层次分析法

层次分析法层次分析法（简称AHP）是美国运筹学家T.L.SattY于20世纪70]年代提出的,适用于结构较复杂，决策准则多且不易量化的决策问题.它将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次,把人的思维过程层次化、数量化,应用数学原理为分析决策、预报或控制提供定量的依据.该方法的特点是在对复杂决策问题深入分析之后,建立一种层次结构模型,然后利用较少的定量信息,把决策的思维过程数字化,从而为求解多目标、多准则或无结构特征的复杂决策问题,提供一种简便的决策方法.由于这种方法思路简单清晰，能紧密地和决策者的判断和推理相联系，并将决策者的经验判断及其推理过程给予量化描述，从而使决策者在大多情况下，可直接使用层次分析法进行决策，大大提高了决策的有效性、可靠性及可行性，使得这种方法近年来在国内外得到了广泛的应用.层次分析法的基本步骤如下：1 建立层次结构模型在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次．同一层的因素从属于上一层的因素或对上一层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的影响．最上层为目标层，通常只有１个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有１个或几个层次，通常为准则层或指标层．当准则过多时（譬如多于９个）应进一步分解出子准则层．２构造成对比较阵从层次结构模型的第２层开始，对于从属于（或影响及）上一层每个因素的同一层的因素，用成对比较阵和１-９比较尺度构造成对比较阵，直到最下层．３计算权向量并做一致性检验对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验．若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，则需重新构造成对比较阵．４计算组合权向量并做组合一致性检验若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造一致性比率较大的成对比较阵．从上面介绍的层次分析法的基本步骤看，建立层次结构模型是关键的一步．构造成对比较阵是整个工作的数量依据，应当由经验和知识丰富、判断力强的专家给出，还不妨采用群体判断的方式．一建立层次结构模型首先将问题涉及的因素分为三类（三层）：第一层为目标层，表示解决问题的目的；第二层为准则层，表示衡量实现目标的标准，如可以是实现目标的各种措施、方案、政策等．第三层为方案层，是指解决问题的方案、措施．例１（购物模型）某一顾客在购买空调时，看好了A、B、C、D四种空调，举棋不定。

他的目的是从中选出一个最成心的商品来，他主要考虑五种因素：价格、耗电量、售后服务、噪音、款式．把上面的因素分为三层（类），可得到如下的层次结构模型（图１）．例2 （旅游模型）某人假期要外出旅游，想在A、B、C三个旅游胜地选一处．考虑标准主要有：景色、费用、居住条件、饮食、交通条件．把上述因素分为三层，得到此问题的层次结构模型（图2）．二、构造成对比较矩阵这一步是要比较同一层因素对上一层因素的影响，从而确定它们在上层因素中占的权重．设有n 个因素12(,,,)n x x x 对上一层目标有影响，直接确定它们对目标的影响程度（比例）不太容易，所以每次取两个因素i x 与j x 比较，用ij a 表示i x 和j x 对上层目标的影响比．用矩阵()ij m nA a ⨯=表示全部比较结果，A 称为成对比较矩阵．ija 应有的特点为：0ija>，1ji ija a =，易知1iia=．我们把具有上述特点的n 阶矩阵称为正互反矩阵． 例如在旅游模型中，设景色、费用、居住条件、饮食、交通条件五个因素分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，某人根据自己的情况，对五个因素成对进行比较（共做了2554102C⨯==次对比），比较它们对选择旅游地的重要程度，得到成对比较矩阵（正互反矩阵）1143322175511111472311211351131135A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1） 其中212a =表示费用2x 与景色1x 对选择旅游地的目标的重要性之比是2:1，143a =表示景色与饮食对选择旅游地的重要性之比是3:1．在例2中，方案层各因素对准则层中五个因素分别比较能得出五个成对比较矩阵，由于方案层只有三个方案，所以我们得到的这五个成对比较矩阵都是三阶矩阵．按照T.L.Saaty 方法，在构造成对比较矩阵ij a 的取值时，引用数字1，2，，9及其倒数1，12，，19去作尺度，它们代表的意义如表1所示．表1三、计算权向量和一致性检验定义 1 如果一个正互反阵A 满足ij jk ik a a a =(,,1,2,,)i j k n =，则称A 为一致矩阵，简称一致阵． 若A 为n 阶一致阵，则它有下列性质：（1） 秩一定为1，它的唯一非零特征根为n ．（2） 任意列（行）向量都是对应于特征根n 的特征向量．由于成对比较矩阵是我们对复杂事物采取两两比较得到的矩阵，不可能做到判断具有完全的一致性，难免有误差，所以成对比较阵通常不是一致阵，我们需要对成对比较矩阵进行一致性检验．设A 为n 阶成对比较矩阵，前面已经给出n 阶一致阵有最大特征根n ，n 阶正互反阵A 的最大特征根maxn λ≥，而当maxn λ=时A 是一致阵．maxλ比n 大的越多，A 的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大．因而可以用max n λ-数值的大小来衡量A 的不一致程度，Saaty 将max 1nCI n λ-=- （2）定义为一致性指标．当max n λ=时，0CI =，A 为完全一致；CI 越大成对比较矩阵的一致性越差，A 的不一致程度越严重．为了确定A 的不一致程度的容许范围，需要找出衡量A 的一致性指标CI 的标准，Saaty 又引入随机一致性指标RI ，随机一致性指标RI 的数值如表2所示．表2表中1,2n =时0RI =，是因为1，2阶的正互反阵总是一致阵．对于3n ≥的成对比较阵A ，将它的一致性指标CI 与同阶（指n 相同）的随机一致性指标RI 之比称为一致性比率CR ，当0.1CI CR RI=< （3）时，认为A 的不一致程度在容许的范围之内，可用其特征向量最为权向量．否则要重新进行成对比较，对A 加以调整．对A 利用（2）式、（3）式和表2进行检验称为一致性检验．例3 检验成对比较矩阵（1）的一致性，并算出其权向量．解1143322175511111472311211351131135A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦首先算出A 的最大特征根max 5.073λ=，一致性指标5.07350.01851CI -==-由5n =在随机一致性检验RI的数值表中查得1.12RI =．一致性比率0.0180.0160.11.12CI CR RI ===<即通过了一致性检验．计算出max 5.073λ=的特征向量，并标准化(0.263,0.475,0.055,0.099,0.110)T α=α可作为权向量．四、计算组合权向量并做组合一致性检验 下面以例2旅游模型为例，说明如何计算组合权向量及一致性检验．由例3得到第二层对第一层的权向量，(0.263,0.475,0.055,0.099,0.110)T α=．用同样的方法分别构造第三层对第二层的每个准则的成对比较矩阵，不妨设它们为1125112211152B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2111381313831B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，311311311133B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，413411131114B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，511141114441B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中1B 、2B 、3B 、4B 、5B 表示三种旅游方案A 、B 、C 分别对标准层五个因素：景色、费用、居住条件、饮食、交通条件的成对比较矩阵．例如，1B 表示三种对景色的优越程度的比较，3B 中23b 表示方案B 对C 的居住条件的程度．分别算出1B 、2B 、3B 、4B 、5B 的权向量（标准化的特征向量）k α、最大特征根k λ、一致性指标kCI 和一致性比率k CR ，结果列在表3中(其中1,2,,5k =)．表3旅游问题第三层的计算结果k CI 均小于0.1，均通过一致性检验．我们把各方案对目标的权向量，称为组合权向量，记作(3)α．我们在例3中已求出第二层对第一层（即五个标准对目标选择旅游地）的权向量，记为(2)α．(2)(0.263,0.475,0.055,0.099,0.110)T α=所以方案A 、B 、C 在目标中的组合权重应该为α与(2)α对应向量的两两乘积之和，如A 在目标中的组合权重应该为0.5950.2630.0820.4750.4290.0550.6330.0990.1660.1100.300⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=同样可计算出B 、C 在目标中的组合权重为0.246和0.456，于是得组合权向量(3)(0.300,0.246,0.456)Tα=这个结果解释为方案C 在旅游地选择中占得权重为45.6%，远远大于A 、B ，所以应选择方案C ． 一般地，对于三层决策问题，设第一层只有一个目标，第二、三层分别有n 、m 个因素，且第二层对第一层的权向量为(2)(2)(2)(2)12(,,,)T n αααα=第三层对第二层的权向量分别为(3)(3)(3)(3)12(,,,)Tkk k kn αααα=，1,2,,k n =令(3)(3)1{,,}n ααΩ=，则第三层（方案层）对第一层（目标层）的组合权向量为(3)(2)αα=Ω组合权向量也要进行一致性检验，组合一致性检验是逐层进行的．若决策是三层的，且第二、三层分别有n 、m 个因素，则可设第二层一致性指标为(2)1CI ，，(2)n CI ，随机一致性指标为(2)1RI，，(2)n RI ，定义(2)(2)(2)(2)1[,,]n CI CI CI α= (2)(2)(2)(2)1[,,]n RI RI RI α=则第二层对第一层的组合一致性比率为(2)(2)(2)CI CR CR RI=+同样可定义第三层对第一层的组合一致性比率(3)(3)(2)(3)CI CRCRRI=+ 当(3)0.1CR<时，认为组合权向量通过一致性检验．再看旅游问题，可以算出(3)0.00176CI=，(3)0.58RI =，(2)0.016CR =，于是得到(3)0.001760.0160.0190.10.58CR=+=<组合向量通过一致性检验，说明上面求的组合向量(3)(0.300,0.246,0.456)Tα=可作为最终的决策依据．例4 学生综合素质评定先给出若干准则，再构造层次结构模型． 用V 表示综合素质．用1C 、2C 、3C 、4C 、5C 分别表示学习成绩、人际关系、艺术素养、身体素质、 心理素质．用1P 、2P 、3P 分别表示三位同学．现在给出三位同学的各项素质得分，见表4．表4先用成对比较法比较准则层5个因素对目标层的影响，得到成对比较矩阵．12322131112212221333313111221311122A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦再用成对比较法比较方案层3个因素对准则层额影响，得到成对比较阵，不妨设1125112211152B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2111381313831B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，311311311133B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，413411131114B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ， 511141114441B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这里矩阵k B （1,2,,5k =）中的元素()k ijb 是方案（学生）Pi 与Pj 对于准则k C 的优越性的比较尺度．对于A 可以算出max 5λ=，归一化的特征向量(0.35294,0.17647,0.11765,0.17647,0.17647)T w =0CI =，0CR =由第三层的成对比较矩阵k B 计算出权向量(3)k w ，最大特征根max λ和一致性指标k CI ，结果列入表5．表5不难看出，由于，所以上面的k CI 均可通过一致性检验．以综合素质V 为目标的计算结果见表6：表6P的综合成绩在综合素质所由上表可以看出同学1P的综合素质最高．占的权重最大，所以1五、正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法——和法步骤如下：（1） 将A 的每一列向量归一化得1ijij nkjk a w a==∑．（2） 对1ijij niji a w a==∑按行求和得1ni ij j w w ==∑．（3） 将iw 归一化1ii nii w w w ==∑，12(,,,)T n w w w w =即为近似特征向量．（4） 计算1()1n ii iAw n w λ===∑，作为最大特征根的近似值．这个方法实际上是将A 的列向量归一化后取平均值，作为A 的特征向量．因为当A 为一致阵时它的每一列向量都是特征向量，所以若A 的不一致性不严重，则取A 的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量时合理的．用上述方法计算一个例子．1260.60.6150.5451140.30.3080.36420.10.0770.09111164 1.7600.5870.9720.3240.2680.089A w ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦列向量归一化按行求和归一化1.7690.9740.268Aw ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1 1.7690.9740.268() 3.00930.5870.3240.089λ=++= 精确计算给出(0.588,0.322,0.090)Tw =，3.010λ=．二者相比，相差甚微．。