数值分析课件1
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数值分析课件
辛普森方法
一种基于矩形法思想的数值积分方法 ，适用于计算定积分。
自适应辛普森方法
一种基于辛普森方法和梯形法的自适 应数值积分方法，能够根据函数性质 自动选择合适的积分策略。
常微分方程的数值求解
01
欧拉方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过逐步逼近的方式求解近 似解。
02
龙格-库塔方法
定积分是函数在区间上积分和的极限；不定积分是函数在 某个区间上的原函数。
02
应用领域
积分广泛应用于物理、工程、经济等领域，如求曲线下面 积、求解变速直线运动位移等。
03
数值计算方法
使用数值积分方法（如梯形法、辛普森法等）来近似计算 定积分和不定积分的值。这些方法将积分区间划分为若干 个小段，并使用已知的函数值和导数值来近似计算每个小 段的积分值，最后求和得到积分的近似值。
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造龙格-库塔曲线来 逼近解。
03
阿达姆斯-图灵 方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造阿达姆斯-图灵曲 线来逼近解。
04
自适应步长控制 方法
一种基于欧拉方法和龙格 -库塔方法的自适应步长 控制方法，能够根据误差 自动调整步长。
偏微分方程的数值求解
高斯消元法的步骤
1. 将方程组按照行进行排列，并将每个方程中的未知数 按照列排列。
2. 对于每个方程，选取一个未知数作为主元，并将其余 的未知数用主元表示。
3. 将主元所在的行与其他行进行交换，使得主元位于对 角线上。
4. 将主元所在的列中位于主元下方的元素消为0，从而得 到一个阶梯形矩阵。
线性方程组的解法
数值分析是一种工具，它可以帮助我 们更好地理解和解决实际问题，同时 也可以帮助我们更好地理解和应用数 学理论。
数值分析ppt
例如：建立积分
1 xn
In
dx 0 x5
n 0,1, , 20
的递推关系式，研究它的误差传递。
解：由
In 5In1
1
xn
5xn1 dx
0 x5
1 xn1dx 1
0
n
和
I0
1 1 dx ln 6 ln 5 0 x5
可建立递推公式
1 In 5In1 n
n 1, 2, , 20
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在四中误差中，模型误差和观测误差是客 观存在的，截断误差和舍入误差是由计算方法和 计算工具引起的，我们在研究数学问题的数值解 法时，主要是分析讨论计算方法的截断误差和舍 入误差。
例如 在计算机上计算级数
sin x x 1 x3 1 x5 1 x7 3! 5! 7!
取前三项计算 sin x 的近似值
e*( y) y*
( f )* x1
x1* y*
er*
(
x1)
(
f x2
)*
x2* y*
er*(x2 )
（2）
利用（1）、（2）两式，可以得到两数 和、差、积、商的绝对误差与相对误差传播 的估计式.
e* (x1 x2 ) e* (x1) e*(x2 )
数值分析课件1
提出数值问题
数值问题是指有限个输入数据（问题 的自变量、原始数据）与有限个输出数据 （待求解数据）之间函数关系的一个明确 无歧义的描述。这正是数值分析所研究的 对象。
数值问题举例
dy = x +y2 dx y ( 0) = y 0 x ∈ [0, 1]
是用一阶常微分方程初值问题表示的 数学模型，要求无穷多个输出，因而它不是 数值问题 。但当我们要求出有限个点处函 数值的近似值时，便成为一数值问题。
设计高效可靠的算法
计算方法的任务之一就是提供求得数值问 题近似解的方法—算法。
算法：指把对数学问题的解法归结为只有 加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次序 的完整而准确的描述。
算法的可靠性：算法的可靠性包括算法的收 敛性、稳定性、误差估计等几个方面。这些是
数值分析研究的第二个任务。
一个算法在保证可靠的大前提下再评价其 优劣才是有价值的。 算法的优劣评价：可靠算法的优劣，应该考 虑其时间复杂度（计算机运行时间）、空间 复杂度（占据计算机存储空间的多少）以及 逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护 ）。这是数值分析研究的第三个任务。
e − e = (e − en ) + (en − e)
* *
二、误差的度量
1) 2) 3) 4)
绝对误差 相对误差 有效数字 各种度量之间的关系
1. 绝对误差
绝对误差定义：近似值减准确值
* ∆
x − x= e( x * ) * * e ( x ) 在不引起混淆时， 简记 为 e 。
• 绝对误差限：
位有效数字。如 A = sin 29 20′ = 0.4900 设其近似值a=0.484，其相对误差为：
0.4900 − 0.484 1 = 0.012397 < 0.0125 = × 101− 2 0.484 2× 4
数值分析课件 第一章 绪论
1 e 0 1 x n e 0 d I n x 1 e 0 1 x n e 1 d x e 1 1 ( ) I n n n 1 1
公式一：I n 1 e [ x n e x 1 0 n 0 1 x n 1 e x d x ] 1 n I n 1
I01 e 01exdx11 e0.63212 记为0I5 0* 6 此公式精确成
初始的小扰动 |E 0|0.51 0 8迅速积累，误差呈递增趋势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： I n 1 n I n 1 I n 1 n 1 ( 1 I n )
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。 注 意在e此理(N 公论1 式上1)与等公价IN 式。一N 1 1
)
0 .0 6 6 8 7 0 2 2 0
I
12
1 (1 13
I
13
)
0 .0 7 1 7 7 9 2 1 4
I
11
1 (1 12
I
12
)
0 .0 7 7 3 5 1 7 3 2
I
10
1 11
(1
I
11
)
0 .0 8 3 8 7 7 1 1 5
I
1
1 2
(1
I
2
)
0 .3 6 7 8 7 9 4 4
0
2! 3! 4!
11/1e111 e1 x 2d1x11 1 3 2! 50 3! 7 4! 9
取 01ex2dxS4 ,
S4
R4 /* Remainder */
则 R 44 1 !1 9 由 留5 1 !下1 部1 分1 称为截断误差 /* Truncation Error */
数值分析-第一章ppt课件
数及其图形作出判断. 整理版课件
6
由分部积分法可得:
Ine101xndex
n=1,2,4,6, 8,10,15
e 1 x n ex|1 0 e 1 0 1 nn 1 x ex dx
1 nn 1 I (n 1 ,2 , ).
如果取 I0 = 1–e–1 = 0.63212056 (八位有效数字).
x1,2b
b24ac 2a
直接进行计算则得: x1=109, x2=0. 其中的x2=0明பைடு நூலகம்失真, 这也是由于舍入误差造成的.
整理版课件
8
§1 误差的来源
实际 问题
建立数 学模型
确定计 算方法
编程 上机
由抽象简 化产生的 模型误差 及参数的 观测误差
由计算方 法本身产 生的截断 误差或称 方法误差
er(x* )e(x x* )x xx*
同样, 由于精确值 x 经常是未知的, 所以, 需要另
外的近似表达形式. 我们注意如下公式的推导,
当
|
e ( x*) x*
|
较小时,
有
e(x* )e(x* )e(x*x )* (x)
x x*
xx*
[x*[ee((xx**))2]x] *1[e(exx(**x*)]2)
整理版课件
18
乘法相关的误差公式： 设 f (x1, x2)= x1 x2 . e ( x 1 x 2 ) x 2 e ( x 1 ) x 1 e ( x 2 ) e r ( x 1 x 2 ) e r ( x 1 ) e r ( x 2 ) |e ( x 1 x 2 ) | |e ( x 1 ) | |e ( x 2 ) | |e r ( x 1 x 2 ) | |e r ( x 1 ) | |e r ( x 2 ) |
《数值分析教程》课件
总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
中科院数值分析课件
中科院数值分析课件目录1. 内容概括 (3)1.1 数值分析概述 (3)1.2 数值分析的重要性 (4)1.3 数值分析的常用方法 (5)2. 线性方程组的数值解法 (7)2.1 直接法 (8)2.1.1 高斯消元法 (9)2.1.2 齐次线性方程组的解 (10)2.1.3 非齐次线性方程组的解 (10)2.2 迭代法 (11)2.2.1 消元迭代法 (12)2.2.2 迭代加速方法 (12)3. 矩阵特征值与特征向量的计算 (14)3.1 特征值和特征向量的基本概念 (15)3.2 实对称矩阵的特征值与特征向量 (15)3.3 不可对角化矩阵的特征值与特征向量 (16)4. 线性方程组的求解 (18)4.1 稳定性分析 (19)4.2 误差分析 (20)4.3 稳定算法的选择与应用 (21)5. 矩阵运算的数值稳定性 (22)5.1 矩阵运算的数值误差 (24)5.2 矩阵运算的稳定性 (25)5.3 稳定性分析的方法 (26)6. 插值方法 (27)6.1 插值问题的基本概念 (29)6.2 插值多项式的构造 (30)6.2.1 线性插值 (31)6.2.2 二次插值 (31)6.2.3 高次插值 (32)6.3 插值误差分析 (33)7. 数值微分与数值积分 (33)7.1 数值微分 (35)7.1.1 有限差分法 (35)7.1.2 傅里叶级数法 (37)7.2 数值积分 (38)7.2.1 牛顿科特斯公式 (39)7.2.2 高斯积分法 (40)8. 常微分方程的数值解法 (40)8.1 基本概念 (41)8.2 常微分方程的初值问题 (42)8.2.1 一阶常微分方程的初值问题 (43)8.2.2 高阶常微分方程的初值问题 (44)8.3 常微分方程的边值问题 (44)9. 数值方法的应用 (45)9.1 科学计算中的应用 (46)9.2 工程计算中的应用 (48)9.3 经济计算中的应用 (49)10. 总结与展望 (50)10.1 数值分析的发展趋势 (51)10.2 数值分析的未来应用前景 (53)1. 内容概括本课件旨在为研究生和高年级本科生提供数值分析领域的最新知识与技术。
数值分析课件第1章
解：
(s ) l (d ) d (l )
110 (0.1) 80 (0.2) 27( m 2 )
r
(
s
)
(s)
s
(s)
ld
27 0.31% 8800
2、函数误差 当自变量有误差时计算函数值也产生误差，可以利用
函数的泰勒展开式进行估计。
工科研究生公共课程数学系列
（f (x)） f (x)（x）.
例1-4 设x0,x的相对误差为，求lnx的误差。
解：
lnx*
-lnx
1 x*
(x*
-
x), 即有
e(lnx) er(x)
进而有(ln(x)) 。
工科研究生公共课程数学系列
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1.3 误差定性分析与避免误差危害
一、几种定性分析误差的方法 1、概率分析法：考虑到误差分布的随机性，用概率统计的
二、数值分析的特点
• 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算 法。
• 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似 算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。 这些都是建立在数学理论的基础上，因此不应片面的将数 值分析理解为各种数值方法的简单罗列和堆积。
• 要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间 复杂性好是指节省存上实现。
• 要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述 三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。
工科研究生公共课程数学系列
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三、数值分析的学习方法 初学可能仍会觉得公式多，理论分析复杂。给出如下的 几点学习方法。
• 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务，主 动适应公式多和讲究理论分析的特点。
数值分析学习课件
i = 2,3,..., n − 1
三次样条插值
例：已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 y=f(x)的数表如下表所示 x f(x)
0 1
0.15
0.30
0.45
0.60
0.97800 0.91743 0.83160 0.73529
求满足边界条件
s′(0) = 0, s′(0.60) = −0.64879
已知端点二阶导数
s′′( x0 ) = f ′′( x0 ) = M 0 s′′( xn ) = f ′′( xn ) = M n
当M 0 = M n = 0 为自然边界条件 已知周期边界条件
s ( x0 ) = s ( xn ) s′( x0 + 0) = s′( x0 − 0) s′′( x = 0) = s′′( x − 0) n n
则称 s ( x ) 为区间[a, b] 对应于划分∆ 的三次样条函数。 的三次样条函数。
三次样条插值
设三次样条函数s(x) 在每个子区间[xj−1, xj ]上有表达式
s(x) = sj (x) = aj x3 + bj x2 + cj x + d j x ∈(xj−1, xj ), j =1,2...n
三次样条插值
利用三弯矩阵构造三次样条插值函数 令 S ′′( xi ) = M i (i = 0,1, 2,...n) 因为S ( x) 在[ xi , xi +1 ] 在 上是三次多项式， 上是三次多项式，所以 S ′′( x)
xi +1 − x x − xi + M i +1 hi hi
[ xi , xi +1 ] 上是线性函数， 上是线性函数，故有
三次样条插值
例：已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 y=f(x)的数表如下表所示 x f(x)
0 1
0.15
0.30
0.45
0.60
0.97800 0.91743 0.83160 0.73529
求满足边界条件
s′(0) = 0, s′(0.60) = −0.64879
已知端点二阶导数
s′′( x0 ) = f ′′( x0 ) = M 0 s′′( xn ) = f ′′( xn ) = M n
当M 0 = M n = 0 为自然边界条件 已知周期边界条件
s ( x0 ) = s ( xn ) s′( x0 + 0) = s′( x0 − 0) s′′( x = 0) = s′′( x − 0) n n
则称 s ( x ) 为区间[a, b] 对应于划分∆ 的三次样条函数。 的三次样条函数。
三次样条插值
设三次样条函数s(x) 在每个子区间[xj−1, xj ]上有表达式
s(x) = sj (x) = aj x3 + bj x2 + cj x + d j x ∈(xj−1, xj ), j =1,2...n
三次样条插值
利用三弯矩阵构造三次样条插值函数 令 S ′′( xi ) = M i (i = 0,1, 2,...n) 因为S ( x) 在[ xi , xi +1 ] 在 上是三次多项式， 上是三次多项式，所以 S ′′( x)
xi +1 − x x − xi + M i +1 hi hi
[ xi , xi +1 ] 上是线性函数， 上是线性函数，故有
数值分析_1
mm (a ) 0.005 (b) 0.00005
0.005 r (a ) 0.23% a 2.18 0.00005 r ( b) 0.0024 % b 2.1200
(a )
( b)
2013-8-30
10
2.3 有效数字
定义： –如果数x的绝对误差不超过某一位数字的半个单位 ，若该位数字到x的第一位非零数字共有n位，则称x 具有n位有效数字
例=3.1415926535, –如果取作3.14，则有三位有效数字,误差限0.005;
–如果 取 作 3.1416， 则有 五位 有 效数 字 , 误差 限 为 0.00005。 0.003529
0.00352900
11
2013-8-30
2.3 有效数字
推论1 对于给出的有效数，其绝对误差限不大于其最末 由准确值经过四舍五入的得到近 数字的半个单位 似值，从它的末位数字到第一位非 零数字都是有效数字。 推论2 对于给出的一个有效数，其相对误差限可估计如 1 下： n
第一章 数值计算中的误差
本章内容
§1 计数与数值
§2 舍入方法与有效数字
§3 算术运算中的误差 §4 算法举例 §5 数值计算中的误差 §6 误差分配原则与处理方法
2013-8-30
2
§2 舍入方法 与有效数字
2.1 绝对误差与相对误两者之差是绝对误差
=a-A为近似数a的绝对误差，简称误差
四舍五入法的|Δ |≤0.5x10-n， 结论：凡是由准确值经过四舍五入而得到的近似值， 其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
9
2013-8-30
2.2.2 四舍五入法
0.005 r (a ) 0.23% a 2.18 0.00005 r ( b) 0.0024 % b 2.1200
(a )
( b)
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2.3 有效数字
定义： –如果数x的绝对误差不超过某一位数字的半个单位 ，若该位数字到x的第一位非零数字共有n位，则称x 具有n位有效数字
例=3.1415926535, –如果取作3.14，则有三位有效数字,误差限0.005;
–如果 取 作 3.1416， 则有 五位 有 效数 字 , 误差 限 为 0.00005。 0.003529
0.00352900
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2.3 有效数字
推论1 对于给出的有效数，其绝对误差限不大于其最末 由准确值经过四舍五入的得到近 数字的半个单位 似值，从它的末位数字到第一位非 零数字都是有效数字。 推论2 对于给出的一个有效数，其相对误差限可估计如 1 下： n
第一章 数值计算中的误差
本章内容
§1 计数与数值
§2 舍入方法与有效数字
§3 算术运算中的误差 §4 算法举例 §5 数值计算中的误差 §6 误差分配原则与处理方法
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2
§2 舍入方法 与有效数字
2.1 绝对误差与相对误两者之差是绝对误差
=a-A为近似数a的绝对误差，简称误差
四舍五入法的|Δ |≤0.5x10-n， 结论：凡是由准确值经过四舍五入而得到的近似值， 其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
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2.2.2 四舍五入法
数值分析全套课件
Ln n si n
ˆ L2n (4L2n Ln ) / 3
n L error 192 3.1414524 1.4e-004 384 3.1415576 3.5e-005 3.1415926 4.6e-010
3/16
通信卫星覆盖地球面积
将地球考虑成一 个球体, 设R为地 球半径,h为卫星 高度,D为覆盖面 在切痕平面上的 投影(积分区域)
( x1 x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 )
15/16
例3.二次方程 x2 – 16 x + 1 = 0, 取
求 x1 8 63 使具有4位有效数
63 7.937
解:直接计算 x1≈8 – 7.937 = 0.063
( x1 ) (8) (7.937) 0.0005
5/16
误差的有关概念
假设某一数据的准确值为 x*,其近似值 为 x，则称
e(x)= x - x*
为 x 的绝对误差 而称
e( x) x x er ( x ) , x x
*
( x 0)
为 x 的相对误差
6/16
如果存在一个适当小的正数ε
，使得
e( x) x x
计算出的x1 具有两位有效数
1 0.062747 修改算法 x1 8 63 15.937 4位有效数 (15.937) 0.0005 ( x1 ) 0.000005 2 2 (15.937) (15.937)
16/16
1
参考文献
[1]李庆扬 关治 白峰杉, 数值计算原理(清华) [2]蔡大用 白峰杉, 现代科学计算 [3]蔡大用, 数值分析与实验学习指导 [4]孙志忠,计算方法典型例题分析 [5]车刚明等, 数值分析典型题解析(西北工大) [6]David Kincaid,数值分析(第三版) [7] John H. Mathews,数值方法(MATLAB版)
数值分析：第一章绪论PPT课件
x
*
是指对每一个 1 i
n
都有lim k
xi( k )
x
* i
可以。理解为 | |
x
(
k
)
x*
||
0
定义1.2.3
若存在常数
C1、C2
>
0
使得，
C1 || x ||B || x ||A C2 || x ||B
则称 || ·||A 和|| ·||B 等价。
可以理解为对任何
向量范数都成立。
数值分析课程中所讲述的各种数值方 法在科学与工程计算、信息科学、管理 科学、生命科学等交叉学科中有着广泛 的应用
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应用问题举例
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1、一个两千年前的例子
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗；
上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉， 实三十四斗；
上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉， 实二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾 一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四 分斗之三。-------《九章算术》
定理1.2.1 Rn 上一切范数都等价。
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二. 矩阵范数
定义1.2.4
Rmn空间的矩阵范数 || ·|| 对任意A, B R满mn足： (1) || A || 0 ; || A || 0 A 0 （正定性)
(2) || A || | | || A || 对任意 C (齐次性) (3) || A B || || A|| || B || （三角不等式)
1 1
(1
I1*
)
0.63
212056
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我们仅仅是幸运吗?
数值分析课件第一章
x x*
1 10 m n 1. 2
（2.2）
21
定理1 设近似数 x *表示为
x* 10m (a1 a2 101 al 10(l 1) ), (2.1)
其中 ai (i 1,, l ) 是0到9中的一个数字，a1 0, m为整数. 1）若 x * 具有 n位有效数字， 则其相对误差限为 1 10( n 1) 2a1
1 6 5 I n1 , I 0 ln 0.1820 I n n 5 1 1 公式2 I n1 I n , I 8 0.019 In 5 n In I 公式1 I n
n
0.1820 0.0900 0.0500 0.0830 -0.165 1.0250 -4.958 24.933 -124.540
* * A* f ( x1 , xn ),
于是由泰勒展开， 函数值 A* 的误差 e( A*) 为
* * e( A*) A * A f ( x1 ,, xn ) f ( x1 ,, xn )
* * f ( x1 , , xn ) * ( xk xk ) xk k 1 n
x x* 1 10 m n 1. 2
（2.2）
19
例如 取3位
x π 3.14159265
x3 * 3.14,
1 π 3.14 =0.00159265 102 , 2
故x3 * 3.14有3为有效数字。
取5位
x5 * 3.1416 ,
1 104 . 2
16
把近似值的误差 e * 与准确值 x 的比值
e* x * x x x
* 称为近似值 x *的相对误差，记作 e r .
数值分析第一章PPT课件
= f ’( )(x* x)
x* 与 x 非常接近时，可认为 f ’( ) f ’(x*) ，则有：
|e*(y)| | f ’(x*)|·|e*(x)|
即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f ’(x*)| 倍。故称| f ’(x*)|为放大因子 /* amplification factor */ 或 绝对条件数 /* absolute condition number */.
r* (x ) ln x * r* (y )
11 0n1lnx*0.1% 2a1
n4
.
10
1.3 避免误差危害的若干原则
算法的数值稳定性
用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中 传播使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不 稳定的.
.
11
1.3 避免误差危害的若干原则
病态问题与条件数
Cp
x f (x) f (x)
x nxn1 xn
n,
它表示相对误差可能放大 n倍.
如 n10，有 f(1 ) 1 ,f(1 .0)2 1 .2，4 若取 x 1, x*1.02, 自变量相对误差为 2% ，函数值相对误差为 24%， 这时问题可以认为是病态的.
一般情况下,条件数
Cp
10就认为是病态，
εr*21 a11 0n10.0 0% 1
已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n > 6 log6，即
n 6，应取 * = 3.14159。
.
8
1.2 数值计算的误差
问题：对于y = f (x)，若用x* 取代x，将对y 产生什么影响？
分析：e*(y) = f (x*) f (x)
e*(x) = x* x
《数值分析》ppt课件
7.
er
a b
er
(a)
er
(b)
30
例4
ε(p)
设有三个近似数
p ≈ 6.6332
≈0.02585
a=2.31,b=1.93,c=2.24
它们都有三位有效数字，试计算p=a+bc，e ( p)和e r ( p) 并问：p的计算结果能有几位有效数字？
2位
例5
设f (x, y) cos y , x 1.30 0.005, y 0.871 0.0005. x
er
e x
x x x
.
由于精确值 x 未知, 实际上总把
e x
作为x*的
相对误差，并且仍记为er , 即
er
e x
.
❖定义 近似值 x* 的相对误差上限(界) (relative accuracy)
εr
|
ε x
|.
注:相对误差一般用百分比表示.
17
例1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆
注:理论上讲,e 是唯一确定的, 可能取正, 也可能取负.
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。
15
提问：绝对误差限的大小能否完全地 表示近似值的好坏？ 例如：有两个量
x 10 1 , y 1000 5
思考
问：谁的近似程度要好一些？
16
❖定义 近似值 x* 的相对误差 (relative error)
a 2.18
e r(b) e (b) 0.00005 0.0024%
b 2.1200
19
➢有效数字 ( significant digits)
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三次Lagrange插值多项式为：
17 1 x( x 1)( x 2) + ( x + 2)( x 1)( x 2) 24 4 2 17 ( x + 2) x( x 2) + ( x + 2) x( x 1). 3 8 L3 ( x) =
f (0.6) ≈L3(0.6) = -0.472.
o
18 2次插值的实际误差 ≈ 0.00061
2
高次插值通常优于 低次插值 但绝对不是次数越高 就越好，嘿嘿…… 就越好，嘿嘿
例2 已知插值点 (-2.00,17.00), (0.00,1.00), (1.00,2.00), (2.00,17.00), 求三次插值，并计算 f (0.6)。 解 先计算4个节点上的基函数：
i 0 1 2 3 4 xi 2 4 7 10 11 y=f(xi) 10 12 13 10 7 2 3 3 1 2/5 1/2 3/4 3/5 1/2 1/4 -4/5 -4/3 -3 hi-1 i λi ci
解： 分别顺次计算出ai,bi,带入m关系式：
边界条件的线性方程组
m0 = 0, m4 = 0 3 4 2m1 + 5 m2 = 5 1 4 1 m1 + 2m2 + m3 = 2 3 2 3 4 m2 + 2m3＝ 3
π x1
1 ≤ 0.0004 ≤ × 10 3 2
因而 x1 具有4位有效数字。
2）由 π x2 = 3.14159... 3.141 = 0.00059... 知
π x2
1 ≤ 0.0006 ≤ × 1 0 2 2
因而 x2 具有3位有效数字
x
* 1
x
* 2
例2：1)经过四舍五入得出 x1* = 6.1025, x2* = 80.115, 试问它们分别具有几位有效数字？ 2)求 x1* + x2* , x1* x2* 的绝对误差限。
( x x0 )( x x1 )( x x3 ) 1 l 2 ( x) = = ( x + 2) x( x 2), ( x 2 x0 )( x2 x1 )( x2 x3 ) 3
( x x0 )( x x1 )( x x 2 ) 1 l3 ( x) = = ( x + 2) x( x 1). ( x3 x0 )( x3 x1 )( x3 x 2 ) 8
例3
给定四个插值点(2,17), (0,1), (1,2), (2,19), 计算 N2(0.9), N3(0.9)。
解: 由x0= 2，x1=0，x2=1，x3=2，知， f [x0, x1] = 8， f [x0, x1, x2] = 3，f [x0, x1, x2, x3] = 5/4，
内容提要 1、Lagrange插值 2、Newton插值 3、Hermite插值 4、分段插值 5、样条插值
例1：已知 sin
π
6
=
分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50° 并估计误差。 解：
n=1
1 π 1 π 3 , sin = , sin = 2 4 3 2 2
( x x1 )( x x 2 )( x x3 ) l 0 ( x) = ( x0 x1 )( x0 x 2 )( x0 x3 ) ( x 0)( x 1.00)( x 2.00) = (2.00 0)(2.00 1.00)(2.00 2.00) 1 x( x 1)( x 2), = 24 ( x x0 )( x x 2 )( x x3 ) 1 l1 ( x) = = ( x + 2)( x 1)( x 2), ( x1 x0 )( x1 x2 )( x1 x3 ) 4
利用 x 0 = π , x1 = π。选择 内插通常优于外推。 内插通常优于外推 6 4 要计算的 x 所在的区间的 π / 6 × 1 L1 ( x ) = x π / 4 × 1 + x π / 6 π / 4 2 π 端点，插值效果较好。 端点，插值效果较好。/ 4 π / 6 2 外推
5π sin 50° = 0.7660444… sin 50 ≈ L2 ( ) ≈ 0.76543 18 cosξ x R2 ( x) = ( x π )( x π )( x π ) ; 1 < cosξ x < 3 3! 6 4 3 2 2 0.00044 < R 5π < 0.00077
N2(0.9) = 17 8(0.9+2)+3(0.9+2)×0.9 = 1.63; N3(0.9) = N2(0.9)+1.25×0.9(0.9+2)(0.9 1)= 1.30375.
例4
给定 f ( 1)=0, f (1)=4, f '( 1)=2, f '(1)=0, 求H3(x), 并计算 f (0.5). x0 = 1, x1 = 1,
0.01319 < R1 ( 5π ) < 0.00762 18
sin 50° = 0.7660444… ≈ 0.01001
n=2
(xπ )(xπ ) 1 (xπ )(xπ ) 1 (xπ )(xπ ) 3 4 3 6 3 6 4 L2(x) = π π π π × + π π π π × + π π π π × ( 6 4 )(6 3 ) 2 ( 4 6 )(4 3 ) 2 ( 3 6 )(3 4 ) 2
解出 m1 = 0.3308269 , m2 = 0.2305766 , m3 = 1.4135332
S(x)=…
注意：S(x)是分段函数
解
H 3 ( x) = α 0 ( x) 0 + α 1 ( x) 4 + β 0 ( x) 2 + β1 ( x) 0
4α 1 ( x) + 2 β 0 ( x). =
1 + 2 x 1 x (1) = 1 (2 x)( x + 1) 2 , α 1 ( x) = 1 1 1 (1) 4
习题课
习题课以例题为平台， 习题课以例题为平台，主要是通过习题帮助 大家巩固知识点，理清算法逻辑关系主线， 大家巩固知识点，理清算法逻辑关系主线，计算 过程同学们自己练习！！！ 过程同学们自己练习！！！ ——刘一玮 ——刘一玮
第一章 误差
内容提要 1、误差的分类 2、绝对误差、相对误差 3、有效数字 4、误差传播 5、数值计算应注意的问题
≈ L 1 ( 5 ) ≈ 0.77614 18 /* extrapolation */ 的实际误差 sin 50
0
分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算
x0
50 0 =
5π 18
x1
x2
π
这里 f ( x) =πsin x , f (2) (ξ x ) = sinξ x , ξ x ∈(π , π ) ~ 5π 6 3 利用 x1 = π , x2 = 3 sin 50° ≈ 0.76008, 0.00538 < R1 18 < 0.00660 ° 4 f (2) (ξx ) 而 1 < sinξx < 3 , R1( x) = ( x π )(x π ) */ 内插 /* interpolation 2 的实际误差2≈ 0.00596 4 2 ! 6
2
β 0 ( x) = ( x (1) )
x 1 1 = ( x + 1)( x 1) 2 , 1 1 4
2
1 ∴ 3 ( x) = (2 x)( x + 1) 2 + ( x + 1)( x 1) 2 , H 2
f(0.5)≈H3(0.5) = 3.5625.
例5 三次样条计算例 数据表
x1* 和 x2*的精确值分别为 x1 和 x2 ，则有 解：1）记
x
*ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
x1
* x2 x2
1 ≤ × 1 0 4 , 2 1 ≤ × 1 0 3 2
x1* 和 x2*分别具有5位有效数字。 所以
2）由 于
e( x 1 ) ≤
*
1 × 1 0 4 , e( x 2 * ) ≤ 2
1 × 1 0 3 , 2
2 ( x) x0 ) + ( x x0 ) f [ x0 , x1 ] + ( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] N = f( 17 8( x + 2) + 3( x + 2) x. =
N 3 ( x) 2 ( x) + ( x x0 )( x x1 )( x x 2 ) f [ x0 , x1 , x 2 , x3 ] =N 5 17 8( x + 2) + 3( x + 2) x + ( x + 2) x( x 1). = 4 所以，
例3：为使 70 的近似值得相对误差小于0.1%,至 少要取几位有效数字？
解：设近似值 x *具有 n位有效数字， 而 70 使用规格化浮点数表示 ， a1 = 8, 故由公式： 1 * εr ≤ × 10 n +1 ≤ 0.001 n ≥ 3 2 a1 因此，至少要取 3位有效数字。
例4
第二章 插值法
所以
e( x1* + x2 * ) ≈ e( x1* ) + e( x2 * ) ≤ e( x1* ) + e( x2 * ) 1 1 4 ≤ × 10 + × 10 3 = 0.00055 2 2 e( x1* x2 * ) ≈ x2 * e( x1* ) + x1* e( x2 * ) ≤ x2 * e( x1* ) + x1* e( x2 * ) 1 1 4 ≤ 80.115 × × 10 + 6.1025 × × 10 3 = 0.007057 2 2
17 1 x( x 1)( x 2) + ( x + 2)( x 1)( x 2) 24 4 2 17 ( x + 2) x( x 2) + ( x + 2) x( x 1). 3 8 L3 ( x) =
f (0.6) ≈L3(0.6) = -0.472.
o
18 2次插值的实际误差 ≈ 0.00061
2
高次插值通常优于 低次插值 但绝对不是次数越高 就越好，嘿嘿…… 就越好，嘿嘿
例2 已知插值点 (-2.00,17.00), (0.00,1.00), (1.00,2.00), (2.00,17.00), 求三次插值，并计算 f (0.6)。 解 先计算4个节点上的基函数：
i 0 1 2 3 4 xi 2 4 7 10 11 y=f(xi) 10 12 13 10 7 2 3 3 1 2/5 1/2 3/4 3/5 1/2 1/4 -4/5 -4/3 -3 hi-1 i λi ci
解： 分别顺次计算出ai,bi,带入m关系式：
边界条件的线性方程组
m0 = 0, m4 = 0 3 4 2m1 + 5 m2 = 5 1 4 1 m1 + 2m2 + m3 = 2 3 2 3 4 m2 + 2m3＝ 3
π x1
1 ≤ 0.0004 ≤ × 10 3 2
因而 x1 具有4位有效数字。
2）由 π x2 = 3.14159... 3.141 = 0.00059... 知
π x2
1 ≤ 0.0006 ≤ × 1 0 2 2
因而 x2 具有3位有效数字
x
* 1
x
* 2
例2：1)经过四舍五入得出 x1* = 6.1025, x2* = 80.115, 试问它们分别具有几位有效数字？ 2)求 x1* + x2* , x1* x2* 的绝对误差限。
( x x0 )( x x1 )( x x3 ) 1 l 2 ( x) = = ( x + 2) x( x 2), ( x 2 x0 )( x2 x1 )( x2 x3 ) 3
( x x0 )( x x1 )( x x 2 ) 1 l3 ( x) = = ( x + 2) x( x 1). ( x3 x0 )( x3 x1 )( x3 x 2 ) 8
例3
给定四个插值点(2,17), (0,1), (1,2), (2,19), 计算 N2(0.9), N3(0.9)。
解: 由x0= 2，x1=0，x2=1，x3=2，知， f [x0, x1] = 8， f [x0, x1, x2] = 3，f [x0, x1, x2, x3] = 5/4，
内容提要 1、Lagrange插值 2、Newton插值 3、Hermite插值 4、分段插值 5、样条插值
例1：已知 sin
π
6
=
分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50° 并估计误差。 解：
n=1
1 π 1 π 3 , sin = , sin = 2 4 3 2 2
( x x1 )( x x 2 )( x x3 ) l 0 ( x) = ( x0 x1 )( x0 x 2 )( x0 x3 ) ( x 0)( x 1.00)( x 2.00) = (2.00 0)(2.00 1.00)(2.00 2.00) 1 x( x 1)( x 2), = 24 ( x x0 )( x x 2 )( x x3 ) 1 l1 ( x) = = ( x + 2)( x 1)( x 2), ( x1 x0 )( x1 x2 )( x1 x3 ) 4
利用 x 0 = π , x1 = π。选择 内插通常优于外推。 内插通常优于外推 6 4 要计算的 x 所在的区间的 π / 6 × 1 L1 ( x ) = x π / 4 × 1 + x π / 6 π / 4 2 π 端点，插值效果较好。 端点，插值效果较好。/ 4 π / 6 2 外推
5π sin 50° = 0.7660444… sin 50 ≈ L2 ( ) ≈ 0.76543 18 cosξ x R2 ( x) = ( x π )( x π )( x π ) ; 1 < cosξ x < 3 3! 6 4 3 2 2 0.00044 < R 5π < 0.00077
N2(0.9) = 17 8(0.9+2)+3(0.9+2)×0.9 = 1.63; N3(0.9) = N2(0.9)+1.25×0.9(0.9+2)(0.9 1)= 1.30375.
例4
给定 f ( 1)=0, f (1)=4, f '( 1)=2, f '(1)=0, 求H3(x), 并计算 f (0.5). x0 = 1, x1 = 1,
0.01319 < R1 ( 5π ) < 0.00762 18
sin 50° = 0.7660444… ≈ 0.01001
n=2
(xπ )(xπ ) 1 (xπ )(xπ ) 1 (xπ )(xπ ) 3 4 3 6 3 6 4 L2(x) = π π π π × + π π π π × + π π π π × ( 6 4 )(6 3 ) 2 ( 4 6 )(4 3 ) 2 ( 3 6 )(3 4 ) 2
解出 m1 = 0.3308269 , m2 = 0.2305766 , m3 = 1.4135332
S(x)=…
注意：S(x)是分段函数
解
H 3 ( x) = α 0 ( x) 0 + α 1 ( x) 4 + β 0 ( x) 2 + β1 ( x) 0
4α 1 ( x) + 2 β 0 ( x). =
1 + 2 x 1 x (1) = 1 (2 x)( x + 1) 2 , α 1 ( x) = 1 1 1 (1) 4
习题课
习题课以例题为平台， 习题课以例题为平台，主要是通过习题帮助 大家巩固知识点，理清算法逻辑关系主线， 大家巩固知识点，理清算法逻辑关系主线，计算 过程同学们自己练习！！！ 过程同学们自己练习！！！ ——刘一玮 ——刘一玮
第一章 误差
内容提要 1、误差的分类 2、绝对误差、相对误差 3、有效数字 4、误差传播 5、数值计算应注意的问题
≈ L 1 ( 5 ) ≈ 0.77614 18 /* extrapolation */ 的实际误差 sin 50
0
分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算
x0
50 0 =
5π 18
x1
x2
π
这里 f ( x) =πsin x , f (2) (ξ x ) = sinξ x , ξ x ∈(π , π ) ~ 5π 6 3 利用 x1 = π , x2 = 3 sin 50° ≈ 0.76008, 0.00538 < R1 18 < 0.00660 ° 4 f (2) (ξx ) 而 1 < sinξx < 3 , R1( x) = ( x π )(x π ) */ 内插 /* interpolation 2 的实际误差2≈ 0.00596 4 2 ! 6
2
β 0 ( x) = ( x (1) )
x 1 1 = ( x + 1)( x 1) 2 , 1 1 4
2
1 ∴ 3 ( x) = (2 x)( x + 1) 2 + ( x + 1)( x 1) 2 , H 2
f(0.5)≈H3(0.5) = 3.5625.
例5 三次样条计算例 数据表
x1* 和 x2*的精确值分别为 x1 和 x2 ，则有 解：1）记
x
*ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
x1
* x2 x2
1 ≤ × 1 0 4 , 2 1 ≤ × 1 0 3 2
x1* 和 x2*分别具有5位有效数字。 所以
2）由 于
e( x 1 ) ≤
*
1 × 1 0 4 , e( x 2 * ) ≤ 2
1 × 1 0 3 , 2
2 ( x) x0 ) + ( x x0 ) f [ x0 , x1 ] + ( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] N = f( 17 8( x + 2) + 3( x + 2) x. =
N 3 ( x) 2 ( x) + ( x x0 )( x x1 )( x x 2 ) f [ x0 , x1 , x 2 , x3 ] =N 5 17 8( x + 2) + 3( x + 2) x + ( x + 2) x( x 1). = 4 所以，
例3：为使 70 的近似值得相对误差小于0.1%,至 少要取几位有效数字？
解：设近似值 x *具有 n位有效数字， 而 70 使用规格化浮点数表示 ， a1 = 8, 故由公式： 1 * εr ≤ × 10 n +1 ≤ 0.001 n ≥ 3 2 a1 因此，至少要取 3位有效数字。
例4
第二章 插值法
所以
e( x1* + x2 * ) ≈ e( x1* ) + e( x2 * ) ≤ e( x1* ) + e( x2 * ) 1 1 4 ≤ × 10 + × 10 3 = 0.00055 2 2 e( x1* x2 * ) ≈ x2 * e( x1* ) + x1* e( x2 * ) ≤ x2 * e( x1* ) + x1* e( x2 * ) 1 1 4 ≤ 80.115 × × 10 + 6.1025 × × 10 3 = 0.007057 2 2