5( x ) 3 能 y2 5y 3
x 1
x 1
x2 x2
1 1
3(x2 1) x2 1
2x
0
不能
小结
有些分式方程用常规方法-----------去分母，是很复 杂 ，甚至无法求解，有时要采取其他的方法
①采取局部通分法,会使解法很简单.这种解 法称为 ——通 分 法
②各分式的分子、分母的次数相同，且相差 一定的数，可将各分式拆成几项的和。这种 解法称为 —— 拆 项 法
人教版八年级上册数学15.3分式方程第1课时分式方程及其解法课件
（4） 5 1 0 x2 x x2 x
(4)方程两边乘 x（x+1）（x-1），得5（x-1）-（x+1） =0.
解得：x = 3 .
2
检验：当 x =
3
时， x（x+1）（x-1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
5.解关于x 的方程 a b 1（ b ≠ 1）. xa
分式方程和整式方程的区别与联系
区别 联系
分式方程
整式方程
分母中含有未知数
分母中不含未知数
分式方程可以转化为整式方程
< 针对训练 > 下列方程哪些是分式方程？
① x1 5 ② 1 4
3
x x1
④
x π
2x
1
π是常数， 不是未知数
⑤ x2 4
x
③ x2 1
x
知识点2 分式方程的解法
如何解分式方程
（1） 1 2 2x x 3
（2） x 2x 1 x 1 3x 3
(2)方程两边乘 3（x+1），得3x = 2x + 3（x+1）.
解得：x = 3 .
检验：当
x
2
=
3
时，3（x+1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
4. 解下列方程：
【选自教材P152 练习】
（3） 2 4 x 1 x2 1
2 x 1
2 1
x x
1
两边同乘
（x－1），约去分母后，得（ D ）
A.2－（2－x）=1
B.2+（2－x）=1
C.2－（2－x）=x－1 D.2+（2－x）=（x－1）
新人教版初中八年级数学上册《分式方程》教学课件
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分
母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这
个解不是原分式方程的解。
知识要点
二. 列分式方程解应用题的一般步骤:
1. 审：分析题意,找出数量关系和相等关系。
2. 设：选择恰当的未知数,注意单位和语言完整。
3
2
=
(a,b为非0常数)是整式方程。
知识梳理
知识点二：分式方程的解法
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程。
解分式方程的一般步骤：
①去分母——将方程两边同乘最简公分母;
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不
1
1 1 1
+ +
工程的_____，两队半个月完成总工程的___________。
2
3 6 2
在用式子表示上述的量之后，再考虑如何列出方程。
解析
1
3
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 。记总工程量为1,根据工程的实
际进度，得
方程两边乘6，得
1 1 1
+ +
=1
3 6 2
2 + + 3 = 6
解析
解： 设提速前这次列车的平均速度为 /ℎ，则提速前它行驶
所用时间为 h；提速后列车的平均速度为( + ) /ℎ ，
+50
50) 所用时间为
ℎ。
+
提速后它行驶( +
人教版八年级数学上册《分式》导学案：分式方程(第一课时)
人教版八年级数学上册《分式》导学案分式方程（第一课时）【学习目标】1.理解分式方程的概念，并能判断一个方程是不是分式方程；2.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示.【知识梳理】1.方程的定义：含有 的等式叫做方程.2.解一元一次方程的一般步骤：3.分式方程的定义:【典型例题】知识点一 分式方程的定义1.方程：1255341112362235552122=-=+-=-=--=-x x y x x x x x x π）（）（）（）（）（其中分式方程的个数是（ ）A.1B.2C.3D.42.下列方程是分式方程的有 （填序号）.()()().124;0141313;1252;242212为常数）、（为常数）、（）（b a abx x x x b a b x a x x x x =-=-+--++=-=+-小结;（1）分式方程的主要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程.⑵分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数.知识点二 列分式方程3.部分学生自行组织春游，预计费用为120元，后来又有2名学生参加，费用不变，这样每人可少交3元.若设原来的人数是x ，则可列方程为 .4.为切实加强我市学校新冠疫情防控工作，筑牢校园疫情防控屏障，保障广大师生员工生命健康安全，某校师生员工共2000人需要开展全员核酸检测工作，由于组织有序，实际上每小时检测人数比原计划增加100人，结果提前1小时完成检测任务．若设原计划每小时检测x 人，则据题意可列方程为（ ）A ．+100＝B ．﹣100＝ C ．+1＝D ．﹣1＝小结：列方程的关键是找出等量关系。
【巩固训练】1.在方程①1111x y=+-；②210x+=；③1x ya b+=（a,b为常数）；④21xx=；⑤23356x x-+-=；⑥137xxa-=-+（a是常数）；⑦2=πx中是分式方程的有（只填序号）2.某镇修建一条“村村通”公路,若甲乙两个工程队单独完成,甲工程队比乙工程队少用10天,若甲乙两对合作,12天可以完成,设甲单独完成这项工程需要x天,则根据题意,可列方程为_________________.3.某地对一段长达4800m的河堤进行加固.在加固600m后，采用新的加固模式，每天的加固长度是原来的2倍.用9天完成了全部加固任务.如果设原来每天加固河堤x米，请列出关于x的分式方程.等量关系式：列出方程：4.小亮从图书馆借了一本书，共280页，借期是两周.当他读完书的一半时，发现以后平均每天读书的页数必须增加1倍才能在借期内读完.如果设小亮读前半本书时平均每天读x页，请列出关于x的分式方程.等量关系式：列出方程：5.某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米.（请列出符合题意的分式方程）。
人教版八年级数学上册15.3.1.1《分式方程及其解法(1)》教学设计
人教版八年级数学上册15.3.1.1《分式方程及其解法(1)》教学设计一. 教材分析人教版八年级数学上册15.3.1.1《分式方程及其解法(1)》这一节主要介绍了分式方程的定义、性质以及解法。
分式方程是初中数学中的一种重要方程，它涉及到实数的运算、方程的转化和求解，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
本节内容为学生提供了分式方程的基本解法，为后续学习更复杂的方程打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数的运算、方程的基本概念，具备了一定的数学基础。
但是，对于分式方程这一概念，学生可能还比较陌生，需要通过具体的例子和练习来逐步理解和掌握。
在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平进行教学，提高学生的学习兴趣和自信心。
三. 教学目标1.了解分式方程的定义和性质，理解分式方程的意义。
2.学会分式方程的基本解法，提高解方程的能力。
3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.分式方程的定义和性质。
2.分式方程的解法。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，通过创设情境、设置问题、引导学生自主探究、小组讨论等方式，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力、思考能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT、案例和练习题。
2.准备黑板、粉笔等教学工具。
3.准备与教学内容相关的学习资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入分式方程的概念，让学生感受分式方程在实际生活中的应用。
例如：某商品打8折后的价格是120元，问原价是多少？2.呈现（15分钟）介绍分式方程的定义、性质和基本解法。
通过PPT展示相关的理论和案例，让学生理解和掌握分式方程的基本概念。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，运用所学的知识解分式方程。
教师巡回指导，解答学生的问题，并给予鼓励和表扬。
4.巩固（5分钟）挑选几道典型的练习题，让学生上黑板演示解题过程，讲解解题思路。
初中数学人教版八年级上册《15.分式方程》课件(1)
谢谢大家
解：方程两边同时乘以(x-m)(x-n),
可得(x+m)(x-m)+(x+n)(x-n)=2(x-m)(x-n),
即是 x2 - m2 x2 - n2 2x2 - 2(m n)x 2m,n 整理得：2(m n)x (m n)2 ，
因为 m ≠n，所以m+n≠0，解得：x m n ，
5k
解得k≠-3.
②x存在，则 3 k 有意义，即k≠-5. 5k
所以k的取值范围是k≠-3且k≠-5.
3 k ≠，1 5k
含字母的 分式方程
含字母的分式方程的概念
解含字母的分式方程的 一般步骤
若关于x的分式方程 2 - 1- kx 1 无解，求k的值. x-2 2-x
解析：分式方程无解分为两种情况： ①分式方程化为整式方程后，求出整式方程的解使得最简公分母为0； ②分式方程化为的整式方程无解. 根据两种情况分类讨论，确定 k 的值即可.
分式方程
解关于x的分式方程： x m x n 2(m n.) x-n x-m
解析：原方程是关于x的分式方程，则x表示未知数，m、n表示已 知数，将字母m、n看作是常数，按照解一般分式方程的步骤即可. 注意：原分式方程含有常数项，在去分母的时候要将常数项也乘 以最简公分母.
解关于x的分式方程： x m x n 2(m n.) x-n x-m
x
2
3
.
解：方程两边同时乘以2x(x+3)，得x+3=4x， 解得：x=1. 检验：当x=1时，2x(x+3)=8≠0， 所以原分式方程的解是 x=1.
解分式方程： 2 x -1
4 x2 -1
.
解：方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，得2(x+1)=4， 解得：x=1. 检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0， 所以x=1不是原分式方程的解， 则原分式方程无解.
人教版八年级数学上册第15章：分式方程及其解法
这个程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什 么区别？
新课讲解
1 分式方程的概念
观察前面所列方程：
90 60 30+v 30 v
此方程的分母中含有未知数v,像这样分母中含未知数的方 程叫做分式方程.
新课讲解
下列方程中,哪些是分式方程？哪些是整式方程？
(1) x 2 x 23
真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整 式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是 原分式方程的解.
新课讲解
★分式方程解的检验——必不可少的步骤
解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能 使原方程的分母为0,所以分式方程的解必须检验．
检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不
新课讲解
下面我们再讨论一个分式方程：
x
1 5
10 x2 25
解：方程两边同乘(x+5)(x-5),得
x+5=10, 解得x=5.
x=5是原分式 方程的解吗？
检验：将x=5代入原方程中,分母x-5和x2-25的值都为0,
相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解,
但不是原分式方程
x
1
RJ八(上) 教学课件
第十五章 分 式
15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
学习目标
1.理解分式方程的概念. 1.掌握解分式方程的基本思路和方法.（重点） 2.理解分式方程时可能无解的原因.（难点）
情境导入
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大 航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千 米所用时间相等.江水的流速为多少？ 设江水的流速为v千米/时,根据题意可列出怎样的方程？
人教版八年级数学上册分式方程第一课时可化为一元一次方程的分式方程教学课件
3把分式方程 x 2 1 化为整式方程得x 2 1；
x2 2x
4把分式方程 1
x2 1
2（xx1）
1 化为整式方程时， 4（x 1）
两边应同时乘以8（x2 1）（x 1）（x 1）。
做一做 当堂练习
1.方 程 3-x2的 解 是 x___ 1___.
x 2.函 数 y
x
中 ， 自 变 量x的 取 值 范 围
分母，得80(x-3）=60(x+3). 解这个整式方程，得x=21.
所以轮船在静水中的速度为21千米/时.
探究分式方程的解法
2、概 括 上述解分式方程的过程，实质上是将
方程的两边乘以同一个整式，约去分母， 把分式方程转化为整式方程来解.所乘的 整式通常取方程中出现的各分式的最简公 分母.
请你动手做一做：
代入原方程检验法和代入最简公分母检验法. 如例1中的x=1，代入x2－1＝0，可知x=1是原分式方程的增根.
(2)代入最简公分母检验时，看最简公分母的 轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.
提问：你还能举出一个类似的例子吗？ 上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.
课堂小结
解分式方程的注意点：
（1）去分母时，先确定最简公 分母；若分母是多项式，要进行因 式分解；
（2）去分母时，不要漏乘不含 分母的项；
（3）最后不要忘记验根。
•分式方程的主要特征：
（1）含有分式 ； （2）分母中含有未知数。
你还能举出一个 分式方程的吗？
例题讲解与练习
辨析：判断下列各式，哪个是分式方程？
(1)
八年级数学上册第十五章分式方程课时1分式方程及其解法教学课件新版新人教版ppt
检验：当x=6时，(2x+1)(2x-1)≠0，
所以原分式方程的解是x=6.
当堂小练
关于x的方程
的解是正数，则a的取值范围是a＜－1且．a≠－2
【分析】去分母，得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1. ∵关于x的方程 2x a 1的解是正数，
x 1
∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1， 解得a＜－1且a≠－2.
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列 关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
当堂小练
若关于x的分式方程
无解，求m 的值．
解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，
即(m－1)x＝－10.
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
新课导入
思 考 一艘轮船在静水中的最大航速为40 km/h，它以最大航速顺流 行驶130 km所用的时间，与它以最大航速逆流行驶70 km所 用的时间相等，则江水的流速为多少？
新课导入
思 考 一艘轮船在静水中的最大航速为40 km/h，它以最大航速顺流 行驶130 km所用的时间，与它以最大航速逆流行驶70 km所 用的时间相等，则江水的流速为多少？ 解：根据题意得： 130 70 40 v 40 - v 解出该方程即可求出v的值，即江水的流速.
第十五章 分式
15.3 分式方程 课时一 分式方程及其解法
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.了解分式方程的概念，会判断一个方程是分式方程. （难点） 2.掌握解分式方程的基本思路和方法.（重点） 3.了解分式方程验根的必要性．（重点）
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.
4(x 2) 5x
由分母相等，得4(x+2)=5x，解得x=8.
经检验，x=8是原方程的解.
本题源自《教材帮》
拓学展习目提标 升 2
解分式方程： x -1 x - 7 x - 3 x - 5 . x-2 x-8 x-4 x-6
解析： 观察原方程发现每一项分式的分母加1都等于它的分子，将分
所以原分式方程的解是x=6.
本题源自《教材帮》
课学堂习目小标 结
分式方程
分式方程的概念 解分式方程的一般步骤
拓学展习目提标 升 1 用多种方法解分式方程： 5 4 .
x2 x
解：方法一（去分母） 方程两边同时乘以x(x+2)，得5x=4(x+2). 解这个整式方程得：x=8. 经检验，x=8是原方程的解.
130 70 40 v 40 - v
解出该方程即可求出v的值，即江水的流速.
这个方程跟我们学过的整式方程有什么区别？
课学堂习目导标 入
130 70 40 v 40 - v
x-2 x 1 32
1、是方程； 2、分母中含有未知数.
1、是方程； 2、分子中含有未知数，分母中不含有未知数.
你能想到解形如左边方程的方法吗？
分式方程
去分母 转化
整式方程
130 70 40 v 40 - v
130(40 - v) 70(40 v)
分式方程的两边同时乘以 (40-v)(40+v)
新学知习目探标 究
知识点2 解分式方程的一般步骤
一去
去分母，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为 整式方程.
二解
解这个整式方程.
三验 四写
分式方程
15.3.1 分式方程
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升 人教版-数学-八年级上册
知学识习目回标 顾
方程的概念：指含有未知数的等式.
整式方程的概念：方程里面所有的未知数都出现在分子上，分母只 是常数而没有未知数. 一元一次方程：指只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边 都为整式的等式. 二元一次方程：指含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都 是1的整式方程.
知学识习目回标 顾
思考，下列不是整式方程的有哪些？
（1）2x+5=7
（2）9x-5
（3）6y+1>2y
（5）4x+3y=3 （7）2 2 5
x
（4）7-2=5 （6） x 2x 5
3 （8）x=4
不是整式方程的有：（2）、（3）、（4）、（7）
学学习习目目标 标
1、了解分式方程的概念，能判断一个等式是不是分式方程； 掌握解分式方程的步骤. 2、能熟练运用解分式方程的步骤进行计算.
本题源自《教材帮》
随学堂习目练标 习 3
解分式方程： 4 1 x -1
.
x2 -1
x 1
解：方程两边同乘(x+1)(x-1)，得4+x2-1=(x-1)2， 解得：x=-1. 检验：当x=-1时，(x+1)(x-1)=0， 所以x=-1不是原分式方程的解. 所以原分式方程无解.
分式方程的常数项“1”也要乘以最简公分母(x+1)(x-1).
子拆成分母与1的和，分别除以分母，消去分子中的未知数，然后进
行求解.
例如： x -1 (x - 2) 1 1 1
.
x-2 x-2
x-2
本题源自《教材帮》
本题源自《教材帮》
拓学展习目提标 升 1 用多种方法解分式方程： 5 4 .
x2 x
解：方法二（倒数法）
对原方程两边同时取倒数，得 x 2 x
54
通分，得 4(x 2) 5x
.
20 20
则4(x+2)=5x，解得x=8.
经检验，x=8是原方程的解.
.
本题源自《教材帮》
拓学展习目提标 升 1 用多种方法解分式方程： 5 4 .
本题源自《教材帮》
随学堂习目练标 习 4
解分式方程：x 1 4x2 -1
3 2x 1
-
4 4x -
2
.
解：原分式方程可化为
x 1
3 -2
,
(2x 1)(2x -1) 2x 1 2x -1
方程两边同乘(2x+1)(2x-1)，得x+1=3(2x-1)-2(2x+1) ，
解得：x=6，
检验：当x=6时，(2x+1)(2x-1)≠0，
本题源自《教材帮》
随学堂习目练标 习 2
解分式方程： x -1 2x
.
x -1 3x - 3
解：方程两边同乘3(x-1)，得3x-3(x-1)=2x， 解得：x=1.5. 检验：当x=1.5时，3(x-1)=1.5≠0， 所以原分式方程的解是x=1.5 .
分式方程的常数项“1”也要乘以最简公分母3(x-1).
课学堂习目导标 入
思考1：一艘轮船在静水中的最大航速为40 km/h，它以最大航速顺流行驶130 km所 用的时间，与它以最大航速逆流行驶70 km所用的时间相等，则江水的流速为多少？
解：设江水的流速为v km/h， 轮船顺流行驶的速度为 (40+v) km/h，行驶130 km所用的时间为 130h；
新学知习目探标 究 知识点1 分式方程
分式方程的概念：分母中含未知数的方程叫做分式方程.
分式方程必须满足的条件：（1）是方程；（2）含有分母；（3）分母中含有未 知数.三者缺一不可.
分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的 x - 2 x a
（a为非零常数），分母中虽然含有字母a，但a不是未知数，所以该方程是整式 方程.
随学堂习目练标 习 1
下列式子：① x -1 1 ；② x x 2 ；③ 2 1 ；④ x2 8 ；
2
x - 2 3x -1
3x 2x
x
⑤
x 1 .其中，分式方程有（ -1
B
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：①是方程，但该方程的分母不含未知数，不是分式方程； ③不是方程，故不是分式方程； ⑤是方程，但分母中不含未知数，不是分式方程； ②④满足分式方程的定义.
新学知习目探标 究 知识点1 分式方程
分式方程和整式方程的区别与联系 （1）区别：整式方程和分式方程的根本区别在于分母中是否含有未知数，分母 中含有未知数的是分式方程，分母中不含未知数的是整式方程. （2）联系：分式方程可以转化为整式方程.
新学知习目探标 究
知识点2 解分式方程的一般步骤
解分式方程的基本思路
x2 x
解：方法三（设参数法）
令 5 4 k(k ≠0) x2 x
解得k 1 ，所以x=8. 2
x 4 k
经检验，x=8是原方程的解.
，则
，k(x+2)=5.
本题源自《教材帮》
拓学展习目提标 升 1 用多种方法解分式方程： 5 4 .
x2 x
解：方法四（分子对等法）
将分子化相等，得 20 20
40 v
轮船逆流行驶的速度为 (40-v) km/h，行驶70 km所用的时间为 70h .
40 - v
课学堂习目导标 入
思考1：一艘轮船在静水中的最大航速为40 km/h，它以最大航速顺流行驶130 km所 用的时间，与它以最大航速逆流行驶70 km所用的时间相等，则江水的流速为多少？ 解：根据题意得：
新学知习目探标 究 知识点2 解分式方程的一般步骤 解方程 3 2 x x -1
解分式方程 的示例
解：方程两边同乘x(x-1)，得3(x-1)=2x. 解得：x=3. 检验：当x=3时，x(x-1)≠0. 所以原分式方程的解为x=3.
新学知习目探标 究 知识点2 解分式方程的一般步骤
（1）分式方程的增根：将分式方程转化为整式方程，若整式方程的解 使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫做原分式方程的增根； （2）产生增根的原因：分式方程本身就隐含着分母不为0的条件，当把分式方 程转化为整式方程的时候，未知数的取值范围扩大了，因此就有可能产生增根， 增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原分式方程，会使原 分式方程的分母为0.
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整 式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
写出原式方程的解.
新学知习目探标 究 知识点2 解分式方程的一般步骤
（1）解分式方程的关键是去分母，在去分母时，分式方程两边的每一 项都要乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项； （2）因为解分式方程可能会产生不适合原方程的解，所以检验是解分式方程的 必要步骤； （3）如果分式的分子是多项式，那么去分母时，一定要先将分子加上括号.