数学思想方法在三角函数中的渗透
三角函数教学设计
三角函数教学设计教学设计思路：新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式把学习的主动权还给学生。
以此为宗旨，我采用自主学习、合作探究方法引导学生自主学习、探究学习，努力做到教法、学法的最优组合，并体现以下几个特点（1）苏霍姆林斯基说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者和探索者”本节课正是抓住学生的这心理需求，充分利用互动工具，让学生动手实践、思考探索，合作交流真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力，让他们对整个学习过程充满激情，快乐学数学。
（2）注重信息反馈，坚持师生间的多向交流。
当学生接触新知一周期性、单调性、值域等性质时以及利用性质画出图象时，要引导学生多思多说、多练，要充分暴露他们所遇到的知识障碍，并在师生之间的多向交流中，不断的得到解决，伸知识深化。
本节课是在学生掌握了单位圆中的正弦函数线和诱导公式的基础上进行的，不仅是对前面所学知识应用的考察，也是后续学习正余弦函数性质的'基础：对函数图像清晰而谁确的掌握也为学生在解题实践中提供了有力的工具，本小节内容是三角函数的图象与性质，是本章知识的重点。
有看求前启后的作用美国华盛顿一所大学有句名言：“我听见了，就忘记了我看见了，就记我做过了，就理解了”要想让学生深刻理解三角函数性质和图像，就生主动去探素，大胆去实践，亲身体验知识的发生和发展过程学生情况分析：知识上，通过高一对函数的学习，学生已经具绘图技能，能够类比推理画出图像，并通过观察图像，总结性质，心具备了一定的分语言表达能力，初步形成了辩证的思想。
一.教学目标1．知识与技能（1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。
（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。
2．过程与方法（1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。
（2）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
数学思想方法在课堂教学中的渗透
浅谈数学思想方法在课堂教学中的渗透【摘要】应用数学思想方法分析问题解决问题，提高学生的创新精神、实践能力，有的放矢地训练学生数学思想方法，强化学生的思想方法意识。
【关键词】暴露提炼渗透强化数学思想方法是数学学习和研究的“核心”和“灵魂”。
如何在中学数学教学中体现数学思想方法，不失时机的向学生渗透数学思想方法是一个十分重要的问题。
因此在数学课堂教学中，只有多方式、多途径、有计划、有步骤的反复渗透数学思想方法，体现知识教学和能力培养的统一，才能使学生领悟到思想方法的价值而滋生“学”“用”的意识，使学生真正掌握数学思想方法这个锐利武器而受益终生。
并且我们必须重视数学思想方法，让学生学会用数学思想方法分析问题、解决问题，切实实现素质教育的要求。
本文就课堂教学中如何渗透思想方法谈谈个人的体会。
1.暴露过程数学思想方法是伴随着数学科学的产生而产生的，是人类长期思维的结晶。
每一种数学思想方法都有它形成的原因和功能。
是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。
教学过程中，只有教师充分暴露数学思想方法的形成过程，展现它们的应用过程，才能使学生深刻理解思想方法，自觉的运用思想方法解决问题。
例如，我在讲等比数列求和公式时，突出地讲解了“错位消去法”的思维过程，重点分析了为什么要错位消去，展示了整体化简的艺术魅力，使学生明确了错位消去的成因。
2.挖掘提炼数学教材中，存在着明暗两条线：明线—按逻辑体系编排的知识线，它是数学科学的外在形式，也是教师教、学生学的依据；暗线—蕴涵于知识发生、发展和应用过程中的思想方法，它是数学发展的内在动力，是数学知识的“灵魂”。
但它潜伏于数学活动的深层次中，不易发现，又受表面知识的牵引和蒙蔽，容易被人忽视。
所以教学过程中，教师要深钻教材，努力挖掘和提炼出知识发生、发展和应用过程中所蕴涵的思想方法，并明确地告诉学生，阐明其作用，促使暗线显明。
三角函数中数学思想方法归纳解析
高考三角函数中数学思想方法归纳解析在三角函数这一章的学习和复习过程中，熟练掌握以下几种数学思想方法，有助于提高同学们灵活处理问题和解决问题的能力。
下面通过例题透视三角函数中的数学思想。
一、数形结合思想由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深同学们对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。
例1．求不等式x x cos sin >在[]ππ,-上的解集。
解析：设x y sin 1=，x y cos 2=，在同一坐标系中作出在[]π,0上两函数图像(如图1)，在[]π,0上解得x x cos sin =的解为4π=x 或43π=x ，故由图像得要使得21y y >，即434ππ<<x ，由于x y sin 1=，x y cos 2=在[]ππ,-上为偶函数，故在[]0,π-上的解为443ππ-<<-x ，得原不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--43,44,43ππππ 二、分类讨论思想分类是根据对象的本质属性的异同将其划分为不同种类，即根据对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。
分类讨论是数学解题的重要手段，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。
例2．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，且022sin 2cos 2<--+m m θθ恒成立，求m 的取值范围。
解析：令()12sin 2sin 22sin 2cos 22--+-=--+=m m m m f θθθθθ令θsin =t ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，得10≤≤t ，则()()12122222++---=--+-=m m m t m mt t t f ，[]1,0∈t ，()0<θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ上恒成立，()t f ∴在[]1,0∈t 上恒成立。
数学核心素养导向的三角函数单元教学研究
数学核心素养导向的三角函数单元教学研究篇一数学核心素养导向的三角函数单元教学研究一、引言随着教育改革的深入，数学核心素养的培养成为了高中数学教学的核心目标。
三角函数作为高中数学的重要内容，对于培养学生的数学核心素养具有重要意义。
本文将从数学核心素养的角度，对三角函数单元教学进行研究，以期为高中数学教学提供新的思路和方法。
二、数学核心素养与三角函数教学的关系数学核心素养的定义数学核心素养是指学生在数学学习过程中所形成的数学思维、数学能力、数学情感等方面的综合素养。
它包括数学基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验等方面。
三角函数在数学核心素养中的地位三角函数是高中数学的重要内容，它不仅涉及到基础数学知识，还涉及到数学思想、方法等方面的应用。
因此，三角函数教学对于培养学生的数学核心素养具有重要意义。
三、基于数学核心素养的三角函数单元教学设计教学目标设定基于数学核心素养的三角函数单元教学目标应该包括知识目标、能力目标和情感目标。
知识目标是指学生需要掌握的三角函数基础知识；能力目标是指学生需要具备的三角函数分析能力和解决问题的能力；情感目标是指学生需要培养的数学兴趣和情感态度。
教学内容设计基于数学核心素养的三角函数单元教学内容应该包括基础知识、基本技能、基本思想方法等方面的内容。
同时，教学内容应该具有层次性和递进性，能够引导学生逐步深入理解和掌握知识。
教学方法选择基于数学核心素养的三角函数单元教学方法应该包括案例分析、小组讨论、实验操作等。
这些方法可以激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度和学习效果。
同时，教师还可以采用多媒体技术等辅助手段，提高教学效果。
教学评价设计基于数学核心素养的三角函数单元教学评价应该包括形成性评价和终结性评价。
形成性评价可以通过课堂观察、作业完成情况等方式进行；终结性评价可以通过考试、测验等方式进行。
同时，教学评价应该注重学生的主体地位和全面发展，鼓励学生自我评价和互评。
四、基于数学核心素养的三角函数单元教学实践案例分析案例一：正弦函数的图像和性质本单元以正弦函数的图像和性质为主题，通过讲解正弦函数的定义、图像和性质等方面的知识，引导学生认识正弦函数的周期性、单调性、奇偶性等性质。
三角函数中的数学思想
三角函数中的数学思想三角函数是中学数学的重要内容之一，符号与变元、集合与对应、数形结合等基本数学思想在研究三角函数时起着重要作用，分析、探索、化归、类比、平行移动、伸长和缩短这些常用的基本方法时隐时现。
这些数学思想方法为学生学习数学和应用数学提供了一个新的领域，教科书对此作了渗透，教学时应注意及时提醒或强调。
下面谈谈这些具体的数学思想和方法：一、数形结合思想数形结合思想是通过“以形助数”或“以数助形”，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来解决问题的数学思想方法。
例1：已知0＜θ<，求证sinθ<θ<tanθ。
分析：本题所要证明的不等式中各个部分的意义完全不同（分别是角θ的正弦值、角θ、角θ的正切值），因此，证明的关键是找到联系三者的纽带，这就是单位圆中的三角函数线。
评注：本题是一道新颖而别致的题目，此证法体现了数学中数与形的完美结合。
二、分类讨论思想数学基础知识（如法则、公式、定理、性质、基本方法等）的应用都有一定的条件，就是说只能在一定的范围内使用它们。
当在一个比它需要的条件更广的范围内求解问题时，要应用这些基础知识，就需要把这一更广的范围划分成几个较小的范围以适应基本知识所需的条件，在每一个较小的范围内都把问题解决掉。
通俗地讲，就是“化整为零、各个击破”，或者说不同的情况要采用不同的方法去对待。
这种处理问题的思想就是“分类讨论”的思想。
点评：已知α在第几象限，要确定（n∈N+，n≥2）所在的象限，常用的方法是分类讨论，并且按被n除所得的余数0、1、2、…、n-1分为n类。
三、函数思想函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，使问题获得解决。
点评：本题若不注意考察题设特点用函数看问题，而是按照通常方法去括号、因式分解去证就比较繁琐。
【高考第一轮复习数学】三角函数、统计概率、数列思想渗透
思想渗透1、数形结合思想典型例题：（2009·海南）已知函数y=sin(ωx+φ)（ω>0，-π≤φ＜π）的图象如图所示，则φ=____________.思路分析：结合图象求出ω，再利用f(43 )=-1,求出φ的表达式，通过φ满足的条件求出φ的值.点拨：本题考查三角函数值求三角函数解析式的方法，求解此类问题应先由三角函数图象的最值点确定周期求出ω，然后根据图象上的特殊点求出φ.2. 分类讨论思想典型例题：求函数y=a+bsinx(b ≠0)的最值.思路分析：注意到b 取不同的值会影响函数这一关键. 解析：∵-1≤sinx ≤1∴当b>0时，y max =a+b,y min =a-b; 当b<0时，y max =a-b,y min =a+b. 点拨：对b 进行讨论时解决问题的关键.3、函数与方程思想典型例题：已知sin α·cos α=81,且24παπ<<，求cos α- sin α的值.思路分析：将已知条件与所求问题用方程联系起来是解决本题的关键.解析：因： sin²a+cos²a=1 sina ·cosa=81可得：(cosa-sina)²=sin²a+cos²a -2sinacosa =1-41 =43又因：24παπ<<可得：sina>cosa 即：cosa-sina<0 所以有：cosa-sina=-23.点拨：用方程“架桥”是三角函数求值的常用方法，应当注意sin α+cos α、sin α-cos α、sin α·cos α三者之间的内在联系．4、转化与化归思想典型例题：已知y=a-bcos3x(b>0)的最大值为23，最小值为-21.（1）.求函数y=-4asin(3bx)的周期、最值，并求取得最值时的x 的集合.（2）..3sin 2).()(,3sin 2)3sin(2,,3sin 2为奇函数即函数解析式为x y x f x f x x R x x y -=∴-=-=--∴∈-=点拨：三角函数的小综合题目是高考热点之一，对条件的合理转化与应用时解决该类问题的基本处理方向.。
高中数学：三角函数中的常用数学思想方法
一、方程的思想例1、已知sinθ+cosθ=，θ（0，π），则cotθ=________。
解析：由sinθ+cosθ=平方得sinθcosθ=。
又θ（0，π），所以sinθ＞0，cosθ＜0，且sinθ＞，将sinθ，cosθ看作是方程的两根。
所以sinθ=，cosθ=。
从而cotθ=，应填。
二、函数的思想例2、已知x，y ∈[]，且x3+sinx-2a=0①，4y3+sinycosy+a=0②，求cos(x+2y)的值。
解析：设f(u)=u3+sinu。
由①式得f(x)=2a，由②式得f(2y)=－2a。
因为f（u）在区间[]上是单调奇函数，所以f(x)=-f(2y)=f(-2y)。
又所因x,-2y∈[]，所以x=-2y，即x+2y=0。
所以cos(x+2y)=1。
三、数形结合的思想例3、函数f(x)=sinx+2，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是______。
解析：f(x)=函数f(x)=sinx+2，x∈[0，2π]的图象（如图1）与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则1＜k＜3。
四、化归的思想例4、设α为第四象限的角，若，则tan2α=_________。
解析：因为===，所以，tan2=。
又因为为第四象限的角，所以tan=，从而求得tan2=。
五、分类讨论的思想例5、若△ABC的三内角满足sinA=①，问此三角形是否可能为直角三角形？解析：假设△ABC可以为直角三角形。
（1）若B=90°，则A=90°-C，代入①中，得sin(90°-C)=，所以cos2C=1+sinC，1-sin2C=1+sinC，所以sinC=1，即C=90°。
这是不可能的，所以B≠90°。
（2）同理，C≠90°。
（3）若A=90°。
①式右边=①式左边=sinA=sin90°=1。
所以此三角形可为直角三角形，此时A=90°。
关注：三角函数解题中的数学思想方法
１ ２
，当狋＝槡２
时，狔
有
最大值为１ ２
＋槡２．
评注：第（１）小题利用消元法，第（２）小题利用换
元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变
量的取值 范 围．本 题 告 诉 我 们，当 无 法 直 接 利 用 三 角 函数的有关知识解决三角函数问题时，一般可采用换
元或消元的思想，转化为其他函数来解决，可谓“他山
化法．
三、函数与方程思想
图１
解析：我们可把原函数犳（狓）＝槡狓 －ｃｏｓ狓 看成幂 函数狔＝槡狓 与余弦函数狔＝ｃｏｓ狓 的差，于是把它们画 在在同一坐标系中，如图１所示，狔１＝槡狓 与狔２＝ｃｏｓ狓， 狓 ∈ ［０，＋ ∞）的图像，从图像上直接可以看出狔１ 与 狔２ 的图像只有一个交点，所以犳（狓）＝槡狓 －ｃｏｓ狓 在 ［０，＋ ∞）内只有一个零点．
１ ２
时，ｓｉｎ狔 －ｃｏｓ２狓
有最小值
－１ １１ ２；当 ｓｉｎ狓
＝－
２ ３
时，ｓｉｎ狔 －ｃｏｓ２狓 有 最 大 值 ４ ９．故 ｓｉｎ狔 －ｃｏｓ２狓 ∈
［ ］ －１１１ ２，４９ ．
（２）设ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓＝狋（－槡２ ≤狋≤ 槡２），则ｓｉｎ狓·
ｃｏｓ狓
＝狋２２－１，则狔＝
１ ２狋２
＋狋－
一、数形结合思想
在《三角函数》这 章 中，数 形 结 合 思 想 贯 穿 始 终，
主要体现在以下几个方面：利用单位圆给出三角函数
的定义，并 推 导 出 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系；利 用 三
角函数线画正（余）弦及正切函数的图像．
例１ 函数犳（狓）＝槡狓 －ｃｏｓ狓 在［０，＋ ∞）上的
教学 参谋 解法探究 ２０２０年２月
谈三角函数中的思想方法
谈三角函数中的思想方法作者：孟令平来源：《广东教育·高中》2011年第12期数学思想方法是数学的灵魂，是数学方法与技能实质的体现，对解题思路的产生具有指导意义.因此，深刻地理解数学思想方法、学会运用数学思想方法来分析、解决问题对提高解题能力将有很大帮助.本文例说三角问题中所蕴含的数学思想方法，通过阅读此文也许会对你的思维有所启迪，使你面对三角问题时能“一招”连“一招”，很快破题.一、对称思想对称思想是数学美的体现，它涉及数学的方方面面.想一想：乘与除、加与减、正弦与余弦、正切与余切等都存在着大量的对称因素.例1．求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解析：设x=sin10°sin30°sin50°sin70，y=cos10°cos30°cos50°cos70°,则xy=sin10°sin30°sin50°sin70°cos10°cos30°cos50°cos70°=■sin20°sin60°sin100°sin140°=■cos10°cos3 0°cos50°cos70°=■y.得x= ■，即sin10°sin30°sin50°sin70°=■．点评：本题抓住正弦与余弦的对称性，在已知正弦积的情况下，引入余弦积，结合倍角公式使问题巧妙获解．例2．求cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°的值．解析：设x＝cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°，y= sin40°sin80°+sin80°sin160°-sin160°sin40°，则x+y=cos40°+cos80°+cos200°=2cos60°+cos20°-cos20°=0,x-y=cos120°+cos240°+cos120°=-■,那么x=y=■,即cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°=-■.点评：本题抓住和与差、正弦与余弦的对称性，构造对称式.通过方程组使求值的式子产生结果，可以看出这种求解十分巧妙，具有一定一欣赏价值.类题演练1：求sin220°+cos280°+■sin20°cos20°的值.二、数形结合思想“数少形时缺直观，形少数时难入微”它准确地告诉我们：数形结合，相得益彰；利用数、式进行深入细致的分析；利用图形直观又可以看出数、式的内在关系.例3．若?琢≠■，?茁≠■（m，n∈Z），且■+■=1，求■+■的值.解析一：设点A（■，■），B（cos?茁，sin?茁）,由两点间的距离公式得：|AB|=■=■.结合已知，得|AB|=0，即A，B重合，因此■=cos?茁，■=sin?茁.因此■+■=■+■=cos2?琢+sin2?琢=1.解析二：由已知得A（cos2?琢，sin2?琢），B（cos2?茁，sin2?茁）均在椭圆■+■=1，又过B点的切线方程为■+■=1,即x+y=1.显然，点A也在切线上.由切点唯一知A、B重合，得cos2?琢=cos2?茁，sin2?琢=sin2?茁.因此■+■=■+■=cos2?琢+sin2?琢=1.解析三：由已知得直线L1：■·x+■·y=1过点A（cos2?琢，sin2?琢）与B（cos2?茁，sin2?茁）.而A、B又都在直线L2：x+y=1上.于是L1与L2重合或点A与点B重合.无论L1与L2重合还是点A与点B重合均有cos2?琢=cos2?茁及sin2?琢=sin2?茁.故■+■=■+■=cos2?琢+sin2?琢=1.解析四：设■=（cos?茁，sin?茁），■=（■，■）,显然，■·■=co s?茁·■+sin?茁·■=1.而|■|·|■|=■·■=1.即■·■=|■|·|■|，由于■·■≤|■|·|■|当且仅当■，■共线时取等号.因此■=k·■，从而■=kcos?茁,■=ksin?茁?圯cos2?琢=kcos2?茁,sin2?琢=ksin2?茁,且k2=1.于是sin2?琢=sin2?茁，cos2?琢=cos2?茁.因此■+■=■+■=cos2?琢+sin2?琢=1.点评：无论是距离为零、切点重合还是直线重合、共线等都有十分清晰的几何特征，抓住这个几何特征，利用几何直观很快产生结论且解题过程具有较强的欣赏价值.类题演练2：已知sin?琢+sin（?琢+?茁）+cos（?琢+?茁）=■，且?茁∈[■，■]，求cos?茁+sin?茁的值.三、函数思想函数是贯穿高中数学的一条主线，它的灵活应用可以解决很多问题.面对一道三角试题，我们从函数的角度来分析、探索，有时会利用函数的有关性质予以解决.例4．已知函数f（x）=2msinx-2cos2x+■-4m+3，当m∈（-∞，-2]时，函数f（x）的最小值为19，求m值.解析：由f（x）=2（sinx+■）2-4m+1,（1）当-1≤-■≤1即-2≤m≤2时，由sinx=-■时，得函数f（x）的最小值为-4m+1，由-4m+1=19?圯m=-■?埸[-2，2]舍去.（2）当-■＜-1即m＞2时，由sinx=-1时，得函数f（x）的最小值为■-6m+3，由■-6m+3=19?圯m=6±2■，结合m＞2得：m=6+2■.（3）当-■＞1即m＜-2时，由sinx=1时，得函数f（x）的最小值为■-2m+3，由■-2m+3=19?圯m=-4或8，结合m＜-2得：m=-4.由（1）（2）（3）得m的值为-4或6+2■.点评：本题中既含有x又含有m，可以认为是三角问题也可以认为是关于m的二次函数问题，从哪个角度入手呢？从二次函数，结合三角函数的有界性，利用二次函数的有关性质进行求解.例5．若?琢，?茁为锐角，且■+■=2，求证：?琢+?茁=■.解析：设f（x）=■+■，x∈（0，■），显然f（x）为单调减函数.由于f（?琢）=2， f（■-?茁）=■+■=2，即f（?琢）=f（■-?茁）.由单调性知：?琢+?茁=■.本题还可以这样解：假设?琢+?茁≠■，则?琢+?茁＞■或?琢+?茁＜■，由于?琢，?茁为锐角，若?琢+?茁＞■?圯?琢＞■-?茁，?茁＞■-?琢?圯cos?琢＜sin?茁，scos?茁＜sin?琢?圯■+■＜2与已知矛盾；同理若?琢+?茁＞■得■+■＞2也与已知矛盾，故?琢+?茁=■.点评：面对三角问题，很多同学可能首先想到的是进行三角变换.事实上，如果真的进行三角变换的话，很难求解.这两种解法都比较特别，一个是利用函数，另一个是利用反证法.类题演练3：若?琢，?茁∈[-■，■]，k∈R，且满足?琢3+sin?琢-2k=0,4?茁3+sin?茁cos?茁+k=0，求cos（?琢+2?茁）的值.四、化归思想化归思想揭示的是解题方向、转化目标.在三角中有几类问题的思路是基本明确的，我们以此作为模式，对所遇到的问题进行转化促使获解.例6．已知函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx-■，且f（0）=■，f（■）=■，（1）若x∈[-■，■]时，求f（x）的增区间，并求f（x）的最小值及取得最小值时的x的值；（2）若x∈R，试问：函数f（x）的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为偶函数？解析：由于f（0）=■，f（■）=■，得2a-■=■,a+■b-■=■?圯a=■,b=1.因此， f（x）=■cos2x+sinxcosx-■=■cos2x+■sin2x=sin（2x＋■）.（1）由-■+2k?仔≤2x+■≤■+2k?仔（k∈Z），得-■+k?仔≤x≤■+k?仔（k∈Z）.由于x∈[-■，■]，因此f（x）的增区间为[-■，■].由于f（x）在区间[-■，■]是增函数，在区间[■，■]是减函数，又f（-■）=sin[2×（-■）＋■]＝－■，f（■）=sin（2×■＋■）＝■.所以，当x＝-■时，函数f（x）有最小值－■.（2）由于f（x）＝sin（2x＋■）向右平移■即得f（x）=sin2x，于是将f（x）=sin（2x＋■）向右平移■个单位或向左平移■个单位，所得图像所对应的函数均为偶函数.点评：化为一个角的三角函数是求解与图像性质有关问题的常规方法，这类问题的变式较多，如本题先利用倍角公式与降幂公式，然后，才可以实施化为一个角的三角函数，这类问题的结合点往往与闭区间连在一起.例7．已知sin（■＋?琢）=■，cos（■-?茁）=■，0解析：由sin（■＋?琢）=■及0那么sin（?琢＋?茁）=-cos[■+（?琢＋?茁）]=-cos[（■+?琢）-（■-?茁）]=■.点评：看看条件，再看看结论.要完成从条件向结论的过渡，首先要完成的是“统一”，如何统一？化归便由此而自然产生.类题演练4：若函数f（x）=■sin2x+2cos2x+m在区间[0，■]上的最大值为6，求常数m的值及此时函数当x∈R时的最小值，并求相应的x的取值集合.五、方程思想方程思想也就是变量思想，从变量的角度来认识问题、分析问题.我们可以进行消元、可以确定未知量，再进行解方程.例8．已知?琢，?茁满足１＋cos?琢-sin?茁+sin?琢sin?茁=0,１-cos?琢-cos?茁+sin?琢cos?茁=0,求sin?琢的值.解析：由１＋cos?琢-sin?茁+sin?琢sin?茁=0,１-cos?琢-cos?茁+sin?琢cos?茁=0?圯sin?茁=■,cos?茁=■.由于sin2?茁+cos2?茁=1，得（■）２＋（■）２＝１，从而得sin?琢=■.点评：看看条件是关于?琢，?茁的两个变量构成的两个关系式，可以认为是关于?琢，?茁的方程组．再看看结论，解法就十分清楚了，消元即可产生结论.例9．已知?琢，?茁为锐角，且3sin2?琢+2sin2?茁=1，3sin2?琢-2sin2?茁=0，求?琢+2?茁的值．解析：由3sin2?琢+2sin2?茁=1，3sin2?琢-2sin2?茁=0?圯3sin2?琢=cos2?茁，■s in2?琢=sin2?茁?圯9sin4?琢+■sin22?琢=1．即9sin4?琢+■·4sin2?琢（1-sin2?琢）=1?圯sin2?琢=■．因为?琢为锐角，得sin?琢=■，代入3sin2?琢+2sin2?茁=1，得cos2?茁=■．即sin?琢=cos2?茁，又因为?琢，?茁为锐角，于是?琢+2?茁=■．点评：本题将?琢，?茁看成是两个未知数，从方程的角度来产生关于?琢，?茁之间的值或更加清晰的关系，促使问题获解．类题演练5：已知sin?琢+cos?琢=■且?琢∈（0，?仔），求tan?琢的值．六、分析、猜测、论证数学的规律性与和谐性，给合理猜测提供了外观上的思维条件.其实，很多数学问题的求解就是建立在“分析、猜测、论证”的基本模式下进行求解的.例10．观察以下各等式：sin230°+cos260°+sin30°cos60°=■，sin220°+cos250°+sin20°cos50°=■，sin215°+cos245°+sin15°cos45°=■,分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.解析：由上述各式猜想：sin2x+cos2（30°＋x）+sinxcos（30°＋x）=■.事实上sin2x+cos2（30°＋x）+sinxcos（30°＋x）=■+■+sinxcos（30°＋x）=1-■cos2x+■（cos60°cos2x-sin60°sin2x）+sinxcos（30°＋x）=1-■cos2x-■sin2x+sinx（■cosx-■sinx）=1-■（cos2x-sin2x）-■sin2x=■．点评：观察、分析、类比是新教材中非常注重的基本能力，也是近年高考命题倍受关注的热点，面对此类问题，一定要仔细观察、细心分析，先看“不变的”，再看“变的”，而“变的”又按什么规律来变，也许结论就会慢慢地显现出来.例11．函数F（x）=cos2x+2sinxcosx-sin2x+Ax+B在0≤x≤■上的最大值M与A，B有关，问A，B取什么值时M最小？解析：∵F（x）=■sin（2x+■）+Ax+B.若A=B=0，则F（x）=■sin（2x+■），当x=■，■，■时，Fmax（x）=■.猜测：■是M的最小值，此时A=B=0.否则F（■）≤■，F（■）≤■，F（■）≤■?圯■＋■Ａ＋Ｂ≤■，－■＋■Ａ＋Ｂ≥－■■＋■Ａ＋Ｂ≤■，?圯■Ａ＋Ｂ≤0，■Ａ＋Ｂ≥0■Ａ＋Ｂ≤0，?圯Ａ=0，Ｂ=0与所设矛盾，故猜测成立．点评：本题建立在三角变换及化归的基础上将所给的式子转化为比较规范的形式，结合这个形式进行大胆猜测，然后利用反证法予以证明．整个思维过程严谨而有序．类题演练6：观察以下各等式：① tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1;② tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1.分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对你的结论进行证明.三角内容是高考命题的重点与热点，每年高考必考．如果将本文中的思想方法运用到三角的解题“现实”中去，也许对你提高分数会有一定的帮助．类题演练答案：类题演练1：设x=sin220°+cos280°+■sin20°cos80°，y=cos220°+sin280°+■cos20°sin80°，则x+y=2+■sin100°，x-y=-cos40°+cos160°-■sin60°=-■sin100°-■，上述两式相加得：x=■，即sin220°+cos280°+■sin20°cos20°=■．类题演练2：由已知得（sin?茁+cos?茁）cos?琢+（1+cos?茁-sin?茁）sin?琢-■=0．显然，点Q（cos?琢，sin?琢）在直线（sin?茁+cos?茁）x+（1+cos?茁-sin?茁）y-■=0上，由d≤OQ，即■≤■?圯cos?茁≥sin?茁．由?茁∈[■，■]知cos?茁≤sin?茁，于是cos?茁＝sin?茁＝■或cos?茁＝sin?茁＝－■.故cos?茁＋sin?茁＝■或－■．类题演练3：由已知，得?琢３＋sin?琢-2k=0，-8?茁３-2sin?茁cos?茁-2k=0?圯?琢３＋sin?琢=2k，（-2?茁）３＋sin（－２?茁）＝2k．令f（x）=x３+sinx（x∈[-■，■]），显然，f（x）为单调递增函数，且f（?琢）=f（－２?茁）＝2k．结合单调性，得?琢=－２?茁，即?琢+２?茁=0，那么cos（?琢+２?茁）=1．类题演练4：由f（x）=■sin2x+2·■+m=2sin（2x+■）+m+1．当x∈[0，■]时，2x+■∈[■，■]，此时，-1≤2sin（2x+■）≤2，由m+3=6,得m=3,得f（x）=2sin（2x+■）+4.显然，当2x+■=2k?仔+■，k∈Z得x的取值集合为x|x=k?仔+■，k∈Z时，f（x）min=2.类题演练5：设sin?琢=■+t，cos?琢=■-t，由（■+t）2+（■-t）2=1得t=±■．∵?琢∈（0，?仔），得sin?琢>0，因此t=■，于是sin?琢=■，cos?琢=-■，从而tan?琢=-■．类题演练6：推广结论为：若α+β+γ=■,则tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1.由α+β=■-γ，得tan（α+β）=tan（■-γ），即■=tan（■-γ）=■，∴ tanβtanγ+tanγtanα=1－tanαtanβ，即tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1.（作者单位：中山市实验高中）责任编校徐国坚。
谈三角函数中的思想方法
一
类题 演 练 １ ：求 ｓ ２０ ＋Ｏ ０ ＋、 ３ ｉ２ 。 ｉ２ 。 ＣＳ 。 ／ ｓ ０ ｎ ８ ｎ ｃｓ０ 的值． ｏ２ 。 二 、数形结合思想
“ 数少形 时缺直观 ，形少数 时难 入微”它准确地 告诉 我们 ：数形结合 ，相得益彰 ；利用数 、式进 行深 入细致 的分析 ；利用 图形直观又可以看 出数 、式的内
＝ｃ ， ｏ
１ Ｊ Ｊ ｕ
得 亩 ，ｓ１ｉ０ｎ￣７＝ 即 ｉ ￣３ｓ０ｉ ｏ ｎ ｓ ￣５ｓ ０亩・ ０ｎ ｉ ｎ
点评 ：本题抓住 正弦与余弦的对称性 ，在 已知正 弦积的情况下，引入余弦积 ，结合倍 角公式使 问题 巧
妙获解．
＝ｓ ． ｉ
因 ＋ ：嗥 ＋ ： ＋ｎ： 此里 辈 旦 曼 １ 粤 。 ｉ ．
解 析 二 ： 由 已知 得 Ａ（Ｏ２ ， ｎ ）Ｂ ｃｓ ，ｉｆ ＣＳＬｓ ２ ， （ｏ２ ｓ ２） Ｏ ｉａ ｌ ｆ ｎ １
例 ２ ．求 ｃｓ０ ｃｓ０ ＋ｏ８ 。 ｏｌ０ ＋ｏｌ ０ ｏ４ 。 ｏＳ 。 ｃｓ０ ｃｓ６ 。 ｃｓ６ 。 ｃｓ０的值 ． ｏ４ 。
解 析 ：设 ｘ ｃｓ０ ｃｓ０ ＋ｏ８ 。ｏｌ０ ＋ｏｌ０ ＝ｏ４ 。ｏ８ ￣ｃｓ０ｃｓ６。 ｃｓ６ ￣
在关 系．
、
对 称 思 想
对称思想是数学美的体 现 ，它涉及数学的方方面 面． 一想 ：乘 与除 、加与减 、正弦与余 弦 、正切 与 想 余切等都存在着大量的对称因素．
例 １ 求 ｓ ｌ。ｉ３ 。ｉ ０ｓ ７ 。 ． ｉ Ｏｓ ０ｓ ５ 。ｉ ０ 的值． ｎ ｎ ｎ ｎ
解 析 ：设 ＝ｉｌ。ｉ３。ｉ５ 。ｉ７ ，ｙ ｃｓ０ ｓ Ｏ ｓ ０ ｓ ０ ｓ ０ ＝ ｏｌ。 ｎ ｎ ｎ ｎ
《数学》第五章“三角函数”教材分析与教学建议-2019年精选文档
《数学》第五章“三角函数”教材分析与教学建议在学习三角函数之前，学生已经学习了一次函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数，对函数有了一定的认识。
三角函数是学生遇到的第一个周期性函数，是中等教育阶段最后一个基本初等函数。
学完本章以后，学生应对函数的一般内容，如函数符号、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等建立更完整的认识。
初中数学教学中已有锐角的三角函数的概念，但没有将其作为一种函数来教学，关注的只是三角函数值，主要利用锐角三角函数的定义解决直角三角形中有关边角的问题。
到了中职教育阶段，需要从函数的角度来认识三角函数，落实大纲中与三角函数部分相关的教学内容与要求。
本章首先对角的概念进行推广，并通过弧度制对角的度量建立角与实数之间的一一对应关系，为学生理解三角函数是以实数为自变量的函数奠定基础；为了角的概念推广的需要，把角放到平面直角坐标系中进行研究，不仅建立了角的大小与终边位置的关系，而且通过角的终边上的点的坐标来定义任意角的三角函数，并利用角的终边上点的坐标的正负直观性，判断三角函数值的符号，得到特殊角的三角函数值，建立同角三角函数的两个基本关系式以及诱导公式；借助三角函数图像以及诱导公式帮助学生从“形”与“数”两方面理解正弦函数、余弦函数的变化规律；最后利用计算器及诱导公式，能由已知三角函数值求出指定范围的角。
本章内容分为五个部分：角的概念推广，弧度制，任意角三角函数的概念及相关公式，正弦函数、余弦函数的图像与性质，已知三角函数值求角。
《中等职业学校数学教学大纲》建议本章设置18课时，其中新授部分16课时，复习部分2课时。
《大纲》对本章知识内容的学习要求包括：4项“了解”（角的概念推广、诱导公式、余弦函数的图像和性质、已知三角函数值求指定范围内的角）；4项“理解”（弧度制，任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数，同角三角函数基本关系式，正弦函数的图像和性质）；2项“掌握”（利用计算器求三角函数值及利用计算器求角度）。
高中数学函数滲透数学思想方法分析付强
高中数学函数滲透数学思想方法分析付强发布时间：2023-06-19T10:46:43.171Z 来源：《中国教师》2023年7期作者：付强[导读] 高中数学函数在高中数学的教学当中是非常重要的一章。
利用函数可以解决许多数学难题，促进学生数学成绩提高，同时也能够完善学生数学思想体系。
进行函数数学、函数学习和教学的一个重要方法，就是在函数教学当中渗透数学思想方法。
好的数学资料，能够突破学生的数学思想壁垒，提升学生的数学学习水平，避免学生走入误区，长此以往，也有利于我国基础数学学科的发展。
内蒙古赤峰市第二实验中学 024000摘要：高中数学函数在高中数学的教学当中是非常重要的一章。
利用函数可以解决许多数学难题，促进学生数学成绩提高，同时也能够完善学生数学思想体系。
进行函数数学、函数学习和教学的一个重要方法，就是在函数教学当中渗透数学思想方法。
好的数学资料，能够突破学生的数学思想壁垒，提升学生的数学学习水平，避免学生走入误区，长此以往，也有利于我国基础数学学科的发展。
关键词：高中数学；函数数学；数学思想方法在高中数学教学的数学思想方法的在高中数学函数教学当中，渗透数学思想方法，有力促进高中数学教学的素质化开展。
可以帮助学生在解决一个函数问题的同时进行类比与归类，培养学生举一反三的能力，从一个函数问题推广到其他函数问题，提升学生数学学习的兴趣。
本文主要就数学思想方法在高中数学函数教学当中的渗透进行研究与分析，并提出相应的渗透策略和数学思想方法，促进学生数学函数学习效率提高也能够提升教学效率，有利于培养学生的数学核心素养。
一、高中数学函数教学与数学思想方法(一)高中数学函数教学高中数学当中函数教学是一章涉及知识点非常广泛的章节。
主要包括的知识点有正反比例函数以及一次和二次函数还有函数图像的相关知识，再进行拓展就是三角函数。
这些函数的相关知识涉及面非常广泛，可以应用到数学的选择填空和大题的解答当中。
这些各种各样的函数使得学生学习起来十分的头疼，但是这些高中函数知识却又是数学教学的重难点，因此就需要将数学思想引入到高中数学函数的教学当中，促进高中数学函数的顺利教学和高中学生数学知识的学习与发展，调动学生的学习兴趣，促进学生对学数学学习的热爱。
浅谈三角函数中数学建模思想的应用
浅谈建模思想在三角函数中的应用摘要：随着新课程改革的不断深入，新型的教育模式要求重点培养学生的自主学习习惯，三角函数的学习中渗透建模思想十分必要。
关键词：数学建模思想三角函数的对称三角函数的最值引言《普通高中数学课程标准》（实验）中指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、回忆、模仿和练习，高中数学课程适应倡导自主探索、动手实验、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。
”这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，要使这个课程基本观念真正落实到数学教学中，教师还应根据学生的认知水平和已有的知识能力创设体现数学某些重要应用的课程，积极开展“数学探究”和“数学建模”的学习活动。
在三角函数一章的教学中，教师应注重数学建模思想的应用，积极采用探究教学方式，鼓励学生大胆的自主探究学习。
现对于三角函数中所含有的建模思想做一下简单的总结：一、对称问题正弦函数y＝sinx与余弦函数y＝cosx 及y＝Asin（ωx＋）的对称轴方程及对称中心，由图象可知y＝sinx的对称轴方程为x=π/2±kπ（k为整数)，对称中心为（kπ，0） (k为整数)（1）。
y ＝cosx 对称轴方程为 x=kπ (k为整数),对称中心为（π/2±kπ，0）(k为整数)（2）。
在y＝A sin（ωx＋）中，令X=ωx＋。
则有y＝AsinX 即利用整体思想，分别令自变量落在X轴和Y轴上即可求出其对称轴x=(-+kπ+π/2)/ω，对称中心是（-+kπ)/ω，0）（其中k为整数）（3）。
我们把这三个结论作为基本模型，可以顺利解决三角函数中的许多对称问题。
例如下面的例子：例1.函数y＝cos（2x+π/2）图象的一条对称轴方程是（）A. x=π/2B. x=π/4C. x=π/8D. x=π/6 解法一：由（2）知y＝cosx的对称轴方程为x=kπ令X=2x+π/22x+π/2=kπ解得:x=kπ/2-π/4（k为整数）所以函数y＝cos（2x+π/2）的对称轴方程为：x=kπ/2-π/4（k为整数）。
高中数学函数教学渗透数学思想方法分析
高中数学函数教学渗透数学思想方法分析发布时间：2021-01-29T14:46:04.153Z 来源：《中小学教育》2020年30期作者：陈建辉[导读] 在高中数学中，函数是非常重要的一个板块，并且也是学生很容易出现差距的板块，所以对高中教师来说，如何培养学生在函数学习时的数学思想是非常重要的一项教学任务。
陈建辉广东省佛山市顺德区实验中学广东省佛山市528000摘要：在高中数学中，函数是非常重要的一个板块，并且也是学生很容易出现差距的板块，所以对高中教师来说，如何培养学生在函数学习时的数学思想是非常重要的一项教学任务。
随着社会的不断发展和进步，国家越来越重视教育事业，这就要求教学工作者应该不断的改变教学的方式和思维，让学生能够更好地进行函数学习。
在函数教学时，巧妙地对学生渗透数学思想不仅有助于学生提高对函数知识的理解，也能够帮助学生提高数学学习的能力。
关键词：高中数学；函数教学；数学思想引言：在新时代的背景之下，教学目标不再只是单纯的让学生掌握基本的理论知识，而是更加重视学生的综合素养能够在课上得到提升，所以将数学思维的培养纳入函数教学任务是很有必要的。
在函数教学的过程中，如何将数学思想融入是许多教学人员研究的方向。
在整个高中阶段，函数知识在数学学习中是很重要的一部分学习内容，同时函数中也包含了许多数学思想，比如类比、转化等能力都是在函数学习中需要学习的内容。
一、数学思想方法1.数学思想方法的简介数学思想对学生进行数学学习有着非常重要的影响，不仅会对学生的解题思路和解题方式有影响，同时也会对学生的数学学习起到积极的促进作用。
在进行数学教学时融入数学思想首先就需要教师应该对教学任务有着明确的认识，并且能够将实际的教学环境和学生的学习情况与理论思维相结合，然后在进行更加深入的探讨和研究。
其次，在培学生数学思想的过程中，也应该积极的借助数学知识，比如函数、方程等，从而让学生能够更加全面、科学地认识数学思维。
三角函数教学反思
三角函数教学反思三角函数教学反思三角函数教学反思1结合自己的教学发现存在许多不足的地方，为了更好的加强教学，提高教学效率，对本节教学反思如下：一：应用传统的以旧带新方法，利用学生在初中学习过的锐角三角函数，对给出的一个锐角，借助三角板构造直角三角形，找出它的正弦、余弦的近似值是很容易的事，而恰恰在这一点上，学生耗费了大量的时间，而教师又不想越俎代庖地告诉学生，这就严重影响了后续建立任意角三角函数的概念，并通过特殊角的求值体验、把握内涵的时间保证，造成体验不够，概括过早，应用更少的现象.二：问题教学设计不够合理。
没有准确把握学生的知识基础与认识能力，教科书在节首提出的“思考”是：“我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗”其实，学生只知道锐角三角函数是直角三角形中边长的比值，并不完全知道“它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数”，这就需要通过复习，来帮助学生补上这一点.三：思想方法渗透不是很到位：这一节课把教学的基本要求定位在，弄清任意角三角函数与锐角三角函数的区别，接受用坐标(或坐标的比值)表示三角函数就够了.但需要注意的是，应该通过什么方式让学生建立起用坐标(或比值)表示任意角三角函数，以及领会建立这个概念过程中所蕴涵的数学思想方法.通过以上反思:认识到课堂教学是一项实践性很强的工作，除了认真的课前准备外，对教学过程中出现的“突发事件”，随机应变十分重要.教师需要关注学生的学习行为，关注学生的认识过程，随时修改自己的教学设计，调整教学内容、教学要求，改变策略，选择恰当的方法实施教学，以达到最佳教学效果.三角函数教学反思2我上了一节《同角三角函数的基本关系（1）》一课，感谢数学组老师给我评课，让我收获很大，自己仔细想想，自己的课存在很多的问题：1. 对同角强调不够。
提问的角度和质量，还需要有更深刻和严谨的思考。
高中三角函数中的基本数学思想探析
角函数的转化可 以表现为 ： 多个三角 函数 向单一函数的转化 ， 特 殊函数向一般 函数 的转化 ，抽象函数 向具体 函数 的转化等 。在 转化时要注意运用转化思想 ， 注意转 化的等价性 。转 换思想在 三角函数 中的应用非常重要 ， 通过诱 导公式可 以将任 意三角 函 数转 化成锐角三角 函数 ， 而锐角三角 函数 比较容易计算 ； 利用倍 角公式 、 和差公式可以将一些角转化为特殊角 ； 还可 以运用三角 公式将 复杂的形式转换为简单三角函数形式 。 转化思想 的运用 ，
一元二次方程来求解三角函数 问题 ； 还可以联 渗透 ， 意义非同寻常， 不仅可以帮助学生们解决实际问题 、 处理疑 用一元一次方程 、
通过消元达到求值求解 的 目的 ， 消元 法是 函数 难问题 ， 还可以提高学生实 际应用能力 ， 在解 决问题 的过程 中增 立几个三角公式 ，
强学生的数学运用能力和知识创新能力。 二、 高中三角函数 中的基本数学思想 的体现 思想在三角函数问题 中的最直接 的应用体现。在求解 三角函数
习数 学知识的过程 中 ， 掌握知识固然很重要 ， 但是仅以死记知识 不仅 可以培养学生 的转化思维 ，还 可以提 高解决问题的应变能
式 和数学思维 ，才 能把知识变为一种能力 ，提高 自己的学习能 力， 才能不断提高数学素质。 释了。 要想学好三角 函数 ， 并能进行实际应用 ， 掌握一定 的解题技
题。
要作图 ，通过作图使 图形 与问题结合 ，从而能更直观地表现问
法来解 决问题。 （ 二） 转化思想
题 。三角函数图象 ， 可 以直观地展现问题 ， 有利于选取不同的方 决 ， 同样可以通过建模来完成 。运用建模思想 ， 可 以把具体数据
转化思想在数学研究 中是一种很重要的方法 ，通过合理地 纳， 那些 不被 人们 熟悉 、 比较复杂 的问题可 以变得简单 、 熟悉起 来 。在三角 函数 中 ， 很多复 杂的问题都可 以经过转化与归 纳变 得更容易解 决。 转 化的实质就是用简单 的问题去替代复杂 困难的问题。三
三角函数中的数学思想方法归纳
、
化归转化思想是解决 数学 问题 的一种重要思想 方法。处理数学 问题 的实质就是实现新 问题 向旧 问 题的转化 ， 复杂问题 向简单问题转化 ， 未知问题向 已 知 问题转化 ， 抽象 问题 向具体问题转化等。 例 ３ 已知定义域 为 Ｒ的函数 ） 为奇 函数 ，
．
且在定义域上为单调递增函数 ， ０ ０詈 ］ 当 ∈［ ， 时，
ｔ ２
即（ｓ一二 ２ ２ ０ ｃＯ 詈）一叶＋ ｍ一 ＞ 。 ｏ
又 ’ Ｅ［ ， ］ ．≤ｃｓ ≤１ ． Ｏ ０ 等 Ｏ ０ 。
二
１
ｔ ２
—
１ １
一
２ ’
—
（ 当０ 詈≤ ， ≤ ≤ 时， ２ １ ≤二 １ ） 即０ ｍ ２ 则一－＋ ｍ ｒ
２＞０ ：
・ ＝ ． ＝ ’，∈ 一 ， ｕ 一 ， ・ 一１ ． ｆ — ’ １ （ ÷ 一 ’Ｌ 一 ） 、 １ Ｙ ， ‘ ［ Ｙ Ｌ ， ’
・ ． ．
√ ］ ２。
，
（） ＞１即 ， ２ 贝 一ｍ ｌ ２ ２—， ， ＞ 时， ０２ Ｉ Ｈ 一 ｌ Ｘ ＋ ｍ一２ ； ＞０
。 ・ ．
一
（ ） 例 １ 求 函数 厂 ：
．
望一 的最 大 、 最
。
ｌ ＋ Ｓ ｎ 十 Ｃ０ ｌ Ｓ
小值 。 解析： 由条件 和问题联 想到公 式 （ｉｘ±ｅｓ ） ｓ ｎ ｏｘ １ ｓ ｘ ｏｘ 可实施整体代换求最值 。 ±２ｉ ｃｓ ， ｎ
＝
４ ： ｍ）且函数在定义域上单调递增 ，
．
例 ２ 设 ０ ， ｌ且 ｃ２＋ ｒｉ — ｍ一 ∈ｌ － ， ｏ ０ ２ ｓ０ ２ ０Ｃ ｓ ｏｎ
２ ０恒成立 ， ｍ 的取值范 围。 ＜ 求 解析： 厂０ 令 （ ）＝ｃｓ ＋２ ｉＯ一２ 一２＝ ｏ２ ｍｓ ｎ ｍ ｓｌ ＋２ ｎ ｉ ０ ｍ￣ Ｏ一 ２ 一 １ 令 ｔ＝ｓ ０ 由 ０∈ Ｉ ２ ｍ ， ｉ ， ｎ
结合数学思想 培养核心素养——以解三角形中方程思想运用为例
2021年第5期中学数学月刊• 57 •结合数学思想培养核6素养——以解三角形中方程思想运用为例王弟成(江苏省苏州实验中学215011)数学思想方法是对数学知识内容及其所使 用的方法的本质认识，数学思想也是数学知识到 数学素养的桥梁，掌握了它就能驾驭知识,寻找到 解决问题的方法.教学实践中我们发现，在落实“四基”过程中抓住“基本思想”教学，对数学思想 方法进行有效的渗透、揭示、运用，不仅能促进学 生“四能”提高，也是落实并提升学生核心素养的有效抓手•本文以几道三角题求解为例，谈谈自己 的解1问题呈现4题目 在"ABC 中，已知cos C =—，5sin ( A ― B ) = 1. (1)求证:tan A = 2tan B ；以an A =2+6设^边上的高为"十h>b =3,代入得@=2+用,即ab 边上的高为2+槡6.2. 2 分析特点解方程解法1运用方程思想整体把握问题本质，直 接运用正切关系求解.若学生将着眼点放在求“AB 边上的高”上，由于AB 已知，自然想到只要 求出三角形的面积即可•故学生有如下思考方法:由(1)知 tan A =2 t an B ,AB =3,得a 2 ―22 =3.又4 8cos C =-,由余弦定理得9 =a 2 +22 ~a2.化角555(2)设AB =3,求AB 边上的高.这道三角综合题条件简洁明了，主要涉及两 角和与差的三角函数•要求证的是两角之间的正切关系，并在给定一边长的条件下求该边上的高.教材上有类似问题，应该说此题难度并不大，但在 实际教学中发现，多数学生处理第(1)问的证明时问题不大,而对第(2)问却束手无策，不知道从方程角度看问题，不能自觉运用方程思想整体把 握问题•有的学生虽能列出关于边的方程，却不能 结合目标对方程结构特点深入分析，导致列出了方程(组)却不会解.也有学生虽然能做出来，但 说不出所以然，不能从思想方法角度理解解法，解 出了题却无助于解题能力提高.2解法探究2.1 利用方程思想整体把握问题如何整体把握问题,看透问题本质，寻求解题思路呢？首先从方程角度看条件，条件给出cos C 与sin ( A —B )的值，作为三角形还有天然关系A +B +C ="，三个方程三个未知数，这说明角A,B,C 是确定的、可解的，只是没有以特殊角形式出现，而是以三角函数的形式出现，比如cos C =4三此匕时C 就是已知角.认识到这一点也就整体把5握住了问题,下面只要想办法解出给定的方程组 即可.第(2)问给定一边长后此匕三角形各元素都是可求的,AB 边上的高当然也能求•其次通过具 43体方法解方程，将cos C =5转化为sin C =5,进3而转化为sin(A +B )=-,再结合sin(A —B )=5分别运用两角和与差公式展开•再从方程的观5点看，两方程两未知数,sin A cos B ,cos A sin B都可求，求出两式后，两式相除化弦为切，即可得tan A =2tan B .把所得条件再代回已知方程，,卩 可求得角A).由于C 是已知的，即tan(A +B ) 的值是已知的，故可求出tan A ,tan B 的值，这样 即可解出A,B,C .对于第(2)问，由于三个角都 已知，所以知道AB =3而求AB 边上的高,直接用可解4解法 1 (1)略.(2)由 cos C =—，得 tan C =54 所以 tan(A + B ) =— •，即一4tan A +tan B 31 —tan A tan B -又 an A =2tan B '所以 一 43 t an B1 —2 t an 2 B,解之得tan B2-十槡值舍)，所•58•中学数学月刊2021年第5期为边,建立关于边的方程组,这是解决三角问题的基本思维方法，也是学生“基本解题活动经验”•下面只要通过解方程组求得a,b的值即可•面对方[9=a2+b2ab程组2十5'这是一个学生不熟悉4a2—b2=3,的方程组，解起来是有困难的,主要是消元不好实施•如何解这个方程组呢？由于方程组中有ab项，消a、消b都有困难，对ab平方后再代入消元会很繁.但“减元”仍是我们解方程组的思考方向，若突破思维定势,发现方程组的结构特征除常数外都是二次的,可以考虑消去常数,这样马上会出现只与a,b相关的关系式,从而可以化为关于b匕的“一元”方程.a解法2由a2—b2=3,9=a2+b2—8ab,消5去常数得2a2+-g-ab—4b2=0 ,即（厂"+4•^一3^舍）•代入即得—+36b）2—3,故b2&—2^,从而a2=58—126,因此11—4^611—4^6h/58—12槡6/25~$3 a b sin C=槡11—4^6槡11一4槡65AB&3槡6+2.2.3改变目标创新思路若重新审视目标,换个角度思考,求面积关键是求ab的值,而求ab的值并不一定要分别把a与b的值都求出来,首先应考虑整体求解,看是否能整体求出ab的值•解3由a2—b2=39=a2+b2—844g ab,解得a2&6+g ab,b2&3+50b,两式相乘得a2b2&（6+f ab）（3+-y ab）,即（b）2—20a b—50=0,解之得ab=10+5槡6，所以h=°A b"& 35（10+5槡6）------------&2+槡6.两条思路都很清楚,都是学生会选的思路，都体现了方程思想指导下的思咖寻,但选择边的困难主要在于解方程.目标一变，好法显现，解法3中立足ab整体思考，则显得轻松得多，因此认识越深刻，解法越简捷•2.4数形结合变换思路从上面分析知"ABC是锐角三角形,故可结合平面几何知识解决.解法4作AB边上的高CH,垂足为H，设CH=h,因为tan A=2tan B,AB=3,所以AH& 1,BH=2,则AC=71+h2,BC=74+h2,结合9=a2+b2----ab，即9=1+h2+4+h2一5871+h2/4+h2，化简得h4—20h2+4=0,所5以h2=10—4/6（舍）或h2=10+4槡6又cos C=4,所以h=2+槡65解决）主要条\结合平面几何）建了关h的程）而解决程相对简多了3在解题教学中运用方程思想提高学生学科素养方程思想应用广泛，中学数学中很多问题都可以运用方程思想整体把握，寻求思路,解决问题•教学中发现，学生会列方程解决问题,但没有形d）程角）有形养•这就需要教师主动抓住机会渗透、揭示、运用思想方法，用思想方法指导概念的获得和解题思路的形成,发挥思想方法这一有力武器的作用•同时,让学生感受到思想方法不是空洞的,而是实实在在在的）指导我们高思三角式和解三角形中正、余弦定理本质上都是方程模型，正余弦定理的运用充分体现了方程思想.下面再以几个例子加以说明.例1已知cos（2a—"）&2，tan a•tan（«—y）=p,其中p为正的常数，则p的值为______•一般思维方法是化切为弦，由"sin a sin（atan a tan（«—"）=p,得-------—cos a cos（a2021年第5期中学数学月刊・59・观察角之间的关系2(—"=(+!—3")由cos(2(-3"=2)得至U cos(cos(a-3"—sin(s'!—")=£，到此学生感觉缺少条件)后续无法解决.若能从方程角度分析j匕时涉及三个“未知量"cos(cos!—")，sin(s'!—)，9，两个方程不可能解三个“未知数&所以必须再个关于这三个量的方程才行•思考发现，条件中还隐含一个关系3=(—!—""))这样cos(cos!(+sin(s'!—3))三个方程三个未知数,解之得9=槡2—1.若思条件，从方程角就是(与9是两个未知数，理应可以直接利用条件求岀9的值•由tan(tan(—)=9)得入化简得^+9=9,解之得9=2—1.利用方程思想整体把握)抓住本质，引导解题思路寻的获得例2如图1)1厶厶同一平面内的三条平行直—)B1与B2间的距离是1)B2与B3间的距离是2)正三角形_ABC的三个顶点在B1)图1B2)B3上)则"ABC的边()•(A)2T3⑻学(0萝(D)管解设$ABD=久则$CBD=60。
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数学思想方法在三角函数中的渗透
一、转化化归思想
例1、（1）若0cos sin 3=+αα，则
αα2sin cos 12+的值为（ ） A 、310 B 、35 C 、3
2 D 、-2 （2）若函数20,cos )tan 31()(π
<≤+=x x x x f ，则f （x ）的最大值为（ ）
A 、1
B 、2
C 、13+
D 、23+ 解：（1）由0cos sin 3=+αα，得3
1tan -=α， 于是αα2sin cos 12+αααααcos sin 2cos sin cos 222++==++=ααtan 21tan 123
10，故选A. （2）因为x x x x
x x x x f sin 3cos cos )cos sin 31(cos )tan 31()(+=⋅+=+= ).3cos(2π-
=x 当3π
=x 时，函数f （x ）取得最大值2，故选B.
二、数形结合思想
例2、设方程0sin cos 3=++a θθ（a 为常数）在),0(π上有相异两解βα,.
（1）求a 的取值范围；
（2）求βα+的值． 分析：原方程可化为a -=+
)3sin(2πθ，即2)3sin(a -=+πθ，可在同一坐标系中画出函数)3sin(1πθ+=y 和2
2a y -=的图像，利用数形结合进行求解。
解：（1）要使方程0sin cos 3=++a θθ在),0(π上有相异两解βα,，只要函数)3sin(1π
θ+=y 和2
2a y -=的图像在),0(π上有两个交点即可。
由图像可知：12
23<-<a ，即.32-<<-a （2）因为βα,为方程的两个相异的解，即为（1）中函数21,y y 的交点的横坐标，结合图像可知：点)2,(),2,(a a
--βα关于直线6π=x 对称，所以βα+.362π
π
=⨯=
点评：利用单位圆中的三角函数线或三角函数图像解决三角问题，形象、直观，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
三、函数与方程思想
例3、已知x b x a x f cos sin )(+=，求：
（1）当2)4(=π
f ，且f （x ）的最大值为10时，求a ，b 的值。
（2）当1)3
(=π
f ，且f （x ）的最小值为k 时，求2k 的取值范围。
分析：本题的关键在于应用辅助公式求f （x ）的最值。
解：（1）由2)4(=π
f 得a+b=2，①，又由f （x ）的最大值为10， 得1022=+b a ，②，由①②得a=3，b=-1或a=-1，b=3.
（2）由1)3
(=π
f 得23=+b a ，③，又k b a =+-22，所以222k b a =+，④ 将③代入④得222)32(k a a =-+，整理得043442
2=-+-k a a ， 因为R a ∈，所以0)4(44)34(22≥-⨯⨯--=∆k ，解得12≥k ，
所以2k 的取值范围是).,1[+∞
点评：本题综合考查了三角函数中的方程思想，在求解过程中应用了辅助角公式求三角函数的最值。