最新高考数学难点题型拔高练六理含解析2.doc

难点题型拔高练(六)

1．已知函数f (x )＝

sin x

2＋cos x

，当x >0时，函数f (x )的图象恒在直线y ＝kx 的下方，则

k 的取值范围是( )

A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1

3，33

B. ⎣⎢⎡⎭

⎪⎫13，＋∞ C. ⎣⎢

⎡⎭

⎪⎫

33，＋∞ D ．⎣⎢⎡

⎦

⎥⎤－

33，33 解析：选 B f ′(x )＝

cos x

＋cos x －sin x

－sin x

＋cos x

2

＝

2cos x ＋1

＋cos x

2，令

f ′(x )＝0，得x ＝

2π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数f (x )在x ＝2π3＋2k π，k ∈Z 时取得极大值3

3

，当直线y ＝kx 与f (x )＝sin x 2＋cos x 的图象在原点处相切时，可得k ＝f ′(0)＝1

3

，由图(图略)

易得k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭

⎪⎫13，＋∞. 2．已知f (x )是定义在R 上的可导函数，若3f (x )>f ′(x )恒成立，且f (1)＝e 3

(e 为自然对数的底数)，则下列结论正确的是( )

A ．f (0)＝1

B ．f (0)<1

C ．f (2)

D ．f (2)>e 6

解析：选C 由3f (x )>f ′(x )可得3f (x )－f ′(x )>0， 令h (x )＝

f x

e

3x ＝f (x )e

－3x

，

则h ′(x )＝e －3x

[f ′(x )－3f (x )]<0，

所以函数h (x )在R 上单调递减， 所以h (0)>h (1)，即

f

e

>

f

e

3＝e

3

e

3＝1， 所以f (0)>1，同理有h (2)

f

e

6

<

f

e

3＝e 3

e

3＝1，所以f (2)

)，则a n

＝________.

解析：由a n a n －1＋2a n a n ＋1＝3a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *

)， 得a n a n －1－a n －1a n ＋1＝2(a n －1a n ＋1－a n a n ＋1)(n ≥2，n ∈N *

)，

得

1

a n ＋1－1a n

＝2⎝ ⎛⎭

⎪

⎫1a n －1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)， 因为1a 2－1

a 1

＝2，所以数列⎩⎨

⎧⎭

⎬⎫1a n ＋1－1a n 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以

1

a n ＋1－1a n

＝2n

，所以1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1a n －2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋1a 1

＝2n －1＋2n －2＋…

＋2＋1＝2n

－1，所以a n ＝12n －1

.

答案：

12n

－1

4．已知F 1，F 2分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，32在椭圆上，且|PF 1|＋|PF 2|＝4.

(1)求椭圆E 的方程；

(2)过F 1的直线l 1，l 2分别交椭圆E 于点A ，C 和点B ，D ，且l 1⊥l 2，问是否存在常数λ，使得 1|AC |，λ，1

|BD |

成等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)因为|PF 1|＋|PF 2|＝4，所以2a ＝4，a ＝2，

椭圆E 的方程为x 24＋y 2

b

2＝1.

将P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，32代入可得b 2

＝3，

所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2

3

＝1.

(2)若直线AC 的斜率为零或不存在，易知1|AC |＋1|BD |＝13＋14＝7

12，

此时，存在λ＝724，使1|AC |，λ，1

|BD |

成等差数列．

若直线AC 的斜率存在，且不为0，设直线AC 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入方程x 2

4

＋y 2

3

＝1，

化简得(3＋4k 2

)x 2

＋8k 2

x ＋4k 2

－12＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝－8k 2

3＋4k 2，x 1x 2＝4k 2

－12

3＋4k 2，

于是|AC |＝1＋k 2|x 1－x 2|

＝＋k

2

x 1＋x 2

2

－4x 1x 2]＝＋k 2

3＋4k

2

，

将k 换为－1

k

，得|BD |＝

＋k 2

4＋3k

2

，

所以1|AC |＋1

|BD |

＝

3＋4k

2

＋k

2

＋4＋3k 2

＋k 2

＝7

12

， 此时，存在λ＝724，使得1|AC |，λ，1

|BD |成等差数列 .

综上，存在λ＝724，使得1|AC |，λ，1

|BD |

成等差数列．

5．已知函数f (x )＝mx

ln x ，曲线y ＝f (x )在点(e 2，f (e 2

))处的切线与直线2x ＋y ＝0垂直． (1)求f (x )的解析式及单调递减区间；

(2)若存在x ∈[e ，＋∞)，使函数g (x )＝a eln x ＋12x 2－a ＋e

2ln x ·f (x )≤a 成立，求实

数a 的取值范围．

解：(1)因为ln x ≠0，x >0， 所以x ∈(0,1)∪(1，＋∞)，

f ′(x )＝

m

x －x

2

，

所以f ′(e 2

)＝m 4＝12

，解得m ＝2，

所以f (x )＝2x

ln x

，

f ′(x )＝

x －x

2

，

由f ′(x )<0得0

所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1)和(1，e)． (2)g (x )＝a eln x ＋12x 2－a ＋e

2ln x ·f (x )

＝a eln x ＋12

x 2

－(a ＋e)x ，

若存在x ∈[e ，＋∞)，使函数g (x )＝a eln x ＋12x 2

－(a ＋e)x ≤a 成立，

只需x ∈[e ，＋∞)时，g (x )min ≤a .

因为g ′(x )＝a e x ＋x －(a ＋e)＝

x 2－a ＋

x ＋a e

x

＝

x －a

x －

x

，