Ch2对偶理论

YA C Y 0
在 Y C B B 两边有乘b,则有 Yb C B B 1b＝Z ,又因Y≥0无上界,从 而只存在最小值，得到另一个线性规划问题
1
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2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
从而对偶问题为
max Z 4 y1 y 2 4 y1 y 2 5 y1 7 y 2 2 y1 5 y 2 3 y1 0, y 2 0
对偶变量yi也可写成xi的形式。
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【例2-3】写出下列线性规划的对偶问题
min Z x1 5 x2 4 x3 9 x4 7 x1 2 x2 8 x3 x4 18 6 x2 5 x4 10 2 x1 8 x2 x3 14 x1无约束, x2 0, x3 , x4 0
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max Z C B X B C N X N 0 X S BX B NX N EX S b X B , X N , X S 0
表2-2 XB XN XS b
XB C
B CB
N CN
表2－3
E 0
b 0
XB XB λ E 0
XN B－1N CN－CBB－1N
【解】这是一个规范形式的线性规划，设Y=（y1，y2）， 则有 4 max w Yb ( y1 , y 2 ) 4 y1 y 2 1 4 1 －1 YA ( y1 , y 2 ) 1 －7 5
(4 y1 y 2 , y1 7 y 2， y1 5 y 2 ) (5,2,3)
C C B B 1 A 0 C B B 1 0
时得到最优解， C C B B 1 A 是 X＝（X B，X N） 的检验数, C B C B B 1 B 和 C N CB B 1 N , 令 Y CB B 1 ,由 C C B B 1 A 0与 C B B 1 0 得
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若给出的线性规划不是规范形式，可以先化成规范形式再写对 偶问题。也可直接按表2-1中的对应关系写出非规范形式的对偶 问题。
例如，原问题是求最小值，按表2-1有下列关系： 1. 第i个约束是“ ≤”约束时，第i个对偶变量yj≤0 2．第i个约束是“ = ”约束时，第i个对偶变量yi无约束； 3．当xj≤0时，第j个对偶约束为“ ≥”约束，当xj无约束时 ，第j 个对偶约束为“ = ”约束。 将上述原问题与对偶问题的对应关系列于表2-1
9 y1 5 y 2 8 y3 7 y 4 100
同理，对产品B和C有
8 y1 4 y2 3 y3 6 y4 80 6 y1 7 y2 2 y3 4 y4 70
价格不可能小于零，即有yi≥0,i=1, …,4.从而企业的资源 价格模型为
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min w 500 y1 450 y2 300 y3 550 y4 9 y1 5 y2 8 y3 7 y4 100 8 y 4 y 3 y 6 y 80 1 2 3 4 6 y1 7 y2 2 y3 4 y4 70 yi 0, i 1,,4
m个约束 第i个约束≤ 第i个约束≥ 第i个约束为=
目标函数min 资源限量（目标函数系数） 约束条件系数矩阵AT(A) 约 束 n个约束 第j个约束为≥ 第j个约束为≤ 第j个约束为=
m个变量 第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量无约束
约 束
变 量
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max Z CX AX b X 0 (2.1)
min Z CX AX b X 0 (2.2)
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2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of r2 对偶理论 Dual Theory
【解】目标函数求最小值，应将 表2－4的右边看作原问题，左边 是对偶问题，原问题有3个约束4 个变量，则对偶问题有3 个变量4 个约束，对照表2－1的对应关系， 对偶问题为：
max w 18 y1 10 y2 14 y3 2 y3 = 1 7 y1 2 y 6 y 8 y 5 1 2 3≥ y3 ≤ 4 8 y1 y 5y ≤ 9 2 1 y1≤0， y2≥0， y3无约束
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以上是依据经济问题推导出对偶问题，还可以用代数方法 推导出对偶问题。 原问题和对偶问题是互为对偶的两个线性规划问题，已知一个问 题就可写出另一个问题。 上面两种形式的线性规划称为规范形式。 规范形式（Canonical Form）的定义： 目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变量非负； 目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非负。 规范形式的线性规划的对偶问题亦是规范形式。
资源限量 500 450 300 550
建立总收益最大的数学模型。
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【解】设x1，x2，x3分别为产品A，B，C的产量，则线性规划数 学模型为： max Z 100 x 80 x 70 x
1 2 3
9 x1 8 x 2 6 x3 500 5 x 4 x 7 x 450 1 2 3 8 x1 3x 2 2 x3 300 7 x 6 x 4 x 550 2 3 1 x1 , x 2, x3 0
现在从另一个角度来考虑企业的决策问题。假如企业自己不 生产产品，而将现有的资源转让或出租给其它企业，那么资源 的转让价格是多少才合理？合理的价格应是对方用最少的资金 购买本企业的全部资源，而本企业所获得的利润不应低于自己 用于生产时所获得的利润。这一决策问题可用下列线性规划数 学模型来表示。
在线性规划问题中，存在一个有趣的问题，即每一个线性规 划问题都伴随有另一个线性规划问题，称它为对偶线性规划问 题。 【例2－1】 某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、资源限 量及价值系数如下表：
产品
资源
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 单件产品利润
A 9 5 8 7 100
B 8 4 3 6 80
C 6 7 2 4 70
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【例2－2】写出下列线性规划的对偶问题
min Z 5 x1 2 x 2 3x3 4 x1 x 2 x3 4 x1 7 x 2 5 x3 1 x , x , x 0 1 2 3
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设y1，y2，y3及y4分别表示四种资源的单位增值价格（售 价＝成本＋增值），总增值最低可用 min w=500y1+450y2+300y3+550y4 表示。企业生产一件产品A用了四种资源的数量分别是9， 5，8和7个单位，利润是100,企业出售这些数量的资源所 得的利润不能少于100，即
这是一个线性规划数学模型，称这一线性规划模型是前 面生产计划模型的对偶线性规划模型 ,这一问题称为对偶 问题。生产计划的线性规划问题称为原始线性规划问题 或原问题。
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表2-4
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
目标函数max 目标函数系数（资源限量） 约束条件系数矩阵A(AT) 变 量 n个变量 第j个变量≥0 第j 个变量≤0 第j个变量无约束
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4 max w Yb ( y1 , y 2 ) 4 y1 y 2 1 4 1 －1 YA ( y1 , y 2 ) 1 － 7 5 (4 y1 y 2 , y1 7 y 2， y1 5 y 2 ) (5,2,3)