运筹学 ( 对偶问题及性质)
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Chapter2 对偶理论
( Duality Theory )
本章主要内容：
线性规划的对偶模型 对偶性质 对偶问题的经济解释－影子价格 对偶单纯形法 灵敏性分析
线性规划的对偶模型
1. 对偶问题的现实来源
❖ 设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设备按A， B，C，D顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品 的利润值及每种设备的可利用机时数列于下表 ：
y1
,
y2 ,
y3 ,
y4
0
2. 原问题与对偶问题的对应关系
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4xx1 12
x2 16
8
4 x2 12
x1 , x2 0
原问题
（对偶问题）
min 12 y1 8y2 16 y3 12 y4
2 y1 y2 4 y3 0 y4 2
无约束
n个
约
束
≥
条
≤
件
=
❖ 例2.2 写出下列线性规划问题的对偶问题.
max Z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
4 x1 x2 3 x3 2 x4 5
3 x1 2 x2
7 x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无 约 束
x2 16
8
4 x2 12
x1 , x2 0
反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机
器用于接受外加工，只收加工费，那么４种机器的机时如
何定价才是最佳决策？
在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：
（1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、 乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约 束条件。
（3）若原规划的某个变量的值没有非 负限制，则在对偶问题中与此变量对应的 那个约束为等式。
线性规划的对偶模型
原问题（或对偶问题）
约束条件右端项
目标函数变量的系数
目标函数 max
约
m个
束
条
≤
件
≥
=
n个
变
量
≥0
≤0
无约束
对偶问题（或原问题）
目标函数变量的系数
约束条件右端项
目标函数 min
m个
变
≥0
量
≤0
b
15/2 7/2 3/2
原问题的变量
x1
x2
0
0
1
0
0
1
0
0
原问题的松弛变量
x3
x4
1
5/4
x5 -15/2
0
1/4
-1/2
0
-1/4
3/2
0
－1/4
－1/2
对偶 问题 最优 表
-Ys2
-Y
❖ 例2.1 写出线性规划问题的对偶问题
max Z 2x1 3 x2 4 x3
2 x1 3x2 5 x3 2
3
x1 x1
x2 4x
2
7x3 6x3
3 5
x1 , x2 , x3 0
解：首先将原问题变形为对称形式
max Z 2x1 3 x2 4 x3
2 x 3 x2 5 x3 2
X
0
YA C
(DP)
Y0
已知 (LP)，写出 (DP)
单纯形法计算的矩阵描述(n>m)
项目
非基变量
基变量
XB
XN
Xs
0 Xs b
B
N
I
cj-zj
CB
CN
0
项目
基变量
非基变量
XB
XN
Xs
CB XB B-1b
I
B-1N
B-1
cj-zj
0
CN-CBB-1N -CBB-1
❖ 若初始矩阵中变量 xj的系数向量为Pj, 迭代后为P’j, 则有 P’j=B-1 Pj
❖ 当B为最优基时，应有
CN CB B1N 0 C CB B1 A 0 CB B1 0
❖ 令Y=CBB-1, 则 YA C
Y 0
且 w Yb CB B1b z
项目
基变量
XB
CB XB B-1b
I
cj-zj
0
-Ys1
非基变量
XN
Xs
B-1N
B-1
CN-CBB-1N -CBB-1
3
x1
x2
7x3
3
x1 4 x2 6 x3
5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题： minW 2 y1 3y2 5y3
2 y1 3y2 y3 2
53y1y1 7
y2 y2
4 y3 6 y3
3 4
y1, y2 , y3 0
(2) 非对称形式的对偶规划
一般称不具有对称形式的一对线性规划为 非对称形式的对偶规划。
5x2 x3 15
s.t
6
x1 2x2 x1 x2
x4 x5
2 5
4
xj 0
minw 15y1 24y2 5 y3
s.t
5
6y y1
2 2y
y3 2
y4 y3
y
2 5
1
yi 0
分别用单纯形法求解上述2个规划问题，得到最终单纯形表如
下表：
对偶性质
XB
原问 x3 题最 x1 优表 x2
对于非对称形式的规划，可以按照下面 的对应关系直接给出其对偶规划。
（1）将模型统一为“max，≤”或“min， ≥” 的形式，对于其中的等式约束按下面 （2）、（3）中的方法处理；
（2）若原规划的某个约束条件为等式约束， 则在对偶规划中与此约束对应的那个变量取值 没有非负限制；
1.线性规划对偶问题
（2）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时 总收费，以便争取更多用户。
设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新 的线性规划数学模型为：
min 12 y1 8y2 16 y3 12 y4
2 y1 y2 4 y3 0 y4 2 s.t 2 y1 2 y2 0 y3 4 y4 3
s.t 2 y1 2 y2 0 y3 4 y4 3
来自百度文库
y1
,
y2 ,
y3 ,
y4
0
对偶问题 （原问题）
线性规划的对偶模型
特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变
量非负;目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非
负.
❖ （1）对称形式
maxZ CX
minW Yb
AX b
(LP)
产品数据表
产品
设备
产品利润
A
B
C
D
（元／件）
甲
2
1
4
0
2
乙
2
2
0
4
3
设备可利用机时数 （时）
12
8
16 12
问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能 获得最大利润？
❖解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数 学模型为：
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4xx1 12
解：原问题的对偶问题为
mi nW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2
y1 3 y1
2 y2
3 y3 4 y3
3 5
2 y1 7 y2 y3 1
y1
0,
y2
0,
y
无
3
约
束
对偶性质
例2.3 分别求解下列2个互为对偶关系的线性规划问题
maxz 2x1 x2
( Duality Theory )
本章主要内容：
线性规划的对偶模型 对偶性质 对偶问题的经济解释－影子价格 对偶单纯形法 灵敏性分析
线性规划的对偶模型
1. 对偶问题的现实来源
❖ 设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设备按A， B，C，D顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品 的利润值及每种设备的可利用机时数列于下表 ：
y1
,
y2 ,
y3 ,
y4
0
2. 原问题与对偶问题的对应关系
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4xx1 12
x2 16
8
4 x2 12
x1 , x2 0
原问题
（对偶问题）
min 12 y1 8y2 16 y3 12 y4
2 y1 y2 4 y3 0 y4 2
无约束
n个
约
束
≥
条
≤
件
=
❖ 例2.2 写出下列线性规划问题的对偶问题.
max Z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
4 x1 x2 3 x3 2 x4 5
3 x1 2 x2
7 x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无 约 束
x2 16
8
4 x2 12
x1 , x2 0
反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机
器用于接受外加工，只收加工费，那么４种机器的机时如
何定价才是最佳决策？
在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：
（1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、 乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约 束条件。
（3）若原规划的某个变量的值没有非 负限制，则在对偶问题中与此变量对应的 那个约束为等式。
线性规划的对偶模型
原问题（或对偶问题）
约束条件右端项
目标函数变量的系数
目标函数 max
约
m个
束
条
≤
件
≥
=
n个
变
量
≥0
≤0
无约束
对偶问题（或原问题）
目标函数变量的系数
约束条件右端项
目标函数 min
m个
变
≥0
量
≤0
b
15/2 7/2 3/2
原问题的变量
x1
x2
0
0
1
0
0
1
0
0
原问题的松弛变量
x3
x4
1
5/4
x5 -15/2
0
1/4
-1/2
0
-1/4
3/2
0
－1/4
－1/2
对偶 问题 最优 表
-Ys2
-Y
❖ 例2.1 写出线性规划问题的对偶问题
max Z 2x1 3 x2 4 x3
2 x1 3x2 5 x3 2
3
x1 x1
x2 4x
2
7x3 6x3
3 5
x1 , x2 , x3 0
解：首先将原问题变形为对称形式
max Z 2x1 3 x2 4 x3
2 x 3 x2 5 x3 2
X
0
YA C
(DP)
Y0
已知 (LP)，写出 (DP)
单纯形法计算的矩阵描述(n>m)
项目
非基变量
基变量
XB
XN
Xs
0 Xs b
B
N
I
cj-zj
CB
CN
0
项目
基变量
非基变量
XB
XN
Xs
CB XB B-1b
I
B-1N
B-1
cj-zj
0
CN-CBB-1N -CBB-1
❖ 若初始矩阵中变量 xj的系数向量为Pj, 迭代后为P’j, 则有 P’j=B-1 Pj
❖ 当B为最优基时，应有
CN CB B1N 0 C CB B1 A 0 CB B1 0
❖ 令Y=CBB-1, 则 YA C
Y 0
且 w Yb CB B1b z
项目
基变量
XB
CB XB B-1b
I
cj-zj
0
-Ys1
非基变量
XN
Xs
B-1N
B-1
CN-CBB-1N -CBB-1
3
x1
x2
7x3
3
x1 4 x2 6 x3
5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题： minW 2 y1 3y2 5y3
2 y1 3y2 y3 2
53y1y1 7
y2 y2
4 y3 6 y3
3 4
y1, y2 , y3 0
(2) 非对称形式的对偶规划
一般称不具有对称形式的一对线性规划为 非对称形式的对偶规划。
5x2 x3 15
s.t
6
x1 2x2 x1 x2
x4 x5
2 5
4
xj 0
minw 15y1 24y2 5 y3
s.t
5
6y y1
2 2y
y3 2
y4 y3
y
2 5
1
yi 0
分别用单纯形法求解上述2个规划问题，得到最终单纯形表如
下表：
对偶性质
XB
原问 x3 题最 x1 优表 x2
对于非对称形式的规划，可以按照下面 的对应关系直接给出其对偶规划。
（1）将模型统一为“max，≤”或“min， ≥” 的形式，对于其中的等式约束按下面 （2）、（3）中的方法处理；
（2）若原规划的某个约束条件为等式约束， 则在对偶规划中与此约束对应的那个变量取值 没有非负限制；
1.线性规划对偶问题
（2）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时 总收费，以便争取更多用户。
设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新 的线性规划数学模型为：
min 12 y1 8y2 16 y3 12 y4
2 y1 y2 4 y3 0 y4 2 s.t 2 y1 2 y2 0 y3 4 y4 3
s.t 2 y1 2 y2 0 y3 4 y4 3
来自百度文库
y1
,
y2 ,
y3 ,
y4
0
对偶问题 （原问题）
线性规划的对偶模型
特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变
量非负;目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非
负.
❖ （1）对称形式
maxZ CX
minW Yb
AX b
(LP)
产品数据表
产品
设备
产品利润
A
B
C
D
（元／件）
甲
2
1
4
0
2
乙
2
2
0
4
3
设备可利用机时数 （时）
12
8
16 12
问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能 获得最大利润？
❖解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数 学模型为：
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4xx1 12
解：原问题的对偶问题为
mi nW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2
y1 3 y1
2 y2
3 y3 4 y3
3 5
2 y1 7 y2 y3 1
y1
0,
y2
0,
y
无
3
约
束
对偶性质
例2.3 分别求解下列2个互为对偶关系的线性规划问题
maxz 2x1 x2