鲁教版八年级数学上册第四章图形的平移和旋转

图形的平移与旋转一．选择题（共8小题）1．如图，D、E分别是AC和AB上的点，AD=DC=4，DE=3，DE∥BC，∠C=90°，将△ADE沿着AB 边向右平移，当点D落在BC上时，平移的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．62．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2）、B（﹣1，0）、C（﹣1，3），将△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别A1、B1、C1，则点A1的坐标为（）A．（3，﹣3）B．（1，﹣1）C．（3，0）D．（2，﹣1）3．下列四幅图案在设计中用到平移变换方式的是（）A ．B ．C ．D ．4．如图，将Rt△ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．115°B．120°C．125°D．145°5．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC 的大小是（）A．55°B．60°C．65°D．70°6．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则∠C′BA的度数为（）A．15°B．20°C．30°D．45°7．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC 边上，若AB=1，∠B=60°，则△ABD的面积为（）A．2B ．C ．D ．8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B=40°，∠CAE=60°，则∠DAC的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°二．填空题（共5小题）9．已知一副直角三角板如图放置，其中BC=3，EF=4，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得△EDC，点D在AB边上，斜边DE交AC于点F，则图中阴影部分面积为．11．如图，把直角三角形ABC沿BC方向平移到直角三角形DEF的位置，若AB=6，BE=3，GE=4，则图中阴影部分的面积是．12．如图，△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转40°后得到的图形，点C恰好在边AB上．若∠AOD=100°，则∠D的度数是°．13．如图，在平面直角坐标系中，将点P（﹣4，2）绕原点顺时针旋转90°，则其对应点Q的坐标为．三．解答题（共12小题）14．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度有一个△ABC，它的三个顶点均与小正方形的顶点重合．（1）将△ABC向右平移3个单位长度，得到△DEF（A与D、B与E、C与F对应），请在方格纸中画出△DEF；（2）在（1）的条件下，连接AE和CE，请直接写出△ACE的面积S，并判断B是否在边AE上．15．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）证明：△ABE≌△C1BF；（2）证明：EA1=FC；（3）试判断四边形ABC1D的形状，并说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（3，﹣1），C（1，﹣1）．（1）将△ABC向左平移3个单位得到△A1B1C1，在坐标系中画出△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A的对应点A2的坐标；（3）求（2）中点A所走过的路线长．17．将直角三角形ABC沿CB方向平移CF的长度后，得到直角三角形DEF．已知DG=4，CF=6，AC=10，求阴影部分的面积．18．如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）如果∠AEC=75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=2．Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕A 点逆时针方向旋转60°得到的，求线段B′C的长．20．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B．（1）请你判断BC′与AB′的位置关系，并说明理由；（2）求BC′的长．21．如图①，在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC，AB与EC交于F，ED 与AB、BC分别交于M、H．（1）求证：CF=CH；（2）如图②，Rt△ABC不动，将Rt△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM的形状，并证明你的结论．图形的平移与旋转参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图，D、E分别是AC和AB上的点，AD=DC=4，DE=3，DE∥BC，∠C=90°，将△ADE 沿着AB边向右平移，当点D落在BC上时，平移的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵∠C=90°，AD=DC=4，DE=3，∴AE==5，∵DE∥BC，∴AE=BE=5，∴当点D落在BC上时，平移的距离为BE=5．故选C．2．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2）、B（﹣1，0）、C（﹣1，3），将△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别A1、B1、C1，则点A1的坐标为（）A．（3，﹣3）B．（1，﹣1）C．（3，0） D．（2，﹣1）【解答】解：将△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别A1、B1、C1，∵A（﹣3，2）∴点A1的坐标为（﹣3+4，2﹣3），即（1，﹣1）．故选B．3．下列四幅图案在设计中用到平移变换方式的是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A、此图形是由平移得到的，故此选项正确；B、此图形是由翻折得到的，故此选项错误；C、此图形是由旋转得到的，故此选项错误；D、此图形是由轴对称得到的，故此选项错误；故选：A．4．如图，将Rt△ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．115°B．120°C．125° D．145°【解答】解：∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=60°，∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB1等于旋转角，且∠BAB1=180°﹣∠BAC=120°，∴旋转角等于120°．故选B．5．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠CAC′=40°，∴∠AC′C=∠ACC′=70°，∵CC′∥AB，∴∠BAC=∠ACC′=70°，故选D．6．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则∠C′BA的度数为（）A．15°B．20°C．30°D．45°【解答】解：如图，连接BB′；由题意得：AB=AB′，∠BAB′=60°，∴△ABB′为等边三角形，∴∠B′BA=60°，BB′=BA；在△BB′C′与△BAC中，，∴△BB′C′≌△BAC（SSS），∴∠B′BC′=∠ABC′=30°，故选C．7．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AB=1，∠B=60°，则△ABD的面积为（）A．2 B ．C ．D ．【解答】解：∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，∴AD=AB，∵∠B=60°，∴△ABD为等边三角形，∴△ABD的面积=AB2=×12=．故选D．8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE 上，若∠B=40°，∠CAE=60°，则∠DAC的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【解答】解：由旋转的性质得：△ADE≌△ABC，∴∠D=∠B=40°，AE=AC，∵∠CAE=60°，∴△ACE是等边三角形，∴∠ACE=∠E=60°，∴∠DAE=180°﹣∠E﹣∠D=80DU=（180°﹣∠CAE）=（180°﹣60°）=80°，∴∠DAC=∠DAE﹣∠CAE=80°﹣60°=20°；故选：B．二．填空题（共5小题）9．已知一副直角三角板如图放置，其中BC=3，EF=4，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为3﹣．【解答】解：∵∠F=45°，BC=3，∴CF=3，又EF=4，则EC=1，∵BC=3，∠A=30°，∴AC=3，则AE=3﹣1，∠A=30°，∴EG=3﹣，阴影部分的面积为：×3×3﹣×（3﹣1）×（3﹣）=3﹣．故答案为：3﹣．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得△EDC，点D在AB边上，斜边DE交AC于点F，则图中阴影部分面积为．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AB=2BC=4，AC=2，∵△EDC是△ABC旋转而成，∴BC=CD=BD=AB=2，∵∠B=60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，∵BD=AB=2，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC=×2=1，CF=AC=×2=，∴S阴影=DF×CF=×=．11．如图，把直角三角形ABC沿BC方向平移到直角三角形DEF的位置，若AB=6，BE=3，GE=4，则图中阴影部分的面积是15．【解答】解：∵△ABC沿BCC的方向平移到△DEF的位置，∴S△ABC=S△DEF，∴S阴影部分+S△OEC=S梯形ABEO+S△OEC，∴S阴影部分=S梯形ABEO=×（4+6）×3=15．故答案为15．12．如图，△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转40°后得到的图形，点C恰好在边AB上．若∠AOD=100°，则∠D的度数是50°．【解答】解：根据旋转性质得△COD≌△AOB，∴CO=AO，∠D=∠B由旋转角为40°，∴∠AOC=∠BOD=40°，∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）÷2=70°，∴∠BOC=∠AOD﹣∠AOC﹣∠BOD=20°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=60°，在△AOB中，由内角和定理得∠B=180°﹣∠OAC﹣∠AOB=180°﹣70°﹣60°=50°．∴∠D=∠B=50°故答案为50°．13．如图，在平面直角坐标系中，将点P（﹣4，2）绕原点顺时针旋转90°，则其对应点Q的坐标为（2，4）．【解答】解：作图如右，∵∠MPO+∠POM=90°，∠QON+∠POM=90°，∴∠MPO=∠QON，在△PMO和△ONQ中，∵，∴△PMO≌△ONQ，∴PM=ON，OM=QN，∵P点坐标为（4，2），∴Q点坐标为（2，4），故答案为（2，4）．三．解答题（共12小题）14．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度有一个△ABC，它的三个顶点均与小正方形的顶点重合．（1）将△ABC向右平移3个单位长度，得到△DEF（A与D、B与E、C与F对应），请在方格纸中画出△DEF；（2）在（1）的条件下，连接AE和CE，请直接写出△ACE的面积S，并判断B是否在边AE上．【解答】解：（1）如图所示；（2）由图可知，S=5×4﹣×4×1﹣×2×4﹣×2×5=20﹣2﹣4﹣5=9．根据图形可知，点B不在AE边上．15．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）证明：△ABE≌△C1BF；（2）证明：EA1=FC；（3）试判断四边形ABC1D的形状，并说明理由．【解答】（1）证明：∵等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A1BC1，∴AB=BC1=A1B=BC，∠ABE=∠C1BF，∠A=∠C1=∠A1=∠C，在△ABE和△C1BF中，，∴△ABE≌△C1BF（ASA）；（2）证明：∵△ABE≌△C1BF，∴EB=BF．又∵A1B=CB，∴A1B﹣EB=CB﹣BF，∴EA1=FC；（3）答：四边形ABC1D是菱形．证明：∵∠A1=∠C=30°，∠ABA1=∠CBC1=30°，∠A1=∠C=∠ABA1=∠CBC1．∴AB∥C1D，AD∥BC1，∴四边形ABC1D是平行四边形∵AB=BC1，∴四边形ABC1D是菱形．16．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（0，4），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标；（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）△A1B1C如图所示，△A2B2C2如图所示；（2）如图，旋转中心坐标为（1.5，3）；（3）如图所示，点P的坐标为（﹣2，0）．17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（3，﹣1），C（1，﹣1）．（1）将△ABC向左平移3个单位得到△A1B1C1，在坐标系中画出△A1B1C1，并写出点A 的对应点A1的坐标；（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A的对应点A2的坐标；（3）求（2）中点A所走过的路线长．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所求，点A1的坐标（﹣2，﹣2）；（2）如图，△A2B2C2为所求；（3）OA==，点A 所走过的路线长为=．18．如图，在边长均为1的正方形网格纸上有一个△ABC，顶点A、B、C及点O均在格点上，请按要求完成以下操作或运算：（1）将△ABC绕点O旋转180°，得到△A1B1C1（不写作法，但要标出字母）；（2）求点A绕着点O旋转到点A1所经过的路径长．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）点A绕着点O旋转到点A1所经过的路径长=π=4π．19．将直角三角形ABC沿CB方向平移CF的长度后，得到直角三角形DEF．已知DG=4，CF=6，AC=10，求阴影部分的面积．【解答】解：∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，CF=6，∴AD∥BE，AD=BE=6，∴四边形ABED是平行四边形，∴四边形ABED的面积=BE×AC=6×10=60．20．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A1B1C1O的一个顶点，如果这两个正方形全等，正方形A1B1C1O绕点O旋转．（1）求两个正方形重叠部分的面积；（2）若正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时，求A与C1的距离．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠OAB=∠OBF=45°，OA=OB∵BO⊥AC，∴∠AOE+∠EOB=90°，又∵四边形A1B1C1O为正方形，∴∠A1OC1=90°，即∠BOF+∠EOB=90°，∴∠AOE=∠BOF，在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∵S两个正方形重叠部分=S△BOE+S△BOF，又S△AOE=S△BOF∴S两个正方形重叠部分=S ABO =S正方形ABCD =×4=1；（2）如图，∵正方形的面积为4，∴AD=AB=2，∵正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时，∴C1F=OC1=1，AG=1∴C1G=3，根据勾股定理，得AC1=．21．如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）如果∠AEC=75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．【解答】（1）证明：在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE；（2）解：∵△ABC≌△ADE，∴AC=AE，∴∠C=∠AEC=75°，∴∠CAE=180°﹣∠C﹣∠AEC=30°，∴△ADE绕着点A逆时针旋转30°后与△ABC重合，∴这个旋转角为30°．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=2．Rt△AB′C′可以看作是由Rt △ABC绕A点逆时针方向旋转60°得到的，求线段B′C的长．【解答】解：如图，作B′E⊥AC交CA的延长线于E，∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=2，∴∠ABC=30°，∴AC=AB=1，∵Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，∴AB=AB′=2，∠B′AB=60°，∴∠EAB′=180°﹣∠B′AB﹣∠BAC=60°，∵B′E⊥EC，∴∠AB′E=30°，∴AE=1，在Rt△AB′E中，∵AE=1，AB′=2，∴B′E==，∴EC=AE+AC=2，在Rt△CEB′中，∵B′E=，CE=2，∴B′C==．23．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B．（1）请你判断BC′与AB′的位置关系，并说明理由；（2）求BC′的长．【解答】解：（1）BC′垂直平分AB′．理由如下：如图，连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=60°，C′B′=C′A′=CA=CB=，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，而C′B′=C′A′，∴BC′垂直平分AB′；（2）延长BC′交AB′于D，如图，在Rt△AC′B′中，AB′=AC′=2，∵BC′垂直平分AB′，∴C′D=AB=1，∵BD为等边三角形△ABB′的高，∴BD=AB′=，∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．24．如图，已知在直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，B点的坐标为（4，8），将矩形OABC绕点B逆时针旋转得到矩形EFBG，点E恰好落在x轴上．（1）求证：OA=AE；（2）若GE交AB于点D，求AD的长；（3）求点F的坐标．【解答】解：（1）如图，连接BO、BE，∵矩形OABC绕点B逆时针旋转得到矩形EFBG，∴BO=BE，BA⊥OE，∴OA=AE；（2）∵矩形OABC绕点B逆时针旋转得到矩形EFBG，∴AE=OA=BG=90°，在△BGD和△EAD中，，∴△BGD≌△EAD，∴AD=GD，BD=ED，设AD=x，则DE=BD=8﹣x，∴x2+42=（8﹣x）2，∴x=3，即AD=3；（3）如图，作FH⊥x轴于点H，∵∠DAE=∠DEF=∠EHF=90°，∴△DAE∽△EHF，∴，∴，∴EH=，∴FH==，OH=OE+EH=，∴F （，）．25．如图①，在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC，AB与EC 交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．（1）求证：CF=CH；（2）如图②，Rt△ABC不动，将Rt△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM 的形状，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=CD=CE，∴∠1=∠2=90°﹣∠BCE，∠A=∠B=∠D=∠E=45°，在△ACF和△DCH中∴△ACF≌△DCH，∴CF=CH；（2）四边形ACDM是菱形，证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=90°﹣45°=45°，∵∠A=∠D=45°，∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°，同理∠D+∠ACD=180°，∴AM∥DC，AC∥DM，∴四边形ACDM是平行四边形，∵AC=CD，∴四边形ACDM是菱形．。