第3章 圆的基本性质单元复习例题讲义
北师大版 九年级数学下册 第三章 圆 专题课讲义 圆章节复习(解析版)
圆章节复习
课前测试
【题目】课前测试
如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
【答案】；存在，DE=；y=（0＜x＜）．
【解析】（1）如图（1），∵OD⊥BC，
∴BD=BC=，
∴OD==；
（2）如图（2），存在，DE是不变的．
连接AB，则AB==2，
∵D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE=AB=；
（3）如图（3），连接OC，
∵BD=x，
∴OD=，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=45°，
过D作DF⊥OE．
∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==，
∴OE=OF+EF=+=
∴y=DF•OE=••
=（0＜x＜）．
总结：本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的性质，综合性较强，难度中等．
【难度】4
【题目】课前测试
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．
【答案】OD=3；AE是⊙O的切线；
【解析】（1）∵AB与圆O相切，
∴OD⊥AB，
在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，
第三章圆的基本性质整章课件课件
3.3圆心角（1）
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探索发现：
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
你能获得怎样的图形？
这个角的大小与什么量
有关？
O
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1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
ＡB=CD吗？
弧AB与弧CD呢？
Ａ Ｂ
Ｃ Ｄ
O
如图，P，B，D是⊙O上的点，且PO平分∠BPD
求证：PB=PD
分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
要证AB=CD ，只需证OM=ON
证明: 作 OM AB , ON , 垂C足D分别为M 、 N 。
MPO NPO
OM AB
①
②
③
④
由上分析，任意给圆心角，对应出现 四个量：
弧 圆心角
弦 弦心距
圆心角，对应着那些线
弦AB
AB
圆心角∠AOB 弦AB的弦心距OM。
B
M
OΒιβλιοθήκη Baidu
A
图1
如果：∠AOB=∠COD
A B
o C
D
已知:如图∠AOB=∠COD, 求证: AB=CD
AB=CD
A B
九年级数学上册 第三章 圆的基本性质章末总结提升课件 级上册数学课件
变式 如图所示，BC 是⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，AD⊥BC，垂足为 D，A︵B＝A︵E，BE 分别交 AD，AC 于点 F，G.求证：FA＝FB.
证明方法 1：连结 OA，OE，∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC＝90°，∴∠BAF＋∠CAD＝90°，∵AD⊥BC，∴∠C＋∠CAD＝90°， ∴∠C＝∠BAF，∵A︵B＝A︵E，∴∠C＝∠ABF，∴∠BAF＝∠ABF，∴FA＝FB.
2021/12/12
精彩 练习 (jīnɡ cǎi) 九年级 数学
第三章 圆的基本( 性 jīběn) 质
章末总结(zǒngjié)提升
见A本35页
第一页，共八页。
探究 (tànjiū)
点一
【例1】
圆的定义(dìngyì)应用的延伸 性
【2017·青岛(qīnɡ dǎo)中考】如图所示，在四边形 ABCD 中，
于点E，连结DE，过点B作BP平行(píngxíng)于DE，交⊙O于点P，连结OP.
(1)求证：BD＝DC.
(2)求∠BOP的度数．
第2题图
2021/12/12
第五页，共八页。
第3题图ห้องสมุดไป่ตู้
第3题答图
章末提升(tíshēng)训练
4．在⊙O中，弦AC，BD相交(xiāngjiāo)于点M，且∠A＝∠B. (1)求证：AC＝BD； (2)若OA＝2，∠A＝30°，当AC⊥BD时，求弧CD的长．
第三章圆复习-PPT精品文档
n r 1.弧长公式: l 1 8 0 n r 2 1 lr 2.扇形面积公式: S 360 2
3.圆锥侧面积公式: 4.圆锥全面积公式:
S圆锥侧 rl
S r l r 圆 锥 全
2
r 5.圆锥侧面展开图扇形圆心角公式: 360 l
5 3 D. cm 6
3.如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°，已以AB为直径画半 圆，则阴影部分面积是（ B ） A.大于S△AOB C.小于S △AOB B.等于S △AOB D.不能确定与S △AOB的关系
4.如图,正方形的边长为2,以边长为直径在正方形内画半圆,则
阴影部分面积是( B
求(1)点A所经过的路线长.
(2)点A所经过的路线与直线l所围成的面积．
C B 2 l A B C 2 A 2
例3.如图,已知扇形AOB,∠AOB=90°,OA=OB=R,以OA为直 径作半圆⊙M,作MP∥OB交AB于P,交⊙M于点Q,求阴影部分 面积. A
Q M
P
O
B
1.如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＣ＝２cm,圆周角∠ＡＢＣ＝４５°
求阴影部分面积
A O B
C
2.如图,一个圆锥的高为 h cm,侧面展开图是半圆,求
(1)圆锥母线l与底面半径之比. (2)圆锥的表面积.
A l B
圆的基本性质知识点及经典例题总复习
圆的基本性质总复习（一）
【知识理解】
知识点一：圆的定义及相关概念
1.圆：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做圆心,线段OP叫做圆的半径．记作“⊙O”.
第二种定义：到定点O的距离等于定长r的点的集合．
弦；直径；
注：在同一个圆中，直径是最长的弦，一个圆中有无数条弦和直径．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示.
半圆；优弧；劣弧；等弧
2. 等圆：半径相等的圆.
同圆：同一个圆.
同心圆：圆心相同，半径不相等的圆.
知识点二：点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，平面内任一点P到圆心的距离为d，则：
⇔点在圆外
⇔点在圆上
⇔点在圆内
知识点三：确定圆的条件
不在同一条直线上的三个点确定一个圆
知识点四：三角形的外接圆
1、经过三角形的各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形．
2、三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点
注：一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形
知识点五：圆的对称性
1、圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线，每个圆都有无数条对称轴
2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心
知识点六：图形的旋转
由一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点 都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形改变
叫做图形的旋转变换，简称旋转．这个固定的点叫做旋转中心．
（1）旋转的三要素
旋转中心、旋转方向、旋转角度
（2）图形旋转的性质
①图形经过旋转所得的图形和原图形全等；
圆的有关概念及性质复习课件
三、【基本能力练习】
5.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A 、 B，点C在
⊙O上．如果∠P＝50° ，那么∠ACB等于 （C ）
A．40° B．50 ° C．65 ° D．130 °
四、【经典考题剖析】
1.如图，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝ 60° ，AC＝3，
则△ABC的周长是__9__________.
．
1、垂径定理
垂径定理 ： 垂直于弦的直径平分弦,并且
平分这条弦所对的两条弧. C
A
B
M└
若 ① CD是直径
●O
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
2、垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
(1)请你补全这个输水管道的圆形截面; (2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面
最深地方的高度为4,求这个圆形截面的半径. 2.如图，⊙O的直径AB=10，DE⊥AB于点H，
AH=2． （1）求DE的长； （2）延长ED到P，过P作⊙O的切线，切点为C， 若PC=22，求PD的长
四、【经典考题剖析】
3.如图，已知AB是半圆 O的直径，弦AD和BC相 交于点P，
那么 CD 等于（ B ）
第三章 《圆》复习课
的弦与圆弧组成弓形，当过点P的弦垂直于OP时，弦与
其所对的劣弧所组成的弓形面积最小.那么最小的弓形
面积是多少？
A P O B
18.已知A为⊙O上的一点，⊙O的半径为1，⊙O所在的 平面上另有一点P. （1）如果PA=
5 ，那么P与⊙O有怎样的位置关系？
（2）如果PA= 3 ，那么P与⊙O有怎样的位置关系？
有怎样的位置关系？
总复习19题.gsp
20.如图所示的图案（阴影部分）是这样设计的：在 ΔABC中，AB=AC=2cm，∠B=30ᵒ，以A为圆心、以AB为
⏜ 半径作 BEC
⏜ ；以BC为直径作 BFC
A B E
.求图案的面积.
C
21.如图，四边形ABCD是正方形，曲线DEFGH…叫做
⏜， ⏜EF ⏜， ⏜ “正方形的渐开线”，其中 DE FG，GH
３２.如图，已知⨀Ｏ的直径ＡＢ=ｄ，弦ＡＣ=ａ， ⏜ = BC ⏜ ，求Ａ，Ｄ两点间的距离. AD
33.如图，A，B，C，D是⨀O上的四个点，AB=AC，AD交BC
于点E，AE=2，ED=4，求AB的长.
34.某学校A位于工地O的正西方向，且OA=200m，一辆
货车从O处出发，以5m/s的速度沿北偏西53°方向行驶.
长度是多少？
C G B F A H
，…的
圆心依次按A，B，C，D循环.当AB=1时，曲线DEFGH
北师大版九年级下册 第三章：圆专题二 【圆的基本性质】经典知识点+经典例题+巩固训练 讲义设计(无
第三章 圆
专题二：圆的基本性质
知识点一：圆的对称性
例1：下列所述图形中对称轴对多的是（ ）
A 圆
B 正方形
C 正三角形
D 线段
例2：判断对错，如果错误，请加以改正： 直径是圆的对称轴。
例3：世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，如图，是来自现实生活中的图形，图中都有圆：
上述三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的 有 （用代号填写）
知识点二：垂径定理及其推论
C
铜钱B 汽车方向盘
A
一石击起千层浪
垂径定理
例1： 已知：在⊙O 中，弦AB ＝12cm ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：∠AOB 的度数和圆的半径。
O
A B
例2：在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm 。
例3： 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a ，b 。 求证：AD BD a b ·=-2
2
例
4
：如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，
CD OF ⊥于F 。
（1）求证：四边形OEHF 是正方形。
（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离。
例5：如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝300，求：
（1）CD 的长；
（2）C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。
例6：如图，等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O ，AB ＝AC ，tanB ＝3
第三章圆的基本性质整章课件课件
N
CA B
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5.钳工车间用圆钢做方形螺母,现要做边长为a的方形螺母, 问下料时至少要用直径多大的圆钢?
解 ABCD是正方形,B 900, A
a
B
AB BC a, AC 2a
D
O
•
A
B
这一类问题的解决模型：利用直径和直径所对 的圆周角（直角）构成直角三角形从而达到问 题的解决。
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巩固提升：
1.命题’圆的两条平行弦所夹的弧相等”的逆命题是 _原两行_命_条_题_相_是_等__的__真__弧____两_命_个_题_各，_自_逆_相_命_对_题_的_是_点___连_真__接____而__命_成_题_的_.两__条__弦__平____.
“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，
就有A可FB能触礁AC。B
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，
P
船位于哪个区域？为什么？
C
（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于
E
F
“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
O
于是我们就得到：当船与两个灯塔的
夹角∠α大于“危险角”时，船在危险 A
2.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分∠ABC,且AB∥CD.
第三章_圆的基本性质_复习课课件
B．（3，2）
C．（1，3）
D．（3，1）
2021/3/8
7
（2010 四川乐山）如图，一圆弧过方格的格点 A、B、C， 试在方格中建立平面直角坐标系，使点 A 的坐标为（－2，4）， 则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） A. （－1，2）B. （1，－1）C. （－1，1）D. （2，1）
AC
B
2021/3/8
将问题转化 为直角三角
形的问题。
2021/3/8
14
如图,已知AB是⊙O的直径,AB与弦CD相交于 点M,∠AMC=300 ,AM=6cm，MB=2cm,求CD的长。
C
NM
AO
B D
2021/3/8
15
如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦AC=8， D是⌒AC的中点，连结CD，求CD的长。
B O
知识体系
圆
相关概念
基本性质
基本计算
2021/3/8
圆、弦 （直径） 弧、优弧 劣弧、等 圆、同圆 同心圆、 等弧、点 与圆的位 置关系、 外心等
圆 圆的
的
轴对 称性
确 垂径
定 定理
及推
论
圆的 中心 对称 性
圆的 旋转 不变 性
圆心角、圆 周角、弧、 弦之间的关 系定理
半径、 弧长、
弦和 扇形
弦心
《圆的基本性质》全章复习与巩固—知识讲解(提高)
《圆的基本性质》全章复习与巩固（提高）
责编：康红梅
【学习目标】
1．理解圆及其有关概念，了解点与圆的位置关系.
2. 认识图形的旋转，理解图形的旋转的性质.
3. 理解圆的性质，垂径定理，圆心角定理，圆周角定理.
4. 理解圆内接四边形的性质.
5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积.
6. 会初步综合应用圆的有关知识，解决一些简单的实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
（3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
要点诠释：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2.点与圆的位置关系
判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为，OP=，则有
点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.
要点诠释：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
4．与圆有关的角
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.
九年级(上)培优讲义：圆的基本性质
圆的基本性质培优（三）
一、经典例题
例1．如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为 ．
例2．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB ＝60°，求CD 的长．
变式：如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ， 垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝ ．
例3．如图，在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点E ．
（1）若OC =5，AB =8，求tan ∠BAC ；
（2）若∠DAC =∠BAC ，且点D 在⊙O 的外部，判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并加以证明．
N
M
O
C B
A
例4. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF＝FD.
例5. 已知射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF 于E.
(1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形.
(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.
(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
九年级数学上册第三章圆基本性质复习课件(新版)浙教版
O
P
C
D
已知：如图△ABC内接于⊙O，
AD⊥BC，求证∠BAD=∠CAO
A
1 2
O
B E
D M
C
课内练习2.
在⊙O中，弦AB与DC相交于点E，且AE=EC，
求证：AD=BC
A C
E
B
D
小结
1.在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦 心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化 为证明量另外三组量中的某一组量相等。 2.圆中常见的辅助线有：作半径，作弦心距，连 结圆上某两点。
B
A A A
O O O
B B
B
O
●
C
∠C＝90° ▲ABC是锐角三角形 是钝角三角形
圆的确定：不在同一直线上 的三点确定一个圆。
如图,已知⊙O的半径OA长为5,弦AB的长8, ⌒ ⌒ OC ⊥AB 于C,则OC的长为 _______. AC=BC 3 AE=BE 垂径定理:垂直于弦的直径平分 这条弦,并且平分弦所对的弧.
O A
C
B
E 变式1：如图弦AB⊥DE于点C,∠ADO=15°求∠B ⌒ ⌒ 和 AD和 BE的度数 变式2：如图弦AB⊥DE于点C, ∠ADO与∠BDE有 怎样的数量关系？
已知：如图弦AB⊥DE于点C,AC=6,BC=2,半径为5， 求DC和CE的长？ D
浙教版 初中数学培优讲义 九年级 第三章 《圆的基本性质》全章复习与巩固—知识讲解(提高) 学生版
《圆的基本性质》全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1．理解圆及其有关概念，了解点与圆的位置关系.
2.认识图形的旋转，理解图形的旋转的性质.
3.理解圆的性质，垂径定理，圆心角定理，圆周角定理.
4.理解圆内接四边形的性质.
5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积.
6.会初步综合应用圆的有关知识，解决一些简单的实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
（3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
要点诠释：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2.点与圆的位置关系
判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为，OP=，则有
点P在⊙O外；点P在⊙O上；点P在⊙O内.
要点诠释：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
4．与圆有关的角
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.
《圆的基本性质》各节知识点及典型例题
圆的基本性质
第一节 圆 第二节 圆的轴对称性 第三节 圆心角 第四节 圆周角 第五节 弧长及扇形的面积 第六节 侧面积及全面积 六大知识点：
1、圆的概念及点与圆的位置关系
2、三角形的外接圆
3、垂径定理
4、垂径定理的逆定理及其应用
5、圆心角的概念及其性质
6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 【课本相关知识点】
1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。
2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。
3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。
4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆
5、点与圆的三种位置关系：
若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则：
点P 在⊙O 外 ；
点P 在⊙O 上 ； 点P 在⊙O 内 。
6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上
7、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。
8、过 的三点确定一个圆。
9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。三角形的外心是三角形三条边的
【典型例题】
浙教版 初中数学培优讲义 九年级 教师版 第三章 《圆的基本性质》全章复习与巩固—知识讲解(提高)
《圆的基本性质》全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1．理解圆及其有关概念，了解点与圆的位置关系.
2. 认识图形的旋转，理解图形的旋转的性质.
3. 理解圆的性质，垂径定理，圆心角定理，圆周角定理.
4. 理解圆内接四边形的性质.
5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积.
6. 会初步综合应用圆的有关知识，解决一些简单的实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
（3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
要点诠释：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2.点与圆的位置关系
判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为，OP=，则有
点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.
要点诠释：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
4．与圆有关的角
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.
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第3章 圆的基本性质 单元复习
3.1 圆
3.1.1 圆
·连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 3.1.2 垂直于弦的直径
·垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
3.1.3 弧、弦、圆心角
1、顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论1：相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等。
推论2：相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等。
例2 如图，在⊙O 中，AB ⊥AC 且AB =AC ，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，
.求证四边形ADOE 是正方形。 证明：∵AB ⊥AC ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC
∴∠OEA =∠EAD =∠ADO =90° ∴四边形ADOE 是矩形 ∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ∴D 、E 分别平分AB 、AC （垂径定理） ∵AB =AC ∴AD =AE ∴四边形ADOE 是正方形。 例1 赵州桥的主桥拱为圆弧形，它的跨度为37.4m ，拱高为7.2m ，求主桥拱的半径。 解： 如图，⌒AB 表示主桥拱，设⌒AB 所在的圆心为O ，半径为R ，
过O 作OC ⊥AB 交AB 于D ，
根据垂径定理，D 为AB 的中点。
已知：AB =37.4m ，CD =7.2m ，
∴AD =AB ÷2=18.7m ，OD =R -7.2
在Rt △AOD 中，R 2=18.72+(R -7.2)2，
解得R ≈27.9m
答：主桥拱的半径约为27.9m 。
例3 如图，在⊙O 中，⌒AB =⌒AC ，∠ACB =60°
，求证∠AOB =∠BOC =∠COA 。 证明：∵⌒AB =⌒AC
∴AB =AC ，△ABC 为等腰三角形 （相等的弧所对的弦相等） ∵∠ACB =60° ∴△ABC 为等边三角形，AB =BC =CA ∴∠AOB =∠BOC =∠COA （相等的弦所对的圆心角相等）
3.1.4 圆周角
1、顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对的
圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧也一定相等。 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
3、如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就叫做多边形的外接圆。
4、圆内接四边形的对角互补。
求证：圆内接四边形的对角互补。
证明：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∵∠A 所对弧为⌒BCD ，∠C 所对弧为⌒BAD ， 且⌒BCD 和⌒BAD 所对的圆心角的和为周角 ∴∠A +∠C =360°÷2=180° 同理∠B +∠D =180° ∴圆内接四边形的对角互补。 例5 如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ， 求BC 、AD 、BD 的长度。 解： ∵AB 是直径（已知） ∴∠ACB =∠ADB =90°（直径所对的圆周角是直角） 在Rt △ABC 中，BC =102-62=8cm （勾股定理） ∵CD 平分∠ACB （已知） ∴∠ACD =∠BCD （角平分线定义） ∴⌒AD=⌒BD （两个圆周角相等，则所对的弧也相等） ∴AD =BD （相等的弧所对的弦相等） 在Rt △ABD 中，AD 2+BD 2=AB 2（勾股定理） ∴AD =BD =102÷2=52cm
例4 求证：①如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角 .三角形。 ②圆内接平行四边形是矩形。 证明①：如图，设OC 为AB 边上的中线，以OC 为半径画圆， ∵AB =2OC ∴AB 为⊙O 的直径 ∴∠ACB =90°（直径所对的圆周角是直角） ∴△ABC 为直角三角形。 证明②：∵它是平行四边形 ∴对角相等 ∵它是圆内接四边形 ∴对角互补 ∴一组对角为180°÷2=90° ∴它是矩形。
3.2 点、直线、圆和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
1、若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：
点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d （“⇔”读作“等价于”，表示可以从符号“⇔”的一端得到另一端） 2、经过已知的两个点的圆的圆心在这两个点的连线段的垂直平分线上。 3、不在同一直线上的三个点确定一个圆，确定方法：作三点的连线段的其中两条的垂直平 分线，交点即为圆心，以圆心到其中一点的距离作为半径画圆即可。 4、若三角形的三个顶点在同一个圆上，那么这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是 三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 5、假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，则假设不正确，故原命题成立，这种证明 方法叫做反证法。 例6.求证：经过同一直线上的三个点无法作出一个圆。 证明：假设过同一直线l上的三个点A、B、C可以作出一个圆 如图，设这个圆的圆心为O， 则点O在AB、BC的垂直平分线l1、l2上 即点O是l1、l2的交点， 因为l1⊥l，l2⊥l 与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾 所以经过同一直线上的三个点无法作出一个圆。 3.2.2 直线和圆的位置关系 1、当直线与圆有两个公共点时，叫做这条直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线。 当有一个公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。 当没有公共点时，叫做直线与圆相离。 2、若⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则有： 直线l与圆相交⇔d 3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 例7 如图，直线AB经过⊙O上的点C，OA=OB，AC=BC，求证直线AB是⊙O的切线。证明：连接OC ∵OA=OB ∴△AOB是等腰三角形 ∵AC=BC ∴OC是AB边上的中线 ∴OC⊥AB（三线合一） ∴直线AB是⊙O的切线。（切线的判定定理） 4、经过圆外一点作圆的切线，这个点到切点的长度叫做这点到圆的切线长。 5、切线长定理：从圆外一点可以引出两条切线，它们的切线长相等，这个点与圆心的连线 平分两条切线的夹角。 6、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条边的角平分 线的交点，叫做三角形的内心。确定内切圆方法：作出角平分线，以交点为圆心，以它到任意一边的距离为半径作圆即可。