第三章插补计算原理刀具半径补偿与速度控制4
数控技术自学指导书
《数控技术》自学指导书一、课程名称:数控技术二、自学学时:30课时三、教材名称:《数控技术》,赵玉刚宋现春编著,机械工业出版社四、课程简介:本课程是高等学校机械类专业学生必修的一门专业基础课程。
通过本课程的学习，使学生掌握现代数控技术的基本理论体系、方法和应用工具;具有综合运用所学知识，正确使用数控设备的能力;了解与本课程有关的机电一体化新技术及发展趋势;提高分析问题和动手动脑的综合能力;为学习其他有关课程和将来从事数控技术方面的工程设计与开发打好必要的基础。
本课程主要研究数控机床的工作原理、各组成部分及其在机械生产中的应用．基本教学内容有:数控技术概述、数控加工程序的编制、计算机数控装置、进给伺服系统、数控技术的发展、数控机床的故障诊断与维修等。
六、考核方式：开卷考试七、自学内容指导:第一章绪论1、本章内容概述:了解机床数控技术基本概念及其发展概况;掌握数控机床的工作流程、基本组成、工作原理、分类、特点和适用范围.２、自学学时安排：2学时3、知识点:概述、数控技术概念，数控机床概念。
数控机床的基本工作原理，数控机床的工作流程,数控机床的组成。
数控机床的特点,数控机床的适用范围。
点位、直线、轮廓控制数控机床概念,开环、闭环、半闭环数控机床概念,多轴联动数控机床的含义和实例。
４。
本章重点:点位、直线、轮廓控制数控机床概念,开环、闭环、半闭环数控机床概念,多轴联动数控机床的含义和实例.5。
习题1．数控机床是由哪几部分组成,它的工作流程是什么?2.按伺服系统的控制原理分类，分为哪几类数控机床？各有何特点？4.数控机床有哪些特点？3．什么是点位控制、直线控制、轮廓控制数控机床？三者如何区别?第二章数控机床的加工程序的编制1、本章内容概述:掌握数控编程基础知识;掌握常用G、M指令的编程方法；掌握数控编程的工艺处理原则；了解程序编制中的数学处理方法。
2、自学学时安排：103、知识点:数控编程基本概念，数控编程的一般步骤，数控编程代码的含义，手工编程和自动编程两种方法的异同数控机床的坐标系和坐标轴的确定,机床原点与机床坐标系，工件原点和工件坐标系,绝对坐标与相对坐标,尺寸设定单位,数控加工程序的结构常用的准备功能G指令（包括坐标系相关指令、运动方式相关指令、刀具补偿指令、子程序调用指令),常用的辅助功能M指令，F、S、T指令。
数控机床插补原理
对圆弧，提供起点、终点、顺圆或逆圆、以及圆心相对于起点的位置。为满
足零件几何尺寸精度要求，必须在刀具(或工件)运动过程中实时计算出满足 线形和进给速度要求的若干中间点(在起点和终点之间)，这就是数控技术中
插补(Interpolation)的概念。据此可知，插补就是根据给定进给速度和给定
轮廓线形的要求，在轮廓已知点之间，确定一些中间点的方法，这种方法称 为插补方法或插补原理。
Xm+1＝Xm+1, Ym+1＝Ym
新的偏差为
Fm+1＝Ym+1Xe－Xm+1Ye＝Fm－Ye
若Fm＜0时，为了逼近给定轨迹，应向＋Y方向进给一步，走一步后新的坐标值为
Xm+1＝Xm, Ym+1＝Ym ＋1
新的偏差为
Fm+1＝Fm＋Xe
4. 终点判别法
逐点比较法的终点判断有多种方法，下面主要介绍两种：
直到∑为零时，就到了终点。
2.2
不同象限的直线插补计算
上面讨论的为第一象限的直线插补计算方法，其它三个象
限的直线插补计算法，可以用相同的原理获得，表5-1列出了
四个象限的直线插补时的偏差计算公式和进给脉冲方向，计 算时，公式中Xe，Ye均用绝对值。
表1-1 四个象限的直线插补计算
第3章-插补原理
Y积分器
计t数 器JVX为(XeJ)E，JR均X 为溢三出位Jvy(Ye) JRy 溢出
终点计 数器
JE
备注
二0进制1存01 放器00。0
011 000
000
初始状态
1
101 101
011 011
001 第一次迭代
2
101 010
1
011 110
010
X溢出
3
101 111
011 001
1
011
Y溢出
∑=8-1=7
4
F<0
+Y
F4=F3+xe=-2+6=4
∑=7-1=6
5
F>0
+X
F5=F4-ye=4-4=0
∑=6-1=5
6
F=0
+X
F6=F5-ye=0-4=-4
∑=5-1=4
7
F<0
+Y
F7=F6+xe=-4+6=2
∑=4-1=3
8
F>0
+X
F8=F7-ye=2-4=-2
∑=3-1=2
9
F<0
4
101 100
1
011 100
100
X溢出
5
101 001
1
011 111
101
X溢出
6
101 110
011 010
1
110
Y溢出
7
101 011
1
011 101
111
件加工的要求，现在的数控系统已很少采用这类算法 了。
4
*
第三章 数控插补原理
解：插补完这段直线刀具沿Ｘ和Ｙ轴应走的总步数为 = x e + y e ＝5 + 3＝8。 Y 刀具的运动轨迹如图 E(5，3) 3
2 1 O 1 2 3 4 5 X
第二节 基准脉冲插补
插补运算过程见表：
循环序号 偏差判别 F ≥0 坐标进给 +X 偏差计算 Fi+1=Fi-ye
教案 3
终点判别
m
Y
m(Xm,Ym) B(XB,YB)
+Y2
2 m-R
若Fm=0，表示动点在圆弧上；
若Fm>0，表示动点在圆弧外； 若Fm<0，表示动点在圆弧内。
Rm
R A(XA,YA)
第Ⅰ象限逆圆弧
X
第二节 基准脉冲插补
2）坐标进给
教案 3
与直线插补同理，坐标进给应使加工点逼近给定圆弧,规定如下： 当Fm≥0时，向-X方向进给一步； 当Fm＜0时，向+Y方向进给一步。
教案 3
若Fi=0，表示动点在直线OE上，如P； 若Fi>0，表示动点在直线OE上方，如P′； 若Fi<0，表示动点在直线OE下方，如P″。
O
xi 第Ι象限直线
X
第二节 基准脉冲插补
2）坐标进给
教案 3
坐标进给应逼近给定直线方向，使偏差缩小的方向进给一步，由插补装 置发出一个进给脉冲控制向某一方向进给。
教案 3
直线线型 进给方向 偏差计算 直线线型
L1、L4 L2、L3 +X -X Fi+1=Fi-ye L1、L2 L3、L4
偏差计算
Fi+1=Fi+xe
注：表中L1、L2、L3、L4分别表示第Ⅰ、第Ⅱ、 第Ⅲ、第Ⅳ象限直线，偏差计算式中xe、ye均代 入坐标绝对值。
逐点比较法计算
第二节逐点比较法插补(数控基础第三章插补计算原理、刀具半径补偿与速度控制)发布:2009-7-19 19:24 | 作者:唐义| 来源:本站| 查看:6次| 字号: 小中大逐点比较法的基本原理是被控对象在按要求的轨迹运动时，每走一步都要与规定的轨迹进行比较，由此结果决定下一步移动的方向。
逐点比较法既可以作直线插补又可以作圆弧插补。
这种算法的特点是，运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，输出脉冲均匀，而且输出脉冲的速度变化小，调节方便，因此在两坐标数控机床中应用较为普遍。
一、逐点比较法直线插补1．逐点比较法的直线插补原理在图3-1所示平面第一象限内有直线段以原点为起点，以为终点，直线方程为：改写为：如果加工轨迹脱离直线，则轨迹点的、坐标不满足上述直线方程。
在第一象限中，对位于直线上方的点，则有：对位于直线下方的点B，则有：因此可以取判别函数来判断点与直线的相对位置，为当加工点落在直线上时，；当加工点落在直线上方时，；当加工点落在直线下方时，。
我们称为“直线插补偏差判别式”或“偏差判别函数”，的数值称为“偏差”。
例如图3-2待加工直线，我们运用下述法则，根据偏差判别式，求得图中近似直线（由折线组成）。
若刀具加工点的位置处在直线上方（包括在直线上），即满足≥0时向轴方向发出一个正向运动的进给脉冲（），使刀具沿轴坐标动一步（一个脉冲当量δ），逼近直线；若刀具加工点的位置处在直线下方，即满足＜0时，向轴发出一个正向运动的进给脉冲（），使刀具沿轴移动一步逼近直线。
但是按照上述法则进行运算判别，要求每次进行判别式运算——乘法与减法运算，这在具体电路或程序中实现不是最方便的。
一个简便的方法是：每走一步到新加工点，加工偏差用前一点的加工偏差递推出来, 这种方法称“递推法”。
若≥0时，则向轴发出一进给脉冲，刀具从这点向方向迈进一步，新加工点的偏差值为根据式（3-1）及式（3-2）可以看出，新加工点的偏差值完全可以用前一点的偏差递推出来。
第三章、插补计算原理与速度控制
第三章 插补计算原理、刀具半径补偿与速度控制第一节 概述一、插补的基本概念如何控制刀具或工件的运动是机床数字控制的核心问题。
要走出平面曲线运动轨迹需要两个运动坐标的协调运动，要走出空间曲线运动轨迹则要求三个或三个以上运动坐标的协调运动。
运动控制不仅控制刀具相对于工件运动的轨迹，同时还要控制运动的速度。
直线和圆弧是构成工件轮廓的基本线条，因此大多数CNC 系统一般都具有直线和圆弧插补功能。
对于非直线或圆弧组成的轨迹，可以用小段的直线或圆弧来拟合。
只有在某些要求较高的系统中，才具有抛物线、螺旋线插补功能。
一个零件加工程序除了提供进给速度和刀具参数外，一般都要提供直线的起点和终点，圆弧的起点、终点、顺逆和圆心相对于起点的偏移量。
所谓插补是指数据密化的过程。
在对数控系统输入有限坐标点（例如起点、终点）的情况下，计算机根据线段的特征（直线、圆弧、椭圆等），运用一定的算法，自动地在有限坐标点之间生成一系列的坐标数据，从而自动地对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹运行，使机床加工出所要求的轮廓曲线。
对于轮廓控制系统来说，插补是最重要的计算任务，插补程序的运行时间和计算精度影响着整个CNC 系统的性能指标，可以说插补是整个CNC 系统控制软件的核心。
人们一直在努力探求一种简单而有效的插补算法，目前普遍应用的算法可分为两大类：一类是脉冲增量插补；另一类是数据采样插补。
二、脉冲增量插补脉冲增量插补又称基准脉冲插补或行程标量插补。
该插补算法主要为各坐标轴进行脉冲分配计算。
其特点是每次插补的结束仅产生一个行程增量，以一个个脉冲的方式输出给步进电动机。
脉冲增量插补在插补计算过程中不断向各个坐标发出相互协调的进给脉冲，驱动各坐标轴的电动机运动。
在数控系统中，一个脉冲所产生的坐标轴位移量叫做脉冲当量，通常用δ表示。
脉冲当量δ是脉冲分配的基本单位，按机床设计的加工精度选定。
普通精度的机床取mm 01.0=δ，较精密的机床取mm 001.0=δ或mm 005.0。
第三章 数控系统插补原理
第三章 数控系统插补原理3.1 概述3.2 基准脉冲插补3.2.1 逐点比较插补法3.2.2 数字积分插补法3.3 数据采样插补3.3.1 直线函数法3.3.2 扩展DDA 法3.4 刀具补偿原理3.5 CNC 装置的加减速控制零件的轮廓形状是由各种线型组成的，这些线形包括：直线、圆弧以及螺旋线、抛物线、自由曲线等。
因此如何控制刀具与工件的相对运动，使加工出来的零件满足几何尺寸精度和粗糙度的要求，是机床数控系统的核心问题。
数控加工中是利用小段直线或圆弧来逼近或拟合零件的轮廓曲线。
3.1 概述插补运算是根据数控语言G 代码提供的轨迹类型（直线、顺圆或逆圆）及所在的象限等选择合适的插补运算公式，通过相应的插补计算程序，在所提供的已知起点和终点的轨迹上进行“数据点的密化”。
过去，插补是由硬件实现的；现在的CNC 系统，插补工作一般是由软件实现的。
3.1.1 插补的基本概念3.1.2 插补原理所谓插补就是指数据点的密化过程：对输入数控系统的有限坐标点（例如起点、终点），计算机根据曲线的特征，运用一定的计算方法，自动地在有限坐标点之间生成一系列的坐标数据，以满足加工精度的要求。
目前应用的插补算法分为：逐点比较插补法、数字积分插补法和数据采样插补法。
前两种方法也称作脉冲增量插补法。
y x图3.3.2 插补轨迹A(8,6)O用折线来加工直线的例子。
图3.3.8 逆圆插补轨迹A(6,0)B(0,6)插补轨迹理想轨迹yxO用折线来加工圆弧的例子。
3.1.3 脉冲增量插补脉冲增量插补，适用于以步进电机为驱动装置的开环数控系统。
其特点是：每次插补计算结束后产生一个行程增量，并以脉冲的方式输出到坐标轴上的步进电机。
单个脉冲使坐标轴产生的移动量叫脉冲当量，一般用δ来表示。
其中逐点比较插补法和数字积分插补法得到了广泛的应用。
下面分别讲述。
逐点比较法的基本原理是计算机在控制过程中逐点地计算和判断加工偏差，并根据偏差决定下一步的进给方向，以折线来逼近直线或圆弧曲线。
第四章 插补、刀具补偿与速度控制
S = ∫ f (t )dt
0
t
数字积分原理
如果将时间划分为间隔为∆t，则当 足够小时 可得： 足够小时， 如果将时间划分为间隔为 ，则当∆t足够小时，可得：
S = ∫ f (t )dt = ∑ xi −1∆t
0 i =1 t n
如果认为∆t为一个单位的话，上式可以简化为： 如果认为 为一个单位的话，上式可以简化为： 为一个单位的话
xi +1 = xi
yi +1 = yi + 1
Fi +1 = Fi + 2 yi + 1
用逐点比较法插补，每插补一次需要五个节拍： 用逐点比较法插补，每插补一次需要五个节拍：
（1）偏差判别：根据偏差值判断加工点位置。 偏差判别：根据偏差值判断加工点位置。 （2）坐标进给：根据偏差判别结果，沿规定方向前进一 坐标进给：根据偏差判别结果， 个脉冲当量。 个脉冲当量。 （3）偏差计算：计算新加工点偏差。 偏差计算：计算新加工点偏差。 （4）坐标计算：计算新加工点坐标值。 坐标计算：计算新加工点坐标值。 （5）终点判别：判断是否到达终点，如果未到，继续插 终点判别：判断是否到达终点，如果未到， 否则停止插补。 补，否则停止插补。终点判别是判断移动步数是否等 于总移动步数（ 于总移动步数（N=|Xe-X0|+|Ye-Y0|）。 ）。
A(6,4)
O
线段插补实例
X
脉冲 个数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
偏差判别
进给 方向
X→+1 Y→+1 X→+1 Y→+1 X→+1 X→+1 Y→+1 X→+1 Y→+1 X→+1
数控技术 第三章 插补原理
一.逐点比较法直线插补算法
⑴判别函数及判别条件 如图所示，对XY平面第一象限直线段进 行插补。直线段起点位于坐标原点O，终点位 于A（Xe,Ye）。设点P（Xi，Yi）为任一动点。 若P点在直线OA上，则： Y XeYi – XiYe = 0 A (X Y ） 若P点在直线OA上方，则： F＞0 P (X Y ） XeYi – XiYe > 0 若P点在直线OA下方，则： F＜0 XeYi – XiYe < 0 X
2013-8-13
Y E(Xe,Ye) ) O X
15
四个象限直线的偏差符号和插补进给方向如下图所示， 用L1、L2、L3、L4分别表示第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限的直线。 为适用于四个象限直线插补，插补运算时用∣X∣， ∣Y∣代替X，Y，偏差符号确定可将其转化到第一象限， 动点与直线的位置关系按第一象限判别方式进行判别。
2013-8-13
4
脉冲增量插补法比较适用于步进电机作 为驱动电机的系统。有下列常见的几种：
（ 1 ）数字脉冲乘法器 （ 2 ）逐点比较方法 （ 3 ）数字积分方法 （ 4 ）比较积分方法 （5）最小偏差方法 （ 6 ）直接函数方法
2013-8-13
5
（二）数字增量（数据采样）插补算法
1.数字增量插补的特点 数字增量插补也称数据采样插补，它为时间标量插 补，这类插补算法的特点是插补运算分两步完成：第 一步是粗插补：计算出插补周期内各坐标轴的增量值。 第二步是精插补：根据采样得到的实际位置增量值， 计算跟随误差，得到速度指令，输出给伺服系统，通 常称为精插补。这种方法比较适用于伺服电机作为驱 动电机的系统 ⑴粗插补 它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点， 即用若干条微小直线段来逼近给定的曲线，这些微小 直线段的长度ΔL相等且与给定的进给速度有关。由于 粗插补在每个插补周期内之计算一次，因此每一微小 直线段的长度ΔL与进给速度F和插补周期T的关系如下： ΔL=FT。粗插补在每个插补周期内计算出坐标位置增 量值。
《数控加工技术》教学大纲
湘阴县第一职业中专学校《数控加工技术》教学大纲教学目的：本课程是机械专业学生学习数控编程及数控机床操作的一门重点专业课程，具有很强的实践性。
让学生了解数控机床加工程序编制的基础知识和基本方法，重点培养学生学会数控车床、数控铣床的编程方法及基本的操作技能。
教学方法：让学生掌握数控机床加工程序编制的基础知识和基本方法，重点培养学生掌握数控车床、数控铣床的编程方法和基本能力，具有操作数控机床的初步能力；同时了解数控加工工艺设计的过程及基本方法，数控机床的日常保养。
课时：122课时各章教学内容及课时分配：第一章：绪论（2课时）1.1数控机床的加工原理；1.2数控机床的适用范围；1.3数控机床的特点和分类；1.4数控技术的应用与发展第二章：数控机床加工程序的编制（22课时）2.1数控编程基础;2.2数控编程中的数值计算;2.3数控加工手工编程;2.4数控加工自动编程简介;第三章：插补计算原理、刀具半径补偿与速度控制（40课时）3.1插补的基本概念;3.2逐点比较法插补;3.3数字积分法插补;3.4比较积分法;3.5数据采样插补;3.6刀具半径补偿; 进给速度与加减速控制第四章：计算机数控系统（CNC系统）（22课时）4.1CNC系统的组成;4.2 CNC系统的硬件结构;4.3 CNC系统的软件结构;4.4CNC系统的输入输出与通信功能;4.5开放式数控系统的结构及其特点第五章：数控机床用可编程控制器（18课时）5.1概述;5.2数控机床用PLC;5.3典型PLC的指令系统第六章：数控机床的伺服驱动系统（6课时）6.1概述;6.2步进电动机伺服系统;6.3数控机床的位置检测装置;6.4直流电机伺服系统;6.5交流电机伺服系统第七章：数控机床的机械结构（12课时）7.1概述;7.2数控机床的主传动系统;7.3数控机床的进给传动系统;7.4数控机床的自动换刀系统;7.5数控机床的辅助装置。
第三章数控机床插补原理
•若Fi≥0，表明Pi(Xi，Yi)点在OE直线上方或在直线上，应 沿＋X向走一步，假设坐标值的单位为脉冲当量，走步后 新的坐标值为（Xi+1，Yi+1），且Xi+1=Xi+1，Yi+1=Yi , 新点偏 差为
•即
(3-3)
•方＝向Yi＋进1若给，F一新i<步0点，，的表新偏明点差P坐为i（标X值i，为Yi(）Xi点+1，在YOi+E1)，的且下X方i+，1=应Xi 向,Yi＋+1 Y
• 由图3-7可见，靠近Y轴区域偏差大于零，靠近X轴区 域偏差小于零。F≥0时，进给都是沿X轴，不管是＋X向还 是－X向，X的绝对值增大；F<0时，进给都是沿Y轴，不 论＋Y向还是－Y向，Y的绝对值增大。
•
图3-8为四象限直线插补流程图。
第三章数控机床插补原理
•图3-7 四象限直线偏差符号和进给方向
2. 采用多CPU的分布式处理方案。
3. 采用单台高性能微型计算机方案。
第三章数控机床插补原理
二、基准脉冲插补
(一) 逐点比较法 加工图3-1所示圆弧AB，如果刀具在起始点A，假 设让刀具先从A点沿－Y方向走一步，刀具处在圆内1点。 为使刀具逼近圆弧，同时又向终点移动，需沿＋X方向 走一步，刀具到达2点，仍位于圆弧内，需再沿＋X方 向走一步，到达圆弧外3点，然后再沿－Y方向走一步， 如此继续移动，走到终点。
第三章数控机床插补原理
图3-6 第三象限直线插补
第三章数控机床插补原理
• 四个象限直线的偏差符号和插补进给方向如图3-7所 示，用L1、L2、L3、L4分别表示第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限的 直线。为适用于四个象限直线插补，插补运算时用∣X∣， ∣Y∣代替X，Y，偏差符号确定可将其转化到第一象限， 动点与直线的位置关系按第一象限判别方式进行判别。
插补和刀补计算原理
刀具补偿计算是数控加工中的一项重要 技术，用于补偿刀具的尺寸、形状和位 置误差，提高加工精度和表面质量。
刀具补偿计算包括刀具长度补偿、刀具半 径补偿和刀具角度补偿等，分别用于补偿 刀具长度、半径和旋转角度的误差。
刀具补偿计算基于刀具路径数据和刀具参 数，通过计算刀具实际轮廓与工件理论轮 廓之间的偏差，实现对刀具路径的修正。
刀具补偿计算的优缺点
优点
通过刀具补偿计算，可以减小加工误差，提高加工精度和表面质量。同时，还可以通过补偿刀具磨损、热变形等 因素，延长刀具使用寿命。
缺点
刀具补偿计算需要精确的刀具参数和加工数据，如果数据不准确或误差较大，会导致修正后的刀具路径偏离实际 加工需求，影响加工质量和效率。此外，对于复杂零件的加工，需要进行复杂的刀具补偿计算，对计算资源要求 较高。
缺点
多项式插补可能过于复杂，需要选择合适 的多项式形式和系数，否则可能导致过拟 合或欠拟合。此外，对于大规模数据集， 多项式插补可能计算量大，效率较低。
04
样条插补
样条插补原理
插补原理概述
样条插补是一种数学方法，通过 构建多项式曲线来平滑数据点之 间的空隙，从而生成连续的插值
曲线。
多项式选择
在样条插补中，通常选择多项式函 数作为插值函数，例如二次样条、 三次样条等。
插补算法基于数学原理，通过构建多项式函数来 逼近给定的数据点，从而生成平滑的曲线或曲面。
2
多项式插补通过选择合适的多项式函数形式，如 线性、二次、三次等，来适应不同的插补需求。
3
插补过程中，需要确定多项式的系数，通常采用 最小二乘法或其他优化算法来求解。
多项式插补的应用场景
数据平滑处理
01
在数据分析中，多项式插补可用于对离散数据进行平滑处理，
数控技术11第三章 插补计算原理、刀具半径补偿与速度控制
速
f
度
与 加
调节时间 t延= t - t程=（2-0.1）ms =1.9 ms
减
速 控
用软件编一程序实现上述延时，即可达到进给速度控
制 制的目的。
19
下午12时52分
数控技术
（2）中断控制法 由进给速度计算出定时器/计数器
控
制
18
下午12时52分
数控技术
例3-9 设某数控装置的脉冲当量 0.01mm ，插补程序运
行时间 t 程 0.1ms ，若编程进给速度F 300mm/ min ，求调节
第 时间 t 延。
七
节 解: 由 v 60f 得
f v 300 500
60 60 0.01
（1/ s）
进 给
则插补时间间隔 t 1 0.002 s 2ms
数控技术
rx
r cos
r
xe R
第
ry
r sin
r
ye R
六 点的坐标为
节 刀 具 半
xe
xe
rx
xe
r
xe R
ye
ye
ry
ye
r
ye R
径
刀偏计算的方法很多，常用的有：DDA法、极坐标法、逐点比较
补 偿 原
法（又称刀具半径矢量法，或r 2 可适用于各种插补方法。
法）、矢量判断法等。矢量判断法
3. 编程轨迹转接类型
数控技术
1）直线与直线转接
2）直线与圆弧转接
第
3）圆弧与直线转接
六
节
4）圆弧与圆弧转接
刀 具
根据两个程序段轨迹矢量的夹角（锐角、钝角）
和刀具补偿的不同，过渡类型分类：
第三章插补计算原理刀具半径补偿与速度控制4
上午10时48分
时间，无法一一列举。但是通过上面的分析可知，过切
削现象都发生在过渡形式为缩短型的情况下，因而可以 根据这一原则，来判断发生过切削的条件，并据此设计 过切削判别程序。
19
现 代 数 控 技 术 第 六 节 刀 具 半 径 补 偿 原 理
上午10时48分
四、刀具长度补偿的计算
1、概念：
现 代 一、刀具半径补偿的基本概念 数 控 技 B刀补这种刀补方法，无法满足实际应用中的许多 术
要求。因此现在用得较少，而用得较多的是C刀补。
上午10时48分
第 六 节 刀 具 半 径 补 偿 原 理
C刀补
它的主要特点是采用直线作为轮廓之间的过渡，因 此，它的尖角性好，并且它可自动预报(在内轮廓加工 时) 过切，以避免产生过切。
上午10时48分
刀具半径补偿功能在实施过程中，各种转接形式
和过渡方式的情况，如下面两表所示。表中实线表示
编程轨迹；虚线表示刀具中心轨迹；α 为矢量夹角；r 为刀具半径；箭头为走刀方向。表中是以右刀补（G42）
为例进行说明的，左刀补（G41）的情况与右刀补相似，
就不再重复。
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现 二. 刀具半径补偿的工作原理 代 数 刀具半径补偿的建立和撤消 控 技 转接 刀补建立（G42） 刀补撤消（G42） 术 形式 矢量
上午10时48分
21
现 代 一、进给速度控制 数 控 脉冲增量插补和数据采样插补由于其计算方法不同，其 技 术 速度控制方法也有所不同。
第 七 节 进 给 速 度 与 加 减 速 控 制
上午10时48分
1．脉冲增量插补算法的进给速度控制 脉冲增量插补的输出形式是脉冲，其频率与进给速度成 正比。因此可通过控制插补运算的频率来控制进给速度。常 用的方法有：软件延时法和中断控制法。 （1）软件延时法 根据编程进给速度，可以求出要求的 进给脉冲频率，从而得到两次插补运算之间的时间间隔 ，它必须大于CPU执行插补程序的时间 程， 与 程之差 即为应调节的时间 延，可以编写一个延时子程序来改变进 给速度。
博州职业技校《数控技术》课件：第3章 插补计算原理、刀具半径补偿与速度控制02
博州职业技校《数控技术》课件：第3章 插补计算原理、刀具半径补偿与速度控制02第四节 比较积分法从前面所述的DDA 法和逐点比较法可以看到，DDA 法能灵活地实现多种函数的插补和多坐标控制，这是其优点，但其插补速度（即加工速度）随被积函数值大小而变化，虽然采取了左移规格化等措施，毕竟还存在速度调节不够方便的缺点。
逐点比较法则以判断方式进行插补，其进给脉冲频率完全受指令进给速度的控制，所以速度可以做到比较平稳、调节方便，这克服了数字积分法的缺点，但它在使用方便性上不如DDA 法。
比较积分法综合了逐点比较法和数字积分法的优点，具有直线、圆弧、椭圆、抛物线、双曲线、指数曲线和对数曲线等插补功能；它具有插补精度高，运算简单和速度控制容易等特点。
该插补方法以直线插补为基础，其他线型都按直线插补进行转换，所以下面先讨论直线的插补原理。
一、比较积分法直线插补 设已知一直线，其方程为 x x y y ee=先对上式求微分得eex y dx dy =即： dy x dx y e e = 用矩形公式求积就得到⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++e e e e x x y y或∑∑-=-==110y j ex i e xy（3-29）此式表明，x 方向每发一个进给脉冲，相当于积分值增加一个量e y ；y 方向每发出一个进给脉冲，相当于积分值增加一个量e x ，为了得到直线，必须使两个积分相等。
图3-21 直线插补脉冲序列根据式（3-29），我们在时间轴上分别作出x 轴和y 轴的脉冲序列如图3-21所示。
把时间间隔作为积分增量，x 轴上每隔一段时间e y 发出一个脉冲，就得到一个时间间隔e y ；y 轴上每隔一段时间e x 发出一个脉冲，就得到一个时间间隔e x 。
当x 轴发生x 个脉冲后，其总的时间间隔为式（3-29）的左边：⋅⋅⋅++=∑-=e e x i ey y y1同样，如果y 轴上发出了y 个脉冲，其总的时间间隔为积分公式（3-29）的右边：⋅⋅⋅++=∑-=e e y i ex x x1由式（3-29）可知，要实现直线插补，必须始终保持上述两个积分式相等。
数控系统的插补原理与刀具补偿原理
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3.2 逐点比较插补法
设偏差函数为
F (x,y)xayixiya （3-1）
综合以上分析，可把偏差函数与刀具位置的关系归结为 如表3-1所示。
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3.2 逐点比较插补法
2．进给方向与偏差计算
插补前刀具位于直线的起点O。由于点O在直线上，由表 3-1可知这时的偏差值为零，即：
A(x a
数为
,
ya
y a)，沿轴应走的总步数为 x a ，沿轴应走的总步
。那么，加工完直线OA，刀具沿两坐标轴应走的总
步数为
N= x a + y a
(3-6)
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3.2 逐点比较插补法
在逐点比较插补法中，每进行一个插补循环，刀具或者沿 轴走一步，或者沿轴走一步。也就是说，插补循环数与刀具 沿、轴已走的总步数相等。这样，就可根据插补循环数与刀 具应走的总步数N是否相等来判断终点，即直线加工完毕的 条件为
127。若寄存器长度为16位，则直线终点坐标最大值为32
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3.2 逐点比较插补法
3．终点判断
由于插补误差的存在，刀具的运动轨迹有可能不通过直
线的终点A( x a , y a )。因此，不能把刀具坐标与终点坐标
相等作为终点判断的依据。
可以根据刀具沿、两轴所走的总步数来判断直线是否加
工完毕。刀具从直线起点O(图3-2)，移动到直线终点
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3.2 逐点比较插补法
3.2.1 逐点比较法直线插补
1．偏差函数
插补原理与刀具补偿原理综述
2
3 4 5
F1=－3 F2=-1 F3=1
F4=-2
∑=0
一、逐点比较法第一象限直线插补
2．硬件实现
一、逐点比较法第一象限直线插补
3．软件实现
二、逐点比较法第一象限圆弧插补
1．基本原理 在圆弧加工过程中，要描述刀具位置与被加工圆 弧之间的相对位置关系，可用动点到圆心的位置的距 离大小来反映
（1）偏差函数 任意加工点Pi（Xi，Yi），偏差函数Fi可表示为
E （Xe、Ye）
X
（4）终点判别
1）根据X、Y坐标方向要走的总步数∑来判断，即 ∑=Xe+Ye,每走一步进行∑－1计算，当∑=0时即到终 点。 2）比较Xe和Ye，取绝对值大的值为∑ ，当沿该方向进给 一步时进行∑－1计算，当∑=0时即到终点。
例：设OA为第一象限的直线，其终点坐标为Xa=2， Ya=3。用逐点比较法加工出直线OA
E （Xe、Ye）
o
B(Xb,Yb) C(Xc,Yc) X
则取函数F=YXe －XYe来判别插补点和直线的偏差，且F 被称为偏差函数。 所以，任意动点I的判别方程 Fi为： Fi=YiXe －XiYe 若 Fi＝0，则动点恰好在直线上； Fi＞0，动点在直线上方； Y Fi＜ 0，动点在直线下方。 A(Xa,Ya)
二、数据采样插补
L FTS
数字增量插补特点：实现算法较脉冲增量插补复杂， 它对计算机的运算速度有一定的要求，不过现在的 计算机均能满足要求。 插补方法：数字积分法(DDA)、二阶近似插补法、 双 DDA 插补法、角度逼近插补法、时间分割法等。 这些算法大多是针对圆弧插补设计的。 适用场合：交、直流伺服电机为伺服驱动系统的闭 环，半闭环数控系统，也可用于以步进电机为伺服 驱动系统的开环数控系统，而且，目前所使用的 CNC 系统中，大多数都采用这类插补方法。
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圆弧 ---- 圆弧 α
过渡 方式 缩 短 型
90o≤α ＜180o
α r α
α r α
α
r α
α r α
伸 长 型
插
α ＜90o
α r α
r α
α
α
r α
α r α
入 型
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现 二. 刀具半径补偿的工作原理 代 数 控 技 4. 刀具半径补偿的实例 术 第 六 节 刀 具 半 径 补 偿 原 理
现 代 一、刀具半径补偿的基本概念 数 控 技 B刀补这种刀补方法，无法满足实际应用中的许多 术
要求。因此现在用得较少，而用得较多的是C刀补。
上午10时48分
第 六 节 刀 具 半 径 补 偿 原 理
C刀补
它的主要特点是采用直线作为轮廓之间的过渡，因 此，它的尖角性好，并且它可自动预报(在内轮廓加工 时) 过切，以避免产生过切。
读入OA，判断出是刀补建立， 继续读下一段。 读入AB，因为∠OAB＜90o， 且又是右刀补（G42），由表 可知，此时段间转接的过渡形 式是插入型。则计算出a、b、 ba A c的坐标值，并输出直线段oa、 c ab、bc，供插补程序运行。
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E
O D C
B
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现 代 二. 刀具半径补偿的工作原理 数 控 技 读入BC，因为∠ABC＜90o，同理，由表可知，段间 术 转接的过渡形式是插入型。则计算出d、e点的坐标值， 第 六 节 刀 具 半 径 补 偿 原 理
上午10时48分
在一般的CNC装置中，均有圆弧和直线插补两种功能。而C 第 六 功能刀补的主要特点就是来用直线过渡，由于采用直线过渡， 节 实际加工过程中，随着前后两编程轨迹的连接方法的不同，
刀 相应的加工轨迹也会产生不同的转接情况： 具 半 直线与圆弧 直线与直线 径 补 圆弧与圆弧 圆弧与直线 偿 原 理
半 径 减少粗、精加工程序编制的工作量。由于轮廓加工往往不 是一道工序能完成的，在粗加工时，均要为精加工工序预 补 偿 留加工余量。加工余量的预留可通过修改偏置参数实现， 原 而不必为粗、精加工各编制一个程序。 理 1
现 代 一、刀具半径补偿的基本概念 数 控 技 3. 刀具半径补偿的常用方法： 术 2 第 六 节
并输出直线cd、de。 读入CD，因为∠BCD＞180o， 由表可知，段间转接的过渡 形式是缩短型。则计算出f点 的坐标值，由于是内侧加工， 须进行过切判别（过切判别的 a A b 原理和方法见后述），若过切 c 则报警，并停止输出，否则输 出直线段ef。
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刀具 编程轨迹
G41
C” A B G42 刀具
B刀补：有R 法，比例法，该法 对加工轮廓的连接都是以园弧进 行的。如图示，其缺点是： 1）在外轮廓尖角加工时，由于轮廓 尖角处，始终处于切削状态，尖 角的加工工艺性差。
C A’ B’ 刀具中心轨迹 C’
刀 具 半 径 2）在内轮廓尖角加工时，由于C”点不易求得(受计算能力 补 的限制)编程人员必须在零件轮廓中插入一个半径大于刀具 偿 半径的园弧，这样才能避免产生过切。 原 理 2
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刀具半径补偿功能在实施过程中，各种转接形式
和过渡方式的情况，如下面两表所示。表中实线表示
编程轨迹；虚线表示刀具中心轨迹；α 为矢量夹角；r 为刀具半径；箭头为走刀方向。表中是以右刀补（G42）
为例进行说明的，左刀补（G41）的情况与右刀补相似，
就不再重复。
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现 二. 刀具半径补偿的工作原理 代 数 刀具半径补偿的建立和撤消 控 技 转接 刀补建立（G42） 刀补撤消（G42） 术 形式 矢量
实现根据编程轨迹对刀具中心轨迹的控制。可避免在加工 中由于刀具半径的变化(如由于刀具损坏而换刀等原因)而 第 六 重新编程的麻烦。
现 代 一、刀具半径补偿的基本概念 数 控 技 2. 刀具半径补偿功能的主要用途 术
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节
刀具半径误差补偿，由于刀具的磨损或因换刀引起的刀具 半径的变化，也不必重新编程，只须修改相应的偏置参数 刀 具 即可。
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现 代 二. 刀具半径补偿的工作原理 数 控 技 1.刀具半径补偿的工作过程 术 第 六 节 刀 具 半 径 补 偿 原 理
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刀补建立
刀具中心轨迹
编程轨迹
刀补进行 刀补撤销。
刀补撤销 刀补进行
起刀点
刀补建立
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现 代 二. 刀具半径补偿的工作原理 数 控 2. C功能刀具半径补偿的转接形式和过渡方式 技 术 转接形式
夹角
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直线 ---- 直线 α r α
直线 ---- 圆弧 α
直线 ---- 直线 α
圆弧 ---- 直线 α r α
过渡 方式 缩 短 型
第 六 节 刀 具 半 径 补 偿 原 理
α ≥180o
r α
r α
90o≤α ＜180o
α r α
α r α
α r α
α r α
伸 长 型
插
α ＜90o
缩短型：矢量夹角α≥180°
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刀具中心轨迹短于编程轨迹的过渡方式。
伸长型：矢量夹角90°≤α＜180° 刀具中心轨迹长于编程轨迹的过渡方式。
插入型：矢量夹角α＜90°
在两段刀具中心轨迹之间插入一段直线的过 渡方式。
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现 二. 刀具半径补偿的工作原理 代 数 控 技 3. 刀具中心轨迹的转接形式和过渡方式列表 术 第 六 节 刀 具 半 径 补 偿 原 理
α r α
α r α
α r α
α r α
入 型
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现 二. 刀具半径补偿的工作原理 代 数 刀具半径补偿的进行过程 控 刀 补 进 行（G42） 技 直线 ---- 直线 直线 ---- 圆弧 圆弧 ---- 直线 术 第 六 节 刀 具 半 径 补 偿 原 理
α ≥180o
α α α
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Байду номын сангаас
现 代 二. 刀具半径补偿的工作原理 数 控 技 过渡方式 术 第 六 节 刀 具 半 径 补 偿 原 理
轨迹过渡时，矢量夹角α 的定义： 指两编程轨迹在交点处非加工侧的夹角α
非加工侧 编程轨迹 刀具中心轨迹 加工侧 α 刀具中心轨迹 编程轨迹 加工侧
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α
非加工侧
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现 二. 刀具半径补偿的工作原理 代 数 控 根据两段程序轨迹的矢量夹角α 和刀补方向的不同， 技 术 又有以下几种转接过度方式： 第 六 节 刀 具 半 径 补 偿 原 理